II -Potenziale elettrico, energia, dipoli
Fisica 2 - Chimica industriale
November 8, 2016
1
Lavoro della forza elettrica
Un palloncino riempito di He porta una carica q = −55 nC. Esiste sulla superficie della terra
un campo elettrico verticale diretto verso il suolo E (E = 150 N/C). Il pallone prende il volo
e la sua altitudine aumenta di ∆h = 520 m. Calcolare numericamente il lavoro della forza
elettrica, la variazione di energia potenziale elettrica e la variazione di potenziale elettrico
corrispondente alla variazione di altitudine.
2
Potenziale elettrico
Consideriamo un campo elettrico uniforme E, E = 103 Vm, e un triangolo rettangolo isoscele
ABC, rettangolo in B, di lato BC d = 50 cm. E è parallelo a (rC − rB ) e ha lo stesso senso.
Calcolare esplicitamente la variazione di potenziale elettrico lungo il cammino ABC e lungo
il cammino AC.
3
Potenziale di un sistema di cariche puntuali
Quattro cariche puntuali q1 = 12 nC, q2 = -24 nC, q3 = 31 nC e q4 = 17 nC sono disposte
ai vertici di un quadrato di lato a = 1.3 m. Calcolare il valore del potenziale al centro del
quadrato.
4
Proprietà superfici equipotenziale
Considerate 3 cariche puntuali Q1 , Q2 , Q3 . Le linee equipotenziali della figura corrispondono
a valori interi del potenziale compresi fra +5 e -5 V (i valori estremi sono indicati nella figura).
1. Precisate il segno delle 3 cariche.
2. Quale è la carica più grande in valore assoluto.
3. Se piazziamo un protone sul punto a, qual’è la forza che si esercita su di lui?
4. Disegnate con una freccia i campi elettrici ai punti b, c, d. Comparate l’intensità del
campo fra il punto b e c. Comparate l’intensità del campo fra il punto b e d.
5. Calcolate il lavoro che bisogna fare per trasportare una carica q = −0.4 × 10−12 da e
a f.
1
Q1
Q2
-5V
-5V
0 volt
+5V
Q3
2
5
Potenziale di un disco uniformemente carico
Un disco di spessore trascurabile e di raggio R cm porta una carica q uniformemente distribuita.
1. Usando l’equazione che lega potenziale alla carica elettrica, calcolare il potenziale
sull’asse del disco.
2. A partire dal potenziale determinate il campo elettrico sull’asse del disco. Comparate
l’espressione ottenuta con quella calcolata nella sessione di esercizi precedenti.
6
Potenziale per una distribuzione volumetrica di carica
Considerate due sfere, la prima di raggio 2a e la seconda di raggio a. La distanza fra i centri
delle due sfere è a. Lo spazio fra le due superfici sferiche è riempito da una distribuzione di
carica uniforme D. Calcolate il potenziale elettrico sui due centri delle sfere.
7
Atomo di idrogeno, energia di ionizzazione
In meccanica quantistica un atomo di idrogeno è formato da un nucleo (protone) di carica
e (con e = |e| = 1.6 × 10−19 C) e da un elettrone di carica −e delocalizzato intorno ad un
nucleo secondo una distribuzione di probabilità. Possiamo idealizzare l’elettrone come una
distribuzione di volume di carica ottenuta moltiplicano la distribuzione di probabilità per la
carica dell’elettrone. Un conto quantistico accurato permette di ottenere la distribuzione di
carica che risulta uguale a:
2r
e 4
exp(− ),
ρ(r) = −
3
4π aB
aB
dove aB ' 0.53 Å é il raggio di Bohr e r è calcolato rispetto alla posizione del nucleo.
Per i punti seguenti potrebbe essere utile conoscere i seguenti integrali indefiniti:
Z
1
x2 e−2x dx = − (2x2 + 2x + 1)e−2x + constante
4
Z
2x2 + 2x + 1 −2x
x + 1 −2x
e dx = −
e
+ constante
2
x
x
Z
2x + 1 −2x
e
+ constante
xe−2x dx = −
4
1. Mostrate che l’integrale su tutto lo spazio della distribuzione di carica è uguale a −e
2. Calcolate il campo elettrico generato dalla sola distribuzione elettronica in tutto lo
spazio.
3. Calcolate il campo elettrico totale in tutto lo spazio.
4. Calcolate il potenziale elettrico generato dalla sola distribuzione elettronica in tutto lo
spazio. Rappresentatelo graficamente.
3
5. Calcolate il potenziale di ionizzazione dell’atomo di idrogeno in modo approssimato. A
questo fine calcolate l’energia necessaria per separare il protone dall’elettrone, supponendo che la carica ρ(r) sia spostata rigidamente all’infinito. Tale energia è approssimata perchè trascuriamo nel nostro calcolo la variazione di energia cinetica quantistica
(che non siamo in grado di calcolare con l’elettrostatica). Comparate il risultato ottenuto con il valore sperimentale per l’energia di ionizzazione dell’atomo di H che è
2.2 × 10−17 Joule
.
8
Energia di interazione fra due molecole d’acqua (in
approssimazione dipolare)
La molecola d’acqua ha un momento dipolare d, d = 6 × 10−30 Cm.
1. La molecola potrebbe essere lineare?
2. Schematizzando la molecola con due cariche elettriche puntiformi +q sugli H e −2q
sull’O, considerando l’angolo HOH uguale a 104o e le distanze OH uguali a 0.96 Å.
Disegnate la molecola e indicate sul disegno l’orientazione del vettore d. Dite se è possibile comparare la lunghezza del vettore d con la dimensione della molecola. Calcolate
q in unita della carica dell’elettrone.
3. In approssimazione di campo dipolare calcolate l’energia di interazione fra due molecole
di H2 O (rappresentate come dipoli ideali) distanti fra loro 3 Å (distanza tipica fra gli
ossigeni di due molecole adiacenti nel ghiaccio o nell’acqua liquida) nei seguenti 4 casi:
a) i due dipoli sono paralleli fra loro e paralleli al vettore che connette le due molecole,
b) i due dipoli sono antiparalleli fra di loro e paralleli al vettore che connette le due
molecole, c) i due dipoli sono paralleli fra loro e perpendicolari al vettore che connette le
due molecole, d) i due dipoli sono antiparalleli fra di loro e perpendicolari al vettore che
connette le due molecole. Comprate queste energie con quelle dell’agitazione termica
kB T (la costante di Boltzmann, kB = 1.4 × 10−23 J/K). A quale temperatura energia
di interazione è comparabile a quella termica? Notate che l’approssimazione dipolare
non è pienamente valida a distanze corte come quelle considerate in questo punto (dite
il perchè), ma può comunque dare dei valori indicativi corretti.
4. Nei quattro casi precedenti calcolate la forza fra le due molecole, quale è la sua direzione? Per ciascun caso dire se la forza è attrattiva o repulsiva?
4
