1. LA COSTANZA DELLA
DELLA PORTATA
v
Consideriamo un fluido in movimento che presenti le seguenti caratteristiche:
1) La velocità del fluido in ogni punto non cambia mai né direzione né intensità
con il passare del tempo. Si dice in questo caso che il moto è stazionario.
2) Il fluido è in condizioni di incompressibilità (il che è quasi sempre vero per
l’acqua ma ad esempio in caso dell’aria dovremo richiedere che la velocità
non sia molto elevata: al di sotto di quella del suono)
3) Il fluido sia privo di attrito che dissipa l’energia meccanica rallentando il
movimento. Un fluido che soddisfa questa richiesta si dice che è non viscoso.
A
Il moto di un fluido con tali caratteristiche viene detto moto laminare e può essere rappresentarlo attraverso
una serie di linee che siano punto per punto tangenti alla velocità del fluido stesso, alle quali si dà il nome di
linee di flusso. Sotto le condizioni su scritte le linee di flusso non possono evidentemente incrociarsi mai,
altrimenti vi sarebbe ambiguità nel valore della velocità in punti come A in figura, dove non è possibile
individuare la tangente.
Supponiamo che un fluido siffatto si muova dentro ad un tubo che presenti una strozzatura:
v1
A1
A2
v2
E’ evidente che bisogna far accelerare il fluido se si vuole che segua un tale percorso. Infatti la legge fisica
della conservazione della massa richiede che, se nello spazio fra la porzione di tubo a sezione grande e la
porzione a sezione piccola non ci sono buchi attraverso cui il fluido può uscire dal tubo, il numero di litri che
ogni secondo passa attraverso la grande sezione A1 deve essere uguale a quello che attraversa, ogni secondo,
la sezione piccola A2 . Per far passare uno stesso quantitativo attraverso una sezione piccola dobbiamo
aumentare la velocità, quindi il valore v2 nella sezione piccola dovrà essere maggiore della velocità v1 nella
sezione grande. E’ questa la situazione di un tubo per innaffiare il giardino: lo si strozza fra le dita per
aumentarne la velocità di uscita e quindi la gittata, in modo che l’acqua arrivi più lontano. Ma ovviamente
per fare questo ci vuole una pompa: bisogna cioè che l’acqua sia spinta nel tubo da una pressione maggiore
di quella atmosferica, come accade quando esce dal rubinetto.
v1∆t
v 2 ∆t
A1
A2
1
Consideriamo ora un intervallo di tempo di durata ∆t . Possiamo immaginare che il fluido che durante ∆t
passa attraverso la sezione grande A1 era prima contenuto in un cilindro di altezza v1∆t . Se infatti la
velocità vale v1 una molecola al massimo percorre questa distanza in un tempo ∆t , e quindi se si trova più
lontana di v1∆t da A1 non riuscirà a raggingerla entro tale intervallo. Viceversa tutte le molecole la cui
distanza da A1 è minore di v1∆t attraverserano la sezione A1 durante ∆t . Allo stesso modo il fluido che
attraversa A2 durante ∆t era prima contenuto in un cilindro di altezza v2∆t .
Come si è detto la legge di conservazione della massa vuole che le due quantità di fluido siano uguali. Per
ottenere la massa di fluido in ciascuno dei due cilindri basta moltiplicare il volume:
area di base × altezza = A × v ∆t
per la densità ρ del fluido. L’uguaglianza delle due masse fornisce una relazione nota come costanza della
portata:
ρ A1v1 ∆t = ρ A2v2 ∆t
⇒
A1v1 = A2v2
in cui la grandezza costante Av , detta portata, è proporzionale alla
quantità di fluido che passa attraverso una qualunque sezione
nell’unità di tampo.
Applicazioni della legge di costanza della portata si osservano nel
flusso d’acqua che scende dal rubinetto facendosi sempre più sottile,
oppure nella cima dello zampillo di una fontana che va allargandosi
con l’altezza. Nel primo caso, l’acqua parte con una velocità in cima
all’imboccatura, che si accresce di un fattore
2gh quando tocca
v1∆t {
v2∆t
} v1∆t
{
v2∆t
terra. La maggiore velocità comporta l’assottigliamento della
sezione, e quindi del filo d’acqua, in quanto i litri che ogni secondo
toccano il fondo del lavandino devono essere gli stessi che fuoriescono ogni secondo dall’imboccatura. Nel
secondo caso, l’acqua va diminuendo la velocità verticale fino ad azzerarsi nel punto più alto dello zampillo,
il che comporta l’allargamento del getto andando verso l’alto, nel rispetto della legge di conservazione della
massa.
Consideriamo ora il profilo dell’ala di un aeroplano: la situazione si presenta analoga a quella di un tubo con
la strozzatura.
A2
v2
v1
A1
PUNTO DI
STAGNAZIONE
Analizziamo la situazione nel riferimento dell’aereo, in cui è l’aria ad andargli incontro: senza entrare nei
dettagli del motivo osserviamo che le molecole del fluido tendono a seguire il profilo dell’ala1.
Questo ha per conseguenza un infittirsi delle linee di flusso sopra all’ala ed un diradarsi sotto di essa.
Consideriamo ora una linea chiusa, come quella che racchiude la superficie A1 . Come sappiamo, se vale la
1
Si tratta di un effetto noto come trascinamento. Il flusso d’aria superiore trascina via le molecole che si trovano sotto
di esso, al riparo dal moto complessivo grazie all’ala. Questo abbassa localmente la pressione e fa piegare il corso delle
molecole modellandolo a forma di ala. E’ quello che succede quando soffiamo sopra ad un foglio ricurvo in basso e lo
vediamo alzarsi.
2
nostra ipotesi di moto stazionario e privo di attriti, l’aria segue sempre delle linee di flusso che non si
incrociano mai. In altri termini, se vogliamo poter individuare direzione ed intensità della velocità dell’aria
in ogni punto, le linee di flusso che sono abbracciate da A1 non escono mai dal tubo di flusso individuato
dalle linee che intercettano il contorno di A1 . Il fatto che l’ala dell’aereo occupi una porzione di spazio con
quella particolare forma fa sì che nel punto detto di stagnazione i fasci delle linee di flusso si separino, e
seguendo il tubo di flusso definito dalle linee sul contorno di A1 , la sua sezione si restringa fino a diventare
la piccola area A2 nella regione sopra all’ala. La situazione è analoga a quella del condotto che presenta una
strozzatura, ed anche in questo caso la legge di conservazione della massa vuole che l’aria che entra ogni
secondo attraverso la grande sezione A1 fuoriesca per la stessa quantità al secondo dalla piccola sezione A2 .
Dalla costanza della portata A1v1 = A2v2 si deduce allora che v2 > v1 .
2. IL TEOREMA DI BERNOULLI
Vogliamo ricavare ora una relazione quantitativa che esprima
l’aumento della velocità in funzione della pressione applicata a
due estremi del tubo con una strozzatura.
A norma del secondo principio della dinamica, se c’è un
aumento di velocità nella strozzatura questo comporta l’azione
di una forza verso destra, pari alla differenza:
P1
A1
A2
P2
F1 − F2 = P1A1 − P2A2
Scegliamo ancora un intervallo di tempo lungo ∆t e calcoliamo
il lavoro fatto da questa forza sulla massa di acqua compresa
fra le due sezioni A1 ed A2 .
F2
F1
La forza P1A1 sposta il proprio punto di applicazione del tratto
v 2 ∆t
v1∆t
v1∆t e tale spostamento è equiverso alla forza, che compie pertanto lavoro motore. La forza P2A2 sposta il
proprio punto di applicazione del tratto v2∆t e tale spostamento ha verso contrario alla forza, che compie
pertanto lavoro resistente. Complessivamente:
W = F1v1∆t − F2v2∆t = P1A1v1∆t − P2A2v2 ∆t = PV
1 − P2V
essendo il volume V = A1v1∆t = A2v2 ∆t uguale per i due cilindri. Poiché alla fine dell’intervallo ∆t tutta la
porzione di fluido compresa fra i due cilindri colorati è rimasta nelle stesse condizioni, possiamo applicare il
teorema dell’eenrgia cinetica interpretare l’effetto di tale lavoro come un’azione che ha accelerato il ciclindro
di acqua di sezione A1 , che aveva velocità v1 , fino alla posizione del cilindro di sezione A2 conferendogli
velocità v2 :
W =
1
1
1
1
m2v22 − m1v12 = ρV2v22 − ρV1v12
2
2
2
2
Uguagliando le due espressioni per i lavoro:
P1 V − P2 V =
1
1
ρV v22 − ρV v12
2
2
si perviene alla formulazione del teorema di Bernoulli:
P1 +
1 2
1
ρv1 = P2 + ρv22 = costante
2
2
3
Dovendo mantenersi costante la somma di una grandezza legata alla velocità con la pressione, ne segue che
si dovrà avere una maggiore velocità dove minore è la pressione ed una minore velocità dove maggiore è la
pressione.
ESEMPIO 1: LA PORTANZA NELLE ALI DEGLI AEROPLANI
Consideriamo nuovamente il profilo di un’ala: come abbiamo visto, dalla conservazione della massa segue
che l’aria che passa al di sopra si muove più velocemente di quella che passa al di sotto, un fatto
graficamente evidenziato dall’infittirsi delle linee di flusso sopra all’ala e dal diradarsi di quelle sotto.
PORTANZA
v2
PRESSIONE
MINORE DI
QUELLA NEL
FLUSSO
P2 < Pat
Pat
v1
P1 > Pat
PRESSIONE MAGGIORE DI
QUELLA NEL FLUSSO
La pressione idrostatica a sinistra nel disegno è quella atmosferica. Applicando il teorema di Bernoulli si ha
che la maggiore velocità v2 sopra all’ala comporta una minore pressione P2 < Pat in quella regione, mentre
la minore velocità v1 sotto l’ala comporta una maggiore pressione P1 > Pat . La differenza di pressione
produce una forza verso l’alto alla quale si dà il nome di portanza, responsabile del sollevamento dell’aereo.
ESEMPIO 2: LA PALLA AD EFFETTO
La superficie di una palla non è liscia ma presenta
asperità, spesso volute, come per i palloni da calcio
o le palline da golf, e per questo tende a trascinare
con sé uno straterello d’ara ogni volta che le si
imprime un movimento di rotazione. Se la palla
viene lanciata essa sperimenta un vento d’aria in
direzione contraria alla sua velocità. Quando questo
moto si compone con la rotazione abbiamo due
movimento delle molecole di aria. Da un lato della
palla le velocità sono poste in modo da sommarsi,
dall’alto si sottraggono, come si vede in figura. Si
crea così una maggiore pressione a ridosso di una
delle due metà della palla con il risultato che la
traiettoria non è più rettilinea ma s’incurva nel verso
della rotazione.
SOMMA DELLE VELOCITÀ:
PRESSIONE MINORE
SOTTRAZIONE DELLE VELOCITÀ:
PRESSIONE MAGGIORE
4
