PROGRAMMA DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE I
anno accademico 1998-99
Corso di Laurea in Sc. Geologiche
Prof. Fabio Rosso
A partire dall'anno in corso, questo testo, nonché altre informazioni e novità, testi dei compiti scritti e
correzione degli stessi sono disponibili in rete all'indirizzo http://web.math.unifi.it/users/rosso
1. Insiemi e applicazioni Approccio intuitivo al concetto di insieme, denizioni di intersezione,
unione, dierenza, complementare, insiemi numerici R, Q, Z, N, Principio di Induzione, applicazioni e corrispondenze denite su insiemi numerici,retta reale, graci cartesiani, proprietà
delle disuguaglianze.
2. Trigonometria elementare Angoli orientati, seno, coseno di un angolo orientato, identità trigonometriche elementari, formule di bisezione, duplicazione, somma e dierenza.
3. Richiami di Geometria Analitica Rette, piani,luoghi geometrici, coniche, quadriche.
4. Elementi di Algebra lineare Concetti base (vettore riga e vettore colonna), matrici
m × n,
trasposizione, somma di matrici, prodotto di una matrice per uno scalare, prodotto righe epr
colonne di matrici, determinanti di matrici quadrate n×n (casi particolari 2×2 e 3×3), sistemi
lineari omogenei e non, rango di una matrice teoremi di Cramer e Rouche-Capelli, autovalori e
autovettori di una matrice quadrata.
5. Applicazioni reali Funzioni iniettive, suriettive, invertibili, funzioni elementari (lineare, valore
assoluto, potenza, esponenziale, logaritmica, trigonometriche e loro inverse), funzioni composte.
6. Successioni numeriche e limiti Estremo superiore e inferiore di un insieme numerico, minimo
e massimo, denizione di limite, operazioni elementari e limiti, forme indeterminate, unicità
del limite, permanenza del segno, limiti notevoli, successioni monotone, il numero di Neper,
successioni denite per ricorrenza, successione di Erone, successione di Fibonacci. Ordine di
inniti ed innitesimi.
7. Limiti di funzioni Punti di accumulazione al nito e all'innito, limiti niti e inniti, limiti
destri e sinistri, limiti notevoli di funzioni dedotti dai corrispondenti limiti di successioni.
8. Funzioni continue Denizioni, classicazione dei punti singolari, prolungamento per continuità,
teorema di esistenza degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass.
9. Derivata e dierenziale Denizione e signicato sico - geometrico, continutà come conseguen-
za della derivabilità, teorema del dierenziale, derivazione di funzioni composte e di funzioni
invertibili, teoremi di Rolle, Fermat, Lagrange, minimi e massimi locali, proprietà locali e globali, concavità e convessità, punti di esso, patologie generate da funzioni del tipo xn sin(1/x),
criterio di concavità - convessità globale, teorema di l'Hôpital, metodo di Newton per la ricerca
degli zeri di f (x).
1
10. Analisi qualitativa di funzioni Dominio di denizione simmetrie, asintoti orizzontali, verticali e obliqui, analisi dei punti critici.
11. Tecniche di approssimazione Formula di Taylor, polinomi di Taylor di ordine n delle funzioni
elementari, loro signicato geometrico, resto di Taylor nella forma di Cauchy e nella forma di
Lagrange, stima del resto.
12. Serie numeriche e di funzioni Denizioni, serie geometrica e armonica generalizzata, criteri
di convergenza (confronto, rapporto, radice), serie a segno positivo e alternato, convergenza
assoluta, riordinamento di una serie, cenni su serie di Taylor.
13. Integrazione secondo Riemann Somme integrali e metodo di esaustione, integrale denito,
proprietà di additività, linearità e confronto, teorema della media, funzioni primitive e teorema fondamentale del calcolo integrale, formula fondamentale del calcolo integrale, integrale
indenito, integrali di funzioni elementari, integrazione per parti, per sostituzione, per decomposizione in somma, integrazione di funzioni razionali, integrali impropri, metodi di confronto
per integrali impropri.
14. Equazioni dierenziali Equazioni di primo e secondo ordine lineari, equazioni a variabili sep-
arabili, principio del determinismo e problema ai valori iniziali, esempi di equazioni importanti
nelle scienze applicate, sistemi dierenziali, metodo di variazione delle costanti delle costanti
arbitrarie.
Gli argomenti su elencati sono classici e quindi reperibili su qualsiasi testo di matematica istituzionale. Naturalmente il taglio della presentazione varia da autore ad autore. Il testo [1] si avvicina
molto, per contenuto ed esposizione, al corso svolto. Altri testi utili allo studente che abbia interesse
ad approfondire l'utilizzo della matematica nelle scienze non solo geologiche, ma anche biologiche,
naturalistiche, sociali etc. sono [2],[3],[4]. Esistono numerosissimi libri di esercizi tutti ugualmente
validi. Segnalo in particolare [5] [6]
Il corso prevede accertamenti scritti intermedi del livello di apprendimento. Il superamento di
queste prove comporta l'esenzione dalla prova scritta d'esame per tutta la durata della prima sessione
utile (attualmente quella Estiva).
N.B.→ Dei seguenti Teoremi e Proposizioni in [1] è richiesta esplicitamente la
conoscenza delle corrispondenti dimostrazioni
CAP 4 Espressione degli elementi dell'inversa di una matrice (p.135), Kramer (pp. 151-155),
Teorema sui sistemi omegenei (p. 162)
CAP 7 Unicità del limite (pp. 255-256), Ogni successione convergente è limitata (p. 258), Perma-
nenza del segno e suoi corollari (pp. 261-262), Carabinieri (pp. 262-263), an → 0 ↔ |an | → 0
(pp.263-264), Limite di una successione convergente per una limitata (entrambi i metodi)
(pp.264), Limiti notevoli: an (a ∈ R) per n → ∞ (pp.265-267), sinanan per an → 0 (p. 268),
Criterio del rapporto e confronto fra inniti di ordine crescente (pp. 278-279).
2
CAP 8 Permanenza del segno, esistenza dei valori intermedi (I e II), criterio di invertibilità (pp.310315), esistenza degli zeri (metodo di bisezione) (pp. 320-322)
CAP 9 Successioni monotone (pp. 327-328)
CAP10 Operazioni con le derivate, derivazione delle funzioni composte e delle inverse (pp.354-358),
derivazione delle funzioni elementari (pp.358-361), signicato geometrico della derivata (pp.
361-363)
CAP 11 Fermat, Rolle e Lagrange (pp. 380-382), criteri di monotonia, stretta monotonia, convessità
(pp. 383-388), Hôpital (pp. 390-391), Taylor (pp. 398-399), criterio di min/max (pp. 400-402),
metodo di Newton (pp. 414-416)
CAP 13 Metodo di esaustione (pp. 467-471), media integrale (pp.476-478)
CAP 15 T. fondamentale del calcolo integrale, caratterizzazione delle primitive e formula fondamentale (pp. 502-505), formula di integrazione per parti e per sostituzione (pp. 515-520)
CAP 16 Resto di Peano (p. 553), resto integrale e di Lagrange (pp. 560-563)
CAP 17 Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, degli innitesimi, della radice e del rapporto (pp.578-582). Criterio di convergenza per le serie a termini di
segno alterno (pp. 582-583). Criterio di convergenza assoluta (pp. 584-585).
CAP 18 Soluzione dell equazione del I ordine lineare e teorema di Cauchy (pp.607-610), equazione
a variabili separabili (pp. 614-615)
CAP 19 Soluzione dell equazione lineare del II ordine lineare (p. 629-630), soluzione dell equazione
omogenea lineare del II ordine (pp. 635-636).
Riferimenti bibliograci
[1] Marcellini & Sbordone,Calcolo, Ed. Liguori, 1992
[2] Ferguson, Mathematics
in Geology,
[3] Batschelet,Introduzione
alla Matematica per Biologi,
[4] Barbaugh & Bonham-Carter
York, London, 1970
Ed. Chapman Hall, 1988
Ed. Piccin, Padova, 1988
Computer Simulation in Geology
, Ed. Wiley Interscience, New
[5] Marcellini & Sbordone, Esercitazioni di Matematica I (parte prima e seconda) Ed. Liguori, 1992
[6] Ayres, Calculus, Ed. McGraw-Hill, 1993
3
