simulazione ad eventi discreti - Università degli studi di Genova

Corso di Laurea Triennale in INGEGNERIA GESTIONALE
Anno Accademico 2012/13
MODELLI E METODI PER L’AUTOMAZIONE
Prof. Davide GIGLIO
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
1
INDICE
★ Modelli dinamici ad eventi discreti
★ La simulazione ad eventi discreti
★ Creazione di statistiche per i dati ingresso (“analisi dei dati in ingresso”)
★ Analisi dei risultati di esperimenti simulativi (“analisi di uscita”)
★ Esempio: simulazione di un porto militare
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
2
MODELLI DINAMICI AD EVENTI DISCRETI
★ I modelli di sistemi dinamici ad eventi discreti sono caratterizzati dalle
seguenti peculiarità:
1. le variabili di stato assumono sempre valori discreti
2. le transizioni da uno stato all’altro hanno luogo in istanti discreti
(generalmente non equispaziati) corrispondenti al verificarsi di
eventi
contrariamente a quanto accade per i più convenzionali modelli di sistemi dinamici a
stato continuo (a tempo continuo o a tempo discreto) dove lo stato evolve nel
tempo continuamente in base ad una dinamica descritta da equazioni differenziali
o equazioni alle differenze finite
★ uno dei sistemi ad eventi discreti più semplice è la “coda singola”
ARRIVI
PARTENZE
FILA DI ATTESA SERVER
Tale modello ad eventi discreti è spesso considerato l’“elemento” base per la
costruzione di sistemi complessi costituiti da numerose parti interagenti
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
3
MODELLI DINAMICI AD EVENTI DISCRETI
ARRIVI
★ Si assume che:
PARTENZE
FILA DI ATTESA SERVER
noti il processo degli arrivi e il processo delle partenze
‣ sono
(sequenze di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite)
‣ i clienti del sistema appartengono tutti alla medesima classe
‣ la macchina è sempre operativa
‣ la politica di servizio è FIFO (First-In First-Out)
macchina non può essere inattiva se vi sono clienti in attesa di
‣ laservizio
(politica “work-conserving”)
★ Lo stato del sistema è la variabile
n0 (t) = n(t) + (t)
che rappresenta il numero complessivo di clienti nel sistema coda
(dato dalla somma del numero di clienti nella fila di attesa e del cliente in servizio, se presente)
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
4
o notare che l’ipotesi che il sistema lavori secondo un regime “work conserving” rende incomp
MODELLI
DINAMICI
AD
EVENTI
DISCRETI
zioni δ(t) = 0 e n(t) > 0. Le due variabili di stato possono quindi essere “condensate” nell’
n! (t) = n(t) + δ(t) che è in grado, da sola, di rappresentare senza ambiguità lo stato comple
a.
n! (t)
5
4
3
2
1
t
0
2: Andamento
variabile
stato di
singola.
TipicoFigura
andamento
delladella
variabile
didistato
di una
unacoda
coda
singola
(funzione costante
a tratti)
!
ico andamento nel tempo della variabile di stato n (t) è quello illustrato in Figura 2. Si noti, in pa
“salto”
è di ampiezza
unitaria
(t) è costante a tratti, e che ogniOgni
“salto”
è di ampiezza
unitaria.
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
5
LA SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
★ Per effettuare la simulazione ad eventi discreti bisogna innanzitutto
individuare
le variabili di stato del sistema
le classi di eventi che danno luogo a transizioni di stato
‣
‣
★ Nell’esempio della coda singola le classi di eventi sono 2:
‣e
‣e
1
2
! evento “arrivo di un cliente dall’esterno”
! evento “fine servizio”
★ La lista delle classi di eventi è pertanto
LCE = e1 , e2
★ La lista degli eventi attivi all’istante t elenca invece le classi di eventi
per cui, all’istante t vi è un evento schedulato (ovvero si conosce
l’istante di accadimento)
LCA(t) = e1 , e2
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
6
lista degli eventi attivi all’istante t può essere, ad esempio, la seguente
LEA(t) = {e1 , e2 }
LA SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
tal caso,
sono giàattivi
stati schedulati,
per il futuro
(rispetto
all’istante t), due eventi, uno di cl
★ Laevidentemente,
lista degli eventi
è ovviamente
una lista
dinamica
e uno di classe e2 . Si noti che la LEA(t), a differenza della LCE, è una lista dinamica.
★ Glifraintervalli
tempo tra
gli eventi
istanti
di accadimento
degli
già attivi, e l’ist
distanza
gli istanti didiaccadimento
degli
schedulati,
contenuti nella
listaeventi
degli eventi
t , lista
schedulati
presenti
nella
lista
degliattivi
eventi
attivi)evidentemente,
e l’istante attuale
sono
dei tempi
degli
eventi
(si tratta,
di un’altra
dinam
ttuale, sono
contenuti(quindi
nella lista
contenuti ad
in esempio,
un’altratale
lista
la lista
l caso considerato,
listadinamica:
può corrispondere
a dei tempi degli eventi attivi
LTEA(t) = {T1 (t), T2 (t)}
LTEA(t) = T1 (t), T2 (t)
Figura 3 riassume le informazioni disponibili al tempo t, relativamente agli eventi attivi (schedulati).
eventi già
verificatisi
e1 e1
t
e2
eventi attivi (schedulati)
all’istante t
e1
···
e2
t
T1 (t)
T2 (t)
Figura 3: Sequenza di eventi (già verificatisi o schedulati) per l’esempio della coda singola.
SIMULAZIONE
ADtutteEVENTI
DISCRETI
a un
evento e il prossimo,
le variabili
di stato sono costanti.
MODELLI E METODI
7
PERdiL’AUTOMAZIONE
Si può quindi convenire
indicare, in gene
LA SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
★ Tra un evento e il successivo tutte le variabili di stato sono costanti
★ x(th ) è il vettore delle variabili di stato nell’intervallo [th , th+1 ),
h
h
t
ottenuto in seguito al
verificarsi
dell’
-esimo
evento
(che
si
verifica
a
)
Simulazione ad Eventi Discreti
e1 e2
e3
eh
eh+1 eh+2
···
t
x(t)
in questo intervallo di tempo
il valore della variabile di
stato è x(th )
t
th
th+1
Figura 4: Sequenza di eventi e valore del vettore delle variabili si stato.
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PERh−1
L’AUTOMAZIONE
)e
n cui viene evidenziato come il nuovo valore del vettore di stato x(t ) sia ottenuto dal vecchio valore x(t
h
8
LA SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
★ L’evoluzione dello stato, nei sistemi ad eventi discreti avviene sulla base
delle funzioni di transizione
⇥
⇤
h
h 1
h
x(t ) = f x(t
), e
h
x(t
) del vettore di stato è ottenuto sulla base del valore
Il nuovo valore
attuale x(th 1 ) e della classe di evento che ha luogo all’istante th
★ Ad ogni classe di evento corrisponde una specifica transizione di stato
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
9
in cui viene evidenziato come il nuovo valore del vettore di stato x(t ) sia ottenuto dal vecc
h
dall’evento (o, meglio,
dalla
classe
di
evento)
che
ha
luogo
all’istante
t
LA SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI .
La (1) può essere rappresentata attraverso transizioni di stato. Ad ogni classe di evento corrisp
h
★ Transizione
statoaper
l’evento
di classe
all’istante
di stato. Neldi
seguito,
titolo
esemplificativo,
sonoe1riportate
le duet transizioni di stato che so
modellodi(coda
singola) considerato
in questo paragrafo e nel precedente.
(arrivo
un cliente
dall’esterno)
Transizione di stato per un evento di classe e1 (arrivo di un cliente dall’esterno) all’istante th :
1:
2:
3:
n" (th ) ← n" (th−1 ) + 1
IF n" (th−1 ) = 0 THEN
LEA(th ) ← {e1 , e2 }
4: ELSE
5:
LEA(th )
6: END IF
← LEA(th−1 )
7: IF n" (th−1 ) = 0 THEN
8:
T2 (th ) ← nuova realizzazione della
variabile aleatoria Ts (tempo di servizio)
9: ELSE
10:
T2 (th )
11: END IF
12:
← T2 (th−1 ) − (th − th−1 )
T1 (th ) ← nuova realizzazione della variabile aleatoria Ta (tempo di interarrivo)
Transizione di stato per un evento di classe e2 (fine servizio) all’istante th :
1: n" (th ) ← n" (th−1 ) − 1
2: IF n" (th ) #= 0 THEN
3:
LEA(th ) ← LEA(th−1 )
SIMULAZIONE
AD EVENTI DISCRETI
4: ELSE
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
10
8:
T2 (th ) ← nuova realizzazione della variabile aleatoria Ts (tempo di servizio)
9: ELSE
★
LA SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
10:
T2 (th ) ← T2 (th−1 ) − (th − th−1 )
11: END IF di stato per l’evento di classe
Transizione
e2 all’istante th
h
12: T
1 (t ) ← nuova realizzazione della variabile aleatoria Ta (tempo di interarrivo)
(fine
servizio)
Transizione di stato per un evento di classe e2 (fine servizio) all’istante th :
1: n" (th ) ← n" (th−1 ) − 1
2: IF n" (th ) #= 0 THEN
3:
LEA(th ) ← LEA(th−1 )
4: ELSE
5:
LEA(th )
← LEA(th−1 ) − {e2 } = {e1 }
6: END IF
7: IF n" (th ) #= 0 THEN
8:
T2 (th ) ← nuova realizzazione della
9: END IF
10: T1 (th ) ←
variabile aleatoria Ts (tempo di servizio)
T1 (th−1 ) − (th − th−1 )
Si noti che, oltre ai due tipi di eventi considerati, è necessario introdurre un terzo tipo di e
simulazione”. E’ l’evento il cui verificarsi pone fine al programma di simulazione. Gli eventi
in eventi esterni, indipendenti dal comportamento del sistema modellato e sempre presenti n
attivi, ed eventi interni, dipendenti dal comportamento del sistema e non sempre presenti n
attivi. L’evento fine simulazione può essere esterno (nel caso che la “durata” della simulazio
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
11
LA SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
★ Gli eventi possono classificarsi in
eventi esterni, indipendenti dal comportamento del sistema
modellato e sempre presenti nella lista degli eventi attivi
eventi interni, funzioni dello stato del sistema e non sempre presenti
nella lista degli eventi attivi
‣
‣
★ In ogni modello di simulazione esiste sempre l’evento “fine simulazione”
È l’evento il cui verificarsi pone fine alla simulazione. Tale evento può essere esterno
(ad esempio il raggiungimento di una durata prefissata) o interno (ad esempio il
raggiungimento di un certo valore per quanto riguarda la lunghezza di una coda del
sistema)
★ Ogni volta che una classe di evento viene inserita nella LEA bisogna
anche schedulare l’istante di accadimento dell’evento di tale classe
nella LTEA.
★ Si determina pertanto una realizzazione della variabile aleatoria (con
distribuzione nota) che caratterizza, dal punto di vista temporale, l’evento
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
12
vengonoutilizzate
utilizzate delle
dellerealizzazioni
realizzazioni di
divariabili
variabilialea
ale
di
di accadimento
accadimentoèè fissato
fissato per
per lala prima
primavolta),
volta),vengono
LA(come,
SIMULAZIONE
AD
EVENTI
assume
ssume di
diconoscere
conoscere lalapdf
pdf
(come,
ad
ad esempio,
esempio, quelle
quelle
riportate
riportateDISCRETI
in
in Figura
Figura55 per
per quanto
quantoriguarda
riguardailil t
rivo
ivo eeililtempo
tempodi
diservizio).
servizio).
ffTTaa(τ
(τ))
ffTTss(τ
(τ))
ττ
ττ
5:
5: (a)
(a) pdf
pdfDistribuzione
relativa
relativa alla
alla variabile
variabile
aleatoria
aleatoria “tempo
“tempo di
di interarrivo”.
interarrivo”.
(b)
(b) pdf
pdf
relativa
relativa alla
alla variabile
variabile a
di probabilità
Distribuzione
di probabilità
odi
diservizio”.
servizio”.
relativa alla variabile aleatoria
relativa alla variabile aleatoria
“tempo di interarrivo”
“tempo di servizio”
stribuzioni,
tribuzioni, in
in virtù
virtù delle
delleipotesi
ipotesi fatte
fatte sui
sui processi
processidi
diarrivo
arrivo ee di
di servizio,
servizio,caratterizzano
caratterizzanocompletam
completam
si.
i. Si
Sipone
ponecomunque
comunqueililproblema
problemadell’estrazione
dell’estrazionesuccessiva,
successiva,da
dauna
unadistribuzione
distribuzioneassegnata,
assegnata,di
direali
real
★ Tali distribuzioni caratterizzano completamente i processi di arrivo e di
ndenti
denti (questo
(questoproblema
problemaverrà
verràtrattato
trattatonel
nelparagrafo
paragrafo4).
4).
partenza dei clienti
siderazioni
siderazioni finora
finora riportate
riportate permettono
permettono di
di affermare
affermare di
di aver
aver esposto,
esposto, nella
nella sua
sua completezza,
completezza, ii prin
prin
quindi
fondamentale
essere ad
in
grado
di stimare,
base dei“algoritm
tono
ono★di
diRisulta
“costruire”
“costruire”
un
unprogramma
programma
di
disimulazione
simulazione
adeventi
eventi
discreti.
discreti.
Si
Sitratta
trattasulla
del
delcosiddetto
cosiddetto
“algorit
zione
zionediscreta”.
discreta”.
In
Inprimo
primoluogo
luogo
sisiidentificano
identificano
lelevariabili
variabili
di
distato.
stato.In
Insecondo
secondo
luogo,
sisiidentificano
identificano
dati a disposizione
(ottenuti
in maniera
sperimentale
tramiteluogo,
opportune
nti
ti (tipicamente,
(tipicamente,
ad
ad di
ogni
ogni
classe
classe di
di
eventi,
eventi, deve
deve essere
essere
associata
associata una
unarelative
variabile
variabileaaleatoria
aleatoria
con
con distri
distr
campagne
misura),
distribuzioni
probabilistiche
processi
ata).
ata). Successivamente,
Successivamente,
sisipassa
passaalla
alla“costruzione”
“costruzione”del
delprogramma
programmadi
disimulazione,
simulazione,ovvero
ovveroalla
allascrittu
scritt
reali
ioni
oni (una
(unaper
perogni
ognitipo
tipo di
dievento).
evento). IlIlprogramma
programmacomplessivo
complessivoèè poi
poicompletato
completatoda
dauna
unasemplice
sempliceist
is
una volta
volta completata
completata una
una transizione
transizione di
distato,
stato,MODELLI
“calcola”
“calcola”
ililminim
mini
ratterizza
atterizza ilil “main
“main program”,
program”, che,
che, una
E METODI
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
PER L’AUTOMAZIONE
13
DATI IN INGRESSO
Analisi dei ANALISI
dati diDEIingresso

Analisi preliminare per l’identificazione dei componenti del sistema e dei reciproci
nessi causali

Definizione dei dati di input, ossia campagna dati per l'identificazione dei parametri
caratterizzanti le entità del sistema:
 parametri deterministici
 parametri stocastici
Nota bene - Sono errori comuni:
 assumere due parametri indipendenti quando non lo sono (si
interviene quindi erroneamente su uno di essi ritenendo che non
influenzi l'altro)
 assumere due parametri dipendenti quando non lo sono (si
interviene quindi erroneamente su uno di essi ritenendo di
potere modificare di conseguenza anche l'altro)
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
14
DATI IN INGRESSO
Analisi dei ANALISI
dati diDEIingresso
Definizione di parametri deterministici


teoricamente non si pongono particolari problemi, se non eventualmente quelli associati
alla presenza di rumore nella misura di tali parametri
praticamente molte aziende hanno informazioni poco affidabili; sono quasi sempre
necessarie campagne di misura, inventario o catalogazione
Definizione di parametri stocastici



teoricamente e praticamente si pongono notevoli problemi la cui soluzione richiede
generalmente un significativo investimento di tempo e denaro
l’identificazione delle caratteristiche statistiche dei parametri stocastici presenti nel
modello in esame si compie a partire da un vasto insieme di misurazioni reali
per ognuno dei parametri stocastici inseriti nel modello è necessario eseguire una
campagna di raccolta di misure reali e utilizzare la procedura descritta nel seguito
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
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15
DATI IN INGRESSO
Analisi dei ANALISI
dati diDEIingresso
Definizione di parametri deterministici


teoricamente non si pongono particolari problemi, se non eventualmente quelli associati
alla presenza di rumore nella misura di tali parametri
praticamente molte aziende hanno informazioni poco affidabili; sono quasi sempre
necessarie campagne di misura, inventario o catalogazione
Definizione di parametri stocastici



teoricamente e praticamente si pongono notevoli problemi la cui soluzione richiede
generalmente un significativo investimento di tempo e denaro
l’identificazione delle caratteristiche statistiche dei parametri stocastici presenti nel
modello in esame si compie a partire da un vasto insieme di misurazioni reali
per ognuno dei parametri stocastici inseriti nel modello è necessario eseguire una
campagna di raccolta di misure reali e utilizzare la procedura descritta nel seguito
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
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16
DEI DATI
IN INGRESSO(1)
- PASSO 1
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
Per la costruzione dell’istogramma delle frequenze (passo 1) sono necessari i passi seguenti:
 divisione del range di variazione dei dati in sottointervalli di uguale ampiezza
 etichettatura dell’asse orizzontale con i sottointervalli selezionati
 determinazione delle frequenze di occorrenza della variabile in ogni intervallo
 etichettatura dell’asse verticale con i valori di frequenza individuati
 disegno delle frequenze nel piano definito
La scelta dell’ampiezza dei sottointervalli è cruciale:
 se l’intervallo è troppo ampio, l’istogramma risulta troppo aggregato e non consente di
individuare una funzione di densità di probabilità
 se l’intervallo è troppo piccolo, l’istogramma evidenzia troppo eventuali picchi negativi
e positivi risultando troppo “brusco”
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
17
DEI DATI
IN INGRESSO(1):
- PASSO
1
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
esempio
Esempio
Si vuole disegnare l’istogramma delle frequenze dei dati relativi alla durata dei viaggi aerei
di un insieme di passeggeri. I campioni raccolti sono (unità di misura=ora):

0.5, 2.1, 3.4, 4.1, 4.6, 5.7, 6.2, 6.6, 7.8, 8.1, 8.3, 8.4, 8.6, 8.9, 9.2, 9.8, 10.0, 10.3, 10.5, 10.6, 10.8,
11.2, 11.3, 11.6, 11.7, 12.1, 12.5, 12.6, 12.8, 12.9, 12.9, 13.2, 14.4, 15.0, 15.5, 16.3, 17.0, 17.3, 18.5,
23.5
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
18
DEI DATI
IN INGRESSO(1):
- PASSO
1
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
esempio
Istogramma con interv alli di 1 ora
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
L’ampiezza dei sottointervalli è troppo piccola
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
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19
DEI DATI
IN INGRESSO(1):
- PASSO
1
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
esempio
Istogramma con interv alli di 8 ore
30
25
20
15
10
5
0
8
16
24
L’ampiezza dei sottointervalli è troppo grande
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
20
DEI DATI
IN INGRESSO(1):
- PASSO
1
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
esempio
Istogramma con intervalli di 3 ore
12
10
8
6
4
2
0
3
6
9
12
15
18
21
24
L’ampiezza dei sottointervalli è corretta
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
21
DEI DATI
IN INGRESSO(2)
- PASSO 2
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso


il passo 2, ossia la selezione di una funzione di densità di probabilità, consiste nell’individuare
tale funzione sulla base della forma dell’istogramma delle frequenze (che, quindi, deve
essere eseguito in maniera attenta e corretta)
Distribuzioni discrete (per variabili random discrete):






Uniforme: per variabili che assumono indifferentemente uno dei valori compresi in un certo
intervallo (valore di un dado singolo, posizione di una ruota, ...)
Poisson: numero di eventi verificatisi tali che il tempo di intervento è distribuito in modo
esponenziale (numero di telefonate, numero di clienti arrivati ad un sistema a coda)
Bernoulli: per variabili con due sole realizzazioni, con probabilità p e 1-p, rispettivamente
Binomiale: per variabili che rappresentano il numero di prove di successo x su un numero n di
prove di tipo bernoulliano
Geometrica: per variabili che rappresentano il numero di prove prima di un successo
Binomiale negativa: per variabili che rappresentano il numero di insuccessi prima dell’i-esimo
successo
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
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22
DEI DATI
IN INGRESSO(2)
- PASSO 2
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso

Distribuzioni continue (per variabili random continue):









Gaussiana o normale: variabili con “piccoli” scostamenti rispetto ad un valore atteso
(scostamento rispetto ad un tempo di servizio atteso, scostamento rispetto alla dimensione di
un lotto)
Normale troncata: è la distribuzione normale in cui non sono ammessi i valori esterni per le
code
Lognormale: per variabili il cui logaritmo ha distribuzione normale
Esponenziale: per variabili che modellano l’intervallo tra due eventi il cui accadimento non è
influenzato dal tempo trascorso dall’evento precedente (intervallo tra l’arrivo di due clienti,
intervallo tra due guasti della stessa risorsa)
Esponenziale doppia: generalizza l’esponenziale, è simmetrica rispetto all’origine
Erlang: per variabili che modellano intervalli esprimibili come somma di esponenziali
Gamma: generalizza Erlang, per fattore forma non intero; modella interarrivi e tempi di
servizio, con un maggior numero di parametri che permettono di fissare la forma delle code
Weibull: come la Gamma; trova applicazione, per esempio, per modellare intervalli tra guasti
quando questi sono dovuti alla presenza di più difetti e dipendono dal più serio tra essi
Beta: generalizzala Gamma, viene in genere utilizzata per lo studio su campioni delle variazioni
percentuali di un elemento o di una situazione qualsiasi, quale ad esempio il numero di ore
che si trascorrono quotidianamente davanti al televisore
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
23
DEI DATI
IN INGRESSO(2)
- PASSO 2
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
sigma=0.5
sigma=1
sigma=2
Distribuzione normale
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-6
-4
-2
0
2
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
4
6
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
24
DEI DATI
IN INGRESSO(2)
- PASSO 2
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
Distribuzione esponenziale
lambda=0.5
lambda=1
lambda=2
2.4
2
1.6
1.2
0.8
0.4
0
0
2
4
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
6
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
25
DEI DATI
IN INGRESSO(2)
- PASSO 2
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
beta=1
beta=2
beta=3
Distribuzione Gamma (teta=1)
1.2
0.8
0.4
0
0
1
2
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
3
4
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
26
DEI DATI
IN INGRESSO(3)
- PASSO 3
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso



il passo 3 riguarda, invece, la stima dei parametri della funzione di densità scelta
è necessario, innanzitutto, calcolare le media campionaria e la varianza campionaria
sulla base di tali valori si consultano opportune tabelle che contengono i cosiddetti
stimatori a massima verosimiglianza, ossia il calcolo dei parametri di ogni distribuzione in
funzione di media campionaria e varianza campionaria (o altri semplici parametri
calcolabili dai campioni)
Calcolo di media campionaria e varianza campionaria:
Dati grezzi discreti o
continui: X1, X2, … Xn sono
osservazioni di un campione
Dati discreti raggruppati
per frequenza o dati
continui divisi in classi
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
27
DEI DATI
IN INGRESSO(3)
- PASSO 3
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
Esempi di stimatori a massima verosimiglianza
Funzione di densità
di probabilità
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
Stimatori dei
parametri
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
28
DEI DATI
IN INGRESSO(3):
- PASSO
3
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
esempio
Esempio
Si deve modellare un sistema di produzione che processa una sola classe di prodotti. I
componenti di base necessari per la lavorazione costituiscono una prima entità del modello
per la quale è definito il parametro relativo al tempo di interarrivo nel sistema. Tale
parametro è di natura stocastica e deve quindi essere identificato sulla base di misurazioni
sul sistema reale. Una campagna di misurazioni del dato in esame genera i seguenti
campioni (in minuti):

0.19, 0.21, 0.34, 0.37, 0.51, 0.59, 0.72, 0.80, 0.88 0.95, 1.09, 1.24, 1.45, 1.57, 1.87, 2.19, 2.58, 2.98,
3.34, 3.88, 4.69, 5.73, 7.51, 9.82
Si sceglie un sottointervallo di durata 1 minuto e si costruisce l’istogramma.
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
29
DEI DATI
IN INGRESSO(3):
- PASSO
3
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso
esempio

La funzione di densità di probabilità scelta è la funzione esponenziale, caratterizzata dal
parametro 
Istogramma con interv alli di 1 minuto
12
10
8
6
4
2
0
1
2
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
3
4
5
6
7
8
9
10
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
30
DEI DATI
IN INGRESSO(4)
- PASSO 4
Analisi ANALISI
dei dati
di ingresso





il passo 4 prevede la verifica di correttezza dell’ipotesi di distribuzione eseguita
i test statistici più diffusi (goodness-of-fit tests) per questo scopo sono il test chi-quadro e
il test Kolmogorov-Smirnov
il test chi-quadro vale sia per ipotesi distribuzionali di tipo continuo che di tipo
discreto; la procedura prevede di raggruppare gli n campioni in k classi e di calcolare la
statistica 02
Oi è la frequenza osservata nell’i-esima classe e Ei è la frequenza attesa nella stessa
classe
il valore minimo di Ei è generalmente pari a 3-5
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
31
ANALISI DEI RISULTATI DI ESPERIMENTI SIMULATIVI
★ I risultati di una serie di esperimenti simulativi (sullo stesso modello)
possono essere utilizzati per effettuare un’analisi strutturale e un’analisi
prestazionale (sia di transitorio che di regime) del sistema
★ L’analisi strutturale è finalizzata alla verifica di alcune proprietà quali la
presenza di deadlock, il raggiungimento di stati indesiderati e la
presenza di overflow
★ L’analisi prestazionale è finalizzata alla determinazione di alcune
grandezze quali la produttività del sistema (throughput), l’utilizzazione
media delle risorse e la lunghezza media della coda in ciascuna risorsa
del sistema
★ L’analisi prestazionale di transitorio corrisponde all’analisi del
comportamento del sistema in relazione a situazioni specifiche per
quanto riguarda lo stato iniziale del sistema
★ L’analisi prestazionale di regime corrisponde all’analisi del
comportamento del sistema in condizioni di equilibrio stocastico
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
32
ANALISI STRUTTURALE
★ L’analisi strutturale attraverso esperimenti simulativi ha una criticità di
fondo dovuta al fatto che a domande del tipo
nel sistema si possono verificare deadlock?
nel sistema si possono raggiungere stati indesiderati?
nel sistema si possono verificare overflow?
si può solo rispondere in maniera affermativa
‣
‣
‣
★ Infatti, se in uno degli esperimenti simulativi si verifica il raggiungimento di
una situazione di deadlock, allora si può affermare con certezza che il
sistema non è deadlock-free
★ Ma il non avere mai raggiunto una situazione di deadlock, anche in un
numero elevato di esperimenti simulativi, non garantisce che non si
possa verificare tale situazione in un ulteriore esperimento; non si
può avere certezza
★ Dal punto di vista pratico, un numero elevato di esperimenti simulativi in
cui non si verifica una condizione di deadlock, è un buon indizio per
quanto riguarda la proprietà di essere deadlock-free
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
33
ANALISI PRESTAZIONALE
ANALISI DI TRANSITORIO
★ Le analisi di transitorio, in genere, devono essere condotte a partire da
stati iniziali diversi, stocasticamente generati
★ Un’analisi di transitorio può essere finalizzata alla valutazione delle
prestazioni del sistema in seguito a determinate tipologie di
perturbazioni che possono verificarsi su di esso; in questo caso si
considera, come stato iniziale, uno specifico stato del sistema e si
analizza il comportamento di esso
ANALISI DI REGIME
★ Un’analisi di regime deve essere, almeno concettualmente, indipendente
dallo stato iniziale; occorre quindi, in genere, realizzare diversi
esperimenti simulativi per essere (più o meno) sicuri che le conclusioni
tratte da essi non dipendano dallo stato iniziale
★ Dovendo inoltre raggiungere una condizione di equilibrio stocastico,
ciascun esperimento deve avere una durata (in termini di tempo
simulato) sufficientemente lunga
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
34
INTERVALLO DI CONFIDENZA
★ Si consideri una certa grandezza X (ad esempio, l’utilizzazione media di
una macchina o il numero massimo di pezzi in un buffer) di cui si vuole
fornire un valore rappresentativo a valle di una serie di esperimenti
simulativi
★ Relativamente a tale grandezza, ogni esperimento simulativo fornisce un
valore xi diverso dagli altri esperimenti, essendo le simulazioni ad eventi
discreti delle simulazioni stocastiche. Questo significa che X è una
variabile aleatoria con una certa media ( µ ) e una certa varianza ( 2 )
★ Il valore rappresentativo che è logico fornire è la media campionaria x̄
(“stima puntuale”), calcolata a valle di n esperimenti simulativi, ovvero
su n campioni
x̄ =
n
1X
n
xi
i=1
★ Anche la media campionaria è una variabile aleatoria, essendo stata
ottenuta tramite realizzazioni di una variabile aleatoria
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
35
INTERVALLO DI CONFIDENZA
★ L’informazione data dalla media campionaria spesso non è sufficiente in
quanto bisogna dare una indicazione di quanto può variare il valore
atteso µ rispetto alla media campionaria x̄
★ L’intervallo di confidenza fornisce questa informazione
★ Ad esempio, l’intervallo di confidenza al 95% è l’intervallo entro il quale
si trova con probabilità 0.95 il valore atteso µ , ovvero
Pr [a  µ  b] = 0.95
★ Dovendo fare riferimento all’informazione disponibile che è la media
campionaria, l’intervallo di confidenza verrà espresso in funzione di essa
★ L’intervallo di confidenza diventa più grande all’aumentare della
percentuale di confidenza e diventa più piccolo all’aumentare del
numero di esperimenti
★ Per calcolare l’intervallo di confidenza si ipotizzi, inizialmente, di
conoscere la varianza 2 (ipotesi in realtà molto poco verosimile)
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
36
DETERMINAZIONE DELL’INTERVALLO DI CONFIDENZA
★ Si può dimostrare che la media campionaria x̄ è una variabile aleatoria
che si distribuisce approssimativamente come una distribuzione
normale con media µ e varianza 2 /n

x̄ ⇠ N µ,
2
n
(tale approssimazione migliora all’aumentare del numero n di campioni a
disposizione)
★ Essendo la distribuzione centrata su µ significa che x̄ può essere usato
come uno stimatore non polarizzato del valore atteso µ = E [X]
★ Considerando la variabile aleatoria x̄ al netto della media e della varianza,
si ha
x̄ µ
s
⇠ N [0, 1]
2
n
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
37
DETERMINAZIONE DELL’INTERVALLO DI CONFIDENZA
N [0, 1]
Area = 1
Area =
↵
↵
Area =
2
z↵/2
0
★ Per ogni valore di probabilità 1
Pr
h
z↵/2
↵
2
z↵/2
↵ si può scrivere
i
x̄ µ
 s
 z↵/2 = 1
2
↵
n
con valori
z↵/2 e z↵/2 ricavabili da opportune tabelle
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
38
DETERMINAZIONE DELL’INTERVALLO DI CONFIDENZA
z↵/2
x̄ µ
 s
 z↵/2
2
n
z↵/2
x̄
z↵/2
x̄
2
★ Quindi Pr 4 x̄
z↵/2
s
s
z↵/2
s
2
 x̄
n
µ  z↵/2
2
n
2

n
s
µ
x̄ + z↵/2
2
n
 µ  x̄ + z↵/2
2
n
s
 µ  x̄ + z↵/2
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
s
2
n
3
s
s
2
n
2
n
5=1
↵
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
39
INTERVALLO DI CONFIDENZA
★ In altre parole, è approssimativamente uguale a 1 ↵ la probabilità che
l’intervallo
2
3
s
s
2
4 x̄
z↵/2
n
2
; x̄ + z↵/2
n
5
contenga il valore “vero” della media µ della grandezza in questione
★ In generale è difficile che si conosca a priori la varianza 2 della
grandezza X , ed è quindi necessario stimarla sulla base dei campioni
a disposizione
★ Una stima non polarizzata della varianza è data da
ˆ2 =
n
n
1
"
1
n
n
X
xi 2
i=1
x̄2
#
=
1
n
1
(varianza campionaria corretta dal fattore n/(n
n
X
(xi
x̄)
2
i=1
1) )
La correzione è necessaria in quanto la varianza campionaria, soprattutto per valori
bassi di n, è uno stimatore polarizzato della varianza “vera”
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
40
DISTRIBUZIONE “T” DI STUDENT
★ In questo caso, la variabile aleatoria
x̄ µ
s
ˆ2
n
(si noti la presenza della stima ˆ 2 ) è distribuita approssimativamente
secondo la distribuzione “t” di Student con (n 1) gradi di libertà”
★ L’approssimazione diminuisce all’aumentare di n (numero di campioni a
disposizione)
La distribuzione “t” di Student è molto simile alla distribuzione normale
standardizzata. Essa è infatti centrata sullo 0 e simmetrica rispetto ad esso. Si
differenzia dalla distribuzione normale in quanto ha delle code “più” pesanti, ovvero
valori lontani dallo 0 hanno una probabilità maggiore di essere estratti rispetto a
quella che avrebbero avuto se fossero stati estratti da una normale standardizzata
Tali differenze si attenuano all’aumentare del numero di campioni a disposizione.
Pertanto, quando n è molto elevato, si può utilizzare la distribuzione normale
standardizzata in luogo della “t” di Student
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
41
DISTRIBUZIONE “T” DI STUDENT
Area = 1
x̄ µ
Tn = s
ˆ2
Area =
n
↵
Area =
2
tn
tn
GRADI DI
LIBERTÀ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
↵
0.1
3.078
1.886
1.638
1.533
1.476
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
0.05
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
0.025
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
↵
1,↵/2
0
tn
↵
2
1,↵/2
1,↵/2
0.02
15.894
4.849
3.482
2.999
2.757
2.612
2.517
2.449
2.398
2.359
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
AREA ↵/2
0.01
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
0.005
63.656
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
0.0025
127.321
14.089
7.453
5.598
4.773
4.317
4.029
3.833
3.690
3.581
0.001
318.289
22.328
10.214
7.173
5.894
5.208
4.785
4.501
4.297
4.144
0.0005
636.578
31.600
12.924
8.610
6.869
5.959
5.408
5.041
4.781
4.587
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
42
DISTRIBUZIONE “T” DI STUDENT
★ In maniera analoga a quanto visto prima si ottiene
Pr
h
tn
1,↵/2
x̄ µ
 s
 tn
ˆ2
1,↵/2
i
=1
↵
n
2
Pr 4 x̄
tn
1,↵/2
s
ˆ2
n
 µ  x̄ + tn
1,↵/2
s
ˆ2
n
3
5=1
↵
★ Considerando la stima della varianza, l’intervallo di confidenza è
2
6
6
6
6 x̄
6
4
tn
1,↵/2
v
uX
u n
u
(xi
u
t i=1
n(n
x̄)2
1)
; x̄ + tn
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
1,↵/2
v
uX
u n
u
(xi
u
t i=1
n(n
3
x̄)2 7
7
7
7
1) 7
5
MODELLI E METODI
PER L’AUTOMAZIONE
43
DISTRIBUZIONE “T” DI STUDENT – TABELLE
Tavola della distribuzione T di Student
Tavola della distribuzione T di Student (continua)
Area
Area nella
nella coda
coda di
di destra
destra
0.02
0.01
0.005
0.02
0.01
0.005
2.108
2.402
2.676
15.894
31.821
63.656
2.107
2.400
2.674
4.849
6.965
9.925
2.106
2.399
2.672
3.482
4.541
5.841
2.105
2.397
2.670
2.999
3.747
4.604
2.104
2.396
2.668
2.757
3.365
4.032
Gradi
Gradi di
di
libertà
libertà
51
1
52
2
53
3
54
4
55
5
0.1
0.1
1.298
3.078
1.298
1.886
1.298
1.638
1.297
1.533
1.297
1.476
0.05
0.05
1.675
6.314
1.675
2.920
1.674
2.353
1.674
2.132
1.673
2.015
0.025
0.025
2.008
12.706
2.007
4.303
2.006
3.182
2.005
2.776
2.004
2.571
56
6
57
7
58
8
59
9
60
10
1.297
1.440
1.297
1.415
1.296
1.397
1.296
1.383
1.296
1.372
1.673
1.943
1.672
1.895
1.672
1.860
1.671
1.833
1.671
1.812
2.003
2.447
2.002
2.365
2.002
2.306
2.001
2.262
2.000
2.228
2.103
2.612
2.102
2.517
2.101
2.449
2.100
2.398
2.099
2.359
2.395
3.143
2.394
2.998
2.392
2.896
2.391
2.821
2.390
2.764
61
11
62
12
63
13
64
14
65
15
1.296
1.363
1.295
1.356
1.295
1.350
1.295
1.345
1.295
1.341
1.670
1.796
1.670
1.782
1.669
1.771
1.669
1.761
1.669
1.753
2.000
2.201
1.999
2.179
1.998
2.160
1.998
2.145
1.997
2.131
2.099
2.328
2.098
2.303
2.097
2.282
2.096
2.264
2.096
2.249
66
16
67
17
68
18
69
19
70
20
1.295
1.337
1.294
1.333
1.294
1.330
1.294
1.328
1.294
1.325
1.668
1.746
1.668
1.740
1.668
1.734
1.667
1.729
1.667
1.725
1.997
2.120
1.996
2.110
1.995
2.101
1.995
2.093
1.994
2.086
71
21
72
22
73
23
74
24
75
25
1.294
1.323
1.293
1.321
1.293
1.319
1.293
1.318
1.293
1.316
1.667
1.721
1.666
1.717
1.666
1.714
1.666
1.711
1.665
1.708
76
26
77
27
78
28
79
29
80
30
1.293
1.315
1.293
1.314
1.292
1.313
1.292
1.311
1.292
1.310
81
31
82
32
83
33
1.292
1.309
1.292
1.309
1.292
1.308
0.0025
0.0025
2.934
127.321
2.932
14.089
2.929
7.453
2.927
5.598
2.925
4.773
0.001
0.001
3.258
318.289
3.255
22.328
3.251
10.214
3.248
7.173
3.245
5.894
0.0005
0.0005
3.492
636.578
3.488
31.600
3.484
12.924
3.480
8.610
3.476
6.869
2.667
3.707
2.665
3.499
2.663
3.355
2.662
3.250
2.660
3.169
2.923
4.317
2.920
4.029
2.918
3.833
2.916
3.690
2.915
3.581
3.242
5.208
3.239
4.785
3.237
4.501
3.234
4.297
3.232
4.144
3.473
5.959
3.469
5.408
3.466
5.041
3.463
4.781
3.460
4.587
2.389
2.718
2.388
2.681
2.387
2.650
2.386
2.624
2.385
2.602
2.659
3.106
2.657
3.055
2.656
3.012
2.655
2.977
2.654
2.947
2.913
3.497
2.911
3.428
2.909
3.372
2.908
3.326
2.906
3.286
3.229
4.025
3.227
3.930
3.225
3.852
3.223
3.787
3.220
3.733
3.457
4.437
3.454
4.318
3.452
4.221
3.449
4.140
3.447
4.073
2.095
2.235
2.095
2.224
2.094
2.214
2.093
2.205
2.093
2.197
2.384
2.583
2.383
2.567
2.382
2.552
2.382
2.539
2.381
2.528
2.652
2.921
2.651
2.898
2.650
2.878
2.649
2.861
2.648
2.845
2.904
3.252
2.903
3.222
2.902
3.197
2.900
3.174
2.899
3.153
3.218
3.686
3.216
3.646
3.214
3.610
3.213
3.579
3.211
3.552
3.444
4.015
3.442
3.965
3.439
3.922
3.437
3.883
3.435
3.850
1.994
2.080
1.993
2.074
1.993
2.069
1.993
2.064
1.992
2.060
2.092
2.189
2.092
2.183
2.091
2.177
2.091
2.172
2.090
2.167
2.380
2.518
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2.508
2.379
2.500
2.378
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2.377
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2.831
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2.807
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2.797
2.643
2.787
2.897
3.135
2.896
3.119
2.895
3.104
2.894
3.091
2.892
3.078
3.209
3.527
3.207
3.505
3.206
3.485
3.204
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3.202
3.450
3.433
3.819
3.431
3.792
3.429
3.768
3.427
3.745
3.425
3.725
1.665
1.706
1.665
1.703
1.665
1.701
1.664
1.699
1.664
1.697
1.992
2.056
1.991
2.052
1.991
2.048
1.990
2.045
1.990
2.042
2.090
2.162
2.089
2.158
2.089
2.154
2.088
2.150
2.088
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2.479
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2.374
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2.771
2.640
2.763
2.639
2.756
2.639
2.750
2.891
3.067
2.890
3.057
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3.047
2.888
3.038
2.887
3.030
3.201
3.435
3.199
3.421
3.198
3.408
3.197
3.396
3.195
3.385
3.423
3.707
3.421
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3.420
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3.660
3.416
3.646
1.664
1.696
1.664
1.694
1.663
1.692
1.990
2.040
1.989
2.037
1.989
2.035
2.087
2.144
2.087
2.141
2.087
2.138
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2.453
2.373
2.449
2.372
2.445
2.638
2.744
2.637
2.738
2.636
2.733
2.886
3.022
2.885
3.015
2.884
3.008
3.194
3.415
3.375
3.633
3.193
3.413
3.365 MODELLI
3.622
E METODI
3.191
3.412
3.356PER L’AUTOMAZIONE
3.611
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
44
18
19
20
21
22
Tavola
della
23
24 di
Gradi
25
libertà
1.330
1.328
1.325
1.734
1.729
1.725
2.101
2.093
2.086
2.214
2.205
2.197
2.552
2.539
2.528
2.878
2.861
2.845
3.197
3.174
3.153
3.610
3.579
3.552
3.922
3.883
3.850
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
0.005
3.135
3.119
3.104
3.091
3.078
0.0025
3.527
3.505
3.485
3.467
3.450
0.001
3.819
3.792
3.768
3.745
3.725
0.0005
DISTRIBUZIONE “T” DI STUDENT – TABELLE
1.323
1.321
distribuzione
1.319
1.318
1.316
0.1
1.721
2.080
2.189
2.518
2.508
T1.717
di Student2.074
(continua)2.183
1.714
2.069
2.177
2.500
Area nella coda
di destra
1.711
2.064
2.172
2.492
1.708
2.060
2.167
2.485
0.05
0.025
0.02
0.01
51
26
52
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53
28
54
29
55
30
1.298
1.315
1.298
1.314
1.298
1.313
1.297
1.311
1.297
1.310
1.675
1.706
1.675
1.703
1.674
1.701
1.674
1.699
1.673
1.697
2.008
2.056
2.007
2.052
2.006
2.048
2.005
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2.004
2.042
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2.162
2.107
2.158
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2.154
2.105
2.150
2.104
2.147
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2.779
2.674
2.771
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2.670
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2.668
2.750
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3.660
3.476
3.646
56
31
57
32
58
33
59
34
60
35
1.297
1.309
1.297
1.309
1.296
1.308
1.296
1.307
1.296
1.306
1.673
1.696
1.672
1.694
1.672
1.692
1.671
1.691
1.671
1.690
2.003
2.040
2.002
2.037
2.002
2.035
2.001
2.032
2.000
2.030
2.103
2.144
2.102
2.141
2.101
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2.100
2.136
2.099
2.133
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2.915
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3.473
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3.469
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3.611
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3.460
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61
36
62
37
63
38
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39
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40
1.296
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1.295
1.305
1.295
1.304
1.295
1.304
1.295
1.303
1.670
1.688
1.670
1.687
1.669
1.686
1.669
1.685
1.669
1.684
2.000
2.028
1.999
2.026
1.998
2.024
1.998
2.023
1.997
2.021
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2.127
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2.096
2.123
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2.385
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2.712
2.655
2.708
2.654
2.704
2.913
2.990
2.911
2.985
2.909
2.980
2.908
2.976
2.906
2.971
3.229
3.333
3.227
3.326
3.225
3.319
3.223
3.313
3.220
3.307
3.457
3.582
3.454
3.574
3.452
3.566
3.449
3.558
3.447
3.551
66
41
67
42
68
43
69
44
70
45
1.295
1.303
1.294
1.302
1.294
1.302
1.294
1.301
1.294
1.301
1.668
1.683
1.668
1.682
1.668
1.681
1.667
1.680
1.667
1.679
1.997
2.020
1.996
2.018
1.995
2.017
1.995
2.015
1.994
2.014
2.095
2.121
2.095
2.120
2.094
2.118
2.093
2.116
2.093
2.115
2.384
2.421
2.383
2.418
2.382
2.416
2.382
2.414
2.381
2.412
2.652
2.701
2.651
2.698
2.650
2.695
2.649
2.692
2.648
2.690
2.904
2.967
2.903
2.963
2.902
2.959
2.900
2.956
2.899
2.952
3.218
3.301
3.216
3.296
3.214
3.291
3.213
3.286
3.211
3.281
3.444
3.544
3.442
3.538
3.439
3.532
3.437
3.526
3.435
3.520
71
46
72
47
73
48
74
49
75
50
1.294
1.300
1.293
1.300
1.293
1.299
1.293
1.299
1.293
1.299
1.667
1.679
1.666
1.678
1.666
1.677
1.666
1.677
1.665
1.676
1.994
2.013
1.993
2.012
1.993
2.011
1.993
2.010
1.992
2.009
2.092
2.114
2.092
2.112
2.091
2.111
2.091
2.110
2.090
2.109
2.380
2.410
2.379
2.408
2.379
2.407
2.378
2.405
2.377
2.403
2.647
2.687
2.646
2.685
2.645
2.682
2.644
2.680
2.643
2.678
2.897
2.949
2.896
2.946
2.895
2.943
2.894
2.940
2.892
2.937
3.209
3.277
3.207
3.273
3.206
3.269
3.204
3.265
3.202
3.261
3.433
3.515
3.431
3.510
3.429
3.505
3.427
3.500
3.425
3.496
76
77
78
79
80
1.293
1.293
1.292
1.292
1.292
1.665
1.665
1.665
1.664
1.664
1.992
1.991
1.991
1.990
1.990
2.090
2.089
2.089
2.088
2.088
2.376
2.376
2.375
2.374
2.374
2.642
2.641
2.640
2.639
2.639
2.891
2.890
2.889
2.888
2.887
3.201
3.199
3.198
3.197
3.195
3.423
3.421
3.420
3.418
3.416
81
82
83
1.292
1.292
1.292
1.664
1.664
1.663
1.990
1.989
1.989
2.087
2.087
2.087
2.373
2.373
2.372
2.638
2.637
2.636
2.886
2.885
2.884
3.194
3.415
3.193 MODELLI
3.413
E METODI
3.191PER L’AUTOMAZIONE
3.412
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
45
DISTRIBUZIONE “T” DI STUDENT – TABELLE
Tavola
Tavola della
della distribuzione
distribuzione T
T di
di Student
Student (continua)
(continua)
0.025
0.025
2.008
2.008
2.007
2.007
2.006
2.006
2.005
2.005
2.004
2.004
Area
Area nella
nella coda
coda di
di destra
destra
0.02
0.01
0.02
0.01
2.108
2.402
2.108
2.402
2.107
2.400
2.107
2.400
2.106
2.399
2.106
2.399
2.105
2.397
2.105
2.397
2.104
2.396
2.104
2.396
0.005
0.005
2.676
2.676
2.674
2.674
2.672
2.672
2.670
2.670
2.668
2.668
0.0025
0.0025
2.934
2.934
2.932
2.932
2.929
2.929
2.927
2.927
2.925
2.925
0.001
0.001
3.258
3.258
3.255
3.255
3.251
3.251
3.248
3.248
3.245
3.245
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3.492
3.488
3.488
3.484
3.484
3.480
3.480
3.476
3.476
1.673
1.673
1.672
1.672
1.672
1.672
1.671
1.671
1.671
1.671
2.003
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2.920
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2.916
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2.915
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3.242
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3.239
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1.296
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1.670
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2.095
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2.093
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71
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75
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1.667
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1.666
1.666
1.666
1.666
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1.665
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1.994
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1.993
1.993
1.993
1.993
1.993
1.992
1.992
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2.092
2.092
2.092
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2.091
2.091
2.091
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2.090
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2.380
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3.209
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3.207
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76
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80
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1.293
1.293
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1.292
1.292
1.292
1.292
1.665
1.665
1.665
1.665
1.665
1.665
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1.664
1.664
1.664
1.992
1.992
1.991
1.991
1.991
1.991
1.990
1.990
1.990
1.990
2.090
2.090
2.089
2.089
2.089
2.089
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2.088
2.088
2.088
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2.376
2.376
2.376
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2.375
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2.374
2.374
2.374
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2.642
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2.641
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2.640
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2.639
2.639
2.639
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2.891
2.890
2.890
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2.889
2.888
2.888
2.887
2.887
3.201
3.201
3.199
3.199
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3.195
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3.421
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3.420
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3.418
3.416
3.416
81
81
82
82
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83
84
1.292
1.292
1.292
1.292
1.292
1.292
1.292
1.664
1.664
1.664
1.664
1.663
1.663
1.663
1.990
1.990
1.989
1.989
1.989
1.989
1.989
2.087
2.087
2.087
2.087
2.087
2.087
2.086
2.373
2.373
2.373
2.373
2.372
2.372
2.372
2.638
2.638
2.637
2.637
2.636
2.636
2.636
2.886
2.886
2.885
2.885
2.884
2.884
2.883
3.194
3.415
3.194
3.415
3.193
3.413
3.193
3.413
MODELLI
E METODI
3.191
3.412
3.191
3.412
3.190PER L’AUTOMAZIONE
3.410
Gradi
Gradi di
di
libertà
libertà
51
51
52
52
53
53
54
54
55
55
0.1
0.1
1.298
1.298
1.298
1.298
1.298
1.298
1.297
1.297
1.297
1.297
0.05
0.05
1.675
1.675
1.675
1.675
1.674
1.674
1.674
1.674
1.673
1.673
56
56
57
57
58
58
59
59
60
60
1.297
1.297
1.297
1.297
1.296
1.296
1.296
1.296
1.296
1.296
61
61
62
62
63
63
64
64
65
65
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
46
75
76
77
Tavola
della
78
79 di
Gradi
80
libertà
1.293
1.665
1.992
2.090
2.377
2.643
2.892
3.202
3.425
2.642
2.641
2.640
2.639
2.639
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2.891
2.890
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2.888
2.887
0.0025
3.201
3.199
3.198
3.197
3.195
0.001
3.423
3.421
3.420
3.418
3.416
0.0005
DISTRIBUZIONE “T” DI STUDENT – TABELLE
1.293
1.293
distribuzione
1.292
1.292
1.292
0.1
1.665
1.992
2.090
2.376
2.376
T1.665
di Student1.991
(continua)2.089
1.665
1.991
2.089
2.375
Area nella coda
di destra
1.664
1.990
2.088
2.374
1.664
1.990
2.088
2.374
0.05
0.025
0.02
0.01
51
81
52
82
53
83
54
84
55
85
1.298
1.292
1.298
1.292
1.298
1.292
1.297
1.292
1.297
1.292
1.675
1.664
1.675
1.664
1.674
1.663
1.674
1.663
1.673
1.663
2.008
1.990
2.007
1.989
2.006
1.989
2.005
1.989
2.004
1.988
2.108
2.087
2.107
2.087
2.106
2.087
2.105
2.086
2.104
2.086
2.402
2.373
2.400
2.373
2.399
2.372
2.397
2.372
2.396
2.371
2.676
2.638
2.674
2.637
2.672
2.636
2.670
2.636
2.668
2.635
2.934
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3.191
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86
57
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90
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1.291
1.297
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1.296
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1.296
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2.085
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2.084
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2.660
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2.880
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2.880
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1.291
1.295
1.291
1.295
1.291
1.295
1.291
1.295
1.291
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1.662
1.670
1.662
1.669
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1.669
1.661
1.669
1.661
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1.998
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1.985
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2.630
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100
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1.294
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1.294
1.290
1.294
1.290
1.294
1.290
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1.661
1.668
1.661
1.668
1.661
1.667
1.660
1.667
1.660
1.997
1.985
1.996
1.985
1.995
1.984
1.995
1.984
1.994
1.984
2.095
2.082
2.095
2.082
2.094
2.081
2.093
2.081
2.093
2.081
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2.366
2.383
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2.382
2.365
2.382
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2.381
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2.628
2.651
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2.650
2.627
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2.648
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3.214
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3.415
3.091
3.291
3.193
3.413
3.191
3.412
E METODI
3.190 MODELLI
3.410
3.189PER L’AUTOMAZIONE
3.409
SIMULAZIONE AD EVENTI DISCRETI
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