Teoria degli Insiemi 1 Teoria degli Insiemi 2 Insiemi

Teoria degli Insiemi
Docente: Francesca Benanti
2 Febbraio 2007
1
Teoria degli Insiemi
La Teoria degli Insiemi è una branca
della matematica creata alla fine del
diciannovesimo secolo principalmente
dal matematico tedesco Georg Cantor
(1845-1918). Inizialmente controversa,
è arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica moderna.
I concetti di questa teoria, quali per esempio quelli di funzione e di relazione,
sono presenti in ogni suo settore.
Un insieme è una collezione di oggetti determinati e distinti della nostra
percezione o del nostro pensiero concepiti come un tutto unico. Tali oggetti
si dicono gli elementi dell’insieme. (G. Cantor)
2
Insiemi
Insieme: concetto primitivo, nel senso che non può essere definito in termini
di altre nozioni più elementari, sinonimo di collezione, raccolta di elementi.
Insiemi Numerici:
• N = {0, 1, 2, 3, 4 . . .} = l’insieme dei numeri naturali,
1
• Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} = l’insieme dei numeri interi,
• Q = {. . . , −2.7, . . . , − 43 , . . . , 0, . . . , 17 . . . , 4.8(2), . . .} = l’insieme dei numeri razionali,
√
√
• R = {. . . , − 5, . . . , − 45 , . . . , 0, . . . , 2 . . . , 7, . . .} = l’insieme dei numeri
reali.
Osservazione:
I simboli N∗ , Z∗ , Q∗ , R∗ indicano gli insiemi numerici N, Z, Q, R privati
dell’elemento zero.
I simboli Z+ , Q+ , R+ indicano gli interi, i razionali, i reali positivi, rispettivamente.
I simboli Z− , Q− , R− indicano gli interi, i razionali, i reali negativi, rispettivamente.
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Definire un insieme
Modi per definire un insieme:
• Modo esplicito: si elencano tutti gli elementi dell’insieme
Esempio: A = {−2, −1, 0, 1, 2}
• Modo implicito: si elencano le proprietà che caratterizzano gli elementi dell’insieme
Esempio: A = {x intero, − 2 ≤ x ≤ 2}
• Rappresentazione grafica: Diagrammi di Euleo-Venn
Esempio:
A=
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive
a∈A
e si legge a appartiene all’insieme A.
Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive
b 6∈ A
e si legge b non appartiene all’insieme A.
Esempi:
• A = {−2, −1, 0, 1, 2}
−1 ∈ A, 3 6∈ A
• A = {x ∈ N | x = 2n, x2 > 11}
5 6∈ A, 4 ∈ A
• A=
3 6∈ A, 1 ∈ A.
4
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è un sottoinsieme di B
(o che A è incluso in B) e si scrive
A⊆B
se ogni elemento di A è un elemento di B, ossia è vera l’implicazione
∀x∈A⇒x∈B
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A non è un sottoinsieme
di B (o che A non è incluso in B) e si scrive
A 6⊆ B
se esiste qualche elemento di A che non appartiene a B, ossia è vera la
proposizione
∃ x ∈ A | x 6∈ B
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Esempi:
• A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {−1, 4, 5}
C = {−2, 3, 4, 7}
Allora, si ha
B ⊆ A,
C 6⊆ A
B ⊆ A,
C 6⊆ A
• A = {x ∈ Z | x < 5, }
B = {x ∈ N | x2 < 20, }
C = {x ∈ N | x2 < 30, }
Allora, si ha
• Consideriamo i seguenti insiemi
Allora, si ha
B 6⊆ A,
5
C ⊆ A.
Sottoinsiemi Propri e Impropri
Definizione: Si definisce insieme vuoto l’insieme privo di elementi e si
indica
∅
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Esempio:
A = {x ∈ N | x2 = −1} = ∅
Osservazione: Dato un generico insieme A per convenzione si pone
A ⊆ A, ∅ ⊆ A
Definizione: Dato un insieme A si definiscono sottoinsiemi impropri di A
l’insieme vuoto e A stesso.
Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice che A è un sottoinsieme proprio
di B e si scrive
A⊂B
se A è un sottoinsieme di B diverso dall’insieme vuoto e da B stesso, ossia
A 6= ∅, ∃ x ∈ B | x 6∈ A
Esempio:
A = {a, b, 1}
sottoinsiemi impropri di A:
∅, A
sottoinsiemi propri di A:
{a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1}
Definizione: Dato un insieme A si definisce insieme delle parti di A l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A, e si indica
P(A)
Esempio:
A = {a, b, 1}
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
P(A) = {A, ∅, {a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1}}.
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è uguale a B, e si scrive
A=B
se ogni elemento di A è un elemento di B e viceversa, ovvero
A ⊆ B, B ⊆ A
Esempio:
A = {x ∈ N | x2 < 11}
B = {0, 1, 2, 3}
Allora
A=B
6
Operazioni tra Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce unione di A e di B, e si
indica
A ∪ B,
l’insieme di tutti gli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Esempio:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 3}
Allora
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce intersezione di A e di B,
e si indica
A ∩ B,
l’insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Esempio:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 3}
Allora
A ∩ B = {3}
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce differenza di A e B, e si
indica
A\B,
l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A e non a B
A\B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}
(Analogamente B\A = {x | x ∈ B ∧ x 6∈ A}, detta la differenza di B e A)
Esempio:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
A = {1, 2, 3}, B = {4, 3}
Allora
A\B = {1, 2} B\A = {4}
Osservazione: Se A ⊆ B allora B\A è detto complementare di A in B.
Esempio:
A = {0, 1}, B = {−1, 0, 1, 4, 3}
Allora
A ⊆ B, B\A = {−1, 3, 4}
(Analogamente se B ⊆ A allora A\B è detto complementare di B in A)
Sia U un fissato universo, ossia un insieme che contiene tutti gli oggetti che
ci possono interessare.
Definizione: Dato un insieme A, si definisce complementare di A, e si indica
C
A,
l’insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad A
C
A = {x ∈ U | x 6∈ A} = {x | x 6∈ A}
Esempio:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
A = {x |x < 2}
Allora
C
7
A = {x |x ≥ 2}
Proprietà delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A;
2. Associativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:
A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A;
4. Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
5. Legge dei neutri:
A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U,
A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A;
6. Complemento:
A ∪C A = U, A ∩C A = ∅,
C C
( A) = A, C ∅ = U, C U = ∅;
7. Leggi di De Morgan:
C
(A ∪ B) =C A ∩C B,
C
(A ∩ B) =C A ∪C B.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
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Prodotto Cartesiano
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto cartesiano di A
e B, e si indica
A × B,
l’insieme formato dalle coppie ordinate (a, b) in cui a ∈ A e b ∈ B
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Esempio:
A = {x, y, z}, B = {1, 2}
Allora
A × B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}
Osservazione:
• (x, y) 6= (y, x)
• X × Y 6= Y × X
• (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 , y1 = y2
Rappresentazioni del Prodotto Cartesiano:
1. (Tavola Pitagorica)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
2. (Piano Cartesiano)
3. (Diagramma di Eulero - Venn)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Esercizi:
1. Dimostrare le proprietà delle operazioni tra insiemi;
2. Siano
A = {x ∈ Z | x4 − 13x2 + 36 = 0}
e
B = {x ∈ Z | x|18}.
Determinare A ∪ B, A ∩ B, A\B e B\A.
3. Siano
A = {a, b}, B = {2, 3} e C = {4, 3}
Determinare A × (B ∪ C), (A × B) ∪ (A ∪ C), A × (B ∩ C) e (A × B) ∩ (A ∪ C).
Proprietà Distributiva, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C):
Verifichiamo
• A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C):
∀x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C) ⇒
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ⇒
(x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C):
∀x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A ∩ C) ⇒
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ⇒
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒
x ∈ A ∧ (x ∈ B ∪ C) ⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
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Corrispondenze
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispondenza o relazione
R da A in B una legge che associa elementi di A ad elementi di B.
N.B. A è detto dominio della corrispondenza,
B è detto codominio della corrispondenza.
Esempio:
A = {1, 4, −5} B = {0, 1, −2, 2, 3}
consideriamo la corrispondenza R definita nel modo seguente:
aRb, se b2 = a
dove a ∈ A e b ∈ B.
Allora si ha:
1 R 1, 4 R 2, 4 R − 2
Osservazione: In una corrispondenza da A in B ad un elemento del dominio può essere associato più di un elemento o nessun elemento del codominio.
Esempio:
A = {1, 4, −5} B = {0, 1, −2, 2, 3}
aRb, se b2 = a
1R1
4 R 2, 4 R − 2
6 ∃b ∈ B | − 5Rb
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
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Relazioni
Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione binaria o semplicemente relazione su A una corrispondenza R da A in se stesso.
Osservazione: Una relazione su A individua un sottoinsieme del prodotto
cartesiano A × A.
Esempio: Sia
A = {0, 1, . . . , 9}
consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
a R a, se a = 2a
dove a, a ∈ A. Allora
A R A = {(a, a) | a, a ∈ A, a = 2a} =
= {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Osservazione: Una relazione su A può essere rappresentata anche mediante
un grafo in cui i nodi sono gli elementi di A e gli archi le relazioni tra gli
elementi di A.
Esempio: A = {0, 1, . . . , 9}
A R A = {(a, a) | a, a ∈ A, a = 2a}
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Proprietà delle Relazioni
• Proprietà Riflessiva: Una relazione R definita su un insieme A è
riflessiva se ogni elemento di A è in relazione con sè stesso:
∀x ∈ A, xRx.
• Proprietà Simmetrica: Una relazione R definita su un insieme A
è simmetrica se, comunque presi x e y in A, se x è in relazione con y
allora y è in relazione con x:
∀x, y ∈ A, xRy ⇒ yRx.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
• Proprietà Antisimmetrica: Una relazione R definita su un insieme
A è antisimmetrica se, comunque presi x e y in A con x 6= y, se x è in
relazione con y allora y non è in relazione con x:
∀x, y ∈ A, x 6= y, xRy ⇒ y 6 Rx.
o, equivalentemente, se x è in relazione con y e y è in relazione con x
allora x = y
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x = y.
• Proprietà Transitiva: Una relazione R definita su un insieme A
è transitiva se, comunque presi tre elementi in A, x, y, z, se x è in
relazione con y e y con z, allora x è in relazione con z:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ xRz.
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Relazioni d’ordine
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale valgono le
proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva è detta relazione d’ordine
parziale.
A è detto parzialmente ordinato.
Definizione: Una relazione d’ordine R su un insieme A è detta relazione
d’ordine totale se comunque presi due elementi a e b in A si ha aRb o bRa,
ossia a e b si possono sempre confrontare.
A è detto totalmente ordinato.
Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine parziale su A, infatti
• R è riflessiva:
∀x ∈ A, x|x
• R è antisimmetrica:
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x|y, y|x ⇒ x = y
• R è transitiva:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x|y, y|z ⇒ x|z ⇒ xRz
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Graficamente:
N.B. La relazione d’ordine non è totale, infatti 2 6 | 3 e 3 6 | 2, dunque 2 6 R3 e
3 6 R2.
Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine totale su A, infatti
• R è riflessiva:
∀x ∈ A, x ≤ x
• R è antisimmetrica:
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y
• R è transitiva:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z ⇒ xRz
• e inoltre
∀x, y ∈ A, x ≤ y, oppure y ≤ x.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
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Relazioni d’equivalenza
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale valgono le
proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva è detta relazione d’equivalenza.
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Banalmente si verifica che R è una relazione d’equivalenza su A.
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R è riflessiva:
∀a ∈ Z, a − a = 0 = 2 · 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
∀a, b ∈ Z, aRb ⇒ a − b = 2 · n, n ∈ Z ⇒
b − a = −(a − b) = −(2 · n) = 2 · (−n) = 2 · n0 , n0 ∈ Z ⇒
bRa;
• R è transitiva:
∀a, b, c ∈ Z, aRb e bRc ⇒
a − b = 2 · n, b − c = 2 · n0 , n, n0 ∈ Z ⇒
a − c = (a − b) + (b − c) = 2 · n + 2 · n0 = 2 · (n + n0 ) =
2 · m, m ∈ Z ⇒ aRc.
3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb ⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
R non è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
• R è riflessiva:
∀a ∈ Z, aa = a2 ≥ 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
∀a, b ∈ Z, aRb ⇒ ab ≥ 0 ⇒ ba ≥ 0 ⇒ bRa;
• R non è transitiva:
3R0, 0R(−5) ma 3 6 R(−5).
4. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R è riflessiva:
∀a ∈ Z∗ , aa = a2 > 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
∀a, b ∈ Z∗ , aRb ⇒ ab > 0 ⇒ ba > 0 ⇒ bRa;
• R è transitiva:
∀a, b, c ∈ Z∗ , aRb, bRc ⇒ ab > 0, bc > 0 ⇒
(ab)(bc) > 0 ⇒ ab2 c > 0 ⇒ ac > 0 ⇒ aRc.
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazione di equivalenza
definita in A. Sia a ∈ A, si chiama classe di equivalenza di a il sottoinsieme
di A formato da tutti gli elementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
Osservazione: [a] 6= ∅, infatti a ∈ [a].
Esempi:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Sia a ∈ A, allora
[a] = {b ∈ A | aRb} = {b ∈ A | a = b} = {a}.
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [3]:
[3] = {x ∈ Z | 3Rx} = {x ∈ Z | 3 − x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 3 − 2n = 3 + 2n0 = 2n00 + 1, n00 ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n + 1, n ∈ Z} =
{tutti gli interi dispari}
3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [−5] e [−2]:
[−5] = {x ∈ Z∗ | (−5)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−5)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
Analogamente
[−2] = {x ∈ Z∗ | (−2)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−2)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z− = [−5].
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono?
Criterio: Sia R una relazione di equivalenza definita su un insieme A.
∀a, b ∈ A,
[a] = [b] ⇔ aRb.
Dimostrazione:
(⇒): bRb ⇒ b ∈ [b] = [a] ⇒ b ∈ [a] ⇒ aRb.
(⇐): Dimostriamo dapprima che [a] ⊆ [b]. ∀c ∈ [a] ⇒ aRc. Ma per ipotesi
aRb. Dunque, per la proprietà simmetrica, si ha che bRa. Allora bRa e
aRc. Per la transitività di R, si ha bRc. Dunque c ∈ [b]. In modo analogo si
dimostra che [b] ⊆ [a]. In conclusione si ha [a] = [b].
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazione di equivalenza
definita in A. Si definisce insieme quoziente di A modulo ∼ l’insieme di tutte
le classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
x ∼ y ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Sia a ∈ A, allora [a] = {a}.
Dunque
A/ ∼= {[a] | a ∈ A} = {{a} | a ∈ A}.
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nel modo seguente:
a ∼ b ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [0]:
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0 − x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = −2n = 2n0 , n0 ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Determiniamo [1]:
[1] = {x ∈ Z | 1 ∼ x} = {x ∈ Z | 1 − x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 1 − 2n = 1 + 2n0 , n0 ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n + 1, n ∈ Z} = {tutti gli interi dispari}
Dunque
Z/ ∼= {[0], [1]}.
3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione ∼ definita nel modo seguente:
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [1]:
[1] = {x ∈ Z∗ | 1 ∼ x} = {x ∈ Z∗ | 1x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x > 0} = Z+
Determiniamo [−1]:
[−1] = {x ∈ Z∗ | (−1) ∼ x} = {x ∈ Z∗ | (−1)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
Dunque
Z/ ∼= {Z+ , Z− }.
Risultato: Sia dato un insieme A e sia ∼ una relazione di equivalenza
definita in A. Allora l’insieme quoziente A/ ∼ è una partizione di A, ossia
è una famiglia di sottoinsiemi di A non vuoti, a due a due disgiunti e la cui
unione è tutto A.
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Funzioni
Definizione: Dati due insiemi A e B si chiama applicazione o funzione da
A in B una corrispondenza che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo
elemento di B. Si scrive:
f :A→B
a→b
dove a ∈ A. Si scrive anche f (a) = b.
N.B. A è detto dominio della funzione,
B è detto codominio della funzione.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Esempio: Dati gli insiemi
A = {−2, −1, 0, 1, 2} e B = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
si consideri la corrispondenza
f :A→B
definita da
f (x) = x2 , ∀x ∈ A.
f è un’applicazione, infatti ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo
elemento di B
f (−2) = 4 ∈ B, f (−1) = 1 ∈ B, f (0) = 0 ∈ B,
f (1) = 1 ∈ B, f (2) = 4 ∈ B.
Graficamente:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Criterio: Per verificare che una corrispondenza f : A → B
è un’applicazione bisogna verificare
• ∀x ∈ A, ∃f (x) ∈ B;
• ∀x ∈ A, ∃!f (x) (è unico):
x = y ⇒ f (x) = f (y)
Esempi:
1. Consideriamo la corrispondenza
f :Z→Z
definita da
f (x) = 2x, ∀x ∈ Z.
f è un’applicazione, infatti
• ∀x ∈ Z, 2x ∈ Z ⇒ f (x) = 2x ∈ Z.
• Siano x, y ∈ Z. Se x = y ⇒ 2x = 2y ⇒ f (x) = f (y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
2. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
a
a
a
f ( ) = 5 , ∀ ∈ Q.
b
b
b
f è un’applicazione, infatti
• ∀ ab ∈ Q, 5 ab ∈ Q ⇒ f ( ab ) ∈ Q.
• Siano ab , dc ∈ Q. Se
a
b
=
c
d
⇒ 5 ab = 5 dc ⇒ f ( ab ) = f ( dc )
3. Consideriamo la corrispondenza
f :R→R
definita da
f (x) =
5
, ∀x ∈ R.
2−x
f non è un’applicazione, infatti
• f (2) 6∈ R
4. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
a
a
f ( ) = 2b, ∀ ∈ Q.
b
b
f non è un’applicazione, infatti
• ∀ ab ∈ Q, 2b ∈ Q ⇒ f ( ab ) ∈ Q.
•
1
2
=
3
6
ma f ( 12 ) = 4 6= f ( 36 ) = 12
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice
che f è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel
codominio, ossia
∀x, y ∈ A, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y).
Esempi:
INIETTIVA
NON INIETTIVA
Criterio: f : A → B è iniettiva se, ∀x, y ∈ A,
f (x) = f (y) ⇒ x = y
Esempi:
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
f è iniettiva, infatti
Siano x, y ∈ Z. Se
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
f (x) = f (y) ⇒
3x + 1 = 3y + 1 ⇒ 3x = 3y ⇒ x = y
2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
f (x) = x2 , ∀x ∈ Z.
f non è iniettiva, infatti
1 6= −1 ma f (1) = 1 = f (−1)
Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice
che f è surgettiva o suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di
qualche elemento del dominio, ossia
∀b ∈ B, ∃a ∈ A t.c. f (a) = b.
Esempi:
SURGETTIVA
NON SURGETTIVA
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Criterio: f : A → B è surgettiva se, ∀b ∈ B ∃x ∈ A, tale
che l’equazione
f (x) = b
ha soluzione.
Esempi:
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
f è surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x + 6 = b?
Risolviamo
x+6=b
si ottiene
x=b−6∈Z
dunque
∀b ∈ Z ∃x = b − 6 ∈ Z t.c. f (b − 6) = b
f è surgettiva.
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
f è surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. 3x + 1 = b?
Risolviamo
3x + 1 = b
si ottiene
x=
b−1
6∈ Z
3
dunque f non è surgettiva, infatti per b = 5 si ha x =
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4
3
6∈ Z
Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice
che f è biunivoca se è iniettiva e surgettiva.
Esempi:
1.
2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
f è biunivoca
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione biunivoca. Si definisce funzione inversa di f , e si indica f −1 , l’applicazione
f −1 : B → A che associa ad ogni elemento di B, b ∈ B, quell’unico elemento
a ∈ A di cui è immagine tramite la f , ossia f (a) = b.
∀b ∈ B, f −1 (b) = a, dove a ∈ A e f (a) = b
Esempio:
f −1
f
Esempio: Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Abbiamo visto che f è biunivoca
La funzione inversa
f −1 : Z → Z
è definita da
f (x) = x − 6, ∀x ∈ Z.
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Definizione: Siano f : A → B e g : B → C due applicazioni. Allora l’applicazione g ◦ f : A → C definita da
g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ A
è detta applicazione composta.
Esempio: Consideriamo
f : Z∗ → N
g:N→Q
f (x) = x2 , ∀x ∈ Z∗
g(x) =
3x+5
,
2
∀x ∈ N
g ◦ f : Z∗ → Q
3x2 + 5
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(x ) =
2
2
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Esercizi:
1. Delle seguenti relazioni su N verificare quali tra le proprietà riflessiva,
simmetrica, anti-simmetrica e transitiva sono valide:
a) xRy ⇔ x|y;
b) xRy ⇔ hanno lo stesso numero di cifre;
c) xRy ⇔ x − y = 3n per qualche naturale n;
d) xRy ⇔ hanno un divisore comune diverso da 1.
2. Su Z si definisca la seguente relazione:
xRy ⇔ λx − 3y = 1
con λ ∈ Z. Dire per quale valore di λ la relazione R è simmetrica:
a) λ = 0;
b) λ = 21 ;
c) λ = −3;
d) λ = 2.
3. Delle seguenti funzioni dire quali sono iniettive e quali surgettive:
a) f : R → R, definita da f (x) = 4x + 1;
b) g : R∗ → R, definita da g(x) = x2 ;
c) h : Z∗ → R, definita da h(x) =
1
;
x2 +1
4. Siano f : R → R e g : R → R due funzioni definite da f (x) = (x − 1)2
e g(x) = x + 1. Determinare le funzioni composte f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e
g ◦ g.
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