frazioni equivalenti - 14 Istituto Comprensivo

UDA PERCORSO DI ISTRUZIONE DI PRIMO LIVELLO
PRIMO PERIODO DIDATTICO: GENNAIO
ASSE MATEMATICO
U.D.A. N°3
MODULO: FRAZIONI, PERCENTUALI, SCONTO, INTERESSE
ABILITÀ :
- Affrontare situazioni problematiche traducendole in termini matematici,
sviluppando correttamente il procedimento risolutivo e verificando l’attendibilità
dei risultati.
ORE IN PRESENZA 10
ORE A DISTANZA 2
TOTALE COMPLESSIVO DELLE ORE 12
CONOSCENZE
a) La frazione come operatore su interi
b) Il frazione decimale e la frazione percentuale.
c) Calcolo della percentuale
d) Problemi sullo sconto: risparmio, tasso di sconto, prezzo scontato
e) Matematica finanziaria: interesse, capitale, tasso di interesse
PREREQUISITI
- conoscenza dell’insieme N e Q e delle quattro operazioni fondamentali
ATTIVITA’
 Matematizzazione di situazioni e risoluzione di problemi attraverso contenuti specifici
 Lezioni espositive e dialogiche appositamente strutturate seguite da fasi operative su
materiale predisposto
 Lavoro di gruppo e al fianco del singolo corsista.
 Attività individualizzate di recupero, consolidamento e potenziamento.
 Discussione collettiva e momento di confronto con i corsisti.
 Attività di verifica intermedia e finale
 Utilizzo di dispense, fotocopie, articoli di giornale e riviste scientifiche,
 Lettura testi vari, schede operative appositamente predisposte,
 Tabelle, sussidi audiovisivi e informatici.
VERIFICA
- Osservazioni sistematiche.
- Prove oggettive a carattere monotematico a conclusione dell’ unità.
- Verifiche di carattere formativo con quesiti a difficoltà graduata.
- Questionari aperti, a risposta multipla o del tipo vero/falso.
- Compilazione di schede operative appositamente predisposte.
- Autovalutazione.
- Verifica finale scritta e orale.
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2
3
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1°- FRAZIONI ( IN PRESENZA )
Verifica
intermedi
a
Verifica
intermedi
a
Verifica
intermedi
ae
sommativ
a
Verifica
intermedi
a on line
verifiche
finali
DURATA 2h
CONTENUTI “IL CONCETTO DI FRAZIONE: CLASSIFICAZIONE DI FRAZIONI”
Si spiegherà il significato di frazione e si procederà alla lettura delle principali frazioni,
indicando il numeratore , il denominatore e la linea di frazione. Si procederà alla individuazione
della parte frazionari operando sugli interi e si chiarirà il concetto di FRAZIONE
Chiamasi frazione un’operazione sull’intero di due numeri , uno che divide l’intero in parti
uguali (denominatore) e l’altro che prende la parte ottenuta un certo numero di volte
(numeratore)
Si passerà quindi alla classificazione di frazioni considerando le tre tipologie:
FRAZIONI PROPRIE
FRAZIONI IMPROPRIE
FRAZIONI APPARENTI
ESEMPIO DI VERIFICA
-
Leggi le seguenti frazioni
Rappresenta con un disegno le frazioni
Colora la parte corrispondente alle frazioni indicate
Individua la frazione rappresentata con un disegno
Calcola il valore delle frazioni di un intero assegnato (problema diretto)
Aiutandoti con la quadrettatura del quaderno rappresenta con un disegno le seguenti
frazioni:
𝟒 𝟔 𝟑 𝟐 𝟗 𝟕 𝟏 𝟏𝟎 𝟐 𝟕 𝟏𝟐 𝟑 𝟏𝟐 𝟏𝟑
, , , , , , ,
, , ,
, ,
, ,
𝟑 𝟕 𝟓 𝟕 𝟓 𝟕 𝟗 𝟏𝟏 𝟕 𝟓 𝟕 𝟖 𝟕 𝟗
2° FRAZIONI EQUIVALENTI ( IN PRESENZA)
DURATA 2h
CONTENUTI “FRAZIONI EQUIVALENTI”
Si spiegherà il significato di equivalenza fra frazioni con esempi di frazioni apparentemente
diverse , ma che portano alla stessa quantità se applicate a determinati interi
Considerando le frazioni
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟒
𝟔
𝟖
|-------------------| -----------------|
𝟏
|---------|---------|---------|---------|
𝟐
𝟐
𝟒
|------|------|------|------|------|-----|
|----|-----|----|----|----|----|----|----|
𝟑
𝟔
𝟒
𝟖
si farà notare che agendo sul medesimo intero, le diverse frazioni daranno sempre la stessa
parte frazionaria. Conclusione: due o più frazioni sono equivalenti se, operando sull’intero,
rappresentano la stessa quantità.
Si procederà alla semplificazione delle frazioni e alla riduzione ai minimi termini, spiegando il
diverso significato di semplificare e ridurre ai minimi termini
Semplificare vuol dire dividere numeratore e denominatore per un divisore comune
Le frazioni equivalenti, ridotte ai minimi termini, devono essere uguali.
Si farà vedere come, dividendo numeratore e denominatore per un divisore comune, si
proceda alla semplificazione delle frazioni . Si farà facilmente verificare che numeratore e
denominatore :
a)
b)
c)
d)
e)
sono divisibili per 2 se sono numeri pari
sono divisibili per 5 se sono numeri che terminano con 0 o 5
sono divisibili per 3 se sono numeri la cui somma delle cifre è un multiplo di 3
sono divisibili per 10, 100, 1000, se terminano con 1, 2 ,3 zeri
sono divisibili per 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e/o dispari,
con la somma delle cifre di posto dispari o/e pari è zero o un multiplo di 11
ESERCIZI
-Semplifica le frazioni
5
10
10
,
15
22
12
,
33
36
,
30
20
, 30 ,
44
24
36
20
, 15 ,
4
,
8
32
88
200
, 500 ,
1
22
, ,
34 88
35
,
70
- Sottolinea quelle che risultano equivalenti
- Rappresenta con un disegno frazioni equivalenti assegnate.
3°-FRAZIONI DECIMALI E PERCENTUALI (in presenza)
DURATA 2h
CONTENUTI
“CONCETTO DI FRAZIONE DECIMALE “
“E’ una frazione nella quale il denominatore risulta sempre 10, 100, 1000 ecc mentre il
numeratore può essere un numero qualsiasi”.
Sono frazioni decimali
𝟐
𝟐
,
,
𝟑
𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎
,
𝟐𝟕
,
𝟓
,
𝟏𝟑𝟐
,
𝟐𝟏
,
𝟐
𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎
ecc
Ogni frazione decimale che ha come denominatore 100, è detta frazione percentuale o
semplicemente percentuale:
2
= 2%; 2
100
3
= 3%;
100
5
= 5% ;
100
50
100
= 50% ;
70
100
= 70%;
102
= 102% ecc
100
Trasformare un qualsiasi rapporto in rapporto percentuale
Si possono trasformare in frazioni percentuali, e quindi in percentuali, tutte le frazioni e i
rapporti fra grandezze, purché si proceda con la seguente regola:
“Si divide il numeratore della frazione per il denominatore e si moltiplica il risultato ottenuto
per 100”.
Ecco alcuni esempi:
1/2
1:2=0,5
0,5×100= 50%;
2/10
2:10= 0,2
0,2×100= 20%
5/8
5:8 =0,625
0,625×100= 62,5%
Esercizi
Calcola la percentuale dei cerchi , dei triangoli e dei rettangoli del seguente disegno:
Triangoli:
8 su 20 quindi 8 : 20 × 100 =0,40 × 100 = 40 %
Quadrati:
…………………………………………………………
Rettangoli:
…………………………………………………………
ESEMPIO DI ESERCIZI DA PROPORRE
1) Trasforma le seguenti frazioni in percentuali: esercizio svolto
2) 15 alunni su 25 vanno in gita: sai dire a quale percentuale corrisponde?
3) Ho vinto 7 partite su 20: sai dire a quale percentuale corrisponde il numero di partite
vinte? A quale percentuale quelle perse?
4) 12 alunni su 30 sono iscritti a una palestra e i rimanenti a una scuola di danza: calcola
la percentuale degli alunni iscritti in palestra e quella di quelli iscritti alla danza.
5) Se 15 amici vanno in montagna su un totale di 25, quale percentuale rappresenta
questa parte?
6) Una classe di scuola media, di 28 alunni, aderisce a delle iniziative sportive in questa
maniera:
2 alunni si iscrivono a una scuola di equitazione
7 aderiscono al calcio
5 partecipano a corsi di nuoto
4 si iscrivono a un corso di danza
La rimanente parte non aderisce a nessuna iniziativa.
Calcola la percentuale degli alunni relativa a ogni singola disciplina sportiva
4°-PROBLEMI SULLO SCONTO (in presenza )
Durata 2 h
CONTENUTI
Si farà notare che lo sconto è una riduzione del prezzo di una certa merce che
viene calcolata in percentuale.
- Una riduzione del 30% può essere interpretata come una diminuzione di 30 € se
il costo base è di 100€.
- Una riduzione del 20%, una diminuzione di 20 € se il costo base è di 100€.
- Una riduzione del 40%, una diminuzione di 40€ se il costo base è di 100€.
A questo punto si procederà a calcolare lo sconto su un prezzo diverso da 100€,
con un esempio concreto:
Calcolare il 30% di 200 €.
Si sa che 30% corrisponde alla frazione
30
100
quindi 30% del prezzo di 200 € sarà:
30
100
di 200 € → 200:100 x 30=2x 30= 60€
oppure 200x30:100=60 €
Sostituendo ai numeri le grandezze rappresentate si potrà facilmente ottenere la
formula:
Sconto =
𝑃𝑥𝑡
100
dove P = prezzo base, t = tasso di sconto e 100 una costante
Con ragionamento analogo, si potrà direttamente ottenere la formula per il calcolo
del prezzo scontato.
Prezzo scontato =
𝑃 𝑥 (100−𝑡)
100
tenendo conto che, se t è il tasso di sconto, 100 -t è la parte relativa al prezzo
scontato.
Infatti, se lo sconto è del 30% , il 70% (100-30) corrisponde alla quota da pagare.
ESERCIZI DA PROPORRE
Calcola lo sconto se:
Il prezzo base è di 300 € e lo sconto è
del 20%
Calcola il prezzo scontato se:
Il prezzo base è di 200 € e lo sconto è
del 25%
Il prezzo base è di 400 € e lo sconto è
del 30%
Il prezzo base è di 400 € e lo sconto è
del 20%
Il prezzo base è di 500 € e lo sconto è
del 25%
Il prezzo base è di 24 € e lo sconto è
del 40%
Il prezzo base è di 30, 20 € e lo sconto
è del 40%
Il prezzo base è di 1250 € e lo sconto è
del 60%
Il prezzo base è di 1200 € e lo sconto è
del 70%
Il prezzo base è di 30, 25 € e lo sconto
è del 40%
Il prezzo base è di 30,50 € e lo sconto è Il prezzo base è di 500 € e lo sconto è
del 27%
del 12%
Il prezzo base è di 1220 € e lo sconto
del 52%
Il prezzo base è di 123,4 e lo sconto è
del 70%
APPROFONDIMENTO (FACOLTATIVO)
“CALCOLO DEL TASSO DI SCONTO”
CONTENUTI
Si farà notare che per calcolare la percentuale di sconto si potrà applicare la formula:
% di sconto =
𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 100
𝑝𝑟𝑒𝑧𝑧𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒
Questa formula la si può spiegare tenendo conto del fatto che il risparmio rappresenta una
parte rispetto al prezzo iniziale: questa parte la si ricava dividendo lo sconto per il prezzo
iniziale. La successiva operazione di moltiplicazione per cento trasforma questa parte in
percentuale: ad esempio, se si parte dallo sconto di 40 € su un totale di 200€ (prezzo di listino)
si ha:
40: 200= 0,2
0,2 x100 = 20%
Esempi da proporre :
- se ho pagato 30 € su un prezzo base di 40€ lo sconto è: 40€ -30€=10€,
quindi:
% di sconto =
10 𝑥 100
40
= 25 %
ESEMPIO DI PROBLEMI DA PROPORRE:
a) Si è risparmiato 120€ per comprare un vestito. Sapendo che il prezzo di listino era di
300€, qual è la percentuale di sconto?
b) Si è risparmiato 36 € per comprare una giacca , sapendo che il prezzo della giacca è
di 90€ , qual è la percentuale di sconto?
c) Si è speso 240€ per comprare un vestito, sapendo che il prezzo di listino era di 300€ ,
qual è percentuale di sconto?
d) Si è speso 28€ per comprare un cappello, sapendo che il prezzo del cappello è di 40€,
qual è percentuale di sconto?
e) Si è risparmiato 21,50 € per comprare una maglia, sapendo che il prezzo di listino è di
50€ , qual è percentuale di sconto?
A TERMINE ESERCIZI DI RIEPILOGO SULLO SCONTO.
5°- MATEMATICA FINANZIARIA ( in FAD )
DURATA 2h (1+1)
Lezione da erogare in Fad anche attraverso diapositive e grafici in Word
CONTENUTI
Si insisterà sul significato di interesse, deposito in banca, termini noti nel linguaggio comune e
ai quali daremo risalto e importanza matematica. Si spiegherà il significato di Capitale
equivalente al deposito in banca o in Istituti simili ( ad esempio Poste)
Si spiegherà il significato di :
- tasso: primo elemento del rapporto percentuale col quale si calcola l’interesse;
- interesse: somma corrisposta dall’istituto bancario a beneficio del depositante;
- montante: quota corrispondente alla somma dell’interesse e del capitale.
Esempio, se il tasso è del 2% , vuole dire che su un deposito di 100 euro, a fine anno il
depositante avrà un interesse di 2 euro e un Montante di 102€ .
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
Si partirà da un problema tratto dalla vita quotidiana:
- Quale sarà l’interesse che il signor Rossi ottiene su un deposito di 13000 € con un
tasso del 2%?
Per rispondere a questa domanda basterà far vedere che:
- 2 % corrisponde alla frazione
2
100
. Quindi, calcolare il 2% di 13000 € equivale a
eseguire i calcoli:
→13000:100x2=260 € o anche
→13000x2/100
Da quest’ultimo calcolo, sostituendo opportunamente ai valori le lettere e considerando
approssimativamente il numero di anni, si arriverà alla formula matematica :
INTERESSE =
Esempio:
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑥 𝑡𝑎𝑠𝑠𝑜 𝑥 𝑎𝑛𝑛𝑖
100
- se il capitale è di 3000 €, il tasso è del 2%, in 3 anni si farà notare che
I=
𝑪𝒙𝒕𝒙𝒂
𝟏𝟎𝟎
=
𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑
𝟏𝟎𝟎
=
𝟏𝟖𝟎 €
𝟏
= 𝟏𝟖𝟎€
Grazie alle formule inverse potranno calcolarsi anche il capitale e il tasso percentuale:
CAPITALE =
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑥 100
TASSO =
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑥 100
𝑡𝑥𝑎
𝐶𝑥𝑎
ESERCIZI DA PROPORRE
Calcola l’interesse:
a) sapendo che il Capitale è di 23000 € al tasso del 3% per un anno;
b) sapendo che il Capitale è di 24000 € al tasso del 1,5% per 2 anni;
c) sapendo che il Capitale è di 34000 € al tasso del 3% per 3 anni;
d) sapendo che il Capitale è di 100000 € al tasso del 2,1% per un anno;
e) sapendo che il Capitale è di 25000 € al tasso del 0,5% per 4 anni,
f) sapendo che il Capitale è di 30000 € al tasso del 4% per 10 anni.
Calcola il capitale:
1) sapendo che l’Interesse del 3% per un anno è di 3000 €;
2) sapendo che l’Interesse del 0,5% per un anno è di 1000 €;
3) sapendo che l’Interesse del 1,3% per un anno è di 26000 €;
4) sapendo che l’Interesse del 2,5% per un anno è di 2000 €;
5) sapendo che l’Interesse del 2.1% per un anno è di 12000 €:
Calcola il tasso di interesse:
6) se il capitale depositato è di 64000 € e l’interesse 1200 in 1 anno;
7) se il capitale depositato è di 164000 € e l’interesse 2200 in 2 anni;
8) se il capitale depositato è di 14000 € e l’interesse 1300 in 3 anno;
9) se il capitale depositato è di 64000 € e l’interesse 1200 in 1 anno;
10) se il capitale depositato è di 64000 € e l’interesse 1200 in 1 anno.
6°- PROBLEMI SULLO SCONTO e MAT. FINANZIARIA
DURATA 2h
Si riassumeranno le diverse tipologia di calcolo matematico per risolvere problemi sullo
sconto e di matematica finanziaria , operando una ricognizione sui saperi appresi e
sulle competenze acquisite: seguiranno prove sommative a conclusione delle attività.
Prof. Salvo Caldarella – Matematica e Scienze, CTP Avola -Noto