Derivate di funzioni

Derivate di funzioni
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Funzioni crescenti e decrescenti
Data una funzione f (x) definita in un dominio D
2 / 44
Funzioni crescenti e decrescenti
Data una funzione f (x) definita in un dominio D
f (x) é crescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
2 / 44
Funzioni crescenti e decrescenti
Data una funzione f (x) definita in un dominio D
f (x) é crescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
f (x) é strettamente crescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
2 / 44
Funzioni crescenti e decrescenti
Data una funzione f (x) definita in un dominio D
f (x) é crescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
f (x) é strettamente crescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
f (x) é decrescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
2 / 44
Funzioni crescenti e decrescenti
Data una funzione f (x) definita in un dominio D
f (x) é crescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
f (x) é strettamente crescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
f (x) é decrescente nell’intervallo I ⊆ D se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
f (x) é strettamente decrescente nell’intervallo I ⊆ D
se
∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )
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Esempi di funzioni e loro andamento
Date le seguenti funzioni elementari, si identifichi il loro
andamento
f (x) = x2
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Esempi di funzioni e loro andamento
Date le seguenti funzioni elementari, si identifichi il loro
andamento
f (x) = x2
f (x) =
1x
2 −1
3 / 44
Esempi di funzioni e loro andamento
Date le seguenti funzioni elementari, si identifichi il loro
andamento
f (x) = x2
f (x) =
1x
2 −1
f (x) = sin(x)
3 / 44
Esempi di funzioni e loro andamento
Date le seguenti funzioni elementari, si identifichi il loro
andamento
f (x) = x2
f (x) =
1x
2 −1
f (x) = sin(x)
f (x) = cos(x)
3 / 44
Esempi di funzioni e loro andamento
Date le seguenti funzioni elementari, si identifichi il loro
andamento
f (x) = x2
f (x) =
1x
2 −1
f (x) = sin(x)
f (x) = cos(x)
f (x) = tan(x)
3 / 44
Esempi di funzioni e loro andamento
Date le seguenti funzioni elementari, si identifichi il loro
andamento
f (x) = x2
f (x) =
1x
2 −1
f (x) = sin(x)
f (x) = cos(x)
f (x) = tan(x)
Osservazione. Una funzione strettamente crescente (decrescente) é invertibile.
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Funzioni limitate
• Una funzione f (x) si dice limitata in tutto il suo
dominio D se la sua immagine é un insieme limitato
(aperto o chiuso) sottoinsieme proprio di R.
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Funzioni limitate
• Una funzione f (x) si dice limitata in tutto il suo
dominio D se la sua immagine é un insieme limitato
(aperto o chiuso) sottoinsieme proprio di R.
• Una funzione f (x) si dice limitata superiormente
(inferiormente) se la sua immagine é un insieme
limitato superiormente(inferiormente) in R.
4 / 44
Funzioni limitate
• Una funzione f (x) si dice limitata in tutto il suo
dominio D se la sua immagine é un insieme limitato
(aperto o chiuso) sottoinsieme proprio di R.
• Una funzione f (x) si dice limitata superiormente
(inferiormente) se la sua immagine é un insieme
limitato superiormente(inferiormente) in R.
Geometricamente, il grafico di una funzione limitata é contenuto in una striscia orizzontale del piano delimitata dalle
rette y = M e y = −M, dove M ∈ R tale che
|f (x)| < M
∀x ∈ D
.
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Estremo superiore e inferiore di una funzione
Sia f (x) una funzione definita in D ⊆ R.
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Estremo superiore e inferiore di una funzione
Sia f (x) una funzione definita in D ⊆ R.
• Si chiama estremo superiore di una funzione f (x)
l’estremo superiore della sua immagine e si scrive
semplicemente
sup f (x)
x∈D
5 / 44
Estremo superiore e inferiore di una funzione
Sia f (x) una funzione definita in D ⊆ R.
• Si chiama estremo superiore di una funzione f (x)
l’estremo superiore della sua immagine e si scrive
semplicemente
sup f (x)
x∈D
• Si chiama estremo inferiore di una funzione f (x)
l’estremo inferiore della sua immagine e si scrive
semplicemente
inf f (x)
x∈D
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Massimo e minimo di una funzione
Sia f (x) una funzione definita in D ⊆ R e x0 ∈ D.
6 / 44
Massimo e minimo di una funzione
Sia f (x) una funzione definita in D ⊆ R e x0 ∈ D.
• Il valore max f = f (x0 ) é detto massimo assoluto di
f (x) se
f (x0 ) ≥ f (x) ∀x ∈ D
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Massimo e minimo di una funzione
Sia f (x) una funzione definita in D ⊆ R e x0 ∈ D.
• Il valore max f = f (x0 ) é detto massimo assoluto di
f (x) se
f (x0 ) ≥ f (x) ∀x ∈ D
• Il valore min f = f (x0 ) é detto minimo assoluto di f (x)
se
f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ D
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Esempi massimi e minimi
1. f (x) = −(x + 1)2 + 2 ha massimo assoluto uguale a 2,
assunto in x = 2. Non ha minimo assoluto.
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Esempi massimi e minimi
1. f (x) = −(x + 1)2 + 2 ha massimo assoluto uguale a 2,
assunto in x = 2. Non ha minimo assoluto.
2. f (x) = x + 1 con x ∈ D = [−2, 6] ha massimo assoluto
uguale a 7 assunto in x = 6 e minimo assoluto uguale
a −1 assunto in x = −2
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Esempi massimi e minimi
1. f (x) = −(x + 1)2 + 2 ha massimo assoluto uguale a 2,
assunto in x = 2. Non ha minimo assoluto.
2. f (x) = x + 1 con x ∈ D = [−2, 6] ha massimo assoluto
uguale a 7 assunto in x = 6 e minimo assoluto uguale
a −1 assunto in x = −2
3. f (x) = sin(x) ha massimo assoluto uguale a 1, e
minimo assoluto uguale a −1. Il massimo é assunto
negli infiniti punti π2 + 2kπ, con k ∈ R, mentre il minimo
negli infiniti punti − π2 + 2kπ
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Esempi
1. f (x) = (x + 1)2 é limitata solo inferiormente
Im(f ) = [0, +∞),
min f = 0,
sup f = +∞
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Esempi
1. f (x) = (x + 1)2 é limitata solo inferiormente
Im(f ) = [0, +∞),
min f = 0,
sup f = +∞
2. f (x) = 5x − 3 é limitata solo inferiormente
Im(f ) = (−3, +∞),
inf f = −3,
sup f = +∞
8 / 44
Esempi
1. f (x) = (x + 1)2 é limitata solo inferiormente
Im(f ) = [0, +∞),
min f = 0,
sup f = +∞
2. f (x) = 5x − 3 é limitata solo inferiormente
Im(f ) = (−3, +∞),
inf f = −3,
sup f = +∞
3. f (x) = 5(x−3) é limitata solo inferiormente
Im(f ) = (0, +∞), inf f = 0, sup f = +∞
8 / 44
Esempi
1. f (x) = (x + 1)2 é limitata solo inferiormente
Im(f ) = [0, +∞),
min f = 0,
sup f = +∞
2. f (x) = 5x − 3 é limitata solo inferiormente
Im(f ) = (−3, +∞),
inf f = −3,
sup f = +∞
3. f (x) = 5(x−3) é limitata solo inferiormente
Im(f ) = (0, +∞), inf f = 0, sup f = +∞
8 / 44
Esempi
4. f (x) = (x + 1)2 con x ∈ (−5, 5] é limitata
Im(f ) = [0, 36],
min f = 0,
max f = 36
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Esempi
4. f (x) = (x + 1)2 con x ∈ (−5, 5] é limitata
Im(f ) = [0, 36],
min f = 0,
max f = 36
5. f (x) = 5x − 3 con x ∈ [0, 2) é limitata
Im(f ) = [−2, 22),
min(f ) = −2,
sup f = 22
9 / 44
Esempi
4. f (x) = (x + 1)2 con x ∈ (−5, 5] é limitata
Im(f ) = [0, 36],
min f = 0,
max f = 36
5. f (x) = 5x − 3 con x ∈ [0, 2) é limitata
Im(f ) = [−2, 22),
min(f ) = −2,
sup f = 22
6. f (x) = loga x, (a > 0, a 6= 1) non é limitata né
inferiormente né superiormente
Im(f ) = (−infty, +∞),
inf f = −∞,
sup f = +∞
9 / 44
Esempi
4. f (x) = (x + 1)2 con x ∈ (−5, 5] é limitata
Im(f ) = [0, 36],
min f = 0,
max f = 36
5. f (x) = 5x − 3 con x ∈ [0, 2) é limitata
Im(f ) = [−2, 22),
min(f ) = −2,
sup f = 22
6. f (x) = loga x, (a > 0, a 6= 1) non é limitata né
inferiormente né superiormente
Im(f ) = (−infty, +∞),
inf f = −∞,
sup f = +∞
9 / 44
Esercizi
Trovare massimi e minimi assoluti, estremo inferiore e superiore delle seguenti funzioni e dire se sono limitate inferiormente e/o superiormente:
10 / 44
Esercizi
Trovare massimi e minimi assoluti, estremo inferiore e superiore delle seguenti funzioni e dire se sono limitate inferiormente e/o superiormente:
• g(x) = −(x + 1)2 − 7
10 / 44
Esercizi
Trovare massimi e minimi assoluti, estremo inferiore e superiore delle seguenti funzioni e dire se sono limitate inferiormente e/o superiormente:
• g(x) = −(x + 1)2 − 7
• p(x) = x2 + 1
10 / 44
Esercizi
Trovare massimi e minimi assoluti, estremo inferiore e superiore delle seguenti funzioni e dire se sono limitate inferiormente e/o superiormente:
• g(x) = −(x + 1)2 − 7
• p(x) = x2 + 1
• f (t) = t2 con t ∈ [−2, 3]
10 / 44
Esercizi
Trovare massimi e minimi assoluti, estremo inferiore e superiore delle seguenti funzioni e dire se sono limitate inferiormente e/o superiormente:
• g(x) = −(x + 1)2 − 7
• p(x) = x2 + 1
• f (t) = t2 con t ∈ [−2, 3]
• g(x) = ex
10 / 44
Esercizi
Trovare massimi e minimi assoluti, estremo inferiore e superiore delle seguenti funzioni e dire se sono limitate inferiormente e/o superiormente:
• g(x) = −(x + 1)2 − 7
• p(x) = x2 + 1
• f (t) = t2 con t ∈ [−2, 3]
• g(x) = ex
• p(t) = t2 con t ∈ [−2, 3)
10 / 44
Esercizi
Trovare massimi e minimi assoluti, estremo inferiore e superiore delle seguenti funzioni e dire se sono limitate inferiormente e/o superiormente:
• g(x) = −(x + 1)2 − 7
• p(x) = x2 + 1
• f (t) = t2 con t ∈ [−2, 3]
• g(x) = ex
• p(t) = t2 con t ∈ [−2, 3)
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Massimi e minimi relativi
Data la funzione f (x) definita nel dominio D ⊆ R si dice che
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Massimi e minimi relativi
Data la funzione f (x) definita nel dominio D ⊆ R si dice che
• f (x) ha un punto di massimo locale in x0 ∈ I,
I = [a, b] ⊆ D se
f (x0 ) ≥ f (x) ∀x ∈ I
questo valore max f = f (x0 ) ∈ f (D).
11 / 44
Massimi e minimi relativi
Data la funzione f (x) definita nel dominio D ⊆ R si dice che
• f (x) ha un punto di massimo locale in x0 ∈ I,
I = [a, b] ⊆ D se
f (x0 ) ≥ f (x) ∀x ∈ I
questo valore max f = f (x0 ) ∈ f (D).
• f (x) ha un punto di minimo locale in x0 ∈ I,
I = [a, b] ⊆ D se
f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ I
questo valore min f = f (x0 ) ∈ f (D).
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Rapporto incrementale
Sia data una funzione f (x) e due suoi valori in corrispondenza dei punti x0 e x0 + h, con h > 0.
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Rapporto incrementale
Sia data una funzione f (x) e due suoi valori in corrispondenza dei punti x0 e x0 + h, con h > 0.
Supponiamo di voler considerare la retta passante per i
due punti P0 = (x0 , f (x0 )) e Ph = (x0 + h, f (x0 + h)).
Possiamo allora calcolare il coefficiente angolare di tale
retta in modo usuale come:
mh =
f (x0 + h) − f (x0 )
(x0 + h) − x0
12 / 44
Rapporto incrementale
Sia data una funzione f (x) e due suoi valori in corrispondenza dei punti x0 e x0 + h, con h > 0.
Supponiamo di voler considerare la retta passante per i
due punti P0 = (x0 , f (x0 )) e Ph = (x0 + h, f (x0 + h)).
Possiamo allora calcolare il coefficiente angolare di tale
retta in modo usuale come:
mh =
f (x0 + h) − f (x0 )
(x0 + h) − x0
Tale valore si definisce rapporto incrementale della fun∆f
zione e viene indicato come ∆x
.
12 / 44
Rapporto incrementale
Supponiamo ora di diminuire il valore di h, allora la retta rh tende
a sovrapporsi alla retta r0 . Di conseguenza per valori di h che
tengono al valore zero il coefficiente mh tende al coefficiente angolare m0 della retta tangente r0 .
13 / 44
Rapporto incrementale
Supponiamo ora di diminuire il valore di h, allora la retta rh tende
a sovrapporsi alla retta r0 . Di conseguenza per valori di h che
tengono al valore zero il coefficiente mh tende al coefficiente angolare m0 della retta tangente r0 .
Segue che m0 = lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
13 / 44
Derivata di una funzione
Data una funzione f (x) continua in x0 la sua derivata nelpunto
x0 é definita come
f (x + h) − f (x0 )
h→0
h
lim
14 / 44
Derivata di una funzione
Data una funzione f (x) continua in x0 la sua derivata nelpunto
x0 é definita come
f (x + h) − f (x0 )
h→0
h
lim
se questo limite esiste ed é finito.
La derivata si indica indistintamente come:
f 0 (x0 ) =
d
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
h→0
dx
h
14 / 44
Derivata di una funzione
Data una funzione f (x) continua in x0 la sua derivata nelpunto
x0 é definita come
f (x + h) − f (x0 )
h→0
h
lim
se questo limite esiste ed é finito.
La derivata si indica indistintamente come:
f 0 (x0 ) =
d
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
h→0
dx
h
La funzione derivata prima associa ad ogni punto di continuitá della funzione f , se esiste, la sua derivata nel punto:
f 0 (x) : x → f 0 (x).
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Calcolo della derivata applicando la
definizione
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
15 / 44
Calcolo della derivata applicando la
definizione
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
b−b
=0
h→0 h
• f (x) = b costante =⇒ f 0 (x0 ) = lim
15 / 44
Calcolo della derivata applicando la
definizione
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
b−b
=0
h→0 h
• f (x) = b costante =⇒ f 0 (x0 ) = lim
• f (x) = x retta =⇒ f 0 (x0 ) = lim
h→0
x0 + h − x0
h
= lim = 1
h→0 h
h
15 / 44
Calcolo della derivata applicando la
definizione
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
b−b
=0
h→0 h
• f (x) = b costante =⇒ f 0 (x0 ) = lim
• f (x) = x retta =⇒ f 0 (x0 ) = lim
h→0
x0 + h − x0
h
= lim = 1
h→0 h
h
• f (x) = x2 parabola =⇒
(x0 + h)2 − (x0 )2
2x0 h + (h)2
= lim
= lim 2x0 + h = 2x0
h→0
h→0
h→0
h
h
f 0 (x0 ) = lim
15 / 44
Derivata della funzione potenza
• f (x) = b =⇒ f 0 (x0 ) = 0
16 / 44
Derivata della funzione potenza
• f (x) = b =⇒ f 0 (x0 ) = 0
• f (x) = 1 =⇒ f 0 (x0 ) = 1
16 / 44
Derivata della funzione potenza
• f (x) = b =⇒ f 0 (x0 ) = 0
• f (x) = 1 =⇒ f 0 (x0 ) = 1
• f (x) = x2 =⇒ f 0 (x0 ) = 2x
16 / 44
Derivata della funzione potenza
• f (x) = b =⇒ f 0 (x0 ) = 0
• f (x) = 1 =⇒ f 0 (x0 ) = 1
• f (x) = x2 =⇒ f 0 (x0 ) = 2x
possiamo allora generalizzare
• f (x) = xβ =⇒ f 0 (x0 ) = β xβ −1
16 / 44
Derivata della funzione potenza
• f (x) = b =⇒ f 0 (x0 ) = 0
• f (x) = 1 =⇒ f 0 (x0 ) = 1
• f (x) = x2 =⇒ f 0 (x0 ) = 2x
possiamo allora generalizzare
• f (x) = xβ =⇒ f 0 (x0 ) = β xβ −1
Esempio.
f (x) =
√
1
1
1 1
x = x 2 =⇒ f 0 (x) = x 2 −1 = x− 2
2
16 / 44
Derivata della funzione potenza
• f (x) = b =⇒ f 0 (x0 ) = 0
• f (x) = 1 =⇒ f 0 (x0 ) = 1
• f (x) = x2 =⇒ f 0 (x0 ) = 2x
possiamo allora generalizzare
• f (x) = xβ =⇒ f 0 (x0 ) = β xβ −1
Esempio.
f (x) =
√
1
1
1 1
x = x 2 =⇒ f 0 (x) = x 2 −1 = x− 2
2
Esercizi. Calcolare la derivata per le seguenti funzioni
potenza
f (x) = x−2 ,
f (x) = x5 ,
f (x) =
√
4
x3 ,
f (x) =
1
x6
16 / 44
Proprietá delle derivate
• Derivata di una somma
(f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g0 (x)
17 / 44
Proprietá delle derivate
• Derivata di una somma
(f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g0 (x)
• Derivata di una funzione per una costante
(cf (x))0 = cf 0 (x)
17 / 44
Proprietá delle derivate
• Derivata di una somma
(f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g0 (x)
• Derivata di una funzione per una costante
(cf (x))0 = cf 0 (x)
Esempio.
√
√
f (x) = 4x3 − 5x−2 =⇒ f 0 (x) = 4(3x3−1 ) − 5(−2)x−2−1
√
= 12x2 + 2 5x−3
17 / 44
Proprietá delle derivate
• Derivata del prodotto
(f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g0 (x)
18 / 44
Proprietá delle derivate
• Derivata del prodotto
(f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g0 (x)
Esempio.
√
√
h(x) = f (x)g(x) = (4x3 − 5x−2 )( x) =⇒
√
√
√
√
h0 (x) = (4x3 − 5x−2 )0 ( x) + (4x3 − 5x−2 )( x)0
√
√
√
1 1
= (12x2 + 2 5x−3 )( x) + (4x3 − 5x−2 )( x 2 −1 )
2
√
√
√
√
1
= 12x2 x − x−3 5x−1 + 2x2 x −
5x−1
2
18 / 44
Proprietá delle derivate
• Derivata di un rapporto
f (x)
g(x)
0
=
f 0 (x)g(x) − f (x)g0 (x)
(g(x))2
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Proprietá delle derivate
• Derivata di un rapporto
f (x)
g(x)
0
=
f 0 (x)g(x) − f (x)g0 (x)
(g(x))2
Esempio.
f (x)
x3
h(x) =
=
=⇒
g(x) 5x + 1
h0 (x) =
=
(x3 )0 (5x + 1) − (x3 )(5x + 1)0
(5x + 1)2
(3x2 )(5x + 1) − (x3 )(5) 10x3 − 3x2
=
(5x + 1)2
(5x + 1)2
19 / 44
Derivata delle funzioni elementari
Date le funzioni elementari, applicando la definizione si
possono si possono determinare le seguenti funzioni derivata
d x
• (ex )0 = dx
(e ) = ex
20 / 44
Derivata delle funzioni elementari
Date le funzioni elementari, applicando la definizione si
possono si possono determinare le seguenti funzioni derivata
d x
• (ex )0 = dx
(e ) = ex
d
• (ax )0 = dx
(ax ) = ax ln(a)
20 / 44
Derivata delle funzioni elementari
Date le funzioni elementari, applicando la definizione si
possono si possono determinare le seguenti funzioni derivata
d x
• (ex )0 = dx
(e ) = ex
d
• (ax )0 = dx
(ax ) = ax ln(a)
d
• (sin(x))0 = dx
(sin(x)) = cos(x)
20 / 44
Derivata delle funzioni elementari
Date le funzioni elementari, applicando la definizione si
possono si possono determinare le seguenti funzioni derivata
d x
• (ex )0 = dx
(e ) = ex
d
• (ax )0 = dx
(ax ) = ax ln(a)
d
• (sin(x))0 = dx
(sin(x)) = cos(x)
d
• (cos(x))0 = dx
(cos(x)) = − sin(x)
20 / 44
Derivata delle funzioni elementari
Date le funzioni elementari, applicando la definizione si
possono si possono determinare le seguenti funzioni derivata
d x
• (ex )0 = dx
(e ) = ex
d
• (ax )0 = dx
(ax ) = ax ln(a)
d
• (sin(x))0 = dx
(sin(x)) = cos(x)
d
• (cos(x))0 = dx
(cos(x)) = − sin(x)
d
• (ln(x))0 = dx
(ln(x)) = 1x
20 / 44
Derivata delle funzioni elementari
Date le funzioni elementari, applicando la definizione si
possono si possono determinare le seguenti funzioni derivata
d x
• (ex )0 = dx
(e ) = ex
d
• (ax )0 = dx
(ax ) = ax ln(a)
d
• (sin(x))0 = dx
(sin(x)) = cos(x)
d
• (cos(x))0 = dx
(cos(x)) = − sin(x)
d
• (ln(x))0 = dx
(ln(x)) = 1x
d
• (loga (x))0 = dx
(loga (x)) = 1x loga (e)
20 / 44
Derivate: esercizi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
√
• f (x) = (3x5 + 5x−3 )(cos(x) + 1)
21 / 44
Derivate: esercizi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
√
• f (x) = (3x5 + 5x−3 )(cos(x) + 1)
• f (x) = x ln(x)
21 / 44
Derivate: esercizi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
√
• f (x) = (3x5 + 5x−3 )(cos(x) + 1)
• f (x) = x ln(x)
• f (x) = tan(x)
21 / 44
Derivate: esercizi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
√
• f (x) = (3x5 + 5x−3 )(cos(x) + 1)
• f (x) = x ln(x)
• f (x) = tan(x)
• f (x) = x + sin(x)
21 / 44
Derivata di funzioni composte
d
f (g(x)) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g0 (x)
dx
Esempi
d
• dx
(f (x))α = ((f (x))α )0 = α(f (x))α−1 f 0 (x)
22 / 44
Derivata di funzioni composte
d
f (g(x)) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g0 (x)
dx
Esempi
d
• dx
(f (x))α = ((f (x))α )0 = α(f (x))α−1 f 0 (x)
d f (x)
• dx
(e ) = (ef (x) )0 = ef (x) f 0 (x)
22 / 44
Derivata di funzioni composte
d
f (g(x)) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g0 (x)
dx
Esempi
d
• dx
(f (x))α = ((f (x))α )0 = α(f (x))α−1 f 0 (x)
d f (x)
• dx
(e ) = (ef (x) )0 = ef (x) f 0 (x)
d
• dx
cos(f (x)) = (cos(f (x)))0 = − sin(f (x))f 0 (x)
22 / 44
Derivata di funzioni composte
d
f (g(x)) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g0 (x)
dx
Esempi
d
• dx
(f (x))α = ((f (x))α )0 = α(f (x))α−1 f 0 (x)
d f (x)
• dx
(e ) = (ef (x) )0 = ef (x) f 0 (x)
d
• dx
cos(f (x)) = (cos(f (x)))0 = − sin(f (x))f 0 (x)
d
• dx
sin(f (x)) = (sin(f (x)))0 = cos(f (x))f 0 (x)
22 / 44
Derivata di funzioni composte
d
f (g(x)) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g0 (x)
dx
Esempi
d
• dx
(f (x))α = ((f (x))α )0 = α(f (x))α−1 f 0 (x)
d f (x)
• dx
(e ) = (ef (x) )0 = ef (x) f 0 (x)
d
• dx
cos(f (x)) = (cos(f (x)))0 = − sin(f (x))f 0 (x)
d
• dx
sin(f (x)) = (sin(f (x)))0 = cos(f (x))f 0 (x)
d
1 0
• dx
ln(f (x)) = (ln(f (x)))0 = f (x)
f (x)
22 / 44
Derivate di funzioni composte:esempi
d
f (g(x)) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g0 (x)
dx
Esempi
2
2
• f (x) = ex =⇒ f 0 (x) = ex 2x
23 / 44
Derivate di funzioni composte:esempi
d
f (g(x)) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g0 (x)
dx
Esempi
2
2
• f (x) = ex =⇒ f 0 (x) = ex 2x
3
3
• f (x) = ex +1 =⇒ f 0 (x) = ex +1 3x2
23 / 44
Derivate di funzioni composte:esempi
d
f (g(x)) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g0 (x)
dx
Esempi
2
2
• f (x) = ex =⇒ f 0 (x) = ex 2x
3
3
• f (x) = ex +1 =⇒ f 0 (x) = ex +1 3x2
• f (x) =
√
1
x3 − 2x = (x3 − 2x) 2 =⇒
1
f 0 (x) = 21 (x3 − 2x) 2 −1 (3x2 − 2)
23 / 44
Derivate di funzioni composte:esempi
d
f (g(x)) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g0 (x)
dx
Esempi
2
2
• f (x) = ex =⇒ f 0 (x) = ex 2x
3
3
• f (x) = ex +1 =⇒ f 0 (x) = ex +1 3x2
• f (x) =
√
1
x3 − 2x = (x3 − 2x) 2 =⇒
1
f 0 (x) = 21 (x3 − 2x) 2 −1 (3x2 − 2)
• f (x) = cos(x3 − 2x) =⇒ f 0 (x) = −(sin(x3 − 2x))(3x2 − 2)
23 / 44
Derivate: esercizi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
√
x
f (x) = e
,
2
f (x) = 2x + ex ,
ln (tan (x))
24 / 44
Derivate: esercizi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
√
x
f (x) = e
,
2
f (x) = 2x + ex ,
f (x) = (sin(x)sin(x) ,
f (x) = ln
ln (tan (x))
q
1
3
(x + 1)2 −
x+1
24 / 44
Derivate: esercizi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
√
x
f (x) = e
,
2
f (x) = 2x + ex ,
f (x) = (sin(x)sin(x) ,
f (x) = ln
f (x) = log3 (x2 − 1),
ln (tan (x))
q
1
3
(x + 1)2 −
x+1
f (x) = cos(x3 − 1)7
24 / 44
Continuitá e derivabilitá
• Se una funzione é derivabile nel punto x0 , allora é necessariamente continua in tale punto.
25 / 44
Continuitá e derivabilitá
• Se una funzione é derivabile nel punto x0 , allora é necessariamente continua in tale punto.
(Infatti, dall’identitá
f (x0 + h) = f (x0 ) +
f (x0 + h) − f (x0 )
h
h
essendo finito il limite che definisce la derivata f 0 (x0 ) deduciamo
f (x0 + h) − f (x0 )
lim h = f (x0 )+f 0 (x0 )0 = f (x0 )
h→0
h→0
h
lim f (x0 +h) = f (x0 )+ lim
h→0
che é appunto la definizione di funzione continua.)
25 / 44
Continuitá e derivabilitá
• Se una funzione é derivabile nel punto x0 , allora é necessariamente continua in tale punto.
(Infatti, dall’identitá
f (x0 + h) = f (x0 ) +
f (x0 + h) − f (x0 )
h
h
essendo finito il limite che definisce la derivata f 0 (x0 ) deduciamo
f (x0 + h) − f (x0 )
lim h = f (x0 )+f 0 (x0 )0 = f (x0 )
h→0
h→0
h
lim f (x0 +h) = f (x0 )+ lim
h→0
che é appunto la definizione di funzione continua.)
Osservazione. Nei punti di discontinuitá una funzione non
puó ammettere derivata.
25 / 44
Continuitá e derivabilitá
La condizione di continuitá é solamente necessaria per la
derivabilitá ma non sufficiente:
• se una funzione é continua in un punto x0 NON É DETTO
sia derivabile in quel punto.
26 / 44
Continuitá e derivabilitá
La condizione di continuitá é solamente necessaria per la
derivabilitá ma non sufficiente:
• se una funzione é continua in un punto x0 NON É DETTO
sia derivabile in quel punto.
Esempio. f (x) = |x − 2| =
x − 2 se x − 2 ≥ 0
é continua
−x + 2 se x − 2 < 0
in x = 2, ma non é derivabile in quel punto.
26 / 44
Continuitá e derivabilitá
La condizione di continuitá é solamente necessaria per la
derivabilitá ma non sufficiente:
• se una funzione é continua in un punto x0 NON É DETTO
sia derivabile in quel punto.
Esempio. f (x) = |x − 2| =
x − 2 se x − 2 ≥ 0
é continua
−x + 2 se x − 2 < 0
in x = 2, ma non é derivabile in quel punto.
Perché sia derivabile deve esistere finito il limite:
f 0 (2) = lim
h→0
f (2 + h) − f (2)
h
26 / 44
Continuitá e derivabilitá
La condizione di continuitá é solamente necessaria per la
derivabilitá ma non sufficiente:
• se una funzione é continua in un punto x0 NON É DETTO
sia derivabile in quel punto.
Esempio. f (x) = |x − 2| =
x − 2 se x − 2 ≥ 0
é continua
−x + 2 se x − 2 < 0
in x = 2, ma non é derivabile in quel punto.
Perché sia derivabile deve esistere finito il limite:
f 0 (2) = lim
h→0
f (2 + h) − f (2)
h
ma si ha
lim
h→0+
|2 + h − 2| − |0|
h
|2 + h − 2| − |0|
−h
= lim = 1 6= lim
= lim
= −1
+
−
−
h
h
h
h→0 h
h→0
h→0
non esiste il limite del rapportio incrementale nel punto
x = 2 per cui f (x) non é derivabile,lo é in tutti gli altri punti.
26 / 44
Continuitá e derivabilitá
√
Esempio 2. f (x) = 3 x − 1 é continua in x = 1, ma non é
derivabile in quel punto.
27 / 44
Continuitá e derivabilitá
√
Esempio 2. f (x) = 3 x − 1 é continua in x = 1, ma non é
derivabile in quel punto.
Perché sia derivabile deve esistere finito il limite:
f 0 (1) = lim
h→0
f (1 + h) − f (1)
h
27 / 44
Continuitá e derivabilitá
√
Esempio 2. f (x) = 3 x − 1 é continua in x = 1, ma non é
derivabile in quel punto.
Perché sia derivabile deve esistere finito il limite:
f 0 (1) = lim
h→0
f (1 + h) − f (1)
h
ma si ha
lim
h→0+
e
√
√
3
1+h−1− 3 1−1
1
= +∞
= lim √
3 2
h
h→0+
h
√
√
3
1+h−1− 3 1−1
1
lim
= lim √
= +∞
3 2
−
−
h
h→0
h→0
h
per cui la funzione non é derivabile nel punto x = 1.
27 / 44
Continuitá e derivabilitá
p
Esempio 3. f (x) = |x| é continua in x = 0, ma non é
derivabile in quel punto.
28 / 44
Continuitá e derivabilitá
p
Esempio 3. f (x) = |x| é continua in x = 0, ma non é
derivabile in quel punto.
Perché sia derivabile deve esistere finito il limite:
f (0 + h) − f (0)
h→0
h
f 0 (0) = lim
28 / 44
Continuitá e derivabilitá
p
Esempio 3. f (x) = |x| é continua in x = 0, ma non é
derivabile in quel punto.
Perché sia derivabile deve esistere finito il limite:
f (0 + h) − f (0)
h→0
h
f 0 (0) = lim
ma si ha
p
lim
h→0+
p
lim
h→0−
|0 + h| −
h
p
|0 + h| −
h
p
|0|
p
= lim
h→0+
|0|
|h|
= lim
h
h→0+
p
= lim
h→0−
|h|
= lim
h
h→0−
√
+h
= +∞
h
√
−h
= −∞
h
per cui la funzione non é derivabile nel punto x = 0.
28 / 44
Derivata e calcolo dei limiti: regola di De
L’Hôpital
Considerate due funzioni derivabili f (x) e g(x) tali che
lim f (x) = 0
e
lim f (x) = ±∞
e
x→x0
lim g(x) = 0
x→x0
oppure
x→x0
lim g(x) = ±∞
x→x0
29 / 44
Derivata e calcolo dei limiti: regola di De
L’Hôpital
Considerate due funzioni derivabili f (x) e g(x) tali che
lim f (x) = 0
e
lim f (x) = ±∞
e
x→x0
lim g(x) = 0
x→x0
oppure
x→x0
lim g(x) = ±∞
x→x0
se esiste il limite del rapporto delle derivate cioé esiste
f (x)
lim
allora
x→x0 g(x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0 .
x→x0 g (x)
x→x0 g(x)
lim
29 / 44
Derivata e calcolo dei limiti: regola di De
L’Hôpital
Considerate due funzioni derivabili f (x) e g(x) tali che
lim f (x) = 0
e
lim f (x) = ±∞
e
x→x0
lim g(x) = 0
x→x0
oppure
x→x0
lim g(x) = ±∞
x→x0
se esiste il limite del rapporto delle derivate cioé esiste
f (x)
lim
allora
x→x0 g(x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0 .
x→x0 g (x)
x→x0 g(x)
lim
La regola di De L’Hôpital si usa per risolvere le forme indeterminate
0
0
o
±∞
±∞ .
29 / 44
Regola di De L’Hôpital: esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:
sin(x) 0
= , applicando De l’Hôpital si ha
x→1
x
0
• lim
30 / 44
Regola di De L’Hôpital: esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:
sin(x) 0
= , applicando De l’Hôpital si ha
x→1
x
0
• lim
cos(x) 1
sin(x)
(sin(x))0
= lim
= lim
= =1
0
x→1
x→1
x→1
x
x
1
1
lim
30 / 44
Regola di De L’Hôpital: esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:
sin(x) 0
= , applicando De l’Hôpital si ha
x→1
x
0
• lim
cos(x) 1
sin(x)
(sin(x))0
= lim
= lim
= =1
0
x→1
x→1
x→1
x
x
1
1
lim
ln(x) 0
= , applicando De l’Hôpital si ha
x→1 x − 1
0
• lim
30 / 44
Regola di De L’Hôpital: esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:
sin(x) 0
= , applicando De l’Hôpital si ha
x→1
x
0
• lim
cos(x) 1
sin(x)
(sin(x))0
= lim
= lim
= =1
0
x→1
x→1
x→1
x
x
1
1
lim
ln(x) 0
= , applicando De l’Hôpital si ha
x→1 x − 1
0
• lim
1
sin(x)
(ln(x))0
1 1
x
= lim
=
lim
=
lim
= =1
x→1
x→1 (x − 1)0
x→1 1
x→1 x
x
1
lim
30 / 44
Regola di De L’Hôpital: esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:
ex
+∞
• lim 2
, applicando De l’Hôpital si ha
=
x→+∞ x − 1
+∞
31 / 44
Regola di De L’Hôpital: esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:
ex
+∞
• lim 2
, applicando De l’Hôpital si ha
=
x→+∞ x − 1
+∞
ex
ex
(ex )0
+∞
=
lim
=
=
lim
x→+∞ x2 − 1
x→+∞ 2x
x→+∞ (x2 − 1)0
+∞
lim
31 / 44
Regola di De L’Hôpital: esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:
ex
+∞
• lim 2
, applicando De l’Hôpital si ha
=
x→+∞ x − 1
+∞
ex
ex
(ex )0
+∞
=
lim
=
=
lim
x→+∞ x2 − 1
x→+∞ 2x
x→+∞ (x2 − 1)0
+∞
lim
applicando di nuovo De l’Hôpital:
ex
(ex )0
ex
= lim
=
lim
= +∞
x→+∞ 2x
x→+∞ (2x)0
x→+∞ 2
lim
31 / 44
Segno della derivata prima
Data una funzione f derivabile in un intervallo I allora:
• se f 0 (x) > 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é crescente in I;
32 / 44
Segno della derivata prima
Data una funzione f derivabile in un intervallo I allora:
• se f 0 (x) > 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é crescente in I;
• se f 0 (x) < 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é decrescente
in I;
32 / 44
Segno della derivata prima
Data una funzione f derivabile in un intervallo I allora:
• se f 0 (x) > 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é crescente in I;
• se f 0 (x) < 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é decrescente
in I;
• se f 0 (x) = 0 ∀x ∈ I allora la funzione f non é ne’
crescente ne’ decrescente in I.
32 / 44
Segno della derivata prima
Data una funzione f derivabile in un intervallo I allora:
• se f 0 (x) > 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é crescente in I;
• se f 0 (x) < 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é decrescente
in I;
• se f 0 (x) = 0 ∀x ∈ I allora la funzione f non é ne’
crescente ne’ decrescente in I.
I punti in cui una funzione f ha derivata nulla si dicono punti
stazionari.
32 / 44
Segno della derivata prima
Data una funzione f derivabile in un intervallo I allora:
• se f 0 (x) > 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é crescente in I;
• se f 0 (x) < 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é decrescente
in I;
• se f 0 (x) = 0 ∀x ∈ I allora la funzione f non é ne’
crescente ne’ decrescente in I.
I punti in cui una funzione f ha derivata nulla si dicono punti
stazionari.
I punti in cui una funzione f ha derivata nulla oppure non
esiste la derivata si dicono punti critici.
32 / 44
Segno della derivata prima
Data una funzione f derivabile in un intervallo I allora:
• se f 0 (x) > 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é crescente in I;
• se f 0 (x) < 0 ∀x ∈ I allora la funzione f é decrescente
in I;
• se f 0 (x) = 0 ∀x ∈ I allora la funzione f non é ne’
crescente ne’ decrescente in I.
I punti in cui una funzione f ha derivata nulla si dicono punti
stazionari.
I punti in cui una funzione f ha derivata nulla oppure non
esiste la derivata si dicono punti critici.
I punti stazionari sono punti critici.
32 / 44
Esempio 1
• f (x) = x2 − 5x + 6 =⇒ f 0 (x) = 2x − 5
33 / 44
Esempio 1
• f (x) = x2 − 5x + 6 =⇒ f 0 (x) = 2x − 5
• f 0 (x) = 2x − 5 ≥ 0
33 / 44
Esempio 1
• f (x) = x2 − 5x + 6 =⇒ f 0 (x) = 2x − 5
• f 0 (x) = 2x − 5 ≥ 0
• x > 52 =⇒ f (x) é crescente
33 / 44
Esempio 1
• f (x) = x2 − 5x + 6 =⇒ f 0 (x) = 2x − 5
• f 0 (x) = 2x − 5 ≥ 0
• x > 52 =⇒ f (x) é crescente
• x < 52 =⇒ f (x) é decrescente
33 / 44
Esempio 1
• f (x) = x2 − 5x + 6 =⇒ f 0 (x) = 2x − 5
• f 0 (x) = 2x − 5 ≥ 0
• x > 52 =⇒ f (x) é crescente
• x < 52 =⇒ f (x) é decrescente
33 / 44
Esempio 1
• f (x) = x2 − 5x + 6 =⇒ f 0 (x) = 2x − 5
• f 0 (x) = 2x − 5 ≥ 0
• x > 52 =⇒ f (x) é crescente
• x < 52 =⇒ f (x) é decrescente
• x = 52 =⇒
5
2
é un minimo locale
33 / 44
Esempio 2
• f (x) = x3 =⇒ f 0 (x) = 3x2
34 / 44
Esempio 2
• f (x) = x3 =⇒ f 0 (x) = 3x2
• f 0 (x) = 3x2 > 0
∀x ∈ R
34 / 44
Esempio 2
• f (x) = x3 =⇒ f 0 (x) = 3x2
• f 0 (x) = 3x2 > 0
•
f 0 (x) = 0
∀x ∈ R
se x = 0
34 / 44
Esempio 2
• f (x) = x3 =⇒ f 0 (x) = 3x2
• f 0 (x) = 3x2 > 0
•
f 0 (x) = 0
∀x ∈ R
se x = 0
34 / 44
Esempio 2
• f (x) = x3 =⇒ f 0 (x) = 3x2
• f 0 (x) = 3x2 > 0
•
f 0 (x) = 0
∀x ∈ R
se x = 0
• f (x) é sempre crescente, x = 0 non é né massimo né
minimo locale
34 / 44
Esempio 3
• f (x) = |x − 2| =⇒ f 0 (x) =
1 se x − 2 > 0
−1 se x − 2 < 0
> 0 se x − 2 > 0
< 0 se x − 2 < 0
• f (x) non é derivabile per x = 2
•
f 0 (x) =
35 / 44
Esempio 3
• f (x) = |x − 2| =⇒ f 0 (x) =
1 se x − 2 > 0
−1 se x − 2 < 0
> 0 se x − 2 > 0
< 0 se x − 2 < 0
• f (x) non é derivabile per x = 2
•
f 0 (x) =
• La funzione non é derivabile in x = 2, ma x = 2 é un
minimo locale. Infatti f 0 (x) < 0 per x < 2 e f 0 (x) > 0 per
x > 2.
35 / 44
Esempio 4
(
1 − 21
p
se x > 0
0
2x
|x| =⇒ f (x) =
1 − 21
se x < 0
−2x
> 0 se x > 0
• f 0 (x) =
< 0 se x < 0
• f (x) non é derivabile per x = 0
• f (x) =
36 / 44
Esempio 4
(
1 − 21
p
se x > 0
0
2x
|x| =⇒ f (x) =
1 − 21
se x < 0
−2x
> 0 se x > 0
• f 0 (x) =
< 0 se x < 0
• f (x) non é derivabile per x = 0
• f (x) =
• La funzione non é derivabile in x = 0, ma x = 0 é un
minimo locale. Infatti f 0 (x) < 0 per x < 0 e f 0 (x) > 0 per
x > 0.
36 / 44
Esempio 5
• f (x) =
q
√
1
1 − 23
1 3 1
0
3
3
x = x =⇒ f (x) = 3 x = 3 x2
37 / 44
Esempio 5
q
√
1
1 − 23
1 3 1
0
3
3
x = x =⇒ f (x) = 3 x = 3 x2
q
• f 0 (x) = 13 3 12 > 0 ∀x ∈ R
x
• f (x) =
37 / 44
Esempio 5
q
√
1
1 − 23
1 3 1
0
3
3
x = x =⇒ f (x) = 3 x = 3 x2
q
• f 0 (x) = 13 3 12 > 0 ∀x ∈ R
x
• f (x) =
37 / 44
Esempio 5
q
√
1
1 − 23
1 3 1
0
3
3
x = x =⇒ f (x) = 3 x = 3 x2
q
• f 0 (x) = 13 3 12 > 0 ∀x ∈ R
x
• f (x) =
• f (x) é sempre crescente e la funzione non é
derivabile in x = 0. Infatti f 0 (x) → +∞ per x → 0 e x = 0
non é né massimo né minimo locale.
37 / 44
Riepilogando
• Nei punti di massimo e minimo locale la derivata
prima, se esiste, é nulla
38 / 44
Riepilogando
• Nei punti di massimo e minimo locale la derivata
prima, se esiste, é nulla
• La retta tangente in questi punti é parallela all’asse
delle x
38 / 44
Riepilogando
• Nei punti di massimo e minimo locale la derivata
prima, se esiste, é nulla
• La retta tangente in questi punti é parallela all’asse
delle x
• Un punto critico puó essere massimo o minimo locale
anche quando non stazionario
38 / 44
Riepilogando
• Nei punti di massimo e minimo locale la derivata
prima, se esiste, é nulla
• La retta tangente in questi punti é parallela all’asse
delle x
• Un punto critico puó essere massimo o minimo locale
anche quando non stazionario
• Un punto stazionario non é sempre un massimo o un
minimo locale
38 / 44
Derivata seconda
Sia data una funzione f (x). Se la sua funzione derivata
prima f 0 (x) é derivabile in un intervallo, la sua derivata si
chiama derivata seconda di f (x) e si indica con f 00 (x) o
d2
f (x).
dx2
39 / 44
Derivata seconda
Sia data una funzione f (x). Se la sua funzione derivata
prima f 0 (x) é derivabile in un intervallo, la sua derivata si
chiama derivata seconda di f (x) e si indica con f 00 (x) o
d2
f (x).
dx2
La derivata seconda é la derivata della derivata, (ovverosia
l’incremento dell’incremento). Geometricamente la derivata
seconda misura quindi l’incremento della pendenza; se
la pendenza diminuisce la curva pende sempre piú verso
il basso e quindi abbiamo concavitá verso il basso. Se
viceversa la pendenza aumenta la curva pende sempre
piú verso l’alto e quindi abbiamo concavitá verso l’alto.
39 / 44
Derivata seconda
Una funzione f (x) derivabile due volte in un intervallo
40 / 44
Derivata seconda
Una funzione f (x) derivabile due volte in un intervallo
• ha concavitá verso l’alto negli intervalli del dominio in
cui si ha f 00 (x) > 0;
40 / 44
Derivata seconda
Una funzione f (x) derivabile due volte in un intervallo
• ha concavitá verso l’alto negli intervalli del dominio in
cui si ha f 00 (x) > 0;
• ha concavitá verso il basso negli intervalli del dominio
in cui si ha f 00 (x) < 0;
40 / 44
Derivata seconda
Una funzione f (x) derivabile due volte in un intervallo
• ha concavitá verso l’alto negli intervalli del dominio in
cui si ha f 00 (x) > 0;
• ha concavitá verso il basso negli intervalli del dominio
in cui si ha f 00 (x) < 0;
• i punti del grafico in cui la funzione cambia concavitá
si chiamano punti di flesso. In tali punti, se esiste,
f 00 (x) = 0.
40 / 44
Derivata seconda
Una funzione f (x) derivabile due volte in un intervallo
• ha concavitá verso l’alto negli intervalli del dominio in
cui si ha f 00 (x) > 0;
• ha concavitá verso il basso negli intervalli del dominio
in cui si ha f 00 (x) < 0;
• i punti del grafico in cui la funzione cambia concavitá
si chiamano punti di flesso. In tali punti, se esiste,
f 00 (x) = 0.
Osservazione. Si parla di flesso a tangente orizzontale
se nel punto in cui f 00 = 0 si aveva anche f 0 = 0. Altrimenti
si parla di flesso a tangente obliqua
40 / 44
Esempio
• f (x) = x3
f 0 (x) = 3x2
f 00 (x) = 6x
41 / 44
Esempio
• f (x) = x3 f 0 (x) = 3x2 f 00 (x) = 6x
• f 00 (x) = 3x2 > 0 ∀x ∈ R
41 / 44
Esempio
• f (x) = x3 f 0 (x) = 3x2 f 00 (x) = 6x
• f 00 (x) = 3x2 > 0 ∀x ∈ R per cui la funzione é sempre
crescente, in x = 0 la tangente é orizzontale ma non é
né minimo né massimo locale
41 / 44
Esempio
• f (x) = x3 f 0 (x) = 3x2 f 00 (x) = 6x
• f 00 (x) = 3x2 > 0 ∀x ∈ R per cui la funzione é sempre
crescente, in x = 0 la tangente é orizzontale ma non é
né minimo né massimo locale
• f 00 (x) = 6x > 0 per x > 0 concavitá verso l’alto
41 / 44
Esempio
• f (x) = x3 f 0 (x) = 3x2 f 00 (x) = 6x
• f 00 (x) = 3x2 > 0 ∀x ∈ R per cui la funzione é sempre
crescente, in x = 0 la tangente é orizzontale ma non é
né minimo né massimo locale
• f 00 (x) = 6x > 0 per x > 0 concavitá verso l’alto
• f 00 (x) = 6x < 0 per x < 0 concavitá verso il basso
41 / 44
Esempio
• f (x) = x3 f 0 (x) = 3x2 f 00 (x) = 6x
• f 00 (x) = 3x2 > 0 ∀x ∈ R per cui la funzione é sempre
crescente, in x = 0 la tangente é orizzontale ma non é
né minimo né massimo locale
• f 00 (x) = 6x > 0 per x > 0 concavitá verso l’alto
• f 00 (x) = 6x < 0 per x < 0 concavitá verso il basso
• f 00 (x) = 0 se x = 0 =⇒ (0, f (0)) é unn flesso a
tangente orizzontale
41 / 44
Esempio
• f (x) = x3 f 0 (x) = 3x2 f 00 (x) = 6x
• f 00 (x) = 3x2 > 0 ∀x ∈ R per cui la funzione é sempre
crescente, in x = 0 la tangente é orizzontale ma non é
né minimo né massimo locale
• f 00 (x) = 6x > 0 per x > 0 concavitá verso l’alto
• f 00 (x) = 6x < 0 per x < 0 concavitá verso il basso
• f 00 (x) = 0 se x = 0 =⇒ (0, f (0)) é unn flesso a
tangente orizzontale
41 / 44
Riassunto punto critici
Si dice punto critico un punto x0 in cui una funzione f ha
derivata nulla (punto stazionario) oppure in cui non esiste
la derivata prima.
42 / 44
Riassunto punto critici
Si dice punto critico un punto x0 in cui una funzione f ha
derivata nulla (punto stazionario) oppure in cui non esiste
la derivata prima.
A. Punti stazionari. f 0 (x0 ) = 0. In talcaso il punto x0 é:
42 / 44
Riassunto punto critici
Si dice punto critico un punto x0 in cui una funzione f ha
derivata nulla (punto stazionario) oppure in cui non esiste
la derivata prima.
A. Punti stazionari. f 0 (x0 ) = 0. In talcaso il punto x0 é:
1) un massimo o un minimo relativo;
42 / 44
Riassunto punto critici
Si dice punto critico un punto x0 in cui una funzione f ha
derivata nulla (punto stazionario) oppure in cui non esiste
la derivata prima.
A. Punti stazionari. f 0 (x0 ) = 0. In talcaso il punto x0 é:
1) un massimo o un minimo relativo;
2) un punto di flesso a tangente orizzontale;
42 / 44
Riassunto punto critici
Si dice punto critico un punto x0 in cui una funzione f ha
derivata nulla (punto stazionario) oppure in cui non esiste
la derivata prima.
A. Punti stazionari. f 0 (x0 ) = 0. In talcaso il punto x0 é:
1) un massimo o un minimo relativo;
2) un punto di flesso a tangente orizzontale;
42 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
43 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
f (x0 + h) − f (x0 )
= ∞ e si presentano i seguenti
h→0
h
casi
1) lim
43 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
f (x0 + h) − f (x0 )
= ∞ e si presentano i seguenti
h→0
h
casi
1) lim
a) lim f 0 (x) = +∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”ascendente”;
43 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
f (x0 + h) − f (x0 )
= ∞ e si presentano i seguenti
h→0
h
casi
1) lim
a) lim f 0 (x) = +∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”ascendente”;
b) lim f 0 (x) = −∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”discendente”;
43 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
f (x0 + h) − f (x0 )
= ∞ e si presentano i seguenti
h→0
h
casi
1) lim
a) lim f 0 (x) = +∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”ascendente”;
b) lim f 0 (x) = −∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”discendente”;
c) lim f 0 (x) = ±∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
x→x0±
verso il basso;
43 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
f (x0 + h) − f (x0 )
= ∞ e si presentano i seguenti
h→0
h
casi
1) lim
a) lim f 0 (x) = +∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”ascendente”;
b) lim f 0 (x) = −∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”discendente”;
c) lim f 0 (x) = ±∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
x→x0±
verso il basso;
d) lim f 0 (x) = ∓∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
x→x0±
verso l’alto;
43 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
f (x0 + h) − f (x0 )
= ∞ e si presentano i seguenti
h→0
h
casi
1) lim
a) lim f 0 (x) = +∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”ascendente”;
b) lim f 0 (x) = −∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”discendente”;
c) lim f 0 (x) = ±∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
x→x0±
verso il basso;
d) lim f 0 (x) = ∓∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
x→x0±
verso l’alto;
43 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
f (x0 + h) − f (x0 )
= ∞ e si presentano i seguenti
h→0
h
casi
1) lim
a) lim f 0 (x) = +∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”ascendente”;
b) lim f 0 (x) = −∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”discendente”;
c) lim f 0 (x) = ±∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
x→x0±
verso il basso;
d) lim f 0 (x) = ∓∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
x→x0±
verso l’alto;
43 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
f (x0 + h) − f (x0 )
= ∞ e si presentano i seguenti
h→0
h
casi
1) lim
a) lim f 0 (x) = +∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”ascendente”;
b) lim f 0 (x) = −∞ il punto x0 é un punto di flesso a
x→x0±
tangente verticale ”discendente”;
c) lim f 0 (x) = ±∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
x→x0±
verso il basso;
d) lim f 0 (x) = ∓∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta
x→x0±
verso l’alto;
43 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
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Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
2) f+0 (x0 ) 6= f−0 (x0 )
44 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
2) f+0 (x0 ) 6= f−0 (x0 )
In tal caso si hanno i punti angolosi. Si hanno punti
angolosi anche quando f+0 (x0 ) é finita e f−0 (x0 ) non é
finita o viceversa
44 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
2) f+0 (x0 ) 6= f−0 (x0 )
In tal caso si hanno i punti angolosi. Si hanno punti
angolosi anche quando f+0 (x0 ) é finita e f−0 (x0 ) non é
finita o viceversa
3) Non esiste in x0 il limite del rapporto incrementale.
44 / 44
Riassunto punto critici
B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendo
continua la funzione in x0 ). Ció puó avvenire per i
seguenti motivi:
2) f+0 (x0 ) 6= f−0 (x0 )
In tal caso si hanno i punti angolosi. Si hanno punti
angolosi anche quando f+0 (x0 ) é finita e f−0 (x0 ) non é
finita o viceversa
3) Non esiste in x0 il limite del rapporto incrementale.
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