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Capitolo 6. Studenti liceali e meccanica quantistica
IL RAGIONAMENTO DEGLI STUDENTI E IL FORMALISMO
DELLA MECCANICA QUANTISTICA
Alberto Stefanel
Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine
1. Introduzione
Il formalismo matematico in meccanica quantistica (QM) dà significato a concetti, entità e grandezze
fisiche (Auletta 2001), come si riconosce ripercorrendo la nascita e la storia della teoria quantistica
(Ghirardi 2004) e come emerge dalla stretta interconnessione tra aspetti concettuali/teorici e aspetti
formali che li rappresentano (Styer at al. 2002; Newton R. G. 2004). Ad esempio concetti fondamentali della meccanica quantistica, come l’entanglement quantistico o la non-località, furono riconosciuti e realmente capiti nelle loro implicazioni solo dopo che la teoria fu completata nella sua formulazione definitiva.
Assunta la necessità di includere QM nei curricola scolastici, come oramai previsto nella maggioranza dei paesi (ad esempio per l’area OCSE: Cern 2002) e come oramai riconosciuto da ampia parte
della ricerca didattica (Zollman 1999), l’insegnamento della QM nella scuola secondaria superiore
non può prescindere dall’esplicitare la connessione tra formalismo e concetti. Nonostante sia oramai relativamente ampia la letteratura su come gli studenti apprendono i concetti della meccanica
quantistica, sono stati evidenziati solo pochi risultati riguardanti il ruolo del formalismo nella comprensione dei concetti.
Müller -Wiesner (2002) hanno trovato che gli studenti, seguendo percorsi didattici tradizionali, interpretano x e p nelle relazioni di Heisenberg prevalentemente come: indeterminazioni o disturbi di
misure. Analoghi risultati sono stati ottenuti da Fletcher-Johnston (1999), che hanno inoltre specificato che gli studenti (almeno 90% del loro campione) “non guardano all’indeterminazione come a
un nuovo concetto”.
Il gruppo di Niedderer ha trovato un “livello piuttosto basso” della comprensione qualitativa della
funzione d’onda e della equazione di Schrödinger. Tipiche asserzioni degli studenti sono del tipo:
“L’elettrone non è in alcuna posizione, la sua posizione può essere approssimativamente descritta da
psi”. È stato anche analizzato l’implicito legame tra !(x) e la posizione: soltanto ¼ circa del campione ha usato la funzione d’onda in accordo con QM, ½ ha usato prevalentemente una concezione
puramente classica di traiettoria, ¼ ha usato qualche concezione intermedia con elementi di traiettoria e di statistica (Niedderer et al. 1995,1997). Gli approcci degli studenti alla probabilità in QM
sono: algoritmico (strumento per risolvere problemi); descrittivo-causale (comprensione della distribuzione come ricostruzione passo dopo passo di un processo); probabilità come inaccuratezza (Niedderer et al. 1999). Bao e Redisch (2002) hanno messo in evidenza una connessione tra le difficoltà
sulla comprensione della interpretazione probabilistica di psi e una limitata comprensione della probabilità classica. Il PERG dell’Università di Maryland ha trovato anche che molti studenti di college
attribuiscono una natura reale-materiale alla funzione d’onda (Steinberg et al. 1999). Singh (2001)
ha messo in luce difficoltà degli studenti di college in merito a: utilizzo del principio di sovrapposizione, attribuzione di significato alla funzione d’onda, distinzione tra stato, sua rappresentazione
formale, autovalore associato (associabile) a detto stato.
A partire da questo scenario, sono stati condotti in Italia diversi studi con i ragazzi di ultimo anno di
scuola secondaria superiore mirati a esplorare come gli studenti affrontano i nodi quantistici (Stefanel 2001; Michelini 2008; Michelini et al. 2004; Michelini, Stefanel 2008, 2010).
Lo studio qui presentato mira a mostrare come gli studenti affrontano il formalismo vettoriale quantistico e lo correlano con i concetti della QM. Si documentano e discuteno i risultati emersi dai dati
raccolti e analizzati con diversi strumenti e metodi.
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2. Problemi di ricerca
Il presente studio si focalizza sui seguenti problemi di ricerca.
RQ1. Come gli studenti correlano i concetti con la corrispondente rappresentazione formale?
Siamo interessati a individuare che cosa attiva questa correlazione in particolare in merito a: interpretazione probabilistica delle misure quantistiche; la rappresentazione vettoriale di uno stato e il principio di sovrapposizione; il significato di autovalore/autovettore.
RQ2. Come gli studenti usano il formalismo quantistico per rappresentare i concetti?
Il nostro obiettivo è di esplorare come gli studenti manipolano e usano il formalismo per andare a
fondo nella comprensione dei concetti quantistici.
RQ3. Quali aspetti matematici sono risonanti con i modi di pensare e comunicare da parte degli studenti ai concetti quantistici?
Il nostro obiettivo è di individuare quali aspetti formali possono essere utili nell’organizzazione concettuale degli studenti.
3. Strumenti, Metodi, Contesti
Sono stati utilizzati otto differenti strumenti per condurre la ricerca, raccogliere dati e seguire i processi di apprendimento degli studenti. Qui discuteremo in particolare: il percorso didattico; le schede
studente; il Pre/Post test; le brevi composizioni scritte prodotte dagli studenti due mesi dopo la fine
della sperimentazione.
3.1 Il percorso didattico
Si richiamano qui gli elementi principali del percorso didattico focalizzando in particolare sugli aspetti
legati allo sviluppo del formalismo quantistico di base, rimandando ad altri lavori per la sua presentazione dettagliata. Le sperimentazioni sono state condotte seguendo un percorso di insegnamento/apprendimento della meccanica quantistica sviluppato in precedenti ricerche che segue un approccio alla Dirac
(Ghirardi et al. 1995,1997; Michelini et al. 2000; Michelini, Stefanel 2004; Michelini 2008).
Mira a costruire i concetti quantomeccanici fondamentali con: uno sviluppo verticale, dalla fenomenologia al formalismo; uno sviluppo orizzontale, dagli spazi vettoriali bi-dimensionali degli stati di
polarizzazione (Michelini, Stefanel 2006), alla generalizzazione in spazi n-dimensionali (Michelini,
Stefanel 2004; Michelini 2008, Michelini et al. 2008). Qui ci focalizziamo sui passaggi che portano
all’introduzione del formalismo.
Il primo passo è la rappresentazione degli stati di polarizzazione dei fotoni con una freccia. Questa
freccia, rappresentata da un vettore, può essere utilizzata per valutare le previsioni probabilistiche
delle misure (legge di Malus), usando il quadrato di un prodotto scalare. Vettori mutuamente ortogonali sono associati a proprietà di polarizzazione mutuamente esclusive.
La rappresentazione formale del principio di sovrapposizione lineare quantistico emerge come sviluppo di un vettore di stato di polarizzazione u, secondo due vettori base v e v": u= 1 v"+ 2v.
Le ampiezze 1 e 2 sono associate alla probabilità di transizione dallo stato u agli stati v" o v e fornisce una rappresentazione alternativa degli stati (il formalismo della funzione d’onda). Partendo da
questa rappresentazione è facile far emergere la natura non classica della probabilità quantistica (interferenza quantistica). Usando i concetti di stati ortogonali e di prodotto scalare, i risultati formali vengono generalizzati estendendo quanto ottenuto per n=2 al caso in cui n sia qualsiasi (al limite #).
L’ultimo passo suggerisce di analizzare un Polaroid come selettore di stato, rappresentato da un proiettore di vettori di stato della forma P̂v"= v"v" o P̂v=vv . Si costruisce quindi un operatore più generale Ô=$1vv + $2v"v" , di cui si riconosce il ruolo quando si va a determinare il valore di aspettazione di una osservabile quantistica (la polarizzazione). La generalizzazione di questo risultato completa il percorso.
3.2 Schede per studenti
Sono state utilizzate cinque schede (WS) basate sull’inquiry strategy e utilizzate dagli studenti durante
la sperimentazione (Michelini M. et al. 2008): WS1-2-3 mirano all’esplorazione e costruzione dei con-
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cetti; W4-5 mirano a creare un ponte tra concetti e rappresentazione formale. In tabella 1 vengono riepilogati gli obiettivi e principali nodi affrontati nelle schede WS4-5.
WS4 – Vettori e stati quantistici
Nodi
WS5 – Operatori lineari e osservabili Þsiche
Nodi
• Interpretazione probabilistica della legge di Malus
e quadrato del prodotto scalare
• Vettori di stato
• Principio di sovrapposizione
• Ruolo dell’ampiezza di probabilità
• Interferenza quantistica
• Conclusioni
•
•
•
•
•
•
•
Riepilogo del principio di sovrapposizione
Polaroid come proiettori
Proiettori: vv , v"v"
Operatore: Ô=[g1(vv )+g2(v"v" )]
Operatori lineari e osservabili Þsiche
Valore di aspettazione di un’osservabile
Autovettori e autovalori di un operatore lineare
Tabella 1. - Nodi concettuali considerati nelle schede WS4 e WS5.
3.3 Il Test
Il questionario, utilizzato come pre/post test, comprende 15 quesiti: 2 quesiti a risposta aperta, 13
quesiti a risposta a scelta multipla (solo una risposta considerata esauriente) e spiegazione della scelta
fatta. I primi sette quesiti riguardano i concetti e sono stati discussi in altri lavori (Michelini, Stefanel 2008, 2010); ulteriori tre quesiti riguardano la fenomenologia dei fotoni; i cinque quesiti rimanenti riguardano il formalismo.
Qui focalizziamo sul quesito 8, sull’interpretazione probabilistica di !, e sul quesito 14, sul significato fisico di autovettori e autovalori.
3.4 La simulazione di esame finale
Due mesi dopo la fine della sperimentazione, è stata proposta la seguente richiesta aperta in occasione di una simulazione ufficiale dell’Esame di Stato Conclusivo (quesito di terza prova):
Discutere il significato dell’associazione operatori-osservabili fisiche in meccanica quantistica, in
particolare mostrando il ruolo che gli operatori hanno nella determinazione del valore di aspettazione di una osservabile fisica di un sistema e il significato fisico di autovalori e autovettori dell’operatore.
3.5. Metodologia di analisi
È stata valutata la frequenza delle tipologie di risposte per i quesiti a risposta a scelta multipla. Le
domande aperte, incluso il componimento finale scritto, sono state analizzate in tre passi: individuazione di categorie di risposte (definite a priori e riviste a posteriori); classificazione di ogni risposta in una categoria in base agli elementi prevalenti/caratterizzanti; valutazione delle frequenze per
ciascuna categoria.
3.6 Il contesto
Il percorso didattico è stato proposto a 17 studenti, di 18 anni, in una classe quinta di una scuola superiore di Udine. Il campione, lo stesso di un precedente lavoro focalizzato sulla concettualizzazione
(Michelini, Stefanel 2010), è composto da 16 studenti che hanno seguito l’intero modulo.
In base alla valutazione iniziale dell’insegnante di classe, il livello degli studenti era medio-alto; essi
avevano seguito un corso di studi quinquennale di fisica, avendo esperienza di costruzione dei concetti dagli esperimenti e conoscevano già la fenomenologia della polarizzazione della luce.
4. Dati e resultati
4.1 WS4-Punti 1-2
Gli studenti sono invitati ad analizzare la seguente situazione: un fascio di fotoni interagisce con due
Polaroids allineati con il fascio stesso. Viene richiesto agli studenti di A) valutare la probabilità P di
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trasmissione dei fotoni, B) correlar tale probabilità con il prodotto scalare tra i versori U e W, che
formano un angolo " e che rappresentano le direzioni permesse di ciascuno dei due polaroid. Viene
suggerito di C) rappresentare lo stato dei fotoni trasmessi dal primo Polaroid con un vettore u//U e
D) gli viene richiesto di indicare se questa associazione è sufficiente per riprodurre i risultati sperimentali e E) se il versore u può essere usato per rappresentare lo stato dei fotoni.
A) Tutti gli studenti hanno valutato P come P=cos2", B) collegando questo risultato con (U W)2
(11/16 degli studenti), o ripetendo cos2" (5/11); C) Tutti hanno scelto l’opzione per cui lo stato del
fotone è definito solo da U (16/16). D) Considerano sufficiente l’associazione dello stato iniziale
al vettore u per riprodurre i risultati sperimentali. E) Le categorie di motivazioni esemplificano the
diversi modi con cui gli studenti si avvicinano al formalismo: G1) modalità geometrica, in cui il riferimento è la geometria piana elementare (“Sì, abbiamo bisogno solo dell’angolo”) (8/16); corrispondenza fisica/operativa, il riferimento è l’apparato fisico (“Sì, perché il primo Polaroid non dipende
dal secondo “) (5/16); G3) modalità descrittiva/concettuale, in cui il riferimento è il concetto di stato
(“Quando conosco lo stato dei fotoni, posso riprodurre i risultati sperimentali per ogni orientazione
dei polaroid”) (3/16).
WS4-Punto 3
Viene proposto agli studenti di discutere il seguente aspetto: “La probabilità P rappresenta la probabilità di transizione tra due stati dei fotoni: Chiarisci questa asserzione alla luce del formalismo introdotto”. Le categorie di risposte sono state: A) formula-“P=(U W)2“ (2/16); B) mescolamento delle
modalità G1-geometrica e G3-concettuale: “La probabilità P è rappresentata dalla probabilità che ha
un fotone di transire da uno stato U a uno stato W in relazione all’angolo di trasmissione "" (3/16);
C) G3-modalità concettuale-“Se il fotone è trasmesso dal 2° polaroid è transitato in uno stato w//W
se non è trasmesso transita in uno stato che è mutuamente esclusivo di w//W. La probabilità di trasmissione corrisponde a quelle di transizione di stato” (5/16); D) Nessuna risposta (6/16).
WS4-Conclusioni
A conclusione della scheda, agli studenti viene richiesto di: A) “Riepiloga le conclusioni raggiunte
in questa scheda discutendo brevemente il caso dello stato di polarizzazione a 45º (rappresentato dal
vettore u45) considerato come sovrapposizione degli stati h e v, rappresentati rispettivamente dai versori v" e v; B)”. “Concludi questa scheda riepilogando il significato fisico e l’espressione formale
del principio di sovrapposizione quantistico”.
Gli studenti non hanno risposto ai singoli quesiti separatamente, ma piuttosto limitandosi a un’unica
risposta per entrambe le richieste e facendo riferimento al solo caso della polarizzazione. Si possono
riconoscere quattro categorie di risposte: CA) Sovrapposizione (“U=!1v+!2v": il versore U può
essere visto come sovrapposizione di stati v e v" il prodotto u u=1. !1 e !2 caratterizzano tutte le
possibili sorti del fotone che è in uno stato di sovrapposizione di stati” (6/16); CB) Formula (incompleta/incorretta) (2/16); CC) Asserzione (“U=!1v+!2v": il versore u può essere visto come sovrapposizione di stati u e h il prodotto u u=1 psi1 e psi2 caratterizzano tutte le possibili sorti del fotone
che è in uno stato di sovrapposizione di stati Il vettore U45 deve essere considerato come uno stato di
sovrapposizione di vettori mutuamente esclusivi (v", v)” (6/16); Nessuna risposta (2/16).
4.2 WS5
Consideriamo solo il seguente quesito: “Riconosci una correlazione tra questo risultato formale [il
proiettore che agisce su un vettore] e l’azione di un polaroid con asse di trasmissione lungo V su un
fascio di fotoni preparato in uno stato generico rappresentato da u’? (Illustra la risposta)”.
Le categorie di risposte degli studenti sono state: O1) legame funzionale (5/16)- “Sì, perché dal polaroid con asse di trasmissione V passano solo i fotoni con polarizzazione v e (vv ) proietta u su v nel
caso in cui i fotoni abbiamo polarizzazione v. In entrambi i casi i fotoni negli stati ortogonali non passiamo”; O2) Identificazione (4/16)- “dovrebbe rappresentare il fenomeno della polarizzazione, poiché un polaroid fa passare 1 fotone dallo stato U allo stato V”; O4) Geometrica (4/16)- “maggiore
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è l’angolo tra u e v (cioè minore è la proiezione), minore sarà la proiezione, minore sarà la probabilità che il fotone venga trasmesso”; O4) Transizione di stato (2/16)-” il polaroid fa passare il fotone
dallo stato u allo stato v”; O5) Nessuna risposta (1/16).
4.3 Test
Per quello che riguarda il quesito 8, tutti gli studenti, dopo la sperimentazione, hanno associato !(x)
all’informazione probabilistica. Per quello che riguarda il quesito 14, gli studenti prevalentemente
riconoscono il significato fisico degli auto vettori (13/16) e solo in pochi casi hanno considerato gli
autovettori come stati particolari di un sistema che si realizzano raramente (2/16), generici stati del
sistema (1/16). Gli studenti hanno considerato gli autovalori come: numeri associati alla probabilità
di ottenere i risultati delle misure di un osservabile A (8/16); numeri che hanno un immediato significato fisico (2/16); i possibili valori che sono ottenuti misurando un’osservabile A (5/16). Meno di
1/3 ha riconosciuto il significato di auto valori, facendo emergere in prevalenza un’associazione con
la probabilità.
4.4 Simulazione dell’esame finale
In merito al breve testo aperto che gli studenti hanno redatto nella simulazione di prova d’esame finale:
circa 60% del campione mostra competenza nel manipolare autonomamente gli operatori, riconoscendone anche il ruolo nella QM; una larga maggioranza di studenti è stata in grado di identificare
che cosa sia un autovettore, associandolo o al suo significato fisico (Gli autovettori sono: “I possibili
stati” “dopo la misura” (9/16)) o al suo significato geometrico (“Gli autovettori dell’operatore sono
i vettori a cui si associa un operatore e dà un vettore proporzionale al vettore stesso” (8/16)). 11/16
studenti hanno riconosciuto anche il ruolo degli autovalori (un risultato migliore di quello riscontrato nel test sullo stesso nodo); solo 5/16 hanno identificato gli autovalori con ampiezze di probabilità, stati, valori di aspettazione.
5. Conclusioni
È stato condotto uno studio su come gli studenti di scuola secondaria superiore affrontano il formalismo quantomeccanico. In una classe pilota di 17 studenti dell’ultimo anno di un liceo Scientifico è
stato proposto un progetto basato sulla ricerca che utilizza un approccio alla Dirac della meccanica
quantistica. Il percorso didattico propone lo sviluppo dei concetti e quindi l’introduzione del formalismo di base della meccanica quantistica nel semplice contesto fenomenologico della polarizzazione
per poi generalizzare i risultati in altri contesti. I dati sono stati raccolti da differenti fonti: schede
stimolo compilate dagli studenti durante la sperimentazione; pre/post test; un breve testo scritto in
forma aperta dagli studenti come simulazione di terza prova.
Dai dati emerge che gli studenti non hanno difficoltà ad analizzare la fenomenologia della polarizzazione e a manipolare autonomamente il semplice formalismo bidimensionale degli stati di polarizzazione. Tale contesto ha avuto la funzione di ancora per il loro sviluppo concettuale e la costruzione di pensiero formale. In particolare ciò è avvenuto laddove gli studenti hanno potuto riconoscere
nella fenomenologia plausibilità e significato degli strumenti formali da introdurre, come si è visto
nel legame attivato tra previsioni probabilistiche e il prodotto scalare, il legame polaroid-proiettori.
Nello studio presentato gli apprendimenti degli studenti sono prevalentemente riferiti al contesto della
polarizzazione, evidenziando la necessità offrire ulteriori contesti rispetto a quello ancora. RQ1)
Sono state individuate quattro modalità su come gli studenti si avvicinano al formalismo (RQ2):
• La modalità formula (Le regole quantistiche sono ridotte a formule matematiche)
• La modalità geometrica (Le regole quantistiche acquistano significato perché esse possono essere
interpretati geometricamente)
• La modalità descrittiva/concettuale (La necessità di dare una descrizione a parole delle regole
quantistiche prevale sulla loro esplicitazione in termini formali)
• La corrispondenza fisica (tra concetto quantistici e rappresentazione matematica)
Gli studenti che si sono avvicinati al formalismo secondo la prima modalità, avevano in precedenza
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manifestato una modalità geometrica. Essi non hanno evidenziato una effettiva connessione tra concetti e formalismo. La seconda e la terza modalità sono modi naturali di pensare per alcuni studenti,
che rappresentano in molti casi ponti verso la costruzione di rappresentazioni matematiche dei concetti.
Gli elementi matematici che risuonano con i modi di pensare degli studenti sono (RQ3): il prodotto
scalare e la probabilità di transizione; il vettore di stato e la combinazione lineare per esprimere il
principio di sovrapposizione; ! per correlare il formalismo vettoriale e la probabilità di transizione;
auto vettori come possibili stati dopo una misura.
D’altra parte, il concetto di autovalore e il suo esplicito legame con proprietà mutuamente esclusive
e stati ortogonali sono gli aspetti formali maggiormente critici, come emerso in altri studi. Da questo studio emerge l’indicazione che ciò possa essere correlato alla modalità geometrico/concreta con
cui alcuni studenti si avvicinano al formalismo.
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