Introduzione alla teoria dei campi

Matematica e Fisica
Classe 5G
Introduzione alla teoria dei campi
Introduzione alla teoria dei campi
IInnddiiccee
1
BREVE STORIA DEL CAMPO .......................................................................................... 2
2
DESCRIVERE UN CAMPO (TRATTAZIONE ELEMENTARE ) .............................................. 4
2.1
La Forza ...........................................................................................................................................4
L’Intensità del campo .....................................................................................................................................5
2.2.1
L’analogia ottica ...........................................................................................................................5
2.2.1.1
Sorgente ..............................................................................................................................5
2.2.1.2
Intensità ..............................................................................................................................5
2.2.1.3
Flusso..................................................................................................................................6
2.3
Il problema generale del campo.......................................................................................................6
2.3.1
Il Flusso ........................................................................................................................................6
2.3.1.1
Flusso di una sorgente puntiforme .......................................................................................6
2.3.2
Il teorema di Gauss .......................................................................................................................6
2.3.3
Intensità di campo in buone geometrie ..........................................................................................7
2.4
L’Energia potenziale ........................................................................................................................8
2.4.1
Il valore assoluto dell’energia potenziale .......................................................................................8
2.4.2
L’espressione matematica dell’energia potenziale..........................................................................9
2.4.2.1
Geometria di sorgente puntiforme........................................................................................9
2.4.2.1.1
Caso gravitazionale, o della forza attrattiva tra sorgenti uguali .......................................9
2.4.2.1.2
Caso elettrostatico, o della forza repulsiva tra sorgenti uguali .........................................9
2.4.2.2
Geometria di sorgente piana ..............................................................................................10
2.4.2.2.1
Caso gravitazionale ......................................................................................................10
2.4.2.2.2
Caso elettrostatico ........................................................................................................10
2.5
Il Potenziale ....................................................................................................................................10
2.6
Il principio di sovrapposizione .......................................................................................................11
2.7
La Circuitazione.............................................................................................................................11
2.8
Il caso del campo elettromagnetico................................................................................................11
3
DESCRIVERE UN CAMPO (TRATTAZIONE GENERALE ) ................................................ 12
3.1
Il Gradiente ....................................................................................................................................12
3.2
La Circuitazione.............................................................................................................................13
3.3
Il Flusso e la Divergenza: presenza di sorgenti .............................................................................13
3.4
Il Rotore: campi conservativi.........................................................................................................14
3.5
Il caso del campo elettromagnetico................................................................................................14
Francesco Fontana
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Introduzione alla teoria dei campi
1 BRREEVVEE SSTTOORRIIAA DDEELL CCAAM
MPPO
O
L’idea di un “campo” di forze nasce nello studio della dinamica della gravità con Descartes.
Per Aristotele e per tutto il Medioevo la gravità era la tendenza ad un luogo naturale senza bisogno di
“intermediari” fisici.
In Galileo sopravvive la naturalità del moto naturale circolare che occulta il problema dell’origine del
campo.
Nel mondo antico comunemente le forze agiscono per contatto.
Descartes introduce la sua teoria dei vortici di etere per spiegare la gravità, ma la sua fisica-geometria,
che mette al centro dell’interesse della fisica l’estensione rispetto alla massa (gravitazionale), si rivela
poco proficua.
Nel Seicento si dimostra la possibilità del vuoto, contro l’horror vacui medievale.
Newton introduce l’azione a distanza nel vuoto tra Sole e pianeti e nel suo “Hypotheses non fingo”
sintetizza la sua posizione sulla inspiegabilità di tale azione.
Nel XVIII secolo, contro il cartesianesimo francese, anche nel “Continente” trionfa il newtonianismo
inglese: l’azione a distanza nel vuoto è studiata con il solo uso della forza, eclissando i vortici di etere.
La necessità di descrivere le azioni a distanza nel vuoto di Newton porta, nel XIX secolo, il suo
connazionale Faraday, fisico e chimico sperimentale, studiando il campo elettrico, a introdurre le linee
di forza che sono però solo un artificio matematico. L’azione a distanza si può manifestare ancora
istantaneamente.
L’analisi matematica del XIX secolo è già pienamente in grado di descrivere le caratteristiche delle
azioni a distanza con l’introduzione di un campo (gravitazionale o elettrico), spesso sull’analogia del
comportamento dei fluidi (da cui si importano i termini di sorgente e flusso e gli operatori matematici
correlati) e delle sorgenti luminose.
Il campo è un ente matematico, un modello astratto, che descrive la presenza di “perturbazioni dello
spazio” prodotte da sorgenti di un certo tipo di forza. Le linee di forza divengono linee di campo.
Matematici come il tedesco Gauss ne studiano le proprietà matematiche. Il campo è accompagnato da
una energia (potenziale) di campo.
Nella seconda metà del XIX secolo l’inglese Maxwell, matematizzando il lavoro sperimentale e le idee
del connazionale Faraday, scopre che un campo (astrazione matematica), unicamente variando, può
diventare sorgente (“reale”) di un altro campo.
L’operazione richiedeva che i campi variassero su “qualcosa”, come avviene per le onde materiali, e
quindi l’inglese deve ricorrere allo stratagemma del francese sconfitto un secolo prima: l’azione a
distanza è trasmessa dall’etere. Inoltre Maxwell trova che la velocità di trasmissione delle variazioni di
campo è quella della luce: l’azione a distanza non è più istantanea.
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Introduzione alla teoria dei campi
Le critiche dei tedeschi Mach e Einstein contro l’etere, insieme all’emergente teoria della relatività
indicano che l’etere non sembra esistere: i campi si trasmettono nel vuoto e la teoria della relatività
speciale del 1905 spiega come una velocità (quella della luce, cioè dei campi elettromagnetici) possa
essere uguale per qualsiasi osservatore senza l’esistenza del suo supporto immaginato da Maxwell.
Il XX secolo vede il successo di due teorie fondamentali: la teoria generale della relatività e la
meccanica quantistica. La loro incompatibilità impedisce di riunirle in un unico formalismo e di
unificare così le forze fondamentali della natura. Nel tentativo di unificazione delle forze nasce una
biforcazione nella trattazione dei campi tra:
1. la teoria relativistica dei campi, che, come nel sogno di Cartesio, letteralmente geometrizza
l’azione a distanza, cioè la riduce a dimensioni spaziotemporali. Il vecchio rapporto sorgente à
campo si inverte: il campo è il soggetto, la sorgente è un prodotto del campo.
2. la teoria quantistica dei campi, che letteralmente materializza l’azione a distanza, cioè la riduce a
particelle scambiate dalle sorgenti.
(1) Nel 1916 Einstein pubblica la teoria generale della relatività con la quale la gravitazione, restando
una forza fondamentale, diviene una proprietà dello spazio, residente nelle dimensioni aggiuntive
alle 4 dello spaziotempo1 che allo spazio comune sono associate. Negli anni ’20 del XX secolo, il
tedesco polacco Kaluza e lo svedese Klein, sull’esempio della teoria generale della relatività,
suggeriscono di considerare il campo elettromagnetico come prodotto da ulteriori dimensioni
aggiuntive dello spaziotempo. Nasce l’idea che condurrà alle teorie delle stringhe e delle
superstringhe a partire dagli anni ’60 e al tentativo di unificazione delle forze fondamentali, il sogno
di Einstein.
(2) Negli anni ‘40 del XX secolo, gli americani Feynman e Schwinger, l’inglese Dyson e il giapponese
Tomonaga rivoluzionano l’idea di campo trovando che l’azione a distanza nel vuoto è trasmessa
da particelle virtuali la cui creazione è permessa dal principio di indeterminazione introdotto dal
tedesco Heisemberg del 1927. Nasce l’elettrodinanica quantistica (QED).
1
Le 4 dimensioni spaziotemporali, già dalla teoria della relatività speciale, non possono più disgiungersi tra loro.
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Introduzione alla teoria dei campi
2 DEESSCCRRIIVVEERREE UUNN CCAAM
MPPO
O ((TTRRAATTTTAAZZIIOONNEE EELLEEMMEENNTTAARREE))
Va premesso che:
1. ci collochiamo storicamente alla fine dell’800: la necessità di descrivere un campo deriva da quella di
trattare l’azione a distanza nel vuoto
2. consideriamo solo i campi elettrostatico e gravitazionale e, per taluni aspetti, elettromagnetico
Il campo è una perturbazione dello spazio prodotta dalla presenza di un luogo particolare che
chiamiamo sorgente. La perturbazione di cui parliamo è osservabile dalla presenza di una forza tra due
sorgenti poste vicine.
L’unica grandezza misurabile in modo diretto in un campo è la forza che agisce tra sorgenti.
Descrivere un campo significa trovare una grandezza da associare ai punti dello spazio:
un campo è una corrispondenza univoca2 e continua tra i punti dello spazio e i valori di una
grandezza fisica.
Se la grandezza è scalare si parla di un campo scalare (esempio: campo di pressioni atmosferiche,
campo di temperature)
Se la grandezza è vettoriale si parla di campo vettoriale (esempio: campo di velocità di un fluido, aria o
acqua).
22..11 LLAA F
FOORRZZAA
Se abbiamo due sorgenti, per semplicità puntiformi, s1 e s2, la forza è data da leggi come quelle di
gravitazione di Newton (1687) o dell’elettrostatica di Coulomb (1785):
F = ±K
s1s2
r̂ 12
r122
dove:
• K è una costante che dipende dalla forza (elettrostatica o gravitazionale), ma per ciascuna forza
dipende solo dalle unità di misura utilizzate: cambiando le unità di misura convenzionali, ad
esempio della distanza, si potrebbe avere K=1. Poiché la distanza compare in entrambi i casi,
elettrostatico e gravitazionale, potrebbe essere più opportuno scegliere le unità di misura delle
sorgenti che diano K=1.
Tuttavia per ragioni storiche si mantengono le K diverse dall’unità:
K G = 6.67 ⋅ 10 −11
•
•
2
 Nm 2 
 kg 2 


KE =
1
= 9 ⋅ 109
4πε 0
 Nm 2 
 C2 


Così si mantengono il metro, il chilogrammo e il Coulomb come unità fondamentali di distanza,
sorgente gravitazionale e sorgente elettrostatica.
r̂ 12 rappresenta il versore (vettore unitario) della congiungente s1 – s2.
Il segno dipende dal verso della forza tra sorgenti (positive) rispetto a quello del versore.
Ad ogni punto dello spazio si associa uno e un solo valore della grandezza.
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22..22 LL’’IINNTTEENNSSIITTÀÀ DDEELL CCAAM
MPPO
O
La forza in generale non è adatta a descrivere il campo perché dipende da entrambe le sorgenti. Per
descrivere il campo prodotto da una sorgente s1 (che consideriamo
E
s2
”sorgente del campo”) senza dipendere dalla sorgente s2 (”sorgente
esploratrice”) si introduce il vettore intensità del campo, avente
P
r12
G
direzione, verso e modulo della forza che sarebbe prodotta nel punto P
su una sorgente unitaria posta in P. Chiamando E e G i vettori intensità
del campo elettrostatico e gravitazionale e chiamando q e m le sorgenti dei s1
due campi:
E = F/q2
[N/C]
G = F/m2
[N/kg]
E ( P) = K E
q1
rˆ12
r122
G ( P) = − K G
m1
rˆ12
r122
L’intensità è la grandezza associata al campo e consente una mappatura vettoriale del campo, nel senso
visto sopra, per cui è possibile associare, in modo univoco e continuo, ad ogni punto dello spazio uno
e un solo vettore intensità. 3
Nella descrizione di campo, Faraday introduce le linee di campo dotate delle seguenti proprietà:
1. Per ogni punto passa una e una sola linea di campo (le linee di campo non si intersecano).
2. In ogni punto la linea di campo è tangente al vettore intensità.
3. Le linee di campo originano o finiscono sulle sorgenti; le linee di campo possono provenire o andare
all’infinito.
4. In ogni punto la densità di linee di campo descrive l’intensità del campo.
22..22..11 LL’’aannaallooggiiaa oottttiiccaa
L’idea di campo deriva dall’intensità luminosa di una sorgente di luce studiata in quarta. Il campo è
l’analogo della luce diffusa.
22..22..11..11 SSoorrggeennttee
In quel caso abbiamo una sorgente che eroga energia luminosa ∆E nel tempo ∆t
con potenza erogata PE misurata in W (= J/s):
PE :=
∆E
∆t
[W ]
La potenza erogata dalla sorgente di luce
è l’analogo della sorgente s del campo.
22..22..11..22 IInntteennssiittàà
Si definisce intensità (luminosa) la potenza che attraversa una superficie unitaria:
I :=
∆E
∆t∆S
W 
 m 2 
L’intensità luminosa è l’analogo dell’intensità del campo.
A distanza r da una sorgente puntiforme, isotropa e costante (nel tempo), l’intensità si ottiene
osservando che la potenza emessa si trova “spalmata” su una superficie sferica di raggio r:
I=
3
∆E
P
= E
∆t∆S 4πr 2
W 
 m 2 
Nel linguaggio parlato si usa, poco correttamente, il termine “campo” per intendere il “vettore intensità del campo”.
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Questa va sotto il nome di “legge dell’inverso del quadrato della distanza” e ci suggerisce che la
dipendenza dall’inverso del quadrato della distanza nelle leggi di Newton e Coulomb deriva dal fatto,
geometrico, che la sorgente è puntiforme.
22..22..11..33 FFlluussssoo
Se consideriamo una qualsiasi superficie S immersa in un campo, attraverso di essa passa una potenza
PS =
∆E S
∆t
S
La potenza PS attraverso una superficie è l’analogo del flusso del campo attraverso S.
PS
Se in particolare consideriamo una qualsiasi superficie S chiusa che racchiuda la
sorgente, attraverso di essa passa una potenza PS,chiusa pari alla potenza PE erogata dalla
sorgente.
PS ,chiusa = PE
La potenza PS attraverso S chiusa è pari alla
potenza PE erogata dalla sorgente contenuta
Se l’erogazione è uniforme nel tempo e se avviene nel vuoto, vale un risultato, che
troveremo tra poco, noto come teorema di Gauss:
Una qualsiasi superficie chiusa che racchiuda la sorgente è attraversata
da un flusso di campo uguale alla potenza erogata dalla sorgente.
PS
PE
22..33 IILL PPRROOBBLLEEM
MA
AG
GE
EN
NE
ER
RA
ALLE
ED
DE
ELL C
CA
AM
MPPO
O
Il “problema generale del campo” è quello di descrivere il campo (trovare la “mappatura del campo”),
data la distribuzioni delle sue sorgenti.
Lo strumento è offerto dal flusso del campo.
22..33..11 IIll F
Flluussssoo
Nel seguito chiameremo v il vettore intensità del campo (rispettivamente E e G per i campi elettrostatico
e gravitazionale).
∆Φ i := v i ⋅ ∆S i
n
n
i =1
i =1
Φ (v ) = ∑ v i ⋅ ∆S i = ∑ vi ∆S i cos ϑi
La definizione deriva dalla fluidodinamica e rappresenta la quantità del vettore di campo che attraversa
una superficie (in fluidodinamica il vettore di campo è la velocità del fluido).
22..33..11..11 FFlluussssoo ddii uunnaa ssoorrggeennttee ppuunnttiiffoorrm
mee
Nel caso di una sorgente puntiforme, si ha:
v=K
s
r2
Dunque il flusso Φ attraverso una superficie sferica centrata nella sorgente vale:
Φ = v ⋅ 4πr 2 = K
s
4πr 2 = 4πKs
2
r
Nel vuoto o in uno spazio che non interagisce con il campo, la costante 4πK dipende solo dalle unità di
misura scelte. Il flusso in tal caso dipende solo dalla sorgente contenuta nella superficie chiusa.
22..33..22 IIll tteeoorreem
maa ddii G
Gaauussss
È possibile dimostrare che il risultato si estende:
• a più sorgenti contenute nella superficie, anche non puntiformi e a distribuzione estesa
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•
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a superfici chiuse di forma qualsiasi.
Il flusso del campo attraverso una qualsiasi superficie chiusa dipende solo
ed è direttamente proporzionale alla somma di tutte le sorgenti contenute.
Φ (E ) = 4πK E q =
q
ε
Φ (G ) = 4πK G m
Esempio. Se la sorgente è una lampadina da 100 W (luminosi), attraverso una superficie chiusa che racchiuda la
sorgente passa un flusso di 100 W.
22..33..33 IInntteennssiittàà ddii ccaam
mppoo iinn bbuuoonnee ggeeoom
meettrriiee
Con il teorema di Gauss si può ricavare il valore dell’intensità di campo da una distribuzione di sorgenti
nota (che chiamiamo in generale “geometria delle sorgenti”).
Calcolando il flusso attraverso superfici chiuse semplici in distribuzione di sorgenti semplici (“buone
geometrie”) sia con il teorema di Gauss che con la definizione, e uguagliando le espressioni, si
ottengono i valori di intensità di campo in quelle geometrie.
Geometria di sorgente:
Puntiforme
a distanza r da sorgente
puntiforme o dal centro di
sorgente sferica uniforme
di raggio R < r
Intensità di campo
elettrico E
KE
Intensità di campo
gravitazionale G
Lineare
Piana
Sferica
a distanza r da sorgente
lineare uniforme di densità
lineare λ
a distanza r da sorgente
piana uniforme di densità
superficiale σ
a distanza r dal centro di
una distribuzione uniforme
di densità spaziale ρ
2K E λq
r
q
q
=
r 2 4πεr 2
m
KG 2
r
2 K G λm
r
2ε
P
P
r
r
ρ
4
πK E ρ q r = q r
3
3ε
4
πK G ρ m r
3
σq
2πK Gσ m
P
P
Geometria
2πK Eσ q =
r
σ
r
λ
s
ρ
S
υ
υ
υ
υ
Grafico del campo
r
r
r
r
•
•
•
La geometria di sorgente puntiforme è quella della legge gravitazionale di Newton: i pianeti e il Sole sono
assimilabili, a distanza opportuna, a sfere uniformi e, a grandi distanze, a punti dotati di massa.
La geometria di sorgente piana è quella della forza peso (P = mg) in laboratorio4. L’intensità del campo
gravitazionale vicino alla superficie della Terra (a distanza h<<RT, laddove la sorgente può essere
considerata un piano infinito), non dipende da h e vale 9.81 m/s2.
La geometria di sorgente sferica è quella della gravità all’interno della Terra, a distanza r dal suo centro:
si osserva che al centro non c’è gravità.
4
In realtà, la gravità g in laboratorio deriva dalla distribuzione sferica terrestre quando, in punti molto vicini alla
superficie, ci si sposta verticalmente di quantità molto minori del raggio terrestre. Il campo uniforme in direzione, verso e
modulo tuttavia è analogo a quello della distribuzione piana di massa.
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22..44 LL’’E
ENNEERRGGIIAA PPOOTTEENNZZIIAALLEE
Chiamiamo campo conservativo un campo in cui il lavoro fatto per portare una sorgente da un
qualsiasi punto A a un qualsiasi punto B non dipende dal percorso scelto, ma solo dalle posizioni
iniziale e finale (oltre che dalla sorgente trasportata).
Campi in cui agiscono solo forze espresse da leggi con la forma delle citate leggi di Newton e Coulomb
sono conservativi.
Un campo conservativo ha proprietà semplici che discendono direttamente dalla definizione:
1. Il lavoro per spostare una sorgente lungo un percorso chiuso è nullo.
2. È possibile introdurre una grandezza matematica, l’energia potenziale, nel modo che segue5:
Il lavoro LAB svolto dalle forze del campo per portare una sorgente (esploratrice) da un punto A
ad un punto B è pari all’incremento di energia potenziale cambiato di segno, Lcampo,AB = –∆Ep =
Ep,A – Ep,B
A
dove Ep,A, Ep,B sono le energie potenziali della sorgente
esploratrice s2 in A e in B.
s2
Lcampo = -∆Ep
3. Se il sistema è isolato e si considerano solo le forze del campo,
l’energia totale meccanica (potenziale + cinetica) si conserva (da
B
qui il nome di campo conservativo).
s1
(1) è una semplice conseguenza della definizione di campo conservativo.
(2) è un’altra diretta conseguenza della definizione, giacché il lavoro per andare da A a B è fissato e
dunque si può utilizzarlo per calcolare gli incrementi di una grandezza inventata ad hoc.
(3) deriva dal fatto che, per come introdotta, l’energia potenziale rappresenta una riserva energetica che
può commutarsi in energia cinetica (se il sistema è isolato e non agiscono altre forze)
L’energia potenziale si misura in J .
La 2) non introduce l’energia potenziale ma la differenza di suoi valori. Ci si può rendere conto che
questo strano modo di introdurre una grandezza la definisce “a meno di una costante additiva
arbitraria”.6
La scelta di questa costante è strettamente connessa con la scelta del luogo dello spazio in cui si vuole
assumere l’energia potenziale uguale a zero (la scelta è convenzionale e legata a fattori di comodo: per
le sorgenti puntiformi il livello di zero è posto all’infinito).
22..44..11 IIll vvaalloorree aassssoolluuttoo ddeellll’’eenneerrggiiaa ppootteennzziiaallee
Conosciamo il significato fisico di ∆Ep, il lavoro fatto dalle forze esterne contro il campo.
Esiste un significato fisico di Ep? Cioè, si può parlare di un livello di zero privilegiato di Ep?
Poiché Lcampo,AB = –∆Ep = Ep,A – Ep,B, se si porta la sorgente esploratrice da un luogo A in cui la forza è
nulla e quindi dove ha senso porre Ep,A = 0 (all’infinito per le sorgenti puntiformi) al punto P, il lavoro
fatto dalle forze del campo è:
Lcampo,AP = – Ep,P. = – Lesterne,AP
Ne deriva un significato particolare di energia potenziale:
5
Il segno negativo è correlato con il fatto che, se le forze del campo fanno un lavoro, l’energia potenziale di una sorgente
esploratrice deve diminuire. Non ha niente a che vedere con il segno negativo che si trova davanti all’energia potenziale
gravitazionale.
6
Lo si è già visto in terza con l’energia potenziale gravitazionale.
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L’energia potenziale nel punto P è il lavoro fatto dalle forze esterne (dunque contro le
forze del campo) per portare la sorgente esploratrice da fuori dal campo nel punto P.
L’energia potenziale è l’energia di costruzione di un sistema: l’energia interna del sistema.
•
Se nella costruzione del sistema le forze esterne hanno fatto un lavoro positivo, l’energia del sistema
è positiva e dunque il sistema può restituire energia (esempio: due cariche elettriche positive).
Se le forze esterne hanno fatto un lavoro negativo (il sistema è stato quindi costruito dalle forze del
campo), allora il sistema ha un’energia negativa, è “legato”, e per distruggerlo occorre che le forze
esterne facciano un lavoro (esempio: due masse).
•
22..44..22 LL’’eesspprreessssiioonnee m
maatteem
maattiiccaa ddeellll’’eenneerrggiiaa ppootteennzziiaallee
La forma matematica di Ep dipende dalla geometria delle sorgenti di campo.
22..44..22..11 G
Geeoom
meettrriiaa ddii ssoorrggeennttee ppuunnttiiffoorrm
mee
Nella geometria di sorgente puntiforme, scegliamo il livello di riferimento (Ep = 0) dell’energia
potenziale all’infinito (laddove non esiste più la forza).
Immaginiamo di spostare quindi una sorgente (puntiforme positiva) da distanza infinita alla distanza r
dalla sorgente (puntiforme positiva) che genera il campo.
22..44..22..11..11
C
Caassoo ggrraavviittaazziioonnaallee,, oo ddeelllaa ffoorrzzaa aattttrraattttiivvaa ttrraa ssoorrggeennttii uugguuaallii
spostamento ∆r
0
asse
ascisse
G
+∞
m
M
asse
Ep
r
0
Ep,f
-∞
ss

ss
 Lcampo = K 1 2 > 0
E p, f = −K 1 2 < 0
r12

r12
 Lcampo = − ∆E p = E p , 0 − E p , f = − E p , f
Corrisponde al fatto che per creare un sistema con due masse il lavoro è fatto dal
campo. Un sistema con due masse ha energia potenziale negativa: si dice che è un
sistema legato. Per liberare le due masse devo fare un lavoro esterno.
s2
B
r12
A
s1
22..44..22..11..22
C
Caassoo eelleettttrroossttaattiiccoo,, oo ddeelllaa ffoorrzzaa rreeppuullssiivvaa ttrraa ssoorrggeennttii uugguuaallii
spostamento ∆r
0
asse
ascisse
asse
Ep
Q
+∞
s1s2

<0
 Lcampo = − K
r12

 Lcampo = −∆E p = E p , 0 − E p , f = − E p , f
r
+∞
E
q
0
Ep,f
E p, f = K
s1s2
>0
r12
Corrisponde al fatto che per creare un sistema con due cariche positive devo fare un lavoro L esterno
contro il campo. Un sistema con due cariche positive ha energia potenziale positiva: è un sistema libero.
Liberare le due masse restituisce il lavoro L fatto per creare il sistema.
In altre parole, il segno positivo nell’espressione dell’energia potenziale vale quando l’intensità del
campo ha verso uscente dalle sorgenti positive (caso elettrostatico) o – che è equivalente – quando la
forza tra sorgenti uguali è repulsiva.
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22..44..22..22 G
Geeoom
meettrriiaa ddii ssoorrggeennttee ppiiaannaa
Nella geometria di sorgente piana l’intensità del campo è costante e non dipende dalla distanza dalla
sorgente. Dunque anche la forza è costante e il lavoro di una forza costante è dato dal prodotto F ⋅ ∆s.
Se allora poniamo il livello di zero all’infinito, ogni sistema ha un’energia potenziale infinita. Si sceglie
invece il livello di zero sul piano della sorgente nel caso gravitazionale; nel caso elettrostatico, dato che
la grande utilità di questa geometria è associata al condensatore (distribuzioni piane parallele di uguale
densità di cariche, ma di segno opposto, a distanza d tra loro, si sceglie il livello di zero sul piano della
sorgente negativa.
In entrambi i casi la sorgente è descritta dalla densità superficiale uniforme (di carica o massa) σ.
22..44..22..22..11
C
Caassoo ggrraavviittaazziioonnaallee
Se porto una massa m dal piano di densità superficiale σ a una
distanza h il campo fa un lavoro negativo7:
Lcampo = −mgh < 0

Lcampo = −∆E p = E p , 0 − E p , f = − E p , f
22..44..22..22..22
P
h F G=mg
E p , f = mgh > 0
σ
Ep=0
C
Caassoo eelleettttrroossttaattiiccoo
Il campo tra le due superfici piane cariche è costante e vale E = σ/ε, dove σ è il valore assoluto della
densità superficiale di carica posta sui due piani paralleli e il modulo
+σ
h FG=mg
di E deriva dalla somma dei campi (concordi in direzione e verso e
P
uguali in modulo) prodotti dalle due superfici.
FE=qσ/ε
σ

h
σ
Lcampo = − q h < 0
E p, f = q h > 0

ε
Ep=0
-σ
ε
Lcampo = − ∆E p = E p , 0 − E p , f = − E p , f
22..55 IILL PPOOTTEENNZZIIAALLEE
L’energia potenziale dipende dalla sorgente s1 che origina il campo e dalla sorgente “esploratrice” s2.
Operando come nell’introduzione dell’intensità, si introduce il potenziale, uguale all’energia potenziale
che avrebbe una sorgente unitaria.
V = Ep/s
Il potenziale consente una mappatura scalare del campo, nel senso che è possibile associare, in modo
univoco e continuo, ad ogni punto dello spazio uno e un solo valore di potenziale.
Un campo conservativo ha quindi anche una mappatura scalare.
Geometria di sorgente:
Potenziale elettrico V
[J/C] = [V]
Potenziale gravitazionale
Vg, [J/kg] = [m/s2]
7
Puntiforme
a distanza r da sorgente puntiforme o dal centro di
sorgente sferica uniforme di raggio R < r
q
q
=
r 4πεr
m
− KG
r
KE
(V = 0 a r = ∞)
(V = 0 a r = ∞)
Piana
a distanza h da sorgente piana uniforme di densità
superficiale σ
4πK Eσ q h =
σq
ε
h
(V = 0 su armatura negativa)
4πK Gσ m h = gh
(V = 0 sul piano)
Usiamo g (accelerazione di gravità e intensità del campo) in luogo di 2πKGσ, come è consueto.
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Matematica e Fisica
Classe 5G
Introduzione alla teoria dei campi
22..66 IILL PPRRIINNCCIIPPIIOO DDII SSOOVVRRAAPPPPOOSSIIZZIIOONNEE
La potenza descrittiva offerta dalle 4 grandezze di campo introdotte dipende fortemente, oltre che dalla
conservatività del campo che consente di introdurre le grandezze scalari, soprattutto dal principio di
sovrapposizione:
Il campo (l’intensità o il potenziale) prodotto in un punto P da più distribuzioni di sorgenti è la
somma dei campi che ciascuna di queste distribuzioni produrrebbe separatamente dalle altre.
Il principio vale sia per il campo vettoriale di intensità sia per quello scalare di potenziali.
Quando vale un principio di sovrapposizione si dice che lo spazio è “elastico”.
La differenza tra mappatura vettoriale del campo in termini di intensità e mappatura scalare in termini
di potenziale è che quest’ultima, la scalare, in virtù del principio di sovrapposizione, è più agile da
utilizzare in molti problemi (non servono 3 equazioni scalari per ogni equazione vettoriale).
22..77 LLAA C
CIIRRCCUUIITTAAZZIIOONNEE
∆Γi := v i ⋅ ∆l i
n
n
i =1
i =1
Γ(v ) = ∑ v i ⋅ ∆l i = ∑ vi ∆li cosϑi
Sia nel caso elettrostatico che in quello gravitazionale, la circuitazione Γ(v) è il lavoro fatto per spostare
una sorgente unitaria lungo un percorso chiuso Γ.
La conservatività di questi campi si traduce rispettivamente in:
Γ(E) = 0
Γ(G) = 0
22..88 IILL CCAASSOO DDEELL CCAAM
MPPO
OE
ELLE
ETTTTR
RO
OM
MA
AG
GN
NE
ETTIIC
CO
O
Equazioni di Maxwell
nei mezzi materiali
qint erna
∆Φ ( B )
Φ S ,chiusa ( E ) =
Γ( E ) = −
ε
∆t
∆Φ ( E )
Φ S ,chiusa ( B) = 0
Γ( B) = εµ
+ µ iconcatenat e
∆t
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nel vuoto
Φ S ,chiusa ( E ) = 0
Φ S ,chiusa ( B ) = 0
∆Φ ( B )
∆t
∆Φ ( E )
Γ( B ) = ε 0 µ 0
∆t
Γ( E ) = −
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Matematica e Fisica
Classe 5G
Introduzione alla teoria dei campi
3 DEESSCCRRIIVVEERREE UUNN CCAAM
MPPO
O ((TTRRAATTTTAAZZIIOONNEE GGEENNEERRAALLEE))
33..11 IILL G
GRRAADDIIEENNTTEE
Definizione
Gradiente di ϕ(x,y,z) = ∇ϕ ( x, y, z ) :=
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
1. Dato un campo scalare ϕ(x,y,z) è sempre possibile associargli un campo vettoriale descritto dal
vettore intensità del campo ∇ϕ :8
υ(x,y,z) = ∇ϕ
2. Dato un campo vettoriale υ(x,y,z) non è necessariamente possibile associargli un campo scalare
ϕ(x,y,z). Quando è possibile, si dice che il campo vettoriale è conservativo.
Teorema
∇ϕ ⋅ dl = dϕ
Dimostrazione
Il differenziale di ϕ vale:
dϕ =
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
La derivata direzionale di ϕ è:
dϕ ∂ϕ dx ∂ϕ dy ∂ϕ dz
=
+
+
dl
∂x dl ∂y dl ∂z dl
Ma:
dx
= cos(l , x)
dl
dy
= cos(l , y )
dl
dz
= cos(l , z )
dl
e quindi:
dϕ ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dl
=
cos(l , x) +
cos(l , y ) +
cos(l , z ) = ∇ϕ ⋅
dl
∂x
∂y
∂z
dl
dϕ = ∇ϕ ⋅ dl
La derivata direzionale di ϕ lungo l è la componente di ∇ϕ lungo l.
Definizione
Dato un campo scalare ϕ(x,y,z), le superfici nello spazio sulle quali ϕ(x,y,z) è costante si chiamano
superfici di livello, o equipotenziali.
Dal valore di cos(∇ϕ, dl), si deduce che:
• ∇ϕ è perpendicolare alla superficie di livello (equipotenziale)
• ∇ϕ ha direzione e verso della massima variazione di ϕ .
8
Nei campi elettrico e gravitazionale occorre cambiare il segno per accordarlo alla convenzione dei segni sul lavoro: la
forza è infatti l’intensità del campo per una sorgente esploratrice positiva unitaria. La forza del campo, per il principio di
conservazione dell’energia, porta la sorgente esploratrice verso punti ad energia potenziale minore (si crea energia
cinetica). Così, dove il lavoro delle forze del campo è positivo, l’energia potenziale deve diminuire(siamo cioè in verso
opposto a ∇ϕ).
Francesco Fontana
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Matematica e Fisica
Classe 5G
Introduzione alla teoria dei campi
33..22 LLAA C
CIIRRCCUUIITTAAZZIIOONNEE
Definizione
Integrale di linea lungo il percorso Γ tra P1 e P2 :=
∫ •( x, y, z ) ⋅ dl
P1 → P2 , Γ
L’integrale di linea dell’intensità del campo, nei campi gravitazionale ed elettrostatico, è il lavoro fatto
dalle forze del campo diviso per la sorgente spostata.
Teorema
υ conservativo ⇔ l’integrale di linea non dipende da Γ.
Dimostrazione
Se υ è conservativo, il campo vettoriale può associarsi ad un campo scalare ϕ tale che υ (x,y,z) = ∇ϕ
∫ •( x, y , z ) ⋅ dl = ∫ ∇ϕ ⋅ dl = ∫ dϕ = ϕ ( P ) − ϕ ( P ) = ∆ϕ
e quindi:
2
P1 → P2 , Γ
P1 → P2 , Γ
1
P1 → P2 , Γ
Definizione
Circuitazione di υ :=
∫ •( x, y, z ) ⋅ dl
Γ
Teorema
υ è conservativo
⇔
∀Γ
∫ •( x, y, z ) ⋅ dl = 0 .
Γ
33..33 IILL F
FLLUUSSSSOO EE LLAA D
DIIVVEERRGGEENNZZAA:: PPRREESSEENNZZAA DDII SSOORRGGEENNTTII
Definizione
dΦ := F ⋅ dS
Φ( F ) = ∫ F ⋅ dS
S
Origine idrodinamica: Φ è la massa di fluido attraverso S nell’unità di tempo.
Definizione
1
V →0

Φ
• ⋅ dS  = lim
∫
V
V


Divergenza di υ = ∇ ⋅ • = div •( x, y , z ) := lim
S
V →0
In coordinate cartesiane:
∂• ∂•
∂•
div• = x + y + z
∂x
∂y
∂z
La divergenza serve a caratterizzare la presenza di sorgenti attraverso il teorema di Gauss. 9
Teorema di Gauss
∫ • ⋅ dS = ∫ div• dV
S
V
Serve per passare dalla forma integrale della legge di Gauss Φ = q/ε alla forma differenziale divE = ρ/ε.
9
La fisica di Berkeley, vol. 2, Elettricità e magnetismo, Parte prima, Zanichelli 1971, p. 67.
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Matematica e Fisica
Classe 5G
Introduzione alla teoria dei campi
33..44 IILL R
ROOTTOORREE:: CCAAM
MPPII C
CO
ON
NSSE
ER
RV
VA
ATTIIV
VII
Invece dell’integrale di superficie di F, consideriamo una linea chiusa e la circuitazione di F. Cerchiamo
una proprietà che definisca il campo intorno al punto.
lim ∫ • ⋅ dl = 0
S →0
Γ
Come per divυ, considero:
1

lim ∫ • ⋅ dl 
S →0 S
 Γ

che è una variabile della posizione.
Definizione
1
S →0

• ⋅ dl 
∫
S


Rotore di υ = ∇×υ := funzione vettoriale per cui rot • ⋅ nˆ := lim
Γ
dove n̂ è il versore di S.
In coordinate cartesiane:
rot • = ∇ × • =
•
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
•x
•y
•z
rot υ ha direzione perpendicolare a quel piano nel quale la circuitazione è massima10
Teorema di Stokes
∫ • ⋅ dl = ∫ rot • ⋅ dS
Γ
(= Φ(rot •))
S
Il rotore misura la vorticosità del campo (esempio dell’acqua che defluisce dalla vasca). È usato in
fluidodinamica.
In particolare:
rot υ = 0
⇒
campo υ conservativo
33..55 IILL CCAASSOO DDEELL CCAAM
MPPO
OE
ELLE
ETTTTR
RO
OM
MA
AG
GN
NE
ETTIIC
CO
O
Equazioni di Maxwell
Forme differenziali
J è la densità di corrente, [A/m 2]
nei mezzi materiali
divE =
divB = 0
Φ(E ) =
Forme integrali
10
ρ
ε
q
ε
Φ( B) = 0
∂B
∂t
∂E
rotB = εµ
+ µJ
∂t
rotE = −
∂Φ ( B )
∂t
Γ
∂Φ ( E )
∫Γ B ⋅ dl = εµ ∂t + µi
∫ E ⋅ dl = −
nel vuoto
∂B
∂t
∂E
divB = 0 rotB = ε 0 µ 0
∂t
divE = 0
rotE = −
∂Φ ( B )
∂t
Γ
∂Φ ( E )
Φ ( B ) = 0 ∫ B ⋅ dl = ε 0 µ 0
∂t
Γ
Φ(E) = 0
∫ E ⋅ dl = −
La fisica di Berkeley, vol. 2, Elettricità e magnetismo, Parte prima, Zanichelli 1971, p. 87.
Francesco Fontana
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www.francescofontana.eu
Rev. 78_17/9/06