Microeconomia
Douglas Bernheim, Michael Whinston
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Capitolo 10: Scelte in condizioni di rischio
Soluzioni degli esercizi di riepilogo
10.1
Guidare un’automobile comporta rischi finanziari come quello di fare un incidente e
distruggere la macchina o causare dei danni a qualcuno, oppure rompere una qualche
componente della vettura che necessiterà quindi di essere riparata.
Andare all’università comporta i seguenti rischi finanziari: non trovare lavoro una volta
laureato, non riuscire a stare al passo con gli esami una volta pagate le tasse, fare un
incidente d’auto nel parcheggio interno dell’università, farsi male o far male agli altri
durante la pratica di uno sport con la squadra universitaria,…
Provare una nuova marca di cereali per colazione comporta i seguenti rischi finanziari: la
necessità di pagare una visita in ospedale o di pagare per le medicazioni nel caso in cui il
cibo si dimostri avvelenato, mancare al lavoro a causa dell’intossicazione alimentare, non
trovare di proprio gradimento i nuovi cereali e buttar via la confezione pagata € 4 al
supermercato,…
Fare una vacanza negli Stati Uniti comporta i seguenti rischi finanziari: perdere il
biglietto per il volo di ritorno, essere derubati alla metropolitana,…
Assumere un nuovo dipendente comporta i seguenti rischi finanziari: può risultare meno
produttivo di un altro lavoratore che si era proposto ma che non era stato assunto oppure,
se incompetente, il dipendente può danneggiare i macchinari o far perdere clienti
all’azienda,...
10.2
a. Il payoff atteso è 380 e la deviazione standard è 146,97. (Si veda la tabella seguente)
Payoff atteso e deviazione standard
Probabilità
Payoff
40%
200
60%
500
Payoff atteso
Varianza
Scarto quadratico medio
Probabilità
× Payoff
80
300
380
Deviazione
-180
120
Quadrato della
Deviazione
32.400
14.400
Probabilità ×
quadrato
della
deviazione.
12.960
8.640
21.600
146,97
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b. Il payoff atteso è 144 e la deviazione standard è 23,75. (Si veda la tabella seguente)
Payoff atteso e deviazione standard
Probabilità
Payoff
20%
110
30%
130
10%
150
40%
170
Payoff atteso
Varianza
Scarto quadratico medio
Probabilità
× Payoff
22
39
15
68
144
Deviazione
-34
-14
6
26
Quadrato della
Deviazione
1.156
196
36
676
Probabilità ×
quadrato della
deviazione.
231,2
58,8
3,6
270,4
564
23,75
c. Il payoff atteso è 150 mentre la deviazione standard è 29,155. (La tabella qui non è
inclusa.) Se si ha utilizzato una probabilità pari all’1% (pensando che vi siano 100
esiti possibili), bisogna far notare che, in realtà, gli esiti possibili sono 101, quindi la
probabilità corretta da utilizzare è 1/101.
10.3
Dall’Equazione (3) di pagina 319, sappiamo che l’equazione della retta di consumo atteso
costante è data da:
FP =
Ce
⎛ Π ⎞
−⎜
⎟ FS
1− Π ⎝1− Π ⎠
In tale formula, Ce rappresenta il consumo atteso mentre II è la probabilità che ci sia il
sole. Dato che nella Figura 10.3 di pagina 318 il consumo atteso è pari a € 500, tutto
quello che dobbiamo fare è inserire la probabilità che ci sia il sole all’interno della
formula. (Si faccia attenzione al fatto che il problema fornisce la probabilità dell’evento
contrario, ovvero che piova: 1 – П.)
a.
Se la probabilità di pioggia è del 50%, allora la probabilità che ci sia il sole è del
50%; la retta di consumo atteso costante è dunque:
500 ⎛ 0,5 ⎞
−⎜
⎟ FS
1 − 0,5 ⎝ 1 − 0,5 ⎠
FP = 1.000 – FS
FP =
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b.
Se la probabilità di pioggia è del 25%, allora la probabilità che ci sia il sole è del
75%; la retta di consumo atteso costante è dunque:
500
⎛ 0,75 ⎞
−⎜
⎟ FS
1 − 0,75 ⎝ 1 − 0,75 ⎠
FP = 2.000 – 3FS
FP =
c.
Se la probabilità di pioggia è del 75%, allora la probabilità che ci sia il sole è del
35%; la retta di consumo atteso costante è dunque:
500
⎛ 0,25 ⎞
−⎜
⎟ FS
1 − 0,25 ⎝ 1 − 0,25 ⎠
FP = 666,67 – ⅓FS
FP =
I seguenti grafici illustrano i tre casi considerati:
a.
b.
c.
Lettering:
sull’asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di pioggia (kg)
sull’asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg)
sostituire le virgole con i punti all’interno delle cifre riportate lungo gli assi
sostituire “CECL” con Retta di consumo atteso constante
sostituire “GCL” con Retta di consumo garantito
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10.4
La curva di indiferenza ad L implica avversione al rischio “perfetta” dal momento che
l’investitore accetterà solamente il paniere di consumo che giace sulla retta di consumo
garantito (e quindi il paniere associato ad un grado di rischio pari a zero). Nessun
quantitativo di cibo in caso di sole può compensare questo consumatore per il minimo
rischio a cui può venire sottoposto. Supponiamo, ad esempio, che il consumo
dell’individuo sia pari a 400 quando c’è il sole e sia pari a 200 in caso di uragano. Anche
se la probabilità che si verifichi un uragano è pari allo 0,001%, questo consumatore
risulterà meno felice di quanto sarebbe se gli fosse garantito un consumo paria 200 a
fronte di ogni possibile stato di natura. Per questo consumatore, in altre parole, ogni
forma di incertezza provoca un fastidio di infinite proporzioni.
L’area ombreggiata della figura rappresenta l’insieme dei panieri che hanno un consumo
atteso maggiore rispetto al paniere A (dato che stanno al di sopra della linea di consumo
atteso costante, rappresentata come una retta particolarmente ripida, a significare che
l’uragano è molto meno probabile del bel
tempo).
Tali panieri risultano però inaccettabili per il
consumatore visto che giacciono al di sotto
della curva di indifferenza di A. Risulta
inaccettabile perfino un paniere come C, che
fornisce molto più cibo nel caso
(probabilissimo) che vi sia il sole e sottrae
pochissimo cibo in caso di uragano (evento
davvero poco probabile). L’unico modo per
rendere più felice tale consumatore è quello di
garantirgli che consumerà più di 400 unità di
cibo in qualsiasi stato di natura.
Lettering:
sull’asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di pioggia (kg)
sull’asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg)
sostituire le virgole con i punti all’interno delle cifre riportate lungo gli assi
sostituire “CECL” con Retta di consumo atteso constante
sostituire “GCL” con Retta di consumo garantito
sostituire “Indifference curve” con Curva di indifferenza
10.5
Se Maria riceve 36 kg di cibo quando c’è il sole (e ciò avviene con probabilità ⅔) e 81 kg
di cibo quando si verifica un uragano (la cui probabilità e pari a ⅓), il suo consumo atteso
è la somma dei prodotti fra i vari payoff e le rispettive probabilità: ⅔(36) + ⅓(81) = 24 +
27 = 51 kg
Dato che, in questo problema, Maria crede che il cibo in ciascun stato di natura sia un
perfetto complemento del cibo nell’altro stato, la prospettiva di avere più cibo in caso di
uragano non le comporta alcun aumento di benessere rispetto alla prospettiva di ricevere
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36 kg anche in caso di uragano. Siccome il paniere sarà (36, 36), abbiamo allora
l’equivalente certo: 36 kg. E dato che 51 – 36 = 15, il premio al rischio è proprio 15 kg.
10.6
Per prima cosa, si noti che un
individuo amante del rischio ha un
premio al rischio negativo, mentre un
individuo neutrale al rischio ha premio
al rischio paria zero. In questi casi,
dunque, il premio al rischio non può
mai essere maggiore della differenza
fra il consumo atteso e il più basso
payoff che può verificarsi con
probabilità positiva. Se il premio al
rischio eccedesse mai tale misura,
questo potrebbe avvenire solamente in
riferimento ad un individuo avverso al
rischio.
Lettering:
sull’asse verticale, scrivere: Consumo in caso esito negativo
sull’asse orizzontale, scrivere: Consumo in caso di esito positivo
sostituire “Risk premium for B” con Premio al rischio per B
sostituire “CECL” con Retta di consumo atteso constante
sostituire “GCL” con Retta di consumo garantito
sostituire “Indifference curve” con Curva di indifferenza
Se un individuo avverso al rischio si trova a fronteggiare il rischio, allora sarà
disponibile, in ogni stato di natura possibile, ad accettare, in cambio della rimozione del
rischio, un payoff minore del payoff atteso in caso di rischio. La parte del payoff atteso a
cui si è disposti a rinunciare è una misura del premio al rischio. Se il premio al rischio
fosse maggiore della differenza fra il consumo atteso e il più basso payoff possibile, il
consumatore sarebbe disposto ad accettare una garanzia di consumo inferiore rispetto a
ogni possibile payout.
Facciamo un esempio: viene proposto di accettare € 5 certi piuttosto che affrontare una
lotteria che paga € 6 metà delle volte e paga € 7 l’altra metà delle volte. Anche la persona
più avversa al rischio al mondo deciderebbe di rifiutare la proposta e partecipare alla
lotteria. Una persona avversa al rischio in senso assoluto sarebbe però più felice se
ricevesse in ogni caso € 6 (si tratta ovviamente di una persona che odia il rischio, e il solo
fatto di essere sottoposto ad una lotteria genera un’utilità negativa che supera ogni
possibile variazione positiva dell’utilità legata a vincite nel gioco).
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Partiamo dal punto B del grafico, che rappresenta un painere rischioso. Il punto A
presenta lo stesso consumo atteso del paniere B, mentre il punto C è l’equivalente certo.
Il premio al rischio è dato dalla distanza che separa i punti A e C. Il solo modo per far sì
che il premio al rischio sia maggiore della differenza fra consumo atteso e livello minimo
di consumo possibile(CL) è che la curva di indifferenza passante per B passi anche per un
punto come D, ma questo vorrebbe dire che la curva di indifferenza ha la concavità
rivolta verso l’esterno e non verso l’origine, il che è assurdo.
10.7
L’equivalente certo eccede
il livello atteso di consumo
dal momento che il
consumatore non è disposto
a ridurre il consumo atteso
per eliminare il rischio
(come avviene invece nel
caso di un individuo
avverso
al
rischio).
Piuttosto, la preferenza per
il
rischio
di
questo
consumatore lo indurrà
invece
ad
aumentare
l’equivalente certo, per cui
l’ammontare di consumo
necessario per compensare
la riduzione del rischio
dovrà essere maggiore.
Lettering:
sull’asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di uragano (kg)
sull’asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg)
sostituire “Risk premium for B” con Premio al rischio per B
sostituire “CECL” con Retta di consumo atteso constante
sostituire “Certainty equivalence” con Equivalenza certa
sostituire “GCL” con Retta di consumo garantito
sostituire “Indifference curve” con Curva di indifferenza
Il premio al rischio è negativo dato che è calcolato come differenza fra il consumo atteso
e l’equivalente certo. Siccome, in questo caso, l’equivalente certo è maggiore del
consumo atteso, il premio al rischio è negativo; in altre parole, il consumatore è disposto
a rinunciare ad una quantità negativa di consumo per ridurre il grado di rischio cui è
sottoposto, il che significa che richiede un consumo aggiuntivo a scopo compensativo.
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10.8
Se un consumatore amante del rischio si
colloca nel B del grafico, allora per quel
punto passa una curva di indifferenza con
concavità rivolta verso l’origine. L’offerta
di
una
copertura
assicurativa
attuarialmente
equa
consente
al
consumatore di muoversi lungo la retta di
bilancio che unisce A e B (dove A
rappresenta l’assicurazione completa che
uguaglia i consumi, qualsiasi sia l’esito).
Tuttavia, a causa della concavità della
curva di indifferenza del consumatore,
ogni punto collocato sulla retta di bilancio
deve giacere su una curva di indifferenza
più bassa rispetto a quella del paniere B. Il consumatore ha quindi un’utilità maggiore nel
punto B che in qualsiasi altro punto raggiungibile grazie all’assicurazione contro le
perdite. Tale risultato appare ragionevole: se il consumatore ama il rischio, perché
dovrebbe assicurarsi?
Lettering:
sull’asse verticale, scrivere: Consumo in caso esito negativo
sull’asse orizzontale, scrivere: Consumo in caso di esito positivo
sostituire “Budget line” con Retta di bilancio
sostituire “CECL” con Retta di consumo atteso constante
sostituire “GCL” con Retta di consumo garantito
sostituire “Indifference curve” con Curva di indifferenza
10.9
Si può dare il caso che certi rischi, come quello di una malattia grave o di un infortunio,
possano dar luogo a costi potenziali così elevati che gli individui avversi al rischio
decidono sia meglio coprirsi con un’assicurazione. Sono casi in cui lo stato di natura
peggiore corrisponde ad una situazione decisamente grave.
Tuttavia, possono sempre sorgere altre situazioni, come (ad esempio) opportunità di
investimento sul mercato azionario, per le quali l’utilità attesa dell’investimento rischioso
è maggiore dell’utilità del denaro attualmente disponibile. Questo capita, normalmente,
quando l’esito migliore possibile corrisponde ad una situazione davvero molto buona, in
grado di compensare l’avversione al rischio dell’individuo.
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10.10
Nel grafico qui riportato la
curva di indifferenza I1 è simile
ad una curva ad L e rappresenta
quindi le preferenze di un
individuo
particolarmente
avverso al rischio rispetto ad un
individuo le cui curve di
indifferenza sono indicate da I2.
Se le curve di indifferenza di
Maria sono come I1, il punto di
tangenza è D1. Se Maria è
meno avversa al rischio e le sue
curve di indifferenza sono
come I2, allora la scelta ricadrà
sul punto D2, che comporta un
maggiore investimento nella
concessione per la vendita di
creme solari.
Lettering:
sull’asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di uragano (kg)
sull’asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg)
sostituire “Budget line” con Retta di bilancio
sostituire “CECL” con Retta di consumo atteso constante
sostituire “GCL” con Retta di consumo garantito
11.11
Come emerge dal grafico, se
la concessione per la vendita
di creme solari diventa più
profittevole quando c’è il
sole, il paniere rischioso
rappresentativo
dell’intero
investimento si sposta verso
destra. Questo implica un
rendimento maggiore in caso
di sole e nessuna variazione
del rendimento in caso di
uragano. La retta di bilancio
diventa il segmento che
unisce i punti A e E. Quando
ciò accade, Maria sceglie il
punto D2. Questo punto
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implica un maggiore investimento complessivo. Del resto, tutto questo è ragionevole: se
l’investimento è più profittevole, si vorrà investire di più e l’utilità (o il benessere)
risulterà più elevata.
Lettering:
sull’asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di uragano (kg)
sull’asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg)
sostituire “Budget lines” con Rette di bilancio
sostituire “CECL” con Retta di consumo atteso constante
sostituire “GCL” con Retta di consumo garantito
10.12
Ad un individuo amante del rischio piace l’idea di avere un payoff potenziale molto
elevato, indipendentemente dalle perdite cui può andare incontro. Questo individuo non
ha quindi ragione per diversificare, visto che la diversificazione riduce il rischio
attraverso la riduzione della variabilità. In molti casi, i portafogli diversificati risultano
avere un rendimento molto vicino a quello atteso ex-ante. Gli amanti del rischio vogliono
invece avere la possibilità di eccedere (e di molto) il rendimento atteso e tale possibilità è
maggiore in un portafoglio non diversificato che in uno diversificato.
Una persona neutrale al rischio è invece indifferente alla diversificazione, ragion per cui
può decidere di diversificare il proprio portafoglio come di non farlo. Gli individui
neutrali al rischio si interessano unicamente del rendimento atteso: avere € 100 con il
50% di probabilità e € 0 con l’altro 50% di probabilità è, per loro, la stessa identica cosa
che avere € 50 con il 100% di probabilità. Non prendono in considerazione né la
possibilità di incrementare il grado di rischio, né quella di ridurlo e siccome la
diversificazione non altera il payoff atteso, tali individui sono del tutto indifferenti
rispetto a tale opzione.
10.13
a. Il payoff atteso netto di Goffredo da ciascun progetto è uguale alla somma dei prodotti
dei vari rendimenti per le loro rispettive probabilità, meno (ovviamente) l’investimento
iniziale:
Progetto A: 0,1(600) + 0,3(800) + 0,2(400) + 0,4(0) – 200 = € 180
Progetto B: 0,1(200) + 0,3(0) + 0,2(600) + 0,4(700) – 300 = € 120
Dato che Goffredo è neutrale al rischio, tutto ciò che gli interessa è il payoff atteso. Il
progetto A risulta quindi preferibile, vista la differenza di € 60.
b. Se Goffredo dispone di una previsione meteo sicura, deciderà di investire nel progetto
A se è prevista pioggia o neve, mentre investirà nel progetto B se è previsto sole o
grandine. Questo insieme di decisioni costituisce una sorta di nuovo “progetto”, dato che
Goffredo conosce in anticipo la condizione meteorologica che si manifesterà.
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Il suo investimento nel progetto A è di € 200 (investimento che verrà fatto nel 40% dei
casi) mentre l’investimento nel progetto B (che verrà scelto nel 60% dei casi) sarà di €
300. Di conseguenza, il rendimento atteso sarà:
(0,4)(200) + (0,6)(300) = € 260
Consideriamo ora il rendimento atteso con il “nuovo progetto” (chiamiamolo C):
0,1(600) + 0,3(800) + 0,2(600) + 0,4(700) – 260 = € 440
Dato che le informazioni in possesso di Goffredo fanno sì che il suo payoff atteso sia
maggiore di quello relativo al Progetto A, Goffredo pagherà fino a € 260 per ottenere tali
informazioni.
