Galileo, dialogo dei massimi sistemi
Salviati:
1
Aristotelici: esiste la quiete assoluta!
Sistemi inerziali: particella libera
si muove di moto uniforme
Si muovono di moto uniforme l’uno ripetto all’altro
senza rotazioni
Stesse leggi della fisica in tutti i sistemi inerziali
Riferimento: Sistema delle stelle fisse
Radiazione di fondo di
corpo nero dell’Universo
2
stazione
rT = rS − ut
rT = posizione rispetto a OT
rS = posizione rispetto a OS
Per Galileo, t’=t
3
Trasformazione di Galileo: le distanze
sono invarianti e t=t’
r ' = r − ut ⇒ r1 '− r2 ' = (r1 − ut ) − (r2 − ut ) = r1 − r2
Forze che dipendono da distanze: invarianti
Composizione delle velocita’
r ' = r − ut ⇒ v ' = v − u
F = ma
invariante
Kant:lo spazio e il tempo sono a priori….......
Insomma: sembra un fatto geometrico! ……Pero’.......
4
Elettrodinamica classica
Equazioni di Maxwell nel vuoto
∇i E = 4πρ
∇i B = 0
continuita '
senza sorgenti , onde :
1 ∂B
∇∧E= −
c ∂t
1 ∂E 4π ∇∧B=
+
j
c ∂t
c
F = qE + qv ∧ B
∂A
E = −∇φ −
∂t
B =∇∧ A
∂ρ
+ div j = 0
∂t
2 1 ∂2 ∇ − c 2 ∂t 2 E = 0
2 1 ∂2 ∇ − c 2 ∂t 2 B = 0
onde in 1d :
d 2 1 ∂2
f ( x , t ) = h( x − ct )
( dx ) − c 2 ∂t 2 f ( x , t ) = 0
d 2
∂2
( ) f ( x , t ) = h "( x − ct ),
f ( x , t ) = c 2 h "( x − ct ), OK
2
dx
∂t
1 ∂φ
Lorentz gauge : div A +
=0
c ∂t
onde :
2 1 ∂2 4π ∇
−
A
=
−
j
2
2
c ∂t
c
2 1 ∂2
∇ − c 2 ∂t 2 φ = −4πρ
55
Equazione di Poisson ( elettrostatica) : ∇ φ (r ) = −4πρ ( r )
2
Elettrodinamica classica
Equazioni di Maxwell nel vuoto
∇i E = 4πρ
∇i B = 0
continuita '
senza sorgenti , onde :
1 ∂B
∇∧E= −
c ∂t
1 ∂E 4π ∇∧B=
+
j
c ∂t
c
F = qE + qv ∧ B
∂A
E = −∇φ −
∂t
B =∇∧ A
∂ρ
+ div j = 0
∂t
2 1 ∂2 ∇ − c 2 ∂t 2 E = 0
2 1 ∂2 ∇ − c 2 ∂t 2 B = 0
onde in 1d :
d 2 1 ∂2
f ( x , t ) = h( x − ct )
( dx ) − c 2 ∂t 2 f ( x , t ) = 0
d 2
∂2
( ) f ( x , t ) = h "( x − ct ),
f ( x , t ) = c 2 h "( x − ct ), OK
2
dx
∂t
1 ∂φ
Lorentz gauge : div A +
=0
c ∂t
onde :
2 1 ∂2 4π ∇ − c 2 ∂t 2 A = − c j
2 1 ∂2
∇ − c 2 ∂t 2 φ = −4πρ
Equazione di Poisson ( elettrostatica) : ∇ 2φ (r ) = −4πρ ( r )
66
c=velocita’ della luce!
rispetto a
chi?
77
stazione
Carattere relativo della simultaneita’
Il macchinista lancia dal punto O
un segnale luminoso e misura il
tempo che la luce impiega per
arrivare agli specchi A e B solidali
col treno ed equidistanti da O.
x
Macchinista:
gli specchi riflettono la luce contemporaneamente.
Capostazione:
Poiche’ lo specchio B si allontana dal punto O da dove e’ partita la luce
mentre A va verso O , la luce arriva prima in A.
Chi ha ragione? Tutti e due!
8
8
Esperimento pensato sulla Relativita’ dei tempi
stazione
Quanto ci vuole
perche’ la luce arrivi
sul pavimento?
h
h
tT =
c
Macchinista:
Capostazione:
tS =
c 2t S 2 = h 2 + u 2t S 2
2
2
(c − u )tS = h
2
h 2 + u 2t S2
h
h 2 + (ut S ) 2
ut S
c
Tempo proprio: il piu’
corto
risolvendo,
2
Per il capostazione
h
tS =
c
1
2
u
1− 2
c
> tT
capostazione: l’orologio del
macchinista va indietro.
macchinista : l’orologio del
capostazione va indietro.
9
L’esperimento si puo’ fare a
ruoli invertiti!
Intervallo invariante
La distanza fra due punti non si conserva. Pero’, come gia’ osservato,
2
ux 2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
rT − c tT = γ ( xS − uts ) − c γ t − = rS − c tS
c
s 2 = r 2 − c 2t 2
s = intervallo
2
2
2 2
propagazione luce : s = 0
rT = c tT ⇒ rS = c 2tS2
=0 light-like
s2=r2-c2t2
>0 space-like (in qualche sistema
e’ puramente spaziale)
<0 time-like (in qualche sistema
puramente temporale)
10
Trasformazione di Lorentz
c= costante fondamentale. Quarta dimensione
x0 = ct
x02S − xS2 = x02T − xT2
Ponendo xS = axT + bx0T x0S = cxT + dx0T
(cxT + dx0T )2 − ( axT + bx0T )2 = x02T − xT2
c 2 xT 2 + d 2 x0T 2 + 2cdxT x0T − ( a 2 xT 2 + b 2 x0T 2 +2abxT x0T ) = x02T − xT2
c 2 − a 2 = −1 d 2 − b2 = 1 cd=ab
a=Cosh(ψ ) c=Sinh(ψ ) d=Cosh(ψ ' ) b=Sinh(ψ ' )
cd=ab ⇒ Cosh(ψ )Sinh(ψ ' ) = Sinh(ψ )Cosh(ψ ' ) ⇒ ψ ' = ψ .
Moto dell'origine OT xT = 0 xS = Sinh[ψ ]x0T x0S = Cosh[ψ ]x0T
xS u
Tanh[ψ ] =
=
x0 S c
11
Cosh[ x]2 − 1
Tanh[ x] =
Cosh[ x]2
2
Tanh[ x] =
u
c
Cosh[ x] =
Cosh[ x] =
1
1 − Tanh[ x]2
1
u
1−
c
2
Sinh[ x] =
Sinh[ x] =
xS = γ ( xT + β x0T ) x0S = γ ( β xT + x0T ) γ =
Tanh[ x]
1 − Tanh[ x]2
Tanh[ x]
u
1 − ( )2
c
1
u2
1− 2
c
L'inversa si ottiene con u → -u
xT = γ ( xS − β x0S ) x0T = γ ( β xS − x0S ) .
β=
u
c
Contrazione delle lunghezze
x1T e x2T siano estremi di una sbarra lunga LT sul treno.
per trovare la lunghezza misurata dal capostazione
non si puo' usare
xS = γ ( xT + β x0T ) x0S = γ ( β xT + x0T )
perche' gli estremi vanno misurati simultaneamente
nella stazione.
Usiamo
xT = γ ( xS − β x0S ) x0T = γ ( β xS − x0S ) ⇒ LT =γ LS .
LS = LT
u2
1 − 2 contrazione di Lorentz
c
Composizione relativistica delle velocita’ e velocita’ limite
Il gatto del macchinista si mette a correre sul treno.
Macchinista: la velocita' del gatto e' W =
dxT
dtT
dxS
Per il capostazione, la sua velocita' e' V =
dtS
xS = γ ( xT + utT )
u
tS = γ tT + xT 2
c
γ [ dxT + udtT ]
dxS
⇒ V=
=
dtS
u
γ 2 dxT + dtT
c
W +u
V=
uW
1+ 2
c
WgT + uTS
Puo' aiutare mettere degli indici: VgS =
WgT uTS
1+
c2
14
Problema
Un razzo R si allontana dalla terra T in linea retta lungo l’asse x nel senso
positivo. Un UFO viene avvistato da terra e dal razzo, mentre si muove
anch’ esso in linea retta lungo l’asse x. Visto da terra, questo UFO si muove a
0.5c, mentre visto dal razzo si muove a −0.5c. Qual’e`la velocita´di R rispetto a
T?
15
Toh, un ufo che
va a -0.5 c
0.5 c
WuR + uRT
=
1 + uRT WuR
u
VuT
Toh, un ufo che
va a 0.5 c
StazioneTerra
Trenorazzo gattoufo
WuR + uRT
0.5 =
, con WuR = −0.5
1 + WuR u RT
uRT = 0.8
16
La sincronizzazione e’ relativa
Due orologi fermi in un riferimento possono essere
sincronizzati, ma osservatori di altri riferimenti non
troveranno che lo sono! Anche la simultaneita’’ e’ relativa.
Ecco un esempio.
Il pilota di una astronave che viaggia a 0.6c passa vicino alla
Terra e regola il proprio orologio con quello terrestre, diciamo alle ore 0,00
antimeridiane. Il pilota nota che alle ore 0,30' del suo orologio l'astronave
oltrepassa una stazione spaziale ferma rispetto a Terra e sincronizzata col
tempo terrestre.
a) Che ora e alla stazione nel momento in cui passa l'astronave?
b) Il pilota vede che gli orologi a terra vanno indietro e NON concorda sul
fatto che gli orologi della Terra e della stazione spaziale sono sincronizzati.
Di quanto non lo sono?
17
Siamo
sincronizzati
alle 0,00
0.6 c
405 milioni di Km
Base
Terra
18
Toh!
L’orologio
della
stazione
va avanti!
Sono le
ore 0.30’
0.6 c
Base
Terra
19
Che ora e’ alla stazione quando passa l’astronave?
a) Il tempo misurato dall’astronauta e`un tempo proprio τ0, mentre
quello terrestre e` dilatato a
τ = γτ 0 =
30
1 − 0.6 2
=
30
= 37.5 min
0.8
b) Il pilota nota che gli orologi terrestri vanno ad un ritmo ridotto
di
un fattore 0.8 .
Se l’orologio della stazione fosse sincronizzato (dice il pilota) segnerebbe
30 *0.8 = 24 minuti dopo la mezzanotte. Per
il Pilota l’orologio della stazione e` stato messo avanti di 13,5 minuti. La
sincronizzazione e`relativa al sistema di riferimento.
Q u a n to
1800
d is ta
1
2
la
base
da
T?
3 0 0 0 0 0 0 .6 = 4 0 5 0 0 0 0 0 0
1 - 0 .6
1 8 0 0 3 0 0 0 0 0 0 .6 = 3 2 4 0 0 0 0 0 0
km
per
km
A
per
T
20
Cronotopo di Minkowsky
Necessaria descrizione spazio-temporale (4d)
x '1
x '0
= γ ( x1 − β x0 )
x ' 2 = x2
x ' 3 = x3
= γ ( x0 − β x1 )
x2+y2+z2- (ct)2 =s2
conservazione dell’intervallo
x2+y2+z2+(ict)2 =s2
generalizza Pitagora a 4d
ed esprime la conservazione
del’intervallo:
Basta porre x4=ix0=ict per essere (pseudo) eucliei
21
Trasformazione di Lorentz: lineare, lascia invariato
l’intervallo (tensore di rango 0)
xµ ' = Λ µν xν
significa
xµ ' = ∑ Λ µν xν
ν
γ
0
Λ=
0
−i βγ
0 0 i βγ
1 0 0
; det(Λ ) = γ 2 − β 2γ 2 = 1.
0 1 0
0 0 γ
22
Analogia formale:
spazio 3d
Cronotopo 4d
rotazioni
trasformazioni di Lorentz
scalari =invarianti per rotazione
scalari =invarianti per Lorentz
vettori: vanno per rotazione come punti
quadrivettori: vanno per Lorentz
{ xi } , i = 1, 2,3
xi xi = scalare
tensori
{x x } ,{x x x } ,
i
j
i
j k
come punti
{ x } , µ = 1, 2,3, 4
µ
xµ xµ = scalare
tensori
{x x } , {x x } , {x x } ,
µ ν
µ ν
µ ρ
i = 1, 2,3 , j = 1, 2,3 , k = 1, 2,3 µ = 1, 2,3, 4 ,ν = 1, 2,3, 4 , ρ = 1, 2,3, 4
23
Scalari: grandezze che non cambiano per trasformazioni di Lorentz:
lunghezza propria, intervallo fra due eventi, il tempo proprio
l’intervallo e’ scalare, cioe’ Lorentz-invariante
∆s 2 = ∆x12 + ∆x2 2 + ∆x32 − ∆x0 2
x0=ct
=distanza pseudoeuclidea (positiva, nulla o negativa)
∆s 2 = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 + ∆ (ict ) 2 = ∆x12 + ∆x2 2 + ∆x32 + ∆x4 2 x4=ict
Non sono scalari le lunghezze e gli intervalli di tempo
Scalari: lunghezza propria, intervallo fra due eventi, il tempo proprio
∆s 2 = ∆x12 + ∆x2 2 + ∆x32 − ∆x0 2 = ∆x12 + ∆x2 2 + ∆x32 − c 2 ∆t 2
tempo proprio : ∆s 2 = −c 2 ∆τ 2 ⇒ dτ =
ds
c
invariante
24
NB
dV = dx1dx2 dx3 non e' uno scalare: trasformando lungo x dV →
dV
γ
dx0 =cdt non e' uno scalare: trasformando lungo x dx 0 → γ dx 0
cdVdt = dx0 dx1dx2 dx3 e' uno scalare.
NB
La carica ρ dV contenuta in dV e' scalare; poiche' dV = dx1dx2 dx3
non e' uno scalare: trasformando lungo x dV →
dV
γ
, ρ deve
trasformarsi come dx0 =cdt come la componente 0 di un quadrivettore.
corrente: jµ = ρ
dxµ
dt
= ρ 1− β
2
ρ
ρ
= ( J , i ), j0 =
dτ
c
c
dxµ
wµ ' = Λ µν wν
Quadrivettori: si trasformano come xµ
xµ = ( x , x4 = ict ) ,
Esempi:punto cronotopico:
d
wµ =
xµ
dτ
u
dτ = dt 1 −
c
d
1
d
1
d
wµ =
xµ =
xµ =
x
,
ic
=
γ
(
u
, ic )
2
2
dτ
u dt
u dt
1−
1−
c
c
u = trivelocita' w = quadrivelocita'
quadrivelocita’:
2
I prodotti scalari fra quadrivettori danno scalari,
cioe' invarianti relativistici: wµ wµ = γ 2 (u2 − c 2 ) = −c 2
26
La fase di un'onda elettromagnetica kr-ω t e' scalare (se il
campo e' nullo in un punto lo e' per tutti).
ω
ω
kµ = ( k , i ), k0 =
c
c
kµ xµ = kr-ω t
kµ = quadrivettore d'onda
Elettrodinamica classica
∂A E = −∇φ −
B =∇∧ A
∂t
e si ottiene :
Equazioni di Maxwell nel vuoto: invarianti
∇i E = 4πρ
∇i B = 0
1 ∂B
∇∧E= −
c ∂t
1 ∂E 4π ∇∧B=
+
j
c ∂t
c
onde :
2 1 ∂2 4π ∇ − c 2 ∂t 2 A = − c j
2 1 ∂2
∇ − c 2 ∂t 2 φ = −4πρ
⇒
2 1 ∂2
4π
∇
−
A
=
−
jµ
µ
2
2
c ∂t
c
φ
φ
corrente: jµ potenziale : Aµ = ( A , i ), A0 =
c
c
ω
ω
quadrivettore d'onda : kµ = ( k , i ), k0 =
c
c
e l'invarianza e' manifesta
Lorentz :
jµ ' = Λ µν jµ
Aµ ' = Λ µν Aµ
kµ ' = Λ µν kµ
28
I campi elettrico e magnetico non si trasformano come quadrivettori.
Tensori a 2 indici: oggetti wµν
che
si trasformano come xµ xν
wµν ' = Λ µρ Λνσ wρσ
Campo elettromagnetico:
∂Aν ∂Aµ
Fµν =
−
∂xµ ∂xν
Scalari= tensori a 0 indici, quadrivettori= tensori a 1 indice, e
sono usati anche tensori a parecchi indici.
Einstein: Le leggi della Fisica sono uguaglianze fra tensori.
Relativizzazione delle leggi fisiche= trascrizione in forma
tensoriale.
29
Campo elettromagnetico:
∂A1 ∂A2
F12 =
−
= B3
∂x2 ∂x1
∂Aν ∂Aµ
Fµν =
−
∂xµ ∂xν
∂A1 ∂A3
F31 =
−
= B2
∂x3 ∂x1
ad esempio
∂A3 ∂A2
F23 =
−
= B1
∂x2 ∂x3
∂A1 ∂A2
−
= B3
∂x2 ∂x1
∂ (−iA4 ) 1 ∂A1
∂ ( A4 ) 1 ∂A1
∂φ 1 ∂A1
E1 = −
−
=−
−
= −i (−
+
) = −iF41
∂x1 c ∂t
∂x1
c ∂ (−ix4 )
∂x1
c ∂ ( x4 )
−iF41 = E1 e analogamente − iF42 = E2
0
− B3
Fµν =
B2
iE1
B3
0
− B2
B1
− B1
iE2
0
iE3
− iF43 = E3
−iE1
−iE2
tensore antisimmetrico di rango 2.
−iE3
0
30
Equazioni di Maxwell in forma tensoriale
∂Aν ∂Aµ
Fµν =
−
∂xµ ∂xν
Dal Campo Elettromagnetico:
∂ 2 Aµ
∂ 2 Aν
∂
Fµν =
si puo' formare
−
tensore di rango 3. Altri due si
∂xλ
∂xλ ∂xµ ∂xλ ∂xν
ottengono permutando gli indici:
Con λ → µ ,µ → ν ,ν → λ ,
∂ 2 Aλ
∂ 2 Aν
∂
Fνλ =
−
,
∂xµ ∂xν ∂xµ ∂xλ
∂xµ
Con λ → ν ,µ → λ ,ν → µ ,
∂ 2 Aµ
∂ 2 Aλ
∂
Fλµ =
−
∂xν
∂xν ∂xλ ∂xν ∂xµ
Ma non sono tutti indipendenti:
∂
∂
∂
Fµν +
Fνλ +
Fλµ =
∂xλ
∂xµ
∂xν
∂ 2 Aµ
∂ 2 Aµ
∂ 2 Aν
∂ 2 Aλ
∂ 2 Aν
∂ 2 Aλ
−
+
−
+
−
=0.
∂xλ ∂xµ ∂xλ ∂xν ∂xµ ∂xν ∂xµ ∂xλ ∂xν ∂xλ ∂xν ∂xµ
31
Per capire il significato di
0
− B3
Fµν =
B2
iE1
B3
− B2
0
− B1
B1
0
iE2
iE3
∂
∂
∂
Fµν +
Fνλ +
Fλµ = 0 introduciamo i campi
∂xλ
∂xµ
∂xν
Scegliendo λ ,µ ,ν =1,2,3 e cicliche, si ha:
−iE1
−iE2
.
−iE3
0
∂
∂
∂
F23 +
F31 +
F12 =
∂x1
∂x2
∂x3
∂
∂
∂
B1 +
B2 +
B3 =
∂x1
∂x2
∂x3
divB=0.
Scegliendo λ ,µ ,ν =4,1,2 e cicliche, viene:
∂
∂
∂
F12 +
F24 +
F41 =
∂x4
∂x1
∂x2
∂
∂
∂
B3 +
(-iE 2 ) +
(iE1 ) =
∂ict
∂xi
∂x2
∂
∂
∂
B3 +
(E 2 ) −
(E1 )=0.
c∂t
∂xi
∂x2
Insomma,
1 ∂
∇∧E+
B = 0, divB =0.
c ∂t
Sono le equazioni di Maxwell omogenee.
32
Equazioni di Maxwell non omogenee:
1 ∂ 4π rotB −
E=
j , divE=4πρ
c ∂t
c
come si scrivono in forma tensoriale?
∂Aν ∂Aµ
∂
−
La divergenza
Fµν del tensore campo elettromagnetico Fµν =
∂xν
∂xµ ∂xν
e' un quadrivettore.
Equazioni di Maxwell inomogenee :
∂
4π
Fµν =
Jµ .
c
∂xν
33
0
− B3
Fµν =
B2
iE1
B3
0
− B2
B1
− B1
iE2
0
iE3
−iE1
−iE2
.
−iE3
0
∂
∂
∂
∂
F12 +
F13 =
B3 −
B2 = (rotB)1
∂x2
∂x3
∂x2
∂x3
∂
∂
∂
∂
F21 +
F23 =
B3 −
B1 = (rotB) 2
∂x1
∂x3
∂x1
∂x3
∂
∂
∂
∂
F31 +
F32 =
B2 −
B1 = (rotB)3
∂x1
∂x3
∂x1
∂x2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
F41 +
F42 +
F43 = i (
E1 +
E2 +
E3 ) = i divE
∂x1
∂x2
∂x3
∂x1
∂x2
∂x3
Trasformazione di Lorentz del tensore campo elettromagnetico
B3 − B2 −iE1
0 0 i βγ
0
γ
0
−
B
B
−
iE
0
1
0
0
1
2
Fµν = 3
F 'µν = Λ µλ Λνσ Fλσ
Λ=
B2 − B1
0
−iE3
0
0 1 0
iE
iE
iE
0
−
βγ
γ
i
0
0
2
3
1
1
γ=
.
2
v
1 − 2 Siano E , E ⊥ le componenti di E parallele e ortogonali a v:
c
analogamente definiamo B , B⊥ .
Viene che le componenti paralele non cambiamo E' = E , B' = B
1 1 E'⊥ =γ [E ⊥ + (v ∧ B)],
B'⊥ =γ [B⊥ − (v ∧ E )]
c
c
2 2
Risultano invarianti Fµν Fµν = E -B (direttamente), E.B
v v 2
E'.B' = E '.B'+γ [E ⊥ + ∧ B⊥ ][E ⊥ + ∧ B⊥ ] = E.B
c
c
usando (A ∧ B)(C ∧ D) = ( AC )( BD) − ( AD)( BC )
Una onda elettromagnetica va in una onda elettromagnetica.
35
Azione del campo elettromagnetico
S = ∫ d 4 xL(A µ ,
∂ Aµ
∂xν
). Notare che d 4 x e L sono ambedue scalari.
Infatti, d 4 x per trasformazioni di Lorentz diventa
∂xi
∂xi
4
det[{
}]d x ', ma {
} = Λ e poiche' det(Λ ) = 1, d 4 x = d 4 x '.
∂x ' j
∂x ' j
La densita' lagrangiana e' uno scalare e puo' essere presa
(Landau-Lifschitz -Teoria del Campo-paragrafo 28)
L=
i
i
Fµν Fµν − 2 jµ Aµ .
16π c
c
0
− B3
Fµν =
B2
iE1
B3
0
− B1
iE2
− B2
B1
0
iE3
jµ Aµ = JA − ρϕ .
−iE1
4
2 2
−iE2
⇒ ∑ Fµν Fµν = B − E
−iE3
µ ,ν
0
36
Azione del campo elettromagnetico libero
Consideriamo ora il campo senza sorgenti.
L=
i ∂Aν ∂Aµ ∂Aν ∂Aµ
(
−
)(
−
)⇒
16π c ∂xµ ∂xν ∂xµ ∂xν
Equazioni del moto:
∂L
∂
−
(
∂Aµ ∂xν
∂L
∂
∂L
)=−
(
)=0
∂Aµ
∂
A
∂xν
∂(
)
∂( µ )
∂xν
∂xν
1 ∂B
∂ ∂Aν ∂Aµ
∂
Fµν = 0 ⇔ divB = 0, rotE +
Si ottiene
(
−
)=
= 0.
c ∂t
∂xν ∂xµ ∂xν
∂xν
Le altre due equazioni
∂
4π
Fµν =
J µ conseguono da
∂xν
c
∂Aν ∂Aµ
Fµν =
−
∂xµ ∂xν
37
Interazione spin-orbita
Un elettrone che si muove nel campo elettrico di un nucleo sente anche un campo
magnetico.
La teoria quantistica relativistica e’ quella di Dirac, ma il fenomeno si puo’
spiegare semplicemente a livello semiquantitativo. Per un modello alla Bohr
l’elettrone cge si muove con velocita’ v vede un campo magnetico
v
Al primo ordine in
viene che le componenti paralele al moto
c
non cambiano E' = E , B' = B , ma erano nulle; nasce pero' un campo radiale
1 B'⊥ ≈ − (v ∧ E ).
c
eℏ
Lo spin dell'elettrone ha un momento magnetico µ =gµ B S ; µ B =
2mc
risulta una interazione
gµ B 1 dV
H'SO =
S .p ∧ E = 2 2
S .L
mc
m c r dr
1 dV
dV r
dato che eE=. La teoria di Dirac prevede H'SO =
S .L.
2 2
dr r
2m c r dr
Onde elettromagnetiche
φ
quadrivettore potenziale : Aµ = ( A , i )
c
ω
quadrivettore d'onda : kµ = ( k , i )
c
ikµ xµ
iΦ x
(0)
onda e.m. : Aν = Aν Re e
= Aν (0) Re e ( λ )
1
0.5
2
-0.5
-1
4
6
8
10
Φ = k • x − ω t = k µ xµ ,
ω ω
k µ = k0 = , k = k , k 4 = i ,
c
c
xµ = ( x0 = ct , x ) = ( x , x4 = ict ) ,
Dove il campo si annulla, si annulla per tutti
gli osservatori: la fase e’ scalare!
39
Effetto Doppler
40
41
Effetto Doppler
Capostazione e macchinista osservano un’onda elettromagnetica piana
monocromatica
Il treno corre con u>0
vettore
d’onda della
luce
stazione
u
θS
Asse x
Se l'angolo misurato dal capostazione θS = 0
il treno con u>0 si allontana dalla sorgente
42
Se θS = π
il treno si avvicina alla sorgente
stazione
θS
u
Asse x
vettore
d’onda della
luce
Se θS =
π
2
la sorgente e' allo zenit
Effetto Doppler
Treno che corre lungo l’asse x con velocita´u.
una sorgente luminosa monocromatica di pulsazione ωS
emette una onda elettromagnetica di vettore d' onda k S .
k S fa´un angolo θ S con l'asse x, pulsazione ωS = ck S
ω
ω
ωS
kS =
cos (θ S )
k S = S sin (θ S ) ( k S )0 = S
x
y
c
c
c
Capostazione:
( )
stazione
( )
u
44
Effetto Doppler
Capostazione:
una sorgente luminosa monocromatica di pulsazione ωS
ferma nella stazione emette una onda elettromagnetica di vettore d' onda kS . ωS = ck S
k S fa´un angolo θ S con l'asse x,
ωS
ωS
ω
kS =
cos (θ S )
kS =
sin (θ S ) k S = S
x
y
0
c
c
c
( )
( )
( )
Il treno corre lungo l’asse x con velocita´u.
una sorgente luminosa monocromatica di pulsazione ωT
emette una onda elettromagnetica di vettore d' onda k T . ωT = ck T
k T fa´un angolo θ T con l'asse x,
ωT
ωT
ω
kT =
cos (θ T )
kT =
sin (θ T ) k T = T
x
y
0
c
c
c
Macchinista:
( )
( )
( )
ω
ω
quadrivettore d'onda : kµ = ( k , i ) k0 =
c
c
45
Applichiamo a k la trasformazione di Lorentz:
xT = γ ( xS − βctS ) yT = yS x0T = γ [ x0S − β xS ] :
(kT )x = γ ( (kS )x − β (kS )0 ) (kT ) y = (kS ) y (kT )0 = γ [ (ks )0 − β (kS )x ].
k
( )
S
x
=
ωS
c
k
( )
cos (θ S )
S
y
=
ωS
c
sin (θ S )
k
( )
S
0
=
ωS
c
⇒
ω
ω
ω
ω
ω
( kT )x = γ S cos (θ S ) − β S ( kT ) y = S sin (θ S ) ( kT )0 = γ S − β S cos (θ S )
c
c
c
c
c
Mettiamoci: k
( )
T
x
=
ωT
c
cos (θ T )
k
( )
T
y
=
ωT
c
sin (θ T )
k
( )
T
0
=
ωT
c
ω
ω
ω ωT
ω
ω
ωT
cos (θ T ) = γ S cos (θ S ) − β S
sin (θ T ) = S sin (θ S )
= γ S − β S cos (θ S )
c
c c
c
c
c
c
c
ωT
ωT cos (θ T ) = γωS ( cos (θ S ) − β
)
u
ωT sin (θ T ) = ωS sin (θ S ) ωT = γωS 1 − cos (θ S )
c
46
ωT cos (θ T ) = γωS ( cos (θ S ) − β
)
ωT sin (θ T ) = ωS sin (θ S ) ωT = ωSγ 1 − β cos (θ S )
dalle componenti x,y
ωT cos (θT ) = γωS ( cos (θS ) − β )
ωT sin (θT ) = ωS sin (θS )
tan (θT ) =
sin (θS )
γ [cos (θS ) − β ]
θT ≈ θS + β sin (θS ) per β ≪ 1,
aberrazione della luce
L’effetto Doppler
trasversale (θS = π/ 2 ) avviene ad
esempio se il rivelatore ruota
intorno alla sorgente. Questo non
e`previsto dalla Fisica prerelativistica. Si sono fatte le
verifiche sperimentali che hanno
confermato la teoria di Einstein.
Pulsazione : ωT = γωS 1 − β cos (θ S ) π
θs =
2
= γωS =
ωS
u
1−
c
2
47
Effetto doppler longitudinale (θS=θT=0):
allontanamento
ωT = γωS [1 − β ] = ω S
[1 − β ]
[1 − β ]
2
= ωS
u
1−
c
u
1+
c
Il macchinista vede luce spostata verso il rosso
avvicinamento alla sorgente,
ωT = ω S
v
1+
c
v
1−
c
Il macchinista vede luce spostata verso il blu
48
Meccanica relativistica
Consideriamo un punto materiale libero di massa m0; questa e` la massa di
riposo, misurata nel sistema in cui il corpo e`in quiete.
Procediamo in modo induttivo, cercando una relativizzazione del principio
variazionale classico di minima azione δS = 0.
Logico aspettarsi S scalare, cosi’ la legge e’ uguale per tutti
S = −m0 c
2
∫
tb
ta
dτ = − m0 c
2
∫
2
v
dt 1 − 2
c
tb
ta
C’e’ una lagrangiana,
S=∫
tb
ta
dtL( v), L( v) = − m0 c
m0 v 2
v2
2
v << c ⇒ L( v) ≈ −m0 c (1 − 2 ) = −m0 c +
2
2c
2
2
v2
1− 2
c
e la costante
non conta
4949
2
L( v) = −m0 c
2
v
1− 2
c
m0 v
∂L
⇒ p= =
∂v
≡ mv
v2
1− 2
c
m= m 0 per piccole velocita, ma diverge per v → c; quindi
c=velocita' limite, irraggiungibile per i corpi dotati di massa.
2
E = p.v − L = mc
1
per v ≪ c , E ≈ m0 c + m0 v 2 + .....
2
e non c'e' costante arbitraria,
E
pµ = m0 wµ = ( p , i )
quadrivettore
c
⇒ m0 c 2 energia di riposo
2
c = 3 1010 cm / s ⇒ m0 c 2
= 9 10 20 m0
erg
50
Reazioni chimiche
H + H → H 2 + 2.4 eV
mp c 2 ≈ 109 eV = 1GeV
H2
piu ' leggero di H + H
difetto ≈ 10 −9
Reazioni nucleari
6
3
2
1
4
2
Li + H → 2 He + 22.4 MeV
0.3% della massa va in
energia
51
An induced nuclear fission event.
A neutron is absorbed by the nucleus of a uranium-235 atom,
which in turn splits into fast-moving lighter elements
(fission products) and free neutrons.
Fusione:
52
Equazione d’onda relativistiche
Equazione di Klein-Gordon
H 2 = p 2 c 2 + m2 c 4 suggerisce l'equazione di Klein-Gordon
2
∂
[−ℏ 2 c 2∇ 2 + m2 c 4 ]ψ =-ℏ 2 2 ψ
∂t
Questa descrive particelle senza spin come i pioni.
Equazione di Dirac
∂
A
−iℏ t cσ .p ψ A
ψ
2
∂
B = −mc B
∂ ψ
ψ
−cσ .p
iℏ
∂t
Questa descrive particelle di spin ½ come gli elettroni; gli spinori hanno 4
componenti.. Ambedue le particelle hanno soluzioni di energia negativa e di
energia positiva e vanno interpretate come equazioni di campi particellaantiparticella; ma questo ci porterebbe troppo lontano.
Meccanica quantistica relativistica:
Spin 0
Spin ½
Spin 1
Spin 3/2
Klein-Gordon
Dirac, Weyl per m=0
Proca, Maxwell per m=0
Bargmann-Wigner
+
hν + hν → e + e
−
creazione di coppie
54
Relativita’ Generale
Principio di relativita’ esteso a sistemi non inerziali +principio di equivalenza
Gravita’ , effetto lente, buchi neri, cosmologia ma anche gps.
La piu’ bella teoria secondo L Landau
