Campo magne*co Il Magne*smo • L’esistenza di una forza capace di attirare particelle metalliche
risale all’antica città di Magnesia in Grecia.
• In quella città ricca di molte miniere di Ferro si osservarono per
la prima volta fenomeni di attrazione e orientamento di particelle
metalliche; da allora in poi chiamate “Magnetismo”.
• Per molti secoli questi fenomeni
vennero osservati, classificati ed
usati senza nessuna relazione con
altre discipline.
• Solo la scienza del XIX secolo
mise in relazione il magnetismo con
il passaggio di corrente e riuscì a
definire l’esistenza dei campi
magnetici.
Campo magne*co Per definire il campo magnetico B dobbiamo usare una carica
elettrica in movimento
• una carica elettrica ferma in un campo magnetico non sente
nessuna forza
• Se il campo è in una direzione definita e il moto della carica è nella
stessa direzione questa non sente nessuna forza
• Se il campo è in una direzione (diciamo x) e la carica si avvicina a
quella direzione da una direzione ortogonale (direzione y) la carica
subirà una Forza (deviazione in direzione z) che è perpendicolare sia
alla direzione del moto che alla direzione del campo.
!
! !
FB = qv × B
• Il verso della forza di deviazione è tale che i vettori F, v, B
(in quest’ordine) formano una terna destrorsa.
FB
B=
qv
Campo magne*co • La carica negativa sente una forza opposta a
quella della carica positiva
• Poli magnetici opposti si attraggono, mentre poli
magnetici concordi si respingono
• Nel SI l’unità di misura è il T (Tesla) e vale
1T =
1 newton
1(coulomb)(metro/ampere)
1T = 104 Gauss
Carica in moto in un campo magne*co • Una carica elettrica che entra in un campo magnetico viene deviata
perpendicolarmente sia alla direzione del suo movimento che alla direzione
del campo magnetico.
• Caso semplice:
velocità della carica v costante con direzione perpendicolare a B.
La traiettoria sarà una circonferenza di raggio r = mv/qB. Infatti la forza di
Lorentz è una forza centrale che imprime una accelerazione centripeta alla
carica con velocità v qvB = mv2/r
N.B. Il periodo non dipende dalla velocità
della carica. Essa incide solo sul raggio
della circonferenza. Velocità più grandi
avranno traiettorie con raggi più grandi
Cariche con lo stesso q/m si muoveranno
con lo stesso T
2π r 2π mv 2πm
=
=
v
v qB
qB
1
qB
f = =
T 2πm
q
ω = 2πf = B
m
T=
Carica in moto in un campo magne*co Se la direzione della carica non è perpendicolare alla
direzione del campo magnetico allora il moto sarà
elicoidale con la componente perpendicolare a B (v|
= v sin θ) che determinerà il raggio dell’elica e la
componente parallela a B (v“ = v cosθ) che
determinerà il passo dell’elica.
Se il campo magnetico non è uniforme il raggio
dell’elica varia e se la disuniformità è
sufficientemente elevata la carica può rimbalsare e
tornare indietro. In alcuni casi di grande
disuniformità si verifica un vero e proprio
intrappolamento.
Fili percorsi da corrente Un filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico
perpendicolare alla direzione del filo risentirà di una forza
deformante dovuta alla legge di Lorentz F = qvd x B
Nel caso di un tratto di filo L avremo che q = i t = i (L/vd) se
questo è il valore di q la forza a cui il tratto di filo è sottoposto
diventa:
iL
FB = qvd B sin φ = vd B sin 90°
vd
FB = iLB
Naturalmente se la direzione del
filo non è perpendicolare a B
FB = iL x B
Spira percorsa da corrente • Una spira percorsa da corrente e immersa in un campo
magnetico subisce un momento torcente.
• Il momento torcente è il risultato della legge di Lorentz su
ciascun lato della spira. Se la spira è in una qualunque posizione,
non parallela al campo B, ogni ramo subirà una sollecitazione
verso l’esterno, ma: 1. i lati minori avranno forze agenti sulla stessa
retta d’azione e si
annulleranno, 2. mentre
le forze agenti sui lati
maggiori imprimeranno
un momento torcente tale
da allineare il vettore n
con il campo B
b
⎛
⎞
'
τ = 2⎜ iaB sin θ ⎟ = iAB sin θ
2
⎝
⎠
Legge di Biot-­‐Savart Come una qualunque distribuzione di cariche
statiche dq crea un campo elettrico dE , allo
stesso modo, cariche in movimento ids creano
un campo magnetico dB
Campo elettrico
Campo magnetico
⎛ 1 ⎞ dq
⎟⎟ 2
dE = ⎜⎜
⎝ 4πε 0 ⎠ r
⎛ µ 0 ⎞ ids sin θ
dB = ⎜ ⎟
2
4
π
r
⎝ ⎠
! ⎛ 1 ⎞ dq !
⎟⎟ 3 r
dE = ⎜⎜
⎝ 4πε 0 ⎠ r
! ⎛ µ0 ⎞ ids × r!
dB = ⎜
⎟ 3
⎝ 4π ⎠ r
µ0 = 4π . 10-7 [T . m/A]
B creato da un lungo filo percorso da corrente Se le corrente percorre un filo abbastanza
lungo il campo B è linearmente dipendente
da i e inversamente dipendente da r. Il verso
delle linee di campo seguono la regola ella
mano destra
Dalla legge di BiotSavart dovremo fare
l’integrale di ciascun
elemento di corrente
rispetto a P e per
simmetria si ricava
µ 0i
B=
2πr
∞
B = 2 ∫ dB =
0
µ 0i ∞ sin θ
ds
2
∫
0
2π
r
µ 0i ∞
R
B=
ds
2π ∫0 (s 2 + R 2 )3 2
µ 0i ⎡
s
B=
⎢
2πR ⎢⎣ s 2 + R 2
(
∞
⎤
µ 0i
=
1 2 ⎥
⎥⎦ 0 2πR
)
B creato da un filo circolare percorso da corrente Applicando la legge di Biot-Savart si può ricavare il B indotto da qualunque
configurazione di correnti (basta fare gli opportuni integrali). Nel caso di un
arco di circonferenza il valore di B si ottiene in una forma molto semplice:
µ 0 ids sin 90° µ 0 ids
dB =
=
2
4π
4π R 2
R
Si noti che l’angolo fra la direzione fra ds e r in curve
circolari è per definizione 90°. L’integrale in ds è
connesso con l’arco φ dalla relazione ds = R dφ quindi:
φ µ iR
µ 0i φ
0
B=
dφ =
dφ =
0 4π R 2
4πR 0
µ i
B= 0 φ
Ricordarsi di usare i radianti
4πR
nel fare questo integrale
Per una circonferenza φ = 2π
quindi
B = µ0 i/2R
∫
∫
Fili paralleli percorsi da corrente Due fili paralleli percorsi da corrente si
attraggono o si respingono secondo la legge
µ 0 Lib ia
Fab =
2πd
a
b
Fab
L
i
d
i
Ba
La corrente che passa nel filo a crea un campo a distanza d pari a
B = µ0ia/2πd.
La corrente del filo b risente di questo campo e per la legge di Lorentz
subisce una forza Fab che lo dirige verso il filo a l’intensità di questa forza
dipende da
Fab = ibL x Ba
Fili paralleli percorsi da corrente se hanno lo stesso verso si attraggono,
mentre fili che hanno versi di correnti contrarie si respingono.
Definizione di Ampere l’Ampere è la corrente necessaria s
permettere che due fili paralleli posti
ad 1 metro di distanza possano
attrarsi con la forza di 2 x10-7 N
Legge di Ampere in casi semplici Linea chiusa
• Nel caso di un filo rettilineo il campo magnetico B esterno
al filo è dato da
∫B
. ds
= ∫B cos q ds = B ∫ds = B (2πr)
i
r
ds
Pertanto per la legge di ampere B 2πr = µ0i
• Nel caso si volesse trovare il valore del campo B interno
ad un filo percorso da corrente avremo ancora:
∫B . ds = B (2πr)
mentre la corrente racchiusa sarà:
ic = i (πr2/πR2)
πr 2
B ( 2πr ) = µ 0i 2
e la legge di Ampere sarà:
πR
⎛ µ i ⎞
B = ⎜ 0 2 ⎟r
⎝ 2πR ⎠
B
θ=0
B
R
ds
r
Caso del solenoide Un filo percorso da corrente elicoidalmente avvolto in N spire dello stesso
diametro formano un solenoide. In un tale sistema, se il diametro è molto
minore della lunghezza, il campo magnetico B interno al solenoide è uniforme ed
intenso, mentre il campo esterno è molto debole (nullo nel caso ideale).
Calcolo di B per un solenoide ideale:
! ! b
c
d
a
∫ B ⋅ ds = ∫ B ⋅ ds + ∫ B ⋅ ds + ∫ B ⋅ ds + ∫ B ⋅ ds = Bh
a
b
c
d
e la corrente interna alla linea descritta varrà ic = i (nh) quindi si avrà:
B = µo i n
Toroide • Un toroide è un solenoide racchiuso su se
stesso, in questo modo il campo B è confinato
all’interno di una regione limitata e non ci sono
effetti dovuti alla terminazione dell’avvolgimento.
• Considerazioni di carattere simmetrico ci suggeriscono
che le linee del campo B all’interno del toro sono circolari e
non sono uniformi. Le linee sono più intense verso la parte
interna che verso la parte esterna del toro.
• La linea chiusa (usata per il teorema di Ampere) è presa all’interno del toro
a distanza r dal centro di massima simmetria cosi che B (2πr) = µ0 i N
µ0iN 1
B=
2π r
Dipolo magne*co • Il campo creato da una singola spira, o un
numero piccolo di spire, il dispositivo non ha
sufficiente simmetria per essere calcolato con la
legge di Ampere.
• Il campo magnetico in un punto sull’asse della
spira di raggio R dovrà essere calcolato utilizzando la
legge di Biot-Savart
• Per punti lontani dalla spira (z>>R) il campo
sarà funzione di 1/z3 e se consideriamo anche il
numero delle spire il campo B avrà la forma
µ0 NiA
B( z ) =
3
2π z
Dove NiA è il momento di dipolo magnetico µ
B( z ) =
µ0iR 2
(
2
2 R +z
!
!
µ0 µ
B( z ) =
3
2π z
2 32
)
Calcolo del dipolo magne*co ! ⎛ µ0 ⎞ ids! × r!
dB = ⎜ ⎟
3
4
π
r
⎝ ⎠
In base alla legge di Biot-Savart il campo elementare
dB è perpendicolare al piano individuato da ds
(perpendicolare alla slide) e al vettore posizione r. Tale
vettore avrà le sue componenti di cui ci interessa solo
quella una parallela perché quella perpendicolare si
annulla nell’integrale
B =∫dB” quindi: dB = dB“ cosα ovvero
dB" =
µ0i cosαds
4πr 2
Ma r = √R2+z2 e cosα = R / r
quindi il campo elementare dB”
avrà la forma
dB" =
µ0iR
2
2 32
4π ( R + z )
ds
B = ∫ dB" =
B( z ) =
µ 0iR
2
2 32
4π ( R + z )
µ 0iR 2
4π ( R 2 + z 2 ) 3 2
∫ ds
