Elettrostatica

Elettrostatica
La maggior parte dei fenomeni fisici che si verificano attorno
a noi sono dovuti a forze elettromagnetiche:
9 forze tra atomi e molecole
9 forze chimiche ⇒ vita !
9 forze d’attrito
9 forze di resistenza viscosa
9 forze elastiche e di coesione
9 forze legate al magnetismo terrestre
9 luce è onda elettromagnetica
La tecnologia moderna è basata più del 99%
sull’ elettromagnetismo !!
[radio, televisione, motori, calcolatori, apparecchi elettronici, …]
Tutti i fenomeni che avvengono su scale superiori
alle dimensioni del nucleo atomico sono
alcuni
grandissima parte
natura gravitazionale
natura elettromagnetica
natura elettromagnetica dei fenomeni
non appare a prima vista
è rimasta ignota fino a 2 secoli fa
Perché ?
r forza elettrica: attrattiva e repulsiva
r materia: cariche negative e positive esattamente uguali
⇓
il mondo dell’elettromagnetismo è stato
completamente scoperto dall’ indagine scientifica
XVI secolo: prime osservazioni sistematiche di fenomeni
elettrici e magnetici;
…. : Coulomb, Galvani, Volta, Oersted, Ampère, Faraday
1865: equazioni di J.K. Maxwell
teoria completa dell’ elettromagnetismo classico
relativisticamente corretto
descrizione del mondo macroscopico
XX secolo: R.P. Feyman, J. Shwinger e Tamanaga
elettromagnetismo quantistico:
spiega i fenomeni su scala atomica e inferiore,
interazione tra particelle cariche e campo em.
Carica Elettrica
[evidenza sperimentale esistenza forze elettrostatiche]
strofinando palloncino sui capelli
in una giornata secca
palloncino e capelli si elettrizzano
piccoli pezzetti di carta
si attaccano fra loro e al pettine
in una giornata secca
attrazione
repulsione
strofinando bacchetta di vetro
con seta trasferisco
cariche elettriche da vetro a seta
r esiste carica positiva e negativa
r cariche dello stesso tipo si respingono,
di tipo diverso si attraggono
Struttura elettrica della materia
3 costituenti elementari:
protone
neutrone
elettrone
massa:
mp ≅ mn ≅ 1.67 10-27 kg
me ≅ 9.11 10-31 kg ≅ 1/1836 mp
dimensioni:
de< 4 10-18 m = 4 am
dp ≅ dn ≅ 10-15 m = fm
dq < 0.2 10-18 m
[puntiformi]
[formati da quark]
carica elementare [più piccola carica libera]:
qe ≡ qp = 1.602 10-19 C
qn ≡ 0
la
Coulomb
carica è quantizzata:
q = n × qe
n = ±1, ±2, ±3, …
materia:
numero enorme di costituenti elementari carichi (≈1023)
globalmente neutra
Conservazione della carica elettrica
non è possibile creare o distruggere carica elettrica
( il valore totale deve rimanere invariante)
posso solo fare trasferimenti di cariche tra corpi
annichilazione
e- + e+ → 2 γ
massa ⇒ energia [E=mc2]
carica conservata
decadimenti radioattivi
238
92U →
234
4 He
Th
+
90
2
reazioni nucleari
44 Ca
20
+p→
44
21Sc
+n
La carica elettrica totale dell’Universo è costante
Isolanti e Conduttori
all’interno di un oggetto posso avere movimento di carica
conduttori: le cariche possono muoversi
relativamente libere:
quando sono caricati in una certa zona,
la carica si distribuisce a tutto il materiale
[rame, alluminio, argento, …]
isolanti:
le cariche NON si muovono liberamente:
si caricano per strofinio, solo nella zona strofinata
[vetro, bachelite, …]
semiconduttori: materiali di proprietà intermedie:
ci sono meno cariche libere che nel conduttore
[silicio, germanio, …]
MOLTO utili in elettronica
conduttore neutro
si carica per induzione
[senza contatto]
isolante neutro
si polarizza
[senza contatto]
4 avvicinando corpo carico
a conduttore neutro
le cariche si
ridistribuiscono
4 collegando conduttore a terra
alcune cariche escono
4 rimuovendo collegamento a terra
conduttore resta carico
4 allontanando corpo carico
carica su conduttore si distribuisce
uniformemente
si forma strato
di carica
superficiale
Legge di Coulomb [1785]
bilancia di torsione
[simile esperimento Cavendish]
q1q 2
F∝ 2
r
validità:
Îcariche puntiformi
Î ferme
Î nel vuoto
esperimento difficile:
⇒ poca precisione (≈ qualche %);
⇒ non convince che
esponente sia 2 e non 2+ε
scala
graduata:
forza fra sfere
cariche è
proporzionale
ad angolo di
torsione
validità della legge è stabilita
con precisione indirettamente
[Teorema di Gauss]
q1q2 →
F12 =
r12
2
4πε 0 r
→
→
1
→
F12 = − F21
azione e reazione
ε 0 = 8.8542 × 10 −12 C 2 / N ⋅ m 2
1
4πε 0
= 8.99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2
Confronto Coulomb-Newton
q1q2
FE =
r12
2
4πε 0 r
→
1
→
m1m2
FG = −G 2 r12
r
→
→
attrattiva o repulsiva
2
1
9 Nm
k =
≈ 9 × 10
4πε 0
C2
solo attrattiva
G ≈ 6 . 67 × 10
− 11
Nm 2
kg 2
FE >> FG
esempio:
forze elettrone-protone
q e2
1
FE ( ep )
=
FG ( ep ) ( 4πε 0 ) G m e m p
me ≈ 9 × 10 −31 kg
m p ≈ 1.67 × 10 − 27 kg
qe = q p ≈ 1.6 × 10 −19 C
Nm 2
9 × 10
2
(1 . 6 × 10 −19 C ) 2
39
C
=
≈
10
2
( 9 × 10 − 31 kg 1 . 67 × 10 − 27 kg )
−11 Nm
6 . 67 × 10
kg 2
9
possibilità di osservare forze gravitazionali:
4mescolamento cariche positive e negative
4ESATTA equaglianza fra esse
esempio:
se, per assurdo, p ed e
NON avessero carica esattamente uguale
qp = 1.000000001 qe
= qe + 10-9qe
calcolare FE con cui si respingono due sfere di ferro di
1 kg alla distanza di 1 m.
Fe : 26 elettroni
26 protoni
29 neutroni
⇒ A = 55
1 mole = 55 gr
NA = 6.02 × 1023 atomi
in ciascuna sfera:
Natomi = nmoli × NA = (msfera/Mmole) × NA
= (1000/55) × NA = 1.1 × 1025
Nelettroni = 26 × Natomi =2.8 × 1026
carica sfera:
q = 2.8 × 1026 × qe × 10-9 = 4.6 × 10-2 C
q2
≈ 9 ×109 × (4.6 × 10 − 2 ) 2 N
FE =
4πε 0
≈ 2 × 107 N = 2000 tonnellate !!
[peso di circa 1000 elefanti]
principio di sovrapposizione
[principio di indipendenza delle forze simultanee]
forza risultante su ogni particella è
somma vettoriale di forze dovute a tutte le altre particelle
qi →
F = ∑ Fi = q0 ∑
ui
2
i
i 4πε 0 ri
→
→
1
4 risultato sperimentale
4 conferma carattere vettoriale legge di Coulomb
Campi Elettrici
q0 q1 →
F10 =
u
2
4πε 0 r
→
1
F10
q0
q1 →
= q0
u
2
4πε 0 r
1
q1
q1 [sorgente] esercita su q0 una forza proporzionale a:
4q0 [carica esploratrice]
4termine vettoriale
→
→
F 10 = q0 E ( r )
dipendente da
q1 e da posizione,
r
F10
1 q1 →
E (r ) =
=
u
2
def q
4πε 0 r
0
detto campo elettrico
prodotto da q1
dimensioni:
→
[E] = [F]/[q] ⇒ N/C
asimmetria fra le cariche:
q1 origina un’entità presente in tutti i punti dello spazio
q0 sperimenta la forza
⇒ il campo esiste anche quando q0 non c’è !!!
telo elastico: modello visivo di campo E
Q+
q-
Q+ [sorgente]
Æ deforma il telo
q – [carica di prova] Æ segue curvatura del campo
definizione operativa di campo
il campo elettrico E(r) si manifesta,
ponendo in r una carica esploratrice q0,
mediante la forza q0 E(r)
⇓
utilizzo una piccola carica q0
→
F
E=
def q
0
→
F
N
[E] = [ ] ⇒
Q
C
per non perturbare le cariche responsabili del campo:
→
F
E = lim
q0 → 0 q
0
→
se carica di prova q0 è grande
distribuzione di carica
sorgente viene ad essere
modificata
principio di sovrapposizione:
n cariche puntiformi
→
→
r
1 qi →
F = ∑ Fi = q0 ∑
u i = q0 E
2
i
i 4πε 0 ri
forza che agisce su q0 dovuta ad
r
r
r
r
r
r
r
Fn r r
F F1 F2 F3
E=
=
+
+ + ... +
= E1 + E2 + E3 + ... + En
q0 q0 q0 q0
q0
→
n
qi →
E=
ui
∑
2
4πε 0 i =1 ri
→
1
campo elettrico totale in un punto è
somma vettoriale di campi in quel punto
dovuti a tutte le altre particelle
esempio: campo elettrico del dipolo
dipolo elettrico = carica puntiforme positiva q e negativa –q poste a distanza
2a.
a) trovare il campo elettrico E dovuto al dipolo lungo l’asse y nel punto P a distanza y
dall’origine.
b) trovare il campo nei punti y >> a lontani dal dipolo.
a) In P i campi E1 ed E2 generati dalle cariche
hanno uguale intensità, essendo le cariche poste alla
stessa distanza da P:
E1 = E2 = ke
q
q
=
k
e
r2
a2 + y2
il campo totale
r r r
E = E1 + E2
ha componente y nulla, dato che i campi dovuti
alle due cariche hanno componenti y uguali ed opposte.
La componente x del campo E totale è invece pari
al doppio della componente x di ciascun campo:
q
cos θ
E = 2k e 2
a + y2
cos θ = a / r = a / a 2 + y 2
E = 2k e
b)
q
q
cos θ = 2ke 2
2
a +y
a + y2
2
a
a2 + y2
= ke
(a
2qa
2
+ y2
)
3/ 2
A grandi distanze dal dipolo posso trascurare il termine a2 nel denominatore, ottenendo:
2qa 1
E = ke 3 ≈ 3
y
y
a grandi distanze il campo del dipolo va ha zero più
velocemente del campo prodotto da una carica puntiforme
(E ≈ 1/y2) , dato che i campi prodotti dalle singole cariche
(positiva e negativa) tendono ad elidersi
N.B. molte molecole, come HCl, possono essere descritte come dipoli
permanenti: uno ione positivo (H+) è infatti combinato con uno ione
negativo (Cl-).
Inoltre atomi e molecole, quando posti in campi elettrici, si comportano
come dipoli.
Distribuzioni Continue di Cariche
oggetti che ci circondano sono costituiti da enorme quantità
(miliardi) di cariche sparse su
densità di carica
4 linea
4 superficie
4 volume
lunghezza l
area A
volume V
λ ≡ Q/l ⇒ C /m
def
σ ≡ Q / A ⇒ C / m2
def
σ ≡ Q /V
def
⇒ C / m3
campo prodotto
da elemento di carica ∆qi :
→
∆ E i = ke
∆ qi
rˆi
ri 2
∆ qi
rˆi
2
ri
campo totale
discreto
E = lim k e ∑
∆ qi
dq
ˆ
ˆ
r
=
k
i
e∫ 2 r
ri 2
r
→
E = ke ∑
i
→
∆q i → 0
i
utilizzando le densità
dq =λ ⋅ ds
dq =σ ⋅ da
dq =ρ ⋅ dV
trovo i campi prodotti
da distribuzioni di cariche continue spaziali
esempio: campo elettrico di un anello carico
Un anello di raggio a ha una densità lineare di carica positiva uniforme, con carica
totale Q. Calcolare il campo elettrico lungo l’asse dell’anello, in un punto P posto a
distanza x dal centro dell’anello stesso.
Idea chiave:
• calcolo il campo dE prodotto
da un elemento infinitesimo di carica
dq, che posso supporre puntiforme
• sommo i contributi dovute alle cariche dq
distribuite sull’anello
dE = ke
dq
r2
Tale campo ha componenti
dE x = dE cos θ
dE y = dE sin θ
delle quali la componente y si cancella con la
componente y dell’elemento di carica dq posta sul lato
opposto dell’anello.
Il campo E in P avrà quindi solo componente x.
Sapendo che
r = ( x 2 + a 2 )1/ 2 ,
cos θ = x / r
dE x = dE cos θ = ke
dq x
x
=
k
dq
e
( x 2 + a 2 )3 / 2
r2 r
Integro ora su tutto l’anello:
E x = ∫ dE x = ∫ ke
E x = ke
x
x
dq
k
dq
=
e
( x 2 + a 2 )3 / 2
( x 2 + a 2 )3 / 2 ∫
x
Q
( x + a 2 )3 / 2
2
N.B. A grandi distanze E≈1/x2 (carica puntiforme)
esempio: campo elettrico di un disco carico
Un disco di raggio R possiede una densità di carica positiva uniforme σ.
Qual è il campo elettrico nel punto P a distanza x dal disco lungo il suo asse?
Idea chiave:
• scompongo il disco in sottili anelli concentrici
• calcolo il campo dE prodotto da ciascun anello
• sommo i contributi dovuti a tutti gli anelli
Su un anello di raggio r e spessore radiale de
è depositata una carica
x
dq = σdA = σ (2πr )dr
la quale genera un campo sull’asse del disco pari a
dE = ke
xdq
xσ (2πr )dr σx
2rdr
=
k
=
e
(r 2 + x 2 ) 3 / 2
(r 2 + x 2 )3 / 2 4ε 0 (r 2 + x 2 ) 3 / 2
Integro ora su tutto l’anello:
σx R 2 2 −3 / 2
E = ∫ dE =
( x + r ) (2r )dr
4ε 0 ∫0
Tale integrale è della forma
X m +1
3
2
2
X
dX
,
(
),
=
con
X
=
x
+
r
m
=
−
, dX = (2r )dr
∫
m +1
2
m
da cui:
R
x
σx  ( x 2 + r 2 ) −1/ 2 
σ 

=
−
E=
1


4ε 0  − 1 / 2  0 2ε 0 
x2 + R2




N.B. A grandi dimensioni (R>>x), il disco tende ad un piano infinito
il cui campo è pari a
E=
σ
2ε 0
Linee di Campo Elettrico
[Rappresentazione grafica campo elettrostatico]
Il campo elettrico è
vettoriale
Faraday: rappresentazione geometrica dei campi vettoriali
mediante linee di forza:
→
E
curva orientata diretta punto per punto
in direzione e verso tangente
al campo in quel punto
numero linee di forza per unità di area è
proporzionale ad E
E è più intenso dove linee sono fitte
E è debole dove linee sono rade:
r r
EA >EB
proprietà linee campo elettrico E:
4sono infinite
4non si incrociano mai
4rappresentano direzione, verso, intensità
4escono da +q, entrano in -q
4possono venire o andare a ∞
esempi linee di campo
carica puntiforme
due cariche puntiformi
conduttori carichi
linee di forza attorno a conduttori carichi:
semi d’erba galleggianti su un liquido isolante
piastra
carica
sferette con
cariche
opposte
Moto di cariche in campo elettrico
forza elettrica su particella
massa m, carica q
in campo elettrico E:
r
r
Fe = qE
se NON esistono altre forze:
r
r
r
r
r qE
Fe = qE = ma ⇒ a =
m
4 costante se E uniforme
4 se q > 0 a è nel verso di E
4 se q < 0 a è opposta ad E
esempio:
campo E tra
due piastre metalliche
è uniforme
rilascio elettrone in tale campo
r
r
con velocità iniziale vi = vi i
r
E r
a = −e j = costante
m
applico equazioni cinematica con vxi = vi, vyi = 0
v x = v xi + a x t = vi = costante
eE
t
v y = v yi + a y t = −
m
⇒
x f = x0 + vxt = vit
1
1 eE 2
y f = y0 + ayt 2 = −
t
2
2m
moto parabolico !!!
[analogo a moto particella in campo gravitazionale]
applicazione: stampante
a getto d’inchiostro
si scrivono le lettere
spruzzando piccolissime
gocce d’inchiostro
elettrizzate
G = serbatoio inchiostro
C = unità di carica
segnale ingresso = computer [decide la carica q
da immettere sulla goccia]
la goccia carica colpisce la carta
in posizione determinata dai valori di E e q
ogni carattere richiede circa 100 gocce
105 gocce/sec
Flusso Elettrico
[trattazione quantitativa linee di campo]
flusso elettrico: grandezza proporzionale a
numero linee di campo
E uniforme
perpendicolare A
E uniforme
NON perpendicolare A
Φ E = EA cos θ
Φ E = EA
in generale:
∆Φ E = Ei ∆Ai cos θ i
r
r
= Ei ⋅ ∆Ai
r
r
Φ E = lim ∑ Ei ⋅ ∆Ai =
∆Ai →0
dimensioni,
unità di misura:
[Φ E ] = [ E ][ A] =
r r
∫ E ⋅ dA
superficie
[F ]
N
[ A] ⇒ m 2
[Q ]
C
flusso attraverso superficie chiusa
r
∆Ai =
def
vettori area
normali alla superficie
verso esterno
∆Φ E < 0
∆Φ E = 0
∆Φ E = Ei ∆Ai cos θ i
r
r
= Ei ⋅ ∆Ai
∆Φ E > 0
flusso totale attraverso superficie chiusa è proporzionale a
numero di linee di forza uscenti dal volume racchiuso
MENO
numero di linee di forza entranti nel volume
ΦE =
r r
∫ E ⋅ dA = ∫ En dA
superficie
esempio: flusso attraverso un cubo
dato campo elettrico E
parallelo asse x
6
trovare flusso di E
attraverso cubo di lato l
5
flusso attraverso cubo = somma flussi attraverso ogni faccia
E è perpendicolare alle facce 3, 4, 5 e 6, quindi:
Φ E (3) = Φ E (4) = Φ E (5) = Φ E (6) = 0
Il flusso di E si riduce quindi al flusso di attraverso le facce 1 e 2:
r r
r r
Φ E = ∫ E ⋅ dA + ∫ E ⋅ dA
1
2
= ∫ EdA cos(180 0 ) + ∫ EdA cos(00 )
1
2
= − E ∫ dA + E ∫ dA
1
2
= − El 2 + El 2 = 0
ugual numero di linee di campo
entranti ed uscenti
Il flusso totale attraverso il cubo è nullo
Teorema di Gauss
[legame fra flusso attraverso superficie chiusa
e carica al suo interno]
carica puntiforme q
al centro di sfera raggio r:
E perpendicolare superficie
r r
E ⋅ ∆Ai = E∆Ai cos 00 = E∆Ai
r r
1 q
q
2
π
Φ E = ∫ E ⋅ dA = ∫ E ⋅ dA = E ∫ dA = EA = (
)(
4
)
=
r
ε0
4πε 0 r 2
Φ E ∝ q conseguenza di:
4 Φ(E) proporzionale linee di campo
4 n. linee campo è proporzionale a carica
4 linee di campo uscenti da q attraversano superficie
Φ E ∝ r conseguenza di:
4 legge di Coulomb E ∝ 1/r2
4 superficie sfera ∝ r2
teorema di gauss:
flusso elettrico totale attraverso una
qualunque superficie chiusa è uguale alla
carica totale contenuta all’interno della
superficie divisa per ε0
ΦE =
qin
ε0
applicazioni: calcolo di E
[distribuzioni simmetriche di cariche]
carica puntiforme q
E perpendicolare
superficie sferica di raggio r
con carica al centro
E costante su tutti punti superficie
r r qin
Φ E = ∫ E ⋅ dA =
ε0
2
E
⋅
dA
=
E
dA
=
E
(
4
r
)=
π
∫
∫
E=
q
4πε 0 r 2
1
q
ε0
campo prodotto da carica puntiforme
come dedotto da legge di Coulomb
analogamente: campo E prodotto da:
[vedi esercizi]
4sfera uniformemente carica
4filo uniformemente carico
4piano infinito
applicazioni: conduttore carico isolato
in un conduttore carico isolato la carica si dispone totalmente
sulla superficie esterna.
nessuna carica può trovarsi all’interno
ecceso di carica:
→ campo elettrico E≠0
→ moto di cariche
All’ equilibrio elettrostatico
moto di cariche cessa
→
→
→
Σ
E=0
Φ( E ) = 0
q=0
per ogni Σ
entro ogni Σ
⇒ la carica deve essere sulla superficie del conduttore
applicazioni: schermo elettrostatico
campo elettrico interno a
conduttore cavo è sempre nullo
E=0
N.B. il conduttore può anche avere aperture/struttura a rete
[discontinuità che NON si notano a grandi distanze
⇒ utilizzo in laboratorio per proteggere delicati strumenti da campi elettrici]
Energia Potenziale e Potenziale
la forza di Coulomb è conservativa
B
il lavoro fatto dalla forza elettrostatica
per spostare una carica q0
in presenza di una carica q
NON dipende dal percorso
rB
q0
A
B →
q
B →
→
L = ∫ Fe ⋅ ds = q0 ∫ E ⋅ ds
A
B
rA r̂
→
A
B
q
r
q
1
1
ˆ
= q0 ∫
⋅
=
r
d
s
q
dr =
0
2
2
∫
πε
r
πε
r
4
4
0
0 A
A
B
q  1
q 1 1
= q0
−
q
=
0
 − 
4πε 0  r  A
4πε 0  rA rB 
energia potenziale U
[funzione di sola posizione
carica q]
U (r ) = q
q0 1
+ costante
4πε 0 r
B
r r
L = q 0 ∫ E ⋅ d s = − ∆U = U A − U B
A
N.B. nel caso della forza peso:
r
r
r r
L = Fg ⋅ ∆r = − mg ⋅ ∆r
r
r
= − mg j ⋅ ( ya − yb ) j
= mg yb − mg ya = − ∆U g
yb = posizione
iniziale
ya = posizione
finale
potenziale = energia potenziale
per unità di carica
U
V ≡
def q
0
4 U e V sono scalari
4 energia potenziale U: proprietà del sistema carica-campo
4 potenziale V: proprietà solo del campo
se tolgo la carica di prova
il potenziale esiste ancora
[è dovuto a carica sorgente]
differenza
di potenziale
B r
r
∆U
∆ V = VB − V A ≡
= − ∫ E ⋅ ds
def q
0
A
1 1
= ke q  − 
 rB rA 
per carica
puntiforme
il potenziale è definito a meno di una costante
P→
→
V ( P) = − ∫ E ⋅ dr
r0
V (r0 ) = 0
di solito si pone r0=∞
B
r r
L = q0 ∫ E ⋅ ds = − ∆U = − q 0 ∆V
A
dimensioni:
[V] = [U]/[q] ⇒
[E] = [∆V] / L ⇒
1 Volt = 1 V = 1 J/C
1 N/C = 1 V/m
applicazioni
campo elettrico uniforme
B
r r
∆V = VB − V A = − ∫ E ⋅ d s
A
B
B
= − ∫ E cos 0 ds = − E ∫ ds = − Ed
0
A
campo
elettrico
A
linee di campo puntano
VB < VA da potenziale maggiore
a potenziale minore
carica puntiforme
Q+: repulsivo
V=
Q-: attrattivo
1
q
4πε 0 r
la forza elettrica fa muovere le cariche positive da punti a
potenziale maggiore verso punti a potenziale minore
Ricavare Campo elettrico da Potenziale
B
r r
∆V = − ∫ E ⋅ d s
A
r r
dV = − E ⋅ ds
campo E e potenziale V
sono determinate dalla
distribuzione delle cariche
il potenziale V NON varia
in direzioni perpendicolari al campo E
⇓
∂V
Ex = −
∂x
∂V
Ey = −
∂y
∂V
Ez = −
∂z
le componenti del campo elettrico
si ottengono dalle derivate di parziali di V,
cambiate di segno
N.B. il calcolo di E come derivata del potenziale (funzione scalare)
è più semplice che non vettorialmente
⇒ in Fisica i potenziali sono molto usati !
esempio:
V = 3 x 2 y + y 2 + yz
∂( x 2 )
∂ (3 x 2 y )
∂ (3 x 2 y + y 2 + yz )
∂V
= −6 xy
= −3 y
=−
=−
Ex = −
∂x
∂x
∂x
∂x
∂V
∂V
= ...
= ..., E z = −
Ey = −
∂z
∂y
insieme di cariche puntiformi
date n cariche puntiformi,
per il principio di sovrapposizione
n
V = ∑ Vi =
i =1
n
qi
∑
4πε 0 i =1 ri
1
N.B. è una somma algebrica e non vettoriale !!!
esempio: potenziale dovuto ad un dipolo
a) potenziale elettrico in punto P
dell’asse del dipolo:
2
V = ∑ Vi =
i =1
=
2
qi
∑
4πε 0 i =1 ri
1
−q 
1  q
1
2qa
+
=


4πε 0  x − a x + a  4πε 0 x 2 − a 2
b) potenziale elettrico in punto P
molto lontani dal dipolo:
V=
1
2qa
1 2qa
→
4πε 0 x 2 − a 2 x >> a 4πε 0 x 2
c) campo elettrico in P per x>>a:
Ex = −
dV
2qa d  1  4qa 1
=−
 2=
dx
4πε 0 dx  x  4πε 0 x 3
Superfici equipotenziali
luogo geometrico dei punti con
medesimo potenziale
⇓
E NON compie lavoro su tali
superfici
B
r r
L = − ∆U = − q ∆V = − q ∫ E ⋅ d s = 0
LI = LII = 0
LIII = LIV
r
r
E ⊥ ds
A
sono perpendicolari alle linee di campo
[altrimenti E avrebbe componente sulla superficie
e si compirebbe lavoro per muovere una carica di prova
su tale superficie !!!]
carica puntiforme
conduttore carico