1 Pagina 107 esercizio 18 Applicazione al triangolo equilatero

Pagina 107 esercizio 18
Applicazione al triangolo equilatero.
Ricorda:
a) Conosci il lato l, calcolare l’altezza h:
|BC| = l ; |MB| =
2
1
h = √𝑙 2 − (2 𝑙)
1
2
l
1
;
h = √𝑙 2 − 4 l2
4l2 − l2
h=√
3l2
h= √
4
l2
h= √ 4 . √3 ;
h =
𝐥𝐚𝐭𝐨
𝟐
b) Formula inversa :conosco l’altezza e devo calcolare il lato.
h=
𝐥𝐚𝐭𝐨
𝟐
√𝟑
Razionalizzo :
; 2h = lato. √𝟑 ;
2h .√3
√3 .√3
2h
√3
= lato ; lato =
=
lato
2h .√3
3
; l=
Disegna in scala 1 :200 l’esagono di lato 8 m.
1
2h
3
. √3
4
=
√𝟑
=
a) Calcola la lunghezza della diagonale BF , sapendo che l = 8 m.
a) Un possibile modo.
Il triangolo ABF è isoscele poiché |𝐴𝐵| = |𝐴𝐹| = 8 (m)
L’ angolo 𝐴𝐵̂ 𝐹 = 𝐴𝐹̂ 𝐵 = (180° − 120°): 2 = 30°
L’ angolo 𝐹𝐴̂𝐾 = 180° − (90° + 30°) = 60°
Il triangolo FKA e del tipo 30° ; 60° ; 90°
Dunque |𝐹𝐾| =
|𝐴𝐹|.√3
2
=
8.√3
2
= 4√3 ( m)
|𝐹𝐵| = 2|𝐹𝐾| = 2 . 4√3 = 8√3 ≅
b) Un secondo possibile modo.
Il triangolo BEF è rettangolo, poiché 120° - 30° = 90°,
dunque posso applicare il teorema di Pitagora: |𝐹𝐵| =
√|𝐵𝐸|2 − |𝐸𝐹|2 = √162 − 82 = √192 = √26 . 3 = √26 . √3 =
= 23 √3 = 8√3 ≅ 13,86 ( m)
b) Calcola l’area del triangolo BCH, sapendo che H è il punto medio di CD.
Il triangolo HDO e del tipo 30° ; 60° ; 90° ; dunque
|𝑂𝐻| =
|𝑂𝐷|.√3
2
=
8.√3
2
= 4√3 ( m)
Area triangolo BCH =
|𝐻𝐶|.|𝑂𝐻|
2
c) Il perimetro del triangolo EFG.
Sai che |𝐻𝐸| =
1
2
|𝑂𝐸| = 4 ( 𝑚) .
Il triangolo GHE è del tipo 30° ; 60° ; 90° ; dunque
|𝐺𝐸|=
2h
3
. √3 =
Perimetro : 2 .
2
2.4
3
8
3
8
. √3 = 3 . √3 ( m)
. √3 + 8 =
16
3
. √3 + 8 ≅ 17,24 (m)
=
4 .4.√3
2
= 8√3 ≅ 13,86 ( 𝑚2 )