PRINCIPI
All'introduzione storico-critica dei concetti fondamentali, facciamo seguire, adesso, una serie di considerazioni che, in genere, si ammettono implicitamente in un primo studio della Dinamica.
Queste considerazioni, che si articoleranno sostanzialmente in una serie di assunzioni, non hanno la
pretesa di essere formalmente complete, pero, cos facendo, speriamo di rendere, da un lato, piu chiara
l'articolazione dei principi, dall'altro, poi, permetteranno di sviluppare la Meccanica in modo piu naturale.
Abbiamo visto che l'arena dove si svolgono i fenomeni Meccanici e lo spazio-tempo. Allo spazio, in
cui valgono gli usuali postulati della geometria euclidea, si e riferita una terna di assi cartesiani levogira
(O; x; y; z ), mentre il tempo e stato messo in corrispondenza biunivoca con l'asse reale sistema di ascisse
temporali. Le misure spaziali si eseguono con un regolo graduato (metro), mentre gli intervalli temporali
vengono misurati con un orologio; l'insieme di un metro e di un orologio viene detto, poi, un osservatore.
Massa
Nello studio della Cinematica e stato introdotto il concetto di punto materiale il quale risultava,
per cos dire, privo di ogni struttura; nello sviluppo della Meccanica e necessario arricchire la struttura del
punto materiale, pensando che ad esso venga associato un numero, essenzialmente positivo, detto massa
del punto, cioe assumiamo che ad ogni punto materiale P si possa associare un numero reale positivo mp
detto la massa di P . Assumiamo come primitivo il concetto di massa e che, inoltre, i fenomeni di moto (o
di quiete!) cui puo essere interessato il punto P non ne alterano la massa mp .
Universo e sistema materiale
Assumiamo che l'universo sia costituito da punti materiali. Deniremo, poi, sistema materiale un
qualunque aggregato, insieme, di punti materiali.
Sistema materiale particellare
Un sistema materiale costituito da un numero nito di punti materiali viene detto sistema materiale
particellare.
Sistemi materiali continui
Sebbene l'intero universo sia esso stesso un sistema materiale particellare - con un numero grandissimo
di punti materiali - e opportuno pensare che i punti materiali di alcuni sistemi si possano disporre secondo
curve, superci o volumi, dando luogo ai cosiddetti sistemi materiali unidimensionali, bidimensionali o
tridimensionali. Naturalmente i sistemi materiali continui schematizzano quei particolari sistemi materiali
per cui accade rispettivamente che: una dimensione e prevalente rispetto alle altre due: funi, verghe, travi,
: : :; due dimensioni sono maggiori rispetto alla terza: piastre, membrane, volte, etc. : : :; continui
tridimensionali per i quali tutte e tre le dimensioni sono comparabili.
Frammentazione e pezzi
Una qualunque partizione di un sistema materiale si chiama, piu propriamente, frammentazione e ciascuno elemento della partizione si suole chiamare pezzo o frammento del sistema materiale. Ammetteremo
che una frammentazione di un sistema continuo unidimensionale, bidimensionale o tridimensionale dia luogo
a frammenti dello stesso tipo. Da quanto detto segue che un qualunque sistema materiale e costituito da
pezzi che possono essere punti materiali, sistemi continui unidimensionali, bidimensionali o tridimensionali.
Esterno
Assegnato un sistema materiale, si denisce esterno di esso il sistema materiale costituito dai punti
dell'universo che non fanno parte del sistema.
Massa di un sistema continuo
Per denire la massa di un sistema materiale continuo S , si postula l'esistenza di una funzione del posto
h (P ) - P 2 Ch , h = 1; 2; 3 - essenzialmente positiva, detta la densita di S , tale che:
Z
mS = h (P )dCh :
Ch
1
L'integrale essendo esteso al campo Ch uni - h = 1 -, bi - h = 2 -, tridimensionale - h = 3 - invaso dal
continuo S . La funzione h (P ) si chiama densita lineare, superciale o cubica, secondo che h = 1; 2 o 3.
Un sistema continuo si dice omogeneo se la sua densita e indipendente da P . Dimostrare che in un sistema
omogeneo la massa e proporzionale alla lunghezza, alla supercie o al volume che esso occupa, secondo che
il sistema e uni, bi o tridimensionale.
Massa di un sistema qualunque
Se S = fSi g e un qualunque sistema materiale costituito dai sistemi Si di masse mSi , allora si postula
che la massa di S valga:
mS =
X
i
mSi ;
cioe, la massa di un sistema qualunque e pari alla somma delle masse dei sistemi di cui e costituito -additivita
di massa -; in particolare, se S e un sistema particellare S = fPi g,
mS =
X
i
mPi :
Forza
Consideriamo due punti materiali P e Q dell'universo: si ammette che l'azione che Q, detto punto
potenziante, esplica sul punto P , detto punto potenziato, sia rappresentabile da un vettore applicato in
P (P; FQ=P )
detto forza esplicata da Q su P . Si ammette, inoltre, che se il punto P e soggetto all'azione dei punti di
un sistema S , uni, bi o tridimensionale, allora la forza esplicata da S su P e data dal vettore applicato
in P (P; FS=P ), dove:
(1)
FS=P =
Z
Ch
Fh dCh :
Il signicato di Ch e quello che abbiamo gia visto mentre Fh e una funzione vettoriale denita in Ch , che
prende il nome di densita lineare, densita superciale o densita volumica di forza, secondo che h vale
1, 2 o 3.
Additivita delle forze
Se S e un sistema materiale ed fSi g una sua frammentazione in pezzi che sono punti materiali, continui
uni, bi o tridimensionali, allora l'azione che essa esplica su un punto materiale P , che non fa parte di S , si
assume essere pari a:
X
FS=P = FSi =P ;
i
nota come additivita delle forze.
Forza agente su un punto materiale
Si denisce, inne, forza agente sul punto materiale P , l'azione che il sistema costituito da tutto
l'universo eccetto P esplica su P ; cioe si pone:
FP = F U
(
avendo indicato con U P il comlementare di P:
Forze a contatto ed a distanza
2
P )=P
:
L'analisi di come le forze agiscono su un punto, ci conduce a classicare le forze, in base al loro modo
di esplicarsi, in forze a contatto e forze a distanza. Se assumiamo come distanza tipica quella del raggio
molecolare, circa 10 5 cm, e spontaneo ripartire U P in punti appartenenti al sistema SC che hanno
distanza da P paragonabile a quella del raggio molecolare ed in punti appartenenti al sistema Sd che distano
da P una distanza maggiore a quella del raggio molecolare; si dice allora che i punti di SC esplicano su P
una forza detta di contatto, mentre i punti di Sd una forza a distanza.
Pertanto, a formare la forza agente su P contribuiscono le forze di contatto e le forze a distanza.
Inoltre, si ammette che le forze di contatto vanno rapidamente a zero allorche la distanza di P da SC supera
il raggio molecolare e, analogamente, per le forze a distanza si ammette che esse tendono a zero allorche P
si allontana dai punti di Sd . Va osservato, quindi, che a contribuire alla formazione della forza agente su P
sono essenzialmente non tutti i punti di U P , ma quelli che si trovano, in un senso da specicare di volta
in volta, nelle vicinanze di P .
Legge della forza
Finora abbiamo assunto che la forza agente su un punto materiale P sia rappresentabile dal vettore
applicato (P; FP ). Tuttavia, sebbene diverse proprieta siano state ammesse nei paragra precedenti per il
vettore FP , non abbiano ancora specicato la dipendenza funzionale di esso; assegnare questa dipendenza,
che in denitiva si basa su fatti sperimentali e sulle proprieta ammesse in precedenza, e cio che si chiama
assegnare la legge della forza. Si ammette che rispetto al riferimento (O; x; y; z ) la forza possa dipendere
dalla posizione del punto, dalla velocita di esso e dal tempo; non escludendo tuttavia, che tale dipendeza
possa eventualmente dipendere da altri parametri caratterizzanti P e l'esterno di P .
In denitiva, si ammette che rispetto al riferimento (0; x; y; z ) la forza agente su P e esprimibile come:
FP = FP (OP; vP ; t):
Invarianza della forza
Il carattere intrinseco - di azione esplicata fra punti materiali - della forza, porta a postulare per la legge
della forza il seguente principio di invarianza rispetto ai sistemi di riferimento (O; x; y; z ) e (O0 ; x0 ; y0 ; z 0 )
in moto rigido l'uno rispetto all'altro; la dipendenza funzionale della forza F0P e la stessa di quella di FP ;
purche si sostituiscano in F0P le variabili posizione, velocita,: : : rispetto al sistema (O0 ; x0 ; y0 ; z 0 ) con quelle
del sistema (O; x; y; z ).
Naturalmente le componenti della forza, posizione, velocita,: : :, passando da un sistema di riferimento
all'altro variano con la legge di variazione delle componenti di un vettore al variare della base. E opportuno,
inoltre, ricordare che abbiamo gia assunto che la variabile tempo, passando da un riferimento ad un altro
resta invariata a meno di una costante, cioe t0 = t + k.
Legge di gravitazione universale
La legge della forza a distanza, legge di gravitazione universale, che un punto Q di massa mQ esplica
sul punto P di massa mP , stabilita da Newton e confermata da innumerevoli esperimenti e:
mQ mP vers(PQ);
Q mP
FQ=P = G jmPQ
PQ
=
G
j
j PQ j
3
2
dove G e una costante, indipendente dalle masse dei punti P e Q, detta costante di gravitazione
universale.
Dalla legge di gravitazione universale si evince che le forze a distanza diminuiscono notevolmente con
l'aumentare della distanza fra il punto che la esplica ed il punto che la subisce e, a causa della piccolezza
di G, questa forza si manifesta in maniera sensibile quando le masse mP o mQ sono assai elevate.
In generale, comunque, la legge della forza che agisce su P va assegnata di volta in volta. Tuttavia, la
legge di gravitazione universale, le proprieta generali che abbiamo postulato per la forza e le osservazioni
sperimentali, consentono in molti casi di stabilire la legge della forza.
Esercizi
3
Vericare l'invarianza della legge di gravitazione universale.
Determinare la forza gravitazionale che subisce un punto P di massa mP a causa della presenza dei
punti Q1 ; Q2 ; : : : ; Qn di masse rispettivamente mQ1 ; mQ2 ; : : : ; mQn .
Dimostrare che la forza gravitazionali esplicata da uno strato sferico omogeneo di massa m su un punto P
di massa mP e:
i) nulla se il punto e interno alla sfera;
ii) pari a quella che esplicherebbe un punto Q di massa m posto al centro della sfera se il punto e
esterno alla sfera.
Dimostrare che la forza di gravitazione univrsale esplicata da una sfera piena omogenea (o costruita da
strati sferici omogenei concentrici) di massa m su un punto materiale P di massa mP , esterno alla sfera, e
pari a quello che esplicherebbe un punto Q posto al centro della sfera di massa m.
Postulati della Dinamica
I postulati che sino adesso abbiamo ammessi sono di indole generale; per potere sviluppare la Dinamica
e necessario ammettere ulteriori e specici postulati.
Sistema di riferimento Esiste almeno un sistema di riferimento, sistema di riferimento , nel quale valgono i postulati propri
della Dinamica.
Proporzionalita fra accelerazione e forza
In un sistema di riferimento , si ha un legame di proporzionalita diretta fra l'accelerazione del punto
materiale P e la forza FP agente su di esso; il coeciente di proporzionalita essendo la massa mP di P ; cioe
si postula che, in un sistema di riferimento , valga la relazione:
mP a = FP :
Principio di azione e reazione
Abbiamo visto che l'azione forza esplicata dal punto Q sul punto P e rappresentato da un vettore FQ=P
applicato in P ; il principio di azione e reazione specica che la forza, reazione, esplicata da P su Q; FP=Q ,
e direttamente opposta a FQ=P ; cioe si richiede che valga:
FQ=P = FP=Q :
Conseguenze immediatamente deducibili dai principi
Dai postulati ammessi seguono delle immediate conseguenze che vale la pena mettere in evidenza.
Sistemi di riferimento inerziali o galilieani
Il principio di proporzionalita fra accelerazione e forza vale in ogni sistema di riferimento che si muove
di moto rigido traslatorio uniforme rispetto ad un sistema di riferimento . La verita della proposizione si
acquisisce tenendo conto del teorema di Coriolis e quanto abbiamo detto a proposito del comportamento della
forza al variare del sistema di riferimento. I sistemi di riferimento in moto rigido traslatorio uniforme rispetto
ai sistemi di riferimento , cos come i sistemi di riferimento stessi, sono detti sistemi di riferimento
inerziali o galileiani.
L'invarianza della legge della Dinamica rispetto ad ogni sistema di riferimento inerziale prende il nome
di principio di relativita galileano.
Principio di inerzia
In un sistema di riferimento inerziale, se la forza agente sul punto P e nulla, allora il punto, rispetto a
questo sistema di riferimento, si muove di moto rettilineo uniforme, ovvero e in quiete. Il principio di inerzia
segue subito dalla legge fondamentale ponendo in essa FP = 0.
4
Legge del moto incipiente
In ogni sistema di riferimento inerziale, in tutti gli istanti t in cui la velocita di P e nulla, lo spostamento
di P nell'intervallo [t ; t + dt] e parallelo alla forza agente su P nell'istante t .
Dal teorema di Taylor, si ha:
dP = v(t ) + a2 (t )(dt)2 + : : :
ovvero, visto che v(t ) = 0,
cioe, per la legge fondamentale:
dP = a2 (t )(dt)2 ;
)2 F (P ; 0; t ):
dP = (2dt
m P
P
Principio del parallelogramma delle forze
Se fSi g e una partizione dell'esterno U P di P , allora l'accelerazione che il punto P ha rispetto ad un
sistema di riferimento inerziale e pari alla somma vettoriale delle accelerazioni ai che il punto P avrebbe se
fosse soggetto alle azioni dei pezzi Si . Dalla legge fondamentale dell'additivita della forza, si ha:
mP a = FP =
posto, poi
abbiamo
Dinamica del punto
X
i
FPi
( )
mP ai = FP(i) ;
P
!
i
X FPi
X
=
ai :
a = imFP =
m
( )
( )
i
i
Rispetto ad un sistema di riferimento inerziale l'equazione fondamentale della Dinamica del punto e:
(1)
dOP 2
~
=
F
OP; dt ; t :
mP d dtOP
P
2
La (1) si puo interpretare come una equazione dierenziale ordinaria del secondo ordine di tipo vettoriale,
nella variabile indipendente t e nell'incognita OP = OP (t), il moto di P rispetto al sistema di riferimento.
Problema diretto o fondamentale della Dinamica del punto
E noto, problema ai valori iniziali di Cauchy per le equazioni dierenziali
formanormale - cfr. anche
indOP
il Modulo Cinematica - che sotto opportune ipotesi di regolarita della FP OP; dt ; t , sempre ammessi in
Meccanica, esiste ed e unica la soluzione, moto, OP = OP (t) per t t0 dell'equazione (1) tale che per t = t0
assume valori assegnati
(t)
OP (t0 ) = OP0 e dOP
dt jt=t0 = v0 ;
noti come condizioni iniziali.
Il problema di Cauchy ai valori inziali, in Meccanica, si interpreta come il problema fondamentale o
diretto della Dinamica del punto.
Tale problema consiste, quindi, nota la massa del punto, la legge della forza che agisce sul punto, nella
determinazione dell'equazione di moto OP = OP (t) per t t0 , assegnata la posizione iniziale OP0 =
(t)
OP (t0 ) e la velocita iniziale v0 = dOP
dt jt=t0 .
5
Il problema si riduce, pertanto, all'integrazione di un sistema di equazioni dierenziali ordinarie ciascuna
del secondo ordine con assegnate condizioni iniziali.
Se, come abbiamo visto in Cinematica, per stato di un punto materiale ad un certo istante intendiamo
la conoscenza della posizione che esso occupa in quell'istante e la conoscenza della corrispondente velocita,
allora risolvere il problema fondamentale della Dinamica del punto signica determinare, nota la massa, la
forza che agisce sul punto ed il suo stato iniziale, lo stato posseduto dal punto in corrispondenza ad ogni
istante successivo all'istante iniziale.
Il teorema di unicita delle soluzioni delle equazioni dierenziali, si puo parafrasare dicendo che lo stato
del punto negli istanti successivi all'istante iniziale e determinato univocamante dalla legge della forza e dallo
stato iniziale; in cio consiste il cosidetto carattere deterministico della Meccanica Classica.
Problema inverso della Dinamica del punto
Il problema inverso della Dinamica del punto consiste nel determinare la forza che agisce sul punto
materiale di data massa, nota che sia la legge di moto, lo stato, OP = OP (t) del punto in un assegnato
riferimento inerziale. Il problema si risolve applicando ancora l'equazione fondamantale e si riduce a semplici
operazioni di derivazione vettoriale ed algebriche; si trova cioe:
(t) :
FP = mP d OP
dt
2
2
6
