Tutoraggio 1

ESERCIZIFISICAI–Lezione01–2017-03-16
Tutor:AlessandroUrsi
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ESERCIZIO1
Trevettori,a,b,cciascunoconunmodulodi50unità,giaccionosulpianoxyeformanoangoli
rispettivamentedi30°,195°e315°conl'assex.Trovareconmetodograficoimoduliele
direzionideivettori:
1.1 ilvettoreu=a+b+c
1.2 ilvettorev=a-b+c
1.3 ilvettorew|(a+b)-(c+w)=0
Cercarewtalepercui(a+b)-(c+w)=0equivaleacercareilvettorew=a+b-c.
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ESERCIZIO2
Datiduevettoriu=(1,0,-1)ev=(2,4,3),calcolare:
2.1 ilprodottoscalareu·v
! · ! = !! !! + !! !! + !! !! = 1 · 2 + 0 · 4 + (−1) · 3 = 2 − 3 = −1
2.2 ilprodottovettorialeuxv
!
!
!
! ! !
!×! = !! !! !! = 1 0 −1 = 4! − 5! + 4! = (4, −5,4)
!! !! !!
2 4 3
2.3 l'angolocompresotraivettoriϑ∠(u,v)
Dalladefinizionediprodottoscalare:
!·!
! · ! = !" cos ! → ! = cos !! !" = cos !!
= cos !!
!!
! !! ! !! !
!!
!
!
!!
! !"
!
= cos !! −
!"
!!! !!!! !!!!
= 82.4°
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ESERCIZIO3
Determinareilnumerorealemtalepercuiw=(m,2-m,m-1):
3.1 risulticomplanareaivettoriu=(3,2,1)ev=(-1,2-1)
Considerandoche:
!×! ⊥ !, !
! · ! = 0 ⇒ ! ⊥ !
unvettorecomplanareauevsaràortogonalealvettoreuxv:
! · !×! = 0
!
! !
(!, 2 − !, ! − 1) · 3 2 1 = 0
−1 2 −1
(!, 2 − !, ! − 1) · (−4,2,8) = 0
2! − 4 = 0
dacuiilvettore:
! = 2 → ! = (2,0,1)
3.2 formiunangoloϑ=π/4conilvettorex=(1,0,0)
Dalladefinizionediprodottoscalare:
! · ! = !" cos !
!
!! !! + !! !! + !! !! = !!! + !!! + !!! · 1 · cos ! !
! = !! + (2 − !)! + (! − 1)! ! !! − 6! + 5 = 0
dacuiottengoduesoluzioni:
!! = 5 → !! = (5, −3,4)
!! = 1 → !! = (1,1,0)
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ESERCIZIO4
Unautobuspartedaunafermatae,muovendosisustradarettilinea,sifermaallasuccessiva
impiegando35s.Sel'andamentodellasuavelocitàduranteilmotoèquelloinfigura:
4.1 tracciareilgraficodell'accelerazioneedellospaziopercorsoinfunzionedeltempo
Convertolavelocitàdakm/ham/s:
![!"/ℎ] = ![!/!] · 3.6 → 36 !"/ℎ = 10 !/!
Dividoilmotointreregioni:zonaI(A-B),zonaII(B-C),zonaIII(C-D)
ZonaI:motouniformementeaccelerato
Dalladefinizionediaccelerazione:
(! !! )
!" !/!
!!" = !! !! ! = !" ! = 1 !/! ! !
!
!
!
Dallaleggedelmoto:
!! = !! + !! (!! − !! ) + !!!! (!! − !! )! = !!(1 !/! ! )(10 !)! = 50 !
ZonaII:motorettilineouniforme
Dalladefinizionediaccelerazione:
(! !! )
!
!!" = !! !! ! = !" ! = 0 !/! ! Dallaleggedelmoto:
!! = !! + !! (!! − !! ) + !!!! (!! − !! )! = 50 ! + 10 !/!(20 !) = 250 !
ZonaIII:motouniformementedecelerato
Dalladefinizionediaccelerazione:
(! !! )
!!" !/!
!!" = !! !! ! = ! ! = −2 !/! ! !
!
Dallaleggedelmoto:
!! = !! + !! (!! − !! ) + !!!! (!! − !! )! = 250 ! + 10 !/!(5 !) + !!(−2 !/! ! )(5 !)! = 275 !
Daquestidatisiottengonoigraficicorrispondenti:
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ESERCIZIO5
Unuomodimassam=70kgsaltadaunafinestra,postaadun'altezzadiH=13mdaterra,in
unaretedeivigilidelfuocoaltaHR=2m.Larete,cedendodih=1.5m,riesceadarrestare
l'uomo:
5.1 calcolarelavelocitàdell'uomoquandotoccalarete
Nellaprimapartedelmoto,l'uomosilasciacadere(velocitàinizialenulla)eraggiungelarete,
percorrendounadistanzaH-HR=11m,soggettoallasolaaccelerazionedigravità:
Nonconoscendonéiltempoimpiegatoaraggiungerelarete,nélavelocitàfinaleconcui
l'uomotoccalarete,impostounsistemacompostodadueequazioni:laleggedelmotoela
definizionediaccelerazione
!! = !! + !! (!! − !! ) + !!!(!! − !! )! ! !!
! = !! !! ! !
!
ConsiderandountempoinizialetI=0,unavelocitàinizialenullaeun'accelerazionedigravitàg:
! − !! = !!!!! ! !
! = ! ! !
Risolvoilsistema,sostituendotF:
! − !! = !!
!! !
!
→ !! =
2!(! − !! ) = 14.7 !
5.2 calcolareladecelerazioneddell'uomodurantelafasediarresto
Nellasecondapartedelmotol'uomopercorreunadistanzah=1.5m(corrispondente
all'elongazionedellarete),conunavelocitàinizialenonnullaacquistatadurantelacadutae
unadecelerazioneincognitad.
Nonconoscendonéiltempoimpiegatoapercorrereladistanzah,néladecelerazioned,
impostounsistemadidueequazioni:laleggedelmotoeladefinizionediaccelerazione
!! = !! + !! (!! − !! ) + !!!(!! − !! )! ! !!
! = !! !! ! !
!
ConsiderandountempoinizialetI=0,unavelocitàfinalenulla(l'uomovienefermato)euna
decelerazioned:
ℎ = !! !! + !!!!! ! !!
! = ! ! !
Dacui,sostituendotF:
ℎ = −!!
!! !
!
!
! !!
! = −! ! Considerandochelavelocitàinizialenellasecondapartedelmotocorrispondeallavelocità
finaledellaprimapartedelmoto:
!!
!!(!!! )
!
! = −!! !! = −!!
= −4.9 !/! ! !
PERCASA
5.3 Lastessadecelerazionedsalverebbeunuomochesilanciadaunafinestrapostaa
15mdaterra?
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ESERCIZIO6
Ildiagrammadellavelocitàinfunzionedeltempodiunpuntocheesegueunmotoarmonicoè
lasinusoideinfigura.Calcolare:
6.1 ladistanzatralaposizionedelpuntoaltempot1=T/4equellaaltempot0=0
dalgraficosideducechelaleggedelmotoèsinusoidale,conampiezzamassimavMAX=2m/s,
cioè
!!
!(!) = !!"# sin ! ! Pertrovareladistanzapercorsatradueistantiditempot1et2,integrolavelocità:
!(!! − !! ) =
!!
!"
!!
!!
!!"# sin
!
! = !!"#
!
cos
!!
!!
!
!
!/!
!
= 1.27 !
6.2 l'accelerazionedelpuntoaltempot2=3/4T
Pertrovarel'accelerazioneinundatoistanteditempot2,derivolavelocità:
!
!
!!
!!
!!
!(!! ) = !" !(!) = !" !!"# sin ! !
= !!"# ! cos ! !
= 0 !/! ! !!
!/! !