Prova Scritta di Elettrotecnica ed Azionamenti Elettrici

Prova Scritta di Elettrotecnica ed Azionamenti Elettrici
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (DM270) - Università di Pisa
Pisa, 1° Febbraio 2013
Allievo
Matricola
1. Il circuito di figura è a regime sotto l’azione dei generatori sinusoidali applicati. Dopo aver scritto e risolto un sistema
completo di equazioni di equilibrio, ricavare numericamente la potenza attiva e reattiva relativa all’induttore L1 , indicando
espressamente se si tratta di potenza assorbita o erogata.
e1 (t)
R1
L1
R1 = 2 Ω; R2 = 4 Ω; R3 = 5 Ω;
j3 (t)
R4
R3
N
L1 = 12 mH; L2 = 20 mH; M = 10 mH;
N
C6 = 100 µF; f = 50 Hz;
√
e1 (t) = 100 2 sin(ωt − π4 ) V ;
√
j3 (t) = 12.5 2 sin(ωt + π3 ) A;
√
j5 (t) = 12.5 2 cos(ωt − π6 ) A;
R2
M
j5 (t)
R5
R4 = 5 Ω; R5 = 1 Ω; R6 = 3 Ω;
L2
R6
C6
NOTA: la scrittura delle equazioni deve essere effettuata senza apportare modifiche topologiche al circuito fatte salve quelle eventualmente indispensabili
(per esempio trasformazione di mutui accoppiamenti o di generatori reali di tensione nel metodo delle tensioni nodali).
2. Un carico meccanico con un momento di inerzia Jc = 54 kgm2 , deve essere azionato secondo il diagramma di velocità
(periodico) ω(t) riportato in figura. Il carico deve compiere 12 giri completi in un tempo pari a T /2 ( τth ) seguito da un
tempo di sosta della stessa durata. Il valore massimo di accelerazione/decelerazione ammissibile è: Ω̇max = 0.93 rad/s2 .
Durante la fase di rotazione, il carico presenta una coppia resistente totale Cr = 64 Nm; mentre nella fase di sosta, la coppia
resistente vale Crs = Cr /4. Oltre ad un riduttore di velocità con rapporto di riduzione τ = 1/53, rendimento η ' 1 e momento
di inerzia trascurabile, sono disponibili alcuni motori DC per i quali è noto il relativo campo operativo (normalizzato).



 ω(t) = Ωmax · sin
0
0
T
T /2
Si chiede di:
a) completare il diagramma della legge di moto ricavando
la velocità massima Ωmax , il periodo T e disegnando
l’accelerazione ω̇(t) nell’intervallo [0; T ];
b) scegliere, se esiste, il motore DC a magneti permanenti che, insieme al riduttore dato, sia in grado di movimentare il carico (si assuma come velocità di riferimento
per la verifica della Crms la velocità massima).
Motore
Cn (N = 0)
[Nm]
Nmaxn
[giri/min]
M
[kg]
Jm
[kgm2 ]
MDC_1
MDC_2
MDC_3
MDC_4
1.78
1.0
1.28
2.5
2900
4000
5000
2500
9
5.5
6.7
10.1
0.0035
0.003
0.003
0.0035
Cn × 2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
×Nmaxn
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
diagramma di velocità
T
2π
rad
T · t [ s ]; if 0 < t < 2

T

 ω(t) = 0 [ rad ]; if
<t <T
s
2
campo operativo MDC
Ωmax
3. Nel sistema di figura le parti ferromagnetiche, di sezione quadrata S e permeabilità µr f e , sono separate da un pezzo di
alluminio. Sapendo che l’ancora può traslare senza attrito nella direzione orizzontale, determinare: a) la lettura del Voltmetro
(ideale); b) la forza media esercitata dal nucleo fisso sull’ancora nelle condizioni di figura.
R/2
`
N2
Alluminio
`
•
V
2`
R = 6 Ω; L = 11 mH; C = 50 µF;
`
•
δ
`
ω = 1000 rad/s;
•
N1
j(t)
L
•
R
2
j(t) = 4 Adc ;
√
e(t) = 6 + 24 2 sin(ωt + π3 ) V ;
−−−
e(t)
C
` = 33 cm; µr f e = 750; S = 50 cm2 ;
δ = 2.5 mm; N1 = 100; N2 = 200;
Suggerimenti per la soluzione
(resi disponibili sul sito del Docente, dopo lo svolgimento della prova)
Esercizio 1: poichè non è indicato il metodo con cui scrivere le equazioni, conviene effettuare una verifica preliminare per
scegliere quello che comporta il numero minimo di equazioni.
o
Con il Metodo delle Correnti di Maglia, il numero di equazioni da scrivere è: Neq
= r − (n − 1) − ngencorr = 8 − (5 − 1) − 2 = 2.
MCM
Se si vuole usare il Metodo delle Tensioni Nodali è necessario trasformare il sistema di induttori mutuamente accoppiati. Dopo
aver effettuato la trasformazione (quella a “T“ è quella più conveniente), è possibile individuare il numero di equazioni necessarie:
o
Neq
= (n − 1) − ngentens pu = (5 − 1) − 1 = 3.
MT N
Nel caso specifico conviene usare il MCM, senza necessità di trasformare il sistema di induttori mutamente accoppiati. Il sistema
di equazioni linearmente indipendenti può essere individuato attraverso l’albero e le relative maglie monocorda, oppure tramite le
“maglie a finestra“.
Scritto e risolto tale sistema, è possibile determinare i parametri di potenza relativi all’induttore L1 usando la potenza apparente
complessa con i riferimenti associati (potenza convenzionalmente assorbita): S̄1 = V̇L1 · I˙L∗1 ; P1 = ℜ{S̄}; Q1 = ℑ{S̄}. Il segno del
risultato indica se la potenza (attiva e reattiva) è fisicamente assorbita (P1 , Q1 > 0) o fisicamente erogata (P1 , Q1 < 0).
La tensione V̇L1 ai capi dell’induttore L1 si ricava effettuando una circuitazione attraverso un qualsiasi percorso che NON contenga
generatori di corrente.
Risultati numerici: [V̇L1 = 62.36 + j76 V; P1 = −1005 W ( ⇒ fisic. erogata); Q1 = 2086 VAR (⊕ ⇒ fisic. assorbita); ]
Esercizio 2: Per completare il diagramma di velocità ω(t) è necessario trovare due equazioni nelle incognite Ωmax e T . Effet2π
2
tuando la derivata della velocità si ottiene l’accelerazione: ω̇(t) = 2π
T Ωmax cos T t rad/s , il cui valor massimo (ottenuto ponendo
2π
2
cos T t = 1) deve essere uguagliato a Ω̇max = 0.93 rad/s . Una seconda equazione può essere ottenuta integrando la velocità
T /2
R T /2
nell’intervallo [0; T /2]:
ω(t)dt = − T Ωmax cos 2π t ed uguagliando il risultato allo spazio percorso nello stesso intervallo di
0
2π
T
0
tempo (Θ̄ = 2π · (12 giri) = 24π rad). La soluzione di tali equazioni permette di ricavare le grandezze mancanti.
La scelta del motore DC può essere effettuata utilizzando i 3 criteri classici di verifica quando si è in presenza di moto periodico
con tempo di ciclo della costante di tempo termica dei motori (condizione indicata nel testo). Poichè vi è un riduttore di velocità,
tutte le grandezze devono essere riportate sul lato motore (nel caso specifico tali grandezze sono indicate con l’apice 0 ).
Le 3 condizioni, tenuto conto del suggerimento di usare la velocità massima come riferimento per la verifica della Crms , sono:
0
0 ) < (zona f unz. intermittente); c) (N 0 ; C0 ) < (zona f unz. continuativo); nelle quali N 0 indica la
a) Nmax
< Nmaxn ; b) (N 0 ; Cmax
max
rms
0
0
velocità a cui si ha la coppia massima Cmax
e Crms
è la coppia quadratica media.
0
L’accelerazione e la velocità massima lato motore sono: Ω̇0max = Ω̇max /τ e Ω0max = Ωmax /τ ⇒ Nmax
= Ω0max · 60/2π ' 3000 rpm.
Poichè i motori MDC_1 e MDC_4 non verificano la condizione a), essi possono essere subito scartati. Le condizioni b) e c) permettono di effettuare la scelta tra i due rimanenti. Per determinare la coppia massima è necessario studiare l’equazione del moto:
0 · ω̇(t)0 , in cui: C0 = C · τ/η, e J 0 = J + J · τ 2 /η = 22.2 kgm2 . Tale equazione, poichè η ' 1, può essere suddivisa
Cm (t) = Cr0 + Jeq
r
m
c
r
eq
2π
0
0 · Ω̇0
in due soli intervalli di tempo: Cm1 (t) = Cr0 + Jeq
max cos T t Nm per 0 < t < T /2; e Cm2 (t) = Cr /4 Nm per T /2 < t < T .
0
0
0
0
È facile verificare che: max {Cm1 (t); Cm2 (t)} = Cm1 |(t=0) = Cr + Jeq · Ω̇max = Cmax ' 2.3 Nm e che tale massimo avviene alla velocità
ω(t)0 |t=0 = 0 = N 0 . Usando la condizione b) è possibile scartare il motore MDC_2 il cui valore di coppia massima è pari a:
0 . Il motore MDC_3 potrebbe invece essere impiegato perchè: C × 2.2 ' 2.8 Nm > C0 .
Cn2 × 2.2 = 2.2 Nm < Cmax
n3
max
A questo punto, la verifica finale sul possibile utilizzo
q di questo motoreqdeve essere effettuata sulla coppia quadratica media.
R T /2
0
Usando la definizione matematica si ha: Crms
= T1 0T Cm (t)2 · dt = T1 0 Cm1 (t)2 · dt + T1 TT/2 Cm2 (t)2 · dt ' 1 Nm. Normalizzando la coppia ottenuta e la velocità massima rispetto ai valori nominali del motore, è possibile fissare il punto ottenuto sul campo
0
C0
Nmax
1
3000
operativo: Crms
= 1.28
' 0.78; Nmax
= 5000
= 0.6. Poichè tale punto ricade all’interno della zona di funzionamento continuativo del
n3
n
motore MDC_3, essendo verificate tutte e 3 le condizioni indicate, esso può essere usato per la movimentazione richiesta.
R
R
2
Risultati numerici: [Ωmax = 5.92 rad/s; T = 40 s; ω̇(t) =Ω̇max cos 2π
T t rad/s per 0 < t < T/2 e ω̇(t) = 0 per T/2 < t < T; ]
Esercizio 3: Poichè il Voltmetro è ideale, nell’avvolgimento di N2 spire non scorre corrente. In queste condizioni è sufficiente
determinare l’induttanza L1 del primo avvolgimento ed il parametro M di accoppiamento tra il primo ed il secondo avvolgimento
(necessario per il calcolo della tensione letta dal Voltmetro). La permeabilità magnetica dell’alluminio è circa uguale a quella
dell’aria; si può inoltre verificare che la riluttanza dei tratti in ferro non può essere trascurabile perchè dello stesso ordine di
grandezza della riluttanza dei due tratti di alluminio. La riluttanza complessivamente vista dall’avvolgimento di N1 spire é quindi:
ℜvista = ℜ1 /2 + 4ℜ1 + 2ℜδ ' 11.1 × 105 H −1 . Per il calcolo del parametro M è facile verificare che il rapporto di partizione del
flusso vale: k = 1/2. Si trova così un sistema di due induttori mutuamente accoppiati da inserire nel circuito elettrico da studiare.
Tale circuito deve essere analizzato con la sovrapposizione degli effetti facendo agire separatamente la componente in DC dei
generatori e quella in AC. In quest’ultimo caso si verifica che la somma delle due induttanze L1 + L è in risonanza serie con il
condensatore C. Sotto tale condizione, l’impedenza complessiva del circuito
in AC è puramente reale e pari a R.
q
2 +V 2 ; poichè però in DC non esiste alcuna tensione
v = Vdc
Il calcolo della tensione (valore efficace) letta dal Voltmetro è: ef f
indotta sull’avvolgimento 2, la lettura del Voltmetro coincide con il valore efficace della sola componente in AC, che in termini
fasoriali vale: V̇ = ± jωM · I˙L1 (± a seconda dei riferimenti scelti per la corrente e per la circuitazione).
Per quanto riguarda il calcolo della forza media esercitata dal nucleo sull’ancora, si può usare il metodo dei lavori virtuali, supponendo uno spostamento fittizio della parte mobile e ricavando l’energia media in funzione di tale spostamento:
2 + I 2 ). Nota la funzione W (x) dell’energia magnetica media, la sua derivata dW (x)/dx permette di determinare
W (x) = 21 L(x) · (Idc
ef f
la forza F.
v = 36 V; F = −41.3 N; ]
Risultati numerici: [L1 = 9 mH; M = 9 mH;