Università del Sannio

Università del Sannio
Corso di Fisica 1
Lezione 3
Cinematica I
Prof.ssa Stefania Petracca
Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I
1
Cinematica
La cinematica è quella branca della fisica che studia il movimento dei corpi
senza domandarsi quali siano le cause che lo producono. Nella cinematica
sono di fondamentale importanza le grandezze fisiche legate al concetto di
posizione e di movimento. Una volta definito un cosiddetto sistema di
riferimento è possibile studiare la posizione e le variazioni di posizione che
qualsiasi corpo assume nel tempo. Il tempo è una grandezza fisica che fluisce
uniformemente ed è possibile associare ad ogni istante di tempo una
particolare posizione dei corpi nello spazio tridimensionale. Nella cinematica
si suole introdurre il concetto di punto materiale: in sostanza il punto
materiale è un’astrazione concettuale di un qualsiasi corpo materiale per il
quale si vuole studiare il moto complessivo escludendo qualsiasi moto
interno. Al variare del tempo l’insieme di tutti i punti tridimensionali
rappresentanti le posizioni occupate dal corpo è detto traiettoria (o legge
oraria) del corpo.
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Sistema di coordinate
Il sistema di coordinate viene utilizzato per permettere la descrizione matematica del movimento
rispetto al sistema di riferimento. In pratica il sistema di coordinate può essere pensato come
ancorato al sistema di riferimento. E’ importante non confondere il sistema di coordinate con il
sistema di riferimento. Mentre il sistema di riferimento è qualcosa di fisico, il sistema di coordinate è
qualcosa di geometrico. Possiamo sempre scegliere fra infiniti sistemi di coordinate quello che
meglio si presta alla descrizione del problema. Oltre a quello cartesiano esistono diversi sistemi di
coordinate. Tra questi abbiamo:
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Moto rettilineo: Velocità I
Si definisce moto rettilineo lo spostamento del corpo al variare del tempo nello spazio
quando è possibile trascurare gli spostamenti lungo due assi rispetto al un terzo. Per
semplicità potremo in questo caso scegliere un solo asso coordinato per descrivere la
posizione in vari istanti di tempo. Quindi possiamo studiare il moto unidimensionale con
l’introduzione di una sola grandezza che descriva la posizione del corpo a vari istanti di
tempo una volta fissato lo zero del nostro sistema di riferimento.
Al concetto di spostamento (del tutto generale) si associa un secondo concetto legato alla
modalità con cui avviene lo spostamento: la velocità. Si suole definire la cosiddetta velocità
media come il rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo necessario a percorrere tale
distanza.
x2 (t 2 ) − x1 (t1 ) Δx
:=
v=
t 2 − t1
Δt
Indicheremo, quindi, che lo spostamento del corpo dalla posizione iniziale x1 nell’istante
iniziale t1 alla posizione finale x2 nell’istante finale t2 è avvenuto a velocità costante. Tale
velocità rappresenta soltanto una prima approssimazione per l’effettivo studio del
moto del corpo!
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Moto rettilineo: Velocità II
Infatti in generale nell’intervallo di tempo considerato (t2 - t1) la velocità può avere assunto valori sia
maggiori che minori del valore medio. Quindi quanto più l’intervallo di tempo è piccolo (quindi anche
l’intervallo spaziale) tanto più il valore della velocità media si avvicina al valore reale. E’ ovvio, quindi,
pensare che anche in questo caso saremmo di fronte ad un valore indicativo della velocità. E’ necessario
quindi introdurre il concetto di infinitesimo (vedere analisi matematica) ed introdurre l’intervallo
infinitesimo di tempo (dt) e di spazio (dx). A questo punto si introduce la cosiddetta velocità istantanea
cosi definita:
Δx(t )
dx(t )
x(t + Δt ) − x(t )
= lim
= lim
v(t ) =
Δ
t
→
0
Δt →0
Δt
dt
Δt
Il concetto di velocità istantanea tiene conto della velocità posseduta dal corpo nell’istante di tempo t
che sarà generalmente diversa da quella posseduta in un istante precedente o successivo. Nel caso in cui
la velocità sia uguale in ogni istante di tempo si parlerà quindi di velocità costante e di moto rettilineo
uniforme. Solo in questo caso la velocità media e quella istantanea coincidono. Matematicamente
descrivere la posizione assunta da un corpo lungo una retta al variare del tempo significa determinare la
legge oraria (o traiettoria) del corpo. La legge oraria è una funzione continua del tempo dalla quale è
possibile ricavare la velocità istantanea attraverso l’operazione di derivazione
v(t ) =
dx(t )
dt
Primo risultato della cinematica: la velocità è la derivata prima dello spazio.
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Moto rettilineo: Accelerazione
E’ possibile ripetere anche per la velocità quanto detto per lo spazio. Come la velocità
rappresenta la variazione nel tempo della posizione di un corpo l’accelerazione è la
variazione nel tempo della velocità di un corpo. Quindi possiamo anche ora introdurre una
accelerazione media tra due istanti generici di tempo cosi definita:
v(t 2 ) − v(t1 ) Δv
:=
a=
t 2 − t1
Δt
Ovviamente il commento sull’interpretazione fisica dell’accelerazione media è ancora
analoga a quella della velocità. Passando quindi al concetto di infinitesimi introduciamo
l’accelerazione istantanea:
dv(t )
a (t ) =
dt
Secondo risultato della cinematica: l’accelerazione è la derivata prima della velocità.
Ma ricordando la relazione che lega spazio e velocità otteniamo la relazione tra
accelerazione e spazio
dv(t ) d ⎛ dx(t ) ⎞ d 2 x(t )
a (t ) =
= ⎜
⎟=
dt
dt ⎝ dt ⎠
dt 2
Terzo risultato della cinematica: l’accelerazione è la derivata seconda dello spazio.
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Moto rettilineo uniforme
Si definisce moto rettilineo uniforme (m.r.u.) un moto che avviene lunga una direzione
fissa e con velocità costante. In termini matematici possiamo scrivere:
v(t ) =
dx(t )
dv(t ) d
= v0 ⇒ a =
= v0 = 0
dt
dt
dt
Quindi siamo di fronte ad un moto con accelerazione (istantanea ma anche media) nulla.
L’equazione che definisce la velocità come derivata prima della posizione può anche essere
integrata tra due istanti di tempo generici:
t
t
dx(t )
= v(t ) ⇒ x(t ) − x(t0 ) = ∫ v(τ )dτ ⇒ x(t ) = x(t0 ) + ∫ v(τ )dτ
dt
t0
t0
Dato che la velocità è costante otteniamo l’espressione analitica della legge oraria per il
moto rettilineo uniforme:
x(t ) = x(t0 ) + v0 (t − t0 )
Possiamo concludere che: nel m.r.u. l’intervallo di spazio percorso da un corpo dotato di
velocità costante v0 è direttamente proporzionale all’intervallo di tempo. In questo caso
velocità istantanea e velocità media coincidono (ovvio!).
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Moto rettilineo uniforme: legge oraria
Riportiamo un esempio di m.r.u. con una ben nota legge oraria (abbiamo posto t0 = 0):
x(t ) = a + bt
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Moto rettilineo uniformemente accelerato I
Si definisce moto rettilineo uniformemente accelerato (m.r.u.a.) un moto che avviene
lunga una direzione fissa con accelerazione costante. In termini matematici possiamo
scrivere:
dv(t )
= a0
dt
a (t ) =
Possiamo integrare tale equazione (in maniera analoga al caso del m.r.u.) ottenendo la
dipendenza temporale della velocità per una data accelerazione a(t):
t
t
dv(t )
= a (t ) ⇒ v(t ) − v(t0 ) = ∫ a(τ )dτ ⇒ v(t ) = v(t0 ) + ∫ a(τ )dτ
dt
t0
t0
Dato che l’accelerazione è costante otteniamo l’espressione analitica della velocità in
termini del tempo:
v(t ) = v(t0 ) + a0 (t − t0 )
Possiamo concludere che: nel m.r.u.a. la variazione di velocità di corpo dotato di
accelerazione costante a0 è direttamente proporzionale all’intervallo di tempo. In questo
caso accelerazione istantanea ed accelerazione media coincidono (ovvio!). La differenza
fondamentale tra il m.r.u. ed il m.r.u.a. consiste nel che la variazione proporzionale
all’intervallo del tempo è quella spaziale nel primo e quella della velocità nel secondo.
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Moto rettilineo uniformemente accelerato II
Una volta nota v(t) possiamo trovare la legge oraria per il m.r.u.a. Infatti:
t
dx(t )
dx(t )
= v(t ) ⇒
= v(t0 ) + a0 (t − t0 ) ⇒ x(t ) = ∫ [v(t0 ) + a0 (τ − t0 )]dτ
dt
dt
t0
1
2
x(t ) = x(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ) + a0 (t − t0 )
2
La dipendenza analitica dello spazio nel m.r.u.a. dal tempo è quadratico. Quindi supporre
un’accelerazione costante (diversa da zero) implica una legge oraria quadratica nel tempo.
E’ da notare che se ora dovessimo calcolare la velocità media e quella istantanea
otterremmo valori generalmente diversi. Ponendo t0= 0 (stiamo riposizionando lo zero del
tempo) otteniamo le dipendenze temporali dello spazio e della velocità per il m.r.u.a.:
v(t ) = v0 + a0t
1
x(t ) = x0 + v0t + a0t 2
2
Le costanti x0 e v0 rappresentano, rispettivamente, lo spazio (la posizione occupata
inizialmente) e la velocità del corpo all’istante t = 0. Successivamente a causa della
presenza dell’accelerazione sia lo spazio che la velocità subiranno delle variazioni nel
tempo che dipenderanno crucialmente dal segno algebrico dell’accelerazione a0.
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Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria I
Riportiamo un esempio di m.r.u.a. con una ben nota legge oraria (abbiamo posto t0 = 0):
dx(t )
dv(t ) d 2 x(t )
x(t ) = 4 + 8 ⋅ t − 1.2 ⋅ t ⇒ v(t ) =
= 8 − 2.4 ⋅ t ⇒ a (t ) =
=
= −2.4
2
dt
dt
dt
Velocità media, calcolata tra due tempi successivi (in tabella), e velocità istantanea non
coincidono. Ma entrambe decrescono linearmente con il tempo.
2
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Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria II
Accelerazione media e istantanea coincidono ma sono costanti. L’accelerazione è
sempre negativa (ha la stessa direzione ma verso opposto allo spostamento). In una
prima fase la velocità è positiva, ma decresce (rallenta). Successivamente la velocità si
annulla ed il moto inverte il verso di percorrenza. In fase di caduta la velocità (in valore
assoluto) aumenta (il corpo sta accelerando). Possiamo concludere che il corpo è sempre in
fase di accelerazione (negativa): moto rettilineo uniformemente decelerato.
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Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria III
Matematicamente quanto visto …
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Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria IV
Geometricamente quanto visto …
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Caduta di un corpo sotto l’azione della gravità
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Moto rettilineo vario
Riportiamo un esempio qualitativo di moto rettilineo ma composto da varie fasi: m.r.u.
+ m.r.u.a. + m.r.u.d. Potrebbe essere il caso di un atleta che si appresta ad una corsa
piana …
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