Analisi matematica I
Regole di derivazione
Calcolo differenziale
Regole di derivazione
Algebra delle derivate
Derivata di una funzione composta
Derivata della funzione inversa
Derivata di funzioni simmetriche
2
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1
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Regole di derivazione
Algebra delle derivate
Siano
f, g funzioni derivabili in x0 ∈ R
⇒ sono derivabili in x0 le funzioni
f (x) ± g(x)
f (x)g(x)
f (x)
g(x)
se
g(x0 ) 6= 0
4
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2
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Algebra delle derivate
Inoltre si ha
(f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 )
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
µ ¶0
f
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
(x0 ) =
¡
¢2
g
g(x0 )
5
Dimostrazione
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
f (x) g(x) − f (x0 ) g(x0 )
x→x0
x − x0
f (x) g(x) − f (x0 ) g(x) + f (x0 ) g(x) − f (x0 ) g(x0 )
= lim
x→x0
x − x0
µ
¶
g(x) − g(x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
g(x) + f (x0 )
x→x0
x − x0
x − x0
Si ha
= lim
x→x0
lim
f (x) − f (x0 )
g(x) − g(x0 )
lim g(x) + f (x0 ) lim
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
= f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 )
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6
3
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Linearità della derivata
Siano
f, g funzioni derivabili in x0 ∈ R
⇒ è derivabile in x0 la funzione
αf (x) + βg(x) ,
∀α, β ∈ R
7
Linearità della derivata
Inoltre si ha
(αf + βg)0 (x0 ) = αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 )
8
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4
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Dimostrazione
(αf + βg)0 (x0 ) = αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 )
Risulta
(αf + βg)0 (x0 ) = (αf )0 (x0 ) + (βg)0 (x0 )
= αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 )
9
Esempio 1
Consideriamo il generico polinomio
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
10
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5
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Esempio 1
Applicando le proprietà precedenti si ha
P 0 (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + . . . + a1
Ad esempio
f (x) = 5x3 − 2x2 + 7 , f 0 (x) = 15x2 − 4x
11
Esempio 2
Consideriamo la funzione
4x3 − 5x + 1
f (x) =
1 − 2x
12
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6
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Esempio 2
Applicando le proprietà precedenti si ha
(12x2 − 5)(1 − 2x) − (4x3 − 5x + 1)(−2)
f (x) =
(1 − 2x)2
0
12x2 − 5 − 24x3 + 10x + 8x3 − 10x + 2
=
(1 − 2x)2
−16x3 + 12x2 − 3
=
(1 − 2x)2
13
Esempio 3
Consideriamo la funzione
f (x) = x2 cos x
14
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7
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Esempio 3
Applicando le proprietà precedenti si ha
f 0 (x) = 2x cos x − x2 sin x
15
Esempio 4
Consideriamo la funzione
f (x) = tan x =
sin x
cos x
16
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8
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Esempio 4
Applicando le proprietà precedenti si ha
cos x cos x − sin x(− sin x)
cos2 x
cos2 x + sin2 x
=
cos2 x
1
2
=
=
1
+
tan
x
cos2 x
f 0 (x) =
17
Regole di derivazione
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9
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Derivata di una funzione composta
Sia
f (x) una funzione derivabile in x0 ∈ R e
sia g(y) una funzione derivabile in y0 = f (x0 )
⇒ la funzione composta g ◦ f (x) = g(f (x))
è derivabile in x0 e si ha
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (y0 )f 0 (x0 ) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 )
19
Esempio 1
Consideriamo la funzione
Risulta
h = g ◦ f con
f (x) = 1 + 3x ,
da cui
√
h(x) = 1 + 3x
g(y) =
√
y
1
f 0 (x) = 3 , g 0 (y) = √
2 y
e quindi
3
1
h0 (x) = √ · 3 = √
2 y
2 1 + 3x
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10
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Esempio 2
Consideriamo la funzione
h(x) = log sin 2x
h = g ◦ f con f (x) = sin 2x , g(y) = log y
f = ψ ◦ ϕ con ϕ(x) = 2x , ψ(y) = sin y
¡
¢ 0
0
0
da cui f (x) = ψ ϕ(x) ϕ (x)
= cos 2x · 2 = 2 cos 2x
¡
¢
e quindi h0 (x) = g 0 f (x) f 0 (x)
1
=
· 2 cos 2x = 2 cotan 2x
sin 2x
21
Regole di derivazione
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Analisi matematica I
Regole di derivazione
Derivata della funzione inversa
Sia f una funzione continua e invertibile in
e sia
I(x0 )
f derivabile in x0 con f 0 (x0 ) 6= 0
⇒ la funzione inversa f −1 (y) è derivabile in
y0 = f (x0 ) e si ha
(f −1 )0 (y0 ) =
1
1
=
f 0 (x0 )
f 0 (f −1 (y0 ))
23
Esempio 1
Calcoliamo la derivata della funzione
g(x) = arctan x
Consideriamo dapprima la funzione
y = f (x) = tan x , per cui f 0 (x) = 1 + tan2 x
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12
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Esempio 1
Si ha
x = f −1 (y) = arctan y
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (x)
e
=
1
1 + tan2 x
=
1
1 + y2
25
Esempio 1
In definitiva
g(x) = arctan x , g 0 (x) =
1
1 + x2
26
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13
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Esempio 2
Calcoliamo la derivata della funzione
g(x) = arcsin x
Consideriamo dapprima la funzione
£ π π¤
y = f (x) = sin x , x ∈ − 2 , 2
per cui
p
¢
¡
f (x) = cos x = 1 − sin2 x , x ∈ − π2 , π2
0
27
Esempio 2
Si ha
x = f −1 (y) = arcsin y e
(f −1 )0 (y) =
1
1
p
=
f 0 (x)
1 − sin2 x
1
=p
1 − y2
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28
14
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Esempio 2
In definitiva
g(x) = arcsin x ,
1
g 0 (x) = √
1 − x2
29
Esempio 3
Calcoliamo la derivata della funzione
g(x) = loga x
Consideriamo dapprima la funzione
y = f (x) = ax , da cui f 0 (x) = ax log a
30
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15
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Esempio 3
Si ha
x = f −1 (y) = loga y e
(f −1 )0 (y) =
1
1
=
f 0 (x)
ax log a
1
=
y log a
31
Esempio 3
In definitiva
g(x) = loga x ,
g 0 (x) =
1
x log a
In particolare
g(x) = log x ,
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g 0 (x) =
1
x
32
16
Analisi matematica I
Regole di derivazione
Regole di derivazione
Derivata di funzioni simmetriche
Sia
f una funzione pari (rispettivamente dispari)
derivabile in tutto il suo dominio ⇒ la derivata
f 0 è una funzione dispari (rispettivamente pari).
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Analisi matematica I
Regole di derivazione
Dimostrazione
f pari ⇒ f 0 dispari
f pari ⇒ f (x) = f (−x) , ∀x ∈ dom f
⇒ f 0 (x) = −f 0 (−x) , ∀x ∈ dom f
⇒ f 0 dispari
35
Tabella
D xα = αxα−1 ,
∀α ∈ R
D sin x = cos x
D cos x = − sin x
D tan x = 1 + tan2 x =
1
cos2 x
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Analisi matematica I
Regole di derivazione
Tabella
1
1 − x2
1
D arccos x = − √
1 − x2
D arcsin x = √
D arctan x =
1
1 + x2
37
Tabella
D ax = ax log a
in particolare
D ex = ex
D loga |x| =
D log |x| =
1
x log a
in particolare
1
x
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