Modelli probabilistici nelle scienze
cognitive (2)
Corso di Interazione uomo-macchina II
Prof. Giuseppe Boccignone
Dipartimento di Scienze dell’Informazione
Università di Milano
[email protected]
http://homes.dsi.unimi.it/~boccignone/l
Probabilità e scienze cognitive
//tre problemi per i modelli cognitivi
• Percezione e azione hanno a che fare con eventi incerti:
• rumore, incertezza
• ignoranza sulle condizioni al contorno
stesso
oggetto
immagini
diverse
Probabilità e scienze cognitive
//tre problemi per i modelli cognitivi
• Percezione e azione hanno a che fare con eventi incerti:
• rumore, incertezza
• ignoranza sulle condizioni al contorno
oggetti
diversi
immagini
identiche
Probabilità e scienze cognitive
//tre problemi per i modelli cognitivi
• Percezione e azione hanno a che fare con eventi incerti:
• rumore, incertezza
• ignoranza sulle condizioni al contorno
! incertezze
}
! conoscenza
! modularità
Module
design
Module integration
?
La logica dell’incerto
• Come già osservava Locke (1632-1704), anche gli agenti più razionali
prendono le loro decisioni non nella chiara luce della certezza nel “crepuscolo
delle probabilità”.
• “Merita forse anche il titolo di conoscenza l'opinione fondata sulla plausibilità;
[…] Per questo credo che la ricerca sui gradi di probabilità sia estremamente
importante; […] Così, quando non si potesse decidere con assoluta certezza una
questione, si potrebbe almeno determinare il grado di probabilità alla luce
dell'evidenza”. (G.W. Leibniz, Nuovi Saggi sull’Intelletto Umano).
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza inconscia
• Come già osservava Locke (1632-1704), anche gli agenti più razionali
prendono le loro decisioni non nella chiara luce della certezza nel “crepuscolo
delle probabilità”.
Te o r i a d e l l a
probabilità
! incertezze
! conoscenza
! modularità
Module
design
Module integration
}
?
Quale probabilità
//Tre concetti di probabilità: la definizione classica
• La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il
numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano ugualmente possibili.
• Quindi se i casi possibili sono n e i casi favorevoli sono nA, per la teoria
classica la probabilità che accada l'evento A sarà:
Tre concetti di probabilità: la definizione
frequentista
• La probabilità di un evento è il limite della frequenza (relativa) dei successi,
cioè del verificarsi dell'evento, quando il numero delle prove tende all'infinito.
Tre concetti di probabilità: la definizione
soggettivista
• La probabilità di un evento è il prezzo che un individuo razionale ritiene equo
pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica (e 0 altrimenti).
• Alessio è disposto a scommettere 1 contro 20 sul fatto che nel pomeriggio arrivi
finalmente l'idraulico a riparare il rubinetto che perde da una settimana:
attribuisce cioè a tale evento una probabilità ! 1/21 (meno del 5%).
• È come se ci trovassimo ad effettuare un sorteggio da un'urna con 1 pallina
rossa (evento positivo = arrivo dell'idraulico) e 20 palline nere (eventi negativi =
assenza dell'idraulico).
Come si valuta la probabilità?
• Immaginiamo che ci sia una partita di calcio. Lo spazio degli eventi
comprende (1) la vittoria della squadra di casa, (2) la vittoria della squadra
ospite e (3) il pareggio.
• Secondo la teoria classica esiste 1 probabilità su 3 che abbia luogo il primo
evento
• secondo la teoria frequentista ci si può dotare di un almanacco e controllare tutte
le partite precedenti e calcolare la frequenza dell’evento “vittoria della squadra di
casa”.
• Secondo la teoria soggettivista, ci si può documentare sullo stato di forma dei
calciatori, sul terreno di gioco e così via fino ad emettere una probabilità
soggettiva.
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza inconscia
• Probabilità soggettiva: mette in relazione le asserzioni fatte sul mondo con lo
stato di conoscenza dell’agente
Te o r i a d e l l a
probabilità
! incertezze
! conoscenza
! modularità
Module
design
}
?
Module integration
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza inconscia
...(Helmholtz, 1925)
I called the connections of ideas which take place in these processes
unconscious inferences.
These inferences are unconscious insofar as
their major premise is not necessarily expressed in the form of a proposition;
it is formed from a series of experiences whose individual members have
entered consciousness only in the form of sense impressions which have long
since disappeared from memory.
Some fresh sense impression forms the minor premise, to which the rule
impressed upon us by previous observations is applied
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza inconscia
...(Helmholtz, 1925)
(T. Bayes, 1702-1761)
fresh sense
impression forms
the minor premise
unconscious inferences
rule impressed upon us by
previous observations
P( osservazioni
| conoscenza) x P((knowledge)
conoscenza)
P (observation|knowledge)P
(knowledge|observation)
P(Pconoscenza
| osservazioni) = =
P (observation)
P( osservazioni )
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza inconscia
• Probabilità soggettiva: mette in relazione le asserzioni fatte sul mondo con lo
stato di conoscenza dell’agente = grado di credenza
! incertezze
Teoria
Bayesiana
! conoscenza
! modularità
Module
design
Module integration
della probabilità
Probabilità
//sintassi
• Proposizioni elementari
C, L, I
le possiamo considerare
variabili aleatorie
che assumono un valore
(discreto/continuo)
rispetto agli eventi che
accadono nel mondo.
Il risultato numerico di un
esperimento
• C = IN, “la curvatura è di tipo IN”
• Proposizioni complesse
• L=sopra ! C = IN
C
Curvatura C={IN, OUT}
L
Posizione sorgente di luce L={sopra, sotto}
I
Immagine I ={
Probabilità
//assiomi
• P(A) ! 0
• P (A ! ¬A) = 0
• P (¬A) = 1 - P(A)
• P(A " B) = P(A) + P(B) - P(A ! B)
,
}
Probabilità
//modellare la percezione del mondo
Probabilità
//modellare la percezione del mondo
• La scelta delle variabili
aleatorie di interesse
L
C
• discrete
• continue
I
C={IN, OUT}
L={sopra, sotto}
Immagine I ={
,
}
Probabilità
//la probabilità del tutto: congiunta
P(I ! C ! L)=P(I, C, L)
P(I, C, L)
I
L
C
I
C={IN, OUT}
L={sopra, sotto}
Immagine I ={
,
}
C
L
IN
sopra
IN
sopra
OUT
sopra
OUT
sopra
IN
sotto
IN
sotto
OUT
sotto
OUT
sotto
Probabilità
//la probabilità condizionata
• Probabilità condizionata di A dato B (posto che conosco il valore di B)
• P(A | B) = P(A ! B) / P(B) = P(A , B) / P(B)
• Ci consente di strutturare la conoscenza sul mondo
B
• Regola del prodotto
A
• P(A , B) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A)
poichè P(A ! B) = P(B ! A)
• P(A , B , C) = P(A | B, C) P(B | C) P(C)
(chain rule)
semplifica una
query difficile
in query più
semplici
Probabilità
//la probabilità condizionata
• Da un punto di vista strettamente Bayesiano esistono solo probabilità
condizionate
• P(A ) -> P(A | H )
• H è l’insieme di ipotesi che ci consentono di esplicitare la conoscenza sul
mondo
Alcune delle ipotesi in H
Posizionamento luci
possibile
L
P(L | H)
L
0,9
sopra
0,1
sotto
P(L | H)
L
0,9
sopra
0,1
sotto
Posizionamento luci
inammissibile
P(L | H)
L
0,9
sopra
0,1
sotto
Probabilità
//la probabilità condizionata
• Da un punto di vista strettamente Bayesiano esistono solo probabilità
condizionate
• P(A ) -> P(A | H )
• H è l’insieme di ipotesi che ci consentono di esplicitare la conoscenza sul
mondo
Alcune delle ipotesi in H
Oggetti che esistono Oggetti che non esistono
nel mondo osservato
nel mondo osservato
C
P(C | H)
C
0,5
IN
0,5
OUT
Probabilità
//specificare un modello del mondo: struttura
P(I ! C ! L)=P(I, C, L) = P(I | C, L) P(C | L) P(L)
Indipendenza di C da L
L
C
P(C | L) = P(C)
P(I, C, L) = P(I | C, L) P(C ) P(L)
I
questo è il mio modello del mondo
C={IN, OUT}
L={sopra, sotto}
Immagine I ={
,
}
Probabilità
//specificare un modello del mondo
• Il modello del mondo mi semplifica la probabilità del tutto (23 -1 stati)
P(I, C, L)
I
C
L
IN
sopra
IN
sopra
OUT
sopra
OUT
sopra
IN
sotto
IN
sotto
OUT
sotto
OUT
sotto
Probabilità
//specificare un modello del mondo
P(I, C, L) = P(I | C, L) P(C ) P(L)
P(C )
C
P(L )
L
0,5
IN
0,9
sopra
0,1
sotto
0,5 OUT
L
C
P(I |C, L)
I
C
IN
IN
OUT
OUT
IN
IN
OUT
OUT
0
1
1
0
1
0
0
1
I
L
sopra
sopra
sopra
sopra
sotto
sotto
sotto
sotto
Probabilità
//specificare un modello del mondo
P(I, C, L) = P(I | C, L) P(C ) P(L)
P(C )
C
P(L )
L
0,5
IN
0,9
sopra
0,1
sotto
0,5 OUT
L
C
I
Probabilità a priori=
la mia conoscenza del mondo
Probabilità
//specificare un modello del mondo
P(I, C, L) = P(I | C, L) P(C ) P(L)
Verosimiglianza=
la mia osservazione del
mondo
L
C
P(I |C, L)
I
I
C
IN
IN
OUT
OUT
IN
IN
OUT
OUT
0
1
1
0
1
0
0
1
Probabilità
//fare inferenze: la regola di Bayes
• Dalla Regola del prodotto:
• P(A , B) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A)
poichè P(A ! B) = P(B ! A)
P(A | B) P(B) / P(A) = P(B | A)
B
B
A
A
Probabilità
inversa
L
sopra
sopra
sopra
sopra
sotto
sotto
sotto
sotto
Probabilità
//Indipendenza (marginale)
Indipendenza di C da L
L
C
P(C | L) = P(C)
P(C, L) = P(C| L) P(L)
= P(C) P(L)
C={IN, OUT}
L={sopra, sotto}
Immagine I ={
,
}
Probabilità
//Indipendenza (marginale)
• Eventi mutualmente esclusivi
• P(A , B) =P(A ! B) =0
P(
,
)=0
• Si semplifica la regola della somma:
• P(A " B) = P(A) + P(B) - P(A ! B) = P(A) + P(B)
P(
"
)=P(
• Generalizzata:
• P(A1 " A2 " ... " AN ) = " i=1;..;N P(Ai )
) +P(
)
Probabilità
//Marginalizzazione
• Dalla probabilità congiunta possiamo ottenere la probabilità (marginale) di una
variabile sommando su tutti i possibili valori delle altre variabili
• P(X) = ! Y P(X, Y)
• P(X) = ! Y P(X, Y) = ! Y P(X | Y) P(Y)
Probabilità
//Marginalizzazione
• La marginalizzazione ci consente inferenze:
• Se osservo I=
, qual è la probabilità di P( C = OUT | I =
P( I =
P( C = OUT | I =
)
, C = OUT )
=
P( I =
#!
L
L={sopra, sotto}
)
P( I =
= ! L={sopra, sotto} P( I =
, C = OUT, L )
| C = OUT, L ) P(C ) P(L)
0,5
{
= P(C = 0UT )
0,9
[ P( I =
| C = OUT, L = sopra ) P(L =sopra)
+ P( I =
| C = OUT, L = sotto ) P(L = sotto) ]
{
{
C
)
0
Probabilità
//Problema per l’inferenza Bayesiana
• La marginalizzazione ci consente inferenze:
• Se osservo I=
, qual è la probabilità di P( C = OUT | I =
P( I =
P( C = OUT | I =
)
, C = OUT )
=
P( I =
P( I =
)
= ! C={IN, OUT} ! L={sopra, sotto} P( I =
)
)
Hic sunt
leones !
, C, L)
= [ P( I =
| C = OUT, L = sopra ) P(L =sopra) P( C = OUT)
+ P( I =
| C = OUT, L = sotto ) P(L = sotto) P( C = OUT)
+ P( I =
| C = IN, L = sopra ) P(L =sopra) P( C = IN)
+ P( I =
| C = IN, L = sotto ) P(L = sotto) P( C = IN)]
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza Bayesiana
Modello generativo
X oggetti
(hidden)
insieme di parametri
Y immagine
(visible)
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza Bayesiana
Likelihood
P (X|Y, Θ, M) =
X
Y
Prior
P (Y |X, Θ, M)P (X|Θ, M)
P (Y |Θ, M)
Inferire
Occorrono i
parametri!
variabili nascoste
Θ
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza Bayesiana
P (X|Y, Θ, M) =
P (Y |X, Θ, M)P (X|Θ, M)
P (Y |Θ, M)
X
P (Θ|Y, M) =
Y
Θ
P (Y |Θ, M)P (Θ|M)
P (Y |M)
Inferire
Occorrono
parametri
i modelli!
= Parameter Learning
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza Bayesiana
P (X|Y, Θ, M) =
P (Y |X, Θ, M)P (X|Θ, M)
P (Y |Θ, M)
X
P (Θ|Y, M) =
Y
Θ
P (M|Y ) =
P (Y |Θ, M)P (Θ|M)
P (Y |M)
P (Y |M)P (M)
P (Y )
Inferire modelli = Model selection
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza Bayesiana
P (X|Y, Θ, M) =
X
Y
Hic sunt
leones !
Θ
P (Θ|Y, M) =
P (M|Y ) =
P (Y |X, Θ, M)P (X|Θ, M)
P (Y |Θ, M)
P (Y |Θ, M)P (Θ|M)
P (Y |M)
P (Y |M)P (M)
P (Y )
Probabilità e scienze cognitive
//percezione come inferenza Bayesiana
• Dove non è possibile
inferenza esatta
1.Metodi Monte Carlo
P (X|Y, Θ, M) =
P (Y |X, Θ, M)P (X|Θ, M)
P (Y |Θ, M)
2.Tecniche variazionali:
• Variational Bayes
P (Θ|Y, M) =
• Loopy Belief
propagation
P (M|Y ) =
• Expectation
propagation
P (Y |Θ, M)P (Θ|M)
P (Y |M)
P (Y |M)P (M)
P (Y )
Modelli nelle scienze cognitive e nella percezione
//da Marr a Bayes
Teoria
computazionale
Livelli di
spiegazione
secondo Marr
Rappresentazione e
algoritmo
Implementazione
hardware
Modelli nelle scienze cognitive e nella percezione
//da Marr a Bayes
Qual è il goal della
computazione?
Livelli di
spiegazione
secondo Marr
Quale
rappresentazione e
quale algoritmo?
Come realizzarla
fisicamente?
Modelli nelle scienze cognitive e nella percezione
//da Marr a Bayes
Teoria Bayesiana
Livelli di
spiegazione
(Kersten e Yuille)
Vincoli
e
ipotesi
Implementazione
Modelli nelle scienze cognitive e nella percezione
//da Marr a Bayes
Modelli teorici
Bayesiani:
Modello Grafico +
PDF
Livelli di
spiegazione
(Boccignone e
Cordeschi)
Inferenza su MG
SIMULAZIONE
Modello
implementativo
