Indice - Politecnico di Milano

Primi elementi di combinatoria
Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione
Analisi e Geometria 1
Federico Lastaria
Primi elementi di combinatoria
11 Ottobre 2016
Indice
1 Elementi di combinatoria
2
1.1
Contare tutte le funzioni da un insieme a un altro . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Contare le funzioni iniettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Contare i sottoinsiemi. Il coefficiente binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Il binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Contare tutti i sottoinsiemi di un insieme finito . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Pag. 1
Primi elementi di combinatoria
1
Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1
Elementi di combinatoria
1.1
Contare tutte le funzioni da un insieme a un altro
Se A e B sono due insiemi, denoteremo con AB l’insieme costituito da tutte le funzioni da A
a B.
Proposizione 1.1. Se M e N sono insiemi finiti con m e n elementi rispettivamente, allora
la cardinalità dell’insieme M N di tutte le funzioni da N a M è
|M N | = |M ||N | = mn
Dimostrazione. Supponiamo dapprima che dominio N e codominio M siano entrambi non
vuoti. Poniamo: N = {x1 , ...., xn }, M = {y1 , ...., ym }. Assegnare una funzione f : N −→ M
significa assegnare f (x1 ), ...., f (xn ). Per f (x1 ) sono possibili m scelte (uno qualunque degli
elementi y1 , ...., ym ). Ognuna di queste m possibili scelte può essere associata a m possibili
scelte per f (x2 ), dando cosı̀ origine a m2 possibilità. A sua volta, ciascuna di queste possibilità
può essere associata a m possibili scelte per f (x3 ), e cosı̀ via, fino a un totale di mn possibilità.
In definitiva abbiamo provato che se |N | = n e |M | = m (n, m > 0), allora
|M N | = mn .
Per completare l’analisi, osserviamo che dall’insieme vuoto a un qualunque altro insieme
(vuoto o no) c’è un’unica funzione e da un insieme non vuoto all’insieme vuoto non esiste
alcuna funzione. Quindi l’uguaglianza |M N | = mn vale anche quando N o M è vuoto, pur
di assumere 00 = 1.
Nella terminologia classica dell’analisi combinatoria, le funzioni arbitrarie da un insieme
con n oggetti a un insieme con m oggetti sono chiamate disposizioni con ripetizione di n
oggetti, presi m alla volta.
1.2
Contare le funzioni iniettive
Proposizione 1.2. Il numero delle funzioni iniettive da un k-insieme a un n-insieme è
nk = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1).
Il numero
nk = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
(k e n interi non negativi, con k ≤ n), si chiama fattoriale decrescente di n di lunghezza k.
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Dimostrazione. Denotiamo con
[k] = {1, ...., k}
[n] = {1, ...., n}
gli insiemi finiti standard con k e n elementi e sia f : [k] −→ [n] una funzione iniettiva. Il
valore f (1) può essere uno qualunque degli n elementi di [n]; il valore f (2) può essere uno
qualunque degli n−1 elementi di [n] diversi da f (1), perché, per l’iniettività di f , il valore f (1)
non può essere più assunto. Le possibili scelte per i valori f (1) e f (2) sono dunque n(n − 1).
Continuando nello stesso modo, troviamo infine che il numero delle funzioni iniettive da [k]
a [n] è
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
(k fattori)
Si vede facilmente che se un insieme A è finito, allora una funzione da A a A è iniettiva
se e solo se è biunivoca. (Vedere gli esercizi.) Quindi le permutazioni di A, vale a dire le
funzioni biunivoche f : A −→ A, sono in numero di
n! = nn = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1.
1.3
Contare i sottoinsiemi. Il coefficiente binomiale
Definizione 1.3 (Coefficienti binomiali). Per definizione, se n e k sono interi non negativi,
denotiamo con il simbolo
n
(1.1)
k
il numero dei k-sottoinsiemi di un n-insieme (cioè, il numero dei sottoinsiemi con k elementi
di un insieme con n elementi).
Questi numeri si chiamano coefficienti binomiali (perché vedremo che figurano nello sviluppo
del binomio (a + b)n )
n
Cerchiamo ora una formula esplicita per il coefficiente binomiale
.
k
Proposizione 1.4. Il numero dei k-sottoinsiemi di un n-insieme è:
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n
nk
=
=
k
k!
k!
(1.2)
Moltiplicando numeratore e denominatore per (n−k)! il coefficiente binomiale si può scrivere:
n
n!
=
(1.3)
k
k!(n − k)!
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n
Dimostrazione. Sia S un insieme con n elementi. Per trovare il numero
dei kk
sottoinsiemi di S, procediamo nel modo seguente. Consideriamo l’insieme M ono([k], S) di
tutte le funzioni iniettive dall’insieme [k] = {1, 2, ..., k} a S. Si osservi che:
a) Poiché le funzioni in M ono([k], S) sono iniettive, le loro immagini sono k-sottoinsiemi
di S;
b) Per ogni k-sottoinsieme Y di S, esistono esattamente k! funzioni iniettive da [k] a S la
cui immagine è Y .
Ripartiamo ora l’insieme M ono([k], S) in classi, mettendo due funzioni iniettive [k] −→ f S
e [k] −→ gS nella stessa classe se Im (f ) = Im (g). Il numero di tali classi
è uguale al
n
numero dei k-sottoinsiemi di S, vale a dire, per definizione, è uguale a
; e in ciascuna
k
di queste classi, ci sono k! funzioni (per l’osservazione b) di sopra). Dunque la cardinalità di
M ono([k], S) è:
n
k
n = k!
(1.4)
k
da cui ricaviamo:
1.4
n
nk
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
=
=
k
k!
k!
Il binomio di Newton
Proposizione 1.5 (Binomio di Newton). Se a, b sono numeri e n è un intero ≥ 0, allora:
(a + b)n =
n X
n n−k k
a
b
k
(1.5)
k=0
Dimostrazione. Per sviluppare
(a + b)n = (a + b) · · · (a + b)
(n fattori)
si usa la proprietà distributiva e poi la proprietà commutativa. Lo sviluppo consisterà alla
fine nella somma di termini del tipo an−k bk . Per ogni fissato k = 0, 1, 2, ..., n, i termini an−k bk
sono tanti quanti i modi di scegliere k volte il termine b (e quindi n − k volte il termine a)
negli n fattori (a + b), cioè tanti quanti i k-sottoinsiemi
di un insieme con n elementi. Il
n
numero di tali sottoinsiemi è, per definizione,
. Di qui la tesi.
k
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1.5
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Contare tutti i sottoinsiemi di un insieme finito
Proposizione 1.6. Se A è un insieme finito con n elementi, allora l’insieme P(A) dei
sottoinsiemi di A ha 2n elementi.
Di questo teorema, diamo tre dimostrazioni.
Prima dimostrazione.
Denotiamo con Ω = {0, 1} l’ insieme (con due elementi) dei valori di verità: 0 è il Falso e
1 il Vero. Proviamo che
ϕ
I sottoinsiemi X ⊆ A sono tanti quante le funzioni A −→ Ω.
Dimostriamo questa affermazione definendo una funzione invertibile dall’insieme P(A) (di
tutti i sottoinsiemi di A) all’insieme ΩA (di tutte le funzioni da A all’insieme con due elementi
Ω dei valori di verità), nel modo seguente.
ϕ
X
• Al sottoinsieme X ⊆ A associamo la funzione A −→
Ω definita da:
ϕX (x) =
0 se x ∈
/X
1 se x ∈ X
Questa funzione ϕX si chiama la funzione caratteristica del sottoinsieme X ⊆ A.
ϕ
• 2) Viceversa, a una funzione A −→ Ω associamo il sottoinsieme
X = {x ∈ A | ϕ(x) = 1}.
In questo modo si viene a definire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme P(A) delle
parti di A e l’insieme ΩA di tutte le funzioni da A a Ω. Dunque, questi due insiemi hanno la
stessa cardinalità:
|P(A)| = ΩA Poiché sappiamo che l’insieme ΩA delle funzioni da A a Ω ha cardinalità 2n , dove n = |A| è
il numero di elementi di A, possiamo concludere che
|P(A)| = 2n
Si noti che questa formula vale anche quando n = 0 (cioè quando A è l’insieme vuoto). Infatti,
l’insieme vuoto ha un unico sottoinsieme (che è l’insieme vuoto), e 20 vale proprio 1.
Seconda dimostrazione.
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Un altro modo di ottenere il numero Fn dei sottoinsiemi di un n-insieme si ottiene notando
che possiamo trovare tutti i sottoinsiemi di {1, ...., n + 1} prendendo tutti i sottoinsiemi di
{1, ...., n} ed estendendo ciascuno di essi nei due modi possibili: non aggiungere nulla, oppure
aggiungere l’elemento n + 1. Cosı̀
Fn+1 = 2Fn
(1.6)
Questa è una relazione ricorsiva che, unita alla condizione iniziale F0 = 1, permette di trovare
Fn per ogni n. Per l’equazione 1.6 si trova subito la soluzione in forma chiusa:
Fn = 2n F0 = 2n .
Terza dimostrazione. Ricordiamo che il coefficiente binomiale n
k è il numero dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi. Dunque il numero complessivo di tutti i
sottoinsiemi di un insieme con n elementi è dato da
n
n
n
n
n
+
+
+ ··· +
+
0
1
2
n−1
n
(perché questo è il numero dei sottoinsiemi con 0 elementi, più il numero dei sottoinsiemi
con 1 elemento, più il numero dei sottoinsiemi con 2 elementi, eccetera, fino al numero dei
sottoinsiemi con n elementi). Ma, per la formula della potenza del binomio, abbiamo
n
n
n
n
n
n
n
2 = (1 + 1) =
+
+
+ ··· +
+
0
1
2
n−1
n
Quindi, il numero totale di tutti i sottoinsiemi di un insieme con n elementi è 2n .
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