DIARIO delle LEZIONI - Dipartimento di Matematica

DIARIO DELLE LEZIONI DI MATEMATICA PER FARMACIA (P-Z)
a.a. 2016/2017
3 ottobre.(3 ore) Alcune considerazioni sul perchè studiare matematica.
Unità di misura: errori nell’uso delle unità di misura possono risultare pericolosi, se pensiamo al dosaggio errato di un farmaco, o costosi (vedi la motivazione
del fallimento di una missione spaziale su Marte nel 1998:
https://it.wikipedia.org/wiki/Mars Climate Orbiter
).
Notazione scientifica, notazioni che si usano per i multipli e sottomultipli di
una unità di misura (dal pico-metro al Tera-metro, dal pico-grammo al Teragrammo . . . . . .).
Per avere un’idea della scala delle grandezze, vedere:
https://www.youtube.com/watch?v=uaGEjrADGPA
(in basso a destra c’è l’ordine di grandezza in metri, cliccare sul video per fermarlo, cliccare nuovamente per farlo ripartire: va dal metro ai suoi sottomultipli
e poi risale fino ai multipli di varii ordini . . . . . .)
Numeri approssimati: sia a ∈ (a, a) cioé immaginiamo di conoscere un valore minimo (a) e un valore massimo (a) tra i quali il numero puó cadere.
Viene allora considerato come valore approssimato ã = a+a
2 , quindi il punto
medio dell’intervallo e come errore la metà della lunghezza dell’intervallo, quindi ∆a = a−a
2 . Valori approssimati ed errori nel caso di somma e differenza
di quantità approssimate. Errore assoluto (∆a) e errore relativo ( ∆a
a ). Valori
approssimati ed errori di prodotti e quozienti di quantità approssimate.
É stato distribuito un Questionario (vedi ”ESERCIZI” in basso in questa
pagina), in cui sono trattati argomenti che gli studenti devono rivedere sui libri
di liceo, qualora non li considerassero noti. In base alle risposte date dagli
studenti, alcuni di questi argomenti saranno ripresi brevemente (si invitano gli
studenti a segnalare eventuali problemi piú rilevanti su alcuni argomenti).
5 ottobre.(2 ore) Richiami sui numeri naturali, interi, razionali (in√rappresentazione decimale sono tutti periodici, eventualmente di periodo 0). 2 non è un
numero razionale: come tutti gli irrazionali ha una rappresentazione decimale
non periodica (illimitata). I numeri reali sono l’unione dell’insieme dei numeri
razionali e di quello degli irrazionali (i numeri reali permettono di rappresentare
tutti i punti di una retta).
Richiamo di alcune proprietà dei numeri reali (∀a, b, c ∈ R):
• sommando a entrambi i membri di una diseguaglianza uno stesso numero,
la diseguaglianza si conserva: a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c;
• moltiplicando entrambi i membri di una diseguaglianza con uno stesso
numero positivo, la diseguaglianza si conserva
a ≤ b, c > 0 ⇒ a · c ≤ b · c
(se invece c fosse negativo la diseguaglianza si invertirebbe)
Attenzione: non si puó dividere per x = 0 (dividere per un numero significa
moltiplicare per il suo reciproco x1 = x−1 e si ha x1 x = x−1 x = 1, ma solo
se x 6= 0. Infatti non è possibile che sia 10 0 = 1 perché qualunque numero
moltiplicato per 0 deve dare 0 e quindi non puó dare 1.
Intervalli della retta reale (anche chiamata asse reale).
Percentuali. Applicazione alle soluzioni: soluto disciolto in solvente (ad
esempio sale disciolto in acqua) è una soluzione. Si parla di una soluzione al
p
p % = 100
se, indicata con Su la quantità di soluto e con Sv la quantità di
p
u
= 100
. Si osservi che se cambiamo unità di misura la
solvente, risulta SvS+S
u
percentuale non cambia: si tratta di un numero adimensionale, indica la frazione
del tutto costituita dal soluto (svolgere l’esercizio 14 del Questionario).
Misura degli angoli in gradi e radianti. Funzioni sin x e cos x a partire dal
loro significato geometrico. Grafico della funzione cos x.
7 ottobre.(3 ore) [cap. 6 del testo di Villani-Gentili] Funzioni (f : D →
C, ∀x ∈ D, f (x) = . . .): dominio (o insieme di definizione o campo di esistenza,
in questo caso D), codominio (in questo caso C), insieme immagine (f (D) =
{f (x), ∀x ∈ D}, sottinsieme del codominio, eventualmente coincidente con esso,
quindi f (D) ⊆ C).
Funzioni iniettive (ad esempio la funzione che ad ogni studente associa il
numero di matricola è iniettiva, quella che gli associa l’anno di nascita non lo
è).
Grafico della funzione sin x. Le funzioni cos x e sin x hanno periodo 2π. Grafico della funzione tan x dopo averne determinato l’insieme di definizione (anche
chiamato dominio). La funzione tan x ha periodo π. Funzioni ottenute considerando ciascuna delle seguenti funzioni cos(x + 2), 2 + cos x, cos x − 1, 2 cos x.
Se si considera cos(2x) si ottiene una funzione che oscilla piú velocemente: ha
periodo π (il grafico è come quello di cos x ma schiacciato su un intervallo dimezzato), invece cos(x/2) oscilla piú lentamente: ha periodo 4π (il grafico è come
quello di cos x ma dilatato su un intervallo doppio).
Funzioni elementari e loro grafici (x, 2x − 3, x2 , x3 , x4 , x5 , x1 ). Si è discussa
l’iniettività di ciascuna funzione e si sono confrontati tra loro i grafici delle potenz. Definizione di funzione pari (e osservazione che ha grafico simmetrico
rispetto all’asse delle y) e di funzione dispari (e osservazione che ha grafico
simmetrico rispetto all’origine).
Foglio di Esercizi 1: in aula, con la discussione di qualche esercizio.
10 ottobre(2 ore + 1 ora esecizi), 12 ottobre(2 ore), 14 ottobre.(2 ore)
Si è calcolata la funzione inversa della funzione f (x) = 2x − 3 e se n’è
disegnato il grafico.
Per una funzione iniettiva f : D → f (D) ⊆ C è definita la funzione inversa
f −1 : f (D) → D che, per ogni y ∈ f (D) associa f −1 (y) = x ∈ D tale che
f (x) = y. Quindi f −1 è la legge inversa di f (attenzione non ha nessuna
1
!!). Si ottiene:
relazione con la funzione ottenuta passando al reciproco f (x)
−1
per ogni x ∈ D si ha f (f (x)) = x e per ogni y ∈ f (D) si ha f (f −1 (y)) = y.
Osservazione che scriviamo f : D ↔ f (D) (con la freccia nei due versi) per
indicare che f è iniettiva e quindi c’è la legge inversa che va da f (D) → D. In
questo caso diciamo che c’è una corrispondenza biunivoca tra d e f (D). Quando
contiamo un numero finito, n ∈ N, di elementi di un insieme, li mettiamo in
2
corrispondenza biunivoca con {1, 2, . . . , n}. Se l’insieme è infinito, esso puó
essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottinsieme. Ad esempio,
se P è l’insieme dei numeri naturali pari, la funzione b : N → P, definita da
b(n) = 2n, è biettiva.
Data una funzione f iniettiva, indicando con x (invece di y) gli elementi a
cui applichiamo la funzione f −1 , in modo da rappresentare sull’asse delle x la
variabile indipendente, e disegnando il grafico della funzione inversa, si ottiene
che ha grafico simmetrico di quello di f , rispetto alla retta y = x (l’abbiamo
potuto anche vedere per la funzione f prima considerata (polinomio di I grado)).
Osservazione che restringendo il grafico di x2 all’intervallo [0, +∞), si ottiene
una funzione iniettiva
ĥ : [0, +∞) → ĥ([0, +∞)) = [0, +∞)
√
che è quindi invertibile ed ha come inversa la funzione y : [0, +∞) →
[0, +∞).
√
Ne segue √
(vedere es.4 ii) del Questionario)√che x2 = x solo se x ≥ 0. Se
x < 0, allora √x2 = −x. Quindi ∀x ∈ R si ha x2 = |x|.
Funzione 3 x, inversa di x3 , e inverse delle altre potenze o delle loro restrizioni.
A partire dalla funzione x2 si sono costruite le funzioni (x − 2)2 , x2 − 1,
x + 1, −x2 , . . . . . .. Parabole con concavità verso l’alto o verso il basso, asse
di simmetria, vertice e loro determinazione. Parabole che si annullano i due
punti, o in un solo punto o di segno costante. Calcolo delle radici dell’equazione
ax2 + bx + c = 0, quando esistono.
Funzione |x| che rappresenta la distanza di un punto dell’asse orientato x
dall’origine. Funzioni |x| + 1, |x| − 1, |x − 2|, . . ..
|x − x0 | rappresenta la distanza di x da x0 .
Funzioni 2x , 3x , 10x , (1/2)x = 2−x e loro grafici (disegnandoli in uno stesso
piano cartesiano li abbiamo confrontati tra loro). Le abbiamo calcolate prima sui numeri naturali, interi, razionali e su tutti i reali (successivamente, per
confronto con 2x e 3x abbiamo accennato il grafico di ex , dove e ' 2, 718 è il
numero di Eulero) . Piú in generale abbiamo considerato ax per a > 0. Stretta
crescenza e iniettività di tale funzione se a > 1. Tale funzione ha come insieme
immagine (0, +∞). Quindi possiamo definire la funzione inversa che indichiamo
con loga x : 80, +∞) → R. Stretta crescenza e altre proprietà della funzione logaritmo che discendono dalla sua definizione di funzione inversa e dalle proprietà
della funzione esponenziale.
Stretta decrescenza della funzione esponenziale ax nel caso 0 < a < 1, e quindi
della sua inversa loga x (se 0 < a < 1). Nel caso a = 1 si ottiene una funzione
costante, quindi non invertibile. Per a < 0 la funzione sarebbe ben definita
solo per alcuni valori di x, quindi non ha interesse considerarla e quindi si puó
considerare la funzione loga x solo se a > 0 e a 6= 1. Funzioni logaritmiche
piú utilizzate e presenti sulle calcolatrici: Logx = log x = log10 x e ln x =
loge x, detto anche logaritmo naturale. Possibilità di riportare qualsiai funzione
logaritmica al logaritmo in altra base (a, b > 0, a, b 6= 1):
2
loga x =
logb x
log10 x
ln x
=
=
.
logb a
log10 a
ln a
Determinazione
del dominio
e accenno del grafico delle p
seguenti funzioni:
√
√
2x − 5, |2x − 5|, x2 − 1, log(x2 − 1), |x2 − 1|, log(x − 1) + 3.
3
Esercizio. Per risparmiare, un’azienda programma interventi successivi, che
riducano il consumo di energia, ogni anno, del 14 % rispetto a quello dell’anno
precedente.
[4 punti] Dopo quanti anni circa si scende al 40 % del consumo iniziale? . . . . . .
infatti . . . . . .
[4 punti] Se si vuole raggiungere lo stesso risultato in soli 3 anni, riducendo
ogni anno il consumo della stessa percentuale rispetto al consumo dell’anno
precedente, quale deve essere approssimativamente la percentuale di risparmio
annua? . . . . . .
infatti . . . . . .
17 ottobre.(3 ore) (vedere Bibliografia: ”Vettori e Sistemi”) Sistemi lineari
di due equazioni in due incognite e loro interpretazione geometrica: ciascuna
equazione rappresenta una retta del piano cartesiano. Quindi ho una sola soluzione se le due equazioni rappresentano due rette secanti, nessuna soluzione se
si tratta di due rette parallele, infinite soluzioni se si tratta della stessa retta,
ma l’equazione non sembra la stessa se ad esempio è stata moltiplicata per una
costante.
Un sistema puó essere individuato attraverso la sua matrice dei coefficienti e la colonna dei termini noti. Si è visto che un sistema di due equazioni
in due incognite ha una soluzione che è unica se è diverso da zero il ”determinante” della ”matrice” dei coefficienti. Metodo (di Cramer) per scrivere le soluzioni
quando il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero.
Significato di un’equazione ax + by + cz = h nelle variabili x, y, z, con
a, b, c, h costanti reali: i punti dello spazio (x, y, z) che verificano questa equazione appartengono tutti ad un piano. Sistemi di tre equazioni in tre incognite
e loro significato geometrico. Casi possibili: esiste una sola soluzione (i piani
sono tutti sghembi tra loro), non esiste nessuna soluzione (due dei piani sono
paralleli o i piani si intersecano a due a due su rette che risultano tra loro parallele), esistono infinite soluzioni ( ad esempio i piani passano tutti per una stessa
retta, una delle variabili puó essere scelta arbitrariamente, le altre sono funzioni
di quella).
Calcolo del determinante di una matrice A, 3×3 (avente 3 righe e 3 colonne)
con la regola di Laplace. Se detA 6= 0 il sistema avente A come matrice dei
coefficienti ha una sola soluzione che posso calcolare con la regola di Cramer
o per sostituzione. Se detA = 0 o non esiste nessuna soluzione o ne esistono
infinite e posso stabilirlo per sostituzione (ricavando una delle variabili in una
equazione, sostituendo nelle altre , ecc.).
Foglio di Esercizi 2: esercitazione in aula.
19 ottobre.(2 ore) (vedere Bibliografia: ”Vettori e Sistemi”) Enunciato del
Teorema di Cramer già visto nella lezione precedente e trattazione generale del
caso di ugual numero di equazioni e di incognite.
Discussione delle diverse situazioni che si possono presentare (infinite soluzioni o nessuna soluzione) se il determinante della matrice (quadrata) dei
coefficienti è nullo.
Calcolo delle infinite soluzioni di un sistema di tre equazioni in tre incognite
che ha soluzioni dipendenti dalla scelta arbitraria di una delle variabili. Si
dice in questo caso che si hanno ∞1 soluzioni, in quanto si tratta di una retta
di soluzioni. Nel caso in cui le soluzioni dipendano da due variabili scelte
4
arbitrariamente, avremo un piano di soluzioni (le tre equazioni rappresentano
allora lo stesso piano) e diremo che abbiamo ∞2 .
Vettori nel piano, loro significato di ”spostamento” e quindi equivalenza
di vettori applicati in punti diversi. Modulo di un vettore. Somma di vettori,
vettore opposto, differenza di vettori e loro rappresentazione nel piano. Prodotto
di un vettore per uno scalare.
21 ottobre.(2 ore) (vedere Bibliografia: ”Vettori e Sistemi”) Discussione di
esercizi già assegnati. Sistemi di un diverso numero di equazioni e incognite (esitenza o meno di soluzioni loro unicità o infinità di soluzioni e significato
geometrico del risultato):

 4x − y = 2
5x − 2y + 2z − 3 = 0
3y − 12x = −6 ,
.
x − y + 3z = 0

5x − 2y = 1
Abbiamo ripetuto lo studio del primo sistema nel caso in cui la seconda equazione è sostituita da 3y − 12x = 1. Esercizio C6.1 e 2 del Gentili Villani pag. 75
(vedi Allegato Lezione 21/10/2016, si è introdotto l’esercizio, non si sono visti
tutti i casi).
24 ottobre. (2 ore + 1 esercizi in aula) Versori, cioé vettori di modulo 1. Prodotto tra un vettore e un numero reale (anche detto ”scalare” per distinguerlo
dal vettore), ”prodotto scalare” tra vettori (il risultato è uno scalare, quindi un
numero reale, non un vettore). Vettori perpendicolari e prodotto scalare nullo.
Prodotto righe per colonne di una matrice A (di due righe e due colonne, detta
brevemente matrice 2 × 2) per un vettore. Visualizzazione in un piano cartesiano di alcuni vettori ~v e, in un altro piano cartesiano, dei vettori che ne sono
l’immagine tramite la funzione F (~v ) = A~v : R2 → R2 .
I vettori immagine dei due versori degli assi sono le colonne della matrice. Se
il determinante è nullo i due versori degli assi hanno come immagine vettori
paralleli. Quindi le colonne della matrice sono in proporzione quando la matrice
ha determinante nullo. Quindi la verifica del parallelismo tra vettori puó essere
effettuata sia calcolando il coefficiente angolare della retta da essi individuata (o
riconoscendo che si tratta di vettori entrambi paralleli all’asse y), sia verificando
che sia nullo il determinante della matrice formata dai due vettori.
Significato geometrico del determinante di una matrice: per una matrice due
per due
a b
A=
a0 b0
se il determinante è positivo coincide con l’area del parallelogrammo che ha
come lati i vettori
a
b
A~e1 =
=
~
a
,
A~
e
=
= ~b
2
a0
b0
che ne costituiscono le colonne (qui ~e1 = (1, 0)T , ~e2 = (0, 1)T sono, come d’abitudine, i versori degli assi). Se il determinante è negativo la stessa area è data
dal modulo del determinante, |detA|. Infatti il determinante coincide con
a b
c
det
= |a| |b| sin(~a ~b).
a0 b0
5
e si vede facilmente che si tratta dell’area del parallelogrammo o del suo opposto, a seconda se il seno dell’angolo che i vettori formano sia positivo o negativo
(l’angolo va considerato positivo se si ruota in senso antiorario, negativo se si
ruota in senso orario). Quando il determinante è nullo, significa che il parallelogrammo si ”schiaccia” su un segmento, cioé che i due vettori che ne costituiscono
gli spigoli sono allineati.
Analogamente nello spazio, per matrici 3 × 3, il modulo del determinante
rappresenta il volume del parallelepipedo i cui spigoli sono i vettori delle tre colonne della matrice e quindi esso si annulla quando i vettori che ne costituiscono
gli spigoli si ”schiacciano” su un piano.
Foglio di Esercizi 3.
26 ottobre. (2 ore) Si è vista l’efficacia della rappresentazione di dati con l’uso di istogrammi, grafici e areogrammi. A ciascuno studente è richiesto
di approfondire le varie modalità con cui si possono rappresentare
graficamente raccolte di dati [cap. 2 del testo di Villani-Gentili]. La
capacità di utilizzare fogli elettronici e produrre istogrammi, areogrammi, diagrammi a barre, ideogrammi, è fortemente consigliata
(esistono softwares gratuiti per questo, ad esempio Open-Office). Tale capacità sarà particolarmente utile nello studio della Statistica. La
capacità di utilizzare fogli elettronici per rappresentare dati e fare calcoli statistici sarà valutata in sede di esame orale (solo positivamente,
non è obbligatoria ai fini del superamento dell’esame stesso).
Rappresentazione trigonometrica dei vettori. Come risalire da un vettore ~v =
(v1 , v2 ) all’angolo che esso forma con il semiasse positivo delle x. Per risolvere
questo problema: restrizione della funzione tangente all’intervallo (−π/2, π/2),
sua invertibilità e quindi sua funzione inversa, detta ”arctan x” e sue proprietà .
Osservazione che se l’angolo α formato dal vettore con il semiasse positivo delle
x appartiene all’intervallo (−π/2, π/2), cioè il vettore sta nel primo o quarto
quadrante, risulta α = arctan( vv21 ), altrimenti α = arctan vv12 ) ± π. Se v2 = 0
avremo allora α =?
Come rappresentare i punti di una circonferenza, come capire se un’equazione
rappresenta una circonferenza trovandone anche il centro e il raggio. Come
rappresentare i punti di un cerchio e quelli esterni a un cerchio. Ellisse come
insieme di punti la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi
è costante, uguale a 2a (a > 0). Caso in cui i fuochi F± sono sull’asse delle
x, quindi F± = (±c, 0) (c < a): si potrebbe dimostrare che allora l’equazione
√
2
2
dell’ellisse ha la forma xa2 + yb2 = 1, dove si è posto b = a2 − c2 . Analogamente,
se invece i fuochi F± sono sull’asse delle y, detta 2b (b > 0) la somma delle
distanze dai fuochi, si ha F± = (0, ±c) (c < b): si potrebbe dimostrare che allora
√
2
2
l’equazione dell’ellisse ha la forma xa2 + yb2 = 1, dove si è posto a = b2 − c2 .
Successione, come funzione definita sui numeri naturali. Esempio di successione geometrica.
28 ottobre. (2 ore) Esempi di successioni che vorrebbero modellizzare lo sviluppo di un’epidemia: primo caso, una progressione geometrica che risulta un
modello adeguato solo inizialmente, poi una successione costruita ricorsivamente
(Fn = Fn−1 + Fn−1 (1 − Fn−1 )). Confronto tra le due successioni (vedere anche
la Tabella 3.1 ”Diffusione di un’epidemia” su Villani-Gentili).
6
Successione an = (1 + n1 )n e possibile motivazione. Si potrebbe dimostrare
che si tratta di una successione crescente e che risulta limitata superiormente da
4. Inoltre la successione bn = (1+ n1 )n+1 è decrescente (si potrebbe dimostrarlo)
e quindi si ha
a1 = 2 ≤ an = (1 +
1 n
1
) ≤ bn = (1 + )n+1 ≤ b1 = 4 .
n
n
an e bn sono l’approssimazione per difetto e quella per eccesso, rispettivamente,
di un ben determinato numero irrazionale, detto numero di Eulero o di Nepero
e indicato con e. Allora
a1 = 2 ≤ an = (1 +
1
1 n
) ≤ e ≤ bn = (1 + )n+1 ≤ b1 = 4 .
n
n
Calcolo l’errore dell’n-esima approssimazione:
dn =
i
(bn − an )
1
1 h
4
2
= (1 + )n (1 + ) − 1 /2 ≤
= , (∀n ≥ 1) .
2
n
n
2n
n
La differenza tra l’approssimazione per eccesso bn e quella per difetto an , quindi,
puó essere resa piccola quanto si vuole, calcolando e con la precisione che si
vuole [vedere Tabella su Numero di Eulero dove sono riportati i valori di queste
quantità per alcuni valori di n che aumentiamo di multipli di 10]. Diremo in
questo caso che limn→∞ (1 + n1 )n = e, dove e = 2, 7182 . . . è detto numero di
Nepero.
02 novembre. (2 ore) La funzione f (x) = 1/x, le sue proprietà e i suoi limiti
per x → +∞, per x → −∞ e poi per x → 0+ e x → 0− . Funzione ”parte intera
di x”= [x] = n per x ∈ [n, n + 1), ∀n ∈ Z, suo grafico e limiti per x → 0+ e
x → 0− , x → 2+ e x → 2− . Significato di limite al finito e all’infinito. Definizione di funzione continua come funzione il cui limite in un punto dell’insieme
di definizione coincide con il valore della funzione in quel punto. I polinomi, le
funzioni sin x, cos x, 10x , ax , loga (x)(a > 0, a 6= 1) sono continue in R, le funzioni razionali (cioé quelle che sono rapporto di due polinomi), sono contiunue
dove sono definite. Sono continue anche somme, prodotti, rapporti, composte
di funzioni continue, nel loro dominio. Le funzioni continue in un intervallo,
hanno un grafico che si puó ”disegnare senza sollevare mai a matita dal foglio”,
non fanno salti.
Limiti delle funzioni già studiate agli estremi del loro insieme di definizione (giustifichiamo tali limiti riconoscendoli graficamente, senza dimostrazioni
rigorose che lasciamo ai matematici).
Esempi di limiti.
04 novembre. (2 ore) Forme indeterminate. Limiti del rapporto di due polinomi a +∞ e a −∞. Funzioni composte di funzioni note: insieme di definizione,
crescenza e decrescenza, limiti.
07 novembre. (3 ore) Una parte della lezione è stata dedicata alla PRIMA
VERIFICA IN ITINERE.
Studio di altre forme indeterminate (anche del tipo 0/0). Decomposizione di
un polinomio di secondo grado che permette di eliminare, semplificandola, una
forma indeterminata. Discussione della forma indetrminata sinx x per x → 0.
7
09 novembre. (2 ore) Funzioni definite per intervalli. Intervalli di crescenza
e decrescenza di una funzione, massimi e minimi assoluti e relativi e punti di
massimo e minimo.
Se un corpo si muove con velocità costante v, la distanza raggiunta dopo
un tempo x è espressa dalla funzione f (x) = q + v x dove q è la posizione al
tempo x = 0. Calcolare la velocità media di un corpo in moto a partire dalla
sua posizione f (x0 ) e f (x) agli istanti x0 e x, equivale a trovare il coefficiente
angolare della retta che passa per i due punti assegnati (x0 , f (x0 )) e (x, f (x)).
La velocità media su intervalli sempre piú brevi si avvicina a quella istantanea.
Definizione di rapporto incrementale: esso risulta il coefficiente angolare della
retta secante il grafico ed è la velocità media di variazione della funzione. Definizione di derivata in un punto del dominio di una funzione come limite del
rapporto incrementale, quando tale limite esiste finito (quindi la derivata in un
punto indica la velocità istantanea di variazione della funzione in quel punto).
Significato geometrico di derivata come coefficiente angolare della retta tangente
(limite delle rette secanti).
Calcolo di alcune derivate. La derivata del prodotto di una costante per una
funzione è il prodotto della costante per la derivata della funzione. La derivata di
una somma di funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione. Stretta
crescenza [decrescenza] di una funzione in un intervallo in cui la derivata sia
strettamente positiva [negativa].
11 novembre. (2 ore) Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto in cui sia derivabile. Derivata del prodotto di funzioni e della
funzione composta. Derivata della funzione esponenziale, della funzione logaritmo, delle funzioni sin x e cos x, delle potenze intere (positive e negative) e delle
potenze reali.
Studio completo di funzioni utilizzando limiti e derivate e determinazione di
eventuali massimi e minimi relativi e/o assoluti.
14 novembre. (2 ore +1 esercizi in aula) Esempi di funzioni che non hanno
limite.
Osservazione: se α > 0 la funzione f (x) = xα , è definita per ogni x ≥ 0. La
sua derivata f 0 (x) = Dxα = αxα−1 non è definita in x = 0 se α < 1. Infatti,
se α < 1 il limite del rapporto incrementale in x = 0 tende a +∞ per x → 0+ ,
in quanto in quel punto il grafico ha una tangente verticale. Quindi la derivata
non esiste per x = 0 (ricordiamo che si dice che una funzione è derivabile in un
punto se esiste finito il limite del rapporto incrementale).
Regola di derivazione del rapporto di due funzioni derivabili.
Asintoti orizzontali e verticali.
Studi di funzione utilizzando lo studio del segno della derivata per stabilire gli
intervalli di crescenza e decrescenza e, come conseguenza, determinazione di
eventuali massimi e minimi relativi / assoluti.
16 novembre. (2 ore) Calcolo di aree con contorni curvilinei. Area della regione detta ”sottografico” di una funzione in un intervallo, ottenuta come limite
delle somme delle aree di rettangoli contenuti nella regione (approssimazione
per difetto) e somme delle aree di rettangoli contenenti la regione (approssimazione per eccesso). Calcolo esplicito di tale area in casi semplici: funzione
costante, f (x) = x, f (x) = x2 . Legame tra l’area ottenuta e la funzione di cui
8
si calcola il sottografico. Osservazione geometrica che la velocità di variazione
dell’area del sottografico, al variare dell’estremo destro dell’intervallo, coincide
con la funzione di cui si sta calcolando l’area del sottografico. Definizione di
integrale definito di funzioni continue (nonnegative) su un intervallo limitato,
come area del sottografico, ottenuto come limite delle somme approssimanti per
eccesso e per difetto.
Studi di alcune funzioni e uso della derivata per determinare la crescenza di una
funzione, ma anche i suoi massimi e minimi relativi o assoluti. Se a sinistra di
un punto la funzione cresce e a destra decresce, il punto sarà di massimo relativo, mentre se a sinistra la funzione decresce e a destra cresce, il punto sarà di
minimo relativo. Osservazione che una funzione, pur essendo solo crescente o
solo decrescente nel dominio, puó avere massimo e/o minimo su un estremo del
dominio (se tale estremo appartiene al dominio).
18 novembre. (2 ore) Osservazione che l’integrale definito risulta l’area del sottografico della funzione solo se la funzione assume valori positivi o nulli. Significato geometrico dell’integrale definito se la funzione cambia segno o è negativa.
Osservazione che, data una funzione continua, la velocità di variazione del suo
integrale su un intervallo [a, x], al variare di x, è uguale alla stessa funzione
integranda. Questo risultato è il
Teorema Fondamentale
R x del Calcolo Integrale (I parte) Se f : [a, b] → R è continua,
la funzione F (x) = a f (t) dt è una funzione derivabile e si ha F 0 (x) = f (x).
Definizione di funzione primitiva.
Integrale indefinito come insieme delle funzioni primitive.
Calcolo delle primitive come inversione delle leggi di derivazione.
Uso delle primitive per il calcolo degli integrali definiti.
21 novembre. (3 ore) Funzione arctan come inversa della funzione tangente
1
con dominio ristretto all’intervallo (−π/2, π/2). D(arctan x) = 1+x
2 , senza
R 1
dimostrazione. Osservazione che quindi 1+x2 dx = arctan x + c.
Integrazione per sostituzione per gli integrali indefiniti. Esempi.
Calcolo di aree del sottografico di una funzione positiva, dell’area compresa tra
il grafico di una funzione e l’asse delle x e le parallele all’asse delle y passanti
per gli estremi dell’intervallo. Area della regione compresa tra due funzioni.
Possibilità di ottenere un integrale su un intervallo [a, b] come somma degli
integrali sugli intervalli [a, c] e [c, b] dove c ∈ [a, b] (”additività dell’integrale”).
Correzione alla lavagna di esercizi del foglio 5 con discussione di alcuni metodi
e risultati.
23 novembre. (2 ore) Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (II parte)
Se f : [a, b] → R è continua e G : [a, b] → R è una sua qualsiasi primitiva (cioé
b
Rb
una funzione tale che G0 (x) = f (x)), allora a f (x) dx = G(b)−G(a) = G(x) a .
R 0 (x)
0
(x)
Osservazione che D ln |g(x)| = gg(x)
e quindi gg(x)
dx = ln |g(x)| + c, risultato
che abbiamo anche ottenuto con una sostituzione. Esempi.
Si richiede agli studenti di saper fare integrali semplici come quelli dati nei
fogli di esercizi, oppure, se ottengono la primitiva di una funzione (ad esempio
grazie a un sito di calcolo delle primitive trovato in rete), devono essere in grado
di verificare che si tratti veramente di una primitiva.
Alcuni esempi.
9
Calcolo dell’area di una regione illimitata: data una funzione f : [a, +∞) →
R, f ≥ 0 continua, l’area A della regione illimitata compresa tra il grafico della
funzione, l’asse delle x e la retta x = a è :
Z
A=
lim
M →+∞
M
Z
f (x) dx =
a
+∞
f (x) dx
a
se tale limite è finito. Diremo invece che tale regione ha area infinita se quel
limite fosse +∞.
R +∞Se il limite precedente è finito diciamo che esiste l’integrale
generalizzato a f (x) dx, se invece fosse infinito diremmo che tale integrale
generalizzato è divergente.
25 novembre. (2 ore) Intergazione per parti (argomento facoltativo) come
regola dedotta dalla regola di
Esercizi
R derivazioneR del prodotto.
R
R di applicazione
dell’integrazione per parti ( x sin x dx, xex dx, x ln x dx, ln x dx).
Esercizi di ricapitolazione: vedere Esercizi2016-11-25.
28 novembre. (3 ore) [Statistica: vedere cap. 10 del testo di Villani e Gentili]
La statistica per interpretare e sintezzare dati: esempio dei voti della prova in
itinere. Utilità del riordinare i dati numerici, del contare quelli ripetuti (frequenza di un dato). Calcolo della media (aritmetica), della mediana, dei quartili,
dell’(ampiezza dell’) intervallo di variazione. Distanza interquartile: q3 − q1 ,
dove q1 e q3 sono rispettivamente il primo e terzo quartile, dà una misura di
quanto i dati siano dispersi o meno (analogamente all’intervallo di variazione,
xmax − xmin = q4 − q0 che puó anch’esso essere interpretato come differenza tra
quartili).
Varianza (σ 2 ) e √
sua scrittura semplificata, ”scarto quadratico medio o deviazione
standard” (σ = σ 2 , radice quadrata della varianza).
Esercizi (ancora su derivate e integrali): equazioni differenziali sono equazioni
in cui l’incognita è una funzione di cui nell’equazione compare una derivata e
eventualmente la funzione stessa. Sono interessanti nelle applicazioni fisiche,
biologiche, ecc.. Tuttavia non si è studiato come risolverle, ma si richiede solo
di saper verificare se una funzione sia soluzione di un’equazione differenziale
(vedere esercizi 1 e 2 nel Foglio di Esercizi 7).
Risoluzione di esercizi del Foglio 7.
30 novembre. (2 ore) Discussione dell’esercizio 3 del Foglio 4: significato
del pH. Media geometrica e sua interpretazione come media degli ordini di
grandezza, attraverso la sua scrittura con i logaritmi in base 10 (in quanto
logx = log10 x ci dà l’ordine di grandezza della quantità x: 10n ≤ x < 10n+1 ⇔
n ≤ logx < n + 1).
Richiamo delle grandezze statistiche giá introdotte, nel caso i dati siano indicati
con la loro frequenza. Esempio di calcolo di media, mediana, quartili. Definizione di Moda o classi modali applicabile anche a dati non numerici trattandosi
del dato o dei dati con maggiore frequenza.
2 dicembre. (2 ore) Richiamo delle grandezze statistiche varianza e scarto
quadratico medio (o deviazione standard) nel caso in cui i dati siano indicati
con la loro frequenza. Frequenza assoluta e frequenza relativa. Media pesata
10
(esempio media dei voti pesata con il numero dei crediti). Utilizzando la frequenza relativa risultano piú facilmente comparabili indagini statistiche con un
diverso numero di dati (confronto tra i dati di presenza di cotinina nel sangue
per una popolazione di fumatori e per una di non fumatori).
Suddivisione dei dati in piú classi e scelta di riportare sulle ascisse i dati stessi, sulle ordinate le frequenze relative in modo che l’area sottesa dal grafico
corrispondente ad un intervallo di dati, sia uguale alla percentuale di dati in
quell’intervallo. La funzione che dà la frequenza relativa dei dati si chiama
anche funzione di distribuzione. Prendendo classi di dati che comprendono intervalli sempre piú piccoli di dati, si passa da una funzione costante a tratti a
una funzione continua. Allora l’integrale di tale funzione nell’intervallo comprendente tutti i dati deve essere la frequenza relativa totale, quindi uguale ad
1 [(per questo argomento vedere la parte finale della pagina
http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014/
in particolare il file del 2013: statistica6.pdf, della prof.ssa A. Torre dell’Univ.
di Pavia]
Osservazione che se i dati si dispongono simmetricamente, la media e la mediana
coincidono con il valore rispetto a cui c’è simmetria. Se il numero dei dati è molto
alto e consideriamo classi di dati sempre piú piccole, molti fenomeni simmetrici
−(x−µ)2 /2σ 2
.
sono approssimabili con distribuzioni gaussiane della forma g(x) = e σ√2π
R +∞ e−(x−µ)2 /2σ2
√
Si ottiene −∞
dt = 1, e a una tale distribuzione corrisponde, per
σ 2π
simmetria, una media µ uguale alla mediana e una deviazione standard σ (come
si potrebbe calcolare, anche se lasciamo ai matematici tale calcolo).
5 dicembre. (2 ore + 1 ora esercizi) Per una popolazione di dati (o misure) che
segue una distribuzione gaussiana di media µ e deviazione standard σ assegnate,
è possibile stabilire la percentuale di dati che cadono in un certo intervallo, grazie
alle Tabelle della Gaussiana (vedere link su elearning). Esercizi [vedere §10.3 del
testo Villani e Gentili e sulla pagina della Prof.ssa A. Torre (Univ. di Pavia)
http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014/
il file del 2013 statistica6.pdf (nella parte finale della pagina), in cui vi sono anche esercizi. Per la successiva parte facoltativa (Teorema del Limite Centrale),
vedere alla stessa pagina il file statistica7.pdf].
FACOLTATIVO:(si tratta di un esempio di distribuzione gaussiana che si presenta tutte le volte che si cerca di approssimare la media di un gran numero di
dati basandosi solo su un campione)
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE. Sia data una popolazione numerica infinita di media µ e deviazione standard σ da cui siano estratti dei
campioni casuali {x1 , . . . xn }, di media x̄, formati ciascuno da n individui con
n abbastanza grande (n > 30). La distribuzione delle medie campionarie x̄
tende, al crescere di n, ad una distribuzione Gaussiana di media µ e deviazione
standard
σ
√ .
n
Una approssimazione di σ si ottiene calcolando la deviazione standard campionaria s cosı́ definita:
sP
n
2
i=1 (xi − x̄)
s=
' σ,
n−1
11
dove {x1 , . . . xn } sono i dati del campione e x̄ è la media campionaria (cioé di
questi dati, quindi del campione, non di tutta la popolazione).
Si capisce che dividendo per n − 1, invece che dividere per n, si ottiene una
quantità piú grande. Si dimostra che questa è una migliore approssimazione
della deviazione standard σ relativa a tutti i dati. Infatti in questo caso stiamo
considerando solo un campione di dati e quindi anche la media è quella del
campione (media campionaria), non quella di tutta la popolazione. Utilizzando
il Teorema del limite centrale possiamo allora dire che gli intervalli
in cui
√ cade
√
la media µ (di tutta la popolazione) sono del tipo [x̄ − us/ n, x̄ + us/ n], ad
esempio con una affidabilità del 68 %, 95 %, 99 % se scegliamo rispettivamente
u = 1, u = 1, 96, u = 2, 58, come si ottiene consultando la tabella suddetta.
Si osservi che la distribuzione delle medie campionarie x̄ tende ad una legge
gaussiana al tendere del numero dei campioni all’infinito, anche se stiamo osservando una popolazione di dati (di cui cerchiamo la media) che non segue una
distribuzione gaussiana!
Esercizi del Foglio 8.
7 dicembre. (2 ore) Distribuzioni a due caratteri, retta di regressione e coefficiente di correlazione (che indica quanto sia significativa o meno l’approssimazione dei dati con la retta di regressione)[Villani Gentili §10.4].
Utilizzo di grafici in scala semi–logaritmica o logaritmica quando i dati hanno
ordini di grandezza diversi (si veda anche l’esercizio 1 del successivo Foglio 9).
12 dicembre. (2 ore + 1 di esercizi), [Bibliografia nella pagina web del corso] Permutazioni, disposizioni senza ripetizione o con ripetizione, combinazioni, potenza del binomio e coefficienti binomiali e loro calcolo con il triangolo di Tartaglia. Esercizi di applicazione di permutazioni, disposizioni, combinazioni. Attenzione! Esercizio: qual è il numero m di schede diverse, che
si possono votare a favore di uno stesso partito, nel caso sia possibile dare
3 preferenze, il partito abbia 5 candidati e sia possibile indicare ogni candidato in 3 modi (cognome, nome e cognome, cognome e nome)? si ottiene
m = D(5, 3) · 33 = 5 · 4 · 3 = 60 · 27 = 1620. In aula credo di aver scritto altro
per errore.
[ Villani - Gentili, cap. 11] Esempi di fenomeni casuali che avvengono con
una certa ”probabilità ”. Spazio degli eventi, calcolo della probabilità quando
lo spazio degli eventi è finito e gli eventi elementari sono tutti equiprobabili.
Esempi.
Esercizi del Foglio 9.
14 dicembre. (2 ore) Probabilità di un evento aleatorio: definizione classica,
frequentista e soggettivista. Esempi. Proprietà della probabilità, eventi incompatibili ed eventi indipendenti. Grafi ad albero. Probabilità condizionata e
teorema di Bayes. Esempio di applicazione.
16 dicembre. (2 ore) Applicazione del Teorema di Bayes. Considerazioni sugli
eventi incompatibili e la proprietà della somma per l’evento unione, sugli eventi
indipendenti e la proprietà del prodotto per l’evento intersezione.
Il caso di eventi con due risultati (ad esempio testa e croce, eventualmente anche
con probabililità diverse): replicando l’evento piú volte, interessa di calcolare la
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probabilità che uno dei risultati si ripeta un numero preciso di volte. In questo
caso si dice che abbiamo un processo bernoulliano. Si utilizzano le combinazioni
e quindi i coefficienti binomiali. Esempi.
19 e 21 dicembre. (3 ore + 2 ore) Esercizi di calcolo delle probabilità , con
applicazione delle proprietà della probabilità . Utilizzo dei grafi ad albero, del
teorema di Bayes, dell’indipendenza di eventi o della loro incompatibilità [vedere
anche Esercizi in Aula ultime lezioni senza e con Risoluzione, dove sono
riportati alcuni esercizi] .
[Argomento facoltativo] Test diagnostici e suoi valori predittivi, cioé probabilità che il risultato positivo (o il risultato negativo) sia corretto. Matrice di
decisione, specificità (probabilità di risposta negativa se l’individuo è sano) e sensibilità (probabilità di risposta positiva se l’individuo è malato) del test. Attraverso la matrice di decisione è possibile ricavare la probabilità della correttezza
dei risultati. Esempio su Villani–Gentili, Es. 11.36 (dalla matrice di decisione
è possibile calcolare la probabilità che un risultato sia corretto). Attenzione: con
M + , M − , . . . si indicano sia gli insiemi che la loro numerosità (come specificato
in Villani–Gentili).
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