Elettricità e Magnetismo

Elettricità
e
Magnetismo
M. Cobal, Università di Udine
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Forza di Coulomb Principio di Sovrapposizione Lineare Campo Ele8rico Linee di campo Flusso, teorema di Gauss e applicazioni Condu8ori Energia potenziale ele8rosta=ca La forza elettrica
•  Fenomeni elettrici/magnetici osservati fin dall’antichità
•  Un po’ di storia:
•  In Cina, documenti suggeriscono che il magnetismo fu
osservato già nel 2000 AC
•  In Grecia, fenomeni elettrici e magnetici (esperimenti con
ambra e magnetite) erano già noti nel 700 AC
•  Più recentemente:
•  1785: Charles Coulomb formula la legge dell’inverso del
quadrato per le forze elettriche
•  1820: Hans Ørsted scopre che l’ago della bussola cambia
Direzione quando è posto vicino ad un filo che porta corrente
•  1831: M. Faraday e J. Henry mostrano che se un filo è in
moto vicino ad un magnete, si produce una corrente elettrica nel
filo
•  1870: James Clerk Maxwell usa osservazioni e altri fatti sperimentali
come base per formulare le leggi dell’ elettromagnetismo note come
equazioni di Maxwell
•  Unificazione di elettricità e magnetismo –equazioni giuste, ma non
consistenti con il principio di relatività galileiana
•  1888: Heinrich Hertz verifica le predizioni delle leggi di Maxwell e
produce onde elettromagnetiche
• 1905: Albert Einstein propone la soluzione per l’inconsistenza fra
equazioni di Maxwell e relatività galileiana (teoria della relatività)
Legge di Ceoulomb •  2 tipi di cariche elettriche:
positive
negative
- negative: tipo posseduto dagli elettroni
- positive: tipo posseduto dai protoni
•  Cariche dello stesso segno si respingono
•  Cariche di segno opposto si attraggono
•  Forza diretta lungo la congiungente le due cariche
•  Forza proporzionale all’inverso del quadrato della distanza r nel
vuoto.
•  Ovviamente vale la III legge di Newton, per cui F21 = F12
Unità di misura della carica Il valore della costante k che appare nell’espressione della forza di
Coulomb? dipende dall’unità di misura della carica.
Nel SI, la carica si misura in Coulomb, C (q è il simbolo standard
usato per indicare la carica). Nel SI k vale:
La costante ε0, introdotta per convenienza, vale ε0 = 10−12C2/N/m2
ed è detta costante dielettrica del vuoto.
Due cariche di 1 C a distanza di 1 m si attirano quindi con una forza
F = 9 x 109 N! Quantizzazione della carica
•  Molti esperimenti mostrano che la carica elettrica è quantizzata,
cioè esiste solo in pacchetti discreti: q = ±Ne, dove N è un intero,
ed è l’unità fondamentale di carica:
e = 1.6 x 10−19 C. Per gli elettroni: q = −e; per i protoni: q = +e.
•  Dato il gran numero di cariche presenti nella materia,
l’uguaglianza delle cariche fondamentali positive e negative deve
essere esatta, o altrimenti tutti i corpi avrebbero una carica netta.
•  La carica netta di un sistema isolato è sempre conservata. Per
esempio, se si elettrizza un corpo per sfregamento, non c’è né
creazione nè distruzione di carica, ma solo trasferimento di carica
(elettroni) dal materiale che si carica positivamente (vetro) a
quello che si carica negativamente (seta). Campo elettrico
La forza elettrica agente su di una carica 2 da parte di una carica 1 è
fattorizzabile come prodotto della carica del corpo 2 per una funzione
vettoriale che dipende solo dalle caratteristiche della carica 1.
Quest’ultima si dice campo e si indica di solito con la lettera E:
E1 è il campo elettrico generato dalla particella 1, che sappiamo pari a:
In generale, un campo (vettoriale) associa ad ogni punto dello spazio
un vettore. Esempio già noto: campo gravitazionale terrestre, ~g (sulla
superficie della Terra). E’ un esempio di campo costante Principio di sovrapposizione
•  La legge di Coulomb è lineare nella carica.
• Per essa vale il principio di sovrapposizione lineare:
La forza risultante agente su di una carica è uguale alla
somma vettoriale delle forze individuali dovute a tutte le altre
cariche
Nel caso in cui non sia possible tenere traccia
delle forze individuali (per esempio quando
si ha una distribuzione continua di cariche) la
forza risultante può essere scritta come
somma/integrale vettoriale delle forze
esercitate da ogni volumetto infinitesimo di
carica
Linee di campo
Si usano per rappresentare graficamente un campo
•  Linee tangenti in ogni punto al campo (verso dato da una freccetta)
•  Escono da cariche positive (entrano in cariche negative).
•  Più fitte se campo forte, meno fitte in regioni di campo debole.
Linee di forza del campo elettrico
Linee di campo II
Linee di campo per un campo
costante: parallele e con spaziatura
costante. Come `e diretto il campo?
Campo generato da due cariche
uguali. Vicino ad ogni carica, le
linee di forza somigliano a quelle
di una singola carica. Attorno al
punto C non ci sono linee: perchè?
Linee di campo per due cariche
uguali ma di segno opposto (un
dipolo): notate come le linee
”escano” dalla carica positiva ed
”entrino” nella carica negativa.
Campo elettrico di un dipolo
Il campo elettrico di un dipolo (vedi figura) è un caso
semplice (ma non banale) ed importante. Nel punto P,
E è diretto lungo:
Ovvero:
. Notare la dipendenza dal
fattore D = 2qa, noto come momento di dipolo. A
grandi distanze, y >> a, si trova:
Introduciamo un vettore D di modulo D e diretto dalla carica negativa
a quella positiva: Qual’è il valore del campo elettrico se il punto P è
lungo l’asse x ?
Elettrone in campo costante
Supponiamo che un elettrone entri in
una zona di campo elettrico costante.
Qual è il suo moto?
F = eE è costante in modulo e direzione. Il moto è uniformemente
accelerato lungo E , uniforme in direzione perpendicolare a E :
La traiettoria è una parabola:
Notare la dipendenza da e/me, rapporto fra carica e massa dell’elettrone
Elettrone in campo costante II
Sia data ora la situazione in figura. Qual’è il
moto dell’elettrone, e quanto vale la sua
energia cinetica finale? Supponiamo x(t = 0) =
xi = 0. Avremo:
L’elettrone arriva in x = xf al tempo t:
con velocità:
L’energia cinetica finale sarà:
Da notare che eExf `e il lavoro fatto dalle forze elettriche sulla carica.
Campo per distribuzioni di carica
Per un sistema di molte cariche puntiformi, il campo elettrico si può
calcolare come somma di tutti i contributi delle varie cariche:
Se le cariche sono presenti in numero macroscopico, conviene
introdurre la densità di carica (ρ): carica per unità di volume, in
funzione della posizione. La somma diventa un integrale sul volume:
Dove r è la distanza fra la carica dq e il punto in cui si calcola il campo.
Il calcolo del campo elettrico può diventare assai laborioso. Esiste però
un altro approccio, spesso più conveniente, basato sul concetto di flusso
del campo elettrico.
Flusso del campo elettrico
Il Flusso di un campo elettrico (o
di qualunque campo) costante E
attraverso una superficie A è
definito come:
dove Φ è l’angolo fra il campo E e la
normale alla superficie.
Se il campo elettrico e la normale
alla superficie sono allineati, il flusso è
semplicemente il prodotto della
superficie per il campo elettrico:
Φ = AE.
E se la superficie non è un piano? e se
il campo elettrico non è costante?
Flusso del campo elettrico
Teorema di Gauss
Teorema di Gauss II
Filo uniformemente carico
Piano infinito uniformemente carico
Condensatore piano
Sfera di densità di carica uniforme
Sfera di densità di carica uniforme
Conduttori
Energia potenziale di due cariche
Energia Potenziale elettrostatica
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