Registro dell'insegnamento
Anno accademico 2013/2014
Prof. ROBERTA FABBRI
Settore inquadramento MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Scuola Ingegneria
Dipartimento INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE
Insegnamento ANALISI MATEMATICA
Moduli
Settore insegnamento MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Corsi di studio
INGEGNERIA INFORMATICA
N.B.- Ai sensi dell' art.2 della Legge 1-5-1941. n. 615, i direttori degli istituti e dei laboratori nei
quali si eseguono esperimenti sugli animali dovranno allegare al presente registro delle lezioni
anche il registro contenente i dati relativi agli esperimenti di cui sopra.
Anno accademico: 2013/2014
n.: 1
lezione
Data: 16/09/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Presentazione del Corso di Laurea in Ingegneria Informatica tenuta dal Presidente di
corso di Laurea Prof. A. Fantechi. Introduzione al corso. I numeri reali. Operazioni di somma e di
addizione definite in R e loro proprieta'. La relazione di minore e uguale definita tra coppie di numeri
reali. R e' un insieme totalmente ordinato.
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n.: 2
lezione
Data: 17/09/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Assioma di continuita' per i numeri reali, prime osservazioni. Proposizione: Non esiste
alcun numero razionale il cui quadrato sia 2.(dim per assurdo) Insiemi numerici limitati, limitati
superiormente (inferiormente). Maggiorante e minorante di un insieme (di numeri reali). Minimo e
massimo di un insieme (di numeri reali). Esempi. Definizione di estremo superiore e di estremo
inferiore. L'assioma di continuita' dei reali. Proprieta' caratteristiche dell'estremo superiore.
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n.: 3
lezione
Data: 19/09/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Interpretazione geometrica assioma di continuita': retta reale. Definizione assiomatica
di R. Valore assoluto di un numero reale. Interpretazione del valore assoluto come distanza euclidea
in R. Intervalli limitati di R, intervalli aperti e chiusi. Intervalli illimitati di R: semirette.
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n.: 4
lezione
Data: 23/09/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Sintassi. Il linguaggio matematico. Uso dell'"o" (oppure) in matematica e nella lingua
italiana. Utilizzo dell' "e" in matematica e nella lingua italiana. Articoli: articolo determinativo
"il","lo","la" e articolo indeterminativo "un", "uno", "una". I quantificatori "per ogni" (quantificatore
universale) e "esiste" (quantificatore esistenziale). Costanti. Variabili. Esempi. Teoria ingenua degli
insiemi. Parole chiave linguaggio degli insiemi: inseme, elemento, appartenenza. L' operazione di
inclusione tra insiemi (e relative proprieta'). Uguaglianza tra insiemi. Come si definisce un insieme.
Insieme delle parti. Insieme vuoto.
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Anno accademico: 2013/2014
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n.: 5
lezione
Data: 24/09/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Operazioni sugli insiemi: intersezione, unione, differenza, complementare, prodotto
cartesiano. Operazioni tra insiemi e operazioni logiche. Formule di de Morgan. Logica elementare.
Proposizioni e predicati. Negazione e quantificatori. I connettivi logici. Negazione "non",
congiunzione "e" , disgiunzione "o".Tabelle di verita' relative alle operazioni coi connettivi logici.
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n.: 6
lezione
Data: 26/09/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: L'implicazione logica. Oservazioni sulla tabella di verita' corrispondente. Legge delle
controinverse.
Equivalenza o doppia implicazione e realtiva tabella di verita'. Assiomi, definizioni, teoremi e
dimostrazioni. Dimostrazione diretta. Dimostrazioni indirette. La dimostrazione per assurdo. Metodo
del controesempio per dimostrare la falsita' di una implicazione universale.
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n.: 7
lezione
Data: 30/09/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Esempio di dimostrazione di tipo diretto. Teorema: Per ogni numero naturale n, se n e'
dispari allora n^2 e' dispari.
Esercizi sulla logica elementare. Negazioni di frasi.
Esempi ed esercizi(sul sup, l'inf, il max e il min di un insieme numerico)
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n.: 8
lezione
Data: 01/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Riferimento cartesiano nel piano: legame tra algebra e geometria. Relazioni tra due
insiemi. Relazioni tra grandezze reali. Grafico di una relazione come sottoinsieme del piano R^2.
Radice n-esima aritmetica di un numero reale positivo. Radice quadrata (aritmetica) di un numero
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Anno accademico: 2013/2014
reale non negativo. Formula risolutiva delle equazioni di II grado attraverso la radice quadrata
aritmetica. Potenze ad esponente razionale.
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n.: 9
lezione
Data: 03/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Relazioni e funzioni tra due insiemi. Funzioni da R a R. Dominio e codominio. Grafico
di una funzione. Immagine di una funzione. Funzioni suriettive, iniettive e biettive. Distinzione tra
relazione e funzione tra due insiemi mediante il grafico associato ad esse.
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n.: 10
lezione
Data: 07/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Esempi di funzioni reali di una variabile: funzioni lineari,funzioni potenza su tutto R.
Funzione valore assoluto, funzione segno di x, funzione parte intera di x definite su tutto R. Funzioni
simmetriche (pari e dispari). Esempi.Operazioni sulle funzioni. Composizione tra funzioni.
L'operazione di composizione non e' commutativa. Esempi. Funzione inversa. Composizione di
funzioni iniettive. Invertibilita' della funzione composta. Invertibilita' della funzione potenza: caso
esponente pari ed esponente dispari. Grafico di una funzione(invertibile) e grafico della sua inversa:
simmetria dei due grafici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.
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n.: 11
lezione
Data: 08/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Funzioni limitate superiormente, inferiormente e funzioni limitate.Esempi ed esercizi
sulla determinazione del campo di esistenza, del grafico e dell'immagine per alcune funzioni
reali.Funzioni monotone. Monotonia ed invertibilita'. Funzioni periodiche. Esempi. Richiami sulle
funzioni trigonometriche.
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n.: 12
lezione
Data: 10/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Pagina 4
Anno accademico: 2013/2014
Argomento: Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno e arcotangente.
Esercizi vari sulle funzioni trigonometriche (determinazione campo di esistenza,immagine,
disequazioni). Continuita' ed evoluzione continua. Funzione continua in un punto e su un intervallo.
Algebra delle funzioni continue (somma, prodotto e rapporto di funzioni continue). Composizione di
funzioni continue. Le potenze, i polinomi e le funzioni razionali sono continue in tutti i punti del loro
dominio.
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n.: 13
lezione
Data: 14/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Fatta solamente un'ora di elzione per mancanza di luce nell'aula.
Concetto di intorno in R. Intorno di un punto x_0 in R. Intorni aperti di centro x_0 e raggio r>0. Intorni
in R*. Intorni di +\infty e di -\infty: semirette. Definzione topologica di limite in R* (mediante il concetto
di intorno): prime osservazioni.
Definizione di limite mediante intorni. Operazione di limite e' in R*. Limite finito, infinito, al finito e
all'infinito. Relazione tra limite e continuita'.
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n.: 14
lezione
Data: 15/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Proprieta' del passaggio al limite: unicita' del limite, localizzazione, giunzione e
restrizione. Dal limite alla funzione. Limitatezza e teorema della permamenza del segno (dim).
Permanenza del segno per funzioni continue. l calcolo dei limiti. Algebra dei limiti. Aritmetizzazione
parziale di infinito. Forme indeterminate. Studio del rapporto f(x)/g(x) quando x--> 0 dove f(x)-->a (a
diverso da 0) e g(x)--> 0 per x --->0. Criterio del confronto (Teorema dei carabinieri). Esempi.
Cambiamento di variabile. Limiti di polinomi. Limiti di funzioni razionali. Esempi.
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n.: 15
lezione
Data: 17/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Esercizi vari su limitie continuita'.
sostituito da: Prof.ssa Francesca Lascialfari
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Anno accademico: 2013/2014
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n.: 16
lezione
Data: 21/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Limiti di funzioni monotone. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone
(dim). Esempi ed esercizi sul calcolo dei limiti. Esercizi vari sulla continuita'.Proprieta' globali delle
funzioni continue o monotone su un intervallo. Funzioni continue su un intervallo. Teorema degli zeri
(di Bolzano). Prime osservazioni.
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n.: 17
lezione
Data: 22/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Dimostrazione del teorema degli zeri. Conseguenze del teorema degli zeri, prime
osservazioni. Conseguenze del Teorema degli zeri. Teorema degli zeri in forma piu' generale,
facendo il contronto con reale qualsiasi(non necessariamente zero). Proposizione Teorema dei
valori intermedi). Teorema : l' mmagine continua di un intervallo I e' intervallo (inf f(x), sup f(x)) dove
l'inf e il sup sono aftti su I. Esistenza della radice n-esima di un numero positivo(dim applicazione del
Teorema degli zeri) Continuita' ed invertibilita'.Teorema: Una funzione continua su un intervallo I
(limitato o non limitato) e' invertibile su tale intervallo se e soltanto se e' strettamente monotona. In
tal caso la sua inversa e' ancora strettamente monotona e continua (dim).
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n.: 18
lezione
Data: 24/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Varianti del Teorema degli zeri su intervalli illimitati e su intervalli aperti. Esempi.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Prime osservazioni. La nozione di derivata. Tasso
di variazione istantanea di una funzione in un punto. Definizione di derivata in un punto di una
funzione reale definita su un intervallo. Rapporto incrementale. Interpretazione geometrica della
derivata.Retta tangente al grafico in un punto asegnato.
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n.: 19
lezione
Data: 28/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Pagina 6
Anno accademico: 2013/2014
Argomento: Proprieta' della retta tangente al grafico di f in un punto assegnato. Legame tra
derivabilita' e continuita'. Proposizione: Le funzioni derivabili sono continue (dim). Esempi di funzioni
derivabili e non sul loro dominio. Punti di non derivabilita': punti angolosi, punti a tangente verticale,
punti di cuspide. Esempi.Il calcolo delle derivate. Algebra delle derivate (somma algebrica, prodotto,
quoziente di funzioni derivabili). Derivata della funzione costante, derivata della funzione potenza
(intera). Derivata dei polinomi. Derivata di funzione composta: regola della catena. Derivata della
funzione inversa.
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n.: 20
lezione
Data: 29/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Significato geometrico del teorema di derivazione della funzione inversa. Derivata di
alcune funzioni elementari: derivata funzioni trigonometrice e loro inverse, derivata del logaritmo e
dell'esponeniale. Tabella di derivate delle funzioni elementari. Esercizi sulla derivabilita'. Derivabilita'
di valore assoluto di f(x).Esempi.
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n.: 21
lezione
Data: 31/10/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Esercizi sui limiti.
sostituito da: Prof.ssa Francesca Lascialfari
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n.: 22
lezione
Data: 04/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Derivate successive. C^n(I, R). C^infty(I,R). Derivate sucecssive della funzione inversa.
Esercizi sulla derivabilita' Calcolo differenziale. Massimi e minimi relativi (o locali) e assoluti (o
globali) per funzioni reali definite su intervalli. Condizione necessaria ma non sufficiente per la
ricerca di punti di estremo (min o max) per una funzione reale: Teorema di Fermat (dim). Punti
stazionari o critici per una funzione. Esistenza di punti di massimo e minimo assoluti: il Teorema di
Weierstrass e prime osservazioni.
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Anno accademico: 2013/2014
n.: 23
lezione
Data: 05/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Dimostrazione del Teorema di Weierstass. Corollario: Sia f:[a,b]--> R continua. Allora
l'immagine f([a,b]) e' il compatto [min f(x), max f(x] dove si intende che il min e il max di f(x) sono
determinati quando x appartiene ad [a, b]. Teorema di Lagrange (del valor medio). Prime
osservazioni. Interpretazione geometrica del teorema del valor medio. Dimostrazione del Teorema di
Lagrange. Teorema di Rolle (dim) e sua interpretazione geometrica. Teorema di Cauchy.
Conseguenze del Teorema di Lagrange. Crescenza e decrescenza di una funzione. Applicazione
del Teorema di Lagrange: Test di monotonia per uan funzione derivabile su un intervallo reale.
Applicazioni del Teorema di Lagrange: Una funzione derivabile su un intervallo con derivata nulla su
tale intervallo e' ivi costante.
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n.: 24
lezione
Data: 07/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Calcolo dei limiti: limiti notevoli (utilizzando il calcolo differenziale), I teoremi di de
l'Hopital. Calcolo di limiti per forme indeterminate del tipo 0/0 o infty/infty. Osservazioni
sull'applicazione dei teoremi di de l'Hopital. Calcolo di limiti mediante il teorema di de l'Hopital
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n.: 25
lezione
Data: 11/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Limiti notevoli con l'utilizzo del teorema di de l'Hopital. Confronto tra funzione
esponenziale e funzione potenza e tra funzione potenza (positiva) e potenza della funzione
logaritmo. Limite della derivata e derivabilita' (ulteriore applicazione del Teorema di Lagrange)(dim).
Derivata seconda, convessita' e concavita' di una funzione. Definizione di insieme piano convesso.
Definizione di funzione convessa (concava) su un intervallo (anche illimitato). Significato geometrico
della definzione. Definizioni equivalenti della convessita': concetto di epigrafo in R^2 e nozione di
concavita' verso l'alto (o il basso). Teoremi di caratterizzazione delle funzioni convesse.
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n.: 26
lezione
Data: 12/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Pagina 8
Anno accademico: 2013/2014
Argomento: Esempi di funzioni concave e convesse:funzione potenza reale,funzioni esponenziali e
logaritmiche.Convessita' come strumento per ottenere stime: stime per la funzione esponenziale e^x
su R e per la funzione sinx su [0, \pi\2]. Punto di flesso. Significato geometrico del punto di flesso
(punto di cambio di concavita'). Teorema: Sia x_0 punto di flesso per la f: I --> R. Se esiste f ''(x_0)
allora f ''(x_0)=0.(C.N. ma non sufficiente). Esempio: funzione f(x)= x^4 su tutto R. Studio del grafico
di una funzione. Esempi.Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Introduzione, calcolo
dell'area di una figura piana a contorno curvilineo. Il metodo di esaustione di Archimede. Cenni
storici. La nozione di integrale di Riemann. Integrale superiore e integrale inferiore con le somme di
Riemann. Definzione di funzione integrabile secondo Riemann sull'intervallo [a, b].
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n.: 27
lezione
Data: 14/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Esercizi sullo studio del grafico di funzioni. Problemi di massimo e minimo realtivi e
assoluti.
sostituito da: Prof.ssa Francesca Lascialfari
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n.: 28
lezione
Data: 18/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Significato geometricod ella definzione di funzioen Riemann integrabile per funzioni
non negative. Proprieta' delle funzioni integrabili secondo Riemann. Proprieta' dell'integrale.
Integrale orientato. Classi di funzioni integrabili. Integrabilita' delle funzioni costanti a tratti.
Integrabilita' delle funzioni monotone limitate.(dim) Integrabilita' delle funzioni continue su [a,b].
Integrabilita' delle funzioni limitate e con un numero finito di discontinuita'. Funzione integrale di una
funzione integrabile su [a, b].
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n.: 29
lezione
Data: 19/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Lipschitzianita' della funzione intergrale. Definizione di lipschitzianita' per una funzione
reale definita su un intervallo [a, b].Teorema fondamentale del calcolo integrale TFC(dim).
Conseguenze del Teorema fondamentale del calcolo integrale. Media integrale di una funzione
integrabile su [a, b]. Teorema della media integrale(dim). Primitive. La funzione integrale di una
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Anno accademico: 2013/2014
funzione continua su [a,b] e' una primitiva della funzione. Integrale indefinito. Insieme di tutte le
primitive di una funzione. Applicazioni delle funzioni integrali: spazio percorso da una particella
all'istante t , particella che si muove con velocita' variabile v(t) lungo una traiettoria fissata e' la
fuunzione integrale della velocita'.
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n.: 30
lezione
Data: 21/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Conseguenze del Teorema fondamentale del calcolo: la funzione integrale ha sempre
un grado di regolarita' in piu' rispetto alla funzione integranda. Studio di funzioni integrali anche
senza conoscerne esplicitamente l'espressione analitica: esempi.
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n.: 31
lezione
Data: 25/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Aree di figure piane. Definzione di sottografico per funzione f:[a, b]--> R continua e con
f(x)> = 0 (funzione non negativa). Definizione di misura o area del sottografico per funzione non
negativa. Area con segno (quando f:[a, b]--> R e' continua ma non positiva). Esercizio di calcolo di
area di figura piana.Uniforme continuita'pe funzioni di una variabirle.
Legame tra continuita'e continuita' uniforme. Ricerac di primitive. Tabella di primitive per alcune
funzioni elementari.Tecniche di integrazione. Integrazione per scomposizione. Integrazione per
sostituzione.Integrazione per parti.
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n.: 32
lezione
Data: 26/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione delle funzioni trigonometriche.
Integrazione di funzioni irrazionali.Esempi ed esercizi sull'integrazione.
Firma .........................................................................................
n.: 33
lezione
Data: 28/11/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Pagina 10
Anno accademico: 2013/2014
Argomento: Esercizi sul calcolo integrale.
sostituito da: Prof.ssa Francesca Lascialfari
Firma .........................................................................................
n.: 34
lezione
Data: 02/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Definizione di log x e di exp x e delle funzioni trigonometriche mediante il calcolo
integrale. Il numero di Nepero e. Funzione esponenziale. Esponenziale e logaritmo con base a>0.
Potenze ad esponente reale. Applicazione delle funzioni esponenziali. L'equazione del decadimento
o della crescita. Soluzione e unicita'della stessa.
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n.: 35
lezione
Data: 03/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Funzioni trigonometriche definite attraverso il caolcolo integrale. Funzione
arcotangente di x. Funzione arcotangente di x definita come opportuna funzione integrale. Funzione
tangente di x (definita a partire dalla funzione inversa arcotangente). Le funzioni seno e coseno di x.
Funzioni trigonometriche e moto armonico. Equazione dell'oscillatore armonico.
Firma .........................................................................................
n.: 36
lezione
Data: 05/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Esercizi vari sul calcolo integrale.Studio del numero di soluzioni di un'equazione di
grado maggiore o ugaule a 3 in R. Calcolo approssimato di pi greco.
Firma .........................................................................................
n.: 37
lezione
Data: 09/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Polinomio di Taylor di ordine n e centrato in un punto per una funzione f:I-->R
derivabile n volte nel punto(appartanente a I). Formula di Taylor con resto integrale. Formula di
Taylor con resto secondo Lagrange (dim). Calcolo del numero di Nepero e con la precisione
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Anno accademico: 2013/2014
desiderata mediante la Formula di Taylor. Dimostrazione dell'irrazionalita' di e attraverso la Formula
di Taylor.
Firma .........................................................................................
n.: 38
lezione
Data: 10/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Formula di Taylor con resto secondo Peano (dim). Informazione di tipo dinamico sul
resto. Le notazioni di Landau: o piccolo e O grande. Funzioni asintotiche. Legame tra asintotico e opiccolo. Limiti notevoli e sviluppi corrispondenti. Osservazioni sulla Formula di Taylor con resto
secondo Peano. Algebra degli o-piccoli. Il calcolo degli sviluppi.
Firma .........................................................................................
n.: 39
lezione
Data: 12/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Sviluppi di Taylor centrati in zero per alcune funzioni elementari.Sviluppo di e^x, di sin
x, di cos x, di log(1+ x), di (1+ x)^\alpha con x > -1 e \alpha reale. Calcolo di limiti con la formula di
Taylor. Esercizi vari sugli sviluppi di Taylor per alcune funzioni.
Firma .........................................................................................
n.: 40
lezione
Data: 16/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: Equazioni differenziali ordinarie. Definzioni. Equazioni lineari del I ordine.
Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale lineare del primo ordine come
somma dell'integrale generale dell'omogenea associata e di un integrale particolare dell'equazione
data-valido per eq. di ordine n qualsiasi- (dim). Determinazione dell'integrale generale dell'equazione
omogenea associata. Determinazione dell'integrale partcolare dell'equazione non omogenea:
metodo di variazione della costante. Probelma di Cauchy per un'equazione lineare del I ordine.
Firma .........................................................................................
n.: 41
lezione
Data: 17/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Pagina 12
Anno accademico: 2013/2014
Argomento: Esercizi sulla determinazione della soluzione per problemi di Cauchy (del I ordine e
lineari). Equazioni differenziali ordinarie lineari del II ordine (forma generale). Equazioni differenziali
lineari del II ordine a coefficienti costanti. Equazione caratteristica. Determinazione dell'integrale
generale dell'omogenea associata. Determinazione dell'integrale particolare della non omogenea:
metodo della somiglianza e metodo di variazione delle costanti. Esempi.
Firma .........................................................................................
n.: 42
lezione
Data: 19/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 1
Argomento: Esercizi vari sulle equazioni differenziali lineari del II ordine. Soluzione di problemi di
Cauchy per equazioni differenziali lineari del II ordine.
Firma .........................................................................................
n.: 43
lezione
Data: 19/12/2013
esercitazione
laboratorio
seminario
Totale ore: 2
Argomento: (pomeriggio)Esercitazione scritta. Prova di autovalutazione.
Firma .........................................................................................
Pagina 13
Anno accademico: 2013/2014
RIEPILOGO
lezione
................................................... n. ore
69
esercitazione
................................................... n. ore
2
laboratorio
................................................... n. ore
0
seminario
................................................... n. ore
0
TOTALE
71
Firma del docente
copia per la Scuola
Visto: Il Presidente della Scuola
copia per il Dipartimento
Visto: Il Direttore del Dipartimento
Pagina 14
