Strumentazione e misure elettriche

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
Facoltà di Scienze M.F.N.
Corso di Laurea in Matematica
Prof. Andrea Stefanini
Appunti aggiuntivi al corso di
LABORATORIO DI FISICA 2
STRUMENTAZIONE E MISURE ELETTRICHE
Anno Accademico 2009-2010
1
1
Introduzione
In questo capitolo verrà presentata la strumentazione disponibile in laboratorio e verranno
illustrate le misure in corrente continua e in alternata. Verranno elencate le caratteristiche
dei singoli strumenti e le operazioni necessarie per il loro corretto utilizzo nelle esperienze
di laboratorio. Verranno infine menzionate le più importanti fonti di incertezza, delle
quali si deve tenere conto nella determinazione del risultato delle misure.
2
Alimentatore di tensione
L’alimentatore di tensione disponibile in laboratorio, mostrato in fig.1, è un alimentatore digitale regolabile stabilizzato. La tensione continua fornita ai terminali di uscita
è ottenuta tramite il raddrizzamento della tensione alternata di rete.
Tale raddrizzamento non è mai perfetto e quindi la tensione d’uscita non è
esattamente costante ma presenta una
residua oscillazione, il cosiddetto “ripple”.
Tramite un pomello (indicato con
COURSE) posto sul frontale dello strumento è possibile variare con continuità, all’interno della portata, la tensione fornita ai terminali di uscita. Il
valore di tale tensione viene mostrato
sul display digitale frontale; sullo stesso display è anche possibile leggere la
corrente erogata dall’alimentatore. A
Figura 1: Alimentatore di tensione
tal fine sul pannello frontale è posizionato un interruttore che permette di passare dall’una all’altra modalità di lettura.
Nella successiva tabella sono riportate le principali caratteristiche dell’alimentatore.
Tensione uscita
1-15 V DC
Corrente massima
5A
Ripple
20 mV
Protezione uscita
elettronica
La protezione elettronica di uscita impedisce eventuali danneggiamenti dello strumento
in caso di fortuiti corto circuiti esterni. In tabella sono riportati, sotto la voce “Tensione
di uscita”, il valore minimo e quello massimo della tensione che il generatore può fornire.
Si noti che il valore minimo è pari a 1 V e quindi il generatore, una volta acceso, fornisce
sempre ai suoi terminali di uscita una tensione diversa da zero.
La polarità della tensione di uscita è tale che il terminale di colore rosso abbia sempre
potenziale maggiore di quello nero. La tensione e la corrente fornite dall’alimentatore
sono mostrate sul display, rispettivamente in volt e in ampère, utilizzando tre cifre. Ne
consegue una incertezza sul loro valore pari a 0.1 V per la tensione, e di 0.01 A per la
2
corrente. Un circuito interno al’alimentatore assicura la costanza della tensione di uscita,
indipendentemente dalla corrente erogata, e quindi rende praticamente nulla la resistenza
interna dell’alimentatore.
3
Multimetro
Il multimetro disponibile in laboratorio, mostrato in fig.2, è un multimetro analogico. Il multimetro può effettuare, tramite l’utilizzo dei puntali disponibili, una volta
che i corrispondenti spinotti, rosso e nero, siano stati inseriti nelle appropriate boccole,
le seguenti misure:
• valore di una tensione continua
(V DC)
• valore di una corrente continua
(I DC)
• valore efficace di una tensione
sinusoidale (V AC)
• valore efficace di una corrente
sinusoidale (I AC)
• valore di una resistenza
• valore di una capacità
Figura 2: Multimetro
Il valore misurato viene indicato sulla
scala circolare del quadrante frontale corrispondente alla funzione prescelta tramite la
rotazione di un indice che scorre su di essa. Prima di iniziare le misure è bene accertarsi
che l’indice dello strumento sia in corrispondenza dello zero posto a sinistra dell’arco del
quadrante. Se ciò non si verifica, si può portare l’indice a coincidere con lo zero ruotando
con un piccolo cacciavite il piolino con testa tagliata posto sulla parte inferiore del frontale.
Per ridurre i possibili errori di parallasse nelle misure, la scala circolare è provvista di uno
specchietto ad essa parallelo; l’operatore dovrà quindi realizzare la misura guardando la
posizione dell’indice con un solo occhio e avendo cura che l’immagine dell’indice riflessa
nello specchietto non sia visibile.
3.1
Misura di una tensione in continua
Come mostrato schematicamente in Fig.3, la misura si realizza introducendo lo spinotto nero dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura “=” e quello rosso in
una delle boccole contrassegnate dalle diciture nere “100 mV =”, “2 V =”, “10 V =”,
“50 V =”, “200 V =” e “1000 V =”, a seconda della portata prescelta e applicando i puntali al circuito in esame. Quando il valore della tensione non è conosciuto,
3
conviene iniziare le misure usando
la portata massima e ridurre gradualmente la portata fino a raggiungere quella ottimale.
La lettura
della tensione viene effettuata sulla scala DC nera.
Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche di precisione delle misure realizzabili, in funzione della portata
prescelta.
Figura 3: Misura di tensione in DC
Portata
Risoluzione
Precisione
100 mV
2 mV
2V
0.04 V
10 V
0.2 V
50 V
1V
± 2 % f.s.
200 V
4V
500 V
10 V
1000 V
20 V
Il Voltmetro è inoltre caratterizzato da un valore di 20000 Ω/V ; questo vuol dire che per
ottenere una deflessione fondo scala (f.s.) dell’indice è necessaria una corrente di 50 µA (1
Volt diviso 20000 Ω dà 50 µA). Moltiplicando tale valore per la portata scelta si ottiene
la resistenza interna dello strumento nelle condizioni di utilizzo.
3.2
Misura di una intensità di corrente in continua
Come mostrato schematicamente in
Fig.4, la misura si realizza introducendo lo spinotto nero dei puntali nella
boccola contrassegnata con la dicitura
“=” e quello rosso in una delle boccole contrassegnate dalle diciture nere
“50 µA =”, “500 µA =”, “5 mA =”,
“50 mA =”, “500 mA =” e “5 A =”,
a seconda della portata prescelta e applicando i puntali al circuito in esame.
Quando il valore della corrente non è
conosciuto, conviene iniziare le misure
Figura 4: Misura di corrente in DC
usando la portata massima e ridurre
gradualmente la portata fino a raggiungere quella ottimale. La lettura della corrente
viene effettuata sulla scala DC nera. Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche di precisione delle misure realizzabili, in funzione della portata prescelta.
Portata
Risoluzione
Precisione
c.d.t.
50 µA
1 µA
100 mV
500 µA
10 µA
5 mA
0.1 mA
± 2 % f.s.
294 mV 318 mV
4
50 mA
1 mA
500 mA
10 mA
320 mV
5A
0.1 A
Nella tabella è anche riportata la caduta di tensione (c.d.t.) di fondo scala nelle varie
portate: da essa è immediatamente ricavabile il valore della resistenza interna dello
strumento.
3.3
Misura del valore efficace di una tensione sinusoidale
Come mostrato schematicamente in
Fig.5, la misura si realizza introducendo
lo spinotto nero dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura rossa
“∼” e quello rosso in una delle boccole contrassegnate dalle diciture rosse
“10 V ∼”, “50 V ∼”, “250 V ∼”,
“750 V ∼”, a seconda della portata
prescelta e applicando i puntali al circuito in esame. Quando il valore della
tensione non è conosciuto, conviene iniFigura 5: Misura di tensione in AC
ziare le misure selezionando la portata
massima e ridurre gradualmente la portata fino a raggiungere quella ottimale. La lettura della tensione viene effettuata sulla
scala AC rossa.
Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche di precisione delle misure realizzabili, in funzione della portata prescelta.
Portata
Risoluzione
Precisione
Risposta in
frequenza
10 V
0.2 V
fino a 1 MHz
±0.5dB
50 V
250 V
750 V
1V
5V
20 V
20Hz ÷ 1kHz : ±2% f.s.
fino a 30 kHz fino a 1.5 kHz fino a 1.5 kHz
±1dB
±1dB
±1dB
Nella tabella è riportata anche la risposta in frequenza del multimetro che differisce a seconda della portata selezionata. La risposta in frequenza indica l’ambito di frequenze nel
quale lo strumento può essere utilizzato in maniera affidabile e l’incertezza di fondo scala
nelle varie regioni di frequenza permesse. Se si è effettuata una misura con fondo scala 10
V, il valore misurato avrà una incertezza relativa di ± 2% se la frequenza del segnale è tra
20 Hz e 1 kHz, mentre sarà di ± 6% (pari a ± 0.5 dB) se la frequenza è tra 1 kHz e 1 MHz.
Il Voltmetro è inoltre caratterizzato da un valore di 4000 Ω/V , il che vuol dire che
per ottenere una deflessione fondo scala dell’indice è necessaria una corrente di 250 µA (1
volt diviso 4000 Ω dà 250 µA). Moltiplicando tale valore per la portata scelta si ottiene
la resistenza interna dello strumento nelle condizioni di utilizzo.
5
3.4
Misura del valore efficace di una corrente sinusoidale
Come mostrato schematicamente in
Fig.6, la misura si realizza introducendo
lo spinotto nero dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura rossa
“∼” e quello rosso in una delle boccole contrassegnate dalle diciture rosse
“250 µA ∼”, “2.5 mA ∼”, “25 mA ∼”,
“250 mA ∼” e “2.5 A ∼”, a seconda
della portata prescelta e applicando i
puntali al circuito in esame. Quando il
valore della tensione non è conosciuto,
conviene iniziare la misura nella portata
Figura 6: Misura di corrente in AC
massima e ridurre gradualmente la portata fino a raggiungere quella ottimale. La lettura
della tensione viene effettuata sulla scala AC rossa.
Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche di precisione delle misure realizzabili, in funzione della portata prescelta.
Portata
Risoluzione
c.d.t.
Precisione
Risposta in
frequenza
250 µA
5 µA
2V
fino a 5 kHz
±1dB
2.5 µA
0.05 mA
1.5 V
25 mA
250 mA
2.5 A
0.5 mA
5 mA
0.05 A
1.6 V
1.6 V
1.9 V
20Hz ÷ 1kHz : ±2% f.s.
fino a 20 kHz fino a 50 kHz fino a 5 kHz fino a 2 kHz
±1dB
±1dB
±1dB
±1dB
Nella tabella è anche riportata la caduta di tensione (c.d.t.) di fondo scala nelle varie
portate: da essa è immediatamente ricavabile il valore della resistenza interna dello strumento.
Anche in questo caso la tabella riporta la risposta in frequenza del multimetro, ovvero
l’ambito di frequenze in cui è possibile effettuare la misura e l’incertezza relativa sui valori
ottenuti.
3.5
Misura di una resistenza
Lo strumento permette di misurare resistenze nell’ambito di valori tra 0 e 10 MΩ; per
ottenere una maggiore precisione, ha due modalità diverse di misura a seconda del valore
della resistenza da misurare.
Misura di una resistenza superiore a 500 Ω
Come mostrato schematicamente in Fig.7, la misura si realizza introducendo uno spinotto
dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura “AUTO Ω ZERO” e l’altro in
6
una delle boccole contrassegnate dalle diciture nere “Ω x 1”, “Ω x 10”, “Ω x 100” e
“Ω x 1000” a seconda della portata prescelta e applicando i puntali agli estremi del resistore in esame. La lettura della resistenza viene effettuata sulla scala superiore
dello strumento relativa alle misure ohmetriche moltiplicandola per la portata
scelta.
Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche delle misure
realizzabili, in funzione della portata prescelta (con c.c.c.
viene
indicata la corrente di corto circuito).
Figura 7: Misura di resistenza
Portata
c.c.c.
Precisione
Scala
Ωx1
55 mA
Ω x 10
Ω x 100
5.5 mA
0.55 mA
± 2 % ampiezza angolare scala
iperbolica 50 Ω centro scala
Ω x 1000
55 µA
Misura di una resistenza inferiore a 500 Ω
Come mostrato schematicamente in
Fig.8, prima di eseguire la misura è necessario cortocircuitare con il ponticello
dato in dotazione le due boccole “ohm”
e “ohm x 1”; successivamente si devono
inserire gli spinotti dei puntali nelle boccolle contrassegnate “Low ohm”. La
lettura della resistenza viene effettuata
sulla scala nera (iperbolica, 50 Ω centro scala) indicata con “Low ohm”; per
effettuare una misura accurata bisogna
ricordarsi di sottrarre il valore resistivo
dei puntali, misurato mettendoli tra loro
in corto circuito.
Figura 8: Misura di resistenza
3.6
Misura di una capacità
Lo strumento permette di misurare capacità nell’ambito di valori tra 0 e 50 mF utilizzando il metodo balistico. Come mostrato schematicamente in Fig.9, la misura si realizza
introducendo uno spinotto dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura “AU7
TO Ω ZERO” e l’altro in una delle boccole contrassegnate dalle diciture nere “Ω x 1”,
“Ω x 10”, “Ω x 100” e “Ω x 1000”. Dopo aver verificato l’azzeramento dello strumento,
cortocircuitando i puntali, si effettua la
misura collegando i puntali al condensatore e invertendoli più volte fino a
quando l’indice non tende a posizionarsi
stabilmente sullo 0; a questo punto si inverte le polarità dei puntali e si effettua
la lettura.
La misura è comunque una indicazione
veloce, perché subito dopo l’indice ritorna ancora a 0. Nella Fig.10 è riportato
il pettine di raffronto tra la scala 0-50 e i
diversi valori di capacità a seconda delle
Figura 9: Misura di capacità
varie portate ohmetriche impiegate.
Figura 10: Scala per misure di capacità
8
4
L’oscilloscopio
L’oscilloscopio, di cui è mostrata una foto in Fig.11, è uno strumento di misura elettronico che consente di visualizzare, su un grafico bidimensionale, l’andamento temporale
di segnali elettrici. Sull’asse orizzontale del grafico solitamente viene riportato il tempo,
rendendo l’oscilloscopio adatto ad analizzare segnali variabili col tempo, dalle grandezze
Figura 11: Oscilloscopio analogico a due canali
periodiche agli eventi casuali e non ripetitivi. Sull’asse verticale è riportata la tensione
del segnale che si vuole visualizzare. La banda passante dello strumento (100MHz nel
mod. 2235) indica la frequenza massima dei segnali visualizzabili, cosı̀ come la risoluzione
temporale, ovvero la più rapida variazione rilevabile. Sul pannello frontale si trovano sia
lo schermo di visualizzazione dei segnali sia tutti i pannelli di comandi. Allo schermo è
sovrapposto un reticolo allo scopo di favorire la lettura dei dati. Ogni intervallo del reticolo è chiamato divisione, sull’asse orizzontale le divisioni sono solitamente 10, sull’asse
verticale 8. Ciascuna divisione è ulteriormente divisa in 5 intervalli. A destra dello schermo c’è il pannello della scala delle ampiezze, mostrato in Fig.12 che gestisce due canali
(CH1 e CH2). A fianco si trova il pannello base dei tempi che è comune a entrambi i
canali e a destra il pannello del trigger, di cui spiegheremo successivamente l’utilità.
Il segnale da misurare viene introdotto attraverso un apposito connettore (tipo coassiale
BNC). In modalità semplice, un punto luminoso percorre lo schermo da sinistra a destra a velocità costante, ridisegnando ripetutamente una linea orizzontale. La velocità
di scansione è selezionabile per mezzo di una manopola presente sul pannello, la quale
comanda il circuito base dei tempi. Questo circuito genera precisi intervalli di tempo,
che possono variare da pochi secondi a qualche nanosecondo; i valori, espressi in unità di
tempo per divisione, sono riportati sulla manopola e permettono di selezionare la portata
temporale dello strumento. In assenza di segnale, la traccia è solitamente al centro dello
schermo, e l’applicazione di un segnale all’ingresso, provoca la deflessione verso l’alto o
verso il basso, in funzione della polarità del segnale. La scala verticale è espressa in volt
per divisione, e può essere regolata da decine a millesimi di volt. L’altezza iniziale del
grafico (offset) può comunque essere decisa dall’utente, cosı̀ come è possibile escludere
9
la componente in corrente continua presente nel segnale in esame. In questo modo si
ottiene la visualizzazione di un grafico di tensione in funzione del tempo. Se il segnale è
periodico, è possibile ottenere una traccia stabile regolando la base dei tempi in
modo che la frequenza di scansione coincida con la frequenza del segnale o con
un suo sottomultiplo. L’oscillatore della
base dei tempi, non essendo sincronizzato con il segnale in analisi, impedisce
di avere una traccia stabile e ferma, questa fluttuerà lentamente da destra a sinistra o viceversa. Per ottenere una traccia stabile gli oscilloscopi dispongono di
una funzione chiamata trigger (innesco);
questo circuito fa partire la scansione solo in corrispondenza del verificarsi di un
evento sul segnale in ingresso, per esemFigura 12: Pannello con la scala verticale e
pio il superamento di una soglia di teni connettori di ingresso (CH1 e CH2) (blu);
sione positiva o negativa. Dopo avere
pannello con la base dei tempi (rosso) e
completato la scansione da sinistra a depannello del trigger (verde)
stra, l’oscilloscopio rimane in attesa di
un nuovo evento. In questo modo la visualizzazione rimane sincronizzata al segnale e
la traccia è perfettamente stabile. La soglia di sensibilità del trigger, cosı̀ come altri
parametri, è regolabile. Il circuito del trigger può essere configurato per mostrare una
sola scansione di un segnale non periodico, come un singolo impulso o sequenze di impulsi
non ripetitivi.
10
5
Misure di laboratorio in DC
Le misure in continua richieste in laboratorio possono essere schematizzate in tre passi
successivi: la misura delle resistenze fornite con un multimetro analogico, la misura della resistenza interna del multimetro analogico utilizzato come misuratore di corrente e
come misuratore di tensione e la misura precisa di una resistenza utilizzando un ponte di
Wheatstone. Descriveremo nel seguito ciascuno di questi passi.
5.1
Misure di resistenza con il multimetro analogico
Allo studente vengono fornite 4 scatoline a due terminali ai quali sono collegati 4 diversi
resistori. Lo studente dovrà misurare la resistenza di ciascuno di essi, selezionando la
scala del multimetro più opportuna e dando una stima dell’incertezza di misura. Ogni
misura dovrà essere ripetuta più volte in modo da valutarne la sua riproducibilità.
5.2
Misure della resistenza interna del multimetro utilizzato
come misuratore di corrente
La resistenza interna del multimetro dipende dalla portata di corrente selezionata nello
strumento. Il costruttore dichiara la d.d.p ai capi del multimetro quando questo viene
attraversato dalla corrente di fondo-scala. La misura dovrà quindi essere ripetuta per ogni
fondo-scala.
Il metodo più diretto per misurare la resistenza interna sarebbe quello di collegare il multimetro direttamente ad un generatore di tensione, misurando poi la corrente che scorre nel
circuito. Questo semplice schema di misura contrasta sia con le caratteristiche dell’alimentatore, che non può fornire tensioni inferiori ad 1 V , sia con la
precisione con la quale si riesce a misurare la tensione fornita dal
generatore.
Per ovviare a questi inconvenienti, si può misurare la resistenza
interna collegando il multimetro in serie ad una resistenza nota
e all’alimentatore di tensione (vedi fig.13). La tensione applicata dall’alimentatore (V0 ± ∆V0 ) dovrà essere impostata a circa
2.0 V e misurata con il multimetro stesso, valutandone anche
l’incertezza (lo studente, a conclusione dell’esperienza, dovrebbe
giustificare la scelta di questo valore). Si dovrà poi scegliere la
Figura 13: Circuito di resistenza R opportuna tra quelle disponibili da collegare in serie
misura
al multimetro. Esamineremo i singoli casi al fine di evidenziare i
criteri utilizzati per la scelta di R.
a) portata 50 µA
Il costruttore dichiara 100 mV di caduta per corrente a fondo scala; ciò corrisponde
ad una resistenza interna 100 mV /50 µA ≃ 2 ∗ 103 Ω. Per avere una corrente di
50 µA con una tensione applicata di 2 V è necessaria una resistenza R di circa 40 kΩ.
Si monta quindi l’alimentatore in serie con il multimetro (in portata 50 µA) e la
11
resistenza da 20 kΩ fornita, riducendo corrispondentemente la tensione applicata
dal generatore (V0′ ) in modo da ottenere una corrente misurabile con la massima
precisione. Noto il valore di R e misurati i valori della corrente i e della tensione V0′
con il multimetro, si può ottenere il valore di Ri dalla relazione
V0′
−R
Ri =
i
b) portata 500 µA
Il costruttore dichiara 294 mV di caduta per corrente a fondo scala; ciò corrisponde
a 294 mV /500 µA ≃ 588 Ω. Per avere una corrente di 500 µA con una tensione
applicata di 2 V è necessaria una resistenza di 4 kΩ. Si monta quindi l’alimentatore
in serie con il multimetro (in portata 500 µA) e la resistenza da 2 kΩ fornita,
riducendo corrispondentemente la tensione applicata dal generatore (V0′ ) in modo
da ottenere una corrente misurabile con la massima precisione. Dalla misura di R,
i e V0′ si ricava il valore di Ri .
c) portata 5 mA
Il costruttore dichiara 318 mV di caduta per corrente a fondo scala; ciò corrisponde
a 318 mV /5 mA ≃ 64 Ω. Per avere una corrente di 5 mA con una tensione applicata
di 2 V è necessaria una resistenza di 400 Ω. Si monta quindi l’alimentatore in serie
con il multimetro (in portata 5 mA) e la resistenza da 200 Ω fornita, riducendo
corrispondentemente la tensione applicata dal generatore (V0′ ) in modo da ottenere
una corrente misurabile con la massima precisione. Dalla misura di R, i e V0′ si
ricava il valore di Ri .
d) portata 50 mA
Il costruttore dichiara 320 mV di caduta per corrente a fondo scala; ciò corrisponde a
320 mV /50 mA ≃ 6 Ω. Per avere una corrente di 50 mA con una tensione applicata
di 2 V è necessaria una resistenza di 40 Ω. Si monta quindi l’alimentatore in serie
con il multimetro (in portata 50 mA) e la resistenza da 20 Ω fornita, riducendo
corrispondentemente la tensione applicata dal generatore (V0′ ) in modo da ottenere
una corrente misurabile con la massima precisione. Dalla misura di R, i e V0′ si
ricava il valore di Ri .
In ogni caso lo studente dovrà determinare, oltre alla miglior stima di Ri anche la
miglior stima dell’incertezza su Ri , propagando quelle ottenute sulle grandezze misurate
direttamente.
5.3
Misure della resistenza interna del multimetro utilizzato
come misuratore di tensione
Il misuratore di tensione ha 20000 Ω/V e quindi ci si aspetta che in portata 100 mV
presenti una resistenza da 2 kΩ, in portata 2 V una Rv da 40 kΩ, in portata 10 V una
12
Figura 14: Circuito
di misura
Rv da 200 kΩ e in portata 50 V una Rv da 1 MΩ. Il circuito
utilizzato per la misura di Rv è quello mostrato in Fig. 14. In
esso la tensione V0 fornita dall’alimentatore si ripartisce tra le
due resistenze R e Rv e quindi per ottenere una variazione significativa sulla tensione misurata dal multimetro, rispetto a quella
(V0 ) misurata connettendo il multimetro direttamente all’alimentatore, dovranno essere utilizzate resistenze R confrontabili con
Rv . Avendo a disposizione resistenze che arrivano al massimo a
valori di 20 kΩ sarà quindi possibile effettuare la misura solo in
portata 100 mV , 2 V e, con precisione minore, 10 V . In ciascuna
delle tre portate le operazioni da eseguire saranno le seguenti:
• misurare la tensione fornita dall’alimentatore V0 con il multimetro collegato direttamente all’alimentatore e regolarla in modo da ottenere un valore vicino a quello
del fondo scala prescelto;
• montare il multimetro in serie all’alimentatore e alla resistenza R, scelta in modo
da avere un valore confrontabile con quello di Rv dichiarato dal costruttore;
• registrare la tensione Vm misurata dal multimetro;
• determinare la resistenza interna del multimetro tramite la relazione
Rv = R ·
Vm
V0 − Vm
• determinare l’incertezza su Rv .
5.4
Misura di una resistenza con ponte di Wheatstone
La misura si basa sull’utilizzo del ponte di Wheatstone nella configurazione mostrata
in Fig.15, dove P è un generatore di tensione, R la sua resistenza interna, R1 , R2 e
R3 sono resistenze di valore noto, Rx la resistenza incognita. Con G viene indicato
il misuratore di corrente (nel nostro caso il multimetro) e con RG la sua resistenza interna.
Per poter misurare la resistenza Rx è necessario
trovare la condizione in cui il misuratore di corrente
dà una indicazione nulla. La condizione di corrente
misurata nulla corrisponde a quella per cui VAB = 0,
ovvero a quella per cui VAC = VBC . Si ricava quindi
VAC = V ·
R2
Rx
= VBC = V ·
R1 + R2
R3 + Rx
dalla quale, con semplici passaggi, si ottiene
Rx =
Figura 15: Ponte di Wheatstone
13
R2 R3
R1
(1)
Nella realizzazione pratica R1 e R2 sono due resistenze di valore circa uguale e noto (non
interessa che sia noto con molta precisione, come vedremo in seguito), mentre R3 è una
cassetta campione a più decadi. Prima di montare il ponte è necessario controllare la
massima potenza dissipabile sulle resistenze per evitare al momento dell’accensione dell’alimentatore esse vengano attraversate da una corrente troppo elevata e si danneggino.
Fatta questa verifica e controllato lo zero del multimetro in assenza di segnale di ingresso, si accende il generatore P e si procede all’azzeramento della corrente misurata dal
multimetro agendo sulla resistenza R3 e partendo inizialmente dalla portata massima del
multimetro, riducendola poi man mano che ci si avvicina alla condizione finale. La procedura si conclude quando il multimetro, messo nella minima portata, indica zero.
L’incertezza relativa sul valore di Rx ricavato dalla eq.(1) sarà data dalla somma delle
incertezze relative delle singole resistenze utilizzate; per quanto riguarda la resistenza R3
il costruttore fornisce l’incertezza relativa su ciascuna delle decadi utilizzate e quindi per
ottenere l’incertezza su R3 sarebbe necessario sommare i contributi dovuti a ogni decade,
ottenuti moltiplicando il valore di ogni decade per la corrispondente incertezza relativa.
Per semplicità nelle esperienze realizzate in laboratorio verrà utilizzata una incertezza
relativa di 10−3 .
La presenza nella eq.(1) del rapporto tra R1 e R2 suggerisce una procedura che rende ancora più preciso il metodo. Infatti, dopo aver realizzato la prima misura ed aver ottenuto
l’azzeramento con un certo valore di R3 , che indichiamo con R′ , potremo realizzarne una
seconda invertendo tra di loro R1 e R2 e azzerando il multimetro per un valore R′′ di R3 .
Rx può allora essere determinata dalla media geometrica delle due misurazioni
√
Rx = R′ R′′
e l’incertezza relativa su Rx è allora data da
∆Rx
1 ∆R′ 1 ∆R′′
=
+
Rx
2 R′
2 R′′
(2)
che non dipende più dall’incertezza sulle resistenze R1 e R2 .
E’ chiaro che questa procedura è applicabile solo se R1 ≃ R2 ; in caso contrario infatti
si dovrebbe avere a disposizione una cassetta di resistenza R3 con un numero elevato di
decadi e le due condizioni di azzeramento corrisponderebbero a correnti nei rami del circuito molto diverse tra loro, evidenziando possibili effetti spuri.
La eq.(2) permette di determinare l’incertezza su Rx una volta che siano note le incertezze
relative su R′ e R′′ . Queste ultime possono essere determinate tenendo conto di due contributi: il primo è quello dovuto all’incertezza sulla cassetta campione (10−3 ), mentre il
secondo è quello legato alla sensibilità della misura. Per dare una stima del questo contributo all’incertezza, lo studente, una volta raggiunta la condizione di minimo, determini
sperimentalmente quali sono le variazioni, in eccesso e in difetto, di R3 che producono
una variazione sensibile nell’indicazione del misuratore di corrente.
14
6
Misure in AC sul circuito CR
Il circuito utilizzato in laboratorio è mostrato in Fig.16, dove con V si è indicato il generatore sinusoidale di tensione, con C il condensatore e con R il resistore disponibili.
Si richiede di montare il circuito nella configurazione passa alto e di misurare con l’oscilloscopio l’andamento in funzione della frequenza sia del rapporto tra il segnale ai
capi della resistenza R e quello di ingresso fornito dal
generatore che dello sfasamento temporale tra di essi.
Il rapporto tra il segnale di uscita e quello di ingresso
(che indicheremo con A) è infatti un numero complesso
il cui modulo è dato da
1
|A| = r
2
1 + ffl
Figura 16: Circuito CR
dove fl = 1/(2πRC) e l’argomento θ è
fl
θ = arctan
f
!
Se si esprime |A| in decibel si ha

fl
|A|db = 20 ∗ log|A| = −10 ∗ log 1 +
f
!2 

√
che per f = fl dà |A|db = −3 db, corrispondente ad una riduzione di un fattore 2 (pari
al 70.8%) del segnale di uscita rispetto a quello in ingresso.
La misura dovrà essere effettuata variando la frequenza del segnale di ingresso in un ambito che va a 0.01 a 100 volte fl . Riportando in carta semilogaritmica |A|db in funzione
di f e determinando le rette che meglio si adattano ai dati nella regione di basse e di alte
frequenze, sarà possibile determinare graficamente la loro intersezione che rappresenta la
miglior stima di fl .
Una ulteriore misura di fl sarà possibile ottenerla riportando in grafico (sempre in carta
semilogaritmica) θ in funzione di f e andando a determinare il valore di fl corrispondente
a quello di f per cui θ = π/4.
Dalle misure di fl cosı̀ ottenute sarà poi possibile dedurre, noto il valore di R (misurato
con un multimetro), il valore della capacità C.
Un’ulteriore misura di C può essere ottenuta utilizzando la forma d’onda quadra selezionabile sul generatore. Il passaggio della forma d’onda attraverso il circuito provoca
una differenziazione dell’onda quadra in ingresso, producendo un segnale impulsivo ai capi
della resistenza R con fronte di discesa del segnale, con una costante di tempo pari a RC.
Se quindi RC è circa 0.2 ms, sarà sufficiente selezionare un’onda quadra di periodo 2-5
ms (o frequenza tra 200 e 500 Hz) per osservare bene l’effetto della differenziazione.
Impostando l’oscilloscopio in modo da mettere bene in evidenza il fronte di discesa del
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segnale di uscita, si dovrà misurare la distanza in tempo (∆t) tra l’istante in cui il segnale
assume un valore pari al 90% del valore iniziale e quello in cui assume un valore pari
al 10% del valore iniziale. Dividendo ∆t per 2.2 si otterrà cosı̀ una nuova stima della
costante di tempo RC e, conseguentemente, di C.
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Misure in AC sul circuito LR
Il circuito utilizzato in laboratorio è mostrato in Fig.17, dove con V si è indicato il generatore sinusoidale di tensione, con L l’induttore e con R il resistore disponibili.
Si richiede di montare il circuito nella configurazione passa basso e di misurare con
l’oscilloscopio l’andamento in funzione della frequenza sia del rapporto tra il segnale ai
capi della resistenza R e quello di ingresso fornito dal
generatore che dello sfasamento temporale tra di essi.
Il rapporto tra il segnale di uscita e quello di ingresso
(che indicheremo con A) è infatti un numero complesso
il cui modulo è dato da
Figura 17: Circuito LR
1
|A| = r
2
1 + ffh
dove fh = R/(2πL)e l’argomento θ è
f
θ = − arctan
fh
!
Se si esprime |A| in decibel si ha

f
|A|db = 20 ∗ log|A| = −10 ∗ log 1 +
fh
!2 

√
che per f = fh dà |A|db = −3 db, corrispondente ad una riduzione di un fattore 2 (pari
al 70.8%) del segnale di uscita rispetto a quello in ingresso.
La misura dovrà essere effettuata variando la frequenza del segnale di ingresso in un ambito che va a 0.01 a 100 volte fh . Riportando in carta semilogaritmica |A|db in funzione
di f e determinando le rette che meglio si adattano ai dati nella regione di basse e di alte
frequenze, sarà possibile determinare graficamente la loro intersezione che rappresenta la
miglior stima di fh .
Una ulteriore misura di fh sarà possibile ottenerla riportando in grafico (sempre in carta
semilogaritmica) θ in funzione di f e andando a determinare il valore di fh corrispondente
a quello di f per cui θ = −π/4.
Dalle misure di fh cosı̀ ottenute sarà poi possibile dedurre, noto il valore di R (misurato
con un multimetro), il valore della induttanza L.
Un’ulteriore misura di L può essere ottenuta utilizzando la forma d’onda quadra selezionabile sul generatore. Il passaggio della forma d’onda attraverso il circuito provoca
un arrotondamento dell’onda quadra in ingresso, producendo un segnale ai capi della resistenza R con fronti di discesa e di salita caratterizzati da una costante di tempo pari a
L/R. Se quindi L/R è circa 0.2 ms, sarà sufficiente selezionare un’onda quadra di periodo
2-5 ms (o frequenza tra 200 e 500 Hz) per osservare bene l’effetto dell’arrotondamento.
Impostando l’oscilloscopio in modo da mettere bene in evidenza il fronte di salita del
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segnale di uscita, si dovrà misurare la distanza in tempo (∆t) tra l’istante in cui il segnale
assume un valore pari al 10% del valore finale e quello in cui assume un valore pari al 90%
del valore finale. Dividendo ∆t per 2.2 si otterrà cosı̀ una nuova stima della costante di
tempo L/R e, conseguentemente, di L.
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