1 CORSO DI MECCANICA DEI SOLIDI 1 Ing. per l`Ambiente e il

CORSO DI MECCANICA DEI SOLIDI 1
Ing. per l’Ambiente e il Territorio – Ing. Energetica
Testi prova di recupero – 25 luglio 2006
a
COGNOME:________________________________
CORSO DI MECCANICA DEI SOLIDI 1
Ing. per l’Ambiente e il Territorio – Ing. Energetica
PROVA di RECUPERO – 25 settembre 2006
NOME:____________________________________
!
NUM. MATR.:______________________________
CORSO DI LAUREA:________________________
Per lo svolgimento dei temi 1 e 2 si utilizzino solo i riquadri bianchi riportati.
TEMA 1 [4 punti]
Si consideri un sistema meccanico olonomo soggetto a forze conservative e le cui coordinate
Lagrangiane qi(t) (con i = 1,…,n) siano raccolte nel vettore q(t). Si forniscano le definizioni di:
- configurazione di equilibrio statico per il sistema;
- configurazione di equilibrio stabile per il sistema.
TEMA 2 [4 punti]
Si fornisca la definizione di vincolo essenziale e si dimostri che per una struttura non iperstatica
tutti i vincoli semplici risultano essenziali.
1
TEMA 3 [ 7 punti ]
Per la struttura isostatica rappresentata in figura 1 e soggetta alla condizione di carico indicato si
imposti il problema della determinazione delle caratteristiche della sollecitazione attraverso le
equazioni indefinite di equilibrio, integrando le suddette equazioni ed indicando le relative condizioni
al contorno.
Infine, ragionando per via diretta, si traccino i diagrammi delle caratteristiche della
sollecitazione.
F
l
l
l
Figura 1
TEMA 4 [ 7 punti ]
Si consideri la struttura rappresentata in figura 2 e soggetta alla condizione di carico indicata.
- Si verifichi che la struttura è isostatica;
- si determino per via grafica le reazioni vincolari;
- si tracci il diagramma in scala del momento flettente, procedendo per via grafica.
!
Per le costruzioni grafiche e per lo svolgimento si usi direttamente il foglio allegato su cui è
riportata la figura 2, evitando di riprodurla.
Si presti particolare attenzione ad utilizzare una scala uniforme in tutto il diagramma. Preliminarmente sarà
necessario determinare le reazioni vincolari, anch’esse per via grafica. Si indichino con chiarezza le equazioni
simboliche di ciascun corpo. Si indichino gli eventuali equilibri di insiemi di corpi che risultino utili nella soluzione.
La risultante di due o più forze o coppie che sia necessario determinare nel tracciamento del diagramma del momento
dovrà essere eseguita basandosi su considerazioni di equilibrio ed evidenziata tramite opportune parentesi nella
scrittura delle equazioni simboliche, e NON dalla composizione delle forze. Ogni retta di applicazione, di una forza o
di un insieme di forze, dovrà corrispondentemente essere accompagnata dall’indicazione della(le) forza(e) cui si
riferisce. La costruzione grafica relativa ad un nodo triplo dovrà essere eseguita per ciascun tratto ivi convergente. In
particolare, l’equilibrio dei momenti nel nodo triplo NON dove essere utilizzato nella costruzione. Tale equilibrio
DOVRA’, invece, essere esibito a verifica della correttezza del diagramma, utilizzando appositi schemi a margine.
Per ciascun tratto deve essere chiaramente evidenziato nella costruzione grafica il punto di nullo del diagramma, se
presente. Si consiglia di tracciare il diagramma utilizzando una penna di colore differente da quella utilizzata per
tracciare le rette di applicazione delle forze. Si consiglia di tracciare a tratteggio gli eventuali diagrammi “falsi” e di
campire il diagramma “vero” finale.
2
m
Figura 2
3
TEMA 5 [ 10 punti ]
Il sistema meccanico riportato in figura 3, posto in un piano verticale, è costituito da:
- un’asta rigida non pesante AC di lunghezza 2l, vincolata a terra come in figura;
- una massa puntiforme m, collegata all’asta AC tramite una molla lineare di costante elastica k1, ed
al suolo (punto D in figura) tramite una molla lineare di costante elastica k2.
Assumendo che :
- le molle sono scariche quando assumono lunghezza nulla;
- ogni forma di dissipazione è trascurabile;
- all’istante iniziale (t = 0) la massa m occupa la posizione C;
si determini:
- il numero di gradi di libertà del sistema, introducendo le corrispondenti coordinate Lagrangiane;
- la posizione, la velocità e l’accelerazione della massa m;
- tutte le forze che agiscono sul sistema (peso, elastica, inerzia), indicandone moduli, versi e punti di
applicazione;
- le reazioni vincolari dei vincoli presenti;
- l’energia cinetica del sistema;
- se il sistema è conservativo, l’energia potenziale
- le componenti Lagrangiane delle forze attive;
- le equazioni del moto per il sistema;
- le configurazioni di equilibrio statico del sistema, indicando (e motivando) quelle stabili;
- l’integrale generale del moto;
- i diagrammi del momento sull’asta AC per t = 0 e per t → +∞ .
A
B
C
k1
m
k2
l
D
l
l
Figura 3
4
b
COGNOME:________________________________
CORSO DI MECCANICA DEI SOLIDI 1
Ing. per l’Ambiente e il Territorio – Ing. Energetica
PROVA di RECUPERO – 25 settembre 2006
!
NOME:____________________________________
NUM. MATR.:______________________________
CORSO DI LAUREA:________________________
Per lo svolgimento dei temi 1 e 2 si utilizzino solo i riquadri bianchi riportati.
TEMA 1 [4 punti]
Si fornisca la definizione di vincolo olonomo. Si consideri una circonferenza che rotola senza
strisciare su un piano inclinato dell’angolo α rispetto all’orizzontale. Si scriva la condizione che
caratterizza detto vincolo e si dimostri che essa rappresenta un vincolo olonomo.
α
TEMA 2 [4 punti]
Si consideri una struttura la cui matrice di compatibilità [C] sia quadrata e non singolare. Si
dimostri che non esistono reazioni vincolari autoequilibrate diverse da zero.
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TEMA 3 [ 7 punti ]
Per la struttura isostatica rappresentata in figura 1 e soggetta alla condizione di carico indicato si
imposti il problema della determinazione delle caratteristiche della sollecitazione attraverso le
equazioni indefinite di equilibrio, integrando le suddette equazioni ed indicando le relative condizioni
al contorno.
Infine, ragionando per via diretta, si traccino i diagrammi delle caratteristiche della
sollecitazione.
F
l
l
l
Figura 1
TEMA 4 [ 7 punti ]
Si consideri la struttura rappresentata in figura 2 e soggetta alla condizione di carico indicata.
- Si verifichi che la struttura è isostatica;
- si determino per via grafica le reazioni vincolari;
- si tracci il diagramma in scala del momento flettente, procedendo per via grafica.
!
Per le costruzioni grafiche e per lo svolgimento si usi direttamente il foglio allegato su cui è
riportata la figura 2, evitando di riprodurla.
Si presti particolare attenzione ad utilizzare una scala uniforme in tutto il diagramma. Preliminarmente sarà
necessario determinare le reazioni vincolari, anch’esse per via grafica. Si indichino con chiarezza le equazioni
simboliche di ciascun corpo. Si indichino gli eventuali equilibri di insiemi di corpi che risultino utili nella soluzione.
La risultante di due o più forze o coppie che sia necessario determinare nel tracciamento del diagramma del momento
dovrà essere eseguita basandosi su considerazioni di equilibrio ed evidenziata tramite opportune parentesi nella
scrittura delle equazioni simboliche, e NON dalla composizione delle forze. Ogni retta di applicazione, di una forza o
di un insieme di forze, dovrà corrispondentemente essere accompagnata dall’indicazione della(le) forza(e) cui si
riferisce. La costruzione grafica relativa ad un nodo triplo dovrà essere eseguita per ciascun tratto ivi convergente. In
particolare, l’equilibrio dei momenti nel nodo triplo NON dove essere utilizzato nella costruzione. Tale equilibrio
DOVRA’, invece, essere esibito a verifica della correttezza del diagramma, utilizzando appositi schemi a margine.
Per ciascun tratto deve essere chiaramente evidenziato nella costruzione grafica il punto di nullo del diagramma, se
presente. Si consiglia di tracciare il diagramma utilizzando una penna di colore differente da quella utilizzata per
tracciare le rette di applicazione delle forze. Si consiglia di tracciare a tratteggio gli eventuali diagrammi “falsi” e di
campire il diagramma “vero” finale.
2
m
Figura 2
3
TEMA 5 [ 10 punti ]
Il sistema meccanico riportato in figura 3, posto in un piano verticale, è costituito da:
- un’asta rigida non pesante AC di lunghezza 2l, vincolata a terra come in figura;
- una massa puntiforme m, collegata all’asta AC tramite una molla lineare di costante elastica k1, ed
al suolo (punto D in figura) tramite una molla lineare di costante elastica k2.
Assumendo che :
- le molle sono scariche quando assumono lunghezza nulla;
- ogni forma di dissipazione è trascurabile;
- all’istante iniziale (t = 0) la massa m occupa la posizione B;
si determini:
- il numero di gradi di libertà del sistema, introducendo le corrispondenti coordinate Lagrangiane;
- la posizione, la velocità e l’accelerazione della massa m;
- tutte le forze che agiscono sul sistema (peso, elastica, inerzia), indicandone moduli, versi e punti di
applicazione;
- le reazioni vincolari dei vincoli presenti;
- l’energia cinetica del sistema;
- se il sistema è conservativo, l’energia potenziale;
- le componenti Lagrangiane delle forze attive;
- le equazioni del moto per il sistema;
- le configurazioni di equilibrio statico del sistema, indicando (e motivando) quelle stabili;
- l’integrale generale del moto;
- i diagrammi del momento sull’asta AC per t = 0 e per t → +∞ .
A
B
C
k1
l
m
k2
l
D
l
Figura 3
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