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Università di Parma
Copyright M.Solzi
Esperienza 13: il Tubo di
Kundt
a.a. 2011/2012
Laboratorio di Fisica 1 (Modulo 2)
A. Baraldi, M. Riccò
13: il Tubo di Kundt
a.a. 2011/12
LF1: Laboratorio di Fisica 1: Esp.
Università di Parma − Laboratorio di Fisica 1
Onde progressive
y ( x=
, t ) f ( x − vt )
Lungo +x
y ( x=
, t ) f ( x + vt )
Lungo -x
Es
f ( x) =
.

y0
2
x
 x  +1
 0
Interferenza
x → x − vt
y ( x, t ) = f ( x + vt ) + f ( x − vt )
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LF1: Laboratorio di Fisica 1: Esp.
Università di Parma − Laboratorio di Fisica 1
Riflessione e trasmissione
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LF1: Laboratorio di Fisica 1: Esp.
Università di Parma − Laboratorio di Fisica 1
Onde armoniche
 2π
y = ym sin 
 λ
y
T=
λ
v

x

k=
x → x − vt
 2π

ym sin 
( x − vt ) 
 λ

2π
λ
2π
ω=
T
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Università di Parma − Laboratorio di Fisica 1
Equazione delle onde
y ( x, t ) A sin(kx − ω t )
=
∂y ∂
=
−ω A cos(kx − ω t )
[ A sin(kx − ω t )] =
∂t ∂t
∂ 2 y ∂ ∂y ∂
2
=
=−
−
=
−
cos(
)
ω
A
kx
ω
t
ω
A sin(kx − ω t )
[
]
2
∂t
∂t ∂t ∂t
∂2 y
2 2
2 2
=
−
−
=
−
sin(
)
v
k
A
kx
ω
t
v
k y ( x, t )
2
∂t
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Equazione delle onde
∂y ∂
t ) ] kA cos(kx − ω t )
=
[ A sin(kx − ω=
∂x ∂x
∂ 2 y ∂ ∂y ∂
2
=
=
−
=
−
cos(
)
kA
kx
ω
t
k
A sin(kx − ω t )
[
]
2
∂x
∂x ∂x ∂x
∂2 y
2
=
−
k
y ( x, t )
2
∂x
∂2 y 1 ∂2 y
= 2 2
2
v ∂t
∂x
∂2 y
2 2
=
−
v
k y ( x, t )
2
∂t
Eq. delle onde
(lineare)
y1 soluzione
y2 soluzione
y1 + y2 soluzione
Le onde stazionarie
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y1 A sin ( kx − ω t )
=
y2 A sin ( kx + ω t )
=
y = y1 + y2 = A sin ( kx − ω t ) + A sin ( kx + ω t )
α + β 
α − β 
sin α + sin β =
2sin 
cos
 2 
 2 
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y ( x, t ) = 2 A cos (ω t ) sin ( kx )
=
y (0, t ) 0=
y ( L, t ) 0
2L
λn =
n
 F /µ
νn = n
 2L




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Obiettivi dell’esperienza
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

Studio delle onde stazionarie in una colonna d’aria
Determinazione della velocità del suono nell’aria



Ricostruire il profilo dell’onda sonora
Trovare la costante adiabatica γ e confrontarla con il
valore di gas perfetto pari a 1.4
Il Tubo di Kundt è un cilindro all’interno del quale
vengono fatte propagare onde sonore
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Velocità del suono in aria
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
Nell’ipotesi di gas perfetto la propagazione delle
onde sonore lungo l’asse del tubo è descritta da:
∂ 2ξ ( x, t ) 1 ∂ 2ξ ( x, t )
= 2
2
∂x
v
∂t 2
ξ(x, t)
x

Velocità del suono in un gas (processo adiabatico):
v=
β adiab
ρ
=
pγ
ρ
γ= cp/cv
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Variazione con la temperatura della velocità del suono in aria
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
Relazione empirica che fornisce il valore della
velocità del suono in aria a diverse temperature:
v = [331.5 + 0.607T (°C )]m / s

Relazioni tra la velocità dell’onda, la frequenza e la
lunghezza d’onda:
λ
v=
T
v = λ ⋅ν
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Onda di pressione e di densità
 All’onda di spostamento si accompagna sempre un’onda di
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pressione

Propagazione dell’onda di pressione
∂ξ ( x,t )
∂ξ ( x,t )
∆p =− β
=−γ p
∂x
∂x


sfasata di π/2 rispetto all’onda di spostamento
Soddisfa all’equazione
∂2 p β ∂2 p
=
2
ρ ∂x 2
∂t
Perturbazione della densità:
∂2ρ β ∂2ρ
=
2
ρ ∂x 2
∂t
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Onde armoniche di spostamento e di pressione
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
Consideriamo il caso di onde armoniche:
ξ (x,t ) = ξ 0 cos(kx − ωt )
∆p ( x,t
=
−γkx
ξ )sen
p


0
t
(
γ kx
−ξω cos
p 0
)=

t

−ω +
π

2
Caso particolare: onde sonore stazionarie
I valori di λ (e di conseguenza di ω= 2πν/λ) ai quali
corrispondono onde stazionarie nel tubo dipendono
dalle condizioni al contorno dell’esperimento
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Tubo aperto ad entrambi i lati

Condizioni al contorno:

Da cui segue:
p(0, t ) = p(L, t ) = p0 ⇒ ∆p(0, t ) = ∆p(L, t ) = 0
=
λn
2L
n
v
n 1, 2,3,...
=
νn
=
v ω n nπ =
n
2L
L
Variazione di pressione
ν 1=
ν 2=
=2ν1
ν 3=
=3ν1
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Tubo chiuso da un lato

Condizioni al contorno:

Da cui segue:
p(0, t ) = p0 ⇒ ∆p(0, t ) = 0 ∆ξ (L, t ) = 0
λn
=
4L
n
v
n 1,3,5,...
νn
π
=
=
v ωn n=
n
4L
2L
Variazione di pressione
ν 1=
ν 3=
=3ν1
ν 5=
=5ν1
15
Correzioni
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

Sono necessarie correzioni alle relazioni precedenti
per tener conto del fatto che alle estremità non si
hanno nodi o ventri ideali
Dipendenza da:



Diametro del tubo D
Frequenza delle onde sonore
Formule empiriche:

Tubo aperto =
λ
2 ( L + 0.8D )
=
n 1, 2,3,...
n
Tubo chiuso =
λ
4 ( L + 0.4D )
=
n 1,3,5,...
n
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n

n
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Microfono a condensatore
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



E’ composto da un condensatore
a piatti piani paralleli posto ad una
tensione costante fissa
Una delle due armature è fatta di
materiale molto leggero ed è libera
di muoversi
Ad una variazione di pressione
questa armatura si muoverà
variando la distanza tra le due
armature e di conseguenza
cambiando la capacità del
condensatore
Poiché la tensione è fissa
cambierà la carica sulle armature e
si genererà un segnale in corrente
poi amplificato

NOTA: il microfono è un
trasduttore di pressione
⇒Segnale max = ventre di
pressione e nodo di spostamento
e viceversa
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Frequenze di risonanza di un tubo
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


Regolare l’ampiezza del gen. di funz. finché non si ode
un suono
Aumentare lentamente la frequenza sul gen. di funzione
Ascoltare il suono e cercare i massimi relativi di
intensità: corrispondono ai modi di risonanza del tubo


Si può anche usare l’oscilloscopio
Regolare in modo fine la frequenza per trovare la frequenza
più bassa a cui avviene un max relativo
18
Frequenze di risonanza di un tubo chiuso

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
Chiudere ora un’estremità del tubo



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Ripetere la ricerca dei massimi relativi dell’intensità
dell’onda sonora
Alla fine per ognuna delle due configurazioni:


Cercare almeno 5 frequenze di risonanza
Dividere ognuna delle frequenze di risonanza per la
frequenza di risonanza più bassa: si trova una serie di
numeri interi?
Se no: ricavare dai dati dove avrebbe dovuto essere la
frequenza fondamentale
NOTA:


Frequenza iniziale di output del gen. funz.: 100 Hz
Oscilloscopio: sweep speed 5 ms/div; gain 5 mV/div
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Onde stazionarie in un tubo

Cercare il max relativo a frequenza inferiore
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


Si usa un microfono in miniatura posizionabile lungo il tubo
Intanto che il microfono viene spostato lungo il tubo prendere
nota delle posizioni che corrispondono a max e min del segnale
Ripetere la procedura per almeno 5 differenti frequenze di
risonanza
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Onde stazionarie in un tubo
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




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Inserire il pistone nel tubo almeno fino a dove si riesce a
posizionare il microfono
Trovare una frequenza di risonanza per questa nuova
configurazione del tubo
Utilizzare il microfono per trovare i max e min
Ripetere per differenti frequenza di risonanza
Per tutte le configurazioni:



Ricavare la lunghezza d’onda delle onde stazionarie
Conoscendo la frequenza ricavare la velocità del suono
Descrivere la natura dell’onda vicino all’apertura del tubo e vicino
alla faccia del pistone
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Note
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
In generale il suono udito diventa più intenso al crescere
della frequenza
 efficienza superiore di microfono e altoparlante

Tubo chiuso-aperto:
 Si è molto sensibili ai rumori esterni (il microfono non è
isolato nel tubo)

Tubo aperto-aperto: questa misura è ancora più difficile
della precedente
 infatti si è molto sensibili ai rumori esterni (né il microfono
né l’altoparlante sono isolati all’interno del tubo)
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Lunghezza del tubo e modi risonanti

Posizionare il pistone all’estremità del tubo
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



Regolare una frequenza di circa 800 Hz sul gen. di segnale
Aumentare l’intensità fino ad udire un suono
Introdurre lentamente il pistone nel tubo finché l’intensità
del suono non raggiunge un max (onda stazionaria)
Introdurre ulteriormente il pistone cercando tutte le
posizioni che producono onde stazionarie

Ripetere la procedura con diverse frequenze
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Misura della velocità del suono
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
Si può ricavare la velocità del suono misurando il
tempo di percorrenza di un impulso sonoro che si
propaga lungo il tubo riflettendosi alle estremità


Sul gen. di funzione: onda quadra con freq. 10 Hz
Aumentare lentamente l’intensità fino ad udire un suono
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Misura della velocità del suono
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




Regolare la sweep speed dell’oscilloscopio (s/cm) finché non si
vedono i dettagli degli impulsi lungo un lato dell’onda quadra
serie di onde generate a causa dell’improvviso aumento di V
seguita a breve distanza temporale da diverse serie di onde
simili: eco delle onde riflesse alle estremità del tubo
Misurare la distanza in tempo tra le diverse serie e la distanza
tra altoparlante e faccia del pistone
Ripetere con una diversa posizione del pistone nel tubo
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