Università del Sannio Corso di Fisica 1 Lezione 3 Cinematica I Prof.ssa Stefania Petracca Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 1 Cinematica La cinematica è quella branca della fisica che studia il movimento dei corpi senza domandarsi quali siano le cause che lo producono. Nella cinematica sono di fondamentale importanza le grandezze fisiche legate al concetto di posizione e di movimento. Una volta definito un cosiddetto sistema di riferimento è possibile studiare la posizione e le variazioni di posizione che qualsiasi corpo assume nel tempo. Il tempo è una grandezza fisica che fluisce uniformemente ed è possibile associare ad ogni istante di tempo una particolare posizione dei corpi nello spazio tridimensionale. Nella cinematica si suole introdurre il concetto di punto materiale: in sostanza il punto materiale è un’astrazione concettuale di un qualsiasi corpo materiale per il quale si vuole studiare il moto complessivo escludendo qualsiasi moto interno. Al variare del tempo l’insieme di tutti i punti tridimensionali rappresentanti le posizioni occupate dal corpo è detto traiettoria (o legge oraria) del corpo. Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 2 Sistema di coordinate Il sistema di coordinate viene utilizzato per permettere la descrizione matematica del movimento rispetto al sistema di riferimento. In pratica il sistema di coordinate può essere pensato come ancorato al sistema di riferimento. E’ importante non confondere il sistema di coordinate con il sistema di riferimento. Mentre il sistema di riferimento è qualcosa di fisico, il sistema di coordinate è qualcosa di geometrico. Possiamo sempre scegliere fra infiniti sistemi di coordinate quello che meglio si presta alla descrizione del problema. Oltre a quello cartesiano esistono diversi sistemi di coordinate. Tra questi abbiamo: Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 3 Moto rettilineo: Velocità I Si definisce moto rettilineo lo spostamento del corpo al variare del tempo nello spazio quando è possibile trascurare gli spostamenti lungo due assi rispetto al un terzo. Per semplicità potremo in questo caso scegliere un solo asso coordinato per descrivere la posizione in vari istanti di tempo. Quindi possiamo studiare il moto unidimensionale con l’introduzione di una sola grandezza che descriva la posizione del corpo a vari istanti di tempo una volta fissato lo zero del nostro sistema di riferimento. Al concetto di spostamento (del tutto generale) si associa un secondo concetto legato alla modalità con cui avviene lo spostamento: la velocità. Si suole definire la cosiddetta velocità media come il rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo necessario a percorrere tale distanza. x2 (t 2 ) − x1 (t1 ) Δx := v= t 2 − t1 Δt Indicheremo, quindi, che lo spostamento del corpo dalla posizione iniziale x1 nell’istante iniziale t1 alla posizione finale x2 nell’istante finale t2 è avvenuto a velocità costante. Tale velocità rappresenta soltanto una prima approssimazione per l’effettivo studio del moto del corpo! Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 4 Moto rettilineo: Velocità II Infatti in generale nell’intervallo di tempo considerato (t2 - t1) la velocità può avere assunto valori sia maggiori che minori del valore medio. Quindi quanto più l’intervallo di tempo è piccolo (quindi anche l’intervallo spaziale) tanto più il valore della velocità media si avvicina al valore reale. E’ ovvio, quindi, pensare che anche in questo caso saremmo di fronte ad un valore indicativo della velocità. E’ necessario quindi introdurre il concetto di infinitesimo (vedere analisi matematica) ed introdurre l’intervallo infinitesimo di tempo (dt) e di spazio (dx). A questo punto si introduce la cosiddetta velocità istantanea cosi definita: Δx(t ) dx(t ) x(t + Δt ) − x(t ) = lim = lim v(t ) = Δ t → 0 Δt →0 Δt dt Δt Il concetto di velocità istantanea tiene conto della velocità posseduta dal corpo nell’istante di tempo t che sarà generalmente diversa da quella posseduta in un istante precedente o successivo. Nel caso in cui la velocità sia uguale in ogni istante di tempo si parlerà quindi di velocità costante e di moto rettilineo uniforme. Solo in questo caso la velocità media e quella istantanea coincidono. Matematicamente descrivere la posizione assunta da un corpo lungo una retta al variare del tempo significa determinare la legge oraria (o traiettoria) del corpo. La legge oraria è una funzione continua del tempo dalla quale è possibile ricavare la velocità istantanea attraverso l’operazione di derivazione v(t ) = dx(t ) dt Primo risultato della cinematica: la velocità è la derivata prima dello spazio. Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 5 Moto rettilineo: Accelerazione E’ possibile ripetere anche per la velocità quanto detto per lo spazio. Come la velocità rappresenta la variazione nel tempo della posizione di un corpo l’accelerazione è la variazione nel tempo della velocità di un corpo. Quindi possiamo anche ora introdurre una accelerazione media tra due istanti generici di tempo cosi definita: v(t 2 ) − v(t1 ) Δv := a= t 2 − t1 Δt Ovviamente il commento sull’interpretazione fisica dell’accelerazione media è ancora analoga a quella della velocità. Passando quindi al concetto di infinitesimi introduciamo l’accelerazione istantanea: dv(t ) a (t ) = dt Secondo risultato della cinematica: l’accelerazione è la derivata prima della velocità. Ma ricordando la relazione che lega spazio e velocità otteniamo la relazione tra accelerazione e spazio dv(t ) d ⎛ dx(t ) ⎞ d 2 x(t ) a (t ) = = ⎜ ⎟= dt dt ⎝ dt ⎠ dt 2 Terzo risultato della cinematica: l’accelerazione è la derivata seconda dello spazio. Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 6 Moto rettilineo uniforme Si definisce moto rettilineo uniforme (m.r.u.) un moto che avviene lunga una direzione fissa e con velocità costante. In termini matematici possiamo scrivere: v(t ) = dx(t ) dv(t ) d = v0 ⇒ a = = v0 = 0 dt dt dt Quindi siamo di fronte ad un moto con accelerazione (istantanea ma anche media) nulla. L’equazione che definisce la velocità come derivata prima della posizione può anche essere integrata tra due istanti di tempo generici: t t dx(t ) = v(t ) ⇒ x(t ) − x(t0 ) = ∫ v(τ )dτ ⇒ x(t ) = x(t0 ) + ∫ v(τ )dτ dt t0 t0 Dato che la velocità è costante otteniamo l’espressione analitica della legge oraria per il moto rettilineo uniforme: x(t ) = x(t0 ) + v0 (t − t0 ) Possiamo concludere che: nel m.r.u. l’intervallo di spazio percorso da un corpo dotato di velocità costante v0 è direttamente proporzionale all’intervallo di tempo. In questo caso velocità istantanea e velocità media coincidono (ovvio!). Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 7 Moto rettilineo uniforme: legge oraria Riportiamo un esempio di m.r.u. con una ben nota legge oraria (abbiamo posto t0 = 0): x(t ) = a + bt Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 8 Moto rettilineo uniformemente accelerato I Si definisce moto rettilineo uniformemente accelerato (m.r.u.a.) un moto che avviene lunga una direzione fissa con accelerazione costante. In termini matematici possiamo scrivere: dv(t ) = a0 dt a (t ) = Possiamo integrare tale equazione (in maniera analoga al caso del m.r.u.) ottenendo la dipendenza temporale della velocità per una data accelerazione a(t): t t dv(t ) = a (t ) ⇒ v(t ) − v(t0 ) = ∫ a(τ )dτ ⇒ v(t ) = v(t0 ) + ∫ a(τ )dτ dt t0 t0 Dato che l’accelerazione è costante otteniamo l’espressione analitica della velocità in termini del tempo: v(t ) = v(t0 ) + a0 (t − t0 ) Possiamo concludere che: nel m.r.u.a. la variazione di velocità di corpo dotato di accelerazione costante a0 è direttamente proporzionale all’intervallo di tempo. In questo caso accelerazione istantanea ed accelerazione media coincidono (ovvio!). La differenza fondamentale tra il m.r.u. ed il m.r.u.a. consiste nel che la variazione proporzionale all’intervallo del tempo è quella spaziale nel primo e quella della velocità nel secondo. Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 9 Moto rettilineo uniformemente accelerato II Una volta nota v(t) possiamo trovare la legge oraria per il m.r.u.a. Infatti: t dx(t ) dx(t ) = v(t ) ⇒ = v(t0 ) + a0 (t − t0 ) ⇒ x(t ) = ∫ [v(t0 ) + a0 (τ − t0 )]dτ dt dt t0 1 2 x(t ) = x(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ) + a0 (t − t0 ) 2 La dipendenza analitica dello spazio nel m.r.u.a. dal tempo è quadratico. Quindi supporre un’accelerazione costante (diversa da zero) implica una legge oraria quadratica nel tempo. E’ da notare che se ora dovessimo calcolare la velocità media e quella istantanea otterremmo valori generalmente diversi. Ponendo t0= 0 (stiamo riposizionando lo zero del tempo) otteniamo le dipendenze temporali dello spazio e della velocità per il m.r.u.a.: v(t ) = v0 + a0t 1 x(t ) = x0 + v0t + a0t 2 2 Le costanti x0 e v0 rappresentano, rispettivamente, lo spazio (la posizione occupata inizialmente) e la velocità del corpo all’istante t = 0. Successivamente a causa della presenza dell’accelerazione sia lo spazio che la velocità subiranno delle variazioni nel tempo che dipenderanno crucialmente dal segno algebrico dell’accelerazione a0. Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 10 Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria I Riportiamo un esempio di m.r.u.a. con una ben nota legge oraria (abbiamo posto t0 = 0): dx(t ) dv(t ) d 2 x(t ) x(t ) = 4 + 8 ⋅ t − 1.2 ⋅ t ⇒ v(t ) = = 8 − 2.4 ⋅ t ⇒ a (t ) = = = −2.4 2 dt dt dt Velocità media, calcolata tra due tempi successivi (in tabella), e velocità istantanea non coincidono. Ma entrambe decrescono linearmente con il tempo. 2 Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 11 Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria II Accelerazione media e istantanea coincidono ma sono costanti. L’accelerazione è sempre negativa (ha la stessa direzione ma verso opposto allo spostamento). In una prima fase la velocità è positiva, ma decresce (rallenta). Successivamente la velocità si annulla ed il moto inverte il verso di percorrenza. In fase di caduta la velocità (in valore assoluto) aumenta (il corpo sta accelerando). Possiamo concludere che il corpo è sempre in fase di accelerazione (negativa): moto rettilineo uniformemente decelerato. Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 12 Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria III Matematicamente quanto visto … Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 13 Moto rettilineo uniformemente accelerato: legge oraria IV Geometricamente quanto visto … Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 14 Caduta di un corpo sotto l’azione della gravità Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 15 Moto rettilineo vario Riportiamo un esempio qualitativo di moto rettilineo ma composto da varie fasi: m.r.u. + m.r.u.a. + m.r.u.d. Potrebbe essere il caso di un atleta che si appresta ad una corsa piana … Corso di Fisica 1 - Lez. 03 Cinematica I 16