1
Risposta dinamica di strutture elastiche: forme
periodiche
Le equazioni di equilibrio del sistema elastico ai vari gradi di libertà si presenta
nella forma generica
M ẍ + C ẋ + Kx = F (t), x = x(t)
(1)
ove:
•
M è la matrice di massa, simmetrica e denita positiva;
•
C è la matrice di smorzamento viscoso, simmetrica e semidenita positiva;
•
K è la matrice di rigidezza, simmetrica e semidenita positiva: tale matrice
può essere a termini complessi se si include una quota di smorzamento
strutturale;
•
F(t) è il vettore delle forze nodali applicate;
•
x(t) è la risposta nel tempo del sistema.
a regime a
sollecitazioni di natura periodica, si procede ad una scomposizione della forzante
Nel caso si ricerchino soluzioni periodiche al problema, ovvero risposte
nelle sue singole armoniche (in ipotesi di linearità potrò poi ricomporre le
risposte), in termini nella forma
F (t) = f¯ejωt
Ricordiamo che in tal modo si denisce una forma
cui parte reale
Re(f¯ejωt )
(2)
complessa
dell'eccitante, la
è la quota sicamente applicata ai nodi nel tempo.
Eventuali dierenze di fase tra le eccitazioni trasmette ai nodi sono denite dai
termini complessi del vettore
f¯.
Omettendo i fenomeni di transitorio, si sostituisce entro la 1 la forma
x(t) = x̄ejωt
(3)
la cui quota reale rappresenta l'eettivo spostamento nodale nel tempo.
Si procede quindi alla scrittura della forma
−ω 2 M + jωC + K x̄ejωt = f¯ejωt
che, dovendo valere
∀t,
(4)
implica
−ω 2 M + jωC + K x̄ = f¯
(5)
ossia la soluzione di un sistema lineare a matrice e termine noto complessi, con
matrice di sistema variabile in
ω.
In particolare si nota che se il contributo dei termini di rigidezza è costante,
il contributo dei termini viscosi e della matrice di massa cresce con
rispettivamente.
1
ω
e
ω2
1.1
Analisi modale
Si vanno a ricercare i
modi propri
della struttura, ossia quei particolari moti
periodici che sono ammessi dall'equazione 1 anche in assenza di forzante applicata.
Condizione necessaria anché un moto possa perdurare in assenza di forzanti
è l'assenza di dissipazione entro il sistema, per cui è necessario porre
C = 0
nonché K reale, riducendoci alla forma algebrica
−ω 2 M + K x̄ = 0
(6)
Le soluzioni non nulle di tale forma sono le coppie autovalore,autovettore
ωi2 , x̄i
del problema agli autovettori generalizzato
K − ω2 M = 0
(7)
ovvero, essendo M denita positiva
M −1 K − ω 2 I = 0
(8)
2
La coppia ωi , x̄i rappresentano pulsazione e forma del modo proprio iesimo; ricordando che l'autovettore è denito a meno di una costante moltiplica-
tiva arbitraria, non hanno senso considerazioni basate sull'ampiezza in modulo
dello stesso, frutto di una normalizzazione.
È invece interessante notare che sostituendo la funzione risposta
xi (t) = ax̂i ejωi t
(9)
entro la 1, si ottiene la forma algebrica
K − ωi2 M ax̂i +jωi Cax̂i = f¯
{z
}
|
(10)
=0
la cui singolarità può essere prevenuta solo in presenza di una matrice di smorzamento non singolare, ed in particolare non nulla. In particolare, l'ampiezza della
1 è calcolabile come
risposta
a=
1 x̂i T f¯
jωi x̂Ti C x̂i
(11)
x̂i T f¯ è un termine di accoppiamento modo/forzante, mentre
T
x̂i C x̂i è associato alla capacità del sistema di dissipare energia sullo specico
modo deformativo.
ove il termine
1.2
Analisi di risposta diretta
Si procede semplicemente alla soluzione del problema come da 5 per un dato
campionamento di frequenze. Si ricorda che
non
è necessario ridurre lo smorza-
mento viscoso nella forma proporzionale (Rayleigh damping)
C = αM + βK
(12)
normalmente implementata tuttavia nei codici di calcolo.
Poiché inoltre il calcolo è eettuato ad una determinata pulsazione
frequenza
f = ω/2π)
ω
(o
della forzante, non comporta complicazioni considerare i
parametri del sistema
M, C, K, f¯ variabili
in
ω.
1 ricordiamo per correttezza formale che l'ampiezza di oscillazione è massima per ω = ω solo
i
per termini smorzanti tendenti a 0
2
1.3
Analisi di risposta per sovrapposizione modale
2
Nel caso gli autovalori associati ai modi propri siano tutti distinti , vigono le
condizioni di ortogonalità
x̂Tj M x̂i = δji mi
x̂Tj K x̂i = δji mi ωi2
ove
δi,j
(13)
mi è la massa modale associata al modo
è la funzione delta di Kroneker, e
i-esimo, riducibile ad un valore unitario mediante apposita normalizzazione di
x̂i .
Componendo gli autovettori normalizzati a massa modale unitaria come
colonne di una matrice modale
X̂ = [x̂1 · · · x̂i · · · x̂N ]
(14)
ed andando a scrivere la generica soluzione del problema algebrico in coordinate
associate a tale base (coordinate modali)
3
x̄ = X̂ ξ¯
(15)
si ottiene la forma
X̂ T −ω 2 M + jω (αM + βK) +K X̂ ξ¯ = X̂ T f¯
{z
}
|
(16)
C
da cui, per ortogonalità
−ω 2 I + jω(αI + βΛ) + Λ ξ¯ = q̄
(17)
2
oveI è la matrice identità e Λ = diag ωi è una matrice diagonale contenente le
pulsazioni proprie. Tale sistema è diagonale, ossia è possibile risolvere indipendentemente le N equazioni
−ω 2 + jαω + jβωωi2 + ωi2 ξ¯i = q̄i
i = 1...N
(18)
associate ad equazioni dinamiche nella forma
1
ξ¨ + 2ωi
2
|
ove
α
q̄
+ βωi ξ˙ + ωi2 ξ = ejωt () ,
ωi
m̃
{z
}
¯ jωt ,
ξ = ξe
i = 1...N
(19)
ζi
m̃ = 1è la massa resa unitaria dalla scalatura di ξ .
Tali equazioni rappresen-
tano N oscillatori ad un grado di libertà indipendenti, di frequenza propria
frazione dello smorzamento critico
ζi =
1
2
α
ωi
+ βωi
ωi
e
, dalla cui sovrapposizione
- ricordiamo che il sistema è lineare - ritroviamo il comportamento complessivo
del sistema.
Si nota che si è utilizzata la forma proporzionale dello smorzamento in quanto
non esistono proprietà di ortogonalità tra i modi propri ed una generica matrice
di smorzamento C, per cui il sistema 16 non sarebbe diagonalizzabile.
2 ipotesi che considereremo vericata, perturbando il sistema se necessario
3 se gli autovalori sono distinti, gli autovettori sono linearmente indipendenti e costituiscono
una base per lo spazio delle soluzioni
3
2
Evoluzione dinamica da condizioni iniziali
Si considera un sistema dinamico nella forma 1, ove il vettore delle forze applicate
f (t)
t ∈ [t0 , tM ],
varia arbitrariamente nel tempo
e la condizione iniziale è
nota in posizioni e velocità, ossia
x|t=t0 = x0
ẋ|t=t0 = v0
(20)
L'accelerazione non è citata tra le condizioni iniziali, sebbene venga poi
utilizzata entro il metodo presentato, in quanto il vettore
ẍ|t=t0
è denito come
unica incognita della 1 all'istante iniziale.
Andando ad applicare una procedura di integrazione al passo, si considera
l'evoluzione del sistema su di un intervallo
[ti , ti+1 ] ⊂ [t0 , tM ], con ∆t = ti+i − ti
nota in
= ẋi , ẍ|t=ti = ẍi
piccolo; si assume la condizione del sistema
ti , x|t=ti = xi , ẋ|t=ti
t = ti
incognita
a
(lo è per
al tempo
i = 0
quantomeno) per andare a ricercare la condizione
ti+1 , x|t=ti+1 = xi+1 , ẋ|t=ti+1 = ẋi+1 , ẍ|t=ti+1 = ẍi+1
t = ti+1 = ti + ∆t. Si evidenzia la notazione utilizzata che distingue
xi , ẋi , ẍi (vettore algebrico) dalle funzioni x, ẋ, ẍ della
le grandezze istantanee
variabile temporale t.
Tentando di ridurre le incognite del problema al solo vettore accelerazione
ẍi+1 ,
si procede a denire per integrazione posizione e velocità al tempo
ti+1 .
In particolare si ha
ˆ
xi+1
ti+1
= xi +
ẋdt
ti
ˆ ti+1
ẋi+1
= ẋi +
ẍdt
ti
Andando a denire una procedura di integrazione numerica - approssimata,
da cui la richiesta di
∆t piccolo - si applica uno schema di integrazione a trapezi
con pesi variabili
4
