Marco Barlotti
RICHIAMI SU
ISOMETRIE,
ANGOLI ORIENTATI E
TRIGONOMETRIA PIANA
Vers. 2.1
In copertina un disegno originale (© Disney) di Keno Don Rosa.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina I
PREFAZIONE
Questi appunti, mantenendo fede al proprio titolo, raccolgono le informazioni
essenziali su isometrie, angoli e trigonometria piana.
I prerequisiti fondamentali per l’insegnamento di “Matematica e statistica” (corso di
laurea triennale in Scienze Naturali presso la Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e
Naturali all’Università di Firenze) sono più che altro quelli del capitolo R3, cioè la definizione
delle funzioni trigonometriche ‘ Ä ‘ e le loro principali proprietà. D’altro canto, come
introdurre tali concetti senza una chiara e univoca definizione di “angolo”? Ecco, a tale scopo,
il capitolo R2. E come parlare rigorosamente di “angoli” senza la nozione di “isometria”? Del
resto lo studio delle isometrie, pur essendo basilare nella cultura matematica dello scienziato,
non è ancora purtroppo uniformemente diffuso nella Scuola Secondaria. Ecco dunque
giustificato il capitolo R1, che descrive in maniera sufficientemente esauriente le isometrie
costituendo nel contempo un’applicazione semplice ma non banale del metodo delle
coordinate.
Molti risultati, specialmente nel capitolo 1, sono accompagnati dalle relative
dimostrazioni. Non sarà inutile ribadire qui che tutta la materia di questi appunti non è oggetto
dell’esame di “Matematica e statistica”, e che quindi in particolare tali dimostrazioni sono
riportate a puro titolo esercitativo (spesso, come si diceva, si tratta di facili applicazioni del
metodo delle coordinate).
Sono anche proposti alcuni esercizi, sempre nell’ottica di un utile ma non
indispensabile approfondimento; quelli più difficili sono contrassegnati con un asterisco fra
parentesi quadre ([*]).
Come sempre, sarò grato a tutti coloro, e specialmente agli studenti, che vorranno
segnalarmi qualunque difetto di questi appunti, dai più banali errori di stompa alle oscurità
nell’esposizione.
Firenze, 06.10.2008
Marco Barlotti
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina II
SOMMARIO
R1. - Le isometrie del piano
R1.1 - Introduzione . . . . . . . . . . . . .
R1.2 - Definizione di “isometria” e prime proprietà
R1.3 - Simmetrie assiali . . . . . . . . . . .
R1.4 - Vettori liberi . . . . . . . . . . . . .
R1.5 - Traslazioni . . . . . . . . . . . . .
R1.6 - Rotazioni . . . . . . . . . . . . . .
R1.7 - Antitraslazioni . . . . . . . . . . . .
R1.8 - Il teorema di struttura delle isometrie . . .
R1.9 - Congruenza. Congruenza diretta . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
pag. 1
pag. 1
pag. 5
pag. 8
pag. 12
pag. 15
pag. 18
pag. 20
pag. 21
R2. - Angoli orientati e loro misura
R2.1 - Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R2.2 - Angoli orientati e loro misura . . . . . . . . . . . . . .
R2.3 - Angoli “liberi” e loro misura . . . . . . . . . . . . . .
R2.4 - Una descrizione delle rotazioni mediante la nozione di “angolo”
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
pag.
pag.
pag.
pag.
R3. - Elementi di trigonometria piana
R3.1 - Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R3.2 - Le funzioni sin, cos, tg, cotg e le relazioni fondamentali .
R3.3 - Le funzioni trigonometriche ‘ Ä ‘ . . . . . . . .
R3.4 - Alcuni risultati “tecnici” . . . . . . . . . . . . .
R3.5 - Le equazioni delle isometrie . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
pag. 31
pag. 31
pag. 36
pag. 39
pag. 41
R4. - La “risoluzione dei triangoli”
R4.1 - Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . .
R4.2 - I teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . .
R4.3 - Caso 1: noti i tre lati
. . . . . . . . . . . .
R4.4 - Caso 2: noti due angoli e un lato . . . . . . . .
R4.5 - Caso 3: noti due lati e l’angolo “compreso” . . . .
R4.6 - Caso 4: noti due lati e l’angolo opposto a uno di essi
R4.7 - Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
pag. 43
pag. 43
pag. 45
pag. 46
pag. 47
pag. 47
pag. 48
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
26
28
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 1
R1.- LE ISOMETRIE DEL PIANO
R1.1 - Introduzione.
Nei “Fondamenti della Geometria” di Hilbert, la nozione di congruenza è assunta
come concetto primitivo per i segmenti e gli angoli ([3], cap. 1, sez. 5) ma non viene data in
generale per le figure piane: la definizione di Hilbert per la congruenza fra triangoli ([3], cap.
1, sez. 6) si estende facilmente solo ai poligoni. Negli ultimi decenni ha assunto sempre
maggiore importanza lo studio delle isometrie, che permettono di dare una definizione di
congruenza non solo più generale di quella di Hilbert ma anche più precisa (nel senso che è
possibile distinguere due tipi di congruenza, quella “diretta” e quella “inversa”); al punto che
alcuni autori hanno costruito sistemi di assiomi per la geometria piana in cui le isometrie
giocano un ruolo essenziale (si veda ad esempio l’App. 1 di [2]).
In questo capitolo forniamo le nozioni essenziali sulle isometrie (che dovrebbero
peraltro risultare note dalla Scuola Secondaria) mantenendoci all’interno del sistema
hilbertiano di assiomi. Nelle dimostrazioni si è privilegiato l’uso della Geometria Analitica,
anche se sarebbe stato sempre possibile utilizzare soltanto i più elementari teoremi di
Geometria piana; in questo modo lo studio delle isometrie fornisce un significativo esempio
della potenza e della semplicità del “metodo delle coordinate”.
Utilizzeremo le notazioni di [1]. In particolare, se f è una funzione indicheremo con
W(f) il dominio di f (cfr. [1], 4.3); se A, B sono punti dello spazio, indicheremo con dÐA, BÑ la
distanza fra A e B (cfr. [1], 10.2).
R1.2 - Definizione di “isometria” e prime proprietà.
Sia c l’insieme dei punti del piano.
Si dice isometria (del piano) una funzione 5 : c Ä c tale che WÐ5 Ñ œ c e
R1.2.F1
dÐP, QÑ œ dÐ5 ÐPÑ, 5ÐQÑÑ
a P, Q − c .
La condizione R1.2.F1 si esprime talvolta dicendo che “5 conserva le distanze”.
Come sinonimo di isometria si usa anche il termine congruenza.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 2
Teorema R1.2.1
Ogni isometria è una corrispondenza biunivoca c Ä c .
Dimostrazione Sia 5 un’isometria. Per definizione, 5 è una funzione c Ä c e
WÐ5 Ñ œ c ; per la R1.2.F1, 5 porta punti distinti in punti distinti e dunque è iniettiva. Resta da
provare che 5 è suriettiva.
Sia P' − c ; vogliamo trovare un punto P − c per il quale 5 ÐPÑ œ P'. Scegliamo due
punti del piano (distinti fra loro) P" e P# . Se 5 ÐP" Ñ œ P' oppure 5 ÐP# Ñ œ P', abbiamo
concluso la nostra ricerca. Altrimenti, consideriamo le seguenti due circonferenze: V" , di
centro 5 ÐP" Ñ e passante per P'; e V# , di centro 5 ÐP# Ñ e passante per P'.
Se V" e V# hanno in comune il solo punto P', i loro raggi <" e <# sono legati alla
distanza dei centri dalla relazionedÐ5 ÐP" Ñ, 5 ÐP# ÑÑ œ <" <# .
Poiché
dÐP" , P# Ñ œ dÐ5 ÐP" Ñ, 5ÐP# ÑÑ,
le circonferenze di centro P" e P# aventi raggio rispettivamente <" e <# hanno anch’esse in
comune un solo punto P! ; allora 5 ÐP! Ñ, che per la R1.2.F1 deve avere distanza <" da 5 ÐP" Ñ e
distanza <# da 5 ÐP# Ñ, non può essere che P'.
Non molto diversamente si ragiona se V" e V# hanno in comune un altro punto Q' oltre
a P'; i loro raggi <" e <# sono in questo caso legati alla distanza dei centri dalla relazione
dÐ5 ÐP" Ñ, 5 ÐP# ÑÑ <" <#
e poiché
dÐP" , P# Ñ œ dÐ5 ÐP" Ñ, 5ÐP# ÑÑ,
le circonferenze di centro P" e P# aventi raggio rispettivamente <" e <# hanno anch’esse in
comune esattamente due punti P! e Q!. Sempre per la R1.2.F1, 5 ÐP! Ñ e 5 ÐQ! Ñ devono
coincidere (non necessariamente nell’ordine) con P' e Q'.
Teorema R1.2.2
La composizione di due isometrie è un’isometria. Ogni isometria è invertibile, e la sua inversa
è un’isometria. L’identità idc è un’isometria.
Dimostrazione Ovvio.
Esercizio [*] R1.2.3
Indichiamo con \ l’insieme delle isometrie del piano. Usando il teorema R1.2.2 (e il teorema
4.7.4 di [1]), si provi che Ð\ , ‰ Ñ è un gruppo (cfr. [1], 8.1Ñ e, più precisamente, un sottogruppo
(cfr. [1], 8.2) del gruppo di tutte le corrispondenze biunivoche c Ä c ([1], esempio 8.1.5).
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 3
Teorema R1.2.4
Una isometria 5 trasforma
la retta AB nella retta 5 ÐAÑ5 ÐBÑ;
il segmento AB nel segmento 5 ÐAÑ5 ÐBÑ (che risulta avere la stessa misura di AB);
la semiretta di origine A contenente B nella semiretta di origine 5 ÐAÑ contenente 5 ÐBÑ;
la circonferenza di centro C e raggio < nella circonferenza di centro 5 ÐCÑ e raggio <;
il cerchio di centro C e raggio < nel cerchio di centro 5 ÐCÑ e raggio <.
Dimostrazione Ricordando che un punto P appartiene a un segmento AB se e
soltanto se
dÐA, BÑ œ dÐA, PÑ dÐP, BÑ,
è facile verificare le prime tre affermazioni. Le altre due sono immediate.
Teorema R1.2.5
Sia 5 un’isometria. Se 5 ha due punti fissi distinti A e B, tutti i punti della retta AB sono fissi
per 5 .
Dimostrazione Sia P un punto della retta AB. Sia VA la circonferenza di centro A
passante per P; e sia VB la circonferenza di centro B passante per P. Poiché i punti A, B, P
sono allineati, VA e VB sono tangenti (esternamente se P sta fra A e B, internamente in caso
contrario) e hanno in comune il solo punto P. Per il teorema R1.2.4, 5 muta in sé VA e muta in
sé VB ; dunque 5 muta in sé P, come si voleva dimostrare.
Teorema R1.2.6
Se un’isometria ha tre punti fissi non allineati, è l’identità.
Dimostrazione Sia 5 un’isometria che ha tre punti fissi non allineati A, B e C.
Vogliamo dimostrare che ogni punto del piano è fisso per 5 .
Per il teorema R1.2.5, tutti i punti della rette AB, AC e BC sono fissi per 5 . Sia P un
altro punto del piano; per P passano infinite rette del piano, delle quali una sola passa per A,
una sola passa per B e una sola passa per C: possiamo dunque scegliere una retta r passante
per P ma non passante né per A né per B né per C. La retta r può essere parallela ad al più una
delle tre rette AB, AC e BC (altrimenti i tre punti A, B, C sarebbero allineati); dunque
incontra almeno due di esse in due punti Q, R necessariamente distinti fra loro (se incontrasse
le rette, ad es., AB e BC in uno stesso punto Q, le rette AB e BC avrebbero in comune due
punti distinti B e Q, quindi coinciderebbero, quindi A, B e C sarebbero allineati contro la
nostra ipotesi). Ma allora la retta r ha due punti Q, R fissi per 5 ; per il teorema R1.2.5, tutti i
punti di r, e fra essi P, sono fissi per 5 .
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 4
Corollario R1.2.7
Se due isometrie operano allo stesso modo su tre punti non allineati, esse coincidono.
Dimostrazione Siano 5" , 5# isometrie e siano A, B e C tre punti non allineati per i
quali si ha
5" ÐAÑ œ 5# ÐAÑ, 5" ÐBÑ œ 5# ÐBÑ e 5" ÐCÑ œ 5# ÐCÑ.
Allora
Ð5#" ‰ 5" ÑÐAÑ œ A, Ð5#" ‰ 5" ÑÐBÑ œ B e Ð5#" ‰ 5" ÑÐCÑ œ C.
Ma Ð5#" ‰ 5" Ñ è un’isometria (per il teorema R1.2.2) e dunque è l’identità (per il teorema
R1.2.6). Dunque
5# œ 5# ‰ idc œ 5# ‰ Ð5#" ‰ 5" Ñ œ Ð5# ‰ 5#" Ñ ‰ 5" œ idc ‰ 5" œ 5"
come si voleva dimostrare.
Osservazione R1.2.8
Si riferisca il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico Oxy. Proveremo col teorema
R3.5.4 che ogni isometria ha equazioni della forma
B' œ +" B ," C -"
œ C' œ + B , C #
#
#
(ma, si badi bene, equazioni di questa forma non descrivono necessariamente un’isometria!).
Per il corollario R1.2.7, i coefficienti +" , ," , -" , +# , ,# , -# possono essere determinati conoscendo le immagini di tre punti non allineati. Particolarmente comodi risultano i calcoli
quando si conoscono le immagini di O ´ Ð!, !), UB ´ Ð", !Ñ e UC ´ Ð!, "Ñ; infatti l’immagine
di O ha coordinate Ð-" , -# Ñ, l’immagine di UB ha coordinate Ð+" -" , +# -# Ñ e l’immagine
di UC ha coordinate Ð," -" , ,# -# Ñ.
Teorema R1.2.9
Comunque presi due punti distinti A e B, esiste al più una isometria non identica che lascia
fissi sia A che B.
Dimostrazione Sia 5 una isometria non identica che lascia fissi A e B; proviamo
che per ogni punto P del piano 5ÐPÑ resta univocamente determinato. Se P appartiene alla
retta AB, deve essere 5ÐPÑ œ P per il teorema R1.2.5. Se P non appartiene alla retta AB, le
circonferenze VA e VB (di centro rispettivamente A e B, e passanti per P) sono secanti e hanno
in comune esattamente due punti, P e un altro punto P'. Poiché A e B sono punti fissi per 5 ,
per il teorema R1.2.4 5 muta in sé ciascuna delle due circonferenze VA e VB , pertanto deve
essere 5 ÐPÑ œ P oppure 5 ÐPÑ œ P'. Se fosse 5ÐPÑ œ P, sarebbe 5 œ idc per il teorema
R1.2.6; dunque necessariamente 5 ÐPÑ œ P' e, in particolare, 5 ÐPÑ è univocamente
determinato.
Questo risultato verrà precisato col teorema R1.3.3.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 5
R1.3 - Simmetrie assiali.
Sia r una retta del piano. Si dice simmetria assiale di asse r, e si indica con 5r ,
l’applicazione c Ä c così definita per ogni P − c :
se P − r, 5r ÐPÑ ³ P; se P Â r, sia s la retta per P ortogonale a r e sia S il punto in cui
s incontra r: 5r ÐPÑ è l’unico punto di s distinto da P che ha da S la stessa distanza di P.
Il nome “simmetria assiale” è abbastanza standard ma non è l’unico usato; fra i
sinonimi più diffusi ricordiamo: “simmetria ortogonale”, “riflessione”, “ribaltamento”.
Teorema R1.3.1
Ogni simmetria assiale è una isometria.
Dimostrazione Si consideri un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico che abbia come asse delle ordinate l’asse della simmetria data: l’asserto è di
immediata verifica.
Teorema R1.3.2
Ogni simmetria assiale lascia fissi tutti e soli i punti dell’asse e scambia fra loro i due
semipiani individuati dall’asse.
Dimostrazione Dalla definizione segue subito che una simmetria assiale lascia fissi
tutti i punti dell’asse e scambia fra loro i due semipiani individuati dall’asse. Una simmetria
assiale non può lasciare fisso alcun punto esterno all’asse perché è un’isometria (teorema
R1.3.1) e se avesse tre punti fissi non allineati sarebbe l’identità (teorema R1.2.6).
Teorema R1.3.3
Comunque presi due punti distinti A e B, esiste esattamente una isometria non identica che
lascia fissi sia A che B: la simmetria assiale che ha per asse la retta AB.
Dimostrazione Per definizione, la simmetria assiale che ha per asse la retta AB
lascia fissi sia A che B; per il teorema R1.2.9, non può esistere un’altra isometria che lascia
fissi A e B.
Teorema R1.3.4
Ogni simmetria assiale coincide con la propria inversa (e, quindi, composta con se stessa dà
l’identità).
Dimostrazione Ovvio, per come è definita una simmetria assiale.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 6
Teorema R1.3.5
Si riferisca il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico Oxy. Sia r la retta di
equazione y œ :x. La simmetria assiale 5r di asse r ha equazioni
#
Ú
Ý B' œ Ð": ÑB#:C
":#
Û
#
CÐ: "Ñ#:B
Ý
Ü C' œ
":#
Dimostrazione L’enunciato afferma in sostanza che 5r porta il punto P ´ ÐB! , C! Ñ
#
#
ÑB! #:C!
"ÑC!
nel punto 5r ÐPÑ di coordinate Ð Ð":":
, #:B!Ð:
Ñ. Si tratta di un facile esercizio di
#
":#
geometria analitica, che il lettore è invitato a svolgere.
Teorema R1.3.6
Si riferisca il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico Oxy.
La simmetria assiale che ha per asse la retta y œ ; ha equazioni
B' œ B
œ C' œ #; C
e la simmetria assiale che ha per asse la retta
xœ;
ha equazioni
B' œ #; B
œ C' œ C
Dimostrazione Si tratta di un esercizio di geometria analitica ancora più facile della
dimostrazione del teorema R1.3.5.
Esercizio R1.3.7
Si riferisca il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico Oxy. Sia r la retta di
equazione
+ x , y - œ !.
Si dimostri che la simmetria assiale 5r di asse r ha equazioni
Ú
Ð, # +# ÑB#+,C#+Ý
B' œ
+# , #
Û
#+,BÐ+# , # ÑC#,Ý
Ü C' œ
+# , #
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 7
Osservazione È ancora un esercizio di geometria analitica, privo di difficoltà
concettuali ma un po’ complesso nei calcoli. La retta per P! ´ ÐB! , C! Ñ ortogonale a r ha
equazione
,x +y +C! ,B! œ !
#
#
! +! ,e incontra r nel punto K ´ Ð , B! +,C
, + C!+,B
Ñ. Il punto 5r ÐP! Ñ può essere calcolato
+# ,#
+# ,#
come l’unico punto di r distinto di P! che ha da K la stessa distanza di P! .
Più avanti (teorema R2.4.4) vedremo che 5r ÐP! Ñ è il simmetrico di P! nella simmetria
centrale di centro K (che verrà definita in R2.4); l’asserto risulterà così facile conseguenza del
teorema R2.4.5.
Teorema R1.3.8
Siano a, r due rette. Posto r' ³ 5a ÐrÑ, si ha che
5r' œ 5a ‰ 5r ‰ 5a .
Dimostrazione Poiché 5r' (per il teorema R1.3.1) e 5a ‰ 5r ‰ 5a (per i teoremi
R1.3.1 e R1.2.2) sono isometrie, per il teorema R1.2.7 basta provare che operano allo stesso
modo su tre punti non allineati. È immediato verificare che operano allo stesso modo su tutti i
punti di r'; ma si controlla facilmente anche che operano allo stesso modo su tutti i punti di a:
si può ad esempio fissare un SdR cartesiano ortogonale monometrico nel quale a sia l’asse
delle ascisse e l’eventuale intersezione di a con r sia l’origine, ed applicare il teorema R1.3.5
oppure il teorema R1.3.6.
Teorema R1.3.9
Se a, b, c sono tre rette che passano per uno stesso punto O, si ha
5a ‰ 5b ‰ 5c œ 5c ‰ 5b ‰ 5a .
Dimostrazione Per il teorema R1.2.7 è sufficiente verificare che 5a ‰ 5b ‰ 5c e
5c ‰ 5b ‰ 5a operano allo stesso modo su tre punti non allineati. A tale scopo, si consideri un
sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico nel quale O sia l’origine e c sia
l’asse delle ordinate e si applichi il teorema R1.3.5 per calcolare le immagini di Ð!, !), Ð", !Ñ e
Ð!, "Ñ mediante 5a ‰ 5b ‰ 5c e 5c ‰ 5b ‰ 5a .
Osservazione R1.3.10
Se le tre rette a, b, c non passano per uno stesso punto, si ha in generale
5a ‰ 5b ‰ 5c Á 5c ‰ 5b ‰ 5a .
Per un semplice esempio, si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico
Oxy e si scelga come retta a l’asse x, come retta b l’asse y e come retta c la retta di
equazione x œ ". L’origine è portata da 5c ‰ 5b ‰ 5a nel punto di coordinate Ð#, !Ñ, ed è invece
portata da 5a ‰ 5b ‰ 5c nel punto di coordinate Ð #, !Ñ.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 8
R1.4 - Vettori liberi.
Richiamiamo in questa sezione le nozioni di vettore applicato e di vettore libero.
Quest’ultimo concetto risulterà prezioso nella sezione R1.5.
Siano A, B punti dello spazio. La coppia ordinata (A, B) si dice anche vettore
qp
applicato e, quando si usa questo termine, si indica col simbolo AB . Si noti che può essere
A œ B; in questo caso, il vettore applicato si dice nullo.
qp
qp
Si dice modulo del vettore applicato non nullo AB , e si indica con ² AB ² , il numero
reale positivo dÐA, BÑ che esprime la distanza fra A e B.
qp
Si dice direzione del vettore applicato non nullo AB la direzione della retta AB (cfr.
[1], 6.3.3).
qp qp
qp
Siano AB , CD vettori applicati non nulli aventi la stessa direzione; si dice che AB e
qp
CD hanno lo stesso verso se individuano lo stesso verso sulle rette AB e CD (cfr. [1], sez.
12.1).
qp
Al vettore applicato nullo AA si assegna modulo ! (in accordo col fatto che
dÐA, AÑ œ ! per ogni punto A) ma non si assegna una direzione né se ne confronta il verso
con quello di altri vettori applicati.
Due vettori applicati si dicono equipollenti se
sono entrambi nulli
oppure
sono entrambi non nulli, ed hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso.
Osservazione R1.4.1
La relazione di equipollenza è una relazione di equivalenza nell’insieme dei vettori applicati.
Dimostrazione Si tratta di una verifica pressoché immediata.
Teorema R1.4.2
Siano A, B, C, D punti dello spazio. Condizione necessaria e sufficiente affinché il vettore
qp
qp
applicato AB sia equipollente al vettore applicato CD è che il punto medio del segmento AD
coincida col punto medio del segmento BC.
qp
qp
In particolare: se A, B, C, D non sono allineati, AB è equipollente a CD se e solo se
ABDC è un parallelogramma.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 9
Dimostrazione Se i punti A, B, C, D appartengono tutti a una stessa retta il teorema
qp
è immediato; dunque possiamo supporre che le rette AB e CD siano distinte. Se AB è
qp
equipollente a CD, ABDC è un parallelogramma perché ha i lati opposti congruenti e
paralleli; dunque le sue diagonali si intersecano nel loro punto medio, come si voleva
dimostrare. Viceversa, supponiamo che il punto medio M del segmento AD sia anche punto
medio del segmento BC: allora i quattro punti A, B, C, D sono complanari, e i triangoli AMB
^ e CMD
^ sono congruenti perché
e CMD sono congruenti per il primo criterio (gli angoli AMB
opposti al vertice); ne segue che
Ð1Ñ le rette AB e CD sono parallele perché formano con AD angoli alterni interni
congruenti;
Ð2Ñ i segmenti AB e CD sono congruenti;
Ð3Ñ le coppie ordinate ÐA, BÑ e ÐC, DÑ inducono lo stesso verso sulle rette AB e CD, come
si verifica proiettando nelle direzione della retta BC;
qp
qp
e dunque AB è equipollente a CD, come si voleva dimostrare.
Teorema R1.4.3
qp
Comunque scelti i punti A, B, C, esiste uno e un solo punto D tale che il vettore applicato CD
qp
è equipollente al vettore applicato AB .
Dimostrazione Supponiamo in primo luogo che i punti A, B, C appartengano a una
stessa retta r; allora D è uno (e uno solo) dei due punti di r che hanno distanza da C uguale al
qp
modulo di AB .
Supponiamo invece ora che A, B, C non siano allineati. Sia r la retta per C parallela
alla retta AB, e sia P l’intersezione fra r e la retta per B parallela alla retta AC; sia P' il punto
qp
qp
di r simmetrico di P rispetto a C. I vettori applicati CP e CP' hanno entrambi modulo e
qp
direzione uguali al modulo e alla direzione di AB , ed hanno inoltre versi opposti: sarà dunque
D œ P oppure D œ P'; si può concludere che D œ P utilizzando il teorema R1.4.2.
Sia iA l’insieme dei vettori applicati. Si dice vettore libero una classe di equivalenza
di iA (cfr. [1], 6.2) rispetto alla relazione di equipollenza (cfr. oss. R1.4.1). Il generico vettore
libero si indica usualmente con una lettera sottolineata, ad es.: –v, w
– , a–, b
–. L’insieme dei vettori
liberi si indica con i$ .
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 10
qp
Se AB è un vettore applicato, la classe di equivalenza (rispetto alla relazione di
qp
equipollenza) a cui appartiene AB è dunque un vettore libero –v; spesso si scrive –v œ B A. Si
qp
dice che AB è un rappresentante di –v; naturalmente, ogni vettore applicato equipollente ad
qp
AB è ancora un rappresentante di –v. I vettori applicati nulli costituiscono una classe di
equivalenza, che si dice vettore (libero) nullo e si indica con !
–.
Sia –v un vettore libero non nullo. Modulo, direzione e verso di un qualunque
rappresentante di –v si dicono rispettivamente modulo, direzione e verso di –v (il modulo di –v si
indica con ² –v ² ). Al vettore nullo si assegna modulo ! ma non si assegnano direzione né
verso.
Due vettori liberi non nulli si dicono paralleli se hanno la stessa direzione; si dicono
ortogonali (o perpendicolari) se hanno direzioni ortogonali Ð1Ñ. Si conviene che il vettore
nullo sia parallelo e ortogonale ad ogni vettore libero.
Teorema R1.4.4
Comunque scelti il punto C e il vettore libero –v, esiste uno e un solo punto D tale che il vettore
qp
applicato CD rappresenta –v, ossia tale che –v œ D C.
qp
Dimostrazione Sia –v œ B A; allora il vettore applicato AB rappresenta –v. Per il
qp
teorema R1.4.3, esiste uno e un solo punto D tale che il vettore applicato CD è equipollente al
qp
qp
vettore applicato AB ; ma allora CD rappresenta –v, come si voleva.
qp
Siano –v, w
per –v, il teorema R1.4.4
– vettori liberi. Scelto un rappresentante AB
qp
garantisce l’esistenza di un punto C tale che il vettore applicato BC rappresenta w
– . Si pone
–v w
– ³ C A.
Teoremi di geometria piana che supponiamo noti dalla Scuola Secondaria consentono
di dimostrare che il vettore libero C A non dipende dalla particolare scelta dei punti A, B, C
qp
qp
(fermo restando che AB rappresenti –v e BC rappresenti w
– ) ma solo dai vettori liberi –v e w
– . Si
è cioè effettivamente definita un’operazione binaria interna (detta somma) nell’insieme i$ dei
vettori liberi Ð2Ñ. Si noti che la definizione di somma può essere scritta come
(C B) (B A) ³ C A.
1 cioè se due rette qualsiasi aventi le loro direzioni sono ortogonali. Per teoremi di geometria elementare
che supponiamo noti, il verificarsi o meno di tale condizione non dipende dalle particolari rette scelte.
2 Una situazione analoga si verifica quando si definiscono le operazioni (di somma, prodotto, ecc.) nell'
insieme : si ragiona sulle frazioni (che “rappresentano” i numeri razionali, ma non “sono” i numeri razionali)
mostrando poi che il risultato ottenuto non dipende dalle particolari frazioni considerate ma solo dai numeri
razionali che esse rappresentano.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 11
Ancora da teoremi di geometria studiati nella Scuola Secondaria segue che la somma
così definita è associativa e commutativa. È poi ovvio dalla definizione stessa che il vettore
nullo è elemento neutro per la somma e che (A B) (B A) œ !
–, cosicché per ogni vettore
libero esiste il simmetrico rispetto alla somma (che si dice opposto del vettore dato). Si ha così
(cfr. [1], 8.1)
Teorema R1.4.5
L’insieme dei vettori liberi è un gruppo commutativo rispetto alla somma.
Siano –v un vettore libero e - un numero reale. Si dice prodotto di –v per - il vettore
libero -v
– tale che:
il modulo di -–v è |-| † ² –v ² ;
e inoltre, se ² -v
– ² Á !:
- !.
la direzione di -v
– è la direzione di –v;
-–v ha lo stesso verso di –v se - ! , ha lo stesso verso dell’opposto di –v se
Teoremi di geometria che dovrebbero essere conosciuti dalla Scuola Secondaria
consentono di dimostrare che -v
– resta univocamente individuato da queste condizioni e che
valgono le seguenti proprietà:
- † Жv w
– Ñ œ -–v -w
–
a - − ‘, a –v, w
– − i$ ;
Ð- .Ñ † –v œ -–v .–v
a -, . − ‘, a –v − i$ ;
- † Ð.–vÑ œ Ð-.Ñ–v
"–v œ –v
a -, . − ‘, a –v − i$ ;
a –v − i$ .
Nel seguito rivolgeremo la nostra attenzione al sottoinsieme i# di i$ formato dai
vettori liberi paralleli a un piano fissato: i# si dice insieme dei vettori liberi del piano.
Supponiamo fissato nel piano un SdR cartesiano Oxy; siano UB ´ (", !) e UC ´ (!, ")
i punti unità degli assi coordinati (cfr. [1], 12.3). I vettori liberi UB O e UC O si indicano
rispettivamente con –i e j .
–
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 12
Teorema R1.4.6
Per ogni punto del piano P! ´ (B! , C! ) si ha
P! O œ B! –i C! j .
–
Dimostrazione Per ogni punto P! ' del piano si ha
P! O œ ÐP! P! ' Ñ ÐP! ' OÑ
per come si è definita la somma fra vettori liberi. Se P! ' è il punto di intersezione fra l’asse x e
la parallela all’asse y passante per P!, è chiaro che P! ' O e P! P! ' sono paralleli
rispettivamente a –i e j; con un po’ di attenzione, e ricordando come sono definite le coordinate
–
di P! (cfr. [1], 12.2), si verifica infine che è proprio P! ' O œ B! –i e P! P! ' œ C! j .
–
Teorema R1.4.7
Siano P" ´ (B" , C" ), P# ´ (B# , C# ) punti del piano. Si ha
P# P" œ (B# B" ) –i (C# C" ) j .
–
Dimostrazione Poiché
P# P" œ ÐP# OÑ ÐP" OÑ
(si ricordi la definizione di somma fra vettori liberi), per il teorema R1.4.6 si ha
P# P" œ ÐB# –i C# j Ñ ÐB" –i C" jÑ œ ÐB# –i B" –i Ñ ÐC# j C" jÑ œ
–
–
–
–
œ ÐB# B" Ñ –i ÐC# C" Ñ j
–
ricordando le proprietà del prodotto fra vettori liberi e numeri reali.
R1.5 - Traslazioni.
Si dice traslazione la composizione di due simmetrie assiali con gli assi paralleli.
Se gli assi sono distinti, la traslazione si dice propria; la direzione ortogonale a tali assi
si dice direzione della traslazione. Se gli assi coincidono, si ottiene idc che dunque è per
definizione una traslazione; ogni direzione si può assumere come direzione di idc ,
coerentemente col fatto che idc si può ottenere componendo con se stessa qualsiasi simmetria
assiale. Due traslazioni, o una traslazione e una retta, si dicono parallele (oppure ortogonali) se
le loro direzioni sono parallele (oppure, rispettivamente, ortogonali).
Per i teoremi R1.3.1 e R1.2.2, ogni traslazione è un’isometria.
Per ogni vettore libero del piano –v, indichiamo con 7–v l’applicazione c Ä c che porta
ogni punto P del piano nel punto P' per il quale si ha P' P œ –v Ðun tale punto P' esiste ed è
unico per il teorema R1.4.4Ñ. Proveremo che le traslazioni sono precisamente le applicazioni
7–v con –v vettore libero del piano.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 13
Teorema R1.5.1
Siano a, b rette parallele. Sia r una retta ortogonale ad a e b, e siano A, B i punti in cui r
incontra rispettivamente a e b. Si ha 5b ‰ 5a œ 7#(BA) .
Dimostrazione Si consideri un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel
quale la retta r sia l’asse delle ascisse e la retta a sia l’asse delle ordinate; la retta b avrà
equazione x œ B! per un opportuno numero reale B! . Sarà inoltre A ´ Ð!, !Ñ, B ´ ÐB! , !Ñ e
B A œ B! –i .
Per un punto P ´ Ð!, " Ñ si ha 5a ÐPÑ ´ Ð !, " Ñ e
P' ³ 5b Ð5a ÐP! ÑÑ ´ Ð#B! Ð !Ñ, " Ñ œ Ð#B! !, " Ñ
cosicché P' P œ #B! –i œ #ÐB AÑ.
Teorema R1.5.2
Sia –v un vettore libero del piano. Siano A, B due punti qualsiasi del piano tali che
B A œ "# –v, e siano a, b le rette passanti rispettivamente per A e B ortogonali a –v. Allora
7–v œ 5b ‰ 5a .
In particolare, 7–v è una traslazione che ha la stessa direzione di –v.
Dimostrazione Detta r la retta AB, per costruzione r è ortogonale sia ad a che a b e
le incontra rispettivamente in A e in B. L’asserto segue dunque immediatamente dal teorema
R1.5.1.
Teorema R1.5.3
Ogni traslazione si può ottenere in infiniti modi come composizione di due simmetrie assiali; e
l’asse della prima simmetria assiale (oppure l’asse della seconda simmetria assiale) può essere
arbitrariamente scelto nel fascio improprio delle rette ortogonali alla traslazione.
Dimostrazione Per il teorema R1.5.1, ogni traslazione è della forma 7–v con –v
opportuno vettore libero del piano avente la stessa direzione. Sia a una retta ortogonale a –v, e
sia A un punto di a. Per il teorema R1.4.4, esiste un punto B tale che B A œ "# –v; detta b la
retta per B parallela ad a, per il teorema R1.5.1 è
5b ‰ 5a œ 7–v .
Se invece si sceglie B in modo che sia A B œ "# –v, detta ancora b la retta per B parallela ad
a, sempre per il teorema R1.5.1 si ha
5a ‰ 5b œ 7–v .
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 14
Teorema R1.5.4
Una traslazione propria non ha punti fissi.
Dimostrazione Sia 7 una traslazione; supponiamo che 7 abbia un punto fisso P e
proviamo che 7 œ idc .
Per il teorema R1.5.3, possiamo supporre che sia 7 œ 5b ‰ 5a con a, b rette parallele e
con la retta a passante per P. Allora P œ 7 ÐPÑ œ 5b Ð5a ÐPÑÑ œ 5b ÐPÑ, cioè P è punto fisso per
5b . Ricordando il teorema R1.3.2, deve essere P − b. Ma allora le rette parallele a, b, avendo
il punto P in comune, coincidono; e dunque 7 œ 5b ‰ 5a œ 5a ‰ 5a œ idc (si ricordi il teorema
R1.3.4).
Teorema R1.5.5
La composizione di due traslazioni è una traslazione.
Dimostrazione Per il teorema R1.5.1, ogni traslazione è della forma 7–v con –v
opportuno vettore libero del piano avente la stessa direzione; ed è immediato verificare che
7–v ‰ 7w– œ 7Ðw– –vÑ
qualunque siano i vettori liberi –v e w
–.
Esercizio [*] R1.5.6
Siano: \ l’insieme delle isometrie, g l’insieme delle traslazioni e i# l’insieme dei vettori
liberi del piano. Si precisi quanto si è visto nella dimostrazione del teorema R1.5.5, provando
che
Ðg , ‰ Ñ è un sottogruppo di Ð\ , ‰ Ñ;
l’applicazione che al vettore libero –v associa 7–v è un isomorfismo tra i gruppi Ði# , Ñ e
Ðg , ‰ Ñ .
Si ricordino le definizioni di 8.2 e 8.3 in [1].
Teorema R1.5.7
Si riferisca il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico Oxy, e sia 7 una traslazione.
Se 7 porta l’origine nel punto di coordinate Ð!, " Ñ, 7 ha equazioni
B' œ B !
œ C' œ C "
Dimostrazione Per il teorema R1.5.1, ogni traslazione è della forma 7–v con –v
vettore libero del piano tale che –v œ 7 ÐPÑ P per ogni punto P del piano (e, in particolare,
–v œ 7 ÐOÑ O); dunque, nel nostro caso è –v œ ! –i " –j (cfr. teorema R1.4.6) e l’asserto
segue dal teorema R1.4.7.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 15
R1.6 - Rotazioni.
Si dice rotazione la composizione di due simmetrie assiali con gli assi incidenti.
Se gli assi sono distinti, la rotazione si dice propria; l’unico punto comune a tali assi si
dice centro della rotazione. Se gli assi coincidono, si ottiene idc che dunque è per definizione
una rotazione; ogni punto si può assumere come centro di idc , coerentemente col fatto che idc
si può ottenere componendo con se stessa qualsiasi simmetria assiale.
Teorema R1.6.1
Sia C un punto del piano. Ogni rotazione di centro C si può ottenere in infiniti modi come
composizione di due simmetrie assiali; e l’asse della prima simmetria assiale (oppure l’asse
della seconda simmetria assiale) può essere arbitrariamente scelto nel fascio delle rette
passanti per C.
Dimostrazione Sia 4 una rotazione di centro C. Vogliamo provare che per ogni
retta a! passante per C si possono trovare: una retta b! tale che 4 œ 5b! ‰ 5a! ; e una retta b"
tale che 4 œ 5a! ‰ 5b" .
Sarà, per definizione, 4 œ 5b ‰ 5a con a e b rette passanti per C. Sia dunque a! una
retta passante per C, sia r la bisettrice dell’angolo individuato da a e a! , e poniamo
b! ³ Ð5r ‰ 5a ÑÐbÑ. Vogliamo provare che 5b ‰ 5a œ 5b! ‰ 5a! .
Per fissare le idee, poniamo b' ³ 5a (bÑ, cosicché b! œ Ð5r ÑÐb'Ñ. Per il teorema
R1.3.8,
5b! œ 5r ‰ 5b' ‰ 5r e 5b' œ 5a ‰ 5b ‰ 5a .
Ancora per il teorema R1.3.8, essendo 5r ÐaÑ œ a! , si ha che
5a! œ 5r ‰ 5a ‰ 5r .
Dunque
5b! ‰ 5a! œ Ð5r ‰ Ð5a ‰ 5b ‰ 5a Ñ ‰ 5r Ñ ‰ Ð5r ‰ 5a ‰ 5r Ñ œ 5r ‰ 5a ‰ 5b ‰ 5r .
Poiché le tre rette r, a, b passano tutte per il punto C, possiamo applicare il teorema
R1.3.9 e concludere che
5b! ‰ 5a! œ 5r ‰ Ð5a ‰ 5b ‰ 5r Ñ œ 5r ‰ Ð5r ‰ 5b ‰ 5a Ñ œ 5b ‰ 5a .
Se invece r è la bisettrice dell’angolo individuato da b e a! , posto b! ³ Ð5r ‰ 5b ÑÐaÑ,
si vede allo stesso modo che
5b ‰ 5a œ 5a! ‰ 5b! .
Osservazione R1.6.2
Col teorema R2.4.2 potremo precisare l’enunciato del teorema R1.6.1 utilizzando una
caratterizzazione delle rotazioni mediante la nozione di “angolo orientato libero”.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 16
Teorema R1.6.3
Una rotazione propria ha il centro come unico punto fisso.
Dimostrazione Sia 4 una rotazione di centro C. Sarà, per definizione, 4 œ 5b ‰ 5a
con a e b rette passanti per C. Dunque
4 ÐCÑ œ Ð5b ‰ 5a ÑÐCÑ œ 5b Ð5a ÐCÑÑ œ 5b ÐCÑ œ C
cioè C è punto fisso per 4 . Supponiamo che 4 abbia un altro punto fisso P, distinto da C, e
proviamo che 4 è l’identità.
Per il teorema R1.6.1, possiamo supporre che sia 4 œ 5b! ‰ 5a! dove a! è la retta CP e
b! è una retta opportuna; ne segue che
P œ 4 ÐPÑ œ 5b! Ð5a! ÐPÑÑ œ 5b! ÐPÑ
e dunque P − b! (teorema R1.3.2). Ma allora le rette a! e b! hanno in comune i due punti
distinti C e P, e dunque coincidono; pertanto
4 œ 5b! ‰ 5a! œ 5a! ‰ 5a! œ idc
come si voleva.
Teorema R1.6.4
La composizione di due rotazioni che hanno lo stesso centro C è una rotazione di centro C
anch’essa. La composizione di due rotazioni che hanno centri distinti è una rotazione oppure
una traslazione.
Dimostrazione Siano 4" e 4# due rotazioni che hanno lo stesso centro C. Scelta una
qualsiasi retta b passante per C, per il teorema R1.6.1, possiamo supporre che sia
4" œ 5b ‰ 5a
e
4# œ 5c ‰ 5b
con a e c rette opportune passanti per C.
Allora
4# ‰ 4" œ Ð5c ‰ 5b Ñ ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ œ 5c ‰ Ð5b ‰ 5b Ñ ‰ 5a œ 5c ‰ 5a
con le rette a e c passanti per C; dunque 4# ‰ 4" è una rotazione di centro C.
Siano ora 4" e 4# due rotazioni che hanno centri distinti C" e C# rispettivamente. Detta
b la retta individuata da C" e C# , per il teorema R1.6.1 possiamo supporre che sia
4" œ 5b ‰ 5a
e
4# œ 5c ‰ 5b
con a e c rette opportune.
Allora
4# ‰ 4" œ Ð5c ‰ 5b Ñ ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ œ 5c ‰ Ð5b ‰ 5b Ñ ‰ 5a œ 5c ‰ 5a
ma non possiamo stabilire se le rette a e c sono incidenti oppure parallele; dunque 4# ‰ 4" è
una rotazione oppure una traslazione.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 17
Teorema R1.6.5
La composizione di una rotazione propria ed una traslazione propria (in qualsiasi ordine) è una
rotazione propria.
Dimostrazione Siano 4 una rotazione di centro C e 7 una traslazione. Detta b la
retta passante per C ortogonale a 7 , per i teoremi R1.5.3 e R1.6.1 possiamo supporre che sia
4 œ 5b ‰ 5a
e
7 œ 5c ‰ 5b
con a e c rette opportune.
Allora
7 ‰ 4 œ Ð5c ‰ 5b Ñ ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ œ 5c ‰ Ð5b ‰ 5b Ñ ‰ 5a œ 5c ‰ 5a
e certamente le rette a e c sono incidenti e distinte (se fossero parallele, sarebbero parallele
anche a b e 4 sarebbe una traslazione); dunque 7 ‰ 4 è una rotazione propria. Possiamo però
anche supporre, sempre per i teoremi R1.5.3 e R1.6.1, che sia
4 œ 5c' ‰ 5b
e
7 œ 5b ‰ 5a'
con a' e c' rette opportune.
Allora
4 ‰ 7 œ Ð5c' ‰ 5b Ñ ‰ Ð5b ‰ 5a' Ñ œ 5c' ‰ Ð5b ‰ 5b Ñ ‰ 5a' œ 5c' ‰ 5a'
e anche le rette a' e c' devono essere incidenti e distinte; dunque anche 4 ‰ 7 è una rotazione
propria.
Teorema R1.6.6
Sia P un punto del piano. Ogni rotazione si può esprimere come composizione di una
rotazione di centro P e di una traslazione.
Dimostrazione Sia 4 una rotazione, sia C il suo centro e sia a la retta CP. Per il
teorema R1.6.1, esiste una retta b passante per C tale che 4 œ 5b ‰ 5a .
Sia b' la retta per P parallela a b; allora, ricordando il teorema R1.3.4, si ha che
4 œ 5b ‰ 5a œ 5b ‰ idc ‰ 5a œ 5b ‰ Ð5b' ‰ 5b' Ñ ‰ 5a œ Ð5b ‰ 5b' Ñ ‰ Ð5b' ‰ 5a Ñ
e, per definizione, 5b' ‰ 5a è una rotazione di centro P e 5b ‰ 5b' è una traslazione.
Osservazione R1.6.7
Si riferisca il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico Oxy; per il teorema R1.6.6,
ogni rotazione si può esprimere come composizione di una rotazione di centro O e di una
opportuna traslazione. Per scrivere le equazioni di una rotazione di centro O è necessario
utilizzare sia la caratterizzazione delle rotazioni mediante la nozione di “angolo orientato
libero” (che verrà data nella sez. R2.4) sia le funzioni sin e cos (che saranno introdotte nella
sez. R3.2). Torneremo perciò su questo argomento nella sez. R3.5.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 18
R1.7 - Antitraslazioni.
Si dice antitraslazione (o glissosimmetria) la composizione di una traslazione (propria)
con una simmetria assiale di asse non ortogonale alla traslazione. Dunque, per ogni
antitraslazione * esistono tre rette a, b e r tali che
* œ 5r ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ
e le rette a, b sono distinte, parallele fra loro e non parallele a r.
Teorema R1.7.1
La composizione di tre simmetrie assiali è:
una simmetria assiale, se i tre assi hanno un punto in comune oppure sono tutti
paralleli fra loro;
una antitraslazione, altrimenti.
Dimostrazione Siano 5a , 5b e 5c le simmetrie assiali date, di assi rispettivamente
a, b e c.
Supponiamo in primo luogo che le rette a, b e c siano parallele; allora 5b ‰ 5a è una
traslazione e quindi per il teorema R1.5.3 si può esprimere nella forma 5c ‰ 5a' con a'
opportunamente scelta nel fascio improprio delle rette parallele ad a, b e c. Dunque in questo
primo caso 5c ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ œ 5c ‰ Ð5c ‰ 5a' Ñ œ Ð5c ‰ 5c Ñ ‰ 5a' œ 5a' come si voleva.
Supponiamo poi che le rette a, b e c abbiano in comune un punto C; allora 5b ‰ 5a è
una rotazione di centro C e quindi per il teorema R1.6.1 si può esprimere nella forma 5c ‰ 5a'
con a' opportunamente scelta. Dunque
5c ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ œ 5c ‰ Ð5c ‰ 5a' Ñ œ Ð5c ‰ 5c Ñ ‰ 5a' œ 5a'
come si voleva.
Supponiamo infine che le rette a, b e c non siano tutte parallele fra loro e non abbiano
alcun punto in comune. Se a e b sono parallele, 5c ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ è una antitraslazione per
definizione. Se invece a e b non sono parallele, 5b ‰ 5a è una rotazione; per il teorema R1.6.1,
si può scrivere
5b ‰ 5a œ 5b' ‰ 5a'
con b' non parallela a c e a' opportunamente scelta;
ma allora 5c ‰ 5b' è una rotazione: ancora per il teorema R1.6.1, si può scrivere
5c ‰ 5b' œ 5c' ‰ 5b''
con c' opportunamente scelta e b'' parallela ad a'. Dunque
5c ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ œ 5c ‰ Ð5b' ‰ 5a' Ñ œ Ð5c ‰ 5b' Ñ ‰ 5a' œ Ð5c' ‰ 5b'' Ñ ‰ 5a' œ 5c' ‰ Ð5b'' ‰ 5a' Ñ
è la composizione della traslazione 5b'' ‰ 5a' con la simmetria assiale 5c' .
Resta da provare che 5b'' ‰ 5a' non è l’identità. In effetti, se fosse
si avrebbe 5c ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ œ 5c' da cui 5b ‰ 5a œ 5c ‰ 5c' .
5b'' ‰ 5a' œ idc
Stiamo però considerando il caso in cui le rette a e b hanno in comune esattamente un
punto C; dunque 5b ‰ 5a è una rotazione propria di centro C. Allora anche 5c ‰ 5c' sarebbe
una rotazione propria di centro C, e quindi in particolare la retta c passerebbe per C: assurdo,
perché abbiamo supposto che le tre rette a, b e c non abbiano alcun punto in comune.
Dunque 5b'' ‰ 5a' non è l’identità e si è così completamente dimostrato che
5c ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ è un’antitraslazione.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 19
Teorema R1.7.2
Una antitraslazione non ha punti fissi.
Dimostrazione Sia * un’antitraslazione, e supponiamo per assurdo che esista un
punto P fisso per *.
Per definizione, * è composizione di una traslazione 7 con una simmetria assiale 5r il
cui asse r non è ortogonale a 7 ; per il teorema R1.5.3, si può supporre che sia 7 œ 5b ‰ 5a con
la retta a passante per P. Allora
P œ *ÐPÑ œ Ð5r ‰ 5b ÑÐ5a ÐPÑÑ œ Ð5r ‰ 5b ÑÐPÑ
ossia P è
punto fisso per la rotazione 5r ‰ 5b .
Per il teorema R1.6.3, P è il centro della rotazione 5r ‰ 5b e dunque appartiene a b. Ma
ciò è assurdo, perché per costruzione P appartiene ad a, e le rette a e b sono per ipotesi
parallele.
Teorema R1.7.3
Sia C un punto fissato del piano. Ogni antitraslazione si può esprimere come composizione di
una opportuna rotazione (propria) di centro C e di una opportuna simmetria assiale il cui asse
non passa per C.
Dimostrazione Sia * l’antitraslazione data; per definizione, esistono tre rette a, b e
r tali che
* œ 5r ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ
e le rette a, b sono distinte, parallele fra loro e non parallele a r. Per il teorema R1.5.3, detta a'
la retta parallela ad a passante per C, esiste una retta b' parallela a b tale che
5b' ‰ 5a' œ 5b ‰ 5a .
Poiché r non è parallela a b, non è nemmeno parallela a b'. Sia P il punto comune alle rette r e
b', e sia b'' la retta PC; per il teorema R1.6.1, esiste una retta r' tale che
5r' ‰ 5b'' œ 5r ‰ 5b' .
Le rette a' e b'' hanno in comune il punto C; inoltre,
* œ 5r ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ œ 5r ‰ Ð5b' ‰ 5a' Ñ œ Ð5r ‰ 5b' Ñ ‰ 5a' œ Ð5r' ‰ 5b'' Ñ ‰ 5a' œ 5r' ‰ Ð5b'' ‰ 5a' Ñ.
Abbiamo così espresso * come composizione della rotazione 5b'' ‰ 5a' di centro C e
della simmetria assiale 5r' . Si noti che r' non passa per C: in tal caso infatti, per il teorema
R1.7.1, 5r' ‰ Ð5b'' ‰ 5a' Ñ (cioè *Ñ sarebbe una simmetria assiale e non un’antitraslazione.
Esercizio [*] R1.7.4
Prendendo esempio dalla dimostrazione del teorema R1.7.3, si provi che:
Fissato un punto C del piano, ogni antitraslazione si può esprimere come composizione
di una opportuna simmetria assiale il cui asse non passa per C e di una opportuna rotazione
(propria) di centro C.
Ogni antitraslazione si può esprimere come composizione di una opportuna simmetria
assiale e di una opportuna traslazione (propria) non ortogonale all’asse.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 20
Teorema R1.7.5
Sia r una retta fissata nel piano. Ogni simmetria assiale e ogni antitraslazione si può esprimere
come composizione della simmetria assiale 5r di asse r e di una opportuna rotazione o
traslazione.
Dimostrazione Sia a una retta, e sia 5a la simmetria assiale di asse a. Posto
a' ³ 5r ÐaÑ, per il teorema R1.3.8 si ha che 5a œ 5r ‰ 5a' ‰ 5r e dunque 5a è composizione
di 5r e della rotazione (o traslazione) 5r ‰ 5a' .
Sia poi * un’antitraslazione; per definizione, esistono tre rette a, b e c tali che
* œ 5c ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ. Si ha
* œ * ‰ idc œ * ‰ Ð5r ‰ 5r Ñ œ 5c ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ ‰ Ð5r ‰ 5r Ñ œ Ð5c ‰ 5b Ñ ‰ Ð5a ‰ 5r Ñ ‰ 5r
e
Ð5c ‰ 5b Ñ ‰ Ð5a ‰ 5r Ñ
R1.6.4 e R1.6.5.
è una rotazione (oppure una traslazione) per i teoremi R1.5.5,
Osservazione R1.7.6
Si fissino una retta r e un punto P. Per i teoremi R1.7.5 e R1.6.6, ogni antitraslazione si può
esprimere come composizione della simmetria assiale 5r di asse r, di una opportuna rotazione
(eventualmente idc ) di centro P e di un’opportuna traslazione. In particolare, fissato un SdR
cartesiano ortogonale monometrico Oxy, ogni antitraslazione si può esprimere come
composizione della simmetria assiale che ha per asse l’asse x, di un’opportuna rotazione che
ha per centro l’origine e di un’opportuna traslazione. Come preannunciato nell’oss. R1.6.7,
torneremo su questo argomento nella sez. R3.5.
R1.8 - Il teorema di struttura delle isometrie.
Teorema R1.8.1
Se una isometria ha tre punti fissi non allineati, è l’identità. Se una isometria non identica ha
due punti fissi distinti A, B, è la simmetria assiale che ha per asse la retta AB. Se una
isometria ha esattamente un punto fisso C, è una rotazione di centro C. Se una isometria non
ha punti fissi, è una traslazione oppure un’antitraslazione.
In particolare, ogni isometria si può ottenere come composizione di al più tre simmetrie
assiali.
Dimostrazione La prima affermazione è stata provata col teorema R1.2.6; la
seconda col teorema R1.3.3.
Sia 5 un’isometria che ha un solo punto fisso C. Sia P un punto del piano distinto da
C, sia P' ³ 5 ÐPÑ e sia a l’asse del segmento PP'.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 21
La simmetria assiale 5a porta P in P' e porta P' in P; inoltre C, essendo equidistante da
P e P', appartiene ad a, e quindi 5a ÐCÑ œ C. L’isometria 5 ‰ 5a muta dunque in sé sia C che
P'; detta b la retta individuata da C e P', deve essere 5 ‰ 5a œ idc oppure 5 ‰ 5a œ 5b .
La prima ipotesi va esclusa, perché ne seguirebbe che
5a œ idc ‰ 5a œ Ð5 ‰ 5a Ñ ‰ 5a œ 5 ‰ Ð5a ‰ 5a Ñ œ 5
assurdo perché per ipotesi 5 ha un solo punto fisso mentre 5a muta in sé ogni punto della retta
a. Dunque 5 ‰ 5a œ 5b da cui infine
5 œ 5 ‰ idc œ 5 ‰ Ð5a ‰ 5a Ñ œ Ð5 ‰ 5a Ñ ‰ 5a œ 5b ‰ 5a
cioé 5 è una rotazione di centro C.
Sia infine 5 un’isometria senza punti fissi. Scelto un punto P del piano, sia P' ³ 5 ÐPÑ
e sia a l’asse del segmento PP'. La simmetria assiale 5a porta P in P' e porta P' in P; perciò
l’isometria 5 ‰ 5a muta in sé P' e dunque ha almeno un punto fisso.
Se 5 ‰ 5a avesse tre punti fissi non allineati sarebbe l’identità e dunque
5a œ idc ‰ 5a œ Ð5 ‰ 5a Ñ ‰ 5a œ 5 ‰ Ð5a ‰ 5a Ñ œ 5 ‰ idc œ 5
assurdo, perché per ipotesi 5 non ha punti fissi mentre 5a muta in sé ogni punto della retta a.
Se 5 ‰ 5a ha due punti fissi distinti che individuano una retta b, è 5 ‰ 5a œ 5b da cui
5 œ 5 ‰ idc œ 5 ‰ Ð5a ‰ 5a Ñ œ Ð5 ‰ 5a Ñ ‰ 5a œ 5b ‰ 5a .
In questo caso, pertanto, 5 è una rotazione oppure una traslazione; ma non può essere una
rotazione, poiché per ipotesi non ha punti fissi.
Resta da considerare il caso in cui 5 ‰ 5a ha esattamente un punto fisso C. Allora, per
quanto già dimostrato, 5 ‰ 5a è una rotazione di centro C; dunque esistono due rette b, c
passanti per C tali che
5 ‰ 5a œ 5c ‰ 5b
da cui 5 œ 5 ‰ idc œ 5 ‰ Ð5a ‰ 5a Ñ œ Ð5 ‰ 5a Ñ ‰ 5a œ Ð5c ‰ 5b Ñ ‰ 5a œ 5c ‰ Ð5b ‰ 5a Ñ.
Per il teorema R1.7.1, 5 è una simmetria assiale oppure un’antitraslazione; ma non può essere
una simmetria assiale, poiché per ipotesi non ha punti fissi.
R1.9 - Congruenza. Congruenza diretta.
Per il teorema R1.8.1, le isometrie si possono dividere in due classi. Si dicono
isometrie pari (oppure isometrie dirette) le isometrie che si ottengono componendo un numero
pari di simmetrie assiali, cioè (tenendo conto anche dei teoremi R1.5.5, R1.6.4 e R1.6.5):
l’identità, le traslazioni e le rotazioni. Si dicono isometrie dispari (oppure isometrie inverse) le
isometrie che si ottengono componendo un numero dispari di simmetrie assiali, cioè (tenendo
conto anche del teorema R1.7.1): le simmetrie assiali e le antitraslazioni.
Osservazione R1.9.1
La composizione di isometrie pari è ancora una isometria pari; l’inversa di una isometria pari
è una isometria pari. Indichiamo con \ l’insieme delle isometrie e con \# l’insieme delle
isometrie pari: Ð\# , ‰ Ñ è un sottogruppo di Ð\ , ‰ Ñ.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 22
Due insiemi A, B di punti del piano si dicono congruenti, e si scrive A ´ B, se esiste
una isometria che trasforma A in B; si dicono direttamente congruenti se esiste una isometria
pari che trasforma A in B. Se A e B sono congruenti, si dice anche che “coincidono a meno di
isometrie”; se A e B sono direttamente congruenti, si dice anche che “coincidono a meno di
isometrie pari”.
Teorema R1.9.2
La relazione ´ (di “congruenza”) è una relazione di equivalenza nell’insieme dei
sottoinsiemi di c .
Dimostrazione In effetti:
´ è riflessiva: per il teorema R1.2.2, idc è un’isometria; dunque per ogni A © c
si ha A ´ A perché idc (A) œ A;
´ è simmetrica: se A ´ B, esiste 5 − \ tale che 5(A) œ B; per il teorema R1.2.2,
l’applicazione inversa 5 " di 5 è un’isometria; poiché 5 " (B) œ 5 " (5 (A)) œ A si può
concludere che B ´ A;
´ è transitiva: sia infatti A ´ B e B ´ C; allora esistono 5" , 5# − \ tali che
5" (A) œ B e 5# (B) œ C; per il teorema R1.2.2, 5# ‰ 5" è un’isometria; dunque
(5# ‰ 5" )(A) œ 5# (5" (A)) œ 5# (B) œ C e pertanto A ´ C.
Teorema R1.9.3
La relazione di “congruenza diretta” è una relazione di equivalenza nell’insieme dei
sottoinsiemi di c .
Dimostrazione La dimostrazione è del tutto analoga a quella del teorema R1.9.2, e
si lascia per esercizio.
Considerare anziché una data figura geometrica la classe di congruenza a cui essa
appartiene significa studiare le proprietà di quella figura che non dipendono dalla sua
particolare collocazione del piano: si identificano cioè con la figura data tutte quelle che si
possono ottenere a partire da essa mediante isometrie; si dice talvolta in tal caso che si ragiona
“a meno di isometrie” o anche “a meno di congruenze”.
Considerare anziché una data figura geometrica la classe di congruenza diretta a cui
essa appartiene significa studiare le proprietà di quella figura che non cambiano se la figura
viene sottoposta a rotazioni o traslazioni: si identificano cioè con la figura data tutte quelle che
si possono ottenere a partire da essa mediante isometrie pari; si dice talvolta in tal caso che si
ragiona “a meno di isometrie pari” o anche “a meno di congruenze dirette”.
Due insiemi A, B di punti del piano si dicono inversamente congruenti se esiste una
isometria dispari che trasforma A in B. Si noti che la relazione di “congruenza inversa” non è
una relazione di equivalenza: infatti è simmetrica ma non è né riflessiva né transitiva.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 23
R2.- ANGOLI ORIENTATI E LORO MISURA
R2.1 - Introduzione.
In questo capitolo introduciamo la nozione di “angolo orientato”, che si affianca a (e
potrebbe anche sostituire) quella hilbertiana di “angolo” (cfr. [3], cap. 1, sez. 5). Per molte
questioni, e certamente per lo studio della Trigonometria piana, sarà di interesse anche il
concetto di “angolo (orientato) libero” (attenzione! questo nome non è standard), che
presentiamo in R2.3 utilizzando le idee di R1.9.
R2.2 - Angoli orientati e loro misura.
Siano r, s due semirette aventi l’origine in comune. Si dice angolo orientato
^ la coppia ordinata (r, s). Le
individuato da r e s (in questo ordine!) e si indica con rs
^ ; la loro comune origine si dice vertice di
semirette r, s si dicono lati dell’angolo orientato rs
^ si dice angolo nullo (o, anche, angolo giro); se r
^ . Se r coincide con s, l’angolo orientato rr
rs
^ si dice angolo piatto
e s sono semirette opposte individuate dal vertice su di una retta, rs
^ è in questo caso un angolo piatto). Qualunque siano r e s, gli angoli
(naturalmente, anche sr
^ e sr
^ si dicono opposti; si scrive anche sr
^ œ rs
^.
orientati rs
Siano A, B, C punti distinti del piano. Siano r, s le semirette individuate sulle rette AB
e AC dalle condizioni di avere vertice in A e contenere i punti B e C rispettivamente; l’angolo
^ .
orientato individuato da r e s si indica anche con la scrittura BAC
^ un angolo orientato non nullo né piatto di vertice V, e siano R, S punti distinti
Sia rs
da V scelti rispettivamente su r e su s. Poiché i tre punti V, R e S non sono allineati, si può
stabilire (come fissato in [1], 12.1.3) se la terna (V, R, S) è orientata positivamente o
negativamente. Si può dimostrare che l’essere la terna (V, R, S) positivamente o
negativamente orientata non dipende dalla particolare scelta di R e S ma solo dalle semirette r
^ si dice convesso se la terna
e s e dall’ordine in cui si considerano. L’angolo orientato rs
(V, R, S) è orientata positivamente, si dice invece concavo se la terna (V, R, S) è orientata
^ è convesso se e soltanto se l’angolo opposto sr
^ è
negativamente. Un angolo orientato rs
^ è convesso.
concavo; è concavo se e soltanto se l’angolo opposto sr
Siano r, s due semirette aventi l’origine in comune. Si conviene di identificare
l’angolo (“non orientato”) individuato da r e s (nel senso di [3]) con quello tra i due angoli
^ , sr
^ che è convesso. Pertanto tutte le definizioni, i teoremi ecc. della geometria
orientati rs
euclidea nella assiomatizzazione di Hilbert (o in assiomatizzazioni equivalenti) possono essere
“automaticamente” tradotti utilizzando la nozione di “angolo orientato” in luogo della nozione
di “angolo”.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 24
Nel seguito scriveremo sempre “angolo” anziché “angolo orientato”.
^ e uv
^ e sv
^ sono angoli
^ si dicono consecutivi se s œ u ; se rs
Due angoli rs
^ si dice loro somma e si scrive rv
^ œ rs
^ sv
^ . Due angoli opposti sono
consecutivi, l’angolo rv
^ e uv
^ si dicono adiacenti se
consecutivi; la loro somma è un angolo nullo. Due angoli rs
s œ u e inoltre r, v sono semirette opposte. Due angoli adiacenti sono consecutivi, e la loro
somma è un angolo piatto.
^ un angolo. Si dice regione angolare associata ad rs
^ l’insieme di punti del piano
Sia rs
^ è un angolo nullo, la regione angolare ad esso associata è l’insieme
definito come segue: se rs
^ è un angolo convesso, la regione angolare ad esso associata è l’intersezione tra il
vuoto; se rs
^ è
semipiano individuato da r contenente s e il semipiano individuato da s contenente r ; se rs
un angolo piatto, la regione angolare ad esso associata è quello tra i due semipiani individuati
da r e s che possiede la seguente proprietà: per ogni punto R di r, per ogni punto P interno al
^ è
semipiano e per ogni punto S di s la terna ordinata ÐR, P, SÑ è positivamente orientata; se rs
un angolo concavo, la regione angolare ad esso associata è l’unione tra il semipiano
individuato da r non contenente s e il semipiano individuato da s non contenente r. Talvolta,
^ viene anch’essa
con abuso di notazione e di linguaggio, la regione angolare associata ad rs
^ e detta “angolo individuato da r e s”.
indicata con rs
^ e uv
^ angoli, e sia 5 un’isometria. Se 5 (r) œ u e 5 (s) œ v , si dice che 5
Siano rs
^ in uv
^ . Se esiste una isometria che
trasforma (o anche, più confidenzialmente, porta) rs
^ in uv
^ è congruente a uv
^ , si dice che rs
^ . Se esiste una isometria pari che
trasforma rs
^ in uv
^ è direttamente congruente a uv
^ , si dice che rs
^ . È facile verificare che
trasforma rs
ciascuna delle due relazioni “essere congruente a” e “essere direttamente congruente a” è una
relazione di equivalenza nell’insieme degli angoli.
Angoli opposti sono congruenti, ma non direttamente congruenti (si corrispondono
nella simmetria assiale che ha per asse la bisettrice degli angoli). Angoli opposti al vertice
sono direttamente congruenti (vedremo nel teorema R2.4.4 che si corrispondono in una
rotazione).
Teorema R2.2.1
^ è
Per ogni angolo ! e per ogni semiretta r esiste esattamente una semiretta s tale che rs
direttamente congruente ad !.
Dimostrazione Sarà ! œ r"^s" con r" , s" semirette che hanno in comune l’origine
O" . Sia O l’origine della semiretta r. Posto –v ³ "# ÐO O" Ñ, la traslazione 7–v porta O" in O.
Sia r# ³ 7–v Ðr" Ñ, s# ³ 7–v Ðs" Ñ; allora 7–v porta ! in r#^s# . Siano ora: b la bisettrice dell’angolo
r^
# r ; 5r la simmetria assiale di asse r# ; 5b la simmetria assiale di asse b. La rotazione 5b ‰ 5r
#
#
porta r# in r.
^.
Posto s ³ Ð5b ‰ 5r# ÑÐs# Ñ, è immediato che l’isometria pari Ð5b ‰ 5r# Ñ ‰ 7–v porta ! in rs
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 25
Siano ! e " angoli. Per il teorema R2.2.1, esiste (ed è unico) un angolo " ' consecutivo
a ! e direttamente congruente a " . Se ! " ' è un angolo retto, ! e " si dicono angoli
complementari; se ! " ' è un angolo piatto, ! e " si dicono angoli supplementari; se ! " '
è un angolo nullo, ! e " si dicono angoli esplementari.
Angoli adiacenti sono supplementari (ma angoli supplementari non sono in generale
adiacenti); angoli opposti sono esplementari (ma angoli esplementari non sono in generale
opposti).
Teorema R2.2.2
Siano ! e " angoli consecutivi. Se !' e " ' sono angoli consecutivi direttamente congruenti
rispettivamente a ! e " , la somma di !' e " ' è direttamente congruente alla somma di ! e " .
^ e " œ v'w'
^ ; V il vertice di ! (e
^ , " œ vw
^ , !' œ u'v'
Dimostrazione Siano: ! œ uv
quindi anche di " ), V' il vertice di !' (e quindi anche di " '); 5" un’isometria pari che porta u
in u' e v in v' (e quindi porta V in V'); 5# un’isometria pari che porta v in v' e w in w' (e
quindi porta V in V'). Vogliamo provare che 5" œ 5# , cosicché 5" porta u in u' e w in w' (e
quindi porta ! " in !' " ').
In effetti, 5#" ‰ 5" è un’isometria pari che fissa V e muta in sé v. Sia P un punto di v
disitinto da V : 5#" ‰ 5" deve trasformare P in un punto di v che abbia da V la stessa distanza
che ha P (perché V è un punto fisso per 5#" ‰ 5" ); dunque deve mutare in sé P. Allora 5#" ‰ 5"
ha due punti fissi, e quindi (per il teorema R1.3.3) deve essere l’identità.
Teorema R2.2.3 (“del goniometro”)
Sia * un numero reale positivo, e sia T l’insieme degli angoli. Esiste una e una sola funzione
.* : T Ä ‘ tale che
(1Ñ se ! è un angolo nullo, .* Ð!Ñ œ !;
(2Ñ se ! è un angolo piatto, .* Ð!Ñ œ *;
(3Ñ se !, " sono angoli convessi consecutivi, .* Ð! " Ñ œ .* Ð!Ñ .* Ð" Ñ;
(4Ñ per ogni angolo ! non nullo, .* Ð!Ñ .* Ð !Ñ œ #*;
(5Ñ .* ÐTÑ œ Ò!, #*Ñ;
(6Ñ comunque presi due angoli ! e " , si ha
.* Ð!Ñ œ .* Ð" Ñ se e soltanto se ! e " sono direttamente congruenti.
Dimostrazione Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 26
Sia * un numero reale positivo. La funzione .* di cui al teorema R2.2.3 si dice misura
(angolare) o anche ampiezza: in gradi sessagesimali se * œ ")!; in gradi centesimali se
* œ #!!; in radianti se * œ 1. Nel seguito faremo sempre riferimento (come in Matematica è
usuale Ð3)) alla misura angolare in radianti .1 .
Poiché la somma di due angoli retti consecutivi è un angolo piatto, dalle Ð2), Ð3Ñ e Ð6Ñ
del teorema R2.2.3 segue subito che l’ampiezza di un angolo retto è 1# . Gli angoli che hanno
ampiezza minore di 1# si dicono acuti, quelli che hanno ampiezza compresa fra 1# e 1 si
dicono ottusi.
Si prova facilmente che un angolo è convesso se e soltanto se ha ampiezza strettamente
compresa tra ! e 1, ed è concavo se e soltanto se ha ampiezza maggiore di 1. Sia infatti ! un
angolo convesso; sia !' un angolo consecutivo ad ! e direttamente congruente ad ! (un tale
angolo esiste certamente per il teorema R2.2.1). Allora per le Ð3Ñ e Ð5Ñ del teorema R2.2.3 si
ha che
#.1 Ð!Ñ œ .1 Ð!Ñ .1 Ð!'Ñ œ .1 Ð! !'Ñ − Ò!, #1Ñ
e dunque .1 Ð!Ñ 1; inoltre, .1 Ð!Ñ ! per le Ð1Ñ e Ð6Ñ del teorema R2.2.3.
Pertanto l’ampiezza di una angolo convesso è strettamente compresa tra ! e 1; dunque
(per la Ð4Ñ del teorema R2.2.3) l’ampiezza di un angolo concavo è maggiore di 1.
Ora è immediato concludere la dimostrazione: infatti, se un angolo ha ampiezza
strettamente compresa tra ! e 1 esso non può essere nullo (per la Ð1Ñ del teorema R2.2.3) né
piatto (per la Ð2Ñ del teorema R2.2.3) né concavo (per quanto appena visto), dunque è
necessariamente convesso; e, analogamente, se un angolo ha ampiezza maggiore di 1 esso è
necessariamente concavo.
R2.3 - Angoli “liberi” e loro misura.
Quasi sempre in Geometria, e certamente sempre nelle questioni di Trigonometria
piana, interessa considerare gli angoli (orientati) solo a meno di isometrie pari. Potremmo
chiamare angolo (orientato) libero una classe di congruenza diretta di angoli (orientati), con
terminologia analoga a quella, ormai tradizionale, che consente di distinguere tra “vettore
libero” e “vettore applicato”; ma queso nome non è standard.
In genere, tutte le volte che ciò non dia luogo ad ambiguità, (ossia quasi sempre) si
continua a usare soltanto la parola “angolo”; così, ad esempio, se r e s sono due semirette
aventi l’origine in comune, si chiama ancora “angolo individuato da r e s” la classe di
^.
congruenza diretta a cui appartiene rs
Nel seguito scriveremo sempre “angolo” anziché “angolo (orientato)
libero”.
3
Il motivo di tale scelta sarà precisato nella sez. R3.3 .
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 27
Teorema R2.3.1
^
Per ogni angolo ! e per ogni semiretta r esiste esattamente una semiretta s tale che rs
rappresenta !.
Dimostrazione Si tratta di una riformulazione del teorema R2.2.1.
La Ð6Ñ del teorema R2.2.3 ci assicura che la nozione di “ampiezza” introdotta nella
sez. R2.2 conserva significato anche con la nuova accezione assegnata alla parola “angolo”; e
che, inoltre, un angolo resta completamente individuato dalla propria ampiezza.
Per il teorema R2.2.2, ha ora senso considerare la somma di due angoli qualsiasi: anzi,
la somma diviene una operazione interna nell’insieme degli angoli rispetto alla quale esso
assume la struttura di gruppo commutativo.
Si mantiene tutta la nomenclatura introdotta nella sez. R2.2, riferendo ciascun termine
alle classi di congruenza diretta degli angoli interessati.
Siano a, b due rette orientate (cfr. [1], sez. 12.1).
Se a e b sono incidenti in un punto P, consideriamo le semirette a" e b" individuate da
P su di esse, costituite dai punti che seguono P nei versi fissati: l’angolo a"^b" si dice angolo
formato da a e b.
Se a e b sono parallele e concordemente orientate, si dice che formano un angolo
nullo; se a e b sono parallele e discordemente orientate, si dice che formano un angolo piatto.
Siano a, b due rette incidenti in un punto P; siano a" e a# le semirette individuate da P
su a e siano b" e b# le semirette individuate da P su b.
Poiché le rette a e b non sono orientate, abbiamo a disposizione per associare ad esse
(prese nell’ordine dato) i quattro angoli a"^b" , a"^b# , a#^b" e a#^b# ; ma si noti che a"^b" e a#^b#
sono direttamente congruenti perché opposti al vertice (e così a"^b# e a#^b" ) mentre a"^b" e
a"^b# differiscono per un angolo piatto (avendosi a"^b# œ a"^b" b"^b# con b"^b# piatto)
cosicché uno di essi è convesso e l’altro concavo.
Si potrebbe decidere di chiamare angolo formato da a e b quello fra a ^b e a ^b che
" "
" #
è convesso; spesso però si conserva l’indeterminazione nella scelta fra i due, anche perché
(dato che differiscono per un angolo piatto) hanno in comune varie proprietà: ad esempio,
a"^b" a"^b" œ a"^b# a"^b# (questa osservazione sarà utilizzata in R2.4); inoltre,
¹sinÐa"^b" ѹ œ ¹sinÐa"^b# ѹ
e
(le funzioni sin e cos saranno introdotte in R3.2).
¹cosÐa"^b" ѹ œ ¹cosÐa"^b# ѹ
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 28
Se poi non si considerano le rette a e b in un ordine particolare, l’ambiguità su che
cosa si debba intendere per angolo formato da a e b aumenta, potendosi considerare anche gli
angoli opposti ad a"^b" e a"^b# ; è comunque ancora
¹sinÐa"^b" ѹ œ ¹sinÐa"^b# ѹ œ ¹sinÐb"^a" ѹ œ ¹sinÐb#^a" ѹ
e
¹cosÐa"^b" ѹ œ ¹cosÐa"^b# ѹ œ ¹cosÐb"^a" ѹ œ ¹cosÐb#^a" ѹ.
R2.4 - Una descrizione delle rotazioni mediante la nozione di “angolo”. Simmetrie centrali.
Teorema R2.4.1
Siano a, b due rette incidenti in un punto C, e sia 4 la rotazione 5b ‰ 5a . Sia !" l’angolo
formato da a e b, e sia ! ³ !" !" .
Per ogni punto P del piano, 4ÐPÑ è l’unico punto della circonferenza di centro C e raggio
dÐC, PÑ per il quale si ha PC4^ÐPÑ œ ! .
Dimostrazione Sia a" una delle due semirette individuate da C su a, e sia b" una
delle due semirette individuate da C su b; allora !" œ a"^b" . Sia r la semiretta CP, sia r' la
semiretta C4 ÐPÑ e sia r" ³ 5a ÐrÑ. Allora
r' œ 4 ÐrÑ œ 5b Ð5a ÐrÑÑ œ 5b Ðr" Ñ.
Dunque
^ PÑ œ rr'
^ œ ra^ a ^b b ^r'
PC4Ð
"
" "
"
per la definizione di somma di angoli.
Poiché 5a porta r in r" e muta in sé a" ,
ra^" œ r"^a" œ a"^r" ;
poiché 5b porta r" in r' e muta in sé b" ,
b"^r' œ b"^r" œ r"^b" ;
in conclusione,
^ PÑ œ a ^b ra^ b ^r' œ a ^b a ^r r ^b œ a ^b a ^b
PC4Ð
" "
"
"
" "
" "
" "
" "
" "
come si voleva dimostrare.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 29
Sia 4 una rotazione, sia C il suo centro e siano a, b due rette incidenti in C tali che
4 œ 5b ‰ 5a .
Sia !" l’angolo formato da a e b, e sia ! ³ !" !" . L’angolo ! si dice angolo della
rotazione 4 .
Per il teorema R2.4.1, questa definizione è ben posta, nel senso che ! dipende
effettivamente solo da 4 e non dalle particolari rette a, b per le quali si ha 4 œ 5b ‰ 5a
(sappiamo dal teorema R1.6.1 che a e b possono essere scelte in infiniti modi).
Il teorema R2.4.1 ci consente in effetti di affermare che una rotazione risulta
determinata quando ne vengano assegnati centro ed angolo; e ci permette di precisare
l’enunciato del teorema R1.6.1:
Teorema R2.4.2
Siano C un punto del piano e ! un angolo. Comunque scelte due rette a, b che formino un
angolo !" tale che ! œ !" !" , la rotazione di centro C e angolo ! si può ottenere come
composizione delle simmetrie assiali 5a e 5b .
Dimostrazione Per il teorema R2.4.1, la rotazione 5b ‰ 5a ha centro C e angolo !.
Siano C un punto del piano e ! un angolo. La rotazione di centro C e angolo ! si
chiama anche, confidenzialmente, “la rotazione di ! attorno a C”.
Esercizio [*] R2.4.3
Siano A, B, C tre punti del piano tali che dÐA, BÑ œ %, dÐB, CÑ œ & e dÐA, CÑ œ $ (cosicché
^ retto). Sia 4 la rotazione di un angolo retto
il triangolo ABC è rettangolo, con l’angolo BAC
attorno ad A, e sia 7 la traslazione che porta B in C. Si descrivano le composizioni 7 ‰ 4 e
4 ‰ 7 , osservando che si tratta in entrambi i casi di rotazioni.
Sia C un punto del piano. La rotazione di un angolo piatto attorno a C si dice anche
simmetria centrale di centro C.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 30
Teorema R2.4.4
Sia C un punto del piano, e sia $G la simmetria centrale di centro C. Per ogni punto P del
piano, $G ÐPÑ è l’altro punto della retta PC che ha da C la stessa distanza di P (ossia, è il
simmetrico di P mediante la simmetria assiale che ha per asse la retta per C ortogonale alla
retta PC).
Dimostrazione Siano r la retta PC e r" la retta per C ortogonale a r. Per definizione
di simmetria centrale e per il teorema R2.4.2, $G œ 5r" ‰ 5r . Pertanto
$G ÐPÑ œ 5r" Ð5r ÐPÑÑ œ 5r" ÐPÑ
perché 5r ÐPÑ œ P essendo P − r.
Teorema R2.4.5
Si riferisca il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico Oxy, e sia C ´ ÐBG , CG Ñ.
La simmetria centrale $G di centro C ha equazioni
B' œ #BG B
œ C' œ #C C
G
Dimostrazione Per il teorema R2.4.2, $G si può ottenere come composizione delle
simmetrie assiali che hanno per assi le rette di equazioni B œ BG e C œ CG . L’asserto
segue allora subito dal teorema R1.3.6.
Osservazione R2.4.6
Come preannunciato in R1.6.7, per scrivere le equazioni della generica rotazione è necessario
utilizzare le funzioni sin e cos che saranno introdotte in R3.2. L’appuntamento è per il
teorema R3.5.2.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 31
R3.- ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA
R3.1 - Introduzione.
Questo capitolo riporta i fatti di trigonometria piana che supponiamo noti dagli studi
effettuati nella Scuola Secondaria Superiore. Sono poche nozioni essenziali: quelle che
vengono utilizzate nel corso di “Istituzioni di Matematica”; utili per chi non conosce la
materia, ma anche per chi ne ha studiata “troppa” e le ha forse perse di vista tra tanti risultati
collaterali e un’infinità di formule.
Le dimostrazioni sono in genere omesse; gli interessati possono consultare qualunque
manuale per la Scuola Secondaria Superiore. Gli studenti non devono però sentirsi
incoraggiati ad “approfondire” sullo stesso manuale la materia studiando altri fatti qui non
riportati: nessun argomento infatti si presta quanto la Trigonometria ad una incredibile
proliferazione di teoremi e formule che in ultima analisi servono oggi solo a far sembrare
vasta e difficile una materia che è invece almeno tanto semplice quanto è profonda e utile.
Proprio per sottolineare che i risultati citati in questo capitolo sono sufficienti per l’uso “di
tutti i giorni” della Trigonometria piana, ad esso segue il capitolo R4 dedicato alla risoluzione
completa dei triangoli; questo argomento infatti, pur non essendo da considerarsi un
prerequisito per il corso di “Istituzioni di Matematica”, costituisce pur sempre lo scopo
“storico” della Trigonometria piana ed ha applicazioni immediate in Fisica e in altre materie.
Supporremo fissato un SdR cartesiano Oxy ortogonale, monometrico e positivamente
orientato (cfr. [1], sez. 12.3); si noti che abbiamo indicato con x l’asse delle ascisse: con x
indicheremo invece la semiretta formata dai punti dell’asse x che hanno ascissa non negativa
(tale semiretta è detta anche semiasse positivo delle ascisse). La circonferenza (di equazione
B# C # œ ") che ha centro nell’origine e raggio " sarà detta, seguendo una tradizione ormai
consolidata, circonferenza goniometrica.
R3.2 - Le funzioni sin, cos, tg, cotg e le relazioni fondamentali.
Sia T l’insieme degli angoli. In questa sezione definiamo quattro funzioni T Ä ‘
dette “seno”, “coseno”, “tangente” e “cotangente” e indicate rispettivamente con sin, cos, tg e
cotg.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 32
Sia ! un angolo. Per il teorema R2.2.1, esiste esattamente una semiretta r di origine O
^ rappresenta !. L’ordinata del punto in cui r incontra la circonferenza goniometrica
tale che xr
si dice seno di !, e si indica con sin(!); l’ascissa del punto in cui r incontra la circonferenza
goniometrica si dice coseno di !, e si indica con cos(!); l’ordinata del punto in cui la retta di r
incontra la retta di equazione x œ " (che è la retta tangente in UB alla circonferenza
goniometrica) si dice tangente di !, e si indica con tg(!); l’ascissa del punto in cui la retta di r
incontra la retta di equazione y œ " (che è la retta tangente in UC alla circonferenza
goniometrica) si dice cotangente di !, e si indica con cotgÐ!Ñ.
Si noti che sin e cos sono definite su tutto T, tg non è definita per gli angoli retti e i
loro opposti, cotg non è definita per gli angoli nulli e per gli angoli piatti.
Teorema R3.2.1
Per ogni angolo !, si ha
sin# Ð!Ñ cos# Ð!Ñ œ ".
^ rappresenta !; sia R il
Dimostrazione Sia r la semiretta di origine O tale che xr
punto in cui r incontra la circonferenza goniometrica, e sia R" la proiezione ortogonale di R
sull’asse delle ascisse. Per come si sono definite ascissa e ordinata di R,
± sinÐ!Ñ ± œ dÐR, R" Ñ e ± cosÐ!Ñ ± œ dÐR" , OÑ; poiché la circonferenza goniometrica ha
raggio ", dÐO, RÑ œ ". L’asserto segue ora dal teorema di Pitagora applicato al triangolo
rettangolo ORR" .
Teorema R3.2.2
Per ogni angolo !, si ha
sinÐ!Ñ
tgÐ!Ñ œ cosÐ!Ñ .
^ rappresenta !; sia R il
Dimostrazione Sia r la semiretta di origine O tale che xr
punto in cui r incontra la circonferenza goniometrica, e sia R" la proiezione ortogonale di R
sull’asse delle ascisse; sia T il punto in cui la retta di r incontra la retta di equazione B œ ".
È
± sinÐ!Ñ ± œ dÐR, R" Ñ,
± cosÐ!Ñ ± œ dÐR" , OÑ,
± tgÐ!Ñ ± œ dÐT, UB Ñ .
^
^
Gli angoli ROR
" e TOUB sono congruenti perché coincidono (se R appartiene al
primo o quarto quadrante) o perché sono opposti al vertice (se R appartiene al secondo o terzo
quadrante); in ogni caso, i triangoli rettangoli ORR" e OTUB sono simili.
Ne segue che
dÐ T , U B Ñ
dÐR, R" Ñ
œ
dÐO, UB Ñ
dÐR" , OÑ .
Poiché dÐO, UB Ñ œ " (per definizione di UB ), si è intanto dimostrato che
ÐæÑ
±sinÐ!Ñ|
± tgÐ!Ñ| œ ±cosÐ!ѱ .
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 33
Per completare la dimostrazione, basta distinguere quattro casi a seconda che R
appartenga al primo, secondo terzo o quarto quadrante.
Se R appartiene al primo quadrante, le sue coordinate sono positive; anche l’ordinata
di T è positiva, cosicché tgÐ!Ñ œ ± tgÐ!Ñ ± , sinÐ!Ñ œ ± sinÐ!Ñ ± , cosÐ!Ñ œ ± cosÐ!Ñ ± , e
dalla Ðæ) segue subito l’asserto.
Se R appartiene al secondo quadrante, la sua ascissa è negativa e la sua ordinata è
positiva; l’ordinata di T è negativa, cosicché tgÐ!Ñ œ ± tgÐ!Ñ ± , sinÐ!Ñ œ ± sinÐ!Ñ ± ,
cosÐ!Ñ œ ± cosÐ!Ñ ± , e dalla Ðæ) segue ancora l’asserto.
Analogamente si ragiona negli altri due casi.
Osservazione R3.2.3
Per effetto dei teoremi R3.2.1 e R3.2.2, espressioni assai diverse costruite utilizzando le
funzioni trigonometriche possono rappresentare la stessa funzione. Si ha, ad esempio,
"
#
cos# Ð!Ñ œ " tg Ð!Ñ.
La situazione potrebbe sembrare analoga a quella ben nota dei polinomi, dove espressioni
formalmente molto diverse rappresentano lo stesso polinomio: ad esempio,
BÐC D "Ñ CÐB D "Ñ DÐB C "Ñ œ B C D .
In realtà, tutti i polinomi possono essere scritti in una “forma canonica” (o “forma standard”)
ed esiste un algoritmo molto semplice per decidere se due espressioni rappresentano lo stesso
polinomio; mentre non esiste una “forma canonica” per le espressioni costruite con le funzioni
trigonometriche, né è sempre facile stabilire se due tali espressioni rappresentino la stessa
funzione.
Teorema R3.2.4
Per ogni angolo !, si ha
cosÐ!Ñ
cotgÐ!Ñ œ sinÐ!Ñ .
Dimostrazione La dimostrazione è del tutto analoga a quella del teorema R3.2.2
(questa volta, però, R" sarà la proiezione ortogonale di R sull’asse delle ordinate e T sarà il
punto in cui la retta di r incontra la retta di equazione y œ ").
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 34
Teorema R3.2.5
Si ha sinÐTÑ œ Ò ", "Ó. L’unico angolo il cui seno è " è l’opposto dell’angolo retto;
l’unico angolo il cui seno è " è l’angolo retto. Per ogni C! − Ð ", "Ñ, esistono esattamente
due angoli ! tali che
sinÐ!Ñ œ C! .
Dimostrazione Sia C! − ‘, e sia ! un angolo il cui seno è C! . Sia r la semiretta di
^ rappresenta !: per definizione di sin, r incontra la circonferenza
origine O tale che xr
goniometrica > in un punto di ordinata C! ; e viceversa se P è un punto di > di ordinata C! si ha
^ Ñ œ C . I punti di > che hanno ordinata C si ottengono come intersezione di >
che sinÐUB OP
!
!
con la retta di equazione y œ C! . Tale retta ha distanza ± C! ± dal centro O di > e dunque: non
incontra > se ± C! ± "; è tangente a > se ± C! ± œ "; è secante a > se ± C! ± ". L’asserto
è ora immediato.
Teorema R3.2.6
Si ha cosÐTÑ œ Ò ", "Ó. L’unico angolo il cui coseno è " è l’angolo piatto; l’unico angolo
il cui coseno è " è l’angolo nullo. Per ogni C! − Ð ", "Ñ, esistono esattamente due angoli !
tali che
cosÐ!Ñ œ C! .
Dimostrazione Sia C! − ‘, e sia ! un angolo il cui coseno è C! . Sia r la semiretta di
^ rappresenta !: per definizione di cos, r incontra la circonferenza
origine O tale che xr
goniometrica > in un punto di ascissa C! ; e viceversa se P è un punto di > di ascissa C! si ha
^ Ñ œ C . I punti di > che hanno ascissa C si ottengono come intersezione di >
che cosÐUB OP
!
!
con la retta di equazione x œ C! . Tale retta ha distanza ± C! ± dal centro O di > e dunque: non
incontra > se ± C! ± "; è tangente a > se ± C! ± œ "; è secante a > se ± C! ± ". L’asserto
è ora immediato.
Teorema R3.2.7
Si ha tgÐTÑ œ ‘. Per ogni C! − ‘, esistono esattamente due angoli ! tali che
tgÐ!Ñ œ C!
e ciascuno di essi si ottiene sommando all’altro un angolo piatto.
Dimostrazione Sia C! − ‘, e sia ! un angolo la cui tangente è C! . Sia r la semiretta
^ rappresenta !: per definizione di tg, la retta di r incontra la retta t di
di origine O tale che xr
equazione x œ " nel punto di ordinata C! ; e viceversa se P è il punto di t di ordinata C! dette r
^ Ñ œ C! e
e s le due semirette individuate dall’origine sulla retta OP si ha che tgÐxr
^ Ñ œ C! . L’asserto è ora immediato.
tgÐxs
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 35
Teorema R3.2.8
Si ha cotgÐTÑ œ ‘. Per ogni B! − ‘, esistono esattamente due angoli ! tali che
cotgÐ!Ñ œ B!
e ciascuno di essi si ottiene sommando all’altro un angolo piatto.
Dimostrazione Sia B! − ‘, e sia ! un angolo la cui cotangente è B! . Sia r la
^ rappresenta !: per definizione di cotg, la retta di r incontra
semiretta di origine O tale che xr
la retta t di equazione y œ " nel punto di ascissa B! ; e viceversa se P è il punto di t di ascissa
^ Ñ œ B! e
B! dette r e s le due semirette individuate dall’origine sulla retta OP si ha che tgÐxr
^ Ñ œ B! . L’asserto è ora immediato.
tgÐxs
Teorema R3.2.9
Comunque presi due angoli ! e " , si ha
sinÐ! " Ñ œ sinÐ!ÑcosÐ" Ñ cosÐ!ÑsinÐ" Ñ;
cosÐ! " Ñ œ cosÐ!ÑcosÐ" Ñ sinÐ!ÑsinÐ" Ñ;
tgÐ!ÑtgÐ" Ñ
tgÐ! " Ñ œ "tgÐ!ÑtgÐ" Ñ .
Dimostrazione Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Teorema R3.2.10
Siano !, " angoli.
Ð1Ñ Se ! e " sono complementari, e dunque ! " è un angolo retto,
sinÐ" Ñ œ cosÐ!Ñ;
cosÐ" Ñ œ sinÐ!Ñ;
tgÐ" Ñ œ cotgÐ!Ñ;
Ð2Ñ Se " è un angolo retto,
sinÐ! " Ñ œ cosÐ!Ñ;
cosÐ! " Ñ œ sinÐ!Ñ;
tgÐ! " Ñ œ cotgÐ!Ñ;
Ð3Ñ Se ! e " sono supplementari, e dunque ! " è un angolo piatto,
sinÐ" Ñ œ sinÐ!Ñ;
cosÐ" Ñ œ cosÐ!Ñ;
tgÐ" Ñ œ tgÐ!Ñ;
Ð4Ñ Se " è un angolo piatto,
sinÐ! " Ñ œ sinÐ!Ñ;
cosÐ! " Ñ œ cosÐ!Ñ;
tgÐ! " Ñ œ tgÐ!Ñ;
Ð5Ñ Se ! e " sono esplementari, e dunque ! " è un angolo nullo, cioè " œ !,
sinÐ !Ñ œ sinÐ!Ñ;
cosÐ !Ñ œ cosÐ!Ñ;
tgÐ !Ñ œ tgÐ!Ñ;
Dimostrazione Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 36
Per alcuni angoli è possibile esprimere con facilità l’esatto valore delle funzioni sin,
cos e tg. Semplici considerazioni geometriche, che comunque omettiamo, consentono ad
esempio di affermare che:
il seno dell’angolo nullo è !;
È ' È #
%
il seno dell’angolo di ampiezza
1
"#
radianti ("& gradi sessagesimali) è
il seno dell’angolo di ampiezza
1
'
radianti ($! gradi sessagesimali) è "# ;
il seno dell’angolo di ampiezza
1
%
radianti (%& gradi sessagesimali) è
il seno dell’angolo di ampiezza
È#
# ;
È$
1
$ radianti ('! gradi sessagesimali) è # ;
È ' È #
&1
"# radianti ((& gradi sessagesimali) è
%
il seno dell’angolo di ampiezza
1
#
il seno dell’angolo di ampiezza
;
;
radianti (*! gradi sessagesimali) è ".
Questi valori sono anche facilmente memorizzabili; si osservi ad esempio che per gli
angoli di ampiezza !, 1' , 1% , 1$ , 1# radianti (cioè !, $!, %&, '!, *! gradi sessagesimali) il seno
Èæ
è della forma # , dove æ assume rispettivamente i valori !, ", #, $ e %. Da essi si ricavano
subito i valori del coseno per gli stessi angoli (mediante la Ð1Ñ del teorema R3.2.10) e poi
quelli della tangente (mediante il teorema R3.2.2). Il lettore è invitato a costruirsi una tabella
1
con i valori di sin, cos e tg per gli angoli di ampiezza !, "#
, 1' , 1% , 1$ , &"#1 , 1# radianti e per i
loro supplementari, estendendola poi anche agli esplementari.
Generalmente, tranne i casi di cui si è detto sopra, di sin, cos e tg si usano solo valori
approssimati, che vengono forniti dalle calcolatrici tascabili oppure da appositi prontuari
stampati (detti “Tavole trigonometriche”; questi ultimi però sono piuttosto complicati ad usare
e vanno ormai scomparendo dal commercio).
R3.3 - Le funzioni trigonometriche ‘ Ä ‘.
In questa sezione definiamo quattro funzioni ‘ Ä ‘ dette “seno”, “coseno”,
“tangente” e “cotangente” (e indicate rispettivamente con sin, cos, tg e cotg) proprio come
quelle introdotte nella sez. R3.2. Non c’è pericolo di confondere le funzioni che hanno lo
stesso nome, perché hanno diverso dominio (per una, l’insieme T degli angoli; per l’altra,
l’insieme ‘ dei numeri reali); è bene però fare un po’ di attenzione.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 37
Sia B − ‘. Se B − Ò!, #1Ñ, si pone
sinÐBÑ ³ sinÐ!Ñ,
dove ! è l’(unico) angolo di ampiezza (in radianti) B
e analogamente si definiscono le funzioni cos, tg e cotg.
Le funzioni sin e cos ‘ Ä ‘ ora introdotte hanno per dominio l’intervallo Ò!, #1Ñ; la
funzione tg : ‘ Ä ‘ ora introdotta ha per dominio Ò!, 1# Ñ Ð 1# , $#1 Ñ Ð $#1 , #1Ó; e la funzione
cotg : ‘ Ä ‘ ora introdotta ha per dominio (!, 1Ñ Ð1, #1Ñ.
Tali funzioni poi si “prolungano per periodicità”, procedendo come segue: sia 5 la
B
“parte intera” di #1
Ð4Ñ e sia B! ³ B #5 1 (cosicché B œ B! #5 1 con B! − Ò!, #1Ñ); si
pone sinÐBÑ ³ sinÐB! Ñ (dove il valore di sinÐB! ) è calcolato come sopra).
Analogamente si procede per le funzioni cos, tg e cotg.
Le funzioni sin e cos così definite risultano periodiche, di periodo #1, con dominio ‘;
le funzioni tg e cotg così definite risultano periodiche, di periodo 1, e si ha:
WÐtgÑ œ ‘\Ö* − ‘/* œ
1
#
5 1 con 5 − ™× ;
WÐcotgÑ œ ‘\Ö* − ‘/* œ 5 1 con 5 − ™× .
Dalla definizione è facile dedurre in prima approssimazione il grafico di sin, cos, tg e
cotg.
Si noti che si otterrebbero funzioni diverse se si misurasse l’ampiezza degli angoli in
gradi sessagesimali o centesimali o altrimenti; in particolare, non sarebbero validi il teorema
R3.4.1, il corollario R3.4.2 e le loro importanti conseguenze (ad esempio, i teoremi 16.5.6,
17.1.4, 17.4.1, 18.2.15 e 18.2.16 di [1]).
Per le funzioni sin, cos, tg e cotg definite in questa sezione continuano a valere i
risultati della sez. R3.2, opportunamente riformulati. Riportiamo i più significativi,
naturalmente omettendo anche questa volta le dimostrazioni.
B
Cioè, 5 è il più grande numero intero non superiore a 21
(cfr. 15.1 e l’esercizio 15.1.1 in [1]). Si noti
B
che allora 5 Ÿ 21 5 1 e dunque B 25 1, B 2(5 1)1 , ossia B − Ò25 1, 2(5 1)1) .
4
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 38
Teorema R3.3.1
Per ogni B − ‘, si ha
Ð1Ñ
sin# ÐBÑ cos# ÐBÑ œ ";
Ð2Ñ
tgÐBÑ œ cosÐBÑ .
sinÐBÑ
Teorema R3.3.2
Comunque presi B, y − ‘, si ha
Ð1Ñ
sinÐB yÑ œ sinÐBÑcosÐyÑ cosÐBÑsinÐyÑ;
Ð2Ñ
cosÐB yÑ œ cosÐBÑcosÐyÑ sinÐBÑsinÐyÑ;
Ð3Ñ
tgÐB yÑ œ "tgÐBÑtgÐyÑ .
tgÐBÑtgÐyÑ
Teorema R3.3.3
Per ogni B − ‘, si ha
Ð1Ñ
sinÐ 1# BÑ œ cosÐBÑ;
Ð2Ñ
sinÐB
Ð3Ñ
sinÐ1 BÑ œ sinÐBÑ;
Ð4Ñ
sinÐB 1Ñ œ sinÐBÑ;
Ð5Ñ
sinÐ BÑ œ sinÐBÑ;
1
#
Ñ œ cosÐBÑ;
cosÐ 1# BÑ œ sinÐBÑ;
cosÐB
1
#
tgÐ 1# BÑ œ cotgÐBÑ;
Ñ œ sinÐBÑ;
cosÐ1 BÑ œ cosÐBÑ;
1
#
Ñ œ cotgÐBÑ;
tgÐ1 BÑ œ tgÐBÑ;
cosÐB 1Ñ œ cosÐBÑ;
cosÐ BÑ œ cosÐBÑ;
tgÐB
tgÐB 1Ñ œ tgÐBÑ;
tgÐ BÑ œ tgÐBÑ.
Per i teoremi R3.2.5, R3.2.6, R3.2.7 e R3.2.8, le funzioni sin, cos, tg, cotg non sono
iniettive, e dunque non sono invertibili. Sono però iniettive, e dunque ammettono funzione
inversa (cfr. [1], sez. 4.6) le loro restrizioni (cfr. [1], sez. 4.5) ad opportuni intervalli. Si
conviene di chiamare funzioni trigonometriche inverse le seguenti funzioni:
arcsin (“arcoseno”), funzione inversa della restrizione di sin a Ò
1
#
,
1
#
Ó;
arccos (“arcocoseno”), funzione inversa della restrizione di cos a Ò!, 1Ó ;
arctg (“arcotangente”), funzione inversa della restrizione di tg a Ò
1
#
,
1
#
Ó;
arccotg (“arcocotangente”), funzione inversa della restrizione di cotg a Ò!, 1Ó .
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 39
R3.4 - Alcuni risultati “tecnici”.
Teorema R3.4.1
Se + − Ò ", "Ó, si ha
± sinÐ+Ñ ± Ÿ ± + ± Ÿ ± tgÐ+Ñ ± .
Dimostrazione Si tratta di provare che
Ð! Ÿ + Ÿ "Ñ Ê ÐsinÐ+Ñ Ÿ + Ÿ tgÐ+ÑÑ.
Infatti, se + ! ciò equivale all’asserto perché è anche sinÐ+Ñ ! e tgÐ+Ñ !; e possiamo
supporre + ! perché (cfr. la Ð5Ñ del teorema R3.3.3) ± sinÐ+Ñ ± œ sinÐ ± + ± Ñ e
± tgÐ+Ñ ± œ tgÐ ± + ± Ñ.
^ ha (in radianti) ampiezza +; sia R il
Sia allora r la semiretta di origine O tale che xr
punto in cui r incontra la circonferenza goniometrica, e sia R" la proiezione ortogonale di R
sull’asse delle ascisse; sia T il punto in cui la retta di r incontra la retta di equazione x œ ".
Possiamo supporre ! + Ÿ " (infatti, se + œ ! l’asserto è di immediata verifica);
dunque le semirette x e r sono distinte, e i punti R, R" , UB , T sono tutti distinti fra loro;
inoltre, R e T sono situati nel primo quadrante.
Il triangolo OUB R è contenuto nel settore circolare OUB R, che a sua volta è contenuto
nel triangolo OUB T; pertanto l’area del triangolo OUB R è minore di quella del settore
circolare OUB R che a sua volta è minore di quella del triangolo OUB T, ossia Ð5Ñ
dÐO, UB цdÐR, R" Ñ
dÐO, UB цdÐUB , TÑ
+
#
#
#
cioè, ricordando che dÐO, UB Ñ œ ",
dÐR, R" Ñ + dÐUB , TÑ
da cui l’asserto perché,
essendo R e T situati nel primo quadrante, si ha sinÐ+Ñ œ dÐR, R" Ñ e tgÐ+Ñ œ dÐUB , TÑ.
Corollario R3.4.2
Per ogni B − ‘, si ha
± sinÐBÑ ± Ÿ ± B ± .
Dimostrazione L’asserto è ovvio se ± B ± "; per ± B ± Ÿ " è stato provato nel
teorema R3.4.1.
Teorema R3.4.3
Per ogni B − ‘, si ha
" cosÐBÑ œ #sin# Ð B# Ñ.
Dimostrazione Segue da
cosÐBÑ œ cosÐ B# B# Ñ œ cos# Ð B# Ñ sin# Ð B# Ñ œ " #sin# Ð B# Ñ.
5 L’area di un settore circolare proprio è direttamente proporzionale all’ampiezza dell’angolo al centro
che lo sottende; confrontando l’area f del settore circolare OUB R con l’area 12 del semicerchio di raggio 1, si ha
che f : 12 œ + : 1 , da cui f œ +2 .
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 40
Teorema R3.4.4
Comunque presi B, C − ‘,
± sinÐB CÑ ± ± sinÐBÑ sinÐCÑ ±
e la diseguaglianza vale in senso stretto purché sia sinÐBÑ Á !, sinÐCÑ Á ! e sinÐB CÑ Á !.
Dimostrazione Essendo positivi ambo i membri, la diseguaglianza
± sinÐB CÑ ± ± sinÐBÑ sinÐCÑ ±
equivale alla
± sinÐB CÑ ± # ± sinÐBÑ sinÐCÑ ± #
ossia (ricordando la Ð1Ñ del teorema R3.3.2) alla
ÐsinÐBÑcosÐCÑ cosÐBÑsinÐCÑÑ# ÐsinÐBÑ sinÐCÑÑ# .
Sviluppando i quadrati, si trova che dobbiamo dimostrare che
sin# ÐBÑcos# ÐCÑ cos# ÐBÑsin# ÐCÑ # sinÐBÑcosÐCÑcosÐBÑsinÐCÑ sin# ÐBÑ sin# ÐCÑ # sinÐBÑsinÐCÑ
ossia che
#sinÐBÑsinÐCÑÐ" cosÐBÑcosÐCÑÑ sin# ÐBÑÐ" cos# ÐCÑÑ sin# ÐCÑÐ" cos#ÐBÑÑ
cioè
#sinÐBÑsinÐCÑÐ" cosÐBÑcosÐCÑÑ #sin# ÐBÑsin# ÐCÑ.
Se sinÐBÑ œ ! oppure cosÐBÑ œ !, la diseguaglianza che vogliamo provare è banalmente una
uguaglianza; possiamo dunque supporre sinÐBÑ Á ! e sinÐCÑ Á !, e dividere ambo i membri
per #sinÐBÑsinÐCÑ ottenendo così
" cosÐBÑcosÐCÑ sinÐBÑsinÐCÑ
ossia (ricordando la Ð2Ñ del teorema R3.3.2)
" cosÐB CÑ !.
Quest’ultima diseguaglianza è immediata, e vale in senso stretto purché sia cosÐB CÑ Á "
ossia sinÐB CÑ Á !.
L’asserto è così completamente provato.
Esercizio R3.4.5
Si dimostri che per ogni B − ‘ è
± sinÐBÑ ± ± cosÐBÑ ± "
precisando per quali valori di B la diseguaglianza vale in senso stretto.
Si dia una interpretazione geometrica dei risultati trovati.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 41
R3.5 - Le equazioni delle isometrie.
In tutta questa sezione supporremo di aver riferito il piano a un SdR cartesiano
ortogonale monometrico Oxy.
Teorema R3.5.1
Sia ! un angolo. La rotazione di centro O e angolo ! ha equazioni
B' œ B † cosÐ!Ñ C † sinÐ!Ñ
œ C' œ B † sinÐ!Ñ C † cosÐ!Ñ
Dimostrazione Sia P! ´ ÐB! , C! Ñ un punto del piano. Se la semiretta OP! forma
l’angolo " con il semiasse positivo delle ascisse, detta . la distanza di P! da O si ha
B! œ . † cosÐ" Ñ
e
C! œ . † sinÐ" Ñ.
Ciò si può vedere direttamente, come facile conseguenza delle definizioni di sin e cos, oppure
applicando il teorema R4.2.2 e le relazioni Ð1Ñ del teorema R3.3.3 al triangolo rettangolo
OP! P! ' (dove P! ' è la proiezione ortogonale di P! sull’asse delle ascisse).
Sia P! ' ´ ÐB! ', C! 'Ñ l’immagine di P! mediante la rotazione di centro O e angolo !; la
distanza di P! ' da O è ancora . , mentre la semiretta OP! ' forma col semiasse positivo delle
ascisse l’angolo ! " ; pertanto,
B! ' œ . † cosÐ! " Ñ
e
C! ' œ . † sinÐ! " Ñ.
Applicando le formule (“di addizione”) del teorema R3.3.2, si trova che
B! ' œ . † cosÐ! " Ñ œ . † cosÐ!Ñ † cosÐ" Ñ . † sinÐ!Ñ † sinÐ" Ñ œ B! † cosÐ!Ñ C! † sinÐ!Ñ
e
C! ' œ . † sinÐ! " Ñ œ . † sinÐ!Ñ † cosÐ" Ñ . † cosÐ!Ñ † sinÐ" Ñ œ B! † sinÐ!Ñ C! † cosÐ!Ñ
come si voleva.
Teorema R3.5.2
Ogni isometria pari ha equazioni della forma
ÐæÑ
B' œ B † cosÐ!Ñ C † sinÐ!Ñ 2
œ C' œ B † sinÐ!Ñ C † cosÐ!Ñ 5
per un opportuno angolo ! e per opportuni numeri reali 2 e 5 . Se ! è l’angolo nullo, si tratta
di una traslazione; se ! non è l’angolo nullo, si tratta di una rotazione (ma, generalmente, non
di angolo !).
Dimostrazione Nel teorema R1.5.7 abbiamo caratterizzato le equazioni delle
traslazioni; è immediato controllare che si ottengono dalle ÐæÑ se e soltanto se ! è l’angolo
nullo.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 42
Per il teorema R1.6.6 e per il teorema R3.5.1, ogni rotazione ha equazioni della forma
ÐæÑ; viceversa, equazioni della forma ÐæÑ rappresentano (per i teoremi R3.5.1 e R1.5.7) la
composizione di una rotazione e di una traslazione, ossia (per il teorema R1.6.5) una
rotazione.
Teorema R3.5.3
Ogni isometria dispari ha equazioni della forma
B' œ B † cosÐ!Ñ C † sinÐ!Ñ 2
œ C' œ B † sinÐ!Ñ C † cosÐ!Ñ 5
per un opportuno angolo ! e per opportuni numeri reali 2 e 5 .
Dimostrazione Per il teorema R1.7.5, ogni isometria dispari si può esprimere come
composizione della simmetria assiale 5x che ha per asse l’asse delle ascisse e di una
opportuna isometria pari. Dai teoremi R1.3.6 e R3.5.2 segue subito l’asserto.
Teorema R3.5.4
Ogni isometria ha equazioni della forma
B' œ +" B ," C -"
œ C' œ + B , C -
ЉÑ
#
#
#
dove +" ,# +# ," œ " oppure +" ,# +# ," œ "; se è un’isometria pari, allora
+" ,# +# ," œ ", se è un’isometria dispari allora +" ,# +# ," œ ".
Ma equazioni della forma Ð ‰ Ñ con +" ,# +# ," œ „ " non rappresentano necessariamente
una isometria: ciò avviene solo se esiste un angolo ! tale che
+" œ ,# œ cosÐ!Ñ
+# œ ," œ sinÐ!Ñ
e
oppure tale che
+" œ ,# œ cosÐ!Ñ
Dimostrazione Ovvio.
e
," œ +# œ sinÐ!Ñ.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 43
R4.- LA “RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI”
R4.1 - Introduzione.
Sia g un triangolo; esso è individuato da tre punti, che si dicono vertici di g . Si dice
lato di g ciascuno dei tre segmenti i cui estremi sono vertici di g . Si dice angolo interno di g
ciascuno dei tre angoli convessi che hanno il vertice coincidente con uno dei vertici di g e i
lati contenenti lati di g . I lati di g e gli angoli interni di g sono detti elementi di g .
Generalmente interessa studiare un triangolo a meno di isometrie. Uno dei classici
problemi in proposito è il seguente: noti (a meno di isometrie) tre elementi di g , determinare
(a meno di isometrie) gli altri tre. È chiaro che se gli elementi noti sono i tre angoli il
problema è impossibile oppure ha infinite soluzioni. I classici “criteri di congruenza dei
triangoli” permettono di affermare che il problema ha al più una soluzione se i tre elementi
noti sono: i tre lati; oppure un lato e due angoli; oppure due lati e l’angolo “compreso” (cioè,
l’angolo che ha per vertice il punto comune a tali lati). Il problema può avere fino a due
soluzioni se gli elementi noti sono due lati e un angolo “non compreso” (cioè, un angolo il cui
vertice appartiene a uno solo di tali lati). In questa sezione esponiamo, caso per caso, i
semplici algoritmi risolutivi.
Fissiamo in primo luogo la notazione. Poiché i lati noti del triangolo sono dati a meno
di isometrie (e quelli incogniti verranno determinati a meno di isometrie) è opportuno
considerare in luogo di essi la loro misura. Siano A, B e C i vertici del triangolo: indichiamo
con ! l’angolo interno di vertice A e con + la lunghezza del lato BC; con " l’angolo interno di
vertice B e con , la lunghezza del lato AC; con # l’angolo interno di vertice C e con - la
lunghezza del lato AB.
R4.2 - I teoremi.
Teorema R4.2.1 (relazione fondamentale tra gli angoli interni di un triangolo)
! " # è un angolo piatto.
Dimostrazione Si tratta di un classico risultato della geometria euclidea; ne
omettiamo la dimostrazione. Si notino alcune importanti conseguenze: in un triangolo c’è al
più un angolo ottuso; noti due angoli interni di un triangolo, il terzo si ottiene sommando a un
angolo piatto l’opposto della loro somma.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 44
Teorema R4.2.2 (“dei seni”; attribuito a Levi Ben Gerson, 1288-1344)
+
,
sinÐ!Ñ œ sinÐ" Ñ œ sinÐ# Ñ .
Si ha
Dimostrazione Si prova che ciascuno dei tre rapporti è uguale alla lunghezza del
diametro della circonferenza circoscritta a g . Omettiamo i dettagli.
Teorema R4.2.3 (“del coseno”, o “di Carnot”; attribuito a Francois
¸ Viéte, 1540-1603)
Si ha
+# œ ,# - # #,- † cosÐ!Ñ ;
,# œ +# - # #+- † cosÐ" Ñ ;
- # œ +# ,# #+, † cosÐ# Ñ .
Dimostrazione Omettiamo anche questa dimostrazione. Notiamo che il teorema
può essere interpretato come una “generalizzazione” del teorema di Pitagora. Inoltre, da esso
segue che: se vale la relazione “pitagorica” +# œ ,# - # , allora cosÐ!Ñ œ ! e dunque il
triangolo dato è rettangolo (con l’angolo interno di vertice A retto).
Teorema R4.2.4
Siano +! , ,! , -! numeri reali positivi con +! ,! -! . Condizione necessaria e sufficiente
affinché esista un triangolo i cui lati abbiano lunghezza rispettivamente +! , ,! e -! è che valga
la relazione
+ ! ,! - ! .
Dimostrazione È anche questo un classico risultato della geometria euclidea. Ne
omettiamo la dimostrazione.
Teorema R4.2.5
Siano +! , ,! , -! numeri reali positivi, e siano !! , "! , #! angoli convessi. Esiste un triangolo in
cui !! , "! e #! sono gli angoli interni e in cui i lati opposti ad !! , "! e #! hanno lunghezza
rispettivamente +! , ,! e -! se e soltanto se valgono le relazioni
Ð1Ñ
!! "! #! è un angolo piatto
Ð2Ñ
+!
,!
-!
sinÐ!! Ñ œ sinÐ"! Ñ œ sinÐ#! Ñ .
e
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 45
Dimostrazione Che le Ð1Ñ e Ð2Ñ costituiscano condizioni necessarie per l’esistenza
del triangolo è il contenuto dei teoremi R4.2.1 e R4.2.2. Qui ci interessa verificare che esse
costituiscono un insieme di condizioni sufficiente; e lo facciamo applicando la condizione
espressa dal teorema R4.2.4. Poiché non sappiamo quale dei tre numeri +! , ,! , -! è maggiore,
dobbiamo controllare che sia -! +! ,! , +! ,! -! e ,! +! -! .
Dalle relazioni Ð2Ñ, si ha che
,œ
+†sinÐ"! Ñ
sinÐ!! Ñ
e
-œ
+†sinÐ#!Ñ
sinÐ!! Ñ .
Per la Ð1Ñ, ricordando la Ð3Ñ del teorema R3.2.10 e per il teorema R3.2.9,
sinÐ#! Ñ œ sinÐ!! "! Ñ œ sinÐ!! ÑcosÐ"! Ñ cosÐ!!ÑsinÐ"!Ñ.
Dunque,
+†sinÐ#! Ñ
- œ sinÐ! Ñ œ
!
+†ÐsinÐ!! ÑcosÐ"!ÑcosÐ!! ÑsinÐ"! ÑÑ
œ + † cosÐ"! Ñ , † cosÐ!! Ñ + , .
sinÐ!! Ñ
Osserviamo poi che per il teorema R3.4.4 si ha
sinÐ!! )<sinÐ"! Ñ sinÐ!! "! Ñ
+
ossia (moltiplicando ambo i membri per sinÐ! Ñ e ricordando che sinÐ!! "! Ñ œ sinÐ#! Ñ)
!
+
+†sinÐ"! Ñ
+†sinÐ#! Ñ
sinÐ!! Ñ sinÐ!! Ñ œ , - .
Analogamente, per il teorema R3.4.4 si ha
sinÐ"! )<sinÐ!! Ñ sinÐ!! "! Ñ
+
ossia (moltiplicando ambo i membri per sinÐ! Ñ e ricordando che sinÐ!! "! Ñ œ sinÐ#! Ñ)
!
,œ
+†sinÐ"! Ñ
+†sinÐ#! Ñ
sinÐ!! Ñ + sinÐ!! Ñ œ + - .
R4.3 - Caso 1: noti i tre lati.
Siano noti +, , e - ; supponiamo, per fissare le idee, che sia + , - . Per il teorema
R4.2.4, se + , - il triangolo cercato non esiste: sia dunque + , - .
Col teorema del coseno, determiniamo in primo luogo l’angolo opposto al lato
maggiore (nel nostro caso, !). Dalla relazione
+# œ ,# - # #,- † cosÐ!Ñ
si ricava che
cosÐ!Ñ œ
, # - # +#
.
#,-
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 46
, # - # +#
Notiamo che il numero
è strettamente compreso fra " e ": dalla
#,relazione + , - , nella quale ambo i membri sono positivi, segue infatti che
+# ,# - # #,- e dunque che
, # - # +#
";
#,-
mentre dalla relazione + , - , nella quale ambo i membri sono non negativi (si ricordi che
+ , - ), segue che +# ,# - # #,- e dunque che
, # - # +#
".
#,-
Per il teorema R3.2.6 e la Ð5Ñ del teorema R3.2.10, esiste esattamente un angolo convesso ! il
cui coseno è
, # - # +#
.
#,-
Il teorema dei seni permette ora di determinare un secondo angolo, ad esempio " : dalla
relazione
+
,
sinÐ!Ñ œ sinÐ" Ñ
si ricava che
,†sinÐ!Ñ
sinÐ" Ñ œ
.
+
Poiché " ha ampiezza minore di ! (essendo il lato ,, opposto a " , minore del lato +, opposto
ad !), e poiché in un triangolo c’è al più un angolo ottuso, la conoscenza di sinÐ" Ñ permette di
determinare " .
Noti ! e " , si ricava infine # mediante il teorema R4.2.1.
Discussione Se i lati inizialmente noti non verificano la condizione espressa dal
teorema R4.2.4, il problema non ha soluzione. Se invece i lati inizialmente noti verificano la
condizione espressa dal teorema R4.2.4, il problema ha esattamente una soluzione: quella
univocamente determinata mediante il procedimento descritto. Si noti che un diverso
procedimento potrebbe individuare più possibilità per gli elementi incogniti, fra le quali
bisognerebbe trovare quella giusta mediante il teorema R4.2.5; si veda l’esempio R4.7.1.
R4.4 - Caso 2: noti due angoli e un lato.
Siano noti il lato + e due angoli; se la somma dei due angoli noti è un angolo convesso,
il teorema R4.2.1 permette di trovare immediatamente il terzo angolo.
I lati incogniti si trovano applicando il teorema dei seni: dalla relazione
+
,
sinÐ!Ñ œ sinÐ" Ñ
si ricava che
si ricava che
+†sinÐ# Ñ
- œ sinÐ!Ñ .
+†sinÐ" Ñ
, œ sinÐ!Ñ ; e dalla relazione
+
sinÐ!Ñ œ sinÐ# Ñ
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 47
Discussione Se la somma dei due angoli inizialmente noti non è un angolo
convesso, il problema non ha soluzione (per il teorema R4.2.1). Se invece la somma dei due
angoli inizialmente noti è un angolo convesso, il procedimento descritto permette di trovare
esattamente una soluzione; l’esistenza di un triangolo con gli elementi così trovati è garantita
dal teorema R4.2.5.
R4.5 - Caso 3: noti due lati e l’angolo “compreso”.
Mediante il teorema del coseno si trova il terzo lato, e siamo ricondotti al caso 1.
Discussione Dimostriamo che in questo caso il problema ha esattamente una
soluzione, controllando che è verificata la condizione espressa dal teorema R4.2.4. Siano +, , i
lati noti e # l’angolo noto; supponiamo, per fissare le idee, + ,.
Poiché cosÐ# Ñ ", - œ È+# ,# #+, † cosÐ# Ñ Ÿ È+# , # #+, œ + , ;
poiché cosÐ# Ñ Ÿ ",
- œ È+# ,# #+, † cosÐ# Ñ È+# , # #+, œ + ,
ossia
+Ÿ,- .
Qualunque sia il maggiore fra + e - , è quindi verificata la condizione espressa dal teorema
R4.2.4.
R4.6 - Caso 4: noti due lati e l’angolo opposto a uno di essi.
Supponiamo, per fissare le idee, che siano noti i lati + e , e l’angolo !. In primo luogo
si cerca di ricavare l’angolo " mediante il teorema dei seni.
Dalla relazione
Se
+
,
sinÐ!Ñ œ sinÐ" Ñ
si ricava che deve essere
sinÐ" Ñ œ
,†sinÐ!Ñ
.
+
,†sinÐ!Ñ
" (ossia se + , † sinÐ!Ñ ) non è possibile ricavare " ; ciò significa che non
+
esiste alcun triangolo verificante le condizioni assegnate.
,†sinÐ!Ñ
Ÿ ", esistono in generale due angoli "" , "# (uno acuto, l’altro ottuso) il
+
,†sinÐ!Ñ
cui seno è
. In corrispondenza, si trovano due valori #" , ## per il terzo angolo (se
+
Se invece
! "" e ! "# sono entrambi minori di un angolo piatto).
Infine, il lato - si ricava ancora col teorema dei seni: -" œ
+†sinÐ#" Ñ
+†sinÐ## Ñ
;
œ
#
sinÐ!Ñ
sinÐ!Ñ .
Discussione Se + , † sinÐ!Ñ , si è già osservato che il problema non ha
soluzione. Se invece + , † sinÐ!Ñ , il procedimento descritto permette di trovare una o due
soluzioni; l’esistenza di triangoli con gli elementi così trovati è garantita dal teorema R4.2.5.
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 48
R4.7 - Esempi.
Proponiamo alcuni esempi di “risoluzione di triangoli” in applicazione degli algoritmi
sopra riportati. Gli angoli vengono individuati mediante la loro ampiezza in radianti.
Esempio R4.7.1
Siano dati:
+ ³ " ; , ³ È $ ; - ³ #.
Determiniamo, applicando il teorema del coseno, l’angolo # (opposto al lato maggiore, - ).
Dalla relazione
- # œ +# ,# #+, † cosÐ# Ñ
che nel nostro caso diventa
% œ " $ # † È$ † cosÐ# Ñ
si ricava che ! œ # † È$ † cosÐ# Ñ da cui cosÐ# Ñ œ ! ossia # œ 1# .
Ricaviamo ora ! applicando il teorema dei seni. La relazione
+
sinÐ!Ñ œ sinÐ# Ñ
"
#
sinÐ!Ñ œ "
diventa nel nostro caso
ossia
sinÐ!Ñ œ "#
e poiché ! è certamente acuto (l’unico eventuale angolo ottuso in un triangolo è quello
opposto al lato maggiore!) si ottiene che ! œ 1' e infine " œ 1$ .
Vediamo come una impostazione diversa dell’algoritmo risolutivo potrebbe creare
qualche complicazione. Applichiamo all’inizio il teorema del coseno per ricavare, anziché
l’angolo # , l’angolo !. Dalla relazione
+# œ ,# - # #,- † cosÐ!Ñ
" œ $ % % † È$ † cosÐ!Ñ
che nel nostro caso diventa
È$
#
otteniamo che cosÐ!Ñ œ
e dunque ! œ 1' .
Applicando poi il teorema dei seni, dalla relazione
+
,
sinÐ!Ñ œ sinÐ" Ñ
"
che nel nostro caso diventa
otteniamo che
e dunque " œ
"
#
È$
œ sinÐ" Ñ
sinÐ" Ñ œ
1
$
oppure " œ
#1
$
È$
#
.
Ora, non è immediato stabilire quale di questi due valori sia da scartare: infatti
entrambi sono maggiori di ! (come deve essere, perché , +) e ciascuno di essi, sommato ad
!, dà come risultato un angolo convesso. Ricavando per primo l’angolo maggiore si evita
questo imbarazzo, dal quale però si può uscire facilmente: infatti se fosse " œ #$1 sarebbe
# œ 1' œ !, mentre sappiamo che - +; dunque l’unica soluzione accettabile è: ! œ 1' ,
" œ 1$ , # œ 1# .
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 49
Esempio R4.7.2
1
Siano dati:
+ ³ "; ! ³ 1% ; " ³ "#
.
#1
Per il teorema R4.2.1, si trova subito che # œ $ . Per trovare , e - basta applicare il teorema
+
,
sinÐ!Ñ œ sinÐ" Ñ
dei seni. Dalla relazione
cioè, nel nostro caso,
"
È#
#
si ricava che
,œ
,
È' È#
%
È' È#
È$ "
œ
;
#
#†È#
+
sinÐ!Ñ œ sinÐ# Ñ
mentre dalla relazione
"
È#
#
cioè, nel nostro caso,
-œ
si ricava che
œ
œ
-
È$
#
È$
È'
#
†
œ
È#
#
# .
Esempio R4.7.3
Siano dati:
+ ³ È' ; , ³ È$ "; # ³ 1% .
Si ricava in primo luogo - applicando il teorema del coseno. Dalla relazione
- # œ +# ,# #+, † cosÐ# Ñ
che nel nostro caso diventa
- # œ ' Ð$ " # † È$ Ñ # † È' † ÐÈ$ "Ñ †
È#
#
si trova subito che - œ #. Applichiamo ancora il teorema del coseno per ricavare ! (cioè,
l’angolo opposto al lato maggiore). Dalla relazione
+# œ ,# - # #,- † cosÐ!Ñ
che nel nostro caso diventa
si ottiene che
' œ Ð$ " # † È$ Ñ % # † ÐÈ$ "Ñ † # † cosÐ!Ñ
cosÐ!Ñ œ
e quindi che ! œ
#1
$
.
Infine, per il teorema R4.2.1, " œ
1
"#
.
"
#
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 50
Vediamo perché conviene ricavare ! mediante il teorema del coseno. L’alternativa,
trovato - come sopra, sarebbe applicare il teorema dei seni, e precisamente la relazione
+
sinÐ!Ñ œ sinÐ# Ñ
che, nel nostro caso, è
Da questa si ottiene che
sinÐ!Ñ œ
È$
#
È'
sinÐ!Ñ œ
#
È#
#
.
1
$
e dunque ! œ
oppure ! œ
#1
$
.
Ora, non è immediato stabilire quale di questi due valori sia da scartare: infatti
entrambi sono maggiori di # (come deve essere, perché + - ) e ciascuno di essi, sommato a
# , dà come risultato un angolo convesso. Ricavando ! col teorema del coseno si evita questo
imbarazzo, dal quale però si può uscire facilmente: infatti se fosse ! œ 1$ sarebbe
" œ &"#1 !, mentre sappiamo che , +; dunque l’unica soluzione accettabile è: ! œ #$1 ,
1
" œ "#
, # œ 1% .
Esempio R4.7.4
Siano dati:
+ ³ #; , ³ $; ! ³ 1% .
Cerchiamo di ricavare l’angolo " applicando il teorema dei seni, precisamente usando la
relazione
+
,
sinÐ!Ñ œ sinÐ" Ñ
#
È#
#
che nel nostro caso diventa
$
œ sinÐ" Ñ .
Si ricava che deve essere sinÐ" Ñ œ $% † È# .
Ma $% † È# " (per convincersene si elevino al quadrato ambo i membri, che sappiamo
essere positivi!); ciò significa che non esiste alcun triangolo verificante le condizioni
assegnate.
Esempio R4.7.5
Siano dati:
+ ³ #; , ³ È# ; ! ³ 1% .
Cerchiamo di ricavare l’angolo " applicando il teorema dei seni, precisamente usando la
relazione
+
,
sinÐ!Ñ œ sinÐ" Ñ
#
È#
#
che nel nostro caso è
È#
œ sinÐ" Ñ .
Si ricava che deve essere
sinÐ" Ñ œ "#
e dunque " œ 1' oppure " œ &'1 .
Non può essere però " œ &'1 , perché ! " sarebbe un angolo concavo ( 1% &'1 œ "$"#1 1).
Dunque necessariamente " œ 1' , e # œ ("#1 .
Si trova infine - ancora col teorema dei seni, ad esempio mediante la relazione
+
sinÐ!Ñ œ sinÐ# Ñ
che nel nostro caso è
-œ
#
È#
#
œ
-
È' È#
%
. Si ricava che
È' È#
%
† È œ È$ " .
%
#
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 51
Esempio R4.7.6
Siano dati:
+ ³ #; , ³ È' ; ! ³ 1% .
Cerchiamo di ricavare l’angolo " applicando il teorema dei seni, precisamente usando la
relazione
+
,
sinÐ!Ñ œ sinÐ" Ñ
#
È#
#
che nel nostro caso diventa
È'
œ sinÐ" Ñ .
sinÐ" Ñ œ
Si ricava che deve essere
e dunque
È$
#
1
#1
" œ $ oppure " œ $ .
Entrambi questi valori sono accettabili, perché 1% 1$ œ ("#1 1 e
Ci sono dunque due soluzioni.
Se " œ
1
$
,è# œ
&1
"#
#
È#
#
-œ
si ricava che
#1
$
,è#œ
1
"#
#1
$
œ
""1
"#
1.
œ
-
È' È#
%
;
È' È#
%
† È œ È $ ".
%
#
. Si trova ancora - col teorema dei seni, ad esempio mediante la
+
sinÐ!Ñ œ sinÐ# Ñ
#
È#
#
che nel nostro caso è
si ricava che
. Si trova - ancora col teorema dei seni, ad esempio mediante la relazione
+
sinÐ!Ñ œ sinÐ# Ñ
che nel nostro caso è
Se invece " œ
relazione
1
%
-œ
œ
-
È' È#
%
;
È' È#
%
† È œ È $ ".
%
#
Marco Barlotti - Richiami su isometrie, angoli orientati, trigonometria piana - vers. 2.1 - Pagina 52
BIBLIOGRAFIA
[1]
M. Barlotti
Appunti di MATEMATICA per il corso di laurea triennale in Scienze Naturali
http://www.dmd.unifi.it/marcobar/Snat/Appunti.pdf
http://marcobar.outducks.org/Snat/Appunti.pdf
[2]
G. Choquet
´ ´
L’enseignement de la Geometrie
Hermann, Paris (1964)
[3]
D. Hilbert
Fondamenti della Geometria
Feltrinelli, Milano (1970)
AVVERTENZA
Tutti i diritti di questa pubblicazione sono dell’autore.
È consentita la riproduzione integrale di questa pubblicazione a titolo gratuito.
È altresì consentita a titolo gratuito l’utilizzazione di parti di questa pubblicazione in altra
opera all’inderogabile condizione che ne venga citata la provenienza e che della nuova opera
nella sua interezza vengano consentite la riproduzione integrale a titolo gratuito e
l’utilizzazione di parti a queste stesse condizioni.
L’uso di questa pubblicazione in quasiasi forma comporta l’accettazione integrale e senza
riserve di quanto sopra.
