Esempio - Ivan Zivko
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Statistica STATISTICA Ivan Zivko Argomenti del corso • • • • • • • • • • Distribuzioni statistiche e tabelle Grafici Misure di tendenza centrale (Medie) Misure di dispersione Rapporti statistici e numeri indice Curva di Lorentz Retta di regressione Serie storiche Campana di Gauss ….. 2 Docente: Ivan Zivko 1 Statistica Introduzione Popolazione (Universo) Unità statistica Abitanti Svizzera Persona 3 Introduzione: Tipi di variabili • Le unità statistiche possono avere dei caratteri o variabili che ne definiscono un aspetto, per esempio: – Colore degli occhi – Altezza – Stipendio – Ecc. 4 Docente: Ivan Zivko 2 Statistica Tipi di variabili Variabili (Caratteri) Qualitative Ordinabili Non ordinabili (Es.: Titolo Studio) (Es.: Colore occhi) Quantitative Discrete Continue (Es.: Note) (Es.: altezza) 5 Introduzione: Modalità • Le modalità sono le possibili manifestazione di una variabile. Esempi: – Colore occhi: azzurri, verdi, marroni,… – Nazionalità: svizzera, italiana,… – Altezza: 170cm, 175cm,… 6 Docente: Ivan Zivko 3 Statistica Distribuzioni statistiche • Per rappresentare dei dati uno dei modi è usare delle tabelle. Nella seguente per esempio mostriamo le frequenze assolute: Colore degli occhi Frequenza assoluta Azzurri 5 Verdi 3 Marroni 7 Scuri 2 TOTALE 17 7 Distribuzioni statistiche • Un altro modo molto usato è quello di rappresentare i dati tramite le frequenze relative: Colore degli occhi Frequenza assoluta Frequenza relativa Azzurri 5 5/17=0.294=29.4 % Verdi 3 0.176=17.6% Marroni 7 0.411=41.1% Scuri 2 0.118=11.8% TOTALE 17 1=100% 8 Docente: Ivan Zivko 4 Statistica Distribuzioni statistiche • Un’altra distribuzione che può essere usata è la frequenza cumulata, che può essere sia assoluta che relativa. Numero di figli Frequenze relative Freq. Relative cumulate 1 40% 40% 2 30% 30%+40%=70% 3 20% 90% >3 10% 100% Totale 100% 9 Distribuzioni statistiche • Oltre alle tabelle semplici viste fino ad adesso se abbiamo più variabili contemporaneamente possiamo rappresentarle in una tabella a doppia entrata. Sesso Donne Uomini Totale [20, 25[ 21 24 45 [25, 30[ 25 28 53 [30, 35[ 15 31 46 Totale 61 83 144 Età 10 Docente: Ivan Zivko 5 Statistica Distribuzioni statistiche: suddivisione in classi • Spesso i valori sono troppi, e non conviene associare ad ognuno una modalità, perché i dati sarebbero troppi e difficili da leggere. • Molto spesso si impone quindi il raggruppamento in classi. 11 Distribuzioni statistiche: suddivisione in classi • Per determinare il numero di classi ci sono 2 criteri possibili: – Criterio della radice: – Criterio di Sturges: n. di classi n n. di classi 1 10 log(n) 3 12 Docente: Ivan Zivko 6 Statistica Distribuzioni statistiche: suddivisione in classi, esempio • Salario giornaliero di 40 dipendenti: 107 83 100 128 143 127 117 125 64 119 98 111 119 130 170 143 156 126 113 127 130 120 108 95 192 124 129 143 198 131 163 152 104 119 161 178 135 146 158 176 13 Distribuzioni statistiche: suddivisione in classi, esempio • Valore min.=64, Valore max=198. – Il limite minore e quello superiore delle classi devono contenere tutti i dati. • Per esempio si può far partire la prima classe da 60 e l’ultima farla finire a 200. – Il range sarà pertanto: 200-60=140. • Per determinare il numero di classi usiamo il criterio della radice: 40 6,3 – Si potrà creare 6-7 classi. 14 Docente: Ivan Zivko 7 Statistica Distribuzioni statistiche: suddivisione in classi, esempio CLASSI Freq. assolute Freq. relative [60, 80[ 1 0.025 [80, 100[ 3 0.075 [100, 120[ 10 0.25 [120, 140[ 12 0.30 [140, 160[ 7 0.175 [160, 180[ 5 0.125 [180, 200[ 2 0.05 TOTALE 40 1 15 Grafici • I grafici rispetto alle tabelle offrono una visione immediata della situazione, permettendo una più rapida memorizzazione e comprensione. • La scelta del tipo di grafico dipende da fattori soggettivi ma anche dal tipo di dati e dalla scala di modalità impiegata. 16 Docente: Ivan Zivko 8 Statistica Grafici a nastri o colonne • I grafici a nastri o a colonne (o barre) vengono usati soprattutto per variabili qualitative e quantitative discrete. 17 Grafici a nastri o colonne • Per ogni modalità del fenomeno vengono disegnati rettangoli con larghezza generica e di lunghezza proporzionale alla frequenza o all’intensità. • Esempio: ricavi di 5 negozi in un mese. Docente: Ivan Zivko NEGOZIO Ricavi in euro NEG. 1 21.750 NEG. 2 21.100 NEG. 3 20.550 NEG. 4 16.800 NEG. 5 19.700 18 9 Statistica Grafici a nastri o colonne NEG. 5 19,7 NEG. 4 16,8 NEG. 3 20,55 NEG. 2 21,1 NEG. 1 21,75 0 5 10 15 20 25 19 Grafici a nastri o colonne 25 21,75 21,1 20,55 19,7 20 16,8 15 10 5 0 NEG. 1 NEG. 2 NEG. 3 NEG. 4 NEG. 5 20 Docente: Ivan Zivko 10 Statistica Grafici a nastri o colonne • Questo tipo di grafico è possibile utilizzarlo anche con tabelle a doppia entrata. • Esempio 2: ANNI Importazioni Esportazioni 1989 209.910 192.797 1990 217.703 203.515 1991 225.746 209.728 1992 232.111 219.436 1993 232.991 266.214 1994 270.063 305.479 21 Grafici a nastri o colonne 305,479 1994 270,063 266,214 1993 232,991 219,436 1992 232,111 209,728 1991 225,746 203,515 1990 217,703 192,797 1989 209,91 0 50 100 150 Esportazioni 200 250 300 350 Importazioni 22 Docente: Ivan Zivko 11 Statistica Grafici a settori circolari o torta • I grafici a settori circolari vengono usati per mettere meglio in evidenza la suddivisione del fenomeno fra le varie modalità che lo compongono. • Anche questo tipo di grafico è tipico per le variabili qualitative e quantitative discrete. • Gli angoli dei settori di ogni modalità si calcolano col rapporto: i fi f i 360 360 f totale i f totale 23 Grafici a settori circolari o torta • Consideriamo l’esempio dei ricavi dei 5 negozi: NEG. 5 ; 19,7 NEG. 1 ; 21,75 NEG. 4 ; 16,8 NEG. 2 ; 21,1 NEG. 3 ; 20,55 24 Docente: Ivan Zivko 12 Statistica Grafici a settori circolari o torta • Se si vuole mettere in risalto la percentuale di una delle modalità si può estrarre la rispettiva fetta: NEG. 1 ; 21,75 NEG. 5 ; 19,7 NEG. 4 ; 16,8 NEG. 2 ; 21,1 NEG. 3 ; 20,55 25 Grafici a settori circolari o torta • Chiaramente le dimensioni della torta possono variare, ma se rappresentano lo stesso fenomeno le aree di una stessa modalità saranno proporzionali tra loro. • Un grafico a torta può rappresentare sia frequenze assolute che relative. 26 Docente: Ivan Zivko 13 Statistica Istogrammi • Gli istogrammi vengono usati dove abbiamo delle variabili continue, quindi quando i dati vengono distribuiti in classi. 27 Istogrammi • Esempio: nella seguente tabella abbiamo suddiviso in classi il numero di treni rispetto al loro ritardo. RITARDO (min.) N. TRENI [0, 5[ 24 [5, 10[ 10 [10, 15[ 7 [15, 20[ 11 [20,25[ 9 [25, 30[ 4 28 Docente: Ivan Zivko 14 Statistica Istogrammi Treni in ritardo 30 25 frequenza 20 15 10 5 0 [0, 5[ [5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ [20,25[ [25, 30[ Ritardo in minuti 29 Istogrammi • Quando le classi non hanno ampiezza uguale bisogna fare attenzione, perché l’altezza della barra non sarà più uguale alla frequenza. • Esempio 2: Numero di studenti rispetto ai mesi che hanno passato a studiare. Docente: Ivan Zivko Mesi di studio N. Studenti (Freq. Assoluta) Densità di frequenza [0, 1[ 1634 1634/1=1634 [1, 3[ 2184 2184/2=1092 [3, 6[ 4920 4920/3=1640 [6, 12[ 3384 3384/6=564 TOTALE 12122 30 15 Statistica Istogrammi • La frequenza assoluta è rappresentata dall’area delle barre, l’altezza è la densità di frequenza. 31 Istogrammi • Gli istogrammi ci mostrano quindi immediatamente la relazione tra l’ampiezza della classe e la frequenza. • Una classe piccola con meno frequenze assolute può avere maggiore importanza di una classe grande con più frequenze. 32 Docente: Ivan Zivko 16 Statistica Istogrammi • Esempio 2: libri venduti in una giornata per classi di prezzo. CLASSI DI PREZZO (CHF) NUMERO DI LIBRI VENDUTI DENSITÀ DI FREQUENZA [5, 15[ 20 20/10=2 [15, 20[ 15 15/5=3 [20, 35[ 15 15/15=1 33 Istogrammi 34 Docente: Ivan Zivko 17 Statistica Diagrammi cartesiani • Per rappresentare l’andamento di un fenomeno al variare di un parametro si usano punti nel piano cartesiano legati da segmenti, questi grafici sono i diagrammi cartesiani. • Si usano per variabili quantitative e qualitative ordinabili. 35 Diagrammi cartesiani • Esempio: distribuzione delle persone che si sono recate in poliambulatorio in una settimana: Sesso Uomini Donne Totale Lunedì 31 23 54 Martedì 35 47 82 Mercoledì 33 42 75 Giovedì 19 40 59 Venerdì 31 39 70 TOTALE 149 191 340 Giorni 36 Docente: Ivan Zivko 18 Statistica Diagrammi cartesiani 90 80 70 60 50 Uomini Donne 40 Totale 30 20 10 0 Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì 37 Forma dei grafici • Sia che rappresentiamo le frequenze con un grafico a barre, un istogramma o un diagramma cartesiano, possiamo definire alcuni tipi di comportamenti a dipendenza della forma che assume il grafico. 38 Docente: Ivan Zivko 19 Statistica Forma dei grafici • Distribuzione simmetrica a campana 39 Forma dei grafici • Distribuzione positivamente asimmetrica 40 Docente: Ivan Zivko 20 Statistica Forma dei grafici • Distribuzione negativamente asimmetrica 41 Forma dei grafici • Distribuzione ascendente 42 Docente: Ivan Zivko 21 Statistica Forma dei grafici • Distribuzione discendente 43 Forma dei grafici • Distribuzione ad “U” 44 Docente: Ivan Zivko 22 Statistica Forma dei grafici • Distribuzione bimodale 45 Forma dei grafici • Distribuzione plurimodale 46 Docente: Ivan Zivko 23 Statistica L’ogiva • Se rappresentiamo con un istogramma le frequenze relative cumulate invece delle frequenze assolute otteniamo un grafico crescente. • Se poi uniamo gli spigoli delle barre con dei segmenti otteniamo un’ogiva. 47 L’ogiva • Esempio: punti ottenuti da degli studenti in un test attitudinale. CLASSI (PUNTI) N. STUDENTI (Freq. Assoluta) Freq. RELATIVA Freq. RELATIVA CUMULATA [900, 1400[ 8 35% 35% [1400, 1900[ 7 30% 65% [1900, 2400[ 6 26% 91% [2400, 2900[ 2 9% 100% 48 Docente: Ivan Zivko 24 Statistica L’ogiva Frequenze cumulate 120% 100% Percentuale studenti 80% 60% 40% 20% 0% [0, 900[ [900, 1400[ [1400, 1900[ [1900, 2400[ [2400, 2900[ Punti 49 L’ogiva • Con questo grafico possiamo per esempio dire che percentuale di dati si trova al di sotto di un certo valore. • Si può anche determinare quanti dati si trovano in un certo intervallo. 50 Docente: Ivan Zivko 25 Statistica Misure di tendenza centrale Misure di tendenza centrale Medie ferme Medie di posizione * Media aritmetica * Moda * Media geometrica * Mediana Ecc. 51 Medie ferme • Le medie ferme si calcolano usando tutti i valori a disposizione. • Rischio: è possibile che valori molto alti o molto bassi con poca frequenza possano falsare il valore centrale, o meglio quello rappresentativo dei dati. 52 Docente: Ivan Zivko 26 Statistica Medie Ferme: media aritmetica • È la somma di tutti i valori diviso il loro numero totale. • Media aritmetica: x f x f .... xn f n x 1 1 2 2 N n x f i i i 1 N 53 Medie Ferme: media aritmetica • Esempio 1: considera le note di 5 studenti: – 3, 4, 5.5, 6, 4.5. 3 4 5.5 6 4.5 23 x 4.6 5 5 54 Docente: Ivan Zivko 27 Statistica Medie Ferme: media aritmetica • Osservazione: la media aritmetica si può calcolare disponendo anche solo delle frequenze relative. x1 f1 .... xn f n f f x1 1 ...xn n N N N x1 f rel .1 ... xn f rel .n x 55 Medie Ferme: media aritmetica • Esempio 2: se i dati sono molti e dobbiamo suddividerli in una tabella bisognerà usare le frequenze. NOTE N. Studenti (Freq. Freq. relativa Assoluta) 3 4 0.17 4 6 0.25 4.5 8 0.33 5 3 0.125 5.5 2 0.083 6 1 0.042 TOTALE 24 1 56 Docente: Ivan Zivko 28 Statistica Medie Ferme: media aritmetica • Esempio 2: per calcolare la media aritmetica si possono usare sia le frequenze assolute che quelle relative. 3 4 4 6 4.5 8 5 3 5.5 2 6 1 104 x 4.33 24 24 x 0.17 3 0.25 4 0.33 4.5 0.125 5 0.083 5.5 0.042 6 4.33 57 Medie Ferme: media aritmetica • Se i dati sono suddivisi in classi per calcolare la media aritmetica bisogna prendere i valori centrali delle classi. • Esempio 3: salario dei dipendenti. Classi di stipendio (in migliaia di CHF) Numero dipendenti (Freq. Assoluta) Centro classi [50, 60[ 10 55 [60, 70[ 20 65 [70, 80[ 15 75 TOTALE 45 x Docente: Ivan Zivko 55 10 65 20 75 15 2975 66.11 45 45 58 29 Statistica Medie Ferme: media aritmetica • È chiaro che suddividendo i dati in classi perdiamo delle informazioni, e quindi commetteremo un piccolo errore. • L’errore dovuto all’uso delle classi sarà: a err. 2x a 59 Medie Ferme: media aritmetica • La media aritmetica ha in genere una buona stabilità, che cresce con l'aumentare dei dati. • Quando nei dati ci sono valori estremi particolarmente „pesanti“ la media aritmetica può essere molto influenzata da essi anche se in realtà non hanno una grande frequenza. 60 Docente: Ivan Zivko 30 Statistica Medie Ferme: media geometrica • La media geometrica viene usata per dati che variano in progressione temporale, per esempio per gli indici. • Media geometrica: f1 f2 x x1 x2 .... xnf n N 61 Medie Ferme: media geometrica • Esempio: È dato un bene di valore C. Questo bene nel primo anno aumenta il valore dell’ 8%, nel secondo del 12%, nel terzo del 9% e nel quarto del 5%. Si vuole trovare l’aumento percentuale medio. Da ciò si possono trovare i moltiplicatori: M 1 C (1 0.08) M 2 M 1 (1 0.12) C (1 0.08) (1 0.12) ecc. 62 Docente: Ivan Zivko 31 Statistica Medie Ferme: media geometrica • Quindi alla fine dei quattro anni l’aumento si calcolerà come segue: C (1 0.08) (1 0.12) (1 0.09) (1 0.05) C 1.08 1.12 1.09 1.05 C 1.3843872 • Il moltiplicatore medio sarà: 4 1.3843872 1.0847 Che equivale a un aumento percentuale annuo del 0.0847 8.47% 63 Medie Ferme: media geometrica • Se avessimo fatto la media aritmetica avremmo ottenuto un aumento dell’8.5%. • Se per ogni anno usiamo questo aumento non otteniamo il risultato esatto. 64 Docente: Ivan Zivko 32 Statistica Medie di posizione • Come detto quando ci sono valori estremi troppo grandi la media aritmetica non va più bene. • Non possiamo semplicemente non tenere conto di questi valori, perchè non seguiremmo i principi fondamentali della statistica. • A differenza delle medie ferme con le medie di posizione possiamo anche cercare il valore medio di variabili qualitative. 65 Medie di posizione: Moda • La moda è quella media che viene associata alla modalità con frequenza più alta. • Essa è tanto più esatta quanto più la sua frequenza è elevata rispetto alle altre (se è maggiore del 50% è molto buona). • Se le frequenze sono simili la moda perde la sua efficacia. Se ci sono due modalità con frequenza uguale si dice che la classe è bimodale. 66 Docente: Ivan Zivko 33 Statistica Medie di posizione: Moda • Esempio 1: colore dei capelli di un gruppo. Colore capelli Frequenza assoluta Castani 70 Biondi 30 Rossi 30 Altro 10 Moda Castani 67 Medie di posizione: Moda • Il calcolo diventa un po’ più complicato se abbiamo dei dati suddivisi in classi. • Prima di tutto bisogna determinare la classe modale, che è semplicemente la classe con frequenza più elevata. • Per trovare il valore modale si userà la formula poi: 1 Moda Linf . a 1 2 68 Docente: Ivan Zivko 34 Statistica Medie di posizione: Moda Linf . Limite inferiore della classe modale 1 (Freq. assoluta classe modale) (Freq. ass. classe precedente) 2 (Freq. assoluta classe modale) (Freq. ass. classe successiva) a ampiezza delle classi 69 Medie di posizione: Moda • Esempio 2: altezze di un gruppo. Classi (Altezza) Freq. assoluta [158, 162[ 4 [162, 166[ 7 [166, 170[ 13 [170, 174[ 18 [174, 178[ 8 Totale 50 70 Docente: Ivan Zivko 35 Statistica Medie di posizione: Moda • La classe modale è la classe [170, 174[. Usando la formula: (18 13) 5 4 170 4 (18 13) (18 8) 5 10 5 170 4 170 1.333 171.333 15 Moda 170 71 Medie di posizione: Mediana • Si definisce mediana di un insieme di elementi, disposti in ordine crescente o decrescente, il valore che occupa la posizione centrale. • Esempio 1: se il numero di elementi è dispari. 8, 12, 7, 4, 9, 10, 55 Bisogna prima metterli in ordine crescente. 4, 7, 8, 9, 10, 12, 55 Mediana 9 Docente: Ivan Zivko 72 36 Statistica Medie di posizione: Mediana • Esempio 2: se il numero di elementi è pari. 36, 72, 82, 84, 98, 105 I due valori centrali sono 82 e 84, perciò: Mediana 82 84 83 2 73 Medie di posizione: Mediana • Se i dati sono molti, e quindi vengono rappresentati in una tabella per determinare la mediana si guardano le frequenze cumulate. • La mediana è quella modalità in cui la frequenza cumulata supera il 50%. 74 Docente: Ivan Zivko 37 Statistica Medie di posizione: Mediana • Esempio 3: numero di interrogazioni per studente. Numero interrogazioni Freq. assoluta Freq. cumulata 0 3 3 1 6 9 2 4 13 3 2 15 Totale 75 Medie di posizione: Mediana • Esempio 3: in questo caso la frequenza cumulata viene superata nella seconda modalità, quindi: Mediana 1 76 Docente: Ivan Zivko 38 Statistica Medie di posizione: Mediana • Se i dati sono suddivisi in classi bisogna prima di tutto determinare la classe mediana, che è la classe in cui la frequenza cumulata supera il 50%. • Poi per trovare il valore mediano si userà la formula: N f cumulata classe precedente Mediana Linf . 2 f classe mediana a 77 Medie di posizione: Mediana • Esempio 3: prendiamo l’esempio delle altezze. Classi (Altezza) Freq. assoluta Freq. cumulata [158, 162[ 4 4 [162, 166[ 7 11 [166, 170[ 14 25 [170, 174[ 17 42 [174, 178[ 8 50 Totale 50 78 Docente: Ivan Zivko 39 Statistica Medie di posizione: Mediana • La classe mediana è la classe [170, 174[. Usando la formula: 50 11 25 11 Mediana 166 2 4 166 4 14 14 14 166 4 170 14 79 Misure di dispersione • Le medie da sole non ci dicono molto sulla distribuzione dei dati. • Ci servono delle misure che ci dicano quanto i dati sono dispersi intorno alle medie. • La misura più importanti sono: – Rango (o campo di variazione) – Semidifferenza interquartile (per la mediana) – Scostamento semplice assoluto – Scarto quadratico medio (o deviazione standard) 80 Docente: Ivan Zivko 40 Statistica Rango (campo di variazione) • È la differenza tra il valore più alto e quello più basso. Rango Valore Max Valore Min • Esempio: età di 6 persone: 45, 48, 51, 77, 81, 90. r 90 45 45 81 Rango (campo di variazione) • Si usa quando si vuole mettere in evidenza la differenza tra il valore massimo e quello minimo di una distribuzione, come per esempio la differenza tra il peso massimo e minimo di un gruppo di persone. • Da solo non ci da abbastanza informazione sulla dispersione dei dati. 82 Docente: Ivan Zivko 41 Statistica Semidifferenza interquartile • Abbiamo visto che la mediana corrisponde al valore che si situa al 50% dei dati. • Se dividiamo i dati in 4 parti abbiamo i quartili! Q1 primo quartile (25% dei dati) Q 2 secondo quartile (50% dei dati) Mediana Q 3 terzo quartile (75% dei dati) Q 4 quarto quartile (100% dei dati) 83 Semidifferenza interquartile • Questa misura si usa solo per la mediana. • Il calcolo è il seguente: Q3 Q1 s 2 • Il 50% dei dati si trova nell’intervallo Mediana s 84 Docente: Ivan Zivko 42 Statistica Semidifferenza interquartile • Esempio: immagina semplicemente di avere 20 dati: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 • La mediana corrisponde a 10.5. • Mentre =5 = 15, perciò la semidifferenza interquartile è s 15 5 10 5 2 2 • Significa che circa il 50% dei dati si trova tra 5.5 e 15.5. 85 Semidifferenza interquartile • Esempio 2: se i dati sono suddivisi in classi come prima cosa bisogna guardare le frequenze cumulate relative. Classi (Altezza) Freq. assoluta Freq. cumulata Freq. Cum. Rel. [158, 162[ 4 4 8% [162, 166[ 9 13 26% [166, 170[ 13 26 52% [170, 174[ 16 42 84% [174, 178[ 8 50 100% Totale 50 86 Docente: Ivan Zivko 43 Statistica Semidifferenza interquartile • Esempio 2: Q1 164, Q3 172 172 164 8 s 4 2 2 87 Scostamento medio semplice • È la media degli scostamenti! • Esempio: considera cinque valori: 2, 2, 6, 6, 9. Media SM 22669 5 5 25 25 65 65 95 5 3 3 11 4 2.4 5 88 Docente: Ivan Zivko 44 Statistica Scarto quadratico medio (Deviazione standard) • La deviazione standard è la misura di dispersione più usata in assoluto. M-σ M M+σ • Almeno il 68% dei dati si trova in questo intervallo. 89 Scarto quadratico medio (Deviazione standard) • Se M è la media, allora definiamo come varianza: 2 2 2 x1 M f1 x2 M f 2 .... xn M f n 2 N • La deviazione standard è la sua radice quadrata: Dev. standard 2 90 Docente: Ivan Zivko 45 Statistica Scarto quadratico medio (Deviazione standard) • Esempio: ospiti di un albergo per numero di pernottamenti. N. Notti Frequenza 5 39 6 30 7 13 8 5 9 3 M Media 6 91 Scarto quadratico medio (Deviazione standard) • Calcoliamo la varianza: 2 5 62 39 6 62 30 7 62 13 8 62 5 9 62 3 90 1.1 • E quindi la deviazione standard è: 1.1 1.049 1 • Almeno il 68% dei dati si troverà nell’intervallo: 6 1 Docente: Ivan Zivko 92 46 Statistica Dati standardizzati • Per confrontare dati che fanno parte di serie diverse bisogna che siano standardizzati rispetto alle rispettive medie e allo scarto tipo. • Esempio: uno studente all’esame di fisica ha preso 4.5, la media della classe era 4.2 e lo scarto tipo 0.9. Lo stesso studente a matematica prende 5, ma la media è 4.7 e lo scarto 1.2. Qual’ è il voto relativamente migliore? 93 Dati standardizzati • Per prima cosa vediamo quanto meglio ha fatto rispetto alla media della classe nelle due materie: FISICA MATEMATICA 4.5 4.2 0.3 5 4.7 0.3 • Questo dato va però normalizzato rispetto allo scarto tipo: FISICA 0. 3 0.333 0.9 MATEMATICA 0.3 0.25 1.2 94 Docente: Ivan Zivko 47 Statistica Dati standardizzati • Più lo scarto tipo è alto e più ci saranno studenti che si allontanano dalla media, e quindi che hanno fatto anche meglio del nostro studente. • Lo studente ha fatto quindi relativamente meglio l’esame di fisica. 95 Rapporti statistici: rapporto di coesistenza • I rapporti di coesistenza mettono a confronto due fenomeni diversi relativi allo stesso tempo e luogo. • Esempio: un agenzia turistica organizza un tour, al quale partecipano 302 donne e 208 uomini. Il rapporto di coesistenza è: 302 208 1.45 • Moltiplicando per abbiamo: 1.45 100 145 Significa che ci sono 145 donne ogni 100 uomini. 96 Docente: Ivan Zivko 48 Statistica Rapporti statistici: rapporto di durata e ripetizione • I rapporti di durata e ripetizione sono rapporti utili per descrivere le variazioni quantitative subite da un certo fenomeno (es.: scorte in magazzino che si rinnovano, variazioni di degenti in ospedale, ecc.). • Rapporto di durata: C0 presenze all' inizio C1 presenze alla fine d C0 C1 E U U uscite E entrate 97 Rapporti statistici: rapporto di durata e ripetizione • In un negozio, che resta aperto 8 ore, al momento dell’apertura ci sono 100 (C0) persone. Durante il giorno ne sono entrate altre 950 (E) e uscite 750 (U). C1 100 950 750 300 d 100 300 400 0.235 1.88 ore 950 750 1700 98 Docente: Ivan Zivko 49 Statistica Rapporti statistici: rapporto di durata e ripetizione • Rapporto di ripetizione: • Dall’esempio: r 1 r d 1 4.25 0.235 ciò significa che le persone all’interno del negozio si rinnovano completamente 4.25 volte nel corso della giornata. 99 Numeri indice • I numeri indice sono dei rapporti statistici che evidenziano le variazioni, temporali o spaziali, di un fenomeno. • Si calcolano eseguendo il rapporto dei dati di una serie per uno di essi (detto base). Si possono quindi distinguere in: – Numeri indice semplici a base fissa. – Numeri indice semplici a base mobile. – Numeri indice composti. 100 Docente: Ivan Zivko 50 Statistica Numeri indice: applicazioni • Il costo della vita (indice dei prezzi al consumo) • Costo della produzione industriale • Evoluzione della massa monetaria • … 101 Numeri indice: costruzione • Per trasformare una serie di valori in indici dobbiamo prima di tutto scegliere un valore che funga da base. • In seguito dividere tutti gli altri valori per la base, e eventualmente moltiplicare per 100. 102 Docente: Ivan Zivko 51 Statistica Numeri indice: tipologia • Le tipologie più usate di numeri indice sono: – Indice dei prezzi – Indice delle quantità (produzione, consumo,..) – Indice del valore 103 Numeri indice: costruzione • Esempio 1: Il prezzo di un certo bene nel 1980 era di 20 Fr., nel 1981 di 24 Fr. e nel 1982 di 25 Fr.. Se prendiamo come base il prezzo del 1980 avremo: 20 = 100 = 100 , 20 , = 24 100 = 120 20 , = 25 100 = 125 20 104 Docente: Ivan Zivko 52 Statistica Numeri indice: costruzione • Esempio 2:una ditta ha esportato nel 1980 32000 t di cereali, nel 1981 29000 t e nel 1982 34000 t. Prendendo come base la quantità del 1980: 32000 = 100 = 100 , 32000 , , = 29000 100 ≈ 91 32000 = 34000 100 ≈ 106 32000 105 Numeri indice: costruzione • Esempio 3:una ditta nel 1980 ha esportato 32000 t di cereali a 60 Fr la tonnellata, mentre nel 1981 solamente 29000 t a 62 Fr la tonnellata. L’indice del valore con base 1980 sarà: , = 29000 62 100 =≈ 94 32000 60 106 Docente: Ivan Zivko 53 Statistica Numeri indice a base fissa • Esempio 4: produzione di lavatrici e lavastoviglie in alcuni anni. Anni Lavatrici prodotte Indici (base=1991) 1991 5’043’983 100 1992 5’140’277 102 1993 5’692’505 113 1994 6’251’283 124 1995 6’995’818 139 107 Numeri indice a base fissa • Esempio 4: Anni Lavastoviglie prodotte Indici (base=1991) 1991 950’940 100 1992 937’720 99 1993 1’141’861 120 1994 1’464’885 154 1995 1’683’093 177 108 Docente: Ivan Zivko 54 Statistica Numeri indice a base fissa • Esempio 4: 190 180 170 160 150 140 Lavatrici Lavastoviglie 130 120 110 100 109 90 1991 1992 1993 1994 1995 Numeri indice a base mobile • Spesso invece di evidenziare l’andamento di un fenomeno rispetto a un solo anno, si vuole studiare la variazione di ogni dato rispetto all’anno precedente. • La base diventa il valore dell’anno precedente. Si parla di base mobile. 110 Docente: Ivan Zivko 55 Statistica Numeri indice a base mobile • Esempio 5: consideriamo i dati dell’esempio 4 e prendiamo come base l’anno precedente. Anni Indici lavatrici base mobile Indici lavastoviglie base mobile 1991 - - 1992 102 99 1993 111 122 1994 110 128 1995 112 115 111 Numeri indice a base mobile • Esempio 5: 130 125 120 115 110 Lavatrici Lavastoviglie 105 100 95 90 1992 Docente: Ivan Zivko 1993 1994 1995 112 56 Statistica Numeri indice: proprietà • Le seguenti proprietà valgono se gli indici non sono ancora stati moltiplicati per 100. • Proprietà di simmetria: I 0,1 1 I1,0 • Proprietà transitiva: I 4, 0 I 4,3 I 3, 2 I 2,1 I1, 0 113 Numeri indice: cambiamento di base • Per trasformare una serie di indici da una base ad un’altra bisogna dividere tutti gli indici per quello dell’anno che desidero usare come base. 114 Docente: Ivan Zivko 57 Statistica Numeri indice: cambiamento di base • Esempio: sono dati gli indici concernenti lo sviluppo della cifra d’affari di due apparecchi. ANNO INDICE App. A Anno base=2000 App. B Anno base=2002 2000 100 -- 2001 108 -- 2002 112 100 2003 117 108 2004 124 114 115 Numeri indice: cambiamento di base • Per poter confrontare le due serie di dati dobbiamo trasformare tutto nella stessa base, che in questo caso deve essere l’anno 2002: 100 100 89 112 108 I 01/ 02 100 96 112 112 I 02 / 02 100 100 112 117 I 03 / 02 100 104 112 124 I 00 / 02 100 111 112 I 00 / 02 Docente: Ivan Zivko 116 58 Statistica Numeri indice: cambiamento di base • Adesso i dati sono confrontabili: ANNO INDICE App. A Anno base=2002 App. B Anno base=2002 2000 89 -- 2001 96 -- 2002 100 100 2003 104 108 2004 111 114 117 Numeri indice aggregati, semplici e ponderati • Spesso gli indici sono composti da più fattori, per esempio l’indice dei prezzi è composto dai prezzi di più beni (es.: pane, latte, …). Per esempio se l’anno base è 1: p2,1 p p i,2 i ,1 118 Docente: Ivan Zivko 59 Statistica Numeri indice aggregati, semplici e ponderati • Calcolare gli indici aggregati ponderati significa moltiplicare i prezzi per le quantità, quindi l’indice dei valori: I 2,1 p p i,2 qi , 2 i ,1 qi ,1 119 Numeri indice aggregati, semplici e ponderati • Esempio: prezzo e quantità prodotta di fitofarmaci tra il 2000 e il 2001: Prodotti Prezzo (Fr. per pezzo) 2000 Prezzo (Fr. per pezzo) 2001 Quantità (in migliaia) 2000 Quantità (in migliaia) 2001 Anticrittogamici 2 3 67 72 Diserbanti 2.5 3 35 29 Insetticidi 2 1 22 27 120 Docente: Ivan Zivko 60 Statistica Numeri indice aggregati, semplici e ponderati • Volendo calcolare l’indice ponderato dei fitofarmaci tra 2000 e 2001 potremmo fare: I 2,1 p p i ,1 qi ,1 i ,0 qi ,0 3 72 3 29 1 27 2 67 2.5 35 2 22 330 1.24 124 265.5 121 Numeri indice aggregati, semplici e ponderati • In realtà ci sono alcuni metodi particolari usati per il calcolo degli indici: – Indice di Laspeyeres: metodo dell’anno base – Indice di Paasche: metodo dell’anno dato – Metodo dell’anno tipico (la quantità base è la media delle quantità) – Indice di Fisher: media geometrica tra Laspeyeres e Paasche 122 Docente: Ivan Zivko 61 Statistica Numeri indice aggregati, semplici e ponderati • Indice di Laspeyeres: si prende sempre la quantità dell’anno base. IL 3 67 3 35 1 22 328 1.235 123.5 2 67 2.5 35 2 22 265.5 123 Numeri indice aggregati, semplici e ponderati • Indice di Paasche: si prende sempre la quantità dell’anno dato. IP 3 72 3 29 1 27 330 1.22 122 2 72 2.5 29 2 27 270.5 124 Docente: Ivan Zivko 62 Statistica Numeri indice aggregati, semplici e ponderati • Indice di Fisher: si fa la media geometrica tra l’indice di Laspeyeres e Paasche: I F 123.5 122 15067 122.75 125 Misura di concentranzione • Una misura di concentrazione serve in statistica per verificare in che modo un certo bene è diviso tra la popolazione, oppure per misurare la presenza di un prodotto o di impresa in un certo territorio. 126 Docente: Ivan Zivko 63 Statistica Misura di concentrazione • Esempio: distribuzione di un pacchetto azionario fra gli azionisti. Cerchiamo di stabilire se le azioni sono distribuite equamente o no. Classi azioni Frequenze Ammontare azioni [0, 10[ 250 1250 [10, 20[ 400 6000 [20, 30[ 190 4750 [30, 40[ 100 3500 [40, 50[ 40 1800 Oltre 50 20 1400 Totale 1000 18700 127 Misura di concentrazione • Trasformiamo i dati in percentuali, e poi ricaviamo le percentuali cumulate: Docente: Ivan Zivko Classi azioni Percentuale azionisti Perc. cumulata azionisti Percentuale azioni Perc. cumulata azioni [0, 10[ 25 25 6.68 6.68 [10, 20[ 40 65 32.08 38.76 [20, 30[ 19 84 25.4 64.16 [30, 40[ 10 94 18.72 82.88 [40, 50[ 4 98 9.63 92.51 Oltre 50 2 100 7.49 100 Totale 100 100 128 64 Statistica Misura di concentrazione • Dalla tabella possiamo ottenere per esempio le seguenti informazioni: – Il 65% degli azionisti possiede il 38.76% delle azioni – L’84% degli azionisti possiede il 64.16% delle azioni – Ecc. 129 Misura di concentrazione • Possiamo rappresentare la situazione bene con un diagramma cartesiano, che in questo caso viene chiamato anche curva di concentrazione o curva di Lorentz. % Azioni cumulate 120 100 80 60 40 20 0 0 Docente: Ivan Zivko 20 40 60 80 100 120 130 65 Statistica Misura di concentrazione • Nel caso di equidistribuzione tutti gli azionisti dispongono di uno stesso numero di azioni: per esempio il 25% degli azionisti possiede il 25% delle azioni, ecc.. Retta di equidistribuzione: 120 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 131 Misura di concentrazione • Più la curva di Lorentz si avvicina alla retta di equidistribuzione, più i beni sono divisi equamente tra la popolazione. 132 Docente: Ivan Zivko 66 Statistica Retta di regressione • Spesso si desidera analizzare l’andamento di una variabile rispetto al tempo oppure rispetto a un’altra variabile. • Se un minimo legame effettivamente esiste è possibile ricavare la retta di regressione, che ci permette inoltre di fare previsioni. 133 Retta di regressione • Esempio: esportazioni ed importazioni in milioni di dollari di alcuni paesi nel 1986. PAESE Importazioni Esportazioni Danimarca 22.8 22.1 Irlanda 11.6 12.6 Olanda 75.4 80.6 Svizzera 40.9 37.3 Italia 100 97.5 Svezia 32.5 37.5 Portogallo 9.4 7.2 134 Docente: Ivan Zivko 67 Statistica Retta di regressione 120 100 ESPORTAZIONI 80 60 40 20 0 0 20 40 60 IMPORTAZIONI 80 100 120 135 Retta di regressione • Un equazione generale di una retta ha la seguente forma: y axb a pendenza della retta b intersezione della retta con l' asse y 136 Docente: Ivan Zivko 68 Statistica Retta di regressione: Covarianza • Per poter calcolare la retta di regressione dobbiamo prima calcolare la covarianza, un valore che lega due variabili X e Y. • Siano x1, x2, …, xn i valori della prima variabile e Mx la loro media, rispettivamente y1,.., yn i valori della seconda variabile e My la loro media: xy ( x1 M x ) ( y1 M y ) ( x2 M x ) ( y2 M y ) .... n n (x M i x ) ( yi M y ) i 1 n 137 Retta di regressione • Quindi per determinare la retta noi dobbiamo determinare a e b. Cov ( x, y ) xy a 2 Var ( x) x b My aMx 138 Docente: Ivan Zivko 69 Statistica Retta di regressione • Riprendiamo l’esempio sulle esportazioni e importazioni e calcoliamo la retta di regressione. xy 995.234 a x 2 989.47 995.234 1.0058 989.47 b 42.11 41.8 1.0058 0.0676 139 Retta di regressione • Quindi otteniamo: y 1.0058 x 0.0676 • Questa retta approssima i punti, e permette di fare delle previsioni, per esempio come sarebbero le esportazioni se le importazioni fossero 120 milioni di dollari: y 1.0058 120 0.0676 120.8 140 Docente: Ivan Zivko 70 Statistica Retta di regressione 120 100 y = 1,0058x + 0,0708 ESPORTAZIONI 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 IMPORTAZIONI 141 142 Docente: Ivan Zivko 71 Statistica Serie storiche • Una serie storica è la classificazione di una variabile rispetto al tempo. • Le serie storiche vengono studiate sia per interpretare un fenomeno, individuando componenti di trend, di ciclicità, di stagionalità e/o di accidentalità, sia per prevedere il suo andamento futuro. 143 Serie storiche • Esempi di fenomeni analizzabili con serie storiche sono: – Numero di dipendenti di un azienda – Indice dei prezzi – PIL – Vendite – ….. 144 Docente: Ivan Zivko 72 Statistica Serie storiche • Esempio: PIL italiano trimestrale dal 1981 al 2008 145 Serie storiche • Il movimento tendenziale (o trend) della serie indica il suo andamento crescente o decrescente nel tempo, senza considerare le possibili fluttuazioni (vedi per esempio la retta di regressione). • Riguarda l’andamento sul lungo periodo (diversi anni). 146 Docente: Ivan Zivko 73 Statistica Serie storiche • Il movimento ciclico della serie indica le fluttuazioni periodiche o non periodiche attorno alla curva di trend con durata pluriannale (ciclo economico). • Riguarda l’andamento sul medio periodo (qualche anno). 147 Serie storiche • Questo movimento può essere suddiviso in 4 fasi del ciclo economico (movimenti congiunturali): – Prosperità: aumento superiore a quello dell’anno precedente. – Recessione: aumento inferiore a quello dell’anno precedente. – Crisi: diminuzione negativa superiore a quella dell’anno precedente. – Ripresa: diminuzione negativa inferiore a quella dell’anno precedente. 148 Docente: Ivan Zivko 74 Statistica Serie storiche • Il movimento stagionale rappresenta il ripetersi di situazioni che fanno variare l’andamento della serie con oscillazioni più o meno forti negli stessi periodi dell’anno. Ad esempio l’aumento del consumo di carburante in inverno o la diminuzione della produzione in estate. • Riguarda quindi l’andamento sul breve periodo. 149 Serie storiche • Il movimento accidentale provoca oscillazioni dovute ad eventi casuali come scioperi, calamità naturali o concorrenza non prevista. 150 Docente: Ivan Zivko 75 Statistica Teoria dei campioni • Quando si vogliono rilevare dei dati, per ricavare delle informazioni o fare previsioni, lo si fa di solito su di un campione statistico e non sull’intera popolazione, perché troppo numerosa. 151 Teoria dei campioni • È importante definire i criteri e le modalità per l’estrazione del campione, infatti è indispensabile che il campione sia rappresentativo della popolazione in relazione alla variabile indagata. • Se per es. si vuole valutare il reddito medio dei lavoratori di una città bisogna che nel campione tutte le categorie siano rappresentate nelle percentuali giuste. 152 Docente: Ivan Zivko 76 Statistica Teoria dei campioni • Per ottenere dei campioni rappresentativi si può procedere con un campionamento casuale. • Per ottenere ciò a ogni elemento dell’universo si assegna un numero progressivo, si ricorre poi a una tavola dei numeri casuali oppure all’estrazione. 153 Teoria dei campioni • Esempio: si vuole campionare il peso di 14 lamine, estratte da un universo di 1500. 154 Docente: Ivan Zivko 77
