dispense su sensori

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Sensori e Rivelatori
A. Nannini
P. Bruschi
16 marzo 2000
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Indice
1 Generalità
1.1 De…nizione di sensore . . . . . .
1.2 Classi…cazioni . . . . . . . . . . .
1.2.1 Ulteriori classi…cazioni . .
1.2.2 Sistema completo . . . . .
1.3 De…nizioni . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Funzioni di conversione .
1.3.2 Grandezze di in‡uenza . .
1.4 Modello Matematico Generale . .
1.4.1 Modelli sempli…cati . . .
1.4.2 Osservazione importante .
1.4.3 Campi di variabilità . . .
1.4.4 Caratteristiche del sensore
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2 Argomenti introduttivi
2.1 Termodinamica dei solidi . . . . . . .
2.1.1 Espressioni per dW . . . . . . .
2.1.2 Condizioni di equilibrio . . . .
2.1.3 Espressioni per la conducibilità
2.1.4 Ulteriore espressione per ¹ . .
2.1.5 Legge di Dalton . . . . . . . . .
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ii
Indice
2.1.6 Relazioni termodinamiche . . . . . .
2.1.7 Entropia ed energia libera molare . .
2.1.8 Equazione di Gibbs Duhem . . . . .
2.1.9 Equazione dell’equilibrio di reazione
2.1.10 Equazione di Nernst . . . . . . . . .
2.1.11 Legge della azione di massa . . . . .
2.2 Elementi di statistica . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Le particelle sono elettroni . . . . .
2.2.2 Dimostrazione: EF ´ ¹e . . . . . . .
2.3 La regola delle fasi . . . . . . . . . . . . . .
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3 Sensori di temperatura I
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3.1 Misure di temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Sensori resistivi di temperatura. . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Sensori di temperatura a giunzione p-n. . . . . . . . . 49
4 Sensori di temperatura II
4.1 E¤etti termoelettrici . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 E¤etto Peltier . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 E¤etto Seebeck . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Contatto metallo/ semiconduttore . . .
4.1.4 E¤etto Thomson . . . . . . . . . . . . .
4.2 Teorema di Onsager . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Termocoppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Utilizzo delle termocoppie per la misura
temperatura . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 E¤etti magnetoelettrici
69
5.1 E¤etto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Sensori di gas a semiconduttore
6.1
E¤etti di super…cie . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Modello a bande . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Assenza di carica netta super…ciale.
6.2.2 Situazione di equilibrio. . . . . . . .
6.3 Conducibilità super…ciale . . . . . . . . . .
6.4 Polveri compresse . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Interfacce solido / gas . . . . . . . . . . . .
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6.5.1 Adsorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Cinetica di adsorbimento . . . . . . . . . .
6.5.3 Adsorbimento di ioni . . . . . . . . . . . . .
6.6 Adsorbimento super…ciale e diagrammi a bande . .
6.7 E¤etti di gas riducenti . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Applicazioni ai sensori a polveri compresse
7 Sensori di Gas con Elettrodo Catalitico
7.1 Richiami sui MOSFET . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Espressione per la tensione di soglia
7.1.2 Espressioni per le correnti . . . . . .
7.2 Pd-MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Elettrodi
107
8.0.1 Potenziale di elettrodo . . . . . . . . . . . . . . 107
8.0.2 Cella elettrochimica . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.0.3 Elettrodi di prima specie. . . . . . . . . . . . . 109
8.0.4 Elettrodi di seconda specie. . . . . . . . . . . . 110
8.0.5 Elettrodi di terza specie. . . . . . . . . . . . . . 111
8.1 Semicelle di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.1.1 Semicella a calomelano. . . . . . . . . . . . . . 112
8.1.2 Semicella a cloruro di argento. . . . . . . . . . 113
8.1.3 Elettrodo metallo/ossido del metallo . . . . . . 113
8.2 Sensori ad elettroliti solidi . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3 Classi…cazione dei principali sensori ad elettroliti solidi.115
8.3.1 Classi…cazione in base alla risposta . . . . . . . 116
8.4 Modello Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4.1 Ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.4.2 Errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5 Modello completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.5.1 Composto MX che conduce per X+ : rivelazione di X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.5.2 Composto MX che conduce per X+ : rivelazione di M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.5.3 Specie rivelata senza atomi in comune con l’elettrolita solido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.6 Applicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9 Interfacce solido - liquido
125
9.1 Voltammetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
iv
Indice
9.1.1
9.1.2
Di¤usione semiin…nita . . . . . . . . . . . . . . 131
Corrente limitata dalla reazione di trasferimento all’elettrodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10 ChemFET
10.0.3 Classi…cazione . . . . . . .
10.0.4 Digressione sulle interfacce
10.1 ISFET . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Struttura EIS . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Calcolo della VT . . . . . .
10.2.2 Site binding Model . . . . .
10.3 Struttura EMIS . . . . . . . . . . .
10.4 Strutture a gate esteso . . . . . . .
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11 Sensori di deformazione
11.1 Corpi elastici deformabili . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Spostamento di¤erenziale . . . . . . . . . . .
11.1.3 Matrice gradiente di spostamento . . . . . . .
11.2 Deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Calcolo della deformazione . . . . . . . . . .
11.2.2 Sempli…cazioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Relazione tra S ed " . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Notazione Simbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Notazione ridotta (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Operatore rs in forma matriciale . . . . . . .
11.5 Forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 De…nizione formale . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Notazione ridotta (T) . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8 Legge di Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9 Materiale isotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9.1 Legge di Hooke in presenza di dilatazioni termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9.2 Equazione di equilibrio per solidi isotropi . .
11.10Proprietà di trasformazione . . . . . . . . . . . . . .
11.11Trasformazioni con indici abbreviati . . . . . . . . .
11.12Piezoresistività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.12.1 Trasformazione del sistema di riferimento . .
11.13Estensimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Indice
v
12 Acustica Fisica
197
12.0.1 Equazioni del campo acustico . . . . . . . . . . 197
12.0.2 Equazione di Christo¤el . . . . . . . . . . . . . 198
12.0.3 Onde Piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13 Piezoelettricità
209
13.0.4 Equazione costitutiva di un materiale dielettrico209
13.0.5 Equazioni costitutive piezoelettriche . . . . . . 210
13.0.6 Sistemi di equazioni costitutive piezoelettriche 212
13.1 Equazione di Christo¤el in materiali piezoelettrici . . . 213
13.1.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.1.2 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
13.2 Appendice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.2.1 Condizioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . 222
13.2.2 Modello di solido non piezoelettrico . . . . . . 223
13.2.3 Modello di solido piezoelettrico . . . . . . . . . 225
13.3 Appendice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
14 Il trasduttore piezoelettrico
229
14.1 Trasduttore piezoelettrico sottile . . . . . . . . . . . . 229
15 Circuiti Equivalenti
239
15.1 Circuito equivalente di Mason . . . . . . . . . . . . . . 239
15.1.1 Trasduttore trasmettitore . . . . . . . . . . . . 242
15.2 La rete elettrica equivalente . . . . . . . . . . . . . . . 245
15.2.1 Trasmettitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
15.2.2 Ricevitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
15.2.3 La funzione di trasferimento completa . . . . . 249
vi
Indice
È un viaggio guidato, ti spiegano tutto, anche la faccenda dei detector che sentono l’acetone nell’atmosfera, vicino ai centri dove c’è
gente a¤amata, e trasmettono i segnali ai computer della base. Primo
Levi, “Vizio di forma” Einaudi 1971
Indice
vii
Premessa
Questa dispensa contiene materiale didattico per il corso “Sensori
e Rivelatori” , corso proprio degli orientamenti “Microelettronica” e
“Bioingegneria” del Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica.
Da alcuni anni il corso viene tenuto utilizzando prevalentemente
trasparenze; gli studenti hanno mostrato di gradire questa innovazione (consenso del 79% nel test …nale dell’a.a. 1993-94) ma spesso
richiedono di avere a disposizione una copia delle trasparenze prima
della lezione.
Lo scopo di questa dispensa è appunto quello di fornire una traccia del genere. Infatti il testo presenta poche aggiunte rispetto ai
lucidi presentati e commentati a lezione. La dispensa, in questa sua
terza edizione copre interamente il corso ed è accompagnata da una
raccolta di problemi completamente risolti.
Gli studenti prestino attenzione al fatto che il materiale qui contenuto non è su¢ciente per la loro preparazione su questo argomento.
Il nostro consiglio è pertanto di integrare questa traccia con appunti
presi a lezione o consultando i testi di approfondimento proposti di
seguito e reperibili presso la Biblioteca Centrale di Facoltà. Gli studenti dovrebbero inoltre svolgere accuratamente i problemi raccolti
nella seconda dispensa prima di consultare la risoluzione.
Ringraziamo in anticipo chi vorrà segnalare errori di qualsiasi tipo,
inevitabilmente presenti nella prime edizioni di ogni testo.
Gli Autori
Indice
1
TESTI DI CONSULTAZIONE E APPROFONDIMENTO
S.M. Sze: “Semiconductor sensors”, J. Wiley, New York, (1994).
M. J. Madou S. R. Morrison: “Chemical sensing with solid state
devices”, Academic Press, San Diego, (1989).
B. Auld: “Acoustic …elds and waves in solids” (vol. 1) J. Wiley,
New York, (1973).
Pallàs-Areny Webster: “Sensors and signal conditioning” J. Wiley,
New York, (1991).
2
Indice
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1
Generalità
1.1 De…nizione di sensore
Un sensore è un sistema eccitato da una forma di energia che a sua
volta fornisce energia in una forma diversa (generalmente elettrica)
ad un altro sistema (il sistema di lettura) (…gura 1).
Sistema
Ambiente
Sistema
Misurato
SENSORE
Sistema
Ausiliario
Figura 1
Sistema
Utilizzatore
(di lettura)
4
1. Generalità
Oltre al sensore (per esempio un sensore di concentrazione di gas)
devono essere considerati anche i sistemi con i quali esso interagisce:
² Il sistema misurato: per esempio un recipiente nel quale si
intende misurare la concentrazione di ossido di carbonio;
² Il sistema ambiente: per esempio l’insieme degli eventuali gas
interferenti;
² Il sistema utilizzatore (di lettura): per esempio un voltmetro
ideale;
² Un sistema ausiliario: per esempio un campione a concentrazione nota di CO.
Gas
Interferenti
Concentrazione
di CO
SENSORE
DI CO
Voltmetro
Campione a
concentrazione
nota di CO
Figura 2
1.2 Classi…cazioni
Si possono classi…care sensori in molti modi basandosi sulle loro più
importanti caratteristiche:
1. Tipo di sensore (elettrolitico, a conduttanza, a semiconduttore...)
2. Modello descrittivo ( …sico, chimico…sico, quantistico, ottico...)
1.2 Classi…cazioni
5
3. Applicazioni ( medico, ambientale, industriale...)
4. Parametro misurato ( …sico, chimico: temperatura, pressione,
concentrazione...)
5. Tecnologie di realizzazione e materiali impiegati ( …lm spesso,
…lm sottile, ceramico, polimerico...)
1.2.1 Ulteriori classi…cazioni
Dal punto di vista energetico si distinguono:
² Trasduttori Passivi (autogeneranti)
E in
Trasduttore
autogenerante
E out
Figura 3
Si hanno due porte per l’energia; la seconda (l’uscita) è generalmente a bassa potenza: è quindi necessaria una interfaccia opportuna
per la lettura e l’ampli…cazione del segnale.
Eecc
² Trasduttori Attivi
Ein
Trasduttore
attivo
Figura 4
Eout
6
1. Generalità
E ecc
Sono caratterizzati da almeno tre porte per l’energia; la potenza
fornita dal generatore di eccitazione può essere indipendente da quella ricavabile all’uscita. (Trasduttori ad anello aperto) Nel caso in cui,
invece, la potenza fornita dal generatore di eccitazione sia funzione
(di parte) di quella ricavabile all’uscita, si parla di trasduttori ad
anello chiuso o in reazione.
E in
Trasduttore
ad anello chiuso
E out
Figura 5
1.2.2 Sistema completo
In …gura 6 è mostrato il sistema completo della sezione di lettura e
condizionamento del segnale ricavato dal sensore. Il sistema “modi…catore ” è in generale composto da un interfaccia analogica verso
il sensore, di una sezione di conversione analogico/ digitale, di una
sezione di trattamento digitale dell’informazione e di una sezione di
conversione digitale/ analogica di uscita e, eventualmente, di una
sezione di potenza per pilotare il trasduttore di uscita.
1.2 Classi…cazioni
Sensore
Modificatore
7
Trasduttore
di uscita
Alimentazione
Figura 6
Si noti che per progettare correttamente l’interfaccia in ingresso
al modi…catore è necessario avere le seguenti informazioni:
² Sensori Passivi: deve essere nota Ein e l’e¢cienza di conversione; si noti che Ein è interamente prelevata dal sistema sotto
misura.
² Sensori Attivi: o¤rono un grado di libertà in più al progettista
ma possono interferire pesantemente con il sistema sotto misura: si deve conoscere Ein , il progettista può scegliere Eecc con
l ’avvertenza che parte di questa energia potrebbe interferire
con il misurando.
8
1. Generalità
1.3 De…nizioni
1.3.1 Funzioni di conversione
Ambiente
Sistema
Misurato
x(t)
Sensore
y(t)
Utilizzatore
Sistema
ausiliario
Figura 8
Con riferimento alla …gura 8 si de…nisce funzione di conversione
diretta fd la funzione tale che:
x(t) = fd (y(t))
e funzione di conversione inversa fi :
y(t) = fi (x(t))
Si noti che in generale: fi 6= fd¡1
1.3.2 Grandezze di in‡uenza
Le grandezze di in‡uenza sono grandezze …siche proprie del sistema misurato (diverse dal misurando) e dei sistemi interconnessi che
in‡uenzano la misura.
Esempi: temperatura, impedenze di ingresso, potenza fornita dal
sistema di eccitazione, parametri ambientali, gas interferenti ecc...
1.4 Modello Matematico Generale
9
1.4 Modello Matematico Generale
Tenendo conto delle grandezze di in‡uenza, le funzioni di conversione
diretta e inversa devono essere riscritte nel modo seguente:
y = fi (x; g1 ; ¢ ¢ ¢ gm )
x = fd (y; g1 ; ¢ ¢ ¢ gm )
dove le g1 ; ¢ ¢ ¢ gm sono le m grandezze di in‡uenza proprie dei vari
sistemi in relazione con il sistema misurato.
Si noti che mentre la funzione di conversione diretta è certamente univoca essendo in genere possibile assumere che il sensore sia
un sistema causale, ciò non è in generale vero per la funzione di
conversione inversa.
Si è in genere soliti utilizzare una relazione diversa da quella di cui
sopra del tipo
y = f(x) + f 0 (x; g1 ; ¢ ¢ ¢ gm )
che ha il vantaggio di evidenziare il contributo principale del misurando x ad y ed il contributo secondario, spurio, non necessariamente
piccolo principalmente dovuto alle grandezze di in‡uenza.
Si noti che nella funzione f’ compare esplicitamente anche il misurando x.
1.4.1 Modelli sempli…cati
La prima sempli…cazione ipotizzabile è l’indipendenza tra misurando
e grandezze d’in‡uenza:
y = f (x) + f 00 (g1 ; ¢ ¢ ¢ gm )
Una ulteriore sempli…cazione si ha postulando l’indipendenza tra
le varie grandezze d’ in‡uenza:
y = f(x) + f 1 (g1 ) + ¢ ¢ ¢ f m (gm )
le f 1 (g1 ) + ¢ ¢ ¢ f m (gm ) prendono il nome di funzioni d’in‡uenza.
10
1. Generalità
1.4.2 Osservazione importante
È bene notare che il tempo non è mai stato indicato esplicitamente
tra le funzioni di in‡uenza.
Nel caso in cui il sensore operi in uno stato stazionario (ossia in
uno stato di quasi equilibrio in cui si possono assumere trascurabili
le variazioni di tutte le grandezze della funzione di conversione) tale
assunzione è da ritenersi corretta. Esistono tuttavia, e sono forse la
maggioranza, sensori in cui la misura ha un carattere marcatamente
dinamico; in questo caso il tempo deve essere incluso tra le grandezze
d’in‡uenza sia esplicitamente che implicitamente:
y(t) = f (x(t)) + f 1 (g1 (t)) + ¢ ¢ ¢ f m (gm (t)) + f m+1 (t)
1.4.3 Campi di variabilità
Campi di variabilità del misurando
Le relazioni sempli…cate precedentemente introdotte valgono solo per
determinati valori del misurando; il campo dei valori del misurando che assicurano la validità del modello costituiscono il campo di
misura.
Nel caso in cui si debba ampliare il campo di misura è spesso necessario cambiare il modello matematico rappresentativo del sensore
rinunciando a parte delle sempli…cazioni introdotte.
Viene talvolta indicato il campo di sicurezza, da non confondersi
con il campo di misura, de…nito come il campo dei valori del misurando che assicurano il funzionamento del sensore senza che si veri…chino danni al sensore stesso; è evidente che il campo di sicurezza
è in generale non minore in ampiezza del campo di misura.
Campi di variabilità dell’uscita
Si introducono
² il campo di funzionamento normale costituito dai valori dell’uscita corrispondenti a valori del misurando compresi nel campo
di misura;
² i valori estremi dell’uscita: il massimo ed il minimo assunti
dalla grandezza di uscita quando il misurando varia nel campo
di sicurezza.
1.4 Modello Matematico Generale
11
1.4.4 Caratteristiche del sensore
Vengono forniti dal costruttore una serie di parametri caratteristici:
1. La natura del misurando
2. Il principio di funzionamento del sensore.
3. Caratteristiche del misurando comprendenti
² Il campo di misura (input range). Talvolta viene indicata la
portata o il fondo scala che altro non sono che il limite superiore
del campo di misura.
² Il campo di sicurezza; talvolta vengono forniti i valori estremi
indicati come valori di sovraccarico (overload); spesso solo il
limite superiore semplicemente detto sovraccarico (overload,
overrange).
4. Caratteristiche dell’uscita:
² La natura dell’uscita: esempio corrente , tensione ...
² Campo di normale funzionamento (output range).
² I valori estremi dell’uscita.
² La potenza erogabile al sistema utilizzatore; in alternativa la
massima corrente o tensione in uscita o il valore massimo dell’impedenza di carico (se il segnale di uscita è una corrente).
² L’impedenza di uscita.
² L’incertezza intrinseca della grandezza d’uscita.
5. Caratteristiche del sistema di alimentazione ausiliaria.
6. Caratteristiche metrologiche in regime stazionario.
² Funzione di conversione diretta ed inversa.
² La sensibilità che è la pendenza della curva di taratura in un
punto.
12
1. Generalità
² La linearità che può essere de…nita in molti modi distinti (vedi …gura 9). Si noti che oltre al metodo dei minimi quadrati
possono essere impiegati altri algoritmi di minimizzazione degli
scarti tra curva linearizzata e sperimentale.
Figura 9: Sono riportate le curve di linearizzazione ottenute (1) con
riferimento allo zero; (2) con riferimento agli estremi e, (3) secondo
il metodo dei minimi quadrati.
² Funzione di taratura (curva di taratura, coe¢ciente di taratura) e incertezza di taratura (espressa in termini assoluti, relativi, o ridotti) . Talvolta all’incertezza relativa si dà il nome
di precisione o accuratezza mentre i termini errore, fascia di
errore sono in tutto sinonimi dell’incertezza di taratura.
² Risoluzione: Variazione del valore del misurando che provoca una variazione della grandezza di uscita pari all’incertezza
dell’uscita stessa.
² Ripetibilità
² Isteresi.
² Stabilità temporale (deriva, deriva dello zero).
7. Caratteristiche in regime dinamico: risposta in frequenza, e nel
dominio del tempo.
8. Rumore.
1.4 Modello Matematico Generale
13
9. Condizioni operative.
10. Caratteristiche di a¢dabilità: il tempo di vita espresso in vari
modi: numero di cicli, tempo di vita in funzionamento continuo
o intermittente.
14
1. Generalità
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2
Argomenti introduttivi
2.1 Termodinamica dei solidi
Ricordiamo i principi della termodinamica
Primo Principio:
±U = ±Q + ±W
Secondo Principio:
±Q = T ±S
dove :
U : Energia Interna
Q : Calore
W: Lavoro
T : Temperatura assoluta
S: Entropia1
1 Si noti la di¤erenza tra i simboli S ed S utilizzati rispettivamente per entropia e
deformazione. In contesti ove non sia possibile dare luogo a equivoci, prescinderemo da
questa distinzione.
16
2. Argomenti introduttivi
2.1.1 Espressioni per dW
Il temine di lavoro dipende dal sistema che intendiamo studiare;
riportiamo di seguito due esempi signi…cativi di sistemi …sici del tipo
di quelli di interesse nella trattazione di trasduttori acustico-elettrici
e di sensori chimici.
1) Solido deformabile sottoposto a campo elettromagnetico
Introduciamo i vettori di sforzo TI e di deformazione SI e i consueti vettori campo elettrico Ei , campo magnetico Hi ; spostamento
dielettrico Di e induzione magnetica Bi ; allora si ha:
±W = TI dSI + Ei dDi + Hi dBi
dove gli indici maiuscoli variano tra 1 e 6 mentre gli indici minuscoli tra 1 e 32 . Si noti che i termini TI dSI si riferiscono al lavoro di
deformazione mentre Ei dDi e Hi dBi sono rispettivamente associati
a lavoro elettrico e magnetico.
Si ha:
±U = T dS + TI dSI + Ei dDi + Hi dBi
(2.1)
±U è una forma di¤erenziale esatta che possiamo considerare funzione di n variabili: U = U(x1 ¢ ¢ ¢ xn ) ;
allora:
@U
@U
@x1 ¢ ¢ ¢
@xn
(2.2)
@x1
@xn
Dal confronto delle due espressioni di dU 2.1 e 2.2, si deduce:
1.che sono state scelte come variabili indipendenti S, SI , Di , Bi
2.che risulta:
¯
¯
@U ¯
¯
T ´ @U
;
T
´
I
@S S;D;B
@SI ¯
dU =
S;D;B
Ei ´
¯
@U ¯
@Di ¯S;S;B
;
Hi ´
¯
@U ¯
@Bi ¯S;S;D
Si noti che se volessi T e non S come variabile indipendente dovrei
scegliere una espressione dell’energia contenente il termine SdT .
2 Si
noti che viene utilizzata la convenzione di sommare sugli indici ripetuti.
2.1 Termodinamica dei solidi
17
L’espressione cercata si ottiene sottraendo da U il termine ST.
La quantità F = U ¡ T S così ottenuta è detta Energia Libera di
Helmholtz.
Si ha:
dF = dU ¡ T dS ¡ SdT
dF = TI dSI + Ei dDi + Hi dBi ¡ SdT
che de…nisce
¯
@F ¯¯
S´
@T ¯S;D;B
Si deduce la seguente regola:
Se nella espressione di¤erenziale dU si ha il termine §YdX e vogliamo tenere Y come variabile indipendente, si deve fare riferimento
alla funzione U ¨YX il cui di¤erenziale conterrà il termine XdY
2) Sistema aperto indeformabile
Indichiamo con Q la carica elettrica e con N il numero di particelle
che costituiscono il sistema; si ha allora
dW = ¡P dVol + ¹dN + V dQ
con i contributi di lavoro elettrico V dQ e chimico ¹dN; si noti che
con ¹ si indica il potenziale chimico e con V il potenziale elettrico.
Il termine di lavoro meccanico è P dVol .
La carica Q può essere posta nella forma qzN essendo q la carica unitaria (senza segno), z il numero di cariche per portatore (con
segno) e N viene ad assumere il signi…cato di numero totale di portatori assunti per il momento di un unico tipo (ioni, elettroni: : :).
Allora si ha:
dW = ¡P dVol + ¹dN + V qzdN = ¡P dVol + (¹ + zqV ) dN
Alla quantità ¹ + zqV si dà il nome di potenziale elettrochimico
del portatore3 e si indica con ¹.
3 A rigore, nel caso in cui si abbiano i portatori di diverso tipo, ciascuno in numero
P
N i , con carica zi , la carica Q sarà data dalla espressione Q = q zi Ni e avremo per
il lavoro l’espressione dW = ¡P dVol + ¹i dNi
18
2. Argomenti introduttivi
Si noti che se i portatori sono elettroni si ha : ¹ = ¹ ¡ qV
Con la scelta del termine di lavoro che abbiamo fatto il di¤erenziale
dell’Energia Libera di Helmholtz risulta:
dF = ¡P dVol + ¹dN ¡ SdT
che de…nisce il potenziale elettrochimico come
¯
@F ¯¯
¹=
@N ¯Vol ;T
Si noti che ¹ ha le dimensioni di un’energia.
2.1.2 Condizioni di equilibrio
Consideriamo un sistema isotermo, isolato, di volume costante, composto da due sottosistemi (1 e 2) che si scambiano particelle.
dF = dF1 + dF2 = ¹1 dN1 + ¹2 dN2
Non può che essere poi: jdN1 j = ¡ jdN2 j = dN
Quindi,
@F
= ¹1 ¡ ¹2 = 0 ) ¹1 = ¹2
@N
All’equilibrio i due potenziali elettrochimici sono uguali.
In altri termini all’equilibrio è nullo il gradiente del potenziale
elettrochimico :
r¹
¹ = 0 = r (¹ + qzV ) = ¡qzE + r¹
Nel caso la situazione sia di quasi equilibrio il gradiente di ¹ sarà
non nullo e proporzionale ad una densità di corrente di portatori:
j / ¡qzE + r¹
j = ¾(E ¡
1
r¹)
qz
(2.3)
2.1 Termodinamica dei solidi
19
dove nella seconda delle 2.3 si è inserita la costante di proporzionalità ¾ detta conducibilità del mezzo e considerata per il momento
scalare4 .
L ’equazione 2.3 prende il nome di equazione del trasporto.
@¹
Scriviamo r¹ = @C
rC
essendo C la concentrazione delle particelle. Allora:
j = ¾(E ¡
Con la de…nizione:
qD ´
1 @¹
rC)
qz @C
¾ @¹
q @C
in cui D è il coe¢ciente di di¤usione della specie, si ottiene la seguente
forma dell’equazione del trasporto:
q
j = ¾E ¡ DrC
(2.4)
z
Si noti che nel caso di elettroni l’equazione del trasporto nella
forma 2.4 risulta (z = ¡1):
j = ¾E + qDrn
dove n è la concentrazione di elettroni, mentre per le lacune (z = 1)
si ha:
j = ¾E ¡ qDrp
e p è la concentrazione di lacune.
2.1.3 Espressioni per la conducibilità
In un mezzo che conduce per elettroni, lacune, ioni, la conducibilità
assume la forma:
X
¾ = nq¹n + pq¹p +
ci jzi j q¹i
i
4 In generale, se si devono prendere in esame materiali anisotropi, non si può prescindere dal considerare ¾ un tensore del secondo ordine; è il caso dei fenomeni magneto
elettrici descritti in un prossimo capitolo.
20
2. Argomenti introduttivi
dove le ¹² sono le mobilità del portatore e n e p sono le concentrazioni di elettroni e lacune ci la concentrazione dello ione i-esimo.
Per quanto riguarda un conduttore che ha come portatori solo
elettroni si ha:
¾ = nq¹n
e per la densità di corrente:
jn = nq¹n E + qDrn
2.1.4 Ulteriore espressione per ¹
Ricordiamo che:
dF = ¡P dVol + ¹dN ¡ SdT
Notiamo che per liquidi e solidi che possiamo considerare in prima
approssimazione non subire variazioni di volume conviene usare come
variabile indipendente la pressione P piuttosto che il volume Vol ; Si
considera allora la nuova funzione detta Energia Libera di Gibbs
ottenuta sommando a F il termine PV; Il di¤erenziale di G risulta:
dG = Vol dP + ¹dN ¡ SdT
che de…nisce il potenziale elettrochimico come:
¯
@G ¯¯
¹=
@N ¯T;P
2.1.5 Legge di Dalton
La legge dei gas perfetti è:
P Vol = nM NA KT = nM RT
dove: nM è il numero di moli ed NA il numero di Avogadro, R la
costante dei gas.
Esaminiamo il caso di una miscela di k gas con numero di moli
rispettivamente n1 , n2 ¢ ¢ ¢nk :
P Vol =
k
X
1
nM i RT ) P =
k
X
nM i
1
Vol
RT
2.1 Termodinamica dei solidi
21
Se si de…nisce
nM i
RT
Vol
pressione parziale del gas i-mo, si ha:
(2.5)
Pi =
P =
k
X
Pi
1
Ricavando il volume si ottiene:
Vol =
k
X
nM i
P
1
RT
che sostituita nella espressione della pressione parziale 2.5 fornisce:
nM i
nM i
RT = P
P
Pi = P
RT
nM i
nM i P
i
i
La quantità
nM i
xi = P
nM i
i
prende il nome di frazione molare. Una nuova espressione di Pi è
allora:
Pi = xi P:
2.1.6 Relazioni termodinamiche
In termodinamica vengono dimostrate le seguenti relazioni di Maxwell:
dU = T dS ¡ P dVol
dH = T dS + Vol dP = CP dT
(2.6)
dF = ¡SdT ¡ P dVol
dG = ¡SdT + Vol dP
Dalla seconda delle 2.6 si ricava
dQ = T dS = CP dT ¡ Vol dP
(2.7)
22
2. Argomenti introduttivi
2.1.7 Entropia ed energia libera molare
Dalla 2.7 si ricava
dS =
dQ
dT
Vol dP
= CP
¡
T
T
T
e dalla legge dei gas si ha:
nM R
Vol
=
;
T
P
in de…nitiva:
dS = CP
dT
dP
¡ nM R
T
P
Per una mole (le grandezze molari sono indicate con lettere minuscole):
ds = cP
dT
dP
¡R
T
P
Integrando, (si noti che non si può supporre che il calore speci…co
sia indipendente dalla temperatura):
Z
dT
s ¡ s0 = cP
¡ R ln P
T
Dalla seconda delle 2.6, integrando:
Z
h ¡ h0 = cP dT
Calcoliamo la funzione di Gibbs molare:
Z
Z
dT
g = h ¡ T s = cP dT ¡ T cP
+ RT ln P + h0 ¡ T s0
T
è:
Z
cP dT ¡ T
Z
dT
cP
= ¡T
T
Z R
cP dT
dT
T2
per cui:
g = RT
½
h0
s0
1
¡
¡
RT
R R
Z R
cP dT
dT + ln P
T2
¾
= RT f© + ln P g
2.1 Termodinamica dei solidi
23
La funzione G per una miscela contenente n1 ¢ ¢ ¢ nk moli di k
elementi sarà quindi:
G=
k
X
ni gi = RT
i
k
X
ni (©i + ln Pi )
i
Essendo poi
Pi = xi P ) ln Pi = ln xi P = ln xi + ln P
ne segue:
G = RT
k
X
(2.8)
ni (©i + ln xi + ln P )
i
Ricordando poi la de…nizione di potenziale elettrochimico che per
una miscela con k specie risulta per la specie i-esima:
¯
@G ¯¯
¹i =
@ni ¯T;P
dalla 2.8
¹i =
¯
k
¯
X
@
¯
RT
ni (©i + ln xi + ln P )¯
¯
@ni
i
(2.9)
T;P
= RT (©¤i + ln xi + ln P )
Si noti che nella 2.9 si è inserita ©¤i 6= ©i poiché nella derivazione
viene introdotta una costante aggiuntiva.
Confrontando la 2.9 e la 2.8, a meno di una costante non signi…cativa, si ha in condizioni di temperatura e pressione costanti:
G = RT
k
X
ni ¹i
i
Con la posizione
¹i 0 = RT (ªi + ln P )
possiamo riscrivere la 2.9:
(2.10)
24
2. Argomenti introduttivi
¹i = ¹i 0 + RT ln xi
(2.11)
Espressione analoga potrà essere usata in prima approssimazione
per soluzioni ideali sostituendo ad xi il valore della concentrazione
dell’iesimo soluto5 .
¹i = ¹i 0 + RT ln ci
(2.12)
Per i potenziali chimici si ha:
¹i = ¹i ¡ zqV = ¹i 0 + RT ln ci ¡ zqV = ¹i 0 + RT ln ci
dove si è posto ¹i 0 = ¹i 0 ¡ zqV:
Precisazioni sulle espressioni dei potenziali elettrochimici
Ricordiamo l’espressione del potenziale elettrochimico:
¹ = ¹0 + zqV
Il potenziale che appare nella formula è relativo al lavoro compiuto
per portare la carica di test dall’interno del volume ad esempio di una
soluzione elettrolitica …no al livello del vuoto e può essere suddiviso
nella somma del potenziale ª relativo al lavoro per superare il campo
creato da una separazione di cariche alla super…cie della carica di test
e al potenziale  dovuto a un eventuale strato di dipoli orientati alla
super…cie (…gura 1). Con questa notazione si ha:
¹ = ¹0 + zq [ª + Â]
Il potenziale V= ª + Â è detto potenziale “interno” o di Galvani
mentre il contributo ª è detto potenziale “esterno” o di Volta.
5 A rigore si dovrebbe fare uso delle attività ; per i nostri scopi è sempre su¢ciente
riferirsi alle concentrazioni.
2.1 Termodinamica dei solidi
25
Livello del Vuoto
χ
+ +
- -
+
-
+ +
- -
+ + + +
- - - -
Ψ
Dipoli
-
-
-
+
+
+
-
+
V
Superficie
+
-
+
+
-
+
Figura 1
L’espressione del potenziale elettrochimico a suo tempo determinata può così essere ulteriormente precisata:
¹i = ¹i 0 + RT ln ci = ¹i0 + qz (Â + ª) + RT ln ci
2.1.8 Equazione di Gibbs Duhem
Ricordiamo che
dG = ¡SdT + Vol dP +
X
¹i dnM i
i
dove si è considerato il fatto che possono essere presenti molte
specie e si è inserito il numero di moli piuttosto che quello delle
particelle. Nel caso di temperatura e pressione costante:
X
dG =
¹i dnM i
i
Calcoliamo il di¤erenziale di G dalla 2.10 che si deve riscrivere come:
k
P
G = ¹i nMi :
i
dG =
k
X
i
¹i dnMi +
k
X
i
nMi d¹
¹i
26
2. Argomenti introduttivi
Ma, all’equilibrio sappiamo essere dG =
P
i
k
X
¹i dnMi = 0 da cui:
(2.13)
nMi d¹
¹i = 0
i
2.1.9 Equazione dell’equilibrio di reazione
Le energie libere F e G giocano un ruolo importante nella individuazione degli stati di equilibrio per condizioni isoterme-isocore ed
isoterme-isobare rispettivamente.
In queste condizioni, a seguito di una trasformazione irreversibile
la funzione G [F] diminuisce (ossia è dG · 0 [dF · 0].). Il minimo
di G [F] individua la condizione di equilibrio chimico.
Sulla base di quanto detto, consideriamo la reazione generale:
X
X
º Ri Ri ,
º P i Pi
i
i
Per una trasformazione in…nitesima di ¡º Ri d» moli di reagenti
avremo la formazione di º P i d» moli di prodotti; Scriviamo allora la
X
dG =
¹i dnM i
i
dG =
X
i
¹P i º P i d» ¡
quindi, all’equilibrio:
X
X
i
¹Ri º Ri d» =
¹P i º P i =
X
X
i
(¹
¹P i º P i ¡ ¹Ri º Ri ) d»
¹Ri º Ri
(2.14)
2.1.10 Equazione di Nernst
L’equazione dell’equilibrio di reazione può essere utilmente applicata
alla reazione di ossido-riduzione:
O + ne¡ , R
nella quale O ed R sono generiche specie ossidanti e riducenti
mentre e¡ rappresenta l’elettrone.
¹O + n¹
¹e = ¹R
2.1 Termodinamica dei solidi
27
È poi, utilizzando la 2.12,:
¹O = ¹0O + KT ln CO
¹R = ¹0R + KT ln CR
Dalle equazioni di cui sopra:
¹e =
KT
CR
ln
+ C1
n
CO
e da questa:
¡qV =
KT
CR
ln
+ C2
n
CO
(C1 e C2 sono costanti)
V = V0 +
KT
CO
RT
CO
ln
= V0 +
ln
qn
CR
nF
CR
(2.15)
2.1.11 Legge della azione di massa
Data la reazione:
X
º ri Ri =
X
º pi Pi
dalla legge dell’equilibrio di reazione si ha:
X
X
¡
¡
º ri ¹ri =
º pi ¹pi
ma sappiamo che
¡
¹±i =
RT (©±i + ln P + ln x±i )
quindi:
X
X
º ri RT (©ri + ln P + ln xri ) =
º pi RT (©pi + ln P + ln xpi )
X
(º pi ln xpi ¡ º ri ln xri ) + ln P
Q
ln Q
º
X
(º pi ¡ º ri ) =
xpipi P (º ¡º )
pi
ri
P
= ln K
xºriri
X
º ri ©ri ¡ º pi ©pi
28
2. Argomenti introduttivi
Q º pi
P
x
(º pi ¡º ri )
Q pi
=K
º ri P
xri
(2.16)
Osservazione: se si fossero scritti i potenziali elettrochimici come
¹±i = ¹±i 0 + RT ln c±i
avremmo ottenuto:
X
º ri (¹
¹ri 0 + RT ln cri ) =
X
X
(º pi ln cpi ¡ º ri ln cri ) =
Q
ln Q
º
cpipi
cºriri
¢
¡
º pi ¹pi 0 + RT ln cpi
X
º ri ¹ri 0 ¡ º pi ¹pi 0
Q º pi
cpi
= ln K ) Q º ri = K
cri
(2.17)
Si osservi che la 2.17 applicata alla reazione di generazione di
coppie elettrone-lacuna,
0=n+p
fornisce la nota legge:
np = Cte = n2i
2.2 Elementi di statistica
Siamo interessati a calcolare la probabilità che una particella abbia
energia E alla temperatura T.
Consideriamo l’evento di urto fra particelle in cui si ha la transizione (…gura 2)
¡
¢
(E1 ; E2 ) ! E10 ; E20
2.2 Elementi di statistica
29
E'1
E1
E2
E'2
Figura 2
Supponiamo valga la conservazione dell’energia:
¡
¢
(E1 + E2 ) = E10 + E20
Allora la probabilità di transizione p è:
p = Ca(E1 )a(E2 )
e la probabilità della transizione inversa (E10 ; E20 ) ! (E1 ; E2 ) sarà:
p0 = Ca(E10 )a(E20 )
All’equilibrio:
p0 = p ) a(E10 )a(E20 ) = a(E1 )a(E2 )
a(E1 ¡ x)a(E2 + x) = a(E1 )a(E2 )
avendo supposto
E10 = E1 ¡ x; E20 = E2 + x
per cui la funzione a non può che essere del tipo esponenziale e
negativo in quanto a(E) deve decrescere con E:
a(E) = A exp (¡¯E)
30
2. Argomenti introduttivi
1
Si può dimostrare che ¯ = KT
essendo K la costante di Boltzmann.
e così la probabilità cercata è
µ
¶
E
a(E) = A exp ¡
KT
termine detto fattore di Boltzmann6 .
Osserviamo che
µ
¶
Ei
Ni
= A exp ¡
a(Ei ) =
N
KT
per cui è semplice ricavare il rapporto tra numeri di occupazione
di due livelli:
µ
¶
Ni
Ei ¡ Ej
= exp ¡
(2.18)
Nj
KT
2.2.1 Le particelle sono elettroni
Vale allora il principio di esclusione di Pauli: al più un elettrone può
occupare un livello. Consideriamo gli eventi di urto elastico tra un
elettrone ed il reticolo (…gura 3).
Si ha ancora:
(E1 + E2 ) = (E10 + E20 )
ma per le probabilità di transizione diretta ed inversa si ha ora:
p = Ca(E1 )b(E2 ) (1 ¡ a(E10 ))
p0 = Ca(E10 )b(E20 ) (1 ¡ a(E1 ))
All’equilibrio:
¡
¢
a(E1 )b(E2 ) 1 ¡ a(E10 ) = a(E10 )b(E20 ) (1 ¡ a(E1 ))
e poiché la b sarà data dal fattore di Boltzmann:
µ
¶
E
b = B exp ¡
KT
6 Si ricordi che la statistica di Boltzmann vale per molecole, ioni, vibrazioni reticolari,
atomi ecc.
2.2 Elementi di statistica
E1
31
E2
E'2
E'1
Figura 3
possiamo scrivere anche in virtù della conservazione dell’energia:
·
¸
1
¡1
a(E10 )
·
¸
µ
¶
1
E2 ¡ E20
=
¡ 1 exp
a(E1 )
KT
·
¸
µ
¶
1
E1 ¡ E10
=
¡ 1 exp ¡
a(E1 )
KT
che dovendo valere 8E1 ; E10 impone:
·
¸
µ
¶
1
E
¡ 1 = A exp
a(E)
KT
ed assumendo per A il valore
µ
¶
EF
A = exp ¡
:
KT
32
2. Argomenti introduttivi
a(E) =
exp
³
1
E¡EF
KT
´
+1
detto fattore di Fermi. Il parametro EF prende il nome di livello
di Fermi.
2.2.2 Dimostrazione: EF ´ ¹e
In condizioni isoterme:
dF = ¹e dn = dU ¡ T dS
e ricordando dalla meccanica statistica che S = K ln w dove w è il
numero dei modi con cui si possono distribuire gli elettroni sui livelli
energetici,
dF = ¹e dn = dU ¡ KT d (ln w) :
Dividiamo l’asse delle energie in intervalli (di uguale ampiezza)
contenenti Ni livelli in cui disponiamo ni elettroni.
ni elettroni possono riempire Ni livelli in wi modi essendo
wi =
Ni !
:
ni ! (Ni ¡ ni )!
Aggiungiamo dn elettroni che indurranno una variazione di ni pari
a dni .
È inoltre:
Y
X
w=
wi =) ln w =
ln wi
d
La derivata
X
ln wi =
d ln wi
dni
d
P
X d ln wi
ln wi
dni =
dni
dni
dni
può essere calcolata come7
7
ln
d ln wi
=
dni
Ni !
(ni +1)!(Ni ¡ni ¡1)!
¡ ln
1
= ln
(Ni ¡ ni )!
(ni + 1)
Ni !
ni !(Ni ¡ni )!
=
2.3 La regola delle fasi
33
Ni ¡ ni
Ni
d ln wi
= ln
¼ ln
dni
ni + 1
ni
Si può osservare che il rapporto
quindi:
d ln wi =
X
i
è dato dal fattore di Fermi e
1
ni
³
´
=
¡EF
Ni
exp EiKT
+1
In de…nitiva:
¹e dn =
ni
Ni
Ei dni ¡
X
i
µ
Ei ¡ EF
KT
¶
dni
(Ei ¡ EF ) dni = EF
X
dni = EF dn
i
2.3 La regola delle fasi
Consideriamo un sistema isotermo ed isobaro contenente P fasi distinte costituite ciascuna da C componenti; la funzione G risulta:
G=
c
X
1
¹1k n1k + ¢ ¢ ¢
c
X
¹pk npk =
p X
c
X
1
1
¹jk njk
1
ed inoltre:
dG = ¡S 1 dT + Vol1 dP +
p
+ ¢ ¢ ¢ ¡ S dT
X
k
p
+ Vol dP
= ¡SdT + Vol dP +
X
k
¹1k nM k + ¢ ¢ ¢
+
X
k
1
¹k nM k
¹pk nM k + ¢ ¢ ¢
+ ¢¢¢ +
X
¹pk nM k
k
È evidente che il numero delle variabili njk è CP. È poi chiaro che
il numero totale delle moli di ciascun componente è costante:
34
2. Argomenti introduttivi
Cost1 =
p
X
nj1
1
CostC
=
..
.
p
X
njC
1
Per ottenere la condizione di equilibrio chimico si deve minimizzare
l’espressione di dG con i vincoli espressi dalle condizioni di cui sopra.
Si ottengono le relazioni
¹11 = ¹21 = ¢ ¢ ¢ ¹p1
..
.
1
¹c = ¹2c = ¢ ¢ ¢ ¹pc
dette equazioni dell’equilibrio di fase (sono in numero C(P-1))
Passando poi alle frazioni molari potremo scrivere per ogni fase
c
P
1 = xi quindi altre P equazioni.
1
Quindi, considerando che il sistema richiede, per essere determinato CP+2 condizioni (includendo tra le variabili anche P e T), e che
abbiamo scritto P+C(P-1) relazioni, il numero F di gradi di libertà
risulterà dalla seguente relazione (detta regola delle fasi):
F = CP + 2 ¡ P ¡ C(P ¡ 1) = C ¡ P + 2
Quindi in condizioni isoterme isobare si ha:
F =C ¡P
da cui si conclude che a¢nché il sistema sia completamente determinato si dovranno avere lo stesso numero di componenti e di
fasi.
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3
Sensori di temperatura I
3.1 Misure di temperatura.
Tutti i sensori di temperatura, a prescindere dal meccanismo di trasduzione, presentano alcune caratteristiche comuni che è di interesse studiare perchè in‡uiscono sulle prestazioni del sensore stesso in
termini sia di precisione sia di velocità di risposta. Queste caratteristiche comuni sono legate al fatto che un sensore di temperatura
consta sempre di un elemento sensibile che, per e¤ettuare la misura,
deve essere messo in contatto con il corpo (che indicheremo con X)
di cui si vuole valutare la temperatura (che indicheremo con TX ). In
teoria, per non introdurre errori, dovrebbero essere vere le seguenti
condizioni:
² Il sensore raggiunge immediatamente la stessa temperatura del
corpo in misura;
² La temperatura del corpo non viene modi…cata dal contatto
con il sensore.
In realtà queste condizioni non sono mai soddisfatte in modo
perfetto per le seguenti cause:
² Il sensore ha una capacità termica CS non nulla. Questo comporta che il sensore, per raggiungere l’equilibrio termico con X
36
3. Sensori di temperatura I
deve assorbire o cedere calore ad X, tendendo a modi…care la
temperatura TX .
(T )
² La resistenza termica tra sensore e corpo (RXS ) non è zero; questo implica che l’equilibrio termico tra il sensore e X
necessità di un tempo non nullo per instaurarsi.
(T )
² La resistenza termica tra il sensore e l’ambiente (RSA ) non è
in…nita; ciò ha come conseguenza che attraverso il sensore passa
calore dall’ambiente al corpo X, e questo ne modi…ca ancora
la temperatura. Inoltre questo ‡usso di calore passa attraverso
(T )
la RXS causando un salto di temperatura tra il sensore ed X,
introducendo quindi un errore nella misura.
² Il funzionamento del sensore stesso può implicare uno sviluppo
(T )
(T )
di calore che, essendo generalmente RXS << RSA , si riverserà
in X producendo una di¤erenza di temperatura tra il sensore
e il corpo stesso.
In …gura 1(a) è mostrato uno schema che tiene conto degli elementi
che in‡uenzano una misura di temperatura.
Figura 1
3.1 Misure di temperatura.
37
Il sensore generico di temperatura è indicato con S, la sua capacità
termica è Cs , mentre la capacità termica di X è Cx . Poichè il corpo
non è in generale isolato, è mostrato un sistema X 0 che rappresenta
il possibile scambio di calore del corpo X con sistemi …sici in grado
di produrre o assorbire calore. La potenza di tale scambio di calore è
indicata con Px . Per esempio, se lo schema rappresenta una misura
clinica di temperatura corporea, X 0 schematizza i sistemi antagonisti
che tendono a mantenere costante la temperatura del corpo, ovvero,
da un lato le reazioni metaboliche e dall’altro la traspirazione e il
contatto con l’aria.
Il sensore S fornisce una grandezza elettrica, solitamente una tensione, corrente o resistenza che è funzione della temperatura TS del
sensore stesso. Da qui nasce il requisito di uguaglianza il più possibile fedele tra Ts e Tx . La potenza dell’eventuale produzione di calore
nel sensore è indicata con Ps .
Gli scambi di calore del sensore con l’ambiente sono rappresentati
da una resistenza termica verso un oggetto (l’ambiente) a temperatura TA .
Un equivalente elettrico dello schema di …gura 1(a) è mostrato
in …gura 1(b). L’equivalenza associa a ciascon corpo un nodo della
rete avente tensione pari alla temperatura del corpo stesso; i ‡ussi
di calore sono schematizzati con generatori di corrente. Le tensioni
dei nodi (temperature ) sono misurate rispetto ad un nodo ausiliario
(gnd); a ciascun nodo è associata una capacità verso gnd di valore
pari alla capacità termica del corpo. I ‡ussi di calore Px e Ps sono
schematizzati con generatori ideali di corrente.
Per comprendere il ruolo dei vari elementi dello schema di …gura
1 conviene far riferimento ad alcuni schemi sempli…cati.
Caso 1: Per mettere in evidenza il ruolo delle capacità termiche
si possono considerare isolati sia il sensore che il corpo X, giungendo
allo schema di …gura 2(a).
38
3. Sensori di temperatura I
Figura 2
La chiusura del tasto T simboleggia l’istante in cui X e S vengono
messi a contatto per e¤ettuare la misura. La risoluzione del circuito
dà come risultato, per la temperatura Ts :
µ
¶
¡t
Ts = Tf + (Ts (0) ¡ Tf ) exp
¿
Cs Ts (0) + Tx (0)Cx
con : Tf =
;
Cx + Cs
1
1 ¡1
(T )
¿ = RXS Cserie ; Cserie = (
+
)
Cs Cx
(3.1)
(3.2)
(3.3)
dove t è il tempo trascorso a partire dal contatto e Ts (0) e Tx (0)
sono rispettivamente la temperatura del sensore e dell’oggetto prima del contatto. Si osservi che a regime la temperatura del sensore
e quella del corpo X sono uguali e pari a Tf la quale, però, è diversa dalla quantità che volevamo misurare, ovvero Tx (0). L’errore
compiuto, pari a Tx (0) ¡ Tf , risulta tanto più piccolo quanto più
piccola è la capacità termica del sensore. Piccole capacità termiche
si ottengono miniaturizzando il sensore.
3.1 Misure di temperatura.
39
Caso 2. Supponiamo che la temperatura Tx sia imposta da meccanismi esterni (schematizzati da Px ) e che non possa essere perturbata
dal sensore. In questo caso la tensione nel nodo X è nota e ciò può essere rappresentato, come in …gura 2(b) mediante l ’introduzione di un
generatore di tensione. Supponiamo per ora che il sensore sia isolato
e che non si produca calore in esso. Dopo il contatto la temperatura
Ts si evolve sempre in modo esponenziale tendendo però alla tempe(T )
ratura Tx ()errore nullo a regime), con costante di tempo RXS Cs .
Pertanto la risposta del sensore (ovvero il tempo da attendere prima di avere una misura attendibile) è tanto più veloce quanto più
(T )
basse sono Cs e RXS . Inoltre il sistema si comporta come un …ltro
(T )
passa basso di banda passante fc =(2¼RXS Cs )¡1 , nei confronti della
temperatura Tx , pertanto risulterà impossibile riprodurre variazioni
di Tx aventi componenti frequenziali oltre fc .
Caso 3. Sempre con Tx nota, supponiamo sia presente il fenomeno
dell’autoriscaldamento, ovvero all’interno del sensore sia presente un
fenomeno di generazione di calore con potenza Ps . Lo schema in
questo caso diventa quello di …gura 2(c). Il risultato è che dopo il
contatto si ha ancora un andamento esponenziale con stessa costante
di tempo del caso 2, ma questa volta si tende ad una temperatura
(T )
Tf = Tx + Ps RXS . Pertanto si commette un errore proprio pari a
(T )
Ps RXS . Questo errore è minimizzato, a parità di Ps , minimizzando
(T )
RXS .
Caso 4. (Figura 2(d)). Sempre con Tx nota, Ps è nulla ma il senso(T )
re è in contatto con l’ambiente attraverso la resistenza termica RSA .
Le cause di questo collegamento sono nella pratica riconducibili al
fatto che il segnale viene prelevato dal sensore attraverso conduttori
elettrici che sono anche ottimi conduttori di calore. La temperatura
…nale è in questo caso:
"
à (T ) !#¡1
RSA
Tf = TX + (TA ¡ TX ) 1 +
(T )
RXS
Si osservi che l’errore può essere minimizzato facendo più bassa
(T )
(t)
possibile RXS , oppure cercando di rendere alta RSA .
Suggerimenti pratici.
I casi esposti hanno permesso di evidenziare che sarebbe opportuno
(T )
(T )
avere piccoli valori di Cs , RXS e alti valori di RSA . Per quanto ri-
40
3. Sensori di temperatura I
guarda Cs , come già accennato, si opera miniaturizzando il sensore,
pertanto il problema si riduce nella scelta di un sensore opportuno.
Tra i sensori che si prestano meglio alla miniaturizzazione vi sono
(T )
le termocoppie. La RXS dipende dal contatto termico tra il sensore e il corpo X. Nel caso X sia un gas o un liquido, ciò si traduce
nello scegliere la forma del sensore in modo da massimizzare l’area
esposta al ‡uido, a parità di massa (ovvero di Cs ). Le possibilità di
intervento sono maggiori nel caso X sia un solido. In questo caso si
possono ottenere ottimi contatti termici mediante interposizione dei
cosiddetti “grassi termici” nella super…cie di contatto tra il sensore
ed X. Anche qui, l’area del contatto va massimizzata. In…ne, per
(T )
aumentare la RSA , si può ridurre il più possibile il diametro ed aumentare la lunghezza dei …li di collegamento tra il sensore e i circuiti
di trattamento del segnale. Un ulteriore vantaggio si può avere utilizzando conduttori di un materiale a minore conducibilità termica
del rame (es. acciaio).
3.2 Sensori resistivi di temperatura.
I sensori resistivi di temperatura sono costituiti da un resistore la
cui resistenza è funzione della temperatura con una legge il più possiblile riproducibile e stabile nel tempo. Si de…nisce coe¢ciente di
temperatura del resistore (TCR) la quantità:
T CR =
1 dR
R dT
(3.4)
Il TCR dipende generalmente dalla temperatura, è una caratteristica del materiale utilizzato per realizzare il sensore e non dipende
dalla geometria (ovvero dimensioni) del resistore. Infatti, indicando
con ½ e ¾; rispettivamente la resistività e la conducibilità del del
materiale si ha:
T CR =
1 d½
1 d¾
=¡
½ dT
¾ dT
(3.5)
Se per un resistore sono noti i valori assunti ad una temperatura
T0 dal T CR (indicato con ®) e dalla resistenza (indicata con R(T0 ))
si può scrivere la seguente approssimazione lineare della legge (generalmente non lineare) di dipendenza tra resistenza e temperatura:
3.2 Sensori resistivi di temperatura.
41
(3.6)
R = R(T0 ) [1 + ® (T ¡ T0 )]
I sensori resistivi temperatura più comuni sono:
² Sensori a …lo o …lm metallico (RTD).
² Termistori.
Sensori a conduttore metallico
Questi sensori sono anche indicati con il termine RTD (resistive temperature detectors). Sono costituiti da un …lo o da un …lm metallico
la cui resistenza, come è noto, aumenta in modo quasi lineare con la
temperatura. In pratica il metallo che viene quasi unicamente utilizzato è il platino (TCR = 3:85 £ 10¡3 ± C¡1 ). Il motivo risiede
nella stabilità chimica del platino che consente di realizzare sensori
che mantengono inalterata nel tempo la curva di risposta resistenzatemperatura. Come eccezioni, per temperature elevate (oltre 600 ± C),
può essere utilizzato il tungsteno, oppure, qualora siano necessarie
sensibilità maggiori, ovvero maggiori coe¢cienti di temperatura, possono essere impiegati anche il nickel (TCR = 6:7£10¡3 ± C¡1 ) oppure
leghe metalliche tra cui il ferro-nickel (TCR = 5:2 £ 10¡3 ± C¡1 )
La tabella seguente mostra l’andamento della resistenza in funzione della temperatura per un RTD al platino: il sensore in questione
è caratterizzato da una resistenza a 0 ± C di 100 - (sensore PT100);
questo parametro varia da modello a modello.
T
(± C)
-200
-150
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
R
(-)
18.56
39.73
60.27
64.31
68.33
72.34
76.33
80.31
84.28
T
(± C)
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
R
(-)
88.22
92.16
96.09
100.00
103.90
107.79
111.67
115.54
119.40
T
(± C)
60
70
80
90
100
150
200
250
300
R
(-)
123.24
127.07
130.89
134.70
138.50
157.32
175.85
194.09
212.05
T
(± C)
350
400
450
500
550
600
650
700
750
R
(-)
229.72
247.11
264.20
281.01
297.53
313.77
329.7
345.5
360.8
Si può veri…care che la legge è in buona approssimazione lineare e pertanto si può utilizzare l’espressione (3.6) per interpolarla. Se occorrono precisioni superiori si può adottare un’espressione
polinomiale:
£
¤
R = R0 1 + ®¢T + ®2 (¢T )2 + ¢ ¢ ¢ + ®n (¢T )n
(3.7)
42
3. Sensori di temperatura I
dove R0 indica la resistenza alla temperatura di riferimento (solitamente 0 ± C) e ¢T è la variazione di temperatura rispetto a
quest’ultima.
Oltre che per forma, dimensioni e resistenza a 0 ± C, i sensori al
platino si di¤erenziano per la precisione. Ovviamente questo parametro in‡uisce pesantemente sul costo del sensore. La precisione viene
espressa tipicamente come tolleranza sul valore della resistenza a 0
± C. Per esempio, una tolleranza del 0.25 % si traduce in un errore di
temperatura a 0 ± C di §1 ± C.
Termistori
I termine termistor viene da temperature e resistor. I termistori sono resistori ad ossidi metallici, la cui resistenza varia fortemente con
la temperatura. Generalmente i termistori vengono prodotti sinterizzando miscele di polveri di ossidi metallici per ottenere sensori
della forma opportuna per le varie applicazioni. Due elettrodi metallici vengono introdotti nelle polveri prima della sinterizzazione:
alla …ne del processo essi costituiranno i terminali del resistore. Gli
ossidi usati per la fabbricazione dei termistori si comportano da semiconduttori. Opportune sostanze droganti consentono di variare la
resistività dei dispositivi. Un processo alternativo di fabbricazione
prevede l’uso di inchiostri costituiti dalle polveri degli ossidi mescolate in una matrice ‡uida. L’inchiostro viene utilizzato per deporre
resistori a …lm spesso su substrati isolanti quali allumina o ossido di
silicio.
I termistori possono essere divisi in due grandi categorie:
² Termistori NTC (a TCR negativo).
² Termistori PTC (a TCR positivo, come i metalli).
I termistori utilizzati come sensori di temperatura sono gli NTC; i
PTC, invece, vengono impiegati sostanzialmente in circuiti che sfruttano il fenomeno dell’auto-riscaldamento per attuare limitatori di
corrente o termostati.
I termistori NTC hanno un comportamento fortemente non lineare. La loro resistenza varia in funzione della temperatura con una
legge che può essere approssimata dalla seguente formula empirica
(legge del termistore):
3.2 Sensori resistivi di temperatura.
· µ
¶¸
1
1
R = R(T0 ) exp B
¡
T
T0
43
(3.8)
dove T è la temperatura in kelvin T0 è una temperatura di riferimento (in kelvin) e R(T0 ) è il valore della resistenza alla temperatura T0 : Il parametro B si indica con temperatura caratteristica
del termistore. Valori tipici di B sono di alcune migliaia di kelvin.
Dall’espressione 3.8 si può ricavare il TCR del termistore che risulta
fortemente dipendente dalla temperatura.
® = T CR = ¡
B
T2
(3.9)
In pratica, nell’intorno della temperatura ambiente il TCR di un
termistore è dell’ordine di 4 £ 10¡2 . La sensibilità dei termistori è
pertanto di circa un ordine di grandezza superiore a quella degli
RTD.
L’espressione (3.8) consente precisioni che sono su¢cienti in molte
applicazioni. Una fonte di errore è data dal fatto che il parametro
B viene considerato costante mentre in realtà esso stesso dipende
dalla temperatura. Quando si usa la formula per ampi intervalli di
temperatura ciò può condurre ad errori non trascurabili. Una formula
empirica più accurata ma che presenta lo svantaggio di richiedere un
parametro libero in più è la formula empirica di Steinhart and Hart,
1
= a + b ln(R) + c ln3 (R)
T
(3.10)
nella quale la temperatura è espressa in funzione della resistenza.
Un esempio di andamento della resistenza per tre termistori di¤erenti
è mostrato nella …gura 3.
44
3. Sensori di temperatura I
105
104
B = 4000 K
B = 5000 K
B = 3000 K
103
102
101
100
10-1
-50
0
50
100
150
200
Figura 3: Caratteristiche di alcuni termistori
Circuiti utilizzanti sensori resistivi.
I problemi relativi all’interfacciamento di un sensore resistivo sono
quelli tipici di una misura di resistenza. Lo scopo viene raggiunto polarizzando il sensore con una corrente costante e leggendo la
tensione ai suoi capi. In più, rispetto ad una misura classica di resistenza, vi è la necessità di e¤ettuare una traslazione per rendere il
segnale proporzionale alla temperatura, nella scala prescelta. Chiariamo questo ultimo asserto con un esempio. Utilizzando un sensore
RTD polarizzato con una corrente I0 si ottiene in prima approssimazione una tensione di uscita che secondo l’equazione (3.7) risulta:
VU = I0 R0 + ®I0 R0 T , dove T è la temperatura in Celsius e R0 è
la resistenza a 0 ± C. Per ottenere un segnale che sia e¤ettivamente
proporzionale alla temperatura in Celsius e che quindi si annulli per
T = 0 ± C occorre traslare il segnale di un valore pari a ¡I0 R0 . Ovviamente il valore di questa traslazione varierà a seconda della scala
di temperatura prescelta.
Un ulteriore problema che può insorgere è legato alla resistenza dei
cavi di collegamento tra il sensore e lo strumento di misura. In uno
schema di misura a 2 …li, mostrato in …gura 4(a), si ha che gli stessi
conduttori usati per portare la corrente di polarizzazione servono
anche per la misura di tensione. Pertanto la resistenza misurata sarà
pari a: R = RT + Rc1 + Rc2 , dove RT è la resistenza del sensore ed
Rc1 , Rc2 sono le resistenze dei conduttori di collegamento.
3.2 Sensori resistivi di temperatura.
45
Ciò comporta un errore che può essere considerevole: molto spesso
per minimizzare gli scambi di temperatura tra il sensore e l’ambiente
i conduttori devono essere mantenuti più sottili possibile e ciò aumenta Rc1 , Rc2 : Si consideri che per un resistore al platino di tipo
PT100 una resistenza totale dei collegamenti pari a Rc1 + Rc2 = 0:4
- comporta un errore di 1 ± C. La resistenza dei collegamenti può
essere compensata qualora sia nota. Tuttavia in molti casi pratici
ciò è impossibile. Per esempio, se il sensore è collegato all’interfaccia
mediante un connettore, vi sarà una resistenza serie introdotta dai
contatti: tale resistenza è imprevedibile e dipenderà dallo stato di
ossidazione e usura dei contatti.
Figura 4: Schemi di misura a 2 …li (a) e a 4 …li (b).
Lo schema di misura a 4 …li, mostrato in …gura 4(b), risolve tale
problema in quanto la corrente di polarizzazione viene fornita mediante due collegamenti amperometrici (A1, A2) distinti da quelli
voltmetrici attraverso i quali si preleva la tensione ai capi del solo
sensore. Usando un voltmetro ad alta impedenza (quale è un qualsiasi ampli…catore da strumentazione) si può rendere trascurabile la
caduta sulla resistenza (Rc3 +Rc4 ) dei conduttori voltmetrici. Ovviamente lo schema a 4 …li comporta l’uso di un cavo di collegamento
più complesso e alcune complicazioni circuitali nel sistema di misura.
La …gura 5(a) mostra un circuito utilizzabile per interfacciare un
sensore resistivo mediante uno schema a 2 …li. Mediante il seguente
dimensionamento delle resistenze:
RT (T0 )
R3
=
R2
R1
si ottengono le seguenti condizioni:
46
3. Sensori di temperatura I
Vu (T0 ) = 0;
·
dVu
dT
¸
T =T0
= ¡®I0 R(T0 )
(3.11)
VR R2
è la corrente nel sensore. In questo modo
dove I0 = R1 (R
2 +R3 )
è possibile annullare la Vu per una qualsiasi temperatura T0 e, indipendentemente, …ssare la corrente nel sensore. Se T0 = 0 ± C, Vu
risulta proporzionale alla temperatura in gradi Celsius. La tensione
VR deve avere requisiti di stabilità.
Figura 5: Circuiti di misura della temperatura utilizzanti sensori
resistivi.
Il circuito della …gura 5(b) mostra invece un sistema di misura a
quattro …li: La corrente nel sensore risulta: I0 = VRR1 , AD è un ampli…catore di¤erenziale ad alto CMRR e alta impedenza di ingresso. Si
osservi che in questo schema è necessario inserire un sommatore per
operare la traslazione che consenta di annullare la tensione Vu per
una determinata temperatura T0 .
In entrambi gli schemi la tensione di uscita è proporzionale alla
di¤erenza R(T ) ¡ R(T0 ). Ovviamente se tale di¤erenza non dipende
linearmente dalla temperatura anche la relazione tra la tensione di
uscita e la temperatura del sensore non sarà lineare. Questo problema
è particolarmente sentito qualora si utilizzi un termistore.
3.2 Sensori resistivi di temperatura.
47
Problema dell’autoriscaldamento in sensori resistivi.
I sensori resistivi sono soggetti ad autoriscaldamento in quanto devono essere alimentati da una corrente I0 per consentire la misura della
resistenza. Facendo riferimento alla notazione del paragrafo “Misure
di temperatura” si ha:Ps = I02 RT (T ). Per ridurre il fenomeno dell’autoriscaldamento conviene utilizzare basse correnti. Tuttavia ridurre
la corrente signi…ca ridurre la sensibilità del sistema, come mostrato
dall’Eq. (3.11). In altri termini, riducendo la corrente le variazioni di tensione prodotte da variazioni di temperatura verrebbero a
confondersi con quelle indotte dalle derive degli o¤set e dal rumore
dovuti al circuito di misura. Una alternativa che consente di utilizzare correnti più grandi è quella di polarizzare il sensore con una
corrente impulsata di frequenza superiore alla frequenza di taglio
(T )
termica (2¼RXS Cs )¡1 ; come mostrato in …gura 6. In questo caso si
campiona il segnale in corrispondenza dell’elevato valore di corrente
corrispondente agli istanti tc ; La potenza risulta: Ps = I02 RT (T ) ttpi .
Figura 6: Pilotaggio di sensori resistivi con una corrente impulsata.
Tale valore può essere ridotto a piacere facendo piccolo ti rispetto
al periodo tp . Lo svantaggio è una maggior complicazione circuitale.
Riprendendo il caso di polarizzazione in corrente continua, si ha
che la temperatura del sensore raggiunge il valore:
(T )
T = Tx + Ps RXS
Pertanto:
con: Ps = I02 RT (T )
(3.12)
(T )
(3.13)
T = Tx + I02 RT (T )RXS
La non linearità della funzione RT (T ) può rendere di¢cile la risoluzione dell ’equazione (3.13). Si può fare l’ipotesi che la variazione di
48
3. Sensori di temperatura I
temperatura rispetto a Tx sia piccola e quindi linearizzare la RT (T )
attorno a Tx e poi veri…care l’ipotesi stessa a posteriori. Un metodo
gra…co che consente di risolvere il problema anche in caso di ampie
variazioni Ts ¡ Tx è quello di utilizzare il gra…co bi-logaritmico della caratteristica I-V, come mostrato in …gura 7. In esso le curve a
resistenza costante ( VI = R) e a potenza costante (V I = Ps ) risultano rette con pendenza rispettivamente +1 e -1. Nota la resistenza
(T )
termica RXS , per costruire il gra…co si …ssa un valore alla potenza
Ps ; e attraverso la prima delle eq. (3.12) si calcola la temperatura
T la quale viene inserita nella RT (T ) per calcolare la resistenza. In
questo modo, dall’incrocio delle rette corrispondenti ai dati valori di
potenza e di resistenza si determina un punto della caratteristica.
101
10
k
Ω
W
0m
10
W
m
10
W
1m
R(t)=500 K/W
R(t)=1000 K/W
1m
10
Ω
10
0Ω
1k
W
m
0.1
10-1
100µ
Ω
100
10m
100m
Figura 7: Curve I-V di due termistori in gra…co bilogaritmico.
Procedendo per punti si ricava l’intero gra…co I-V. Al variare della
(T )
resistenza termica RXS si ha una famiglia di gra…ci che coincidono
nel primo tratto, dove l’autoriscaldamento è trascurabile. In …gura sono mostrati due gra…ci relativi a due identici termistori NTC
caratterizati da diverse resistenze termiche verso il corpo in misura.
Il fenomeno dell’autoriscaldamento può essere sfruttato per la realizzazione di misuratori di velocità per ‡uidi. Infatti è noto che la resistenza termica di un ‡uido verso un corpo immerso in esso immerso
varia fortemente con la velocità relativa tra il corpo stesso e il ‡uido.
Una formula che fornisce con buona approssimazione la relazione tra
3.3 Sensori di temperatura a giunzione p-n.
49
(T )
la velocità v del ‡uido e la resistenza termica RXS (v) è la legge di
King:
(T )
(T )
RXS (v) = RXS (0)
1
p
[1 + ¯ v]
(3.14)
(T )
dove RXS (0) è la resistenza termica per v = 0 e ¯ un coe¢ciente
che dipende dalle caratteristiche del ‡uido e dalla geometria del sensore. Per realizzare il misuratore di velocità si polarizza il sensore con
una corrente di entità tale indurre una forte variazione tra la temperatura del sensore,T , e quella del ‡uido, Tx . Al variare della velocità
(T )
del ‡uido varia la RXS e quindi anche la temperatura del sensore.
La variazione di temperatura indurrà una variazione di resistenza
RT . Quindi, lavorando a corrente costante, si avrà sul sensore una
variazione di tensione (rispetto al valore per velocità nulla) che è funzione della velocità del ‡uido. Una particolare applicazione di questo
principio si ha nell’anemometro a …lo caldo nel quale il sensore è
costituito da un RTD realizzato sospendendo un …lo conduttore nel
‡usso gassoso.
3.3 Sensori di temperatura a giunzione p-n.
Polarizzando a corrente costante I0 una giunzione p-n si ottiene la
seguente tensione:
µ ¶
I0
V = VT ln
(3.15)
Is
dove: VT = kT
q e Is è la corrente di saturazione della giunzione. La
Is può essere scritta come:
¶
µ
¡Eg0
°
Is = ZT exp
qVT
dove e Z è una costante, Eg0 è l’energia del gap, mentre ° è un
esponente di valore compreso tra 3 e 4. Sostituendo nella (3.15) si
ottiene:
µ
¶
ZT °
V = Vg0 ¡ VT ln
(3.16)
I0
dove Vg0 =
Eg0
q :
50
3. Sensori di temperatura I
Si può osservare che: (a) la tensione diminuisce all’aumentare della
temperatura (b) la dipendenza è in generale non lineare. Tuttavia si
possono trovare in commercio diodi nei quali la dipendenza tensionetemperatura può essere considerata lineare in un ampio intervallo di
temperature. Nella …gura 8 è riportata la caratteristica tensionetemperatura per un sensore commerciale. Le curve di risposta sono
sempre riferite ad una corrente di polarizzazione ben percisa che in
questo caso è 10 ¹A.
1.8
1.6
I0=10 µA
1.4
Vd (V)
1.2
1.0
Pen
den
za m
edia
-2.3
mV
/K
0.8
0.6
0.4
0.2
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450
Temperatura ( K )
Figura 8
Questi diodi sono particolarmente utili per misure a bassissime
temperature (…no a 1.4 K): si può osservare l’aumento di pendenza e quindi di sensibilità della curva sotto i 40 Kelvin. Sensibilità
( dV
dT ) superiori si possono ottenere con diodi all’arseniuro di gallio. I
diodi possono vantaggiosamente sostituire gli RTD per temperature sotto i 50 K dove gli RTD stessi peresentano una brusca perdita
di sensibilità. Come i sensori resistivi anche i diodi sono soggetti
all’autoriscaldamento.
La dipendendenza dalla temperatura della giunzione base-emettitore
di transistori bipolari può essere sfruttata per realizzare sensori
di temperatura integrabili in qualsiasi tecnologia che preveda la possibilità di realizzare componenti bipolari. In …gura 9(a) è mostrato
lo schema sempli…cato di un circuito integrato che sfrutta questo
principio per realizzare una conversione temperatura/corrente. L’integrato si comporta come un bipolo (terminali A+ e A¡ ) che, se
3.3 Sensori di temperatura a giunzione p-n.
51
alimentato con una tensione superiore ad un valore minimo Emin ,
assorbe una corrente che non dipende più dalla tensione ma dipende
dalla temperatura con una legge lineare:
(3.17)
I = ¹T
dove ¹ vale 1 ¹A/K e T è la temperatura assoluta.
Figura 9: Circuito di principio (a), simbolo circuitale (b) e tipico
aspetto di un convertitore temperatura-corrente.
Facendo riferimento allo schema di …gura 9(a), i transistori Q3 e
Q4 sono identici e pertanto costituiscono uno specchio di corrente;
Q2 ha un’area di emettitore otto volte più grande di quella di Q1. Si
supponga che tutti i transistori si trovino in zona attiva diretta: dalla
maglia costituita dalla resistenza R e dalle giunzioni base-emettitore
di Q1 e Q2 si ottiene:
VR = Vbe1 ¡ Vbe2
µ
Ic1
= VT ln
Is1
¶
µ
Ic2
¡ VT ln
Is2
¶
µ
Ic1 Is2
= VT ln
Ic2 Is1
¶
52
3. Sensori di temperatura I
Trascurando le correnti di base rispetto a quelle di collettore per
tutti i transistori si ha: Ic1 = Ic2 = I=2; inoltre, grazie alla realizzazione integrata, Q1 e Q2 avranno la stessa temperatura e stessi pro…li
di drogaggio. Le correnti di saturazione saranno pertanto date da:
Is = js AE , dove la densità di corrente di saturazione è identica per
Q1 e Q2, mentre le aree di emettitore AE sono, come già speci…cato,
nel rapporto 1:8. Pertanto:
Is2
=8
Is2
da cui deriva:
I = 2Ic2
·
¸
VR
VT
k
=2
=2
ln(8) = 2
ln(8) T
R
R
qR
(3.18)
L’espressione (3.18) è appunto identica alla (3.17): il termine cok
stante 2 qR
ln(8) viene aggiustato agendo su R per avere il valore
richiesto di 1 ¹A/K. La resistenza viene portata al valore corretto
mediante laser trimming da e¤ettuarsi alimentando il chip prima
dell’incapsulamento. In …gura 9(b) è mostrato il simbolo circuitale
del sensore AD590, basato sul principio illustrato, mentre l’aspetto
dello stesso è riportato in …gura 9(c).
Il circuito si comporta correttamente come sensore per tensioni ai
suoi capi superiori a 4 V: in queste condizioni di tensione la corrente
non dipende dalla tensione ma solo dalla temperatura secondo la
legge (3.17). Sotto questo valore la corrente scende rapidamente verso
lo zero. L’integrato può essere utilizzato per temperature da -55 ± C
a 150 ± C.
La …gura 10(a) mostra lo schema più semplice che utilizza un
integrato AD590 per la misura di temperatura: se la tensione Va =
E ¡ Vu è superiore a 4 V la corrente nella maglia è data dalla (3.17)
e pertanto la tensione risulta pari a Vu = ¹Rg T . Per esempio, se
Rg = 10 k-, la tensione di uscita vale 2:73 V per una temperatura
di 0 ± C e varia di 10 mV/± C. Ovviamente al crescere di T cresce Vu
e di conseguenza diminuisce Va : occorre dimensionare E a¢nchè Va
non scenda sotto il valore minimo di 4 V.
Utilizzando più intengrati AD590 si possono realizzare circuiti che
forniscono una tensione proporzionale alla media di varie temperature o alla minima delle stesse. Le …gure 10(b) e 10(c) mostrano,
rispettivamente, esempi di quanto a¤ermato.
3.3 Sensori di temperatura a giunzione p-n.
53
Figura 10: Esempi di impiego del convertitore
temperatura-corrente.
Occorre precisare che il circuito che fornisce la temperatura minima sfrutta il fatto che l’integrato sottoposto alla minima temperatura
impone la corrente agli altri due (sono in serie) i quali sono costretti ad andare a funzionare nella zona di caratteristiche “scorretta”,
ovvero con una tensione ai loro capi inferiore a 4 V.
Un circuito che presenta il vantaggio di mantenere ai capi del sensore una tensione costante è quello di …gura 11(a). La tensione Va deve essere negativa e non necessita di paricolari caratteristiche di stabilità: si può e¢cacemente sfruttare la tensione negativa di alimentazione dell’operazionale. Un ulteriore miglioramento del circuito, che
consente di operare anche una traslazione dell’uscita è quello di …gura
11(b). Ponendo VR =Rz = 273 ¹A si può realizzare l’utile condizione
di uscita nulla per una temperatura di 0 ± C. La tensione VR deve
essere positiva e stabile. I resistori Rz e Rg possono essere resi variabili (almeno in parte) per regolare rispettivamente l’azzeramento
e la pendenza della caratteristica tensione-temperatura.
54
3. Sensori di temperatura I
Figura 11: Circuiti utilizzanti l’integrato AD590 per la misura della
temperatura in Kelvin e in gradi Celsius.
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4
Sensori di temperatura II
4.1 E¤etti termoelettrici
Gli e¤etti termoelettrici includono tre fenomeni ciascuno dei quali
riguarda la conversione reversibile di energia elettrica in termica e
viceversa. I tre fenomeni sono: e¤etto Seebek, e¤etto Peltier e e¤etto
Thomson.
4.1.1 E¤etto Peltier
Consideriamo una giunzione non retti…cante tra due materiali in contatto termico con un termostato mantenuto a temperatura T (…gura
1).
Nella giunzione circola una corrente I (imposta dall’esterno).
56
4. Sensori di temperatura II
Materiale A
T
I
Iq
Materiale B
Figura 1
² Viene generato o assorbito calore alla giunzione.
² Il ‡usso di calore generato [assorbito] è proporzionale alla corrente I (e¤etto Peltier).
² Invertendo il verso della corrente il calore viene assorbito [generato].
Il calore generato non deve essere confuso con quello dovuto al
riscaldamento per e¤etto Joule.
Indicando con Iq la corrente di calore generato che si ha quando
la corrente elettrica I scorre da B verso A, si ha:
Iq = ¼AB I
dove ¼AB è il coe¢ciente di Peltier. È immediato veri…care che
¼AB = ¡¼BA:
4.1.2 E¤etto Seebeck
Due giunzioni sono mantenute a temperature che di¤eriscono di ¢T
(…gura 2).
4.1 E¤etti termoelettrici
57
Materiale A
V
T+ ∆T
T
Materiale B
Figura 2
Il voltmetro ideale misura una di¤erenza di potenziale ¢V; (e¤etto
Seebeck).
Il coe¢ciente di Seebeck di¤erenziale è de…nito come:
®ab = lim
¢T !0
¢V
¢T
(4.1)
² La ¢V misurata è funzione, oltre che della coppia di materiali,
delle due temperature.
² Mantenendo …ssi i materiali ed una temperatura, possiamo
utilizzare ¢V per misurare l’altra temperatura.
Conviene de…nire invece che ®ab , caratteristico di una coppia di
materiali un altro coe¢ciente ®a caratteristico del solo materiale, ad
esempio A detto potenza termoelettrica assoluta e tale che ®ab =
®a ¡ ®b .
4.1.3 Contatto metallo/ semiconduttore
Consideriamo un contatto ohmico tra un semiconduttore di tipo n
ed un metallo. Supponiamo che scorra nel contatto una corrente I
dal metallo al semiconduttore: allora elettroni passano dal semiconduttore al metallo.
58
4. Sensori di temperatura II
Figura 3
Si può dimostrare che ciascun elettrone del semiconduttore che
viene iniettato nel metallo ha una energia cinetica media di 2kT
e quindi, verrà ad avere nel metallo una energia cinetica media di
2kT + EC ¡ EF . Questi elettroni sono in numero di I/q e quindi si
può calcolare la corrente di calore :
Iq =
I
(2kT + EC ¡ EF )
q
dalla de…nizione di coe¢ciente di Peltier:
¼ms =
1
(2kT + EC ¡ EF )
q
(4.2)
4.1.4 E¤etto Thomson
Considerando un volume di un conduttore dVol , attraversato da una
densità di corrente j diretta lungo un asse che indichiamo con x
(vedi …gura 4 (a)),nel caso sia presente un gradiente di temperatura dT
dx lungo la direzione x, si ha uno sviluppo di potenza termica,
addizionale rispetto all’e¤etto Joule, pari a:
dP
dT
= ¡¾T j
dVol
dx
dove ¾ T è il coe¢ciente di Thomson, sempre positivo.
(4.3)
4.2 Teorema di Onsager
59
Figura 4
Pertanto, se la corrente è diretta verso temperature crescenti, si
ha una potenza negativa, ovvero un assorbimento di calore. Si noti
come l’equazione 4.3 esprima la potenza termica per unità di volume.
Considerando anche l’e¤etto Joule si avrebbe:
dPtot
dT
= ¡¾T j
+ ½j 2
(4.4)
dVol
dx
dove ½ indica la resistività del materiale.
In …gura 4(b) viene mostrato come si esprime il calore prodotto globalmente in un tratto di conduttore omogeneo percorso dalla
corrente I e sottoposto ad una di¤erenza di temperatura tra i suoi
estremi ¢T = T2 ¡ T1 . Se ¢T è su¢cientemente piccolo da poter
considerare ¾T costante, si ha:
Zx2
Z
Zx2
dT
dT
P =
dP = ¡¾T j
dVol = ¡¾T j A(x)dx = (4.5)
dx
dx
x1
Vol
= ¡¾ T I
ZT2
x1
dT = ¡¾T I(T2 ¡ T1 )
(4.6)
T1
4.2 Teorema di Onsager
Il teorema di Onsager a¤erma in generale che in un sistema descritto dalla grandezze …siche a1 ¢ ¢ ¢ an ; se siamo in uno stato prossimo
all’equilibrio, vale lo sviluppo:
X
@ai
=¡
Lij Aj
@t
(4.7)
60
4. Sensori di temperatura II
essendo Aj le quantità
Ai = ¡
dS
dai
dove S è l ’entropia del sistema; per i coe¢cienti Lij (detti coe¢cienti cinetici)
vale nella maggior parte dei casi, (cfr. pagina 70 ) la relazione:
Lij = Lji
(4.8)
Le relazioni 4.7 valgono se sono opportunamente scelte le ai ed
Aj : I criteri di scelta delle grandezze suddette e la dimostrazione del
teorema sono argomenti al di fuori del programma di questo corso.
i
Si può dimostrare che una scelta corretta per le @a
@t è I ed Iq =T
essendo rispettivamente I la corrente elettrica, Iq la corrente di entropia e T la temperatura assoluta mentre le corrispondenti Aj sono
rV e rT ossia i gradienti di potenziale elettrico e di temperatura.
i
Questa scelta delle @a
@t ed Aj è la migliore per studiare fenomeni
termoelettrici ossia per descrivere un materiale sottoposto ad un gradiente di potenziale e di temperatura che è sede di correnti elettriche
e di calore; possiamo scrivere allora le 4.7 come:
I = ¡L11 rV ¡ L12 rT
Iq
= ¡L21 rV ¡ L22 rT
T
In base alla relazione di reciprocità 4.8 L12 = L21 e assumendo I
e rT come variabili indipendenti determiniamo Iq e rV :
I
L12
+
rT
L11 L11
µ
¶
L21 I
L21 L12
Iq = T
+T
¡ L22 rT
L11
L11
¡rV =
Poiché è
¡rV = E )
(¾ è la conducibilità)
1
1
=
L11
¾
(4.9)
(4.10)
4.3 Termocoppie
61
Si ha poi dalla 4.9 :
¯
¯
¯
L12 ¯¯
L21 ¯¯
rV ¯¯
=
=¡
=®
L11 ¯I=0
L11 ¯I=0
rT ¯I=0
e dalla 4.10:
¯
Iq ¯¯
L21
= T® = ¼
=T
¯
I rT =0
L11
ed in…ne, ricordando la 4.2:
®=
¼ms
=
T
µ
EC ¡ EF
2k
+
qT
q
¶
4.3 Termocoppie
Il circuito di …gura 5(a) è costituito da due conduttori A e B di
natura diversa, connessi in due punti (giunzioni J1 e J2) in modo da
costituire un anello chiuso.
Figura 5
Si è trovato che se le due giunzioni sono a temperature di¤erenti,
il circuito risulta percorso da una corrente. Interrompendo il circuito
in un punto, come in …gura 5(b), la tensione ai capi dell’interruzione
risulta pari alla forza elettromotrice che generava la corrente nell’anello chiuso. Il valore assoluto di tale f.e.m. risulta …ssato quando
sono dati i due metalli A e B, e la temperatura di ciascuna giunzione; il segno della f.e.m dipende invece anche dal verso con cui
si misura la tensione V . Una convenzione che consente di indicare
62
4. Sensori di temperatura II
univocamente valore assoluto e segno della f.e.m. fa riferimento alla
…gura 5(b): con la notazione,
V = ETT12 (A=B)
(4.11)
indichiamo una tensione misurata interrompendo il conduttore B e
introducendo un voltmetro ideale che ha il terminale positivo rivolto
verso la giunzione a temperatura T2 e quello negativo verso quella
a temperatura T1 . La notazione può essere letta nel seguente modo:
“ tensione da T2 a T1 di A rispetto a B”. Il sistema costituito dai
due metalli A e B connessi in due punti J1 e J2 costituisce una
termocoppia.
Da ovvie considerazioni:
ETT12 (A=B) = ¡ETT12 (A=B)
(4.12)
ETT12 (B=A) = ¡ETT12 (A=B)
(4.13)
Coe¢ciente di Seebek di una termocoppia
La …gura 6 mostra l’esperimento a cui si fa riferimento per la de…nizione del coe¤. di Seebek che è già stato discusso in un paragrafo
precedente.
Figura 6
Tra le due giunzioni vi è una di¤erenza di temperatura ¢T e pertanto si misura una tensione pari a ETT +dT (A=B). Siccome la tensione
misurata in un circuito isotermo (nel nostro caso T2 = T1 ) è nulla,
per motivi di continuità, la tensione deve andare a zero per ¢T ! 0.
Il limite:
ETT12 (A=B)
¢T !0
¢T
®AB = lim
(4.14)
4.3 Termocoppie
63
de…nisce il coe¢ciente di Seebek della termocoppia secondo la
notazione introdotta nella 4.11.
Leggi delle termocoppie
1) Legge del circuito omogeneo: Un circuito composto da uno stesso conduttore (es. rame), anche se non si trova tutto alla stessa
temperatura non sviluppa mai una f.e.m. termoelettrica.
2) Legge della temperatura omogenea: un circuito, anche se composto da conduttori di tipo di¤erente, se tutte le giunzioni tra i vari
conduttori sono alla stessa temperatura non sviluppa mai f.e.m di
tipo termoelettrico.
Queste due leggi indicano come condizione necessaria per la presenza di una f.e.m termoelettrica la contemporanea disomogeneità
di materiale e di temperatura delle giunzioni. Un utile corollario alle
leggi 1) e 2) è il seguente: data una termocoppia costituita dai materiali A e B, se introduciamo un terzo conduttore C come in …gura
7(a), mediante due giunzioni J3 e J4 mantenute alla stessa temperatura T0 , la tensione che misuriamo interrompendo C è indipendente
da quest’ultimo ed è la stessa di …gura 5(b).
Figura 7
Il metallo C può essere anche introdotto come in …gura 7(b): anche in questo caso non si ha alterazione della f.e.m., che continua a
dipendere solo dai metalli A e B e dalle temperature T1 e T2 . Si noti
come in …gura 7(b) non si ha più la giunzione J2 ma questa è stata
sostituita dalle giunzioni J3 e J4 che si devono trovare entrambe alla
temperatura T2 .
3) Legge della temperatura intermedia: questa legge è illustrata in
…gura 8 dove sono illustrati tre esperimenti, tutti riguardanti la stessa
64
4. Sensori di temperatura II
termocoppia A=B: la tensione nel terzo caso è pari alla somma della
tensione misurata nel primo e nel secondo caso.
Figura 8
La temperatura T0 funge da temperatura intermedia. In formule:
ETT12 (A=B) = ETT02 (A=B) + ETT10 (A=B)
(4.15)
ovvero, considerando l’eq. 4.12
ETT12 (A=B) = ETT02 (A=B) ¡ ETT01 (A=B)
(4.16)
Le conseguenze di questa legge sono importantissime in quanto
per ogni termocoppia, ovvero coppia di metalli, è possibile calcolare
una funzione della temperatura VAB (T ) = ETT0 (A=B) dove T0 è una
qualsiasi temperatura di riferimento, e calcolare la f.e.m. tra due
qualsiasi temperature T1 eT2 come:
ETT12 (A=B) = VAB (T2 ) ¡ VAB (T1 )
(4.17)
Pertanto, per ogni tipo di termocoppia di interesse pratico, viene
fornita la funzione VAB (T ) tabulata, utilizzando come temperatura
di riferimento T0 = 0 ± C.
4) Legge del metallo intermedio: con riferimento alla …gura 9, dove
M0 indica un metallo di riferimento, si ha:
ETT12 (A=B) = ETT12 (A=M0 ) ¡ ETT12 (B=M0 )
(4.18)
L’importanza pratica di questa legge è quella di poter ricavare la
f.e.m. tra qualsiasi coppia di conduttori, qualora siano state tabulate
le f.e.m. di tutti i conduttori rispetto ad un qualsiasi conduttore di
riferimento. La …gura 10 indica un modo per derivare la legge del
metallo intermedio dal corollario illustrato in …gura 7(b).
4.3 Termocoppie
65
Figura 9
Figura 10
4.3.1 Utilizzo delle termocoppie per la misura della
temperatura
In …gura 11 è riportato uno schema di principio su come utilizzare
una termocoppia per la misura della temperatura Tx . In questo schema i conduttori A e B sono due materiali che devono presentare un
comportamento ottimale per quanto riguarda la produzione di una
f.e.m. termoelettrica.
Figura 11
In particolare devono presentare forti sensibilità, ovvero variazioni
della f.e.m., in risposta a variazioni di Tx , che siano più grandi possibili. Il conduttore C, invece è un conduttore che serve soltanto allo
66
4. Sensori di temperatura II
scopo di collegare A e B all’ampli…catore G, che si occupa di leggere
la f.e.m. (fa le veci del voltmetro). Tipicamente C sarà rame. In questo schema è importante mantenere le giunzioni JA, JB alla stessa
temperatura, pari a 0 ± C. L’uscita sarà una replica ampli…cata della tensione E0Tx (A=B) = VAB (Tx ). Nella tabella seguente è riportato
l’andamento della VAB (T ) per una termocoppia di tipo commerciale:
T ±C
0
10
50
100
200
VAB (T ) (mv)
0
0.507
2.585
5.268
10.777
Come si può osservare la tensione varia di poche decine di microvolt per grado di temperatura, pertanto sarà necessario applicare
una forte ampli…cazione per avere un segnale utilizzabile in uscita.
Questo comporta che, spesso, per rendere trascurabili gli e¤etti degli o¤set e delle loro derive, si debba optare per un ampli…catore a
chopper.
Un inconveniente che praticamente rende inutilizzabile questo sistema è la necessità di mantenere a temperatura di 0 ± C le giunzioni
di riferimento JA e JB. Si passa allora allo schema di …gura 12 dove
le giunzioni JA e JB si trovano a temperatura ambiente TA :
Figura 12
Il blocco indicato con IPC (Ice Point Compensation) realizza la
cosiddetta compensazione della giunzione fredda. Questo blocco legge la temperatura ambiente mediante un sensore di temperatura di
4.3 Termocoppie
67
tipo resistivo o a semiconduttore e produce una tensione pari a:
E0TA (A=B) = VAB (TA ). Per fare questo sfrutta una approssimazione
lineare della legge VAB (T ) valida in un intorno della temperatura ambiente. Applicando la legge della temperatura intermedia, nel nodo
P si ha:
h
i
Vp = G ETTAx (A=B) + E0TA (A=B) = GE0Tx (A=B) = GVAB (Tx )
In questo modo si ottiene lo stesso risultato dello schema precedente senza bisogno di mantenere alla temperatura del ghiaccio fondente
alcuna parte del sistema. In commercio vi sono vari tipi di circuiti
integrati basati sullo schema della …gura 12 (AD 594/595).
68
4. Sensori di temperatura II
This is page 69
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5
E¤etti magnetoelettrici
5.1 E¤etto Hall
Consideriamo un conduttore anisotropo immerso in un campo di
induzione magnetica B; il vettore densità di corrente è dato dalla
relazione:
ji = ¾ ik (B)Ek
(5.1)
dove si può prescindere dal termine di¤usivo ma si deve tener conto
della struttura tensoriale della conducibilità.1 Si ha
2
3 2
32
3
jx
¾11 ¾12 ¾13
Ex
4 jy 5 = 4 ¾21 ¾22 ¾23 5 4 Ey 5
jz
¾31 ¾32 ¾33
Ez
(5.2)
dove ¾ik è il tensore delle conducibilità del materiale e ciascun
elemento di ¾ik è funzione di B. E è il campo elettrico. ¾ik è gene1 Cfr.
pagina 19
70
5. E¤etti magnetoelettrici
ralmente un tensore simmetrico salvo alcuni casi speciali tra i quali
proprio quello in cui è presente un campo magnetico B2 .
In questo caso si ha la relazione:
¾ij (B) = ¾ji (¡B)
(5.3)
Si noti che se si annulla B si ottiene la consueta simmetria del
tensore delle conducibilità.
Conviene scomporre ¾ik in componenti simmetrica e antisimmetrica3 :
¾ij = sij + aij
(5.4)
Si ha, utilizzando le de…nizioni e la 5.3:
¾ij (B) + ¾ji (B)
=
2
¾ji (¡B) + ¾ij (¡B)
= sij (¡B)
2
sij (B) = sji (B) =
=
(5.5)
e,
¾ ij (B) ¡ ¾ji (B)
=
2
¾ji (¡B) ¡ ¾ ij (¡B)
= ¡aij (¡B)
2
aij (B) = ¡aji (B) =
=
(5.6)
Dalle 5.5 e 5.6 si deduce che le componenti di s sono funzioni pari
di B mentre le componenti di a sono funzioni dispari di B.
Consideriamo il prodotto aij Ej ; esso risulta:
2
32
3 2
3
0
axy
axz
Ex
axy Ey + axz Ez
4 ¡axy 0
ayz 5 4 Ey 5 = 4 ¡axy Ex + ayz Ez 5
¡axz ¡ayz 0
Ez
¡axz Ex ¡ ayz Ey
2 La simmetria del tensore ¾
ik viene infatti dimostrata sulla base della simmetria dei
coe¢cienti cinetici: L ij =L ji . Tale simmetria (teorema di Onsager) in presenza di un
campo magnetico deve essere scritta come L ij (B) =L ji (¡B):
3 In generale dato a
ij qualunque si ottengono le componenti simmetriche e
a +a
a ¡a
antisimmetriche calcolando rispettivamente ij 2 ji e ij 2 ji .
5.1 E¤etto Hall
71
ed è facile veri…care che lo stesso risultato può
¤
£ essere ottenuto con
il prodotto vettoriale E £ a
~ dove a
~ è il vettore ayz ; ¡axz ; axy :
3
3 2
3 2
axy Ey + axz Ez
ayz
Ex
4 Ey 5 £ 4 ¡axz 5 = 4 ¡axy Ex + ayz Ez 5
¡axz Ex ¡ ayz Ey
axy
Ez
2
Scriviamo la 5.1 utilizzando i tensori s ed a .
ji = ¾ij Ej = sij Ej + aij Ej = sij Ej + [E £ a
~]i
(5.7)
ji Ei = [sij Ej + [E £ a
~]i ] Ei = sij Ej Ei
(5.8)
Il calore prodotto per e¤etto Joule è dato dal prodotto scalare j ¢E
e vale quindi:
nella quale il termine [E £ a
~] ¢ E è nullo poiché i due vettori sono
evidentemente perpendicolari tra loro. Si noti che il calore prodotto
è funzione della sola parte simmetrica del tensore delle conducibilità.
Consideriamo allora il secondo termine della 5.7, nell’ipotesi di
campi magnetici piccoli.
Sviluppiamo in serie la 5.7 rispetto al campo magnetico: poiché a
~
è dispari in B lo sviluppo conterrà come primo termine quello lineare
in B e come termini successivi quelli di ordine dispari; s è invece
pari in B e quindi il suo sviluppo conterrà il termine di ordine zero
e successivamente i termini di potenze pari ad iniziare dal termine
quadratico:
a
~i = a
~ij Bj + ¢ ¢ ¢
sij = ¾0ij + ¯ ijkl Bk Bl + ¢ ¢ ¢
Si noti che il termine di ordine zero di s, ¾0ij ; altro non sarà che il
tensore delle conducibilità in assenza di campo magnetico.
Introducendo le relazioni di cui sopra nella 5.7 , si ha:
£
¤
ji = ¾ij Ej = ¾0ij Ej + E £ a
~1 i + ¯ ijkl Bk Bl Ej + ¢ ¢ ¢
(5.9)
avendo indicato con a
~1 l’approssimazione di ordine 1 del vettore a
~
ossia il vettore di componenti a
~ij Bj i = 1 ¢ ¢ ¢ 3:
72
5. E¤etti magnetoelettrici
Si ottiene quindi il risultato che nella densità di corrente c’è un
termine, il secondo della 5.9, proporzionale al campo magnetico, al
campo elettrico applicato ed a quest’ultimo perpendicolare. Questo
termine rappresenta l’e¤etto Hall.
Conviene osservare che in un cristallo possono aversi altri contributi alla densità di corrente perpendicolare a E dai termini sij Ej :
Una analoga trattazione poteva essere svolta partendo dalla relazione
Ei = ¾¡1
ik (B)jk = ½ik (B)jk
(5.10)
3 2
32
3
Ex
½11 ½12 ½13
jx
4 Ey 5 = 4 ½21 ½22 ½23 5 4 jy 5
Ez
½31 ½32 ½33
jz
(5.11)
Ei = rik (B)jk + [j £ b]i
(5.12)
2
dove ½ik (B) è il tensore delle resistività del materiale, funzioni del
campo magnetico.
Con ragionamenti del tutto analoghi a quelli svolti sopra, si perviene ad una relazione che distingue in ½ik una componente simmetrica (diciamo rik ) ed una antisimmetrica in forma di vettore (che
indichiamo con b ).Si ha:
L’approssimazione di ordine 1 di [j £ b] dipenderà linearmente da
B e da j e risulterà perpendicolare a j . Questa componente del
campo, perpendicolare alla densità di corrente, (che può non essere
la sola in un conduttore anisotropo), è detta componente di Hall.
Caso di un conduttore isotropo
Il vettore b risulta diretto lungo B;
Il tensore rik è diagonale e, scelta come z la direzione di B e la
densità di corrente appartenente al piano xy, si ha:
3
2
3 2
½? 0
0
½11 0
0
½? 0 5
r= 4 0
½22 0 5 = 4 0
0
0
½k
0
0
½33
2
32
3 2
3 2
3 2
3 2
3
½? 0
0
jx
jx
0
½? jx
jy bz
½? 0 5¢4 jy 5+4 jy 5£4 0 5 = 4 ½? jy 5+4 ¡jx bz 5
E=4 0
0
0
½k
0
0
bz
0
0
5.1 E¤etto Hall
73
3
½? jx + jy bz
(5.13)
E = 4 ½? jy ¡ jx bz 5
0
3
2
bz jy
La componente di Hall è EH = 4 ¡bz jx 5ed è perpendicolare a j
0
e a B come si può facilmente veri…care osservando che
3
3 2
2
3
3 2
2
jy bz
0
jy bz
jx
4 jy 5 ¢ 4 ¡jx bz 5 = 0; 4 0 5 ¢ 4 ¡jx bz 5 = 0:
0
Bz
0
0
2
La relazione funzionale che lega b a B è semplicemente una relazione di proporzionalità:
bz = RB
(5.14)
ed R è detta costante di Hall.
Per determinare la costante di Hall in funzione di parametri microscopici del conduttore è necessario ricorrere ad un modello del moto
delle cariche nel materiale. A seconda dell’accuratezza del modello
si avranno espressioni più o meno approssimate di R.
La velocità v dei portatori in un materiale semiconduttore (di tipo
n) è descritta in prima approssimazione dalla relazione4 :
µ
¶
v
¤ dv
m
+
=F
(5.15)
dt ¿
dove m¤ è la massa e¢cace degli elettroni, ¿ è detto tempo di
rilassamento ed F è la forza agente sul portatore.
Assumiamo la con…gurazione con B parallelo all’asse z e E contenuto nel piano xy:
In questo caso la forza risulterà data dalla espressione di Lorenz:
F
82
3 2
3 2
39
vx
0 =
< Ex
= q(E + v £ B) = q 4 Ey 5 + 4 vy 5 £ 4 0 5 =
:
;
0
vz
Bz
4 Questa relazione è una forma sempli…cata della equazione del trasporto di Boltzmann
applicata al gas perfetto degli elettroni di conduzione.
74
5. E¤etti magnetoelettrici
82
3
2
39
3 2
Ex + vy Bz
vy Bz
=
< Ex
= q 4 Ey 5 + 4 ¡vx Bz 5 = q 4 Ey ¡ vx Bz 5
;
:
0
0
0
L’equazione 5.15, allo stato stazionario, scritta per la velocità
media hvi vale:
2
3
3
2
hvx i
Ex + hvy i Bz
¿
4 hvy i 5 = q
4 Ey ¡ hvx i Bz 5
m¤
hvz i
0
2
3
2
3
hvx i
Ex + ¹H Ey Bz ¡ ¹H hvx i Bz2
4 hvy i 5 = q ¿ 4 Ey ¡ ¹H Ex Bz ¡ ¹H hvy i Bz2 5
m¤
0
0
2
3
hvx i
4 hvy i 5 = q ¿ 6
4
m¤
0
2
Ex +¹H Ey Bz
1+¹2H Bz2
Ey ¡¹H Ex Bz
1+¹2H Bz2
0
3
7
5
(5.16)
(5.17)
(5.18)
Si ha poi, supponendo che i campi magnetici non siano grandi,
2
2
3
2
3
3
jx
Ex + ¹H Ey Bz
hvx i
4 jy 5 = qn 4 hvy i 5 ' qn ¢ q ¿ 4 Ey ¡ ¹H Ex Bz 5 (5.19)
m¤
0
0
0
2
3
2
3
Ex + ¹H Ey Bz
Ex + ¹H Ey Bz
¿
= q2 n ¤ 4 Ey ¡ ¹H Ex Bz 5 = ¾ 4 Ey ¡ ¹H Ex Bz 5
m
0
0
dove si è indicata con ¹H la quantità q m¿¤ detta mobilità di Hall
e q2 n m¿¤ è una espressione di ¾? .
2
3
2
3
jx
Ex + ¹H Ey Bz
4 jy 5 = ¾? 4 Ey ¡ ¹H Ex Bz 5
0
0
Si possono individuare due casi limite (…gura 1):
(5.20)
5.1 E¤etto Hall
75
θΗ
I
I
y
V
B
θL
x
I
I
Figura 5.1
1) Sensori di Hall:. la corrente in direzione y non può circolare a
regime; allora la seconda delle 5.20 fornisce:
jy = 0 = Ey ¡ ¹H Ex Bz
(5.21)
Ey = ¹H Ex Bz
che sostituita nella prima delle 5.20, con la stessa approssimazione
che ha portato alle 5.19, fornisce la relazione (valida a regime):
¡
¢
jx = ¾? (Ex + ¹H Ey Bz ) = ¾ ? Ex 1 + ¹2H Bz2 ' ¾? Ex
(5.22)
mentre la 5.13 con la 5.14 danno:
(5.23)
Ey = RBz jx
il confronto della 5.23 con la 5.21, usando la 5.22, fornisce la
relazione cercata:
RBz jx = RBz ¾ ? Ex = ¹H Ex Bz ) R =
1
¹H
=
¾?
qn
(5.24)
76
5. E¤etti magnetoelettrici
Si noti che la 5.21 fornisce la relazione
Ey
= ¹H Bz = tan µH
Ex
2) Dispositivi a de‡essione di cariche. La densità di corrente in direzio-
ne y può circolare liberamente mentre non può instaurarsi un campo
in direzione y ; allora la seconda delle 5.20 fornisce:
jy = ¡¾? ¹H Ex Bz ) Ex = ¡
jx = ¡
jy
¾? ¹H Bz
jy
jy
)
= ¡¹H Bz = tan µL
¹H Bz
jx
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6
Sensori di gas a semiconduttore
6.1 E¤etti di super…cie
Consideriamo un cristallo perfetto semiconduttore e la sua super…cie.
Assumiamo la super…cie ideale, pulita, non ricoperta da adsorbiti,
metalli, contaminazioni.
La super…cie è la regione dove si interrompe la periodicità del reticolo cristallino; ciò comporta la nascita di livelli energetici localizzati
per gli elettroni (generalmente distribuiti nel gap) (…gura 1).
Questi livelli possono catturare o fornire un elettrone (o compiere entrambe le operazioni) e si comportano di conseguenza come
accettori e/o donatori.
6.1.1 Esempi
Semiconduttori di interesse nel campo dei sensori sono tra gli altri:
Ossidi Metallici: SnO2 , TiO2 ; Si tratta di semiconduttori ionici; lo
ione metallico in super…cie tende a catturare elettroni quindi è un accettore. L’ossigeno ionico super…ciale cede elettroni ossia si comporta
da donatore.
Semiconduttori omopolari come il Silicio. Ogni atomo di silicio
condivide quattro elettroni con i suoi vicini. Alla super…cie rimangono elettroni disaccoppiati o legami pendenti: questi elettroni possono
78
6. Sensori di gas a semiconduttore
² autoiniettarsi nel volume
² catturare un secondo elettrone
ossia rispettivamente comportarsi da donatori o accettori.
E
EC
Densità di stati
interfacciali
EV
Figura 1
6.2 Modello a bande
Gli stati super…ciali, anche a causa della eterogeneità della super…cie,
sono distribuiti secondo un andamento non uniforme nel gap.
6.2.1 Assenza di carica netta super…ciale.
Il caso di assenza di carica netta nel semiconduttore o di “bande
piatte” è mostrato nella …gura 2; è certamente una situazione di non
equilibrio poiché:
1. elettroni in banda di conduzione hanno energie maggiori di
quella che compete agli stati super…ciali vuoti.
2. alla super…cie il livello di Fermi deve dividere livelli occupati
da livelli vuoti.
6.2 Modello a bande
79
Figura 2
Quindi, in base alla (1) elettroni dalla banda di conduzione andranno ad occupare (parzialmente) gli stati della banda degli accettori super…ciali lasciando ioni donatori scoperti nel volume del
semiconduttore ossia una zona svuotata di cariche mobili.
6.2.2 Situazione di equilibrio.
La situazione di equilibrio è del tutto analoga a quella che si ha in
una giunzione p-n, in un contatto metallo semiconduttore, in una
eterogiunzione (vedi …gura 3).
80
6. Sensori di gas a semiconduttore
Figura 3
Figura 4
Si forma un doppio strato di carica.
Impostiamo l’equazione di Poisson:
d2 V
½
qND
=¡ =¡
2
dx
²S
²S
dove si è indicato con ½ la densità di carica (vedi …gura 4), con ²S la
costante dielettrica del semiconduttore e con ND la concentrazione di
6.2 Modello a bande
81
atomi donatori nel semiconduttore (supposto di tipo n). Integrando
dalla generica ascissa x …no al limite della zona di carica spaziale x0 ,
si ha:
Zx0
qND
d2 V
dx = ¡
2
dx
²S
x
x
dx )
¯
qND
dV ¯¯x0
dV
=¡
(x0 ¡ x)
= ¡
¯
dx x
dx
²S
Zx0
x
qND
dV
dx =
dx
²S
V jxx0
qND
=
²S
e quindi:
Vb ¡ V (x) =
Zx0
qND
²S
µ
Zx0
x
(x0 ¡ x) dx )
µ
¶¯x
x2 ¯¯ 0
x0 x ¡
2 ¯x
x20
x2
¡ x0 x +
2
2
¶
=
qND
(x0 ¡ x)2
2²S
(6.1)
essendosi indicato con Vb il potenziale in x = x0 : Si noti l’andamento parabolico del pro…lo di potenziale nella zona svuotata dalla
carica mobile.
Il valore della barriera alla super…cie è facilmente calcolabile dalla
6.1:
VS = Vb ¡ V (0) =
qND 2
x
2²S 0
Calcoliamo la densità di stati super…ciali carichi NS = ND x0
(si noti che NS ha le dimensioni dell’inverso di unità di super…cie)
quindi:
VS =
1 qNS2
ND 2²S
(6.2)
che fornisce il potenziale di barriera (di Schottky) come funzione
della densità di stati super…ciali carichi.
82
6. Sensori di gas a semiconduttore
All’equilibrio, nota la densità di elettroni nel volume, ND , essendo
il volume e la super…cie separate da una d.d.p Vs , possiamo calcolare
la densità di elettroni alla super…cie per mezzo della relazione di
Boltzmann:
µ
¶
¡qVS
nS = ND exp
KT
e usando la 6.2:
µ
¡q 2 NS2
nS = ND exp
2²S ND KT
¶
(6.3)
Dalla espressione di Vs si può anche calcolare x0 :
x0 =
s
2²S VS
qND
e poiché la capacità di giunzione (per unità di super…cie) è data
da Cj = x²S0 , si ha:
1
=
Cj2
µ
x0
²S
¶2
=
2VS
q²S ND
Il nostro interesse per gli stati di super…cie deriva dal fatto che
esiste una notevole analogia di comportamento tra stati super…ciali
ed adsorbiti super…ciali (per quanto riguarda il loro comportamento
nei confronti degli elettroni di conduzione); ciò rende possibile trattare gli adsorbiti super…ciali sulla base della teoria sopra esposta per
gli stati super…ciali.
6.3 Conducibilità super…ciale
Lo strato di svuotamento indotto dagli e¤etti di super…cie in‡uisce
molto sulla conducibilità super…ciale.
Consideriamo un resistore monocristallino ricavato in un semiconduttore di tipo n (…gura 5);
6.3 Conducibilità super…ciale
83
Figura 5
La conduttanza di volume di un semiconduttore di tipo n è data
da:
G=¾
wt
wt
= q¹n ND
`
`
La conduttanza di strato è de…nita da:
w
G¤ = ¾¤
`
dove si è indicato con
¾¤ =
1
= q¹n N¤
½¤
e con
N¤ = ND t
Si de…nisce conduttanza di super…cie quella determinata dalla
densità di carica di super…cie:
GSup = q¹n NS
w
`
dove il valore di NS è stato de…nito come NS = ND x0 :
Si noti che GSup rappresenta la variazione di conduttanza della pista a seguito della formazione della regione svuotata (quindi
conseguente alla formazione della barriera VS ).
La conduttanza residua sarà
G ¡ GSup :
84
6. Sensori di gas a semiconduttore
6.4 Polveri compresse
La resistenza di un resistore realizzato con polveri compresse dipende moltissimo dagli e¤etti di super…cie (e quindi anche dal gas
adsorbito).
Figura 6
In questo caso hanno grande importanza le variazioni di conduttanza dovute all’instaurarsi della zona svuotata.
In una polvere compressa la resistenza intergrano domina sul contributo del volume dei grani a tutte le temperature (…gura 6).
La regione di carica spaziale per un singolo grano di polvere semiconduttrice si forma intorno al grano e in particolare alla regione di
contatto.
Si formano delle barriere di energia qVs che devono essere superate
dagli elettroni di conduzione; la conduttanza viene ad essere del tipo
µ
¶
qVS
G = G0 exp ¡
KT
Anche in questo caso il comportamento descritto vale sia che gli
elettroni siano catturati da stati di super…cie sia da gas adsorbiti (ad
esempio ossidanti come l’ossigeno) che siano in grado di assumere
elettroni.
6.5 Interfacce solido / gas
85
Stati di super…cie possono avere comportameni interferenti per un
meccanismo di sensibilità come quello di cui sopra poiché in‡uenzano
la conduzione anche in assenza di gas adsorbiti.
Anche in …lm sottili non porosi si può avere un comportamento
simile a quello descritto a causa del gas che di¤onde lungo i bordi di
grano.
Casi intermedi sono polveri sinterizzate, …lm discontinui, …lm granulari.
6.5 Interfacce solido / gas
6.5.1 Adsorbimento
Modello di Lennard-Jones
Si distinguono due tipi di adsorbimento (…sico e chimico) le cui
caratteristiche sono brevemente esposte nel seguito.
Figura 7
Nelle …gure 7 e 8 sono riportati i diagrammi energia/ distanza per
l’adsorbimento; le due …gure riportano rispettivamente il diagramma
bidimensionale e tridimensionale (schematizzato per mezzo di curve
di livello). Nella …gura 8 è anche mostrata la traiettoria più probabile
per il chemiadsorbimento; si noti che si passa da una fase preliminare
di …siadsorbimento per poi giungere, superando la sella di energia
86
6. Sensori di gas a semiconduttore
di ampiezza ¢Ea ; ben visibile in …gura 7, nel sito di adsorbimento
chimico.
Figura 8
Le caratteristiche dei due tipi di adsorbimento sono riassunte di
seguito.
1) Adsorbimento …sico: legame debole; calore di adsorbimento di
circa 6 Kcal/mole; legame dipolare.
2)Adsorbimento chimico: legame forte; calore di adsorbimento di
circa 15 Kcal/mole;
6.5.2 Cinetica di adsorbimento
Seguendo la traiettoria più favorevole e cioè adsorbimento …sico e
quindi chimico, l’adsorbito ha dovuto superare solo la barriera ¢Ea ;
possiamo descrivere la cinetica di adsorbimento come:
µ
¶
µ
¶
¢Ea
¢Ea + ¢Hc
d#
= kads exp ¡
¡ kdes # exp ¡
dt
KT
KT
(6.4)
6.5 Interfacce solido / gas
87
Dove con # si è indicata la ricopertura super…ciale de…nita in
termini di siti di reazione come:
#=
no siti occupati
no siti disponibili
Allo stato stazionario (in equilibrio):
µ
¶
µ
¶
¢Ea
¢Ea + ¢Hc
= kads exp ¡
¡ kdes # exp ¡
=0
KT
KT
¢
¡
µ
¶
a
kads exp ¡ ¢E
kads
¢Hc
KT
¡
¢=
exp
# =
+¢Hc
kdes
KT
kdes exp ¡ ¢EaKT
d#
dt
ossia # decresce rapidamente all’aumentare della temperatura.
Per quanto riguarda il …siadsorbimento questo aumenta molto a
basse temperature e, essendo caratterizzato da un legame debole,
decresce rapidamente per temperature crescenti.
Figura 9
Sono presenti e¤etti di dipendenza di ¢Hc da # dovuti alla eterogeneità dei siti di super…cie che implica che si abbia una diminuzione
di ¢Hc con l’aumentare di # .
Si osserva conseguentemente un picco nella # (T).
88
6. Sensori di gas a semiconduttore
6.5.3 Adsorbimento di ioni
Lo ione adsorbito agisce come uno stato di super…cie catturando o
cedendo un elettrone ed è legato alla super…cie per via elettrostatica.
Per super…ci esposte all’atmosfera viene principalmente adsorbito
ossigeno generalmente in forma di O¡ o O¡
2 : la carica super…ciale
qNS è così dovuta principalmente all’ossigeno.
La carica super…ciale qNS è limitata dal numero di siti di adsorbimento, dalla ricopertura di equilibrio alla temperatura di osservazione e provoca una barriera super…ciale dell’ordine di 0.5-1 eV. In
altri termini NS è dell’ordine di 1012 cm¡2 .
Fissiamo l’attenzione su un sistema di polveri pressate la cui conduttanza è data da
µ
¶
qVs
G = G0 exp ¡
KT
dove VS è la barriera super…ciale.
Le possibili reazioni dell’ossigeno in fase adsorbita sono:
e¡ + O2 , O2¡
O2 , 2O
e¡ + O , O¡
Si osservi che l’ossigeno si comporta esattamente da stato accettore.
6.6 Adsorbimento super…ciale e diagrammi a bande
Il fenomeno dell’adsorbimento, descritto nei paragra… precedenti,
può essere studiato nel quadro dei diagrammi a bande. Si deve individuare il livello energetico che compete alla molecola (ione) del
gas che sarà saturato da un elettrone proveniente dalla banda di
conduzione del semiconduttore all’instaurarsi del legame.
Nella …gura 10 sono riportati i diagrammi a bande del sistema
semiconduttore-adsorbito in 3 casi signi…cativi; i primi due, si riferiscono a adsorbiti accettori di elettroni (ossigeno, ‡uoro) mentre il
6.6 Adsorbimento super…ciale e diagrammi a bande
89
terzo è relativo ad un donatore (idrogeno). Osserviamo che la concavità delle bande è rivolta verso l’alto nei primi due casi e verso il
basso nel terzo.
È abbastanza evidente che in questo modello il calore di adsorbimento deve essere identi…cato con la di¤erenza tra livello di Fermi nel
semiconduttore e livello del gas prima dell’instaurarsi dell’equilibrio:
per esempio EF -EO2 in …gura 10 a.
Si noti che a causa del piegamento delle bande del semiconduttore, che testimonia la formazione di una zona svuotata di cariche
mobili, all’equilibrio (lo stato rappresentativo del gas è saturato con
un elettrone ed è allineato con il livello di Fermi del semiconduttore)
la di¤erenza EF -EO2 (ossia il calore di adsorbimento), si annulla.
Si deve osservare in…ne che in questo modello la principale sempli…cazione risiede nel fatto che ciascuno stato accettore [donatore]
super…ciale viene schematizzato da un unico livello energetico; in tal
modo si rinuncia a modellare l’eterogenicità della super…cie.
Notiamo esplicitamente che nel caso di gas donatore (ad esempio
l’idrogeno), la super…cie risulta arricchita di carica negativa ed infatti
si ha un piegameno delle bande tipico ad esempio di una popolazione
di ioni accettori scoperti dopo che elettroni inettati hanno saturato
la carica mobile (lacune).
Figura 10 a- Adsorbimento di O¡
2 : si crea una zona svuotata di
carica mobile.
90
6. Sensori di gas a semiconduttore
Figura 10 b- Adsorgimento di F¡ con piegamento maggiore delle
bande nel semiconduttore: la super…cie risulta invertita.
E
E
EH
E H+
EF
Figura 10 c - caso dell’adsorbimento di H+ : Si noti il piegamento
delle bande verso il basso.
Fissiamo l’attenzione sul caso dell’ossigeno.
All’equilibrio e, nel caso generale, applicando la legge di Boltz¡
mann per mettere in relazione le concentrazioni di O¡
2 , O2 , O ed
O, si ottiene:
£ ¡¤
·
¸
O2
EO2 ¡ EF
= exp
[O2 ]
KT
EF
6.6 Adsorbimento super…ciale e diagrammi a bande
91
·
¸
[O¡ ]
EO ¡ EF
= exp
[O]
KT
ed inoltre applicando la legge dell’azione di massa alla reazione
O2 () 2O :
µ
¶
¢G
[O] = [O2 ] exp ¡
KT
2
Dalle tre relazioni si ha:
"
£ ¡¤
1
O2
EO2 ¡ EO +
= [O2 ] 2 exp
[O¡ ]
KT
Se ne deduce che
£ ¡¤
O =
£ ¡¤
O2
¢G
2
#
1
= B [O2 ] 2
(6.5)
1
B [O2 ] 2
Da cui si vede che la specie O¡ (in genere più reattiva) diminuisce
a vantaggio di O¡
2 con la radice della pressione parziale dell’ossigeno
mentre aumenta con la temperatura.
Siamo interessati a calcolare la carica totale di super…cie qNS assumendo per completezza una popolazione preesistente di N0 stati
super…ciali.
Assumiamo
PO2 = ® [O2 ] ! [O2 ] =
PO2
®
e quindi nella 6.5 si ha:
£ ¡¤
O =
È evidente che :
p £ ¡¤
® O2
p
B PO2
(
)
p
£ ¡¤ £ ¡¤
£ ¡¤
® 1
p
NS = N0 + O2 + O = N0 + O2
1+
B
PO2
92
6. Sensori di gas a semiconduttore
Figura 11
Dal diagramma a bande di …gura 11: EF = ECS ¡ qVS ¡ Â ed
allora:
µ
¶
£ ¡¤
EO2 ¡ EF
O2
= [O2 ] exp
KT
µ
¶
EO2 ¡ (ECS ¡ qVS ¡ Â)
= [O2 ] exp
KT
)
µ
¶(
p
® 1
PO2
EO2 ¡ (ECS ¡ qVS ¡ Â)
p
NS = N0 +
exp
1+
®
KT
B
PO2
ln
(NS ¡ N0 ) ®
1
·
¸=
[EO2 ¡ (ECS ¡ qVS ¡ Â)]
p
kT
®
1
PO2 1 + B pP
O2
·
¸
q 2 NS2
(NS ¡ N0 ) ®
1
·
¸=
ln
EO2 ¡ ECS +
+Â
p
kT
2"S ND
PO2 1 + B® pP1
O2
exp
h
1
kT
(NS ¡ N0 )
³
EO2 ¡ ECS +
q 2 NS2
2²S ND
"
#
p
PO2
® 1
´i =
p
1+
®
B
PO2
+Â
6.7 E¤etti di gas riducenti
93
Nel caso in cui NS sia piccolo possiamo scrivere il primo membo
della equazione di cui sopra il forma approssimata:
·
¶¸
µ
q 2 NS2
1
exp ¡
+ Â (NS ¡ N0 ) =
EO2 ¡ ECS +
kT
2²S ND
EO ¡ECS +Â
µ E ¡E +Â
¶
2
CS
O2
¡ ¢
kT
e¡
¡
kT
= e
(NS ¡ N0 ) +
N0 NS2 + O NS3
q
q
kT 2²S ND
e prendendo il solo termine lineare:
!
Ã
p
EO ¡ECS +Â
PO2
PO2
2
kT
+ p
e¡
NS ¡ N0 =
®
B ®
Nel caso in cui NS sia invece grande è intuibile facilmente che si
va incontro alla saturazione della super…cie.
Il caso reale è quello di super…ci di semiconduttori saturate di
ossigeno anche a pressioni parziali decisamente ridotte; il caso di NS
piccolo; che potrebbe apparire interessante per la realizzazione di
sensori di ossigeno, rimane esclusivamente teorico.
6.7 E¤etti di gas riducenti
Nel trattamento dei sensori non siamo tanto interessati alle condizioni di equilibrio per l’ossigeno quanto all’e¤etto di interferenza di
gas riducenti (R), partendo dalla condizione, stabilita nel paragrafo
precedente, di saturazione della super…cie con ossigeno adsorbito; le
possibili reazioni sono:
K
e¡ + O2 ,1 O2¡
K¡1
K
e¡ + O2¡ )2 2O¡
(6.6)
(6.7)
K
(6.8)
K
(6.9)
R + O2¡ )3 RO2 + e¡
R + O¡ )4 RO + e¡
Assumiamo che 6.8 sia sfavorita rispetto a 6.9 per la maggiore
reattività di O¡ rispetto ad O¡
2 ; che 6.6 sia reversibile e 6.7 non lo
sia almeno alle temperature di interesse.
94
6. Sensori di gas a semiconduttore
D’altronde 6.7 sarabbe del secondo ordine (rispetto ad O¡ ) in
confronto a 6.9. Inoltre se 6.7 fosse reversibile e veloce rispetto a 6.9
il sensore non potrebbe funzionare.
È inoltre improbabile l’adsorbimento diretto di R (e la relativa
iniezione di elettroni nel semiconduttore).
Scriviamo le relazioni di equilibrio per O2¡ e O¡ rispettivamente:
£ ¤
£ ¤
£ ¤
k1 nS [O2 ]
0 = k1 nS [O2 ] ¡ k¡1 O2¡ ¡ k2 nS O2¡ ) O2¡ =
k¡1 + k2 nS
£ ¤
£ ¤
£ ¤ 2k2 nS k1 nS [O2 ]
0 = 2k2 nS O2¡ ¡ k4 [R] O¡ ) O¡ =
k4 [R] k¡1 + k2 nS
Trascurando gli stati interfacciali eventualmente persenti:
£ ¤ £ ¤
k1 nS [O2 ]
2k2 nS k1 nS [O2 ]
NS = O2¡ + O¡ =
+
k¡1 + k2 nS
k4 [R] k¡1 + k2 nS
NS (k¡1 + k2 nS ) =
NS k¡1 =
2k1 k2 n2S
[O2 ] + k1 nS [O2 ]
k4 [R]
2k1 k2
[O2 ] n2S + (k1 [O2 ] ¡ k2 NS ) nS
k4 [R]
Ricordando che nS è legato esponenzialmente a NS (confronta con
la 6.3), o che è lo stesso, che NS varia logaritmicamente con nS ,
possimo stimare di non fare un errore di grossa entità se consideriamo
NS costante in prima approssimazione (almeno per piccole variazioni
di [R] ed nS .)
6.7.1 Applicazioni ai sensori a polveri compresse
Consideriamo
[R] / PR ) PR = ° [R]
La conduttanza G sarà proporzionale alla densità di elettroni disponibili per la conduzione super…ciale nS ; la resistenza R1 risulterà
allora:
1 Si presti attenzione a non confondere la resistenza con il gas riducente la cui
concentrazione è peraltro indicata con [R].
6.7 E¤etti di gas riducenti
R=
1
®
®
=
) nS =
G
nS
R
Posto
a ´ NS k¡1
b ´ ® (k1 [O2 ] ¡ k2 NS )
H=
Si ottiene:
2k1 k2
[O2 ] °
k4
H ³ ® ´2
b
+ =a
PR R
R
Da cui
H
=
PR
PR =
µ ¶2 µ
¶
R
b
a
b
a¡
= R2 2 ¡ R 2
®
R
®
®
H®2
H®2
) ln PR = ln
R (aR ¡ b)
R (aR ¡ b)
·
¸
d ln R
d ln PR ¡1
=
d ln PR
d ln R
·
¸
d ln PR
d ln PR d ln R ¡1 d ln PR
2aR ¡ b
=
=
R=¡
d ln R
dR
dR
dR
aR ¡ b
d ln R
d ln PR
= ¡
1 2aR ¡ 2b
=
2 2aR ¡ b
1
= ¡
2
½
b
1+
b ¡ 2aR
¾
1
=¡
2
Con [R], ossia PR piccola R è elevata ossia
d ln R » 1
=¡
d ln PR
2
e quindi:
1
R/ p
PR
(
1
1+
1 ¡ 2aR
b
)
95
96
6. Sensori di gas a semiconduttore
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7
Sensori di Gas con Elettrodo
Catalitico
Alcuni dispositivi elettronici allo stato solido con opportune modi…che sono in grado di rivelare la concentrazione di certi tipi di gas.
Tra gli altri ricordiamo i diodi di Schottky, i MOSFET con elettrodo
catalitico e le strutture Metallo/Isolante/Metallo.
Nelle tabelle seguenti è riportata la classi…cazione dei principali
tipi di sensori di gas basati su dispositivi elettronici nei quali un
elettrodo è realizzato impiegando un metallo catalitico.
Nella prima tabella è riportato, per vari sensori, il principio di
funzionamento, ossia il meccanismo che induce variazioni di alcuni
parametri elettrici in funzione della concentrazione di gas da misurare.
struttura
Diodi Schottky
Pd-MOSFET
Strutture MIM
principio di funzionamento: variazione
dell’altezza di barriera q©BN
della tensione di soglia VT
del v. m. dell’altezza di barriera q©
Nella seconda tabella, per ciascun sensore, è riportata la legge
che lega un parametro elettrico signi…cativo al parametro controllato
dalla reazione favorita dalla presenza dell’elettrodo catalitico.
98
7. Sensori di Gas con Elettrodo Catalitico
struttura
Diodi Schottky
Pd-MOSFET
Strutture MIM
relazione
h signi…cativa
³
´i ³ qV
´
jn = A¤ T 2 exp q©kTBN
e( kT ) ¡ 1
QSS
Cox
VT = ©MS ¡
1
+ 2ª³B +
p
2ªB 2²s qNA
C´
ox
1
jT = AT 2 (q©) 2 V exp ¡Bdq© 2
7.1 Richiami sui MOSFET
Nel seguito faremo riferimento solo a strutture MOS con gate catalitico: conviene pertanto premettere alcuni richiami alla struttura
MOS per ciò che concerne il diagramma a bande e la derivazione
dell’espressione della tensione di soglia.
Nella …gura 1 è mostrata la struttura di un MOSFET. Nella stessa
…gura sono de…niti i parametri geometrici signi…cativi.
w
t
n+
l
n+
Figura 1
7.1.1 Espressione per la tensione di soglia
Nella …gura 2, in funzione della coordinata x sono ripotrare, oltre la
struttura MOS in esame, (più precisamente Metallo/ ossido/ semiconduttore/ Metallo che costituisce il contatto homico di substrato),
il diagramma della densità di carica e la con…gurazione delle bande
7.1 Richiami sui MOSFET
99
di energia. Per quanto riguarda il diagramma della densità di carica
½; distinguiamo 1) la carica Qm separata sull’elettrodo metallico, 2)
la carica Qn nello strato di inversione, 3) la carica Qs nello strato di svuotamento e 4) la carica nell’ossido (all ’interfaccia con il
semiconduttore).
La struttura a bande può essere facilmente determinata (almeno dal punto di vista qualitativo) dal diagramma ½(x) utilizzando l
’equazione di Poisson
d2 E
/ ½(x)
dx2
Si osservi che i livelli di Fermi del semiconduttore e del gate saranno separati della quantità qVg essendo Vg il potenziale applicato
al gate.
Nel diagramma a bande sono de…nite le seguenti quantità:
q©M
q©M
Vox
qªS
funzione lavoro del metallo di gate
funzione lavoro del semiconduttore
caduta di potenziale sull’isolante
piegamento totale delle bande nel semiconduttore
Ricavo qVg dal diagramma a bande:
qVg = q©M + qVox + qªS ¡ q©S ) Vg = ©MS + Vox + ªS
Condizioni di bande piatte:
VF B = Vg jF B = ©MS + Vox jF B = ©MS ¡
In generale
Vox = ¡
Qox QS (ªS )
¡
Cox
Cox
Qox
Cox
100
7. Sensori di Gas con Elettrodo Catalitico
Figura 2
mentre nelle condizione di incipiente forte inversione:
VG jF I = ©MS ¡
Qox QS (2ªB )
¡
+ 2ªB
Cox
Cox
Si può dimostrare che
p
QS (2ªB ) = ¡ 2²S qNA 2ªB
Ricordando poi l’espressione della tensione di bande piatte e de…nendo tensione di soglia la tensione di gate che induce forte inversione:
7.2 Pd-MOSFET
VT = VF B +
101
jQS (2ªB )j
+ 2ªB :
Cox
7.1.2 Espressioni per le correnti
Avendo de…nito il parametro k = ¹n Cox w` si può dimostrare che le
correnti sono date rispettivamente dalle espressioni:
·
2 ¸
VDS
ID = k (VGS ¡ VT ) VDS ¡
2
in zona triodo, e
(n»
=
1
2
ID = nk (VGS ¡ VT )2
) in zona lineare.
7.2 Pd-MOSFET
Il ruolo principale in questo tipo di dispositivo, così come negli Schottky, è quello del metallo catalitico che è in grado di adsorbire la
molecola di idrogeno favorendone la scissione alla super…cie in idrogeno atomico, che può facilmente di¤ondere nel volume del metallo
e raggiungere l’interfaccia metallo-ossido.
Figura 3
102
7. Sensori di Gas con Elettrodo Catalitico
Equilibrio chimico (adsorbimento e di¤usione nel palladio):
c
1
H2 ,
2Hs
d1
c
d
de
ci
e
Hs ,
Hb ,i Hi
(7.1)
L’equilibrio di cui sopra, che è de…nito dal numero di atomi nelle tre
forme adsorbite, è funzione della pressione parziale dell’idrogeno molecolare presente nell’atmosfera cui è esposta la struttura, oltre che,
naturalmente, di parametri …sici come la temperatura o la turbolenza della miscela di gas nella camera di misura. Assumiamo inoltre che
1’atmosfera possa considerarsi inerte salvo per la frazione di idrogeno
in essa presente e che l’equilibrio possa essere considerato funzione
solo della pressione parziale dell’idrogeno e non dipenda dagli altri
gas cui la struttura MOS è esposta .
Figura 4
Le c e d sono le velocità di reazione che supponiamo indipendenti
da temperatura e pressione parziale di idrogeno.
7.2 Pd-MOSFET
103
De…niamo le ricoperture (rapporto tra siti di legame occupati
e numero totale di siti disponibili) alla super…cie e all’interfaccia
isolante/palladio:
#s =
ns
Ns
#i =
ni
Ni
Lundstrom ha suggerito che lo strato di atormi sia di fatto polarizzato ossia che all’interfaccia palladio-ossido di silicio sia individuabile, a causa dell’adsorbimento di idrogeno, uno strato di dipoli. Ne
segue che, ipotizzando una variazione massima ¢Vmax della tensione
di bande piatte in corrispondenza della ricopertura unitaria, (tutti i
siti saturati), si ha la relazione:
¢V = ¢Vmax #i (t; PH2 )
Esaminiamo la prima sezione della equazione di di¤usione 7.1:
c
e
Hb
Hs ,
de
che regola il passaggio degli atomi adsorbiti nei siti di super…cie
verso i siti di volume e viceversa; si ha quindi la relazione dinamica:
dnb
= ns ce (Nb ¡ nb ) ¡ nb de (Ns ¡ ns )
dt
e la relazione di regime:
ns
nb de
=
(7.2)
Ns ¡ ns
Nb ¡ nb ce
Passiamo alla seconda sezione della equazione di di¤usione 7.1
relativa all’equilibrio tra volume ed interfaccia metallo-ossido; analogamente a quanto sopra dalla:
d
Hb ,i Hi
ci
si deduce:
dni
= nb di (Ni ¡ ni ) ¡ ni ci (Nb ¡ nb )
dt
104
7. Sensori di Gas con Elettrodo Catalitico
nb di
ni
=
Ni ¡ ni
Nb ¡ nb ci
(7.3)
La combinazione delle equazioni 7.2 e 7.3 fornisce:
ni
nb di
ns di ce
=
=
Ni ¡ ni
Nb ¡ nb ci
Ns ¡ ns ci de
detta equazione di equilibrio completa che talvolta si scrive nel
modo seguente
ni
nb
ns
=
k0 =
k
Ni ¡ ni
Nb ¡ nb
Ns ¡ ns
(7.4)
in base alle posizioni:
k=
di ce
ci de
k0 =
di
ci
Scriviamo l’equazione di dissociazione completa:
dns dnb dni
+
+
= c1 PH2 (Ns ¡ ns )2 ¡ d1 n2s
(7.5)
dt
dt
dt
dalla equazione di equilibrio completa si possono ricavare espressioni per nb ed ns che derivate e sostituite nella precedente espressione forniscono:
Ã
!2
Ã
!2
dni
=
dt
d#i
=
dt
c1 PH2
1+
Ns ¡
"
³
1+k
1+k
³Ns
¡ d1
´
Ni
¡1
ni
kN
³ s ´´2
Ni
¡1
n
+
i
³
1+k
³Ns
k0N
³ s ´´2
N
1+k0 n i ¡1
i
´
Ni
¡1
ni
#
Ni
n2i
n
³
´
o
c1 PH2 Ns2 k2 (1 ¡ #i )2 ¡ d1 Ns2 #2i (#i + k0(1 ¡ #i ))2
avendo indicato con
4
(7.6)
7.2 Pd-MOSFET
105
4 = Ni (#i + k(1 ¡ #i ))2 (#i + k0(1 ¡ #i ))2
¡
¢
+#2i [kNs + k0Nb ] + (1 ¡ #i )2 kk2 Ns + k2 kNb
il denominatore della 7.6.
L’espressione di cui sopra lega il ricoprimento all’interfaccia metallo ossido col tempo in modo tutt’altro che semplice. Tuttavia è
stato accertato che, almeno per basse pressioni parziali di idrogeno,
ed a temperatura ambiente, in …lms sottili di palladio, il rapporto
tra atomi adsorbiti alle interfacce ed atomi adsorbiti nel volume,
è molto elevato. In altri termini, i siti di adsorbimento nel volume
sono caratterizzati da un’energia di attivazione maggiore per l’adsorbimento (minore per il desorbimento) rispetto ai siti di interfaccia.
In base a questa osservazione sembra corretto trascurare il termine
che tiene conto dei siti di volume nel primo membro dell’equazione
di dissociazione completa ottenendo:
dns dni
+
= c1 PH2 (Ns ¡ ns )2 ¡ d1 n2s
(7.7)
dt
dt
detta equazione di dissociazione sempli…cata.
Procedendo in modo analogo a quanto esposto precedentemente si
ottiene:
Ã
!2
Ã
!2
dni
=
dt
c1 PH2
Ns ¡
1+k
Ã
³Ns
1+
¡ d1
´
Ni
¡1
ni
h
1+k
N
kN
³ s ´i2 2i
Ni
ni
¡1
n
i
1+k
!
³Ns
´
Ni
¡1
ni
h
³
´
i
Ns2
d#i
=
c1 PH2 k2 (1 ¡ #i )2 ¡ d1 #2i
dt
kNs + Ni (#i (1 ¡ k) + k)
(7.8)
L’equazione 7.8 si riduce alla seguente ponendo k» 1:
h
i
d#i
¼ ® c1 PH2 k2 (1 ¡ #i )2 ¡ d1 #2i
dt
Risolvendo l’equazione di¤erenziale con la condizione al contorno
2
e
#i jt=0 = 0, avendo posto ® = NeN+N
si ha:
i
106
7. Sensori di Gas con Elettrodo Catalitico
´
³
p
q
k dc11 PH2 1 ¡ e2k®t c1 d1 PH2
´ ³
´ (7.9)
³
p
p
#i = q
k dc11 PH2 1 ¡ e2k®t c1 d1 PH2 ¡ 1 + e2k®t c1 d1 PH2
k
#i j 1 =
Con le posizioni:
q
1+k
c1
d1 PH2
q
c1
d1 PH2
(7.10)
¯
d#i ¯¯
»
= ®c1 PH2 k 2
dt ¯t=0
A=k
r
c1
PH
d1 2
p
B = 2k® c1 d1 PH2
si ha una espressione più compatta delle espressioni della ricopertura interfacciale in funzione del tempo ottenute in 7.9 e 7.10.
¡
¢
A 1 ¡ eBt
#i =
A (1 ¡ eBt ) ¡ (1 + eBt )
#i j1 =
A
1+A
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8
Elettrodi
8.0.1 Potenziale di elettrodo
Quando un metallo viene immerso in una soluzione contenente ioni
del metallo, può veri…carsi il passaggio in soluzione di alcuni atomi
del metallo come cationi, oppure il deposito sul metallo, allo stato di
atomi neutri, di alcuni degli ioni del metallo presenti nella soluzione.
Nel primo caso gli atomi del metallo abbandonano il reticolo cristallino e passano nella soluzione come ioni positivi:
Me , Men+ + ne¡
e sulla super…cie del metallo in contatto con la soluzione vengono
ad accumularsi cariche elettriche negative.
Ciò porta alla formazione di un doppio strato elettrico alla interfaccia metallo-soluzione. Tra la fase metallica e la soluzione si crea
una di¤erenza di potenziale denominata potenziale di elettrodo.
Nel caso inverso, cioè quello del deposito di cationi della soluzione
sulla fase metallica,
Men+ + ne¡ , Me
una volta raggiunto l’equilibrio, troveremo un eccesso di cariche
positive sulla super…cie del metallo in quanto i cationi hanno sottrat-
108
8. Elettrodi
to elettroni al reticolo del metallo, mentre nello strato interfacciale
rimarrà un eccesso di cariche negative (anioni del sale).
Queste ultime si distribuiscono nella zona interfacciale in modo da
controbilanciare le cariche positive della super…cie metallica a¤acciata alla soluzione: si determina un doppio strato elettrico e quindi una
di¤erenza di potenziale metallo/soluzione.
Indicando con V la di¤erenza di potenziale tra fase metallica e
soluzione, si può ricavare una relazione che lega V con la attività
(ovvero, con la concentrazione) degli ioni nella soluzione.
Abbiamo visto che si ha (Equazione di Nernst 2.15):
V = V0 +
KT
CO
RT
CO
ln
= V0 +
ln
qn
CR
nF
CR
che dobbiamo applicare alla
Men+ + ne¡ , Me
ma, dato che il metallo è un solido puro, la sua attività (concentrazione) viene posta convenzionalmente uguale a uno, quindi:
V = V0 +
KT
C n+
RT
ln Me = V0 +
ln CMen+
qn
CMe
nF
8.0.2 Cella elettrochimica
Una cella elettrochimica è formata da due semicelle costituite da due
elettrodi immersi in due soluzioni in contatto tramite un setto poroso; questo impedisce la interdi¤usione degli ioni delle due soluzioni,
ma assicura la continuità elettrica.
Il potenziale dei due elettrodi è funzione della attività degli ioni
presenti nelle rispettive soluzioni.
La soluzione della prima semicella viene mantenuta a concentrazione costante e quindi l’elettrodo in essa immerso fornirà un potenziale
costante.
Questa semicella viene detta semicella di riferimento.
Il potenziale del secondo elettrodo è funzione della attività di uno
ione della soluzione in cui è immerso, e può essere misurato rispetto
a quello della semicella di riferimento .
8. Elettrodi
109
Figura 1
8.0.3 Elettrodi di prima specie.
Sono costituiti da una lamina di un metallo immerso in una soluzione acquosa contente disciolto un sale dello stesso metallo: Per
esempio una lamina di argento in una soluzione di nitrato di argento
L’elettrodo viene così rappresentato: Ag/Ag+
110
8. Elettrodi
Figura 2
La reazione elettrodica di riduzione è:
Ag+ + e¡ , Ag
Il potenziale di elettrodo a 25 O C è:
¤
£
V = V0 + 0:059 log Ag+
rappresentando con [Ag+ ] la concentrazione molare dello ione argento.
8.0.4 Elettrodi di seconda specie.
Sono formati da una lamina di un metallo ricoperta da uno strato
di un sale poco solubile del metallo, ed immersa in una soluzione
contenente un elettrolita che manda in soluzione gli anioni del sale
poco solubile. Per esempio una lamina o un …lo di argento ricoperta di
cloruro di argento immerso in una soluzione contenente ioni cloruro
L’elettrodo è così rappresentato: Ag/AgCl/Cl
Figura 3
La reazione elettrodica di riduzione è:
AgCl + e¡ , Ag + Cl¡
8. Elettrodi
111
Il suo potenziale a 25 O C è
V = V0 + 0:059 log
[AgCl]
[Ag] [Cl¡ ]
e poiché [AgCl] = 1 (solido cristallino) e [Ag] =1 (metallo puro)
la precedente diventa
¤
£
V = V0 ¡ 0:059 log Cl¡
è una funzione lineare del logaritmo della concentrazione degli ioni
cloruro.
8.0.5 Elettrodi di terza specie.
Sono detti anche elettrodi redox: sono formati da una lamina di
metallo inerte (platino o oro) immersa in una soluzione contenente
una specie chimica in due di¤erenti stati di ossidazione, ovvero in
una forma ossidata e in una forma ridotta. Per esempio una lamina
di platino in una soluzione contente ioni ferrici e ioni ferrosi.
Figura 4
L’elettrodo viene cosi rappresentato: Pt/Fe3+ Fe2+
La reazione elettrodica di riduzione è
F e3+ + e¡ , F e2+
112
8. Elettrodi
il potenziale d’elettrodo a 25 o C
£ 3+ ¤
Fe
V = V0 + 0:059 log
[F e2+ ]
ed è una funzione lineare del logaritmo del rapporto delle concentrazioni della specie ossidata e della specie ridotta
8.1 Semicelle di riferimento.
Gli elettrodi, a seconda dell’uso che ne viene fatto, possono essere
classi…cati in elettrodi di misura ed elettrodi di riferimento.
Gli elettrodi di misura hanno la caratteristica che il loro potenziale,
a temperatura costante, dipende dall’attività di una specie ionica
presente in soluzione.
Gli elettrodi di riferimento (o più propriamente le semicelle di
riferimento) sono costituiti da un elettrodo di misura e da una soluzione a concentrazione costante dello ione dalla cui attività dipende
il potenziale dell’elettrodo.
Il potenziale di un elettrodo di misura immerso in una data soluzione è misurato rispetto a quello di una semicella di riferimento in
contatto con la stessa soluzione.
8.1.1 Semicella a calomelano.
La semicella a calomelano è costituita da un elettrodo di seconda
specie in cui il conduttore metallico e mercurio.
Questo è a contatto con un suo sale insolubile: il cloruro mercuroso
(calomelano), e con una soluzione contenente ioni Cl¡ a concentrazione nota e costante. L’elettrodo è cosi schematizzato: Hg/Hg2 Cl2
/Cl.
La reazione elettrodica è la seguente
Hg2 Cl2 + 2e¡ () 2Hg + 2Cl¡ :
Il potenziale d’elettrodo a 25 o C è dato da
V = V0 +
0:059
[Hg2 Cl2 ]
log
2
[Hg]2 [Cl¡ ]2
poiché: [Hg2 Cl2 ] =1 (solido puro), e [Hg] = l (liquido puro) otteniamo:
8.1 Semicelle di riferimento.
.
113
¤
£
V = V0 ¡ 0:059 log Cl¡
Sono in uso diverse semicelle di riferimento a calomelano il cui
potenziale dipende dalla concentrazione del KCl impiegata.
8.1.2 Semicella a cloruro di argento.
La semicella a cloruro di argento è costituita da un elettrodo di seconda specie in cui il conduttore metallico è argento ricoperto da uno
strato di cloruro di argento, ed immerso in una soluzione contenente
ioni Cl¡ a concentrazione nota e costante.
Il potenziale di questo elettrodo come già visto è:
£
¤
V = V0 ¡ 0:059 log Cl¡
L’elettrodo è impiegato per la misura della [Cl¡ ] contenuti in una
soluzione, oppure come elettrodo di riferimento quando la concentrazione dei Cl¡ contenuti nella semicella è nota e costante.
8.1.3 Elettrodo metallo/ossido del metallo
Gli elettrodi costituiti da un metallo ricoperto da un suo ossido, sono da considerarsi come un particolare tipo di elettrodi di seconda
specie e possono essere utilizzati come sensori di pH. Sono da considerarsi elettrodi di seconda specie poiché la parte anionica del sale
insolubile del metallo, ossia lo ione ossigeno, è presente nell’equilibrio
di dissociazione del solvente (H2 0).
Si devono usare ossidi:
a) poco solubili,
b) stabili, che non varino stato di ossidazione nel campo di pH il
più vasto possibile,
c) capaci di partecipare agli equilibri che regolano il potenziale di
elettrodo in modo reversibile.
Antimonio, tungsteno, bismuto danno elettrodi di questo tipo ma
con gravi limitazioni dovute principalmente ai molteplici stati di ossidazione degli ossidi possibili, alla scarsa stabilità, alla sensibilità
all’agitazione ed ai gas disciolti, alla reattività a pH alcalini.
114
8. Elettrodi
L’iridio presenta un ossido, IrO2 , stabile in tutto l’intervallo di pH,
non solubile, ottenibile in vari modi per via chimica, o sputtering
reattivo. Come elettrodo del tipo metallo/ossido del metallo ; è così
rappresentato: Ir/IrO2 /H+ .
Immerso in una soluzione acquosa tale elettrodo si pone in equilibrio con gli ioni H+ in accordo alle seguenti possibili reazioni
8
Ir , Ir4+ + 4e¡
>
>
>
>
>
>
>
>
< Ir4+ + 4OH ¡ , Ir(OH)4 (solido)
(8.1)
>
>
Ir(OH)
,
IrO
(solido)
+
2H
O
>
4
2
2
>
>
>
>
>
:
H2 O , H + + OH ¡
Dalla prima si può scrivere:
V = VIr=Ir4+ +
RT
ln[Ir4+ ]
4F
Poiché ossido è in equilibrio con l’idrossido usando la legge dell’azione di massa, o più propriamente l’espressione del prodotto di
solubilità della seconda delle 8.1 e usando ancora la legge dell’azione
di massa (o introducendo il prodotto ionico dell’acqua) per la quarta
relazione delle 8.1 :
4 9
Kp = [Ir4+ ] ¢ [OH ¡ ] =
¤4
Kp £
[Ir4+ ] = 4 H +
;
Kw
Kw = [H + ] ¢ [OH ¡ ]
da cui:
V = VIr=Ir4+ +
= VIr=Ir4+ +
RT
4F
RT
4F
= VIr=IrO2 =H + +
K
4
ln K 4p [H + ] =
w
fln Kp ¡ 4 ln Kw + 4 ln [H + ]g =
RT
F
ln [H + ]
8.2 Sensori ad elettroliti solidi
Si tratta di sensori di concentrazione di specie chimiche (generalmente allo stato gassoso).
8.3 Classi…cazione dei principali sensori ad elettroliti solidi.
115
Le misure sono realizzate nella maggior parte dei casi a circuito aperto (misure di tipo potenziometrico), con un voltmetro ideale.Viene in tal caso misurato il potenziale a cavallo di una membrana
realizzata con l’elettrolita solido. Sono inoltre descritti sensori amperometrici (viene misurata una corrente) ma la maggior parte delle
applicazioni è attualmente nel campo dei sensori potenziometrici.
Caratteristiche del materiale
Gli elettroliti solidi sono buoni conduttori ionici (generalmente per
ioni monovalenti, più raramente bivalenti es.: ZrO2 ); ioni con carica
maggiore di 2 hanno generalmente basse mobilità.
Generalmente un conduttore ionico che ha come portatore principale un certo ione (es.: O2¡ , Cl¡ ) è stato utilizzato per realizzare un
sensore per quel tipo di ione.
Questo approccio si è rivelato molto limitativo; possono essere
infatti realizzati sensori per specie non contenute come portatori di
correnti ioniche nel materiale;
Ciò consente da un lato l’allargamento del numero delle specie
misurabili e d’altra parte la spiegazione di e¤etti di interferenza da
parte di ioni non direttamente coinvolti nel processo di conduzione.
8.3 Classi…cazione dei principali sensori ad
elettroliti solidi.
Si distinguono tre tipi di sensori potenziometrici a elettroliti solidi.
1. La specie rivelata ha un atomo in comune con la specie che
assicura la conduzione ionica in composti binari (es.: O2¡ in
ZrO2 , F¡ in LaF3 ).
2. La specie rivelata si equilibra con un componente dell’elettrolita solido binario diverso dalla specie ionica avente la massima
mobilità (es.: SO3¡ in AgSO4 , I2 in AgI, elettroliti solidi che
conducono principalmente per ioni Ag+ ).
3. La specie rivelata è accoppiata alla specie conduttrice tramite uno strato intermedio opportuno; la specie rivelata non ha
atomi in comune con l’elettrolita solido (Es.: CaS/ZrO2 usato
come sensore di zolfo; NaCl/Na-¯-allumina usato come sensore
di Cl2 ).
116
8. Elettrodi
Il funzionamento dei sensori di tipo 1 può essere spiegato sulla base
di un modello sempli…cato mentre i sensori di tipo2 e 3 necessitano
di un modello più accurato.
Caratteristiche dei sensori ad elettroliti solidi
² I materiali impiegati sono di estrema robustezza (meccanica e
chimica).
² Sono per la maggior parte chimicamente inerti.
² Sono stabili su ampi intervalli di temperatura (spesso devono
operare ad alte temperature).
² Non è necessaria calibrazione.
² Non si ha apprezzabile drift.
² Hanno una risposta logaritmica.
² Sono possibili miniaturizzazioni.
8.3.1 Classi…cazione in base alla risposta
La risposta elettrica dei sensori a elettroliti solidi potenziometrici
può essere almeno di quattro tipi diversi:
Tipo A: V = V0 +
Tipo B: V = ¯ 0 +
RT
4F
RT
zF
ln PPR
ln P
Tipo C: V = ¯ + ® ln P
Tipo D: V = f (ln P )
dove si è indicato con P e PR le pressioni misurata e di riferimento, e con T la temperatura. La risposta di tipo A è Nernstiana e
, come vedremo, è possibile correlare i parametri caratteristici del
sensore a quantità termodinamiche. Negli altri casi, invece, la risposta non è direttamente derivabile da principi termodinamici e serve
una calibrazione che determini le costanti ® e/o ¯. La risposta di
tipo D, seppure non lineare con ln(P) descrive una classe di sensori
abbastanza ampia e non priva di importanza.
8.4 Modello Classico
117
8.4 Modello Classico
Esponiamo il modello sempli…cato del sensore potenziometrico a elettrolita solido; questo modello spiega solo il funzionamento dei sensori
del primo tipo.
A cavallo dell’elettrolita solido usato come membrana si stabilisce
un potenziale che viene letto per mezzo di due elettrodi immersi nei
due ambienti separati dalla membrana.
Nel caso di misure su specie gassose si può utilizzare come elettrodo
un …lm sottile poroso di platino.
Il potenziale elettrochimico degli elettroni nei due elettrodi di
platino poroso può di¤erire poiché l’elettrolita solido è un buon
conduttore ionico ma un buon isolante per gli elettroni.
La specie rivelata deve essere in equilibrio con lo ione che assicura
la conduzione nell’elettrolita solido e il metallo catalitico contribuisce
all’instaurarsi dell’equilibrio per mezzo del meccanismo (giunzione
trifase) illustrato in …gura 5.
Figura 5
Reazione catalizzata dal platino è:
O2 (gas) + 4e¡ , 2O2¡
L’impiego del catalizzatore porta bene…ci per quanto riguarda la
selettività, la sensibilità ed il tempo di risposta del sensore.
Di¤erenti concentrazioni di una specie negli ambienti 1 e 2 (…gura 6) implicano di¤erenti potenziali elettrochimici di quella specie
in 1 e 2 ; Dimostriamo che nasce di conseguenza una di¤erenza di
potenziale elettrico a cavallo della membrana, misurabile tramite un
voltmetro ideale.
118
8. Elettrodi
Figura 6
8.4.1 Ipotesi
1. La specie da misurare in 1 e 2 è la specie ionica che consente
la conduzione nell’elettrolita solido.
2. la specie gassosa in 1 e 2 si equilibra con la specie ionica a
maggiore mobilità nell’elettrolita solido.
Scriviamo l’equazione del trasporto relativa alla generica specie j
(equazione 2.3)
¾j
r¹j
zj q
P
P
All’equilibrio:
jj = 0 da cui (
¾j = ¾ ):
jj = ¾j E ¡
j
rV
X
j
¾j = ¡
j
1 X ¾j
1 X ¾j
r¹
r¹j ) rV = ¡
q
zj
q
zj ¾
j
j
De…niamo il coe¢ciente di trasferenza
¾j
tj = :
¾
Nel caso monodimensionale:
dV
1 X tj d¹j
=¡
dx
q
zj dx
j
8.4 Modello Classico
119
Integrando:
V
1
= ¡
q
= ¡
Zd X
j
a
tj
d¹ =
zj j
8 b
<Z X
1
q:
a
j
tj
d¹ +
zj j
Zc X
b
j
tj
d¹ +
zj j
Zd X
c
j
9
=
tj
d¹
zj j ;
(nel caso di ZrO2 (specie conduttiva O2¡ ))
½
¾
1
1 b
1 c
Pt
b
c
Pt
V =¡
¹e ¡ ¹e + ¹O2¡ ¡ ¹O2¡ + ¹e ¡ ¹e
q
2
2
Osserviamo che la reazione redox alle interfacce b e c è
1
O2 + 2e¡ , O2¡
2
e che in base alla equazione di equilibrio di reazione:
1
1
¹e¡ = ¹O2¡ ) ¹O2 + 2¹e¡ = ¹O2¡
¹O2 + 2¹
2
2
da cui:
V =¡
i
1 h b
¹O2 ¡ ¹cO2
4q
In base alla reazione ¹i = RT (©i + ln Pi )
il potenziale calcolato risulta:
POc 2
1
RT ln b
V =
4qNA
PO2
dove si è inserito il termine NA per tenere conto che l’equazione
che de…nisce i potenziali elettrochimici nella forma di cui sopra è
scritta in termini di numeri di moli.
8.4.2 Errori
La maggior fonte di errore è legata alla conducibilità elettronica che
è non trascurabile a temperature elevate.
La conducibilità elettronica implica l’instaurarsi di un ‡usso di
ioni.
120
8. Elettrodi
Infatti siamo in condizioni di corrente totale nulla (il circuito è
aperto poiché misuriamo il potenziale con un voltmetro ideale), quindi se elettroni migrano dal - al + dovremo avere una migrazione di
ioni negativi nel verso opposto per mantenere la neutralità: si ottiene
così ad esempio nel caso della zirconia un accumulo di ossigeno al +
e di metallo al -.
Si ha uno squilibrio di concentrazione che se non rimosso per diffusione altera la tensione misurata e le concentrazioni nella sezione
di riferimento e nella zona di misura.
In un buon conduttore ionico la caduta di tensione è prevalentemente interfacciale (zone ¯ 1 e ¯ 2 di …gura 7); contributi aggiuntivi
nell’elettrolita solido possono essere legati a fenomeni di di¤usione.
Per quanto detto tali evenienze sono da evitare ed il loro insorgere
viene considerato un’interferenza.
Figura 7
La caduta totale di tensione è data da:
V
= V®2 ¡ V®1 = ¡
1
[¹ ¡ ¹e®1 ] =
F e®2
= (V®2 ¡ V¯2 ) + (V¯2 ¡ V¯1 ) + (V¯1 ¡ V®1 )
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
int erf accia 2
di¤usione
int erf accia 1
8.5 Modello completo
121
8.5 Modello completo
8.5.1 Composto MX che conduce per X+ : rivelazione di X.
Abbiamo un elettrolita solido binario del tipo MX; la specie X è in
comune ed in equilibrio con il gas esterno.
Equazione redox all’interfaccia ®2/¯2:
+
X
+ e¡},|{z}
X
| {z
®2
¯2
Utilizzando ancora l’equazione di equilibrio di reazione:
2
2
2
2
¹¯X + + ¹®e = ¹®X = ¹®X
È poi:
2
2
¹¯X + = ¹¯X + + F V ¯
2
2
2
2
¹®e = ¹®e ¡ F V ®
Quindi:
2
2
2
2
2
¹¯X + + F V ¯ + ¹®e ¡ F V ® = ¹®X
2
2
V¯ ¡V® =¡
i
2
2
1 h ¯2
¹X + + ¹®e ¡ ¹®X
F
Analogamente per l’interfaccia ®1/¯1:
i
1
1 h ¯1
1
1
1
¹X + + ¹®e ¡ ¹®X
V¯ ¡V® =¡
F
Per la caduta di potenziale nel volume dell’elettrolita solido vale
certamente:
i
2
1
1
2
1
1 h ¯2
V¯ ¡V¯ =
¹X + ¡ ¹¯X + ¡ ¹¯X + + ¹¯X +
F
Utilizzando le tre relazioni di cui sopra si ottiene l’espressione della
tensione misurata:
i 1 h
i
1
1 h ¯2
2
1
2
1
V =V® ¡V® =
¹X + ¡ ¹¯X + ¡
+¹®X ¡ ¹®X
|F
{z
} F
termine di di¤usione
122
8. Elettrodi
8.5.2 Composto MX che conduce per X+ : rivelazione di M.
M è in comune con il gas da rivelare.
I potenziali chimici del composto MX sono legati dalla reazione di
formazione.
Infatti se MX si forma dalla
º M M + º X X ) MX
l’equazione di Gibbs Duhem fornisce la relazione:
º M d¹
¹M + º X d¹
¹X = 0
º M d¹M + º X d¹X = 0
da cui:
Z®2
®1
ed integrando:
d¹M
ºX
=¡
ºM
Z®2
d¹X
®1
´
³ 2
´
1
1
º X ³ ®2
¹X ¡ ¹®X
¹®M ¡ ¹®M = ¡
ºM
Esempio:
AgI che si forma come Ag + 21 I2 ) AgI e quindi il coe¢ciente
vale 2.
ºX
ºM
8.5.3 Specie rivelata senza atomi in comune con l’elettrolita
solido.
Poiché non risultano …ssati i potenziali chimici, occorre uno strato
ausiliario.
Consideriamo la seguente struttura:
8.5 Modello completo
123
Fugura 8
Si hanno 3 componenti e 2 fasi; non è soddisfatta la regola delle
fasi.
Consideriamo la seguente struttura:
Figura 9
in cui si hanno 3 componenti e 3 fasi e dunque il sistema è determinato.
¡
¢
Sarà possibile determinare una relazione ¹Ag0 = f ¹Cl2 ;
¡
¢
Misureremo V = ¡ F1 ¹Ag1 ¡ ¹Ag0 .
124
8. Elettrodi
8.6 Applicazione
Nelle …gura 10 è mostrato lo schema di massima di un tipico sensore a
ossido di zirconio per il monitoraggio dell ’ossigeno nei gas combusti
(applicazioni automobilistiche).
Figura 10
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9
Interfacce solido - liquido
Si è visto che la maggior parte dei materiali in contatto con un elettrolita sviluppa un doppio strato di carica (uno strato sull’elettrodo,
uno strato nell’elettrolita).
Supponiamo che sul metallo sia presente una carica (negativa)
¢QE (Coulomb/ unità di area) allora nella soluzione avremo un
eccesso di ioni pari a ¢QE /zF (in moli/ unità di area).
L’eccesso di ioni può essere individuato in tre distinte regioni distinte rispettivamente dai due piani di Helmholtz (vedi …gura 1), e
in una regione esterna detta strato di¤uso di Gouy-Chapman. Per
soluzioni concentrate si può prescindere dallo strato di¤uso.
L’intera struttura viene indicata come “doppio strato elettrico”.
126
9. Interfacce solido - liquido
Figura 1
Il doppio strato presenta una capacità per unità di area (CH )
dell’ordine di 10-40 ¹ F cm¡2 . Questo valore dipende dal potenziale
dell’elettrodo.
Reazioni Elettrochimiche
Consideriamo un elettrodo di platino.
È necessaria una reazione redox all’interfaccia per poter trasferire
elettroni dal liquido al solido e viceversa.
O + e¡ , R
L’elettrodo su cui avviene la reazione è detto elettrodo di lavoro
oppure elettrodo indicatore o sensore.
Esempio
9. Interfacce solido - liquido
Pt
127
Pt
3+
Fe
Fe
3+
2+
e-
2+
Fe
Fe
e-
Figura 2
Fe3+ , Fe2+ : coppia redox
Problema della cinetica
Coppie redox che scambiano cariche tra elettrodi a velocità ragionevole sono dette “coppie elettroattive ”.
Talvolta coppie di ioni (es. K+ , SO4¡ ) non riescono a scaricarsi agli
elettrodi ed accade che dopo una certa soglia di tensione cominci a
scaricarsi agli elettrodi H+ ed OH¡ secondo lo schema:
2H + + 2e¡ ! H2
2OH ¡ ! 2H + + O2 + 4e¡
La tensione di soglia serve a creare le coppie H+ ed OH¡ ;
La coppia K+ , SO4¡ che assicura alla soluzione la dovuta conducibilità ma non partecipa alla reazione all’elettrodo è detta coppia
inerte (o indi¤erente).
La coppia inerte deve interagire con H+ ed OH¡ per permettere
che si richiuda il circuito attraverso la soluzione elettrolitica.
La presenza di coppie inerti abbassa i campi elettrici nella soluzione e quindi sfavorisce la conduzione per correnti di migrazione di
ioni a favore della conduzione per di¤usione di ioni.
L’assenza di correnti di migrazione costituisce una caratteristica
da perseguire nel caso di sensori.
Infatti se il fenomeno che limita la corrente (tramite la reazione
all’elettrodo) è la di¤usione (dovuta ad un gradiente di concentrazione), misurando la corrente si risale immediatamente al gradiente
di concentrazione.
128
9. Interfacce solido - liquido
Le correnti di migrazione interferiscono nella misura di gradienti
dei concentrazione.
Valori tipici del coe¢ciente di di¤usione in soluzione sono dell’ordine di 10¡5 cm2 /s.
I coe¢cienti di di¤usione in fase liquida e gassosa sono molto diversi tra loro; considerando per esempio l ’ossigeno ( a 25 ± C) si
ha:
² in soluzione: 2.4¢ 10¡5 cm2 /s;
² in azoto: 0.16 cm2 /s.
La convezione
La convezione è importante in molti sensori di specie chimiche in
soluzione. Si distinguono i casi di
1. Convezione naturale dovuta a gradienti di densità e/o di temperatura;
2. Convezione forzata.
Si ha in ogni caso uno strato stagnante dovuto al comportamento
viscoso del ‡uido il cui spessore ± h è dato dalla relazione:
µ
¶
ºk`
±h =
(9.1)
vm
nella quale º k è detta viscosità cinematica (vale circa 0.01 per
l’acqua), vm è la velocità del ‡uido ed ` la lunghezza del solido in
contato con il ‡uido.
Figura 3
9.1 Voltammetria
129
9.1 Voltammetria
Si intende misurare una corrente legata a reazioni elettrochimiche
e, indirettamente, alla concentrazione di un elettrolita. Nelle applicazioni sensoristiche si preferisce misurare correnti piuttosto che
tensioni.
Figura 4
Le ipotesi entro le quali svilupperemo la seguente trattazione sono:
² la caduta di tensione nel volume della soluzione è trascurabile;
² anche se si misurano due distinte componenti della corrente
e precisamente (1) la componente capacitiva e (2) la componente detta di Faraday legata alla reazione all’elettrodo ci
interesseremo solo di quest’ultima.
In realtà ci sono alcuni esempi di utilizzo della componenete (1)
per scopi sensoristici.
La corrente di Faraday
La componente di corrente di Faraday risulta limitata da una serie
di cause:
1. la di¤usione di reagenti e prodotti verso l’elettrodo e dall’elettrodo verso il volume della soluzione;
130
9. Interfacce solido - liquido
2. la reazione all’elettrodo;
3. Altre reazioni in soluzione che coinvolgono prodotti o reagenti
implicati nella reazione all’elettrodo.
Corrente [reazione all’elettrodo] limitata dalla di¤usione.
È il caso più favorevole per la sensoristica.
Ricordiamo che nello strato di spessore ±h il moto di prodotti
e reagenti avviene esclusivamente per di¤usione. Ciò è regolato da
precise relazioni analitiche tra correnti misurate e concentrazioni nel
volume nell’ipotesi di poter trascurare qualsiasi contributo di correnti
di migrazione.
De…nizione di “strato di di¤usione”
Si de…nisce strato di di¤usione ± lo strato, funzione del tempo, misurato dalla super…cie dell’elettrodo nel quale la reazione all’elettrodo
altera le concentrazioni di volume.
L’alterazione delle concentrazioni avviene per di¤usione .
± è in‡uenzato dalla convezione.
Si distinguono i seguenti casi:
1. Caso di di¤usione …nita: (± >L) quando lo strato di di¤usione si
estenderebbe oltre le dimensioni dell’elettrolita (L) e in x = L
è …ssata la concentrazione di reagenti; es: celle a ‡usso.
2. Caso di di¤usione semiin…nita (± <L) se lo strato di di¤usione è piccolo rispetto a L; (è la situazione usuale per i sensori
attuali).
I due casi suddetti vanno esaminati anche in funzione dei parametri
geomentrici degli elettrodi (caso dei microelettrodi).
Relazione tra ± e ± h
È esprimibile mediante la di¤usività D e la viscosità cinematica º k
come:
±=
µ
D
ºk
¶1
3
±h
(9.2)
poiché per soluzioni agitate, D = 10¡5 cm2 /s º k = 10¡2 si ottiene:
±=
1
±h
10
9.1 Voltammetria
131
In generale, la condizione di agitazione assicura maggiore stabilità
e conviene sia mantenuta sempre.
Si ha, utilizzando le 9.1,9.2:
1
3
1
6
± = D ºk
µ
`
vm
¶1
2
Come si vede, si può diminuire ± aumentando vm o diminuendo `.
9.1.1 Di¤usione semiin…nita
Consideriamo la reazione
O + ne¡ , R
ed in particolare la riduzione al catodo.
Studiamo la di¤usione della specie ossidata per mezzo della prima
legge di Fick; indichiamo con jO il ‡usso della specie O funzione del
tempo e del punto e con CO e DO rispettivamente la concentrazione
e la di¤usività della specie.
jO (x; t) = ¡DO
@CO (x; t)
@x
All’elettrodo (x = 0):
jO (0; t) = ¡DO
@CO (0; t)
@x
Condizioni inziali e al contorno:
1) a t=0 soluzione omogenea: CO (0,0) = C¤O
2) nel volume, per di¤usione semiin…nita, per x > ± O si ha: CO (
1 ,t)=C¤O
Allora detta CO (0,t) la concentrazione all’elettrodo al tempo t si
ha: (supponendo il ‡usso costante)
¡
Z±O
0
jO (0; t) dx = DO
COZ(1;t)
dCO ) jO (0; t) = DO
CO (0;t)
CO (1; t) ¡ CO (0; t)
±O
e la corrente risultante supposta entrante nell’elettrodo
i = nF ADO
CO (1; t) ¡ CO (0; t)
±O
(9.3)
132
9. Interfacce solido - liquido
che potrà essere espressa anche in base alla concentrazione di
specie ridotta:
i = ¡nF ADR
CR (1; t) ¡ CR (0; t)
±R
Ma CR (1; t) potrà essere considerata trascurabile da cui:
i = nF ADR
CR (0; t)
±R
(9.4)
così come potrà essere considerata nulla la CO (0; t) se la reazione
all’elettrodo è abbastanza veloce da smaltire tutto il reagente che
giunge all’elettrodo; si ha allora dalla 9.3:
i = nF ADO
CO (1; t)
±O
Quando si veri…cano queste condizioni la di¤usione è l’e¤ettivo fattore limitante per la crescita della corrente per cui avremo la corrente
limite che indicheremo con i` :
i` = nF ADO
CO (1; t)
±O
(9.5)
Questa equazione lega i` , la corrente misurata alla concentrazione
della specie O nel volume; si tratta della base per la determinazione
classica amperometrica di CO .
Si può inserire in questa relazione il valore dello strato limite per
la specie O, ± O :
1
3
1
6
± O = DO º k
i` =
2
3
¡1
nF ADO º k 6
µ
`
vm
¶1
³v ´1
m
`
2
2
CO (1; t)
Si nota che la corrente limite (e quindi la sensitività del sensore)
possono essere aumentate aumentando vm ossia l’agitazione.
9.1 Voltammetria
133
Caratteristica Corrente-Tensione
Riprendiamo le espressioni della corrente 9.3,9.4 e 9.5:
i = nF ADO
CO (1; t) ¡ CO (0; t)
=
±O
= nF ADR
CR (0; t)
±R
i` = nF ADO
CO (1; t)
±O
dalle quali:
CR (0; t) =
i± R
nF ADR
CO (1; t) =
i` ± O
nF ADO
CO (0; t) = CO (1; t) ¡
CO (0; t) =
i± O
nF ADO
i± O
i` ± O
¡
nF ADO nF ADO
Quindi:
CO (0; t)
DR ± O i` ¡ i
=
CR (0; t)
DO ± R i
(9.6)
Sostituendo l’espressione del potenziale V all’elettrodo sensore che
può essere desunta dall’applicazione dell’equazione di Nernst:
V = V0 +
RT CO
ln
nF
CR
nella relazione che si ottiene applicando il bilancio di tensioni alla
maglia mostrata in …gura 5, si ha:
134
9. Interfacce solido - liquido
Figura 5
Va ¡ Vr + V = 0
da cui:
Va = Vr ¡ V = Vr ¡ V0 ¡
RT CO
ln
nF
CR
ed utilizzando la 9.6,
Va = Vr ¡ V0 ¡
RT
DR ± O RT i` ¡ i
ln
¡
ln
nF
DO ± R
nF
i
da cui:
Va = V 1 ¡
2
RT i` ¡ i
ln
nF
i
dove si è indicato:
V 1 = Vr ¡ V0 ¡
2
RT
DR ± O
ln
nF
DO ± R
È facile ricavare dalla 9.7:
i=
i
·`
¸
Va ¡V 1
2
1 + exp ¡ RT
nF
(9.7)
9.1 Voltammetria
135
Si noti che V 1 è indipendente dalla concentrazione ma è funzione
2
della coppia redox O/R e che V=V 1 quando i = i2` ; per questo V 1
2
2
è detto potenziale di semionda.
L’andamento di i(v) per basse velocità di applicazione di v ( dv
dt
piccola) ossia per rampe lente di v, è dunque del tipo mostrato in
…gura 6 nella quale si è assunta i` = 30mA; V 1 = 1V:
2
i
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
V
Figura 6
Nel caso in cui dv
dt sia elevata l’andamento della corrente è rapidamente crescente perché si crea un grosso gradiente di [O] che però
viene rapidamente smaltito a causapdella corrente alta; si determina
così un aumento di ± O (secondo la t ) e la di¤usione non riesce più
a rifornire di specie ossidata la reazione almeno alla velocità richiesta
per sostenere la corrente: si ha quindi un picco nella corrente ed una
successiva diminuzione.
136
9. Interfacce solido - liquido
i
V
Figura 7
L’ampiezza del picco è data dalla relazione (di Ramdles-Sevcik)
3
2
¤
ip = 0:452 (nF ) ACO
Ã
DO dv
dt
RT
!1
2
Poiché ip >> i` ossia si può avere un incremento di sensitività
(…no a 10-100 volte) con alte dv
dt .
9.1.2 Corrente limitata dalla reazione di trasferimento
all’elettrodo
Modello di Marcus-Gerischer
Reazione agli elettrodi:
O + ne¡ , R
Supponiamo che le reazioni agli elettrodi siano del primo ordine:
il trasferimento elettronico è proporzionale alla concentrazione della
specie alla super…cie dell’elettrodo.
Il diagramma a bande del contatto elettrolita-metallo (in equilibrio) è mostrato nella …gura 8.
9.1 Voltammetria
Elettrolita
E
-i
EO
a
EF
Metallo
137
N(E)
Eredox
-ic
ER
x
Figura 8
N(E): densità di stati
O:agente ossidante
R: agente riducente
rispetto all’elettrodo di PT.
Interpretazione della curva a campana N(E)
Lo stato per l’elettrone relativo alla specie ossidata [ridotta] dovrebbe essere unico. Invece si osserva una molteplicità di stati a causa
dell’interazione con il solvente [dipolare]. Questi stati saranno distribuiti in energia intorno ad un livello che sarà occupato con più
alta probabilità (EO ,ER ) che coincide con il livello unico in caso di
interazione trascurabile col solvente.
In base al modello di Marcus la densità di stati (in energia) è data
da:
N(E) = ®C² W (E)
dove ® è un coe¢ciente (tunnel) legato alla distanza dall’elettrodo mentre ® C è la concentrazione (per unità di area) in grado di
partecipare alla conduzione tunnel.
W(E,Et ) essendo Et il valore dell’energia corrispondente al massimo della distribuzione, vale:
Ã
!
(Et ¡ E)2
1
exp ¡
W (E; Et ) = p
4¸kT
4¼kT
138
9. Interfacce solido - liquido
¸ è (una energia) detta di riorganizzazione che vale 0.4-3 eV.
Le correnti in gioco sono di tipo tunnell.
La situazione è di equilibrio se la corrente netta scambiata è nulla
e quindi se sono uguali e contrarie ic e ia ossia:
i = ic ¡ ia = 0
ia = ACR
Z1
W (E; ER )dE
ZEF
W (E; EO )dE
EF
ic = ACO
0
In generale EF ed Eredox non saranno inizialmente allineati ma ad
esempio avremo la seguente situazione (…gura 9):
E
Elettrolita
EF
EO
Metallo
Eredox
-ic
ER
x
Figura 9
È evidente che molti stati pieni nel metallo sono a¤acciati a stati
vuoti nella specie ossidata e quindi siamo nelle condizioni perché si
instauri una iniziale forte corrente catodica.
Questa corrente è responsabile della formazione del doppio strato
elettrico e, in termini energetici dello spostamento verso l’alto di
Eredox …no a ottenerne l’allineamento con EF .
9.1 Voltammetria
139
Infatti la soluzione si caricherà negativamente e l’elettrodo positivamente e ciò signi…ca che l’energia della soluzione crescerà mentre
quella del metallo diminuirà.
Contrariamente al caso del semiconduttore in cui si forma lo strato
di carica spaziale e si possono calcolare i piegamenti delle bande, per
gli elettroliti la situazione è più complessa né si possono compiere
misure di potenziale sul doppio strato.
Caratteristiche i ¡ v:
La disposizione strumentale riportata in …gura 10, è la medesima che
si ha in voltammetria.
Figura 10
Riferiamoci al sovrapotenziale ´ = Vapp ¡ V ¤ dove V ¤ è il potenziale di riferimento.
Si ha allora i = 0 per ´ = 0:
Quando ´ 6= 0 si avrà una separazione tra EF ed Eredox e cambierà l’entità dell’a¤acciamento relativo tra stati nel metallo e nella
soluzione.
In de…nitiva si avrà uno squilibrio tra corrente anodica ia e castodica ic . La separazione tra EF ed Eredox sarà data da q´ :
EF = Eredox ¡ q´
Approssimiamo
140
9. Interfacce solido - liquido
Z1
W (ER ; E)dE
EF
poiché per E>E1 W è trascurabile,
Z1
EF
W (ER ; E)dE ¼
ZE1
W (ER ; E)dE
EF
ma il contributo maggiore è dato dalla zona di energie vicina ad
EF ossia
ZE1
W (ER ; E)dE ¼
W (ER ; EF )dE ¼
EF
EF
¼ W (ER ; EF )
ZE1
ZE1
dE = W (ER ; EF )(E1 ¡ EF ) = W (ER ; EF )E 0
EF
Analogamente per
ZEF
0
W (EO ; E)dE ¼ W (EO ; EF )E 00
Dal fatto che all’equilibrio ia = ic ) E 0 ¼ E 00
si può dimostrare che:
Eredox = ER + ¸ + kT ln
allora
CR
CR
= EO ¡ ¸ + kT ln
CO
CO
"
#
"
#
(EF ¡ ER )2
ia ¼ AE 0 CR exp ¡
4¸kT
(EF ¡ EO )2
ic ¼ AE 00 CO exp ¡
4¸kT
9.1 Voltammetria
141
Ma per EF valgono le relazioni:
EF = Eredox ¡ q´ ) Eredox = EF + q´
EF + q´ = EO ¡ ¸ + kT ln
CR
CR
) EF ¡ EO = ¡¸ + kT ln
¡ q´
CO
CO
EF + q´ = ER + ¸ + kT ln
CR
CR
) EF ¡ ER = ¸ + kT ln
¡ q´
CO
CO
quindi:
ia ¡ ic
8
2 ³
´2 3
C
>
R
<
6 ¸ + kT ln CO ¡ q´ 7
= E CR exp 4¡
5
>
4¸kT
:
2 ³
6
¡CO exp 4¡
CR
+ q´
¸ ¡ kT ln C
O
4¸kT
CR
Assumiamo ¸ >> q´ ed inoltre: ¸ >> kT ln C
O
si ottiene per i due termini:
"
exp ¡
³
¸¨kT ln
4¸kT
h
i
2¸´q
¼ exp ¨ 4¸kT
ia ¡ ic
CR
CO
§q´
´2 #
´2 39
>
=
7
5
>
;
h 2
i
2 ´2
= exp ¡ ¸ §2¸´q+q
4¸kT
8
2 ³
´2 3
C
>
R
<
6 ¸ + kT ln CO ¡ q´ 7
= E CR exp 4¡
5¡
>
4¸kT
:
2 ³
´2 39
CR
>
=
¸
¡
kT
ln
+
q´
CO
6
7
¡CO exp 4¡
5
>
4¸kT
;
142
9. Interfacce solido - liquido
ia ¡ ic
8
2 ³
´2 3
CR
>
<
¸
+
kT
ln
¡
q´
CO
6
7
= E CR exp 4¡
5¡
>
4¸kT
:
2 ³
´2 39
CR
>
=
6 ¸ ¡ kT ln CO + q´ 7
¡CO exp 4¡
5
>
4¸kT
;
In de…nitiva si ottiene:
"
i = i0 exp
Ã
1
2 ´q
kT
!
Ã
¡ exp ¡
1
2 ´q
kT
!#
che è detta relazione di BUTLER VOLMER (…gura 11).
i
η
Figura 11
9.1 Voltammetria
Semiconduttori
Elettrolita
E
- ia
Ec
EO
N(E)
EF
Semiconduttore
Ev
ER
-i c
x
Figura 12
i
metallo
semiconduttore tipo n
V*
Vapp
semiconduttore tipo p
Figura 13
143
144
9. Interfacce solido - liquido
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10
ChemFET
I chemFET sono sensori basati su dispositivi a e¤etto di campo
(FET) caratterizzati da alta impedenza di ingresso (vedi …gura 1). Il
misurando può essere costituito da una concentrazione di ioni in soluzione o dalla pressione parziale di un gas. Ci sono esempi di sensori
basati su dispositivi ad e¤etto di campo anche di parametri …sici e
biochimici.
10.0.3 Classi…cazione
Nelle seguente tabella è riportata la classi…cazione dei sensori basati
sul MOSFET.
Ion Sensitive FET
Enzime Modi…ed FET
Immunologically modi…ed FET
IR-Pyroelectric Sensors
Ultrasonic/Piezoelectric FET
Magnetic FET
ISFET
EMFET
ImFET
POSFET
MagFET
A questa classe di sensori appartengono anche
² sensori di gas e/o vapori basati su MOSFET con gate catalitico;
146
10. ChemFET
² sensori di gas e/o vapori basati su MOSFET con membrane
selettive;
il cui principio di funzionamento è stato esaminato in un precedente capitolo.
guadagno
alta
impedenza
di ingresso
bassa impedenza
di uscita
Elemento sensibile
Figura 1
10.0.4 Digressione sulle interfacce
Si distinguono due tipi di interfacce:
Interfaccia bloccata
L’interfaccia bloccata (polarizzabile) è caratterizzata dalla proprietà
di non consentire passaggio di carica all’interfaccia.
L’interfaccia bloccata viene modellata semplicemente con una serie
di capacità.
10. ChemFET
147
Figura 2
Interfaccia non bloccata
Nel caso di interfaccia non bloccata (non polarizzabile) si ha scambio
di carica all’interfaccia.
membrana
z+
Ai
elettrolita
Figura 3
All’equilibrio i potenziali elettrochimici (relativi allo ione i-mo) tra
membrana ed elettrolita devono essere allineati. Si ha poi:
sol
¹sol
i = ¹i + qzV
¹mem
= ¹i + qzV mem
i
Quindi:
sol
¹sol
= ¹mem
+ qzV mem )
i + qzV
i
148
10. ChemFET
) V sol ¡ V mem = ¢V =
i
1 h mem
¹i
¡ ¹isol
qz
¢V viene detto potenziale di Donnan.
Figura 4
Nel caso di una membrana immersa nell’elettrolita da entrambe le
parti si ha la seguente situazione:
Figura 5
Questa situazione è tipica della con…gurazione di misura seguente:
10. ChemFET
149
Figura 6
Il sensore di cui sopra prende il nome di “elettrodo iono-selettivo
” (ISE).
150
10. ChemFET
10.1 ISFET
Nella …gura 7 è schematizzata la struttura di un ISFET (ion sensitive
…eld e¤ect transistor); si tratta di un mosfet privo dell’elettrodo di
gate. L’isolante del mosfet (realizzato ad esempio con ossido di silicio
o nitruro di silicio) è direttamente esposto alla soluzione elettrolitica.
Supponiamo che l’interfaccia elettrolita / isolante sia bloccante
per gli ioni contenuti nella soluzione elettrolitica. Si individuano le
seguenti interfacce: Cu j Si j SiO2 j elettrolita j AgCl j Ag j Cu:
L’elettrodo di riferimento, a rigore separato dalla soluzione da un
setto poroso, viene collegato alla batteria che impone la tensione di
gate della struttura elettrolita/ isolante/ semiconduttore; il contatto
di substrato è posto a massa.
Figura 7
10.2 Struttura EIS
La struttura di controllo dell’Isfet è la giunzione elettrolita/isolante/
semiconduttore disegnata in …gura 8. Nella stessa …gura sono riportati i diagrammi delle cariche alle interfacce e il diagramma a
bande.
10.2 Struttura EIS
151
Figura 8
10.2.1 Calcolo della VT
In condizioni di equilibrio si ha:
¹eR = ¹eSi ) ¹eR ¡ ¹eSi = 0
Come nel caso del Mosfet, applicando una di¤erenza di potenziale
Vg avremo una separazione dei livelli ¹eR e ¹eSi di una quantità qVg .
Vg =
1 e
1 e
(¹
¹Si ¡ ¹eR ) = (¹
¹ ¡ ¹eM1 )
q
q Si
Dal diagramma a bande di …gura 8 si ricava:
152
10. ChemFET
qVg = ¹eSi ¡ ¹eM1 = qVR + qªsol + Â
~ sol + qVox + qªS ¡ q©S
ox
In condizioni di bande piatte si annulla ªS e Vox vale ¡ Q
Cox :
Â
~
Qox
VF B = VR + sol ¡ ©S +ªsol ¡
q
Cox
|
{z
}
termine analogo a ©M S
Quindi:
Vg = VF B + ªS ¡
QS (ªS )
Cox
ed in forte inversione:
VT = VF B + 2ªB ¡
QS (2ªB )
Cox
Sia VT che VF B sono funzione del piegamento del potenziale nell’elettrolita ªsol .
10.2.2 Site binding Model
Si tratta di un modello prevalentemente utilizzato per ossidi (tra i
quali l’ossido di silicio) che stabilisce una relazione tra ªsol e pH.
Figura 9
10.2 Struttura EIS
153
Ipotesi:
² È presente un solo tipo di siti di reazione super…ciale.
² Questi siti interagiscono con la soluzione scambiando un protone H+ .
² Trascuriamo in prima approssimazione la carica contenuta nello strato di¤uso così che la carica totale nell’elettrolita possa
essere considerata quella speci…camente adsorbita all’interfaccia.
Si hanno le seguenti reazioni interfacciali:1
k
SiOH + H + ,1 SiOH2+
k
2
SiO¡ + H +
SiOH ,
da cui si possono calcolare le costanti di equilibrio:
£
¤
SiOH2+
k1 =
[SiOH] [H + ]
k2 =
[SiO¡ ] [H + ]
[SiOH]
k2 £ + ¤2 [SiO¡ ]
£
¤
= H
k1
SiOH2+
(10.1)
La concentrazione super…ciale di H+ è legata alla concentrazione
nel volume della soluzione dalla relazione di Boltzmann:
µ
¶
£ +¤
£ +¤
qªsol
H S = H B exp ¡
kT
Ricaviamo la concentrazione di H+ dal rapporto della 10.1:
£ +¤
H S=
r
k2
k1
"£
¤#1
SiOH2+ 2
[SiO¡ ]
1 Si segue la trattazione del Site Binding Model rielaborata da L. J. Bousse nella sua
tesi di dottorato del 1982.
154
10. ChemFET
e quindi:
r
k2
k1
"£
¤#1
¸
·
SiOH2+ 2 £ + ¤
qªsol
= H B exp ¡
[SiO¡ ]
kT
Passando ai logaritmi:
"£
¤#1
r
SiOH2+ 2
qªsol
k2
ln
+ ln
= ¡2:303pH ¡
¡
k1
[SiO ]
kT
qªsol
2:303 [pHpzc ¡ pH] =
+ ln
kT
È possibile mettere ln
·
[SiOH2+ ]
[SiO¡ ]
¸1
2
"£
¤#1
SiOH2+ 2
[SiO¡ ]
in relazione con i parametri
elettrici relativi al doppio strato.
Introduciamo la carica super…ciale:
©£
¤ £
¤ª
Qds = q SiOH2+ ¡ SiO¡ = q [NS (®+ ¡ ®¡ )] = qNS ®0
dove si è de…nito il numero totale di siti NS :
£
¤ £
¤
NS = SiOH2+ + SiO¡ + [SiOH]
ed inoltre
£
¤
SiOH2+
[SiO¡ ]
; ®¡ =
; ®0 = (®+ ¡ ®¡ )
®+ =
NS
NS
Conviene poi introdurre
®n =
p
[SiOH]
; K = k1 k2
NS
Con calcoli piuttosto onerosi si può dimostrare che
"£
¤#1
SiOH2+ 2
ln
[SiO¡ ]
" r #
®+
K
= ln
= senh¡1 ®0
¡ ln (1 ¡ ®0 )
®¡
4
·
¸
Qds p
¡1
= senh
K ¡ ln (1 ¡ ®0 )
2qNS
·
¸
µ
¶
p
Qds
¡1 CD ªsol
= senh
K ¡ ln 1 ¡
2qNS
qNS
r
10.3 Struttura EMIS
155
"£
¤#1
¶
·
¸
µ
SiOH2+ 2
Qds
¡1 qªsol
ln
= senh
¡ ln 1 ¡
[SiO¡ ]
bkT
qNS
dove b =
p
2qNS k1 k2
CD kT
q
, CD è la capacità del doppio strato.
Per piccoli valori di
B=
qªsol
) senh¡1 (B) »
=B
bkT
si ha quindi:
µ
¶
µ
¶
1
Qds
qªsol
1+
¡ ln 1 ¡
(10.2)
kT
b
qNS
·µ
¶
¸
1
CD kT
qªsol
1+
+
'
kT
b
qNS q
³
´
Qds
Qds
Osserviamo infatti che ¡ ln 1 ¡ qN
= CDqNªSsol ; inoltre,
' qN
S
S
2:303(pHpzc ¡ pH) »
=
la costante
CD kT
qNS q
vale approssimativamente
20¢10¡6
1:6¢10¡19 ¢5¢1014
¢ 26 ¢ 10¡3 = 6:5 ¢10¡3 e quindi il terzo termine della
10.2 risulta trascurabile; si ha in…ne:
µ
¶
qªsol
1
»
2:303(pHpzc ¡ pH) =
1+
kT
b
Calcoliamo la sensibilità:
µ
¶
@ªsol
kT b »
b
= ¡2:303
mV
= ¡59
@pH
q b+1
b+1
³
´
sol
se b » 1 ) @ª
= ¡59 mV/pH
@pH
Questa condizione, che
p massimizza la risposta della struttura al
pH, si veri…ca se NS e k1 k2 sono grandi mentre CD è piccolo. Se si
vuole viceversa minimizzare la risposta al pH si dovranno scegliere
condizioni opposte.
10.3 Struttura EMIS
Studiamo il caso di una membrana sensibile a specie chimiche del tipo
“non polarizzabile ”. In questo caso si ha inizialmente uno scambio
156
10. ChemFET
di ioni tra soluzione e membrana …no all’instaurarsi di un equilibrio
interfacciale.
Figura 10
Si suppone che la membrana sia su¢cientemente spessa da consentire al potenziale di riequilibrarsi nel volume della membrana
stessa.
Ricaviamo Vg dal diagramma a bande:
qVg = qVR ¡
¹isol
+ q©Mi + qVox + qªS ¡ q©S
zi
10.3 Struttura EMIS
ma ricordiamo che:
¹isol = ¹i0
sol + kT ln Ci
e quindi:
Vg = VR + ©Mi ¡ ©S + Vox + ªS ¡
¹i0
sol + kT ln Ci
qzi
Nel caso di bande piatte si avrà dunque:
VF B = Vg jF B = VR + ©Mi ¡ ©S +
+ kT ln Ci
Qox ¹i0
¡ sol
Cox
qzi
e alla soglia:
VT = Vg jF I = VF B + 2ªB ¡
QS (2ªB )
Cox
In analogia alla de…nizione di pH diremo pCi = ¡ log Ci
Si osservi allora che la sensibilità di VF B al pCi è 59
zi mV/dec.
157
158
10. ChemFET
10.4 Strutture a gate esteso
Il motivo di fallimento più frequente di strutture EIS o EMIS è costituito da perdite dovute ad in…ltrazioni dell’elettrolita sotto all’elettrodo di gate. Quindi è conveniente allontanare per quanto possibile
la parte sensibile a ioni dall’elemento microelettronico di lettura. Il
sensore prende il nome di “Extended gate MOSFET ”.
Figura 11
La caduta di tensione sulla membrana è legata alla concentrazione
di un certo ione da relazioni del tipo:
qªS = E0 +
kT
ln Ci
qzi
Non è necessaria la sovrapposizione della membrana col canale
del MOSFET ma è utile che il tratto sensibile non disti molto dal
canale per evitare eccessivi caricamenti (possono essere introdotte
soluzioni con linea di gate schermata per diminuire la capacità verso
il substrato).
Il MOSFET funziona così da dispositivo di ingresso di un elettrometro; si tratta dell’equivalente integrato di un elettrodo ionoselettivo.
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11
Sensori di deformazione
11.1 Corpi elastici deformabili
Si consideri un corpo elastico deformabile. Questo corpo, sottoposto
ad una sollecitazione, si deforma ossia cambia forma e volume. Nel
corpo deformato ogni particella del materiale è spostata dalla sua
posizione di equilibrio; nascono delle tensioni interne di richiamo
verso le posizioni originarie.
Le deformazioni di nostro interesse sono talvolta variabili nel tempo (in un campo di frequenze da pochi Hz …no al GHz e tipicamente
dell’ordine dei MHz in applicazioni acustiche in campo biomedico).
Individuiamo la posizione di una particella P nel corpo non deformato e la posizione della stessa particella (P’) nel corpo che ha
subito la deformazione (…gura 1).
160
11. Sensori di deformazione
P
P'
…gura1
Per descrivere quantitativamente la deformazione di un corpo stabiliamo alcune de…nizioni.
11.1.1 Spostamento
~
Rispetto all’origine …ssata in O individuiamo P e P’ con i vettori L
~
ed `: la di¤erenza di questi vettori de…nisce lo spostamento ~u:
~u (L; t) = ~` (L; t) ¡ L
P
L
P'
l(L,t)
O
…gura 2
~
si noti che sia ~
` che ~u sono funzioni del tempo e del punto (di L).
11.1 Corpi elastici deformabili
161
B'
d l A' du
u(L+dL,t)
A'
u(L,t)
B
dL
l
L
O
Figura 3
11.1.2 Spostamento di¤erenziale
Si noti che ad u(L; t) contribuiscono sia deformazioni che eventuali
traslazioni. Si esegua la costruzione di …gura 3: al punto A (A’), si
imponga un incremento dL (d`) che individua il punto B (B’).
Consideriamo dunque il vettore
~
d~u = d~`(L; t) ¡ dL
che prende il nome di spostamento di¤erenziale. Questo vettore
non contiene contributi dovuti a traslazioni.
11.1.3 Matrice gradiente di spostamento
Esprimiamo ~u in coordinate cartesiane:
~u = x
^ux + y^uy + z^uz
da cui: du± =
quindi:
du±
dLx dLx
+
du±
dLy dLy
2 du
x
2
3 6 dLx
dux
6 du
y
4 duy 5 = 6
6
6 dLx
duz
4 duz
dLx
+
dux
dLy
duy
dLy
duz
dLy
du±
dLz dLz
dux
dLz
duy
dLz
duz
dLz
± = x; y; z
3
7 2 dL 3
7
x
74
dL
7
y 5
7
5 dLz
162
11. Sensori di deformazione
La matrice
2 du
x
6 dLx
6 du
y
6
"(L; t) = 6
6 dLx
4 duz
dLx
dux
dLy
duy
dLy
duz
dLy
dux
dLz
duy
dLz
duz
dLz
3
7
7
7
7
7
5
(11.1)
è detta matrice spostamento di¤erenziale o matrice gradiente di
spostamento
La matrice " può essere ottenuta formalmente dal prodotto matriciale:
2
3
dux h
4 duy 5
duz
d
dLy
d
dLx
d
dLz
2 du
x
6 dLx
i 6 du
y
6
=6
dL
6
x
4 duz
dLx
dux
dLy
duy
dLy
duz
dLy
dux
dLz
duy
dLz
duz
dLz
3
7
7
7
7
7
5
11.2 Deformazioni
La matrice gradiente di spostamento è non nulla per rotazioni rigide:
u+du
A
A'
dl
dL
u
B'
B
L
l
…gura 4
11.2 Deformazioni
163
Conviene adottare quantità scalari del tipo
¢ = d`(L; t) ¡ dL
oppure
¢0 = d`2 (L; t) ¡ dL2
che non solo si annullano per traslazioni rigide (come ") ma sono nulle anche per rotazioni e sono non nulle solo in presenza di
deformazioni.
¢0 = d`2 (L; t) ¡ dL2
(11.2)
prende il nome di deformazione
11.2.1 Calcolo della deformazione
scriviamo:
d`± = dL± + du± = dL± +
du±
du±
du±
dLx +
dLy +
dLz
dLx
dLy
dLz
( ± = x; y; z ), da cui, utilizzando la 11.2:
¢0 = (d`x )2 + (d`y )2 + (d`z )2 ¡ (dLx )2 ¡ (dLy )2 ¡ (dLz )2
che può essere scritta come:
¢0 = 2
£
dLx dLy
2
32
3
S
S
S
dL
xx
xy
xz
x
¤
dLz 4 Syx Syy Syz 5 4 dLy 5
Szx Szy Szz
dLz
dove il generico elemento Sij è de…nito come:
·
¸
@uj
@uk @uk
1 @ui
+
+
Sij (L; t) =
2 @Lj
@Li @Li @Lj
con i; j; k = x; y; z
164
11. Sensori di deformazione
Esempio
Calcoliamo Sxx ed Sxx :
per quanto riguarda Sxx si ha: i = j = x e k = x; y; z
quindi:
1.
Sxx
"
µ
¶
µ
¶
µ
¶ #
1 @ux
@ux
@ux 2
@uy 2
@uz 2
=
+
+
+
+
=
2 @Lx @Lx
@Lx
@Lx
@Lx
¶
¶
¶
µ
µ
µ
@ux
1 @ux 2 1 @uy 2 1 @uz 2
=
+
+
+
@Lx 2 @Lx
2 @Lx
2 @Lx
Nel calcolo di Sxx si deve porre i = x; j = y e k = x; y; z :
Sxy
·
µ
¶ µ
¶ µ
¶¸
1 @ux
@uy
@ux @ux
@uy @uy
@uz @uz
=
+
+
+
+
2 @Ly @Lx
@Lx @Ly
@Lx @Ly
@Lx @Ly
2
3
Sxx Sxy Sxz
S = 4 Syx Syy Syz 5
Szx Szy Szz
è detto Tensore di Strain.
Il tensore di strain permette di calcolare la deformazione ¢0 in
termini delle componenti del campo di spostamento u.
Salvo in casi di grandi deformazioni non è necessario tenere conto
nella espressione di Sij dei termini quadratici: in tale sempli…cazione
si ha :
·
¸
1 @ui
@uj
Sij =
+
i; j = x; y; z:
2 @Lj
@Li
In questo caso è immediato veri…care che risulta Sij =Sji
11.2.2 Sempli…cazioni
Ricordiamo che è:
Li = `i ¡ ui
e quindi risulta:
11.2 Deformazioni
@ui
@ui
=
@Lj
@`j
165
µ
¶
@uj ¡1
1¡
@`i
ossia la derivata rispetto a Lj o lj è uguale a parte termini quadratici.
Nell’ipotesi di trascurare i termini quadratici possiamo allora esprimere tutto in funzione di
~` ´ ~r = x
^x + y^y + z^z:
In particolare la relazione strain-spostamento (linearizzata) risulta:
·
¸
1 @ui @uj
Sij =
+
2 @rj
@ri
e, nelle stesse ipotesi, l’elemento della matrice gradiente di spostamento è:
²ij (r; t) =
@ui
@rj
Esempio
Barra compressa ad un estremo
L
D
u(L)
l
u(D)
D'
x
…gura 5
Calcoliamo lo spostamento:
~u(D) = ¡^
x (D ¡ D0 )
³
L
~u(L) = ¡^
x (D ¡ D0 ) D
= ¡^
x 1¡
D0
D
´
L
166
11. Sensori di deformazione
³
´
0
x
~u(L) = ¡^
x (D ¡ D0 ) D
= ¡^
x 1¡ D
x
D
Si osservi che lo spostamento ha componenti solo lungo l’asse x.
La matrice gradiente di spostamento risulta:
´
2 ³
3
0
¡ 1¡ D
0
0
D
6
7
[²] = 4 0
0 0 5
0
0 0
Calcoliamo la matrice di strain (in forma linearizzata):
L’unica componente
non
¡
¢ nulla risulta
@ ux
D0
Sxx = @ x = ¡ 1 ¡ D
per cui:
´
2 ³
3
0
¡ 1¡ D
0
0
D
6
7
S=4 0
0 0 5
0
0 0
11.2.3 Relazione tra S ed "
Nei limiti dell’approssimazione lineare si compiono i seguenti passi:
1) si scompone " in componenti simmetrici ed antisimmetrici:
²=
2) si riconosce che
¢ 1¡
¢
1¡
² + ²T +
² ¡ ²T
2
2
s=
¢
1¡
² + ²T
2
ossia la componente simmetrica di " è proprio il tensore di strain.
Si noti che una " puramente antisimmetrica (o la componente
antisimmetrica di ²) rappresenta pure rotazioni locali.
Esempio Rotazioni locali
2
allora:
3
0 a 0
² = 4 ¡a 0 0 5
0 0 0
11.3 Notazione Simbolica
167
@~u = ²@~r
da cui
3
3 2
32
3 2
a@ry
@rx
0 a 0
@ux
@~u = 4 @uy 5 = 4 ¡a 0 0 5 4 @ry 5 = 4 ¡a@rx 5
0
@rz
0 0 0
@uz
2
e quindi:
£
a@ry ¡a@rx 0
¤
Esempio
3
@rx
4 @ry 5 = 0
@rz
2
Supponiamo che lo spostamento sia della forma
~u(r; t) = x
^ cos (!t ¡ ky)
ossia sia un’onda piana polarizzata lungo x e propagantesi in direzione y.
Ricordiamo che k = 2¼
¸ è il vettore d’onda, !t ¡ ky è la fase e
!
v = k è detta velocità di fase.
Calcoliamo i componenti non nulli del tensore di strain secondo la
de…nizione:
·
¸
@uj
1 @ui
Sij =
+
i; j = x; y; z:
2 @Lj
@Li
Si ha:
h
i
xi
Sxy = Syx = 21 @u
= k2 sin(!t ¡ ky)
@y
che sono a loro volta onde piane di strain polarizzate lungo x e
propagantesi lungo y.
11.3 Notazione Simbolica
In notazione simbolica la matrice gradiente di spostamento può essere espressa come
~² = r~u
168
11. Sensori di deformazione
siccome è: S =
si ha:
1
2
¡
¢
² + ²T
S=
¢
1¡
r~u + r~uT
2
De…niamo l’operatore
¢
1¡
r~u + r~uT
2
rs ~u =
detto gradiente simmetrico
Con questa notazione si ha:
S = rs ~u
11.4 Notazione ridotta (S)
Matrici simmetriche 3¢3 possono essere trattate come vettori di 6
elementi seguendo la seguente convenzione:
2
6
3
2
3
1
1
6
a11 a12 a13
a1
2 a6 2 a5
6
1
4 a21 a22 a23 5 ) 4 1 a6 a2
5
)6
2
2 a4
6
1
1
6
a31 a32 a33
a
a
a
5
4
3
2
2
4
2
11.4.1 Operatore rs in forma matriciale
a1
a2
a3
a4
a5
a6
3
7
7
7
7
7
7
5
Calcoliamo la forma matriciale (linearizzata) dell’operatore
rs ;
h
i
@uj
i
ricordiamo che è: Sij = 12 @u
@rj + @ri
11.4 Notazione ridotta (S)
2
6
6
6
6
6
6
4
Sxx
Syy
Szz
2szy
2sxz
2sxy
3
2
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
5 4
2 @
6 @x
6
6 0
6
6
6
6 0
6
=6
6 0
6
6
6 @
6
6 @z
4 @
@y
2
S1
S2
S3
S4
S5
S6
6
6
3 6
6
6
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
5 6
6
6
6
6
6
4
0
@
@y
0
@
@z
0
@
@x
0
0
@
@z
@
@y
@
@x
0
Con la posizione:
rIj
allora si può scrivere
2 @
6 @x
6
6 0
6
6
6
6 0
6
=6
6 0
6
6
6 @
6
6 @z
4 @
@y
@ux
@rx
@uy
@ry
@uz
@rz
@uz @uy
+
@ry
@rz
@uz @ux
+
@rx
@rz
@ux @uy
+
@ry
@rx
3
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7=
7
7
7
7
7
7
7
5
7
7
7
7
72
3
7
7 ux
74
7 uy 5
7
7 uz
7
7
7
7
5
0
@
@y
0
@
@z
0
@
@x
SI = rIj uj
0
0
@
@z
@
@y
@
@x
0
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
con I = 1; 6 j = 1; 3 analoga matriciale della S = rs~u .
169
170
11. Sensori di deformazione
11.5 Forze
Distinzione tra forze “di volume” e “di super…cie”.
Esempi di forze di volume:
~ dV = ½~gdV
F
~ dV = q EdV
~
F
.
Considerazioni analoghe valgono per i momenti.
Le forze di volume agiscono sulle singole particelle del corpo per
mezzo di una azione a distanza ed in generale sono in grado di
deformare un corpo elastico o provocare vibrazioni nel corpo.
Alternativamente deformazioni e vibrazioni possono essere indotte
applicando forze di super…cie (o pressioni) alle super…ci che limitano
il corpo; tali pressioni saranno trasmesse alle particelle interne del
corpo tramite forze elastiche (o sforzi) interni.
In un corpo elastico deformato si originano delle reazioni interne
che tendono a far tornare ciascuna particella nella sua posizione di
equilibrio;
Dato il cubetto di materiale di volume dV = dxdydz individuiamo
gli sforzi su ciascuna delle facce perpendicolari all’asse o con To e
scriviamo To come somma vettoriale delle componenti Txo , Tyo , Tzo
ottenute proiettando il vettore su ciascun asse.
z
Tz
Ty
dz
dx
dy
y
x
x
…gura 6
Si ha così:
Tx
11.5 Forze
171
Tx = x
^Txx + y^Tyx + z^Tzx
Ty = x
^Txy + y^Tyy + z^Tzy
Tz = x
^Txz + y^Tyz + z^Tzz
3
Txx Tyx Tzx
T t = 4 Txy Tyy Tzy 5
Txz Tyz Tzz
2
è detta Tensore di Stress.; le sue dimensioni sono forza per unità
di super…cie ossia pressione o tensione.
Stress su una super…cie di
orientazione arbitraria
-TxdSx
z
n
-TndSn
-TydSy
y
x
-TzdSz
…gura 7
Equazione di equilibrio lungo l’asse x:
Txn @Sn ¡ Txx @Sx ¡ Txy @Sy ¡ Txz @Sz + F dV = 0
Quando le dimensioni si riducono dV va a zero più rapidamente
di @S± ed inoltre: @S± = @Sn n
^±
quindi:
Txn @Sn = Txx nx @Sn ¡ Txy ny @Sn ¡ Txz nz @Sn
ossia:
2
3 2
32
3
Txn
Txx Txy Txz
nx
Tn = 4 Tyn 5 = 4 Tyx Tyy Tyz 5 4 ny 5
Tzn
Tzx Tzy Tzz
nz
172
11. Sensori di deformazione
In forma matriciale:
T~n = [T ] ~n
11.5.1 De…nizione formale
RPossiamo calcolare la risultante di tutte le forze interne nella forma
~ dV dove F
~ è una forza di reazione interna per unità di volume
F
V.
RConsideriamo la risultante lungo la direzione i:
Fi dV .
Questa risultante può essere ridotta a forza di super…cie se si scrive
Fi come divergenza di un tensore del secondo ordine:
Z
Z
Z
@Tik
Fi dV =
dV = (r ¢ T )i dV
@xk
La relazione di cui sopra può essere vista come de…nizione del
tensore degli sforzi (tensore di stress).
Per il teorema della divergenza:
Z
I
(r ¢ T )i dV = Tik dSk
H
dove Tik dSk rappresenta la i-ma componente della forza sulla
super…cie dS.
La relazione di cui sopra è la riduzione della Fi a integrale di
super…cie sul contorno del volume V.
11.6 Equazione del moto
Scriviamo l’Equazione di Newton:
Z
Z
Z
@2u
T ¢n
^ dS + F dV = ½ 2 dV
@t
±S
±V
±V
ma,
Z
±S
quindi:
T ¢n
^ dS =
Z
±V
r ¢ T dV
11.7 Notazione ridotta (T)
r¢T =½
173
@2u
¡F
@t2
In coordinate cartesiane:
@
@ 2 ui
Tij = ½ 2 ¡ Fi i; j = x; y; z:
@rj
@t
Notare che si assume la convenzione di sommare sugli indici ripetuti.
Si osservi che la divergenza di un tensore del secondo ordine risulta
essere un vettore.
11.7 Notazione ridotta (T)
Il tensore degli sforzi è simmetrico; si può quindi adottare una notazione ridotta analogamente al caso del tensore di strain:
2
3
T1
2
3 2
3 6 T2 7
6
7
Txx Txy Txz
T1 T6 T5
6 T3 7
7
T = 4 Tyx Tyy Tyz 5 = 4 T6 T2 T4 5 = 6
6 T4 7
6
7
Tzx Tzy Tzz
T5 T4 T3
4 T5 5
T6
Allora, valutando la divergenza di T1 :
2
3
¸ T1 T6 T5
·
@
@
@
4 T6 T2 T4 5
r¢T =
@x @y @z
T5 T4 T3
2
6
6
6
r¢T =6
6
4
@
T1 +
@x
@
T6 +
@x
@
T5 +
@x
3
@
@
T6 +
T5 7
@y
@z
7
@
@
7
T2 +
T4 7
7
@y
@z
5
@
@
T4 +
T3
@y
@z
1 Si osservi che l’operazione divergenza di un tensore del secondo ordine dovrebbe
essere scritta nella forma T ¢ r . Si può prescindere da questa notazione non intuitiva
se il tensore è simmetrico e scrivando l’operatore come vettore riga (ció che corrisponde
a prendere la trasposta di T ¢ r). È evidente che si ottiene a rigore il risultato come
vettore riga.
174
11. Sensori di deformazione
2
@
6 @x
6
6
r¢T =6 0
6
4
0
0
0
@
@y
0
Con la de…nizione
2
riJ
@
6 @x
6
6
=6 0
6
4
0
0
@
@z
@
@y
@
@z
0
0
@
@y
0
@
@z
0
0
@
@z
@
@y
@
@x
0
@
@x
0
@
@z
@
@y
0
@
@z
0
@
@x
32
76
76
76
76
76
56
4
@
@y
@
@x
0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
3
7
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
dove i = 1; 3 e J = 1; 6, l’equazione del moto risulta:
riJ TJ = ½
@ 2 ui
¡ Fi
@t2
11.8 Legge di Hooke
La legge di Hooke esprime una relazione di linearità (per piccole
deformazioni ) tra stress e strain:
Tij = cijkl Skl
dove i; j:k:l = x; y; z
cijkl è un tensore del quarto ordine dei moduli elastici o rigidezze;
si hanno in totale 81 elementi ma solo 21 al massimo sono diversi.
Vale la relazione inversa
Sij = sijkl Tkl
i; j:k:l = x; y; z
dove le sijkl sono dette compliances.
In notazione ridotta [c] ed [s] sono delle matrici 6x6; è particolarmente semplice la relazione tra cIJ e cijkl : si ha
cIJ = cij;kl
11.8 Legge di Hooke
175
la corrispondenza tra indici maiuscoli e coppie di indici minuscoli
è data dalla seguente tabella:
IoJ
1
2
3
4
5
6
ij o kl
xx
yy
zz
yz, zy
xz, zx
xy, yx
La relazione tra le matrici di compliances ed il relativo tensore è
meno immediata per il fattore 2 introdotto in alcuni elementi della
matrice di strain.
La legge di Hooke in notazione ridotta risulta:
TI = cIJ SJ
(11.3)
SI = cIJ TJ
(11.4)
e la relazione inversa:
In entrambe le relazioni gli indici maiuscoli variano da 1 a 6.
Osserviamo che premoltiplicando la 11:3 per c¡1
IJ si ha:
c¡1
IJ TI = SJ
che confrontata con la 11:4 ; fornisce la relazione
sIJ = c¡1
IJ
Notazione simbolica
La Tij = cijkl Skl può essere scritta come
T =c:S
dove l’operatore : signi…ca sommare su due indici.
Analogamente:
S = s : T:
176
11. Sensori di deformazione
11.9 Materiale isotropo
La matrice delle rigidezze per materiale isotropo è:
2
3
c11 c12 c12 0
0
0
6 c12 c11 c12 0
0
0 7
6
7
6 c12 c12 c11 0
0
0 7
6
7
cIJ = 6
7
0
0
0
c
0
0
44
6
7
4 0
0
0
0 c44 0 5
0
0
0
0
0 c44
con l ’ulteriore condizione: c12 = c11 ¡ 2c44 ; se ne deduce che
le rigidezze indipendenti sono solo due. Vengono spesso usati i due
parametri seguenti detti costanti di Lamé:
¸ = c12
¹ = c44
La matrice delle rigidezze risulta allora:
2
¸ + 2¹
¸
¸
6
¸
¸ + 2¹
¸
6
6
¸
¸
¸
+
2¹
6
6
0
0
0
6
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
¹
0
0
0
0
0
0
¹
0
0
0
0
0
0
¹
Talvolta si preferiscono i seguenti due parametri:
E=
T3
S3
detto modulo di Young, e
¾=¡
S2
S1
=¡
S3
S3
detto rapporto di Poisson.
Si possono dimostrare le seguenti identità:
8
E(1¡¾)
>
< c11 = (1+¾)(1¡2¾)
E¾
c12 = (1+¾)(1¡2¾)
>
: c = E
44
2(1+¾)
3
7
7
7
7
7
7
5
(11.5)
11.9 Materiale isotropo
177
La matrice delle rigidezze risulta allora:
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
E(1¡¾)
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E(1¡¾)
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E(1¡¾)
(1+¾)(1¡2¾)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E
2(1+¾)
0
0
E
2(1+¾)
0
E
2(1+¾)
Modulo di elasticità di volume
Consideriamo la de…nizione di deformazione:
32
3
2
dx
s
s
s
xx
xy
xz
£
¤
¢0 = d`2 ¡ dL2 = 2 dx dy dz 4 syx syy syz 5 4 dy 5
dz
szx szy szz
da cui:
£
d`2 = dx2 + dy2 + dz 2 + 2
2
sxx sxy
4
¢ syx syy
szx szy
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
¤
dx dy dz ¢
32
3
sxz
dx
syz 5 4 dy 5
szz
dz
Poiché S è un tensore simmetrico esisterà un sistema di assi cartesiani rispetto al quale esso risulta diagonale; assumendo tale sistema
di assi:
£
¤
d`2 = d» 2 + d´2 + d³ 2 + 2 d» d´ d³ ¢
2
32
3
s® 0 0
d»
¢ 4 0 s¯ 0 5 4 d´ 5
0 0 s°
d³
d`2 = d» 2 (1 + 2s® ) + d´2 (1 + 2s¯ ) + d³ 2 (1 + 2s° )
Se ne deduce che nel nuovo sistema di coordinate siamo in presenza
di tre distinte deformazioni riguardanti i tre assi coordinati che per
ciascun asse risultano:
8
p
< d» 0 = d»p1 + 2s® ¼ d» (1 + s® )
d´0 = d´ p1 + 2s¯ ¼ d´ (1 + s¯ )
:
d³ 0 = d³ 1 + 2s° ¼ d³ (1 + s° )
178
11. Sensori di deformazione
Allora il volume dell’elemento in…nitesimo risulta:
dV 0 = d» 0 d´0 d³ 0 = d» (1 + s® ) d´ (1 + s¯ ) d³ (1 + s° ) =
= dV (1 + s® ) (1 + s¯ ) (1 + s° ) ¼ dV (1 + s® + s¯ + s° ) =
= dV (1 + sxx + syy + szz )
Esempio Pura dilatazione
La legge
2
T1
6 T2
6
6 T3
6
6 T4
6
4 T5
T6
2
6
6
6
6
6
6
4
di Hooke risulta:
3 2
¸ + 2¹
¸
¸
7 6
¸
¸
+
2¹
¸
7 6
7 6
¸
¸
¸ + 2¹
7=6
7 6
0
0
0
7 6
5 4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
¹
0
0
0
0
0
0
¹
0
0
0
0
0
0
¹
32
76
76
76
76
76
76
54
¡ jSj
¡ jSj
¡ jSj
0
0
0
3
2 E
3
3¸ + 2¹
(1¡2¾)
7
6 E
7
6 3¸ + 2¹ 7
6 (1¡2¾) 7
7
6
7
7
6
E
7
6
7
7
7 = ¡ 6 3¸ + 2¹ 7 jSj = ¡ 6
(1¡2¾)
7 jSj =
6
7
6
7
0
7
6
0
7
6
7
7
6
5
4
5
0
5
4
0
0
0
2
3
c11 + 2c12
6 c11 + 2c12 7
6
7
0
6 c11 + 2c12 7
6
7 jSj = ¡3K jSj = K dV ¡ dV
= ¡6
7
0
dV
6
7
4
5
0
0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
3
2
3
7
7
7
7
7
7
5
11.9.1 Legge di Hooke in presenza di dilatazioni termiche
La relazione
3 2
2
T1
6 T2 7 6
6
7 6
6 T3 7 6
7 6
6
6 T4 7 = 6
6
7 6
4 T5 5 4
T6
tra stress
c11 c12
c12 c11
c12 c12
0
0
0
0
0
0
e strain risulta:
c12 0
0
0
c12 0
0
0
c11 0
0
0
0 c44 0
0
0
0 c44 0
0
0
0 c44
32
76
76
76
76
76
76
54
S1
S2
S3
S4
S5
S6
3 2
7 6
7 6
7 6
7¡6
7 6
7 6
5 4
K®(T ¡ T0 )
K®(T ¡ T0 )
K®(T ¡ T0 )
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
11.9 Materiale isotropo
179
Indichiamo con TT la componente del tensore di stress dovuta a
dilatazione termica 2 :
T = c : S + TT
Ne segue che l’equazione del moto risulta:
r¢T=½
@2u
¡F
@t2
¡
¢
@ 2u
r ¢ c : rs u + TT = ½ 2 ¡ F
@t
r ¢ c : rs u + r ¢ TT = ½
@ 2u
¡F
@t2
r ¢ c : rs u + K®r ¢ T = ½
@ 2u
¡F
@t2
11.9.2 Equazione di equilibrio per solidi isotropi
L’equazione del moto in condizioni di equilibrio risulta:
r ¢ c : rs u + K®r ¢ T = ¡F
ed in forma ridotta, assumendo nulle le forze di volume:
2
riK ¢ cKL ¢ rLj uj + K®riK ¢ TK = 0
@
@x
6
4 0
0
2 Con
0
@
@y
0
0
0
@
@z
0
@
@z
@
@y
@
@z
0
@
@x
@
@y
@
@y
0
3
7
5¢
la notazione adottata è evidentemente TT
2
K®(T ¡ T0 )
6 K®(T ¡ T0 )
6
6 K®(T ¡ T0 )
= ¡6
6
0
6
4
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
180
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
2
6
6
6
6
6
6
6
4
11. Sensori di deformazione
E(1¡¾)
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E(1¡¾)
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E(1¡¾)
(1+¾)(1¡2¾)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
@
@x
@
@y
@
@z
@
@z
@
@y
@
@x
2
@
@z
@
@y
@
@x
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E
2(1+¾)
0
0
2
72
6
3
7
6
7 ux
6
E
74
6
®6
7 uy 5 +
7
3 (1 ¡ 2¾) 6
7 uz
6
5
4
³
0
@
@x
@
@z
@
@y
E
2(1+¾)
0
@
@y
@
@z
@
@x
@
@z
@
@y
@
@x
´
6
6
6
6
6
6
´
³ 2
6
@2
@2
E
@
+
+
6
2
2
2
2(1+¾)³ @x
@y
@z ´ uy +
=6
6
@u
y
@u
@u
E
@
@
E
x
z
® @y
+ 3(1¡2¾)
T
6 + 2(1+¾)(1¡2¾)
@y
@x + @y + @z
6
6
6
³ 2
´
6
@
@2
@2
E
+
+
u +
6
2
2
2
2(1+¾)³ @x
@y
@z ´ z
4
@u
y
@uz
@ux
@
E
E
@
T
+ 2(1+¾)(1¡2¾)
+ 3(1¡2¾)
® @z
@z
@x + @y + @z
7
7
7
7
7
7¢
7
7
7
5
E
2(1+¾)
3 2
7 6
7 6
7 6
7 6
7¢6
7 6
7 4
5
@2
@2
@2
E
2(1+¾)³ @x2 + @y 2 + @z 2´ ux +
@uy
E
@
@
@ux
@uz
E
+ 2(1+¾)(1¡2¾)
® @x
+ 3(1¡2¾)
T
@x
@x + @y + @z
3
T
T
T
0
0
0
3
7
7
7
7=
7
7
5
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7=0
7
7
7
7
7
7
7
5
In termini vettoriali:
E
E
E
¢u +
rr ¢ u ¡
®rT = 0
2 (1 + ¾)
2 (1 + ¾) (1 ¡ 2¾)
3 (1 ¡ 2¾)
3 (1 ¡ 2¾)
3
¢u +
rr ¢ u = ®rT
2 (1 + ¾)
2 (1 + ¾)
Utilizzando l ’identità vettoriale:
11.10 Proprietà di trasformazione
181
rr ¢ u = ¢u + r £ r£
si ha:
3 (1 ¡ ¾)
3 (1 ¡ 2¾)
rr ¢ u ¡
r £ r £ u = ®rT
(1 + ¾)
2 (1 + ¾)
Nel caso in cui siano assenti le deformazioni termiche, dalle due
ultime equazioni:
2 (1 ¡ ¾) rr ¢ u ¡ (1 ¡ 2¾) r £ r £ u = 0
(1 ¡ 2¾) ¢u + rr ¢ u = 0
da quest’ultima
(1 ¡ 2¾) r ¢ ¢u + r ¢ rr ¢ u = 0
(1 ¡ 2¾) r ¢ ¢u + ¢r ¢ u = 0 ! ¢r ¢ u = 0
(1 ¡ 2¾) ¢¢u + ¢rr ¢ u = 0 ! ¢¢u = 0
11.10 Proprietà di trasformazione
Trasformazione di vettori
2
3
vx
Si consideri il vettore [v] = 4 vy 5 nel sistema di riferimento x; y; z;
vz
determiniamo le coordinate nel nuovo sistema di riferimento x0 ; y 0 ; z 0
; consideriamo ad esempio la componente vx0 (si veda il caso bidimensionale in …gura 8):
182
11. Sensori di deformazione
y'
y
v
x'
x
Figura 8
vx0 = cos #x
0x
vx + cos #x
0
y vy
+ cos #x
0
z vz
(avendo indicato con #x 0 x , #x 0 y e #x
indicati nel pedice); in generale si avrà:
vi 0
= axx vx + axy vy + axz vz
0
z
=
aij vj
)
£ 0¤
v = [a] [v]
gli angoli tra gli assi
Naturalmente la lunghezza del vettore è invariante con il sistema
di riferimento:
v ¢ v = vx2 + vy2 + vz2 = (vx0 )2 + (vy0 )2 + (vz0 )2
possiamo poi scrivere
v ¢ v = [v]t ¢ [v]
da cui:
[v]t ¢ [v]
=
£ 0 ¤t £ 0 ¤
v
¢ v = [v]t [a]t [a] [v]
) [a]t [a] = [a]¡1 [a] = [I]
ossia la matrice di trasformazione è unitaria.
11.11 Trasformazioni con indici abbreviati
183
Trasformazione di tensori del secondo ordine
Applichiamo quanto sopra dimostrato al vettore spostamento di¤erenziale:
[du] = [E] [dr]
Si ha:
£ 0¤
du = [a] [du] = [a] [E] [dr]
£ 0¤
£ ¤
dr = [a] [dr] ) [dr] = [a]¡1 dr0
£ 0¤
£ ¤
du = [a] [E] [a]¡1 dr0
£ 0¤
E = [a] [E] [a]¡1 = [a] [E] [a]t
£ 0¤
S = [a] [S] [a]¡1 = [a] [S] [a]t
ossia tensori del secondo ordine si trasformano premoltiplicandoli
per la matrice [a] e postmoltiplicandoli per la [a]t :
11.11 Trasformazioni con indici abbreviati
Abbiamo dimostrato che tensori del secondo ordine si trasformano
secondo la regola:
£ 0¤
S
= [a] [S] [a]t
£ 0¤
T
= [a] [T ] [a]t
dove [a] è la matrice dei coseni direttori degli assi del nuovo
sistema di riferimento rispetto agli assi del sistema di riferimento
precedente.
184
11. Sensori di deformazione
Ci poniamo il problema di trovare la matrice che trasforma i
vettori a sei componenti SI e TI e di conseguenza, tramite la legge
di Hooke espressa in forma ridotta, la matrice delle rigidezze [cIJ ].
Si deve imporre l’uguaglianza termine a termine delle equazioni
precedenti con le
0
SK
= NKJ SJ
TH0 = MHJ TJ
Si ottengono le due seguenti matrici di trasformazione (trasformazioni di W.L.Bond).
2
a2xx
a2yx
a2zx
2
a2xx
a2yx
a2zx
a2xy
a2yy
a2zy
a2xz
a2yz
a2zz
6
6
6
6
6
6 ayx azx ayy azy ayz azz
[M] = 6
6
6
6 azx axx azy axy azz axz
6
6
4
axx ayx axy ayy axz ayz
a2xy
a2yy
a2zy
a2xz
a2yz
a2zz
6
6
6
6
6
6 2ayx azx 2ayy azy 2ayz azz
[N] = 6
6
6
6 2azx axx 2azy axy 2azz axz
6
6
4
2axx ayx 2axy ayy 2axz ayz
2axy axz
2ayy ayz
2azy azz
(ayy azz +
ayz azy )
(axy azz +
axz azy )
(axy ayz +
axz ayy )
axy axz
ayy ayz
azy azz
(ayy azz
+ayz azy )
(axy azz
+axz azy )
(axy ayz
+axz ayy )
Consideriamo ora la legge di Hooke:
[T ] = [c] [S]
2axz axx
2ayz ayx
2azz azx
(ayx azz +
ayz azx )
(axz azx +
axx azz )
(axz ayx +
axx ayz )
axz axx
ayz ayx
azz azx
(ayx azz
+ayz azx )
(axz azx
+axx azz )
(axz ayx
+axx ayz )
2axx axy
2ayx ayy
2azx azy
(ayy azx +
ayx azy )
(axx azy +
axy azx )
(axx ayy +
axy ayx )
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
axx axy
ayx ayy
azx azy
(ayy azx
+ayx azy )
(axx azy
+axy azx )
(axx ayy
+axy ayx )
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
11.12 Piezoresistività
185
che diventerà nel nuovo sistema di assi:
£ 0¤
T = [M] [T ] = [M] [c] [S]
Varrà anche la regola di trasformazione:
e in…ne:
£ ¤
£ 0¤
S = [N] [S] ) [S] = [N]¡1 S 0
£ ¤
£ 0¤
T = [M] [c] [N]¡1 S 0 )
£ 0¤
c = [M] [c] [N]¡1
In modo del tutto analogo si perviene alla:
£ 0¤
s = [N] [s] [M]¡1
Poiché è facile provare che
[N]¡1 = [M]t
[M]¡1 = [N]t
si ottiene:
£ 0¤
c = [M ] [c] [M]t
£ 0¤
s = [N] [s] [N]t
Osservazione importante
Si noti che il fatto che si sia giunti al risultato [c0 ] = [M] [c] [N]¡1 è
dovuto al fatto che il vettore [S] si trasforma tramite la matrice [N]
e ciò a causa del fattore 2 inserito a suo tempo nella de…nizione di
[S] in funzione degli elementi del tensore S:
11.12 Piezoresistività
La legge di Ohm in termini microscopici per materiali non isotropi
si scrive in temini del tensore di rango 2 delle resistività:
186
11. Sensori di deformazione
3
32
3 2
j1
½11 ½12 ½13
E1
4 E2 5 = 4 ½21 ½22 ½23 5 4 j2 5
j3
½31 ½32 ½33
E3
2
Il tensore ½, essendo simmetrico può essere ridotto a vettore a
6 componenti secondo la nota regola:
2
6
3
3 2
6
½1 ½6 ½5
½11 ½12 ½13
6
4 ½21 ½22 ½23 5 = 4 ½6 ½2 ½4 5 ! 6
6
6
½5 ½4 ½3
½31 ½32 ½33
4
2
½1
½2
½3
½4
½5
½6
3
7
7
7
7
7
7
5
e il fenomeno della piezoresistenza può così essere descritto con
la notazione:
2
6
6
6
6
6
6
4
essendo ±½I =
2
6
6
6
6
6
6
4
±½1
±½2
±½3
±½4
±½5
±½6
3
7
7
7
7=
7
7
5
2
6
6
6
6
6
6
4
½T1
½T2
½T3
½T4
½T5
½T6
¢½I
½0I
3
2
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
5 4
½01
½02
½03
½04
½05
½06
3
2
7 6
7 6
7 6
7+6
7 6
7 6
5 4
¢½1
¢½2
¢½3
¢½4
¢½5
¢½6
3
7
7
7
7
7
7
5
si ha:
¼11 ¼12 ¼ 12 0
0
0
¼12 ¼11 ¼ 12 0
0
0
¼12 ¼12 ¼ 11 0
0
0
0
0
0 ¼44 0
0
0
0
0
0 ¼44 0
0
0
0
0
0 ¼44
32
76
76
76
76
76
76
54
T1
T2
T3
T4
T5
T6
3
7
7
7
7
7
7
5
(11.6)
essendo ¼IJ i coe¢cienti di piezoresistenza (elastoresistenza) per
un cristallo cubico.
In termini matriciali:
±½H = ¼HK TK
11.12 Piezoresistività
187
Valori dei coe¢cienti di piezoresistenza per il silicio (1012 cm2 =dyne)
Si
tipo n
tipo p
½
11.7
7.8
¼11
-102.2
6.6
¼12
53.4
-1.1
¼44
13.6
138.1
11.12.1 Trasformazione del sistema di riferimento
In base alla de…nizione data sopra ±½H si trasforma, come TK e
quindi tramite la matrice [M] :
£ 0¤
±½ = [M] [±½] = [M ] [¼] [T ]
e poiché T = [M ]¡1 T 0 ,
£ 0¤
±½ = [M] [±½] = [M] [¼] [M]¡1 T 0 = [M] [¼] [N]t T 0
Supponiamo ora di porci nella condizione che solo T10 6= 0. Allora
solo l’elemento ¼011 è signi…cativo per il calcolo di ±½01 :
2
6
6
6
6
6
6
4
± 0 ½1
± 0 ½2
± 0 ½3
± 0 ½4
± 0 ½5
± 0 ½6
Risulta:
3
2
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
5 4
¼ 011
¼ 021
¼ 031
¼ 041
¼ 051
¼ 061
¼012
¼022
¼032
¼042
¼052
¼062
¼013
¼023
¼033
¼043
¼053
¼063
¼014
¼024
¼034
¼044
¼054
¼064
¼015
¼025
¼035
¼045
¼055
¼065
¼016
¼026
¼036
¼046
¼056
¼066
32
76
76
76
76
76
76
54
0
T1
0
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
±½01 = [a4xx ¼11 + a4xy ¼11 + a4xz ¼11 + 2a2xx a2xy ¼12 + 2a2xx a2xz ¼ 12 +
0
+2a2xy a2xz ¼12 + 2a2xx a2xy ¼44 + 2a2xx a2xz ¼44 + 2a2xy a2xz ¼44 ]T1
¢
¡
¢
¡
±½01 = [ a4xx + a4xy + a4xz ¼11 + a2xx a2xy + a2xx a2xz + a2xy a2xz 2¼12 +
¡
¢
0
+ a2xx a2xy + 2a2xx a2xz + a2xy a2xz 2¼44 ]T1
Essendo poi: a2xx + a2xy + a2xz = 1 si ottiene il risultato:
188
11. Sensori di deformazione
£
¡
¢¤ 0
±½01 = ¼11 + 2 (¼44 + ¼12 ¡ ¼11 ) a2xx a2xy + a2xx a2xz + a2xy a2xz T1
Caso di densità di corrente collineare con la sollecitazione meccanica uniassiale F applicata ad una sezione trasversa di area A (…gura
9).
F
V
V
F
I
I
F
F
Figura 9
2
de…niamo:
±½0k =
3 2 0
32 0 3
E10
½11 ½012 ½013
j1
4 E20 5 = 4 ½021 ½022 ½023 5 4 0 5
E30
½031 ½032 ½033
0
¢¤ F
£
¡
¢E10
= ¼11 + 2 (¼ 44 + ¼12 ¡ ¼11 ) a2xx a2xy + a2xx a2xz + a2xy a2xz
0
j1
A
Caso di densità di corrente perpendicolare alla sollecitazione meccanica uniassiale.
£
¡
¢¤ F
±½0? = ¼12 ¡ (¼44 + ¼12 ¡ ¼ 11 ) a2xx a2yx + a2xx a2yy + a2xz a2yz
A
11.13 Estensimetri
189
11.13 Estensimetri
Un estensimetro o strain gage è un sensore in grado di misurare la
deformazione locale della super…cie di un corpo al quale è esso viene applicato. Il fenomeno che viene sfruttato è il cambiamento di
resistenza che un …lm o …lo conduttore subisce quando viene sottoposto a deformazione. Per semplicità consideriamo nel seguito solo
materiali amor….
Per …ssare le idee vediamo come cambia la resistenza di un …lo conduttore sottoposto a deformazione. Supponiamo che il …lo sia
sottoposto al solo sforzo di trazione o compressione (sforzo monoassiale).
Figura 10: Conduttore sottoposto a sforzo monoassiale
Si faccia riferimento alla …gura 10. Per una tensione meccanica
(forza applicata per unità di super…cie) inferiore ad valore denominato limite elastico, caratteristico di ciascun materiale, le variazioni
di lunghezza possono essere considerate reversibili. Ciò signi…ca che
rimossa la forza la lunghezza del conduttore ritorna al suo valore
iniziale. Inoltre la deformazione S1 = "11 = ¢L
L risulta proporzionale alla tensione meccanica T secondo la legge di Hooke. Secondo la
de…nizione 11.5 per un carico uniassiale vale la relazione
T1 =
F
= ES1
A
dove E è il modulo di Young. Oltre il limite elastico si hanno deformazioni permanenti mentre aumentando ulteriormente la tensione si
arriva ad un valore massimo (detto carico di rottura) per il quale si
ha la rottura del campione.
La quantità ¢L
L è adimensionale; a causa dei piccoli valori che essa
assume generalmente nei solidi viene introdotta una unità di misura
opportuna, il microstrain (¹"): un ¹" è pari a 10¡6 . La massima
190
11. Sensori di deformazione
deformazione misurabile con strain gages metallici è dell’ordine di
40000 ¹".
Gli strain gages lavorano correttamente quando sono sollecitati
nell’intervallo di elasticità, ovvero quando vale la (??). La resistenza
del conduttore in esame risulta data dalla solita espressione:
R=½
`
A
dove ½ è la resistività , ` è la lunghezza del resistore amorfo ed A la
sua area; detto V il volume del resistore, si ha ovviamente:
`2
V
dalla quale si ricava, per dR su¢cientemente piccole:
R=½
dR
d½
d` dV
=
+2 ¡
R
½
`
V
(11.7)
Calcoliamo separatamente i tre contributi alla11.7.
Calcolo di
dV
V
Abbiamo dimostrato precedentemente (confronta con pagina 178)
che dV
V uguaglia la traccia del tensore di strain. Si ha dunque in
termini vettoriali:
3
X
dV
= T r(S) =
SI
V
I=1
dove SI è dato dalla
SI = sIJ TJ
Ricordiamo che
2 E(1¡¾)
cIJ
6
6
6
6
6
=6
6
6
6
4
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E(1¡¾)
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E¾
(1+¾)(1¡2¾)
E(1¡¾)
(1+¾)(1¡2¾)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E
2(1+¾)
0
0
E
2(1+¾)
0
E
2(1+¾)
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
11.13 Estensimetri
e poiché sIJ = c¡1
IJ si ha:
2 1
¾
¡E
E
1
6 ¡¾
E
6 E
¾
¾
6 ¡
6 E ¡E
sIJ = 6
0
6 0
6
4 0
0
0
0
dalla quale:
2
3 2
S1
6 S2 7 6
6
7 6
6 S3 7 6
6
7 6
6 S4 7 = 6
6
7 6
4 S5 5 6
4
S6
1
E
¾
¡E
¾
¡E
0
0
0
¾
¡E
1
E
¾
¡E
0
0
0
¾
¡E
¾
¡E
0
0
0
0
0
0
2(1+¾)
E
1
E
0
0
¾
¡E
¾
¡E
0
0
0
0
0
0
2(1+¾)
E
1
E
0
0
0
0
0
0
2(1+¾)
E
0
0
0
0
0
2(1+¾)
E
0
2(1+¾)
E
Calcolo di
7
7
7
7
7
7
7
5
32
2(1+¾)
E
In de…nitiva
T r(S) = S1 + S2 + S3 =
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
191
76
76
76
76
76
76
74
5
T1
0
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
T1
[1 ¡ 2¾] = S1 [1 ¡ 2¾]
E
d½
½
Dalla 11.6 si ha:
2
6
6
6
6
6
6
4
±½1
±½2
±½3
±½4
±½5
±½6
3
7
7
7
7=
7
7
5
si ricava
2
6
6
6
6
6
6
4
¼11 ¼12 ¼ 12 0
0
0
¼12 ¼11 ¼ 12 0
0
0
¼12 ¼12 ¼ 11 0
0
0
0
0
0 ¼44 0
0
0
0
0
0 ¼44 0
0
0
0
0
0 ¼44
±½1 =
Calcolo di
d½
= T1 ¼11 =
½
d`
`
È evidente che
d`
= S1
`
32
76
76
76
76
76
76
54
T1
0
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
(11.8)
192
11. Sensori di deformazione
In…ne possiamo valutare la 11.7:
dR
R
d½
d` dV
+2 ¡
= ES1 ¼11 + 2S1 ¡ S1 [1 ¡ 2¾] =(11.9)
½
`
V
d`
= S1 [1 + 2¾ + E¼11 ] =
[1 + 2¾ + E¼11 ]
`
=
Espressione approssimata
Per quanto riguarda il termine d½
½ esso è fortemente dipendente dalle
caratteristiche del materiale: è di piccola entità per un metallo mentre può essere preponderante sugli altri due termini (che dipendono
da sole varizioni geometriche) nei semiconduttori. In genere, in un
materiale isotropo o …nemente policristallino è valida la relazione
sperimentale:
dV
d½
=C
½
V
dove dV
V è la variazione relativa di volume e C è un coe¢ciente
denominato costante di Bridgman. Il termine dV
V è già stato calcolato:
dV
= (1 ¡ 2¾) S1
V
per cui si arriva alla formula …nale:
dR
= [1 + 2¾ + C (1 ¡ 2¾)] S1
(11.10)
R
Da questa espressione di¤erenziale si ottiene …nalmente la resistenza del conduttore in funzione della deformazione dello stesso:
R = R0 (1 + GS1 )
(11.11)
Va osservato che siccome per giungere alla 11.11 si sono sfruttate delle operazioni di di¤erenziazione, questa espressione sarà valida
solo per piccole deformazioni, per le quali le quantità dA; dV; d`;
etc. risultino su¢cientemente piccole da poter trascurare i termini
di ordine superiore al primo. Questa condizione è praticamente Il
coe¢ciente G = [1 + 2¾ + C (1 ¡ 2¾)] è denominato fattore di gage
e misura la sensibilità del materiale. Esso vale circa 2 per la grande
maggioranza dei metalli, con alcune eccezioni tra cui il platino per
il quale vale circa 6. Fattori di gage molto più elevati (di più di un
11.13 Estensimetri
193
ordine di grandezza) si ottengono con estensimetri a semiconduttore. In questo caso la piezoresistività (variazione della resistività per
e¤etto dello stress) è preponderante rispetto alle variazioni di dimensioni geometriche del resistore. Oltre al fattore di gage più grande
gli strain gages a semiconduttore presentano le seguenti di¤erenze
rispetto agli strain gages metallici:
² Il fattore di gage dipende fortemente dall’orientazione dello
sforzo rispetto agli assi cristallini (ciò non vale ovviamente per
semiconduttori policristallini o amor…)
² La dipendenza della resistenza dalla deformazione presenta
termini non lineari non trascurabili.
² La resistenza è maggiormente sensibile alle variazioni di temperatura.
² La massima deformazione applicabile è inferiore di più di un
ordine di grandezza.
Nella …gura 11(a) è mostrata la struttura di un estensimetro a lamina. Esso viene ottentuto deponendo un …lm metallico della forma
mostrata in …gura su un substrato elastico (tipicamente di un materiale plastico, per es. poliestere). Tutto il sistema viene incollato
mediante un collante rigido alla super…cie del corpo di cui si vuole
valutare la deformazione. Il disegno del …lm metallico è costituito
da una serie di lati lunghi e sottili (es. AB) raccordati a mediante i
lati di tipo (CD) ad essi perpendicolari e più corti e larghi. In questo modo la resistenza è data quasi esclusivamente dai lati sottili e
quindi solo deformazioni dirette lungo questi ultimi (asse di massima
sensibilità) producono apprezzabili e¤etti sulla resistenza stessa.
In realtà esiste anche una sensibilità per deformazioni lungo l’asse
perpendicolare ma è dell’ordine di 1-2 % della massima sensibilità.
La …gura 11(b) mostra un sensore dotato di due strain gages disposti
in modo da misurare le componenti della deformazione lungo due assi
perpendicolari.
194
11. Sensori di deformazione
Figura 11: Struttura di uno strain gage (a) e esempio di dispositivo
per la misura della deformazione su due assi.
Uno dei problemi principali relativi all’utilizzo di strain gages è
quello di minimizzare gli e¤etti di variazioni di resistenza indotti
dalla temperatura. Per …ssare le idee, basta considerare che per un
metallo tipico, una variazione di 10 gradi di temperatura produce la
stessa variazione di resistenza di una deformazione di circa 20000 ¹",
ovvero dell’ordine della massima deformazione applicabile. Pertanto
vengono impiegate leghe a basso TCR (esempio Rame/Nichel) e viene scelto un substrato avente stesso coe¢ciente di dilatazione termica
della lega utilizzata, in modo da evitare che variazioni di temperatura inducano stress nel …lm metallico. I dispositivi che si trovano
comunemente in commercio hanno una sensibilità alla temperatura
inferiore ai 5 ¹"/± C, con un fattore di Gage compreso tra 1.8 e 2.3.
La resistenza nominale in assenza di deformazione è dell’ordine delle
centinaia di ohm.
Gli estensimetri vengono solitamente inseriti in ponti di Wheatstone in quanto questo tipo di montaggio consente di produrre un segnale proporzionale, almeno in prima approssimazione, alle variazioni di
resistenza. La …gura 12(a) mostra un ponte di Wheatstone nel quale
la resistenza dello strain gage è espressa come: R = R0 (1 + x), dove
x = G". I restanti tre resistori del ponte hanno valore R0 .
11.13 Estensimetri
195
Figura 12: Esempi di circuiti utilizzanti strain gages.
La tensione di uscita, presa sulla diagonale AB risulta pari a:
Vu = E
x
2 (2 + x)
(11.12)
Per piccoli valori di x, la dipendenza può considerarsi lineare, ovvero: Vu = E4 x: Variazioni di temperatura inducono variazioni di
resistenza nello strain gage. Per tenere di conto di questo si può scrivere la resistenza come:R = R0 (1 + x) (1 + y) dove y = ®(T ¡ T0 ); e
R0 è la resistenza del sensore per T = T0 e deformazione nulla. Per
annullare gli e¤etti della temperatura si può ricorrere alla tecnica
del dummy gage mostrata nella …gura 11(b): un resistore del ponte viene rimpiazzato con un secondo strain gage identico al primo
e sottoposto alla stessa temperatura ma a deformazione nulla. Tale
strain gage viene appunto indicato come dummy gage. La sua resistenza conterrà solo il termine dovuto alle variazioni di temperatura
e pertanto potrà essere scritta come: R = R0 (1 + y). Si veri…ca che
la tensione di uscita di un ponte così strutturato è sempre data dalla
(11.12) e che la sensibilità alle variazioni della temperatura è annullata. Nei casi reali ovviamente questo annullamento non può essere
196
11. Sensori di deformazione
totale, in quanto sarà di¢cile fare in modo che i due strain gage siano
perfettamente identici e abbiano esattamente la stessa temperatura.
Nel caso la non linearità dell’equazione (11.12) sia intollerabile
si può ricorrere al ponte linearizzato mostrato in …gura 12(c). La
tensione di uscita di questo circuito è data da:
Vu = E
RG
x
R0
(11.13)
Questo risultato si ottiene applicando il metodo del corto circuito
virtuale ai due ampli…catori operazionali: i punti H e K si trovano
alla massa virtuale e pertanto si può facilmente veri…care che:
I1 =
E
;
R0
VA = ¡E (1 + x) ) I2 = ¡
E
(1 + x)
R0
Siccome l’uscita risulta: Vu = IG RG = ¡ (I1 + I2 ) sostituendo i
valori di I1 e I2 si ottiene il risultato dell’equazione (11.12).
Va osservato che questo risultato è stato ottenuto trascurando gli
e¤etti della temperatura (fattore 1 + y) sulla resistenza dello strain
gage. In realtà anche il circuito di …gura 11(c) può essere reso immune
nei confronti di queste variazioni sostituendo il resistore costante tra
i nodi B e K con un dummy gage. Ovviamente il circuito di …gura 12
può essere utilizzato anche per sensori resistivi diversi dagli strain
gages come, per esempio, sensori di temperatura (RTD e termistori).
In…ne osserviamo che il montaggio di un sensore in un ponte di
wheatstone realizza sostanzialmente una misura di resistenza a due
…li. Anche per gli strain gages risulta spesso necessario adottare uno
schema che sia indipendente dalla resistenza dei collegamenti.
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12
Acustica Fisica
12.0.1 Equazioni del campo acustico
Combinando le equazioni:
v=
@u
@t
p = ½v
r¢T =½
@2u
¡F
@t2
r¢T =
@p
¡F
@t
si ha
Combinando le due equazioni:
v=
si ha:
@u
@t
rs u = S
rs v =
@S
@t
198
12. Acustica Fisica
12.0.2 Equazione di Christo¤el
Dalla rs v =
si ha:
@S
@t
e con la relazione S = s : T
rs v = s :
@T
@T
! c : rs v =
@t
@t
ed applicando la divergenza:
r ¢ c : rs v = r ¢
@T
@t
ricordiamo l’equazione del moto r ¢ T = ½ @v
@t ¡ F che possiamo
derivare rispetto al tempo.
r¢
@
@ 2v
@
T =½ 2 ¡ F
@t
@t
@t
combinando:
@
@2v
¡ F
(12.1)
2
@t
@t
L’equazione12.1 prende il nome di equazione di Christo¤el e può
essere messa in forma matriciale sostituendo agli operatori simbolici
r¢ e rs le corrispondenti matrici riK e rLj ed ai tensori le matrici
in notazione ridotta.
Per ciascuna delle componenti si ha:
r ¢ c : rs v = ½
riK cKL rLj vj = ½
@ 2 vi
@
¡ Fi
@t2
@t
la matrice
riK cKL rLj
prende il nome di matrice di Christo¤el
Esempio
Consideriamo l’onda piana di stress (di taglio)
Txy = Tyx = sen(!t ¡ ky)
Valutiamo
12. Acustica Fisica
r¢T =
h
@
@x
@
@y
@
@z
i
199
3
0
sen(!t ¡ ky) 0
4 sen(!t ¡ ky)
0
0 5
0
0
0
2
3
¡k cos(!t ¡ ky)
5 = ¡^
xk cos(!t ¡ ky)
0
)r¢T =4
0
2
Supponendo nulle le forze di volume, l’equazione del moto risulta:
2
3
3
2
¡k cos(!t ¡ ky)
ux
2
@
4
5 =½
4 uy 5
0
@t2
0
uz
Integrando:
ux =
k
cos(!t ¡ ky)
½!2
~u = x
^
k
cos(!t ¡ ky)
½!2
ossia:
Come abbiamo visto in un esempio precedente:
S6 = 2Sxy =
k
@ux
=
sin(!t ¡ ky)
@y
½! 2
Esempio
Possiamo porre in forma vettoriale il tensore di stress introdotto
precedentemente:
2
3
0
sen(!t ¡ ky) 0
T = 4 sen(!t ¡ ky)
0
0 5)
0
0
0
2
6
6
6
TJ = 6
6
6
4
0
0
0
0
0
sen(!t ¡ ky)
3
7
7
7
7
7
7
5
J = 1¢¢¢6
200
12. Acustica Fisica
Calcoliamo
riJ TJ
2
0
6
= 4 0
0
0
@
@y
0
0
0
0
0
0
@
@y
0
0
0
3
¡k cos(!t ¡ ky)
5
0
= 4
0
2
@
@y
3
0 7
5
0
2
6
6
6
6
6
6
4
0
0
0
0
0
sen(!t ¡ ky)
3
7
7
7
7 =
7
7
5
Esempio
La matrice delle rigidezze per un cristallo cubico (in notazione ridotta) risulta:
2
cIJ
6
6
6
=6
6
6
4
c11 c12 c12 0
0
0
c12 c11 c12 0
0
0
c12 c12 c11 0
0
0
0
0
0 c44 0
0
0
0
0
0 c44 0
0
0
0
0
0 c44
3
7
7
7
7
7
7
5
La matrice delle compliances si ottiene invertendo cIJ ed è:
2
sIJ
con
s11 =
s12 =
s44 =
6
6
6
=6
6
6
4
s11 s12 s12 0
0
0
s12 s11 s12 0
0
0
s12 s12 s11 0
0
0
0
0
0 s44 0
0
0
0
0
0 s44 0
0
0
0
0
0 s44
3
7
7
7
7
7
7
5
c11 + c12
c11 + c12
= 2
(c11 ¡ c12 ) (c11 + 2c12 )
c11 + c11 c12 ¡ 2c212
¡c12
¡c12
= 2
(c11 ¡ c12 ) (c11 + 2c12 )
c11 + c11 c12 ¡ 2c212
1
c44
12. Acustica Fisica
201
Esempio
Si è visto che stress e strain per un’onda propagantesi lungo y e
polarizzata lungo x risultano:
T6 = Txy = Tyx = sen(!t ¡ ky)
S6 = 2Sxy =
@ux
k
=
sin(!t ¡ ky)
@y
½! 2
Poiché è poi TI = cIJ SJ per
2
3 2
0
c11 c12
6 0 7 6 c12 c11
6
7 6
6 0 7 6 c12 c12
6
7 6
6 0 7=6 0
0
6
7 6
4 0 5 4 0
0
T6
0
0
un cristallo cubico:
32
c12 0
0
0
6
c12 0
0
0 7
76
7
c11 0
0
0 76
6
6
0 c44 0
0 7
76
0
0 c44 0 5 4
0
0
0 c44
0
0
0
0
0
S6
3
7
7
7
7
7
7
5
Ossia T6 = c44 S6 che risulta compatibile con le relazioni di cui
sopra solo se
c44 =
½! 2
k2
relazione che lega pulsazione e vettore d’onda (relazione di dispersione) e che consente di esprimere la velocità di fase nella forma:
r
!
c44
v~t = =
k
½
Esempio Onde di compressione
Consideriamo un’onda di spostamento polarizzata e propagantesi
lungo y.
~u(r; t) = y^ cos (!t ¡ ky)
cui è associato il campo di strain
S2 = Syy = k sen (!t ¡ ky)
Se il mezzo è un cristallo cubico si ha:
202
12. Acustica Fisica
2
6
6
6
6
6
6
4
da cui
T1
T2
T3
T4
T5
T6
3
2
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
5 4
c11 c12 c12 0
0
0
c12 c11 c12 0
0
0
c12 c12 c11 0
0
0
0
0
0 c44 0
0
0
0
0
0 c44 0
0
0
0
0
0 c44
32
76
76
76
76
76
76
54
8
< T1 = c12 k sen (!t ¡ ky)
T = c11 k sen (!t ¡ ky)
: 2
T3 = c12 k sen (!t ¡ ky)
Scriviamo l’equazione del moto
@ 2 ui
@
Tij = ½ 2 ¡ Fi
@rj
@t
per i = x; y; z; j = y e assumiamo Fi = 0.
@
Txy =
@y
@
Tyy =
@y
@
Tzy =
@y
@
@ 2 ux
T6 = ½ 2 = ¡½! 2 ux
@y
@t
@ 2 uy
@
T2 = ½ 2 = ¡½!2 uy
@y
@t
@
@ 2 uz
T4 = ½ 2 = ¡½! 2 uz
@y
@t
da cui
0 = ¡½! 2 ux
¡c11 k 2 cos (!t ¡ ky) = ¡½! 2 uy
0 = ¡½! 2 uz
che impone la relazione di dispersione:
2
2
c11 k = ½! ) vl =
r
c11
½
0
S2
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
12. Acustica Fisica
203
12.0.3 Onde Piane
Consideriamo il caso di onde piane di frequenza angolare ! che si
^
propagano in direzione I^ e quindi del tipo vej (!t¡kI¢r) .
Sia I^ = x
^lx + y^ly + z^lz .
Applichiamo allora l’operatore di¤erenziale
2 @
3
0
0
@x
@
6 0
0 7
6
7
@y
6 0
@ 7
0 @z
6
7
rLj = 6
@
@ 7
6 0 @z
@y 7
6 @
@ 7
4 @z 0 @x
5
@
@y
@
@x
^
al campo acustico vej (!t¡kI¢r) = vej(!t¡k(^xlx +^yly +^zlz )¢r) :
2
3
lx 0 0
6 0 ly 0 7
6
7
6 0 0 lz 7 j (!t¡kI¢r
^
^ )
j (!t¡kI¢r)
6
7 ve
rLj ve
= ¡jk 6
7
6 0 lz ly 7
4 lz 0 lx 5
ly lx 0
Possiamo concludere che per onde piane l ’operatore di¤erenziale
rLj equivale all’operatore algebrico lLj secondo la relazione seguente:
2
3
lx 0 0
6 0 ly 0 7
6
7
6 0 0 lz 7
6
7 = ¡jklLj
rLj ! ¡jk 6
7
0
l
l
z
y
6
7
4 lz 0 lx 5
ly lx 0
Analogamente per riK :
2
3
lx 0 0 0 lz ly
riK ! ¡jk 4 0 ly 0 lz 0 lx 5 = ¡jkliK
0 0 lz ly lx 0
Con queste posizioni si ottiene la seguente espressione per la matrice di Christo¤el
¡ij = liK cKL lLj
204
12. Acustica Fisica
e per l’equazione di Christo¤el:
k2 (liK cKL lLj ) vj = k2 ¡ij vj = ½!2 vi
Esempio Condizioni di isotropia
Consideriamo la relazione:
3 2
2
Sxx
s11 s12
6 Syy 7 6 s12 s22
7 6
6
6 Szz 7 6 s13 s23
7 6
6
6 2Szy 7 = 6 s14 s24
7 6
6
4 2Sxz 5 4 s15 s25
2Sxy
s16 s26
s13
s23
s33
s34
s35
s36
s14
s24
s34
s44
s45
s46
s15
s25
s35
s45
s55
s56
s16
s26
s36
s46
s56
s66
3 2
7 6
7 6
7 6
7¢6
7 6
7 6
5 4
Txx
Tyy
Tzz
Tzy
Txz
Txy
3
7
7
7
7
7
7
5
Considerazioni di simmetria impongono l’annullarsi dei coe¢cienti
di strain s14 , s15 , s16 , s24 , s25 , s26 , s34 , s35 ,s36 , s45 , s46 e s56 .
In un sistema isotropo gli assi x, y, z sono equivalenti così come
i piani yz, xz, xy. Allora la risposta del mezzo deve essere la stessa
per sforzi applicati lungo i tre assi:
2
3 2
3 2
3 2
Sxx
s11 s12 s13 0
0
0
Txx
s11 Txx
6 Syy 7 6 s12 s22 s23 0
7 6 0 7 6 s12 Txx
0
0
6
7 6
7 6
7 6
6 Szz 7 6 s13 s23 s33 0
7 6 0 7 6 s13 Txx
0
0
6
7 6
7¢6
7=6
6 2Szy 7 = 6 0
6
7 6
0
0 s44 0
0 7
0
6
7 6
7 6 0 7 6
4 2Sxz 5 4 0
0
0
0 s55 0 5 4 0 5 4
0
2Sxy
0
0
0
0
0 s66
0
0
2
6
6
6
6
6
6
4
2
6
6
6
6
6
6
4
Sxx
Syy
Szz
2Szy
2Sxz
2Sxy
Sxx
Syy
Szz
2Szy
2Sxz
2Sxy
3
2
3
2
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
5 4
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
5 4
s11 s12 s13 0
0
0
s12 s22 s23 0
0
0
s13 s23 s33 0
0
0
0
0
0 s44 0
0
0
0
0
0 s55 0
0
0
0
0
0 s66
s11 s12 s13 0
0
0
s12 s22 s23 0
0
0
s13 s23 s33 0
0
0
0
0
0 s44 0
0
0
0
0
0 s55 0
0
0
0
0
0 s66
3 2
7 6
7 6
7 6
7¢6
7 6
7 6
5 4
3 2
7 6
7 6
7 6
7¢6
7 6
7 6
5 4
0
Tyy
0
0
0
0
0
0
Tzz
0
0
0
3
2
3
2
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
5 4
7 6
7 6
7 6
7=6
7 6
7 6
5 4
s12 Tyy
s22 Tyy
s23 Tyy
0
0
0
s13 Tzz
s23 Tzz
s33 Tzz
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
7
5
12. Acustica Fisica
.
205
Confrontando i risultati si conclude che s11 =s22 =s33 e che s12 =s13 =s23
Applicando successivamente Tzy ,Txz e Txy si deduce in…ne che
s44 =s55 =s66 .
In…ne la matrice delle compliances risulta:
2
3
s11 s12 s12 0
0
0
6 s12 s11 s12 0
0
0 7
6
7
6 s12 s12 s11 0
7
0
0
6
7
6 0
0
0 s44 0
0 7
6
7
4 0
0
0
0 s44 0 5
0
0
0
0
0 s44
e quella delle rigidezze:
2
c11 c12 c12 0
0
0
6 c12 c11 c12 0
0
0
6
6 c12 c12 c11 0
0
0
6
6 0
0
0 c44 0
0
6
4 0
0
0
0 c44 0
0
0
0
0
0 c44
3
7
7
7
7
7
7
5
Imponendo poi che la matrice non vari per rotazioni arbitrarie
intorno a un asse si deduce l’ulteriore condizione:
c12 = c11 ¡ 2c44
Talvolta per le due rigidezze indipendenti si sceglie
¸ = c12 e ¹ = c44
che sono detti coe¢cienti di Lamé.
Esempio
Matrice di Christo¤el per solidi isotropi
2
c11 c12 c12 0
0
0
2
3 6 c12 c11 c12 0
0
0
6
lx 0 0 0 lz ly
6 c12 c12 c11 0
0
0
4 0 ly 0 lz 0 lx 5 ¢ 6
6 0
0
0 c44 0
0
6
0 0 lz ly lx 0
4 0
0
0
0 c44 0
0
0
0
0
0 c44
3
7
7
7
7¢
7
7
5
206
12. Acustica Fisica
2
dove:
6
6
6
¢6
6
6
4
3
lx 0 0
3
2
0 ly 0 7
7
® ' ²
7
0 0 lz 7 4
= ' ¯ ± 5
0 lz ly 7
7
² ± °
lz 0 lx 5
ly lx 0
¡
¢
8
® = c11 lx2 + c44 ¡ 1 ¡ lx2¢
>
>
>
>
¯ = c11 ly2 + c44 ¡ 1 ¡ ly2¢
>
>
<
° = c11 lz2 + c44 1 ¡ lz2
± = (c12 + c44 ) ly lz
>
>
>
>
>
² = (c12 + c44 ) lx lz
>
:
' = (c12 + c44 ) lx ly
insieme alla condizione sempre valida per corpi isotropi: c12 = c11 ¡
2c44 :
Esempio
Onde acustiche in un mezzo isotropo
Tutte le direzioni sono equivalenti: assumiamo allora la direzione
dell’asse z. Si ha dunque che I^ = z^ ossia
lx = ly = 0 e lz = 1
La matrice di christo¤el risulta allora
2
3
® ' ²
¡ij = 4 ' ¯ ± 5
² ± °
con
¡
¢
® = c11 lx2 + c44 ¡ 1 ¡ lx2¢ = c44
¯ = c11 ly2 + c44 ¡ 1 ¡ ly2¢ = c44
° = c11 lz2 + c44 1 ¡ lz2 = c11
± = (c12 + c44 ) ly lz = 0
² = (c12 + c44 ) lx lz = 0
' = (c12 + c44 ) lx ly = 0
e l’equazione di Christo¤el risulta:
12. Acustica Fisica
k2 ¡ij vj
3
32
vx
c44 0
0
= ½!2 vi ) k2 4 0 c44 0 5 4 vy 5 =
vz
0
0 c11
3
2
vx
24
= ½!
vy 5
vz
da cui si ricavano le relazioni:
8 2
< k c44 vx
k2 c44 vy
: 2
k c11 vz
2
= ½! 2 vx
= ½!2 vy
= ½! 2 vz
Esempio
Matrice 2
di Christo¤el3 per un cristallo triclinico
® ' ²
4
¡ij = ' ¯ ± 5
² ± °
con
® = c11 lx2 + c66 ly2 + c55 lz2 + 2c56 ly lz + 2c15 lz lx + 2c16 lx ly
¯ = c66 lx2 + c22 ly2 + c44 lz2 + 2c24 ly lz + 2c46 lz lx + 2c26 lx ly
° = c55 lx2 + c44 ly2 + c33 lz2 + 2c34 ly lz + 2c35 lz lx + 2c45 lx ly
' = c16 lx2 + c26 ly2 + c45 lz2 + (c46 + c25 ) ly lz + (c14 + c56 ) lz lx
+ (c12 + c66 ) lx ly
" = c15 lx2 + c46 ly2 + c35 lz2 + (c45 + c36 ) ly lz + (c13 + c55 ) lz lx
+ (c14 + c56 ) lx ly
± = c56 lx2 + c24 ly2 + c34 lz2 + (c44 + c23 ) ly lz + (c36 + c45 ) lz lx
+ (c25 + c46 ) lx ly
207
208
12. Acustica Fisica
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13
Piezoelettricità
13.0.4 Equazione costitutiva di un materiale dielettrico
È ben noto che l’equazione costitutiva di un dielettrico cristallino è
la seguente relazione tra i vettori spostamento dielettrico D e campo
elettrico E :
Di = "ij Ej
(13.1)
con i; j = 1 ¢ ¢ ¢ 3:
Il tensore del secondo ordine "ij è il tensore delle permittività o
costanti dielettriche.
La relazione 13.1 può essere scritta anche nella forma
Di = "0 Ei + Pi
(13.2)
essendo Pi le componenti di un vettore detto “polarizzazione” che
in un punto uguaglia il momento di dipolo elettrico per unità di
volume, mentre naturalmente "0 è la costante dielettrica assoluta
1
¡1 :
pari a 36¼10
11 F cm
A sua volta il vettore polarizzazione è esprimibile nella forma :
Pi = "0 {ij Ej = Âij Ej
dove Âij è il tensore del secondo ordine delle suscettibilità.
(13.3)
210
13. Piezoelettricità
Le equazioni 13.2,13.3 mostrano che in un dielettrico sottoposto
ad un campo elettrico si manifesta una polarizzazione.
13.0.5 Equazioni costitutive piezoelettriche
In un materiale piezoelettrico si manifesta una polarizzazione non solo in seguito all’applicazione di un campo elettrico ma anche a causa
di uno stress (o di una deformazione) come espresso dalle seguenti
relazioni1 (e¤etto piezoelettrico diretto):
Pi¤ = dijk Tjk
(13.4)
Pi¤ = eijk Sjk
(13.5)
Nelle relazioni di cui sopra, Pi¤ eµ la componente della polarizzazione
dovuta all’e¤etto piezoelettrico e i tensori del terzo ordine dijk e eijk
sono detti tensore piezoelettrico di strain e di stress rispettivamente
e tutti gli indici variano da 1 a 3.
È quindi facile scrivere la polarizzazione totale comprensiva dell’e¤etto di un campo elettrico e di uno stress (deformazione)2 :
Pi = ÂTij Ej + dijk Tjk
(13.6)
Pi = ÂSij Ej + eijk Sjk
(13.7)
Utilizzando in…ne la 13.1 e 13.2 si ha:
Di = "Tij Ej + dijk Tjk
(13.8)
Di = "Sij Ej + eijk Sjk
(13.9)
1 Nell’appendice 1 a questo capitolo è riportato un modello monodimensionale di
solido che illustra in modo molto intuitivo i meccanismi alla base del comportamento
piezoelettrico dei materiali.
2 Si osservi che sono stati inseriti apici (T e S) che puntualizzano che il coe¢ciente
Âij è misurato in condizioni di sforzo (deformazione) nulli ossia in condizioni tali che il
comportamento piezoelettrico del materiale non in‡uenzi la componente elettrica della
polarizzazione.
Considerazioni analoghe valgono per altre relazioni nel seguito.
13. Piezoelettricità
211
Nei materiali piezoelettrici si osserva inoltre l’e¤etto inverso: applicando al materiale un campo elettrico, (uno spostamento dielettrico),
si ottiene una deformazione meccanica;
¤
Sij
= d~ijk Ek
(13.10)
¤
Sij
= g~ijk Dk
(13.11)
¤ la componente
Si osservi che in 13.10 e 13.11 si è indicato con Sij
della deformazione dovuta all’e¤etto piezoelettrico e con d~ijk e g~ijk
due opportuni tensori del terzo ordine dei quali, in generale, d~ijk è
considerato per il momento diverso da dijk .
Per ottenere relazioni generali per la deformazione in materiali
¤ si dovrà sovrapporre quella dovuta
piezoelettrici, alla componente Sij
a cause meccaniche (stress) e fornita dalla equazione costitutiva di
un materiale elastico (legge di Hooke); in de…nitiva si ha:
Sij = d~ijk Ek + sE
ijkl Tkl
(13.12)
Sij = g~ijk Dk + sD
ijkl Tkl
(13.13)
Le relazioni di cui sopra sono di fatto una forma delle equazioni
costitutive di materiali piezoelettrici; si osservi che serve una coppia
di equazioni per descrivere compiutamente l’e¤etto piezoelettrico;
conviene …ssare per il momento l’attenzione sulla coppia data dalla
13.8 e dalla 13.12:
Di = "Tij Ej + dijk Tjk
Sij = d~ijk Ek + sE Tkl
ijkl
i; j; k; l = 1 ¢ ¢ ¢ 3
che può essere scritta in forma simbolica:
D = eT ¢ E + d : T
S = d~ ¢ E + sE : T
Nelle stesse ipotesi per le quali è valida l’adozione della notazione
sempli…cata, le equazioni simboliche e/o tensoriali possono essere
poste in forma matriciale:
212
13. Piezoelettricità
Di = "Tij Ej + diJ TJ
SI = d~Ik Ek + sE TJ
IJ
i; j = 1 ¢ ¢ ¢ 3; I; J = 1 ¢ ¢ ¢ 6
Nella Appendice 2 a questo capitolo è poi dimostrato che esiste
~ in forma matriciale si tratta di
una semplice relazione tra d e d;
una semplice trasposizione per cui possiamo riscrivere le equazioni
costitutive nella seguente forma:
Di = "Tij Ej + diJ TJ
SI
= dIk Ek + sE
IJ TJ
i; j = 1 ¢ ¢ ¢ 3; I; J = 1 ¢ ¢ ¢ 6
13.0.6 Sistemi di equazioni costitutive piezoelettriche
Scriviamo il sistema
D = "T ¢ E + d : T
S = dt ¢ E + sE : T
in forma matriciale componendo i vettori D e S in un unico vettore
a 9 componenti; analogamente per i vettori E e T;
La matrice dei coe¢cienti del sistema risulta di rango 9 ed è la
composizione di quattro matrici: delle permittività (3x3), delle rigidezze (6x6) e dei coe¢cienti piezoelettrici (in forma diretta (3x6) e
trasposta (6x3)).
Questa matrice, che contiene tutte le informazioni necessarie a
speci…care il comportamento di un materiale piezoelettrico prende il
nome di matrice elasto-piezo-dielettrica.
Scegliendo arbitrariamente due variabili dipendenti e due indipendenti tra E, D, T ed S con il solo vincolo che le variabili indipendenti
[dipendenti] siano una elettrica ed una meccanica, si possono scrivere quattro sistemi di equazioni equivalenti del tipo di quello sopra
riportato:
8
< D = "T E + d : T
:
S = dt ¢ E + sE : T
13.1 Equazione di Christo¤el in materiali piezoelettrici
213
8
< D = "S ¢ E + e : S
:
T = ¡et ¢ E + cE : S
:
S = g t ¢ D + sD : T
:
T = ¡ht ¢ D + cD : S
8
< E = ¯T ¢ D ¡ g : T
8
< E = ¯S ¢ D ¡ h : S
Nella tabella seguente sono riportate le relazioni che legano i quattro tensori piezoelettrici d, e, h, g in combinazione con i tensori delle
permittività ed elastici.
c
¯
diJ
giJ
eiJ
hiJ
s¡1
"¡1
"Tik gkJ
¯ Tik dkJ
"Sik hkJ
¯ Sik ekJ
eiL sE
LJ
hiL sD
LJ
diL cE
LJ
giL cD
LJ
13.1 Equazione di Christo¤el in materiali
piezoelettrici
Consideriamo la
rs v =
@S
@t
e premoltiplichiamola per cE :
@S
@t
Facciamo uso delle equazioni piezoelettriche di stress:
½
D = "S ¢ E + e : S
T = ¡et ¢ E + cE : S
cE : rs v = cE :
(13.14)
deriviamo la seconda equazione rispetto al tempo e facciamo uso
della 13.14:
214
13. Piezoelettricità
@S
@E
¡ et ¢
@t
@t
@E
= cE : rS v ¡ et ¢
@t
@T
@t
= cE :
(13.15)
Consideriamo poi la
r¢T =½
@v
¡F
@t
che possiamo derivare rispetto al tempo.
@
@2v
@
T = ½ 2 ¡ F:
@t
@t
@t
Combinando le equazioni 13.15 e 13.16 si ha:
r¢
r ¢ cE
:
rS v ¡ r ¢ et ¢
= ½
(13.16)
@E
@t
@2v
@
¡ F
2
@t
@t
(13.17)
Consideriamo quindi le equazioni di Maxwell:
@H
@t
@D
+J
@t
¡r £ E = ¹0
r£H =
Applichiamo alla prima l’operatore rotore ed utilizziamo la seconda:
@H
@2 D
@J
= ¹0 2 + ¹0
(13.18)
@t
@t
@t
La derivata del vettore spostamento dielettrico può essere ricavata
dall’ equazione costitutiva piezoelettrica
¡r £ r £ E = ¹0 r £
D = "S ¢ E + e : S
@D
@E
@S
@E
= "S ¢
+e:
= "S ¢
+ e : rS v
@t
@t
@t
@t
13.1 Equazione di Christo¤el in materiali piezoelettrici
215
che sostituita nella 13.18 fornisce:
¡r £ r £ E = ¹0 "S
@v
@J
@2 E
+ ¹0 e : rS
+ ¹0
@ t2
@t
@t
(13.19)
Le due equazioni accoppiate 13.17 e 13.19
r ¢ cE : rS v = ½
¡r £ r £ E = ¹0 "S
@
@E
@ 2v
¡
F +r¢e
2
@t
@t
@t
@2 E
@v
@J
+ ¹0 e : rS
+ ¹0
@ t2
@t
@t
o la loro versione sempli…cata per il caso di assenza di forze e
densità di corrente,
@ 2v
@E
+r¢e
2
@t
@t
µ
¶
2
@v
S@ E
+ ¹0 e : rS
¡r £ r £ E = ¹0 "
@ t2
@t
r ¢ cE : rS v = ½
(13.20)
(13.21)
risolvono il problema della propagazione di onde elettromagnetiche
ed acustiche accoppiate in mezzi piezoelettrici.
Tranne in casi eccezionali, si potrà prescindere dalla componente
rotazionale di E così che le due equazioni suddette si sempli…cano
nelle:
@ 2v
@ rV
¡r¢e
2
@t
@t
µ
¶
µ
¶
@ 2 rV
@v
0 = ¡¹0 r ¢ "S
+
¹
r
¢
e
:
r
S
0
@ t2
@t
r ¢ cE : rS v = ½
(13.22)
(13.23)
Notare che si è applicato l’operatore r¢ alla seconda equazione.
Le due equazioni possono essere convertite in forma matriciale
riK ¢ cE
KL ¢ rLj vj ¡ ½
@
ri "Sij rj
@ 2 vi
@V
= ¡riK ¢ eKj rj
2
@t
@t
(13.24)
µ
¶
@ vj
= ri eiL rLj
@t
(13.25)
2V
@ t2
216
13. Piezoelettricità
Queste due equazioni risolvono il problema in generale ma a noi
interessa esclusivamente la propagazione di onde piane di frequenza
^
angolare ! in direzione I^ e quindi del tipo ej (!t¡kI¢r) .
Con questa assunzione, come già visto, possiamo fare riferimento
alle matrici di coseni direttori li , lj , liK ed lLj al posto degli operatori
di¤erenziali:
¢
¡
2
2
¡k2 liK cE
KL lLj vj + ½! vi = ¡j!k (liK ¢ eKj lj ) V
¢
¡
! 2 k2 li "Sij lj V = ¡j!k2 (li eiL lLj ) vj
La seconda equazione fornisce immediatamente una relazione tra
potenziale elettrico e velocità:
V =
1 (li eiL lLj )
´ vj
³
j! li "S lj
(13.26)
ij
che sostituita nella prima risulta:
¡
¢
li eiL lLj
2
2
¡k2 liK cE
vj :
KL lLj vj + ½! vi = ¡k (liK eKj lj )
li "Sij lj
"
k2 liK
(
(eKj lj ) (li eiL )
cE
KL +
li "Sij lj
)
#
lLj vj = ½! 2 vi
(13.27)
Questa equazione ha esattamente la stessa forma dell’equazione di
Christo¤el ricavata per materiali non piezoelettrici con la sostituzione delle costanti elastiche cE
KL con le quantità
(
)
(e
l
)
(l
e
)
Kj j
i iL
cE
KL +
li "sij lj
che prendono il nome di costanti elastiche piezoelettricamente irrigidite.
½
¾
(eKj lj )(li eiL )
E
Le costanti cKL +
possono essere scritte nella forli "sij lj
ma
8
0
19
<
(eKj lj ) (li eiL ) A=
@
³
´
cE
KL 1 +
:
;
cE l "s l
KL
i ij j
13.1 Equazione di Christo¤el in materiali piezoelettrici
217
Le quantità
(KKL )2 =
(eKj lj ) (li eiL )
³
´
s l
cE
l
"
i
j
ij
KL
che forniscono la variazione percentuale delle costanti elastiche sono
dette “fattori di accoppiamento elettromeccanico” e danno una misura dell’interazione elasto-elettrica caratteristica sia del materiale
sia della orientazione del cristallo.
13.1.1 Esempio
Matrice delle costanti elastiche irrigidite piezoelettricamente
Dobbiamo valutare:
cE
KL +
[eKj lj ] [li eiL ]
li "Sij lj
Si consideri la propagazione lungo l’asse x di un cristallo esagonale.
Si ha:I^ = x
^ da cui:
2
3
1 0 0 0 0 0
liK = 4 0 0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 1 0
Quindi:
2
3
0
0
0
0
e
0
x5
£
¤
1 0 0 4 0
0
0 ex5 0 0 5 =
[li eiL ] =
ez1 ez1 ez3 0
0 0
£
¤
=
0 0 0 0 ex5 0
2
da cui
6
6
6
[eKj lj ] = 6
6
6
4
0
0 ez1
0
0 ez1
0
0 ez3
0 ex5 0
ex5 0
0
0
0
0
3
2
7 2 3 6
6
7
1
6
7
7 4 0 5=6
7
6
6
7
0
5
4
0
0
0
0
ex5
0
3
7
7
7
7
7
7
5
218
13. Piezoelettricità
2
6
6
6
[eKj lj ] [li eiL ] = 6
6
6
4
2
6
6
6
= 6
6
6
4
0
0
0
0
ex5
0
0
0
0
0
0
0
3
7
7
7 £
¤
7 0 0 0 0 ex5 0
7
7
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 e2x5
0 0
0
0
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
7
5
Si ha poi:
2 S
3 2 3
²xx 0
0
1
£ S ¤ £
¤
li ²ij lj = 1 0 0 4 0 ²Syy 0 5 4 0 5 = ²Sxx
0
0
0 ²Szz
In de…nitiva la matrice cercata è:
2
6
6
6
6
[cstif f ] = 6
6
6
4
E
E
cE
0
0
11 c12 c13
E
E
E
c12 c11 c13 0
0
E
E
cE
c
c
0
0
13
13
33
E
0
0
0 c44
0
E
0
0
0
0 c44 +
0
0
0
0
0
e2x5
²S
xx
0
0
0
0
0
cE
66
3
7
7
7
7
7
7
7
5
L’equazione di Christo¤el è allora:
2
E
E
cE
0
11 c12 c13
E
E
E
c12 c11 c13 0
E
E
cE
0
13 c13 c33
0
0
0 cE
44
36
1 0 0 0 0 0 6
6
6
k2 4 0 0 0 0 0 1 5 6
6
0 0 0 0 1 0 6
4 0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cE
44 +
0
e2x5
²S
xx
0
0
0
0
0
cE
66
3
7
7
7
7
7¢
7
7
5
13.1 Equazione di Christo¤el in materiali piezoelettrici
2
6
6
6
¢6
6
6
4
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
219
3
72
3
2
3
7 vx
vx
7
7 4 vy 5 = ½! 2 4 vy 5
7
7 vz
vz
5
Si ottengono così due onde “unsti¤ened” la prima longitudinale e
la seconda trasversale con relazioni di dispersione:
! 2 ½ = k 2 cE
11
! 2 ½ = k 2 cE
66
ed un’onda “sti¤ened”che ha relazione di dispersione:
µ
¶
e2x5
2
2
E
! ½ = k c44 + S
²xx
È facile valutare la velocità di fase :
v³
´ s
u
u cE + eS2x5
! t 44 ²xx
c¹E
44
=
´
k
½
½
³
Il coe¢ciente c¹E
=
cE
44
44 +
“sti¤ened”.
Valutiamo in…ne
V =
e2x5
²S
xx
´
prende il nome di costante elastica
1 [li eiL lLj ]
vj
j! li ²Sij lj
2
36
6
0
0
0
0
e
0
x5
6
£
¤
4
5
[li eiL lLj ] =
1 0 0
0
0
0 ex5 0 0 6
6
ez1 ez1 ez3 0
0 0 6
4
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
7
7
7
7 =
7
7
5
220
13. Piezoelettricità
=
£
2
0 0 0 0 ex5
ed in…ne:
V =
1 1 £
0 0 ex5
j! ²Sxx
6
6
¤ 6
0 6
6
6
4
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
7
7
7
¤
£
7 = 0 0 ex5
7
7
5
3
v
x
¤
4 vy 5 = 1 ex5 vz
j! ²Sxx
vz
2
13.1.2 Esempio
Ricordiamo il seguente sistema piezoelettrico:
8
< D = ²S ¢ E + e : S
:
T = ¡et ¢ E + cE : S
Poniamo in esso D = 0:
8
< 0 = ²S ¢ E + e : S
:
T =
¡et
¢E
+ cE
:S
)
8
< E = ¡¯ S e : S
:
T = et ¯ S e : S + cE : S
da cui:
¡
¢
¡
¢
S
D
T = cE + et ¯ S e : S ) TK = cE
KL + eKi ¯ ij ejL SL = cKL SL
Se ne conclude che :
E
S
cD
KL = cKL + eKi ¯ ij ejL
Possiamo valutare il termine eKi ¯ Sij ejL per la classe esagonale:
2
6
6
£
¤ 6
eKi ¯ ij ejL = 6
6
6
4
0
0 ez1
0
0 ez1
0
0 ez3
0 ez5 0
ez5 0
0
0
0
0
3
72 S
3
7 ¯ xx 0
0
7
7 4 0 ¯S
0 5¢
xx
7
7
0
0 ¯ Szz
5
13.2 Appendice 1
221
3
0 0 0
0 e5z 0
¢ 4 0 0 0 e5z 0 0 5 =
ez ez e3z 0
0 0
2
2
6
6
6
=6
6
6
4
3
0
0 7
7
0 7
7
0 7
7
0 5
0
(13.28)
fornisce il risultato richiesto.
¯ Szz e2z1
¯ Szz e2z1
¯ Szz ez1 ez3
0
0
S 2
S 2
S
¯ zz ez1
¯ zz ez1
¯ zz ez1 ez3
0
0
0
0
¯ Szz ez1 ez3 ¯ Szz ez1 ez3
e23z ¯ Sx2
S 2
0
0
0
¯ xx ex5
0
0
0
0
0
¯ Sxx e2x5
0
0
0
0
0
La matrice 13.28 sommata alla cE
KL
13.2 Appendice 1
Modello monodimensionale di solido piezoelettrico
Il modello monodimensionale che esponiamo in questa appendice, dovuto a B.Auld, fornisce una giusti…cazione intuitiva a molti
fenomeni legati alla piezoelettricità.
Consideriamo un sistema unidimensionale nel suo complesso neutro costituito da sfere cariche legate da connessioni rigide o elastiche.
Supponiamo il suddetto sistema inizialmente simmetrico quanto a distribuzione di carica e di elementi elastici rispetto ad un centro di
simmetria che assumeremo come origine dell’asse di riferimento.
x=0
la
l
+q
lb
x
l
-q
-q
a
+q
b
Figura 1
Sottoponiamo il sistema a sollecitazioni meccaniche (di tipo idrostatico) ed elettriche e calcoliamo la risposta elettrica e meccanica
del sistema.
Conveniamo di de…nire risposta meccanica ad una sollecitazione
(elettrica o meccanica) la variazione di lunghezza totale del sistema.
222
13. Piezoelettricità
Conveniamo di de…nire risposta elettrica ad una sollecitazione
(elettrica o meccanica) il momento di dipolo elettrico totale:
Px =
X
qn xn
n
13.2.1 Condizioni di equilibrio
Supponiamo che le molle abbiano la stessa costante elastica k e
lunghezza a riposo l0 . Allora le forze di richiamo delle molle saranno:
fa = k (la ¡ l ¡ l0 )
fb = k (lb ¡ l ¡ l0 )
e le forze totali che agiscono sulle sfere:
µ
¶
1
1
1
2
(fa )x = k (la ¡ l ¡ l0 ) + q
+
¡
(la ¡ l)2 (la + l)2 (la + lb )2
(fb )x = ¡k (lb ¡ l ¡ l0 ) ¡ q
2
µ
1
1
1
2 +
2 ¡
(lb ¡ l)
(lb + l)
(la + lb )2
¶
Le equazioni di cui sopra possono essere utilizzate per calcolare la
posizione di equilibrio ponendo una delle forze a zero e la = lb = leq
.
Dalle equazioni di cui sopra si deduce inoltre:
@ (fa )x
@ (fb )x
=¡
=A
@ la
@ lb
@ (fa )x
@ (fb )x
=¡
=B
@ lb
@ la
Si noti in…ne che il momento di dipolo elettrico per la simmetria
del modello è nullo all’equilibrio:
(Px )eq = ¡qleq + ql ¡ ql + qleq = 0
13.2 Appendice 1
223
13.2.2 Modello di solido non piezoelettrico
x=0
la
δF
x
l
l
+Rq
lb
-q
+q
-Rq
a
b
la
δ lb
+Rq
-Rq
+q
-q
b
a
δF
δ lb
la
+Rq
-Rq
+q
-q
b
a
E
Figura 2
1) Determiniamo le risposte meccanica ed elettrica conseguenti
all’applicazione di una coppia di forze:
Risposta meccanica: la variazione di lunghezza totale è data
da
± L = ¡2 j±la j :
Risposta elettrica: la variazione del momento di dipolo elettrico
è
224
13. Piezoelettricità
± Px = q j± la j ¡ q j± lb j = 0
2) Determiniamo le risposte meccanica ed elettrica conseguenti
all’applicazione di un campo elettrico: quando viene raggiunta la
nuova posizione di equilibrio
si ha:
(fa )x = ¡q±E
(fb )x = ¡q±E
Per piccole variazioni possiamo sviluppare le forze in serie intorno
alla forza di equilibrio:
¯
¯
@ (fa )x ¯¯
@ (fa )x ¯¯
(fa )x = (fa )x jeq +
±la +
±lb
@ la ¯eq
@ lb ¯eq
¯
¯
@ (fb )x ¯¯
@ (fb )x ¯¯
±la +
±lb
(fb )x = (fb )x jeq +
@ la ¯eq
@ lb ¯eq
Ricordando le relazioni tra le derivate ricavate per la condizione
di equilibrio, si ha:
A±la + B±lb = ¡q±E
¡B±la ¡ A±lb = ¡q±E
che ha soluzioni
±lb = ¡±la =
q±Ex
A¡B
Siamo in grado di calcolare:
Risposta meccanica: la variazione di lunghezza totale è data da:
± L = ±la + ±lb = 0:
Risposta elettrica: la variazione del momento di dipolo elettrico
è¨
13.2 Appendice 1
225
2q 2
± Ex
A¡B
Riassumiamo quanto ricavato nella seguente tabella:
± Px = ¡q±la + q±lb =
sollec. meccanica
sollec. elettrica
risposta meccanica
± L = ¡2 j±la j
0
risposta elettrica
0
2q 2
±Ex
± Px = A¡B
13.2.3 Modello di solido piezoelettrico
x=0
la
δF
x
l
l
+q
lb
-q
-q
+q
a
b
la
δ lb
+q
-q
-q
+q
b
a
δ
δ
la
+q
-q
-q
a
E
Figura 3
+q
226
13. Piezoelettricità
Osserviamo che in questo caso all’equilibrio il momento di dipolo
elettrico totale è non nullo;
(Px )eq = ¡Rqleq + ql + ql ¡ Rqleq = 2q (l ¡ Rleq )
È evidente che per la simmetria del modello che si conserva anche
dopo le sollecitazioni j±la j = j±lb j .
La con…gurazione deformata è la stessa sia per sollecitazioni elettriche che meccaniche; in entrambi i casi si può calcolare:
Risposta meccanica: la variazione di lunghezza totale è data da:
± L = ¡2 j±la j :
Risposta elettrica: la variazione del momento di dipolo elettrico
è data da
± Px = ¡qR(la ¡ ±la ) + ql + ql ¡ qR(lb ¡ ±lb ) ¡ (Px )eq = 2qR±la
Riassumiamo quanto ricavato per un solido privo di centro di
simmetria che presenta un momento di dipolo elettrico permanente:
sollec. meccanica
sollec. elettrica
risposta meccanica
± L = ¡2 j±la j
± L = ¡2 j±la j
risposta elettrica
± Px = 2qR±la
± Px = 2qR±la
Il comportamento di un solido piezoelettrico potrà dunque essere
descritto dalle seguenti relazioni:
±Px = ±E + d±F
±L = d±E + s±F
L’estensione del modello al caso tridimensionale comporta la sostituzione dei coe¢cienti con elementi matriciali:
±Pi = Âij ±Ej + dij ±Fj
±Li = dij ±Ej + sij ±Fj i; j = x; y; z
13.3 Appendice 2
227
13.3 Appendice 2
Relazione tra d e d~
Si ricordi che per un solido deformabile sottoposto a campo elettromagnetico abbiamo ricavato una espressione dell’energia interna
nella forma:
±U = T dS + TI dSI + Ei dDi + Hi dBi
dove le variabili indipendenti sono S, SI , Di , B.
Si ricordi la regola per cambiare l’insieme delle variabili indipendenti:
Se nella espressione di¤erenziale dU si ha il termine YdX e vogliamo tenere Y come variabile indipendente, si deve fare riferimento
alla funzione U-YX il cui di¤erenziale conterrà il termine XdY
Poiché nelle relazioni costitutive (dette equazioni piezoelettriche
di strain) le variabili indipendenti sono TI ed Ei , conviene fare
riferimento alla energia (di Gibbs) seguente:
G = U ¡ T S ¡ TI SI ¡ Ei Di ¡ Hi Bi
la cui forma di¤erenziale risulta:
dG = ¡SdT ¡ SI dTI ¡ Di dEi ¡ Bi dHi
da cui si ricavano in particolare le seguenti espressioni:
SI = ¡
dG
dG
Di = ¡
dTI
dEi
Dalle relazioni costitutive
½
Di = "Tij Ej + diJ TJ
SI = d~Ij Ej + sE
IJ TJ
si ricavano le espressioni:
diJ =
dDi
dSI
, d~Ij =
dTJ
dEj
e quindi:
diJ = ¡
d2 G
= d~Ij
dTJ dEi
Sussiste dunque semplicemente una relazione di trasposizione tra
d e d~ .
228
13. Piezoelettricità
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14
Il trasduttore piezoelettrico
14.1 Trasduttore piezoelettrico sottile
Il trasduttore piezoelettrico sottile è realizzato costruendo un condensatore a facce piane e parallele che utilizza il materiale piezoelettrico, tagliato secondo assi cristallini prescelti, come dielettrico
(…gura 1).
Figura 1
Si assume che la dimensione in spessore sia molto minore delle
dimensioni laterali del materiale piezoelettrico.
230
14. Il trasduttore piezoelettrico
Nella ipotesi sempli…cativa che l’accoppiamento piezoelettrico sia
debole possiamo approssimare l’impedenza di ingresso del trasduttore con la sua capacità “geometrica”.
C0 =
²A
d
essendo d lo spessore del cristallo ed A la super…cie.
In queste ipotesi la tensione sul cristallo sarà data da
V =
1
j!C0
R0 +
1
j!C0
V0 =
1
V0
j!C0 R0 + 1
e il corrispondente campo elettrico nel cristallo sarà
Ez =
V
1
V0
=
d
j!C0 R0 + 1 d
Tuttavia, in generale, non potremo prescindere dall’accoppiamento
piezoelettrico1 che produce una perturbazione sul campo elettrico o,
in altri termini, in‡uenza tutti i parametri elettrici del dispositivo.
Data la geometria del trasduttore potremo considerare il problema
unidimensionale (lungo x) ossia assumere trascurabile la variazione
dei parametri elastici ed elettrici nei piani perpendicolari a x.
Allora le relazioni generali E = ¡rV e r ¢ D = 0 si sempli…cano
nelle
Ex = ¡
@V
@x
@ Dx
=0
@x
ossia
Dx = C
(14.1)
essendo C una costante.
Individuiamo le componenti dello stress e della velocità sui piani
del trasduttore (…gura 2).
1 Infatti è l’accoppiamento piezoelettrico che “trasforma” una semplice capacità in un
trasduttore elettroacustico; prescindendo da esso non si fa che studiare il comportamento
elettrico di una capoacità come è ovvio dai risultati esposti sopra.
14.1 Trasduttore piezoelettrico sottile
231
Figura 2 a
Figura 2 b
Si hanno sei componenti dello stress (tre componenti per lo stress
sulla faccia assunta in x=0 e tre relative allo stress per la faccia del
dispositivo in x=d). Analogamente si hanno sei componenti per la
velocità. Si hanno in de…nitiva le seguenti scomposizioni:
232
14. Il trasduttore piezoelettrico
Tx (±) = x
^Txx (±) + y^Tyx (±) + z^Tzx (±)
v(±) = x
^vx (±) + y^vy (±) + z^vz (±)
± = 0; d
Oltre alle dodici variabili suddette si deve tenere in conto anche
della tensione agli elettrodi del condensatore e della corrente che
scorre nei …li di interconnessione.
È consuetudine schematizzare il sistema con un analogo elettrico
assumendo l’equivalenza formale tra velocità e correnti da una parte,
e forze (stress x area) e tensioni dall’altra: si ha così un sistema a
sette porte (14 variabili delle quali 7 tensioni generalizzate e sette
correnti generalizzate) del tipo schematizzato nella …gura 3.
Figura 3
La tensione V7 può essere determinata immediatamente integrando
il campo elettrico sullo spessore d del cristallo:
V7 =
Zd
0
Ex dx
14.1 Trasduttore piezoelettrico sottile
233
Inoltre è facile calcolare la corrente (che è costituita dalla sola
componente di spostamento):
@D
! I7 = j!Dx A
(14.2)
@t
Il sistema suddetto è descritto, nel caso generale, da un sistema
di 7 equazioni lineari in 7 incognite caratterizzato da 49 coe¢cienti
(impedenze generalizzate) della forma:
8
F = Z11 v1 + ¢ ¢ ¢ Z16 v6 + Z17 I7
>
>
> .1
>
< .
.
..
>
>
.
>
>
:
V7 = Z71 v1 + ¢ ¢ ¢ Z76 v6 + Z77 I7
j=
Naturalmente il valore delle impedenze dipenderà tra l ’altro dal
materiale impiegato e dalla sua orientazione, ossia dal taglio del
cristallo.
Assumiamo la classe cristallina esagonale.
Ricordiamo che
rS v =
@S
1
)S=
rS v
@t
j!
ma poiché v è funzione solo di x (stiamo discutendo un problema
monodimensionale) l’operatore rS fornisce valori non nulli solo per
tre componenti dello strain; in forma matriciale:
2 @
3
2
3
@vx
0 0
@x
@
6 0
6 @x
7
0 7
3
6
72
6 0 7
@y
vx (x)
6
6
@ 7
0 @z 7 4
1 6 0
1
1 6 0 7
7
5
SI =
rIj vj =
v
(x)
=
6
7
6 0 7
y
@
@
7
6
7
j!
j! 6 0 @z
j!
@y 7
vz (x)
6 @
6 @vz 7
@ 5
4 @z 0 @x
4 @x 5
@v y
@
@
0
@x
@y
@x
Per il problema speci…co
2
0
4
eiJ =
0
ez1
la matrice piezoelettrica è:
3
0
0
0 ex5 0
0
0 ex5 0 0 5
ez1 ez3 0
0 0
conseguentemente nella prima equazione costitutiva
234
14. Il trasduttore piezoelettrico
Di = ²Sij Ej + eiJ SJ
TI = ¡eIj Ej + cE
IJ SJ
il secondo termine risulta:
2
0
0
0
0 ex5 0
4
0
0
0 ex5 0 0
eiJ SJ =
ez1 ez1 ez3 0
0 0
mentre il primo termine nella seconda
2
6
6
6
e Ij Ej = 6
6
6
4
0
0 ez1
0
0 ez1
0
0 ez3
0 ex5 0
ex5 0
0
0
0
0
2
3
S1
3
36 0 7 2
6
7
ex5 S5
6 0 7
7 4 0 5
56
6 0 7=
6
7
ez1 S1
4 S5 5
S6
equazione costitutiva sarà:
3
2
7 2
3 6
7
6
E
x
7
6
7 4 0 5=6
7
6
7
6
0
5
4
0
0
0
0
ex5 Ex
0
3
7
7
7
7
7
7
5
In de…nitiva solo le variabili meccaniche vz (tramite S5 ) e T5 = Txz
risultano accoppiate a variabili elettriche e quindi agli elettrodi; così
le equazioni elasto-elettriche si riducono da 7 a 3 nella forma:
8
< F1 = Z11 v1 + Z12 v2 + Z13 I3
F = Z21 v1 + Z22 v2 + Z23 I3
: 2
V3 = Z31 v1 + Z32 v2 + Z33 I3
essendo v1 = vz (0); v2 = vz (d); F1 = ¡AT5 (0); F2 = ¡AT5 (d) e
V3 ed I3 sono tensione e corrente alla porta elettrica.
Abbiamo ricavato in un esempio svolto precedentemente (cfr. pagina 219) che per propagazione
r³ di ´onde acustiche ed elettriche ac½
coppiate il vettore d’onda è
c¹44 : La soluzione per la velocità è
dunque del tipo
"
vz = exp(j! t) exp ¨j!
µ
½
c¹44
¶1 #
2
x
14.1 Trasduttore piezoelettrico sottile
235
La soluzione generale potrà essere scritta come
"
"
µ ¶1 #
µ ¶1 #
½ 2
½ 2
vz = a exp ¡j!
x + b exp +j!
x
c¹44
c¹44
e può essere posta nella forma:
" µ ¶1 #
" µ ¶1 #
½ 2
½ 2
vz = a sen !
x + b cos !
x
c¹44
c¹44
(14.3)
dove a e b sono costanti arbitrarie da determinare. Oltre a questa
relazione costituisce parte della soluzione generale del problema la
14.1 :
Dx = c
(14.4)
che contiene la terza costante arbitraria da determinare.
La relazione generale
V =
1 (li eiL lLj )
´ vj
³
j! li "S lj
ij
si riduce nel nostro caso particolare alla (vedi ancora pagina 219):
V =
1 ex5
vz
j! ²Sxx
Per determinare le costanti arbitrarie conviene esplicitare la prima
delle
Dx = ²Sxx Ex + ex5 S5
T5 = ¡ex5 Ex + cE
44 S5
rispetto a Ex e sostituire nella seconda:
Ex =
T5 = ¡ex5
·
Dx ex5 S5
¡ S
²Sxx
²xx
¸
Dx ex5 S5
¡ S
+ cE
44 S5
²Sxx
²xx
236
14. Il trasduttore piezoelettrico
·
¸
Dx
e2x5
E
T5 = ¡ex5 S + c44 + S S5
²xx
²xx
Si inserisce poi al posto di S5 la sua espressione in funzione di vz :
S5 =
1 @ vz
j! @ x
Ã
µ
Si ha:
¡ ¢¡1
Ex = ²Sxx
c+j
Txz = ¡hx5 c¡j
µ
µ
½
c¹44
½
c¹44
¶1
2
¶1
2
hx5 a cos !
c¹E
44
Ã
a cos !
µ
½
c¹44
½
c¹44
¶1
2
¶1
2
x ¡ bsen!
x ¡ bsen!
µ
µ
¶1 !
½ 2
x
c¹44
(14.5)
½
c¹44
¶1 !
2
x
(14.6)
h
i
2
e
E
x5
con hx5 =
e, naturalmente, c¹E
44 = c44 + ²S
xx
Siamo ora in grado di imporre le condizioni al contorno per determinare le costanti a, b e c nelle 14.3 e 14.4:
8
v1 = vz (0) = b
>
>
>
>
<
¡
¡ ¢
¡ ¢¢
¹ + v1 cos kd
¹
v2 = ¡vz (d) = ¡ asen kd
>
>
>
>
:
I3 = j!Dx A
³ ´1
2
avendo assunto k¹ = ! c¹½44
da cui:
8
v2
v1
>
¹ ) ¡ tan(kd
¹ )
< a = ¡ sen(kd
b = v1
>
: c = I3
j!A
ex5
²S
xx
Sappiamo inoltre che
8
F1 = ¡ATxz (0)
>
>
>
>
<
F2 = ¡ATxz (d)
>
>
>
>
Rd
:
V3 = 0 Ex dx
14.1 Trasduttore piezoelettrico sottile
237
quindi, utilizzando la 14.6 :
"
#
µ ¶1
I3
½ 2 E
F1 = A hx5
+j
c¹44 a
j!A
c¹44
"
#
µ ¶1
¡ ¢
¡ ¢¢
I3
½ 2 E ¡
¹ ¡ bsen kd
¹
F2 = A hx5
+j
c¹44 a cos kd
j!A
c¹44
8
µ
>
>
+
F1 = Z0 j tanv1 kd
>
>
(¹ )
<
µ
>
>
>
>
+
: F2 = Z0 jsenv1kd
(¹ )
v2
¹ )
jsen(kd
v2
¹ )
j tan(kd
¶
¶
+
hx5
j! I3
+
hx5
j! I3
dove si è indicato con
p
Z0 = A ½¹
c44
l ’impedenza acustica del materiale piezoelettrico.
Analogamente, facendo uso della 14.5 e sostituendo i valori delle
costanti nella equazione
Z
d
Ex dx =
0
Z
0
=
dµ
hx5 @ vz
I3
¡
S
j!"xx A
j! @ x
¶
dx =
hx5
I3 d
hx5
I3
¡
vz jd0 =
(v1 + v2 ) +
S
j!"xx A
j!
j!
j!C0
Le tre equazioni
¶
µ
8
>
v
v
hx5
2
1
>
> F1 = Z 0 j tan(kd
¹ ) + jsen(kd
¹ ) + j! I3
>
>
>
>
>
<
µ
¶
v1
v2
hx5
F2 = Z 0 jsen kd
>
¹ ) + j tan(kd
¹ ) + j! I3
>
(
>
>
>
>
>
>
:
I3
x5
V3 = hj!
(v1 + v2 ) + j!C
0
costituiscono la risoluzione del problema elasto-elettrico del trasduttore a …lm sottile piezoelettrico funzionante in modo spessore.
238
14. Il trasduttore piezoelettrico
La matrice delle impedenze dell’analogo elettrico è:
2
6
[Z] = ¡j 6
4
Z0
¹ )
tan(kd
Z0
¹ )
sen(kd
hx5
!
Z0
¹ )
sen(kd
Z0
¹ )
tan(kd
hx5
!
hx5
!
hx5
!
1
!C 0
3
7
7
5
(14.7)
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15
Circuiti Equivalenti
15.1 Circuito equivalente di Mason
In questo capitolo dimostreremo che la matrice delle impedenze generalizzate ricavata nel capitolo precedente (equazione14.7) può essere
interpretata come la matrice caratteristica di una classe di circuiti
elettrici generalizzati. L’analisi e il progetto del trasduttore ultrasonico piezoelettrico potranno così essere compiuti indi¤erentemente
utilizzando la matrice 14.7 oppure le reti elettriche equivalenti; in
questo caso dovranno essere usati i metodi noti dell’analisi delle reti
elettriche.
Si consideri il circuito riportato in …gura 1:
240
15. Circuiti Equivalenti
zc/N2
I3
V3
zb/N2
za
I1
zd/N2
I2
1:N
F1
F2
N:1
Figura 1
Si ha:
V3 = za (I1 + I2 + I3 ) = za (Nv1 + Nv2 + I3 )
che confrontata con la relazione
V3 =
hx5
I3
(v1 + v2 ) +
j!
j!C0
fornisce le equivalenze
N = hx5 C0 za =
1
j!C0
Poi,
zc
zb
I1 + 2 (I1 + I2 ) + za (I1 + I2 + I3 ) =
2
N
N
³z
´
³z
´
zb
c
b
=
+
+
z
I
+
+
z
I2 + za I3
a
1
a
N2 N2
N2
V1 =
Analogamente:
zb
zd
I2 + 2 (I1 + I2 ) + za (I1 + I2 + I3 ) =
2
N
N
³z
´
³z
´
zb
d
b
=
+
+
z
I
+
+
z
a
2
a I1 + za I3
N2 N2
N2
V2 =
v1
15.1 Circuito equivalente di Mason
che combinate con le V1 =
F1
N;
V2 =
F2
N
241
forniscono:
F1 = N
h³ z
´
³z
´
i
zb
c
b
+
+
z
Nv
+
+
z
Nv
+
z
I
a
1
a
2
a
3
N2 N2
N2
F2 = N
´
³z
´
i
h³ z
zb
b
d
+
+
z
Nv
+
+
z
Nv
+
z
I
a
2
a
1
a 3
N2 N2
N2
Confrontando queste equazioni con le
8
µ
>
v1
>
F
=
Z
+
>
1
0 j tan kd
>
(¹ )
<
µ
>
>
>
>
+
: F2 = Z0 jsenv1kd
(¹ )
v2
¹ )
jsen(kd
v2
¹ )
j tan(kd
¶
¶
+
hx5
j! I3
+
hx5
j! I3
si ottengono le equivalenze:
Z0
¹ )
j tan(kd
= N2
Z0
¹ )
jsen(kd
N2
=
¡ zc
N2
¡ zb
N2
+
zb
N2
+ za
¢
¢ 9
>
+ za >
=
>
>
;
)
¡ ¢
µ¹ ¶
¹ ¡1
cos kd
Z0
Z0
kd
¡
¢
¡
¢
¡
¢
zc =
¡
= Z0
= jZ0 tan
¹
¹
¹
2
j tan kd
jsen kd
jsen kd
ed anche:
µ¹ ¶
kd
zd = zc = jZ0 tan
2
zb =
Z0
N2
¡ ¢¡
¹
j!C0
jsen kd
Con le equivalenze dimostrate il circuito visto prima può essere
disegnato nella seguente forma (…gura2) :
242
15. Circuiti Equivalenti
Figura 2
15.1.1 Trasduttore trasmettitore
Consideriamo il trasduttore caricato sulla porta acustica 2 da una
impedenza (acustica) di carico ZF ´ Fv22 ; la porta acustica 1 sarà
invece cortocircuitata, condizione che impone F1 ´ 0.
Il circuito di Mason risulta allora (…gura 3):
ZF
Figura 3
Calcoliamo Zin = VI33 osservando che il circuito può essere disegnato come segue (…gura 4):
15.1 Circuito equivalente di Mason
243
Zeq
Figura 4
dove Zeq è l’impedenza equivalente del secondario; consideriamo
poi l’identità tra i bipoli di …gura 5:
Z1
Z2
Z1
ZA
Figura 5
Z2
Z2
1
che sussiste se ZA = ZZ11+Z
¡ Z1 = ¡ Z1 +Z
.
2
2
Applicando l’identità suddetta con le posizioni:
Z1 =
1
j!C0
Z2 =
Zeq
1
¡
N2
j!C0
si ottiene:
ZA =
N2 1
! 2 C02 Zeq
Zin =
1
N2 1
+ 2 2
j!C0 ! C0 Zeq
Resta dunque da calcolare l’impedenza equivalente del seguente
bipolo (…gura 6):
244
15. Circuiti Equivalenti
jZ0
sen(kd)
ZF
jZ0
1-cos(kd)
sen(kd)
Figura 6
Zeq
jZ0
=¡
¹ +
sen(kd)
jZ0
¹ )
(1¡cos(kd)
¹
sen(kd)
2jZ0
·
¸
¹ )
(1¡cos(kd)
jZ0 sen(kd)
+ ZF
¹
¹ )
(1¡cos(kd)
¹
sen(kd)
+ ZF
¡
¢
¹
¹
+ ZF sen(kd)
N 2 2jZ0 1 ¡ cos(kd)
ZA = 2 2 ¢
¹ ¡ jZF Z0 cos(kd)
¹
! C0
Z02 sen(kd)
Questa relazione può essere messa nella forma:
ZA = RA
dove:
³ ! ´2
RA =
0
!
(Hr + Hi )
4 Z0 N 2
¼ ZF ! 2 C02
!0d
¹
= ¼ = kd
vt
1
Hr =
4
µ
ZF
Z0
¶2
¡
¢
¹ 2
1 ¡ cos(kd)
h
i2
¹ + ZF cos(kd)
¹
sen2 (kd)
Z0
15.2 La rete elettrica equivalente
1
Hi =
2
µ
ZF
Z0
¶
1
2
³
ZF
Z0
´2
245
¡
¢
¹ cos(kd)
¹ + 1 ¡ cos(kd)
¹
¹
sen(kd)
sen(kd)
h
i2
¹ + ZF cos(kd)
¹
sen2 (kd)
Z0
Hr ed Hi possono essere disegnate in funzione dell’argomento delle
funzioni circolari per vari valori del rapporto ZF /Z0 (…gure 7a e b).
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
6
Figura 7a
2
1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
Figura 7 b
15.2 La rete elettrica equivalente
In questo capitolo sarà a¤rontato il problema della risoluzione della
rete elettrica equivalente al trasduttore piezoelettrico funzionante in
modo spessore.
246
15. Circuiti Equivalenti
Il trasduttore è descritto dalla matrice delle impedenze:
3
2
Z11 Z12 Z13
4 Z21 Z22 Z23 5
Z31 Z32 Z33
ossia dal sistema lineare:
8
F1 = Z11 v1 + Z12 v2 + Z13 I
>
>
>
>
<
F2 = Z21 v1 + Z22 v2 + Z23 I
>
>
>
>
:
V = Z31 v1 + Z32 v2 + Z33 I
Terminiamo la porta di backing come in …gura 8 così che risulterà:
F2 = ¡v2 ZB
v1
v2
ZB
F1
I
V
Figura 8
8
F1 = Z11 v1 + Z12 v2 + Z13 I
>
>
>
>
<
¡v2 ZB = Z21 v1 + Z22 v2 + Z23 I
>
>
>
>
:
V = Z31 v1 + Z32 v2 + Z33 I
Dalla seconda equazione:
v2 = ¡
Z21 v1 + Z23 I
Z22 + ZB
15.2 La rete elettrica equivalente
247
e quindi:
8
Z v1 +Z23 I
>
< F1 = Z11 v1 ¡ Z12 21
Z22 +ZB + Z13 I
>
: V = Z31 v1 ¡ Z32 Z21 v1 +Z23 I + Z33 I
Z22 +ZB
La matrice delle impedenze del quadripolo ottenuto risulta:
"
# ·
¸
Z12
Z23 Z12
Z11 ¡ ZZ2221+Z
Z
¡
R
R
13
1
Z
+Z
22
B
B
´
Z21
Z32
R R2
Z31 ¡ ZZ2232+Z
Z33 ¡ ZZ2223+Z
B
B
15.2.1 Trasmettitore
Consideriamo il sistema completo di carico acustico e funzionante da
trasmettitore (…gura 9):
v1
I
ZG
F1
VG
Figura 9
che sarà descritto dalle equazioni:
·
¸ ·
¸ ·
¸
V
R2 R
I
=
F1
R R1
v1
VG = V + ZG I
F1 = ¡ZF v1
da cui si ricava:
¡ZF v1 = RI + R1 v1 ) v1 = ¡
R
I
R1 + ZF
ZF
248
15. Circuiti Equivalenti
R2
V = R2 I ¡
I=I
R1 + ZF
µ
R2 (R1 + ZF ) ¡ R2
R1 + ZF
¶
=I
< + R2 ZF
R1 + ZF
Da queste si ricavano le seguenti funzioni di trasferimento:
Zin =
V
< + R2 ZF
=
I
R1 + ZF
Zout =
F1
< + R1 ZG
=
v1
R2 + ZG
AT =
GT =
v1
¡R
=
I
R1 + ZF
F1 v1 I
¡R
R1 + ZF
ZF R
F1
=
= ¡ZF
=
V
v1 I V
R1 + ZF < + R2 ZF
< + R2 ZF
avendo indicato con
< = R1 R2 ¡ R2
il determinante della matrice [R].
15.2.2 Ricevitore
Consideriamo il sistema funzionante da ricevitore (…gura 10):
v1
I
ZR
V
F1
Figura 10
ZF
FG
15.2 La rete elettrica equivalente
che sarà descritto dalle equazioni:
·
F1
V
¸
·
=
R1 R
R R2
¸ ·
v1
I
¸
FG = F1 + ZF v1
V = ¡ZR I
Da queste si ricavano le seguenti funzioni di trasferimento:
Zin =
F1
< + R1 ZR
=
v1
R2 + ZR
Zout =
< + R2 ZF
V
=
I
R1 + ZF
AR =
I
¡R
=
v1
R2 + ZR
GR =
V
ZR R
=
F1
< + R1 ZR
< = R1 R2 ¡ R2 è ancora il determinante della matrice [R].
15.2.3 La funzione di trasferimento completa
Assumiamo le seguenti potesi:
1) Backing rigido ( ZB ! 1 )
2) Voltmetro ideale ( ZR ! 1 )
Allora nella con…gurazione da ricevitore si ha:
·
¸
V
RZR
R
= lim
=
F1 ZR !1 < + R1 ZR
R1
Determiniamo
F1
FG
(vedi …gura 11):
249
250
15. Circuiti Equivalenti
v1
ZF
Zin
F1
FG
Figura 11
Si vede immediatamente che:
F1
FG
=
9
>
>
=
Zin
ZF +Zin
Zin = lim
ZR !1
³
<+R1 ZR
R2 +ZR
´
>
= R1 >
;
)
F1
R1
=
FG
ZF + R1
V F1
R
R1
R
V
=
=
=
FG
F1 FG
R1 ZF + R1
ZF + R1
"
# ·
¸
Z12
Z12
Z13 ¡ ZZ2223+Z
Z11 ¡ ZZ2221+Z
Z11 Z13
B
B
lim
=
Z21
Z12
Z31 Z33
Z31 ¡ ZZ2232+Z
Z33 ¡ ZZ2221+Z
ZB !1
B
B
=
"
Si ricava in…ne:
0
¡ tanjZkd
(¹ )
¡j h!x5
¡j h!x5
1
¡j !C
0
#
hx5
V
hx5
1
!
¡ ¢
=
¡j
=
¹
FG
j! ZF ¡ jZ¹0
ZF ¡ jZ0 cot kd
tan(kd)
E in…ne nella con…gurazione da trasmettitore:
F1
RZF
=
=
V
< + R2 ZF
¡ !C
h2x5
!
¡j h!x5 ZF
Z0
¹
0 tan(kd)
+
h2x5
!2
¡jhx5 ZF
¡ ¢
¹ ¡ j ZF
¡
cot kd
C0
Z0
C0
ZF
¡ j !C
0
=