- Altervista

LA RELATIVITA' GENERALE
LA RELATIVITA' GENERALE
- Il problema della gravitazione
- La proporzionalità diretta tra massa inerziale e
massa gravitazionale
- Equivalenza tra caduta libera e assenza di
peso
- Equivalenza tra accelerazione e forza peso
- Le principali innovazioni introdotte dalla
relatività generale
Il problema della gravitazione
La teoria della relatività ristretta, pur svincolata da
concetti come l’etere e con l’introduzione del concetto
di campo e di spazio-tempo, non è ancora
soddisfacente perché ancora non si è liberata dal
concetto di sistema di riferimento inerziale.
E' chiaro che le leggi delle fisica, (finora espresse
riferendosi a questo concetto che è una pura
costruzione mentale) dovevano essere valide
indipendentemente dal sistema, quindi, bisognava
costruire una teoria che fosse valida, cioè potesse
descrivere i fenomeni a prescindere dal sistema di
riferimento considerato.
Il problema della gravitazione
La relatività ristretta è stata sviluppata in modo
coerente e include in sé la teoria
elettromagnetica, infatti la teoria di Maxwell
prevede lo stesso valore di c per tutti i sistemi
di riferimento inerziali
Non a caso le trasformazioni di Lorentz sono
proprio quelle che lasciano invariate le
equazioni dell'elettromagnetismo
Il problema della gravitazione
Covarianza:
Covarianza si dice che una legge fisica è
covariante, rispetto a una certa trasformazione,
quando conserva la stessa forma dopo essere
stata trasformata
Covarianza galileiana:
galileiana le leggi della dinamica di
Newton sono covarianti rispetto alle
trasformazioni di Galileo
Covarianza in relatività ristretta:
ristretta le leggi della
meccanica e dell'elettromagnetismo sono
covarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz
Il problema della gravitazione
Al contrario, non fu subito chiaro come inserire
nell'ambito della relatività ristretta, l'attrazione
gravitazionale
Einstein, allora si chiese se fosse possibile
ampliare il primo assioma della relatività
ristretta, secondo il quale tutte le leggi fisiche
hanno la stessa forma in tutti i sistemi di
riferimenti inerziali
Uno dei punti di partenza fu l'approfondimento
della relazione tra massa inerziale e massa
gravitazionale di un corpo
La proporzionalità diretta tra massa
inerziale e massa gravitazionale
La massa inerziale e la massa gravitazionale di un
corpo hanno definizioni operative diverse e quindi,
sono due grandezze fisiche logicamente distinte
La massa inerziale, è la proprietà intrinseca del corpo
materiale di opporsi alle variazioni di moto
La massa gravitazionale, rappresenta la proprietà di
un corpo di essere sorgente e di subire l'influsso di un
campo gravitazionale
La proporzionalità diretta tra massa
inerziale e massa gravitazionale
L'esperienza, però, mostra che esse sono sempre
direttamente proporzionali, in modo da poter
scegliere per entrambe la stessa unità di misura
L'equivalenza tra massa inerziale mi e massa
gravitazionale mg di un stesso corpo, giustifica il fatto
che tutti i corpi che si trovano nella stessa zona di
spazio risentono della stessa accelerazione di gravità,
indipendentemente dalla loro massa e dal materiale
che li costituisce
La proporzionalità diretta tra massa
inerziale e massa gravitazionale
Infatti, il modulo della forza di interazione
gravitazionale tra un pianeta di massa gravitazionale
Mg e un punto materiale di massa gravitazionale mg e
massa inerziale mi posto a distanza r dal centro del
pianeta è:
F = G Mg mg / r2
Applicando il secondo principio della dinamica è
possibile calcolare l'accelerazione del punto materiale
dovuta all'attrazione gravitazionale:
F = mi g
La proporzionalità diretta tra massa
inerziale e massa gravitazionale
Uguagliando le due formule ricaviamo l'accelerazione
di gravità g:
g = G(Mg / r2 )(mg / mi )
Quest'ultima espressione è fondamentale perché
mette in evidenza che, in linea di principio,
l'accelerazione di gravità, dipendendo dal rapporto
mg / mi potrebbe variare da corpo a corpo o da
materiale a materiale.
La proporzionalità diretta tra massa
inerziale e massa gravitazionale
In realtà, le esperienze più accurate hanno dimostrato
che mg / mi vale esattamente 1, (esperimento di
Eötvös),
Eötvös quindi si ricava:
g = G(Mg / r2 )
La formula precedente mostra che, per un valore
fissato di r, l'accelerazione di gravità g dipende
soltanto dalle costanti G e Mg ,quindi
in una data regione dello spazio l'accelerazione di
gravità è costante, cioè uguale per tutti i corpi
Esperimento di Eӧtvӧs
L'esperienza di Eötvös fu un famoso esperimento
della fisica della fine del XIX secolo che misurò la
correlazione tra massa inerziale e massa
gravitazionale,
gravitazionale dimostrandone l'equivalenza con una
precisione fino ad allora impossibile da raggiungere
(diverso da 1 per meno di un fattore di 10-14 )
L'apparato sperimentale originario di Eötvös
consisteva in due masse agli estremi di un'asta rigida,
appesa dal suo baricentro tramite un sottile filo. Uno
specchio applicato all'asta, o al filo, rifletteva la luce in
un piccolo telescopio. Ogni piccola rotazione dell'asta
avrebbe causato la deflessione del raggio di luce,
rilevabile attraverso il telescopio.
Esperimento di Eӧtvӧs
Esperimento di Eӧtvӧs
Le due principali forze agenti sul sistema sono la forza
di gravità e la forza centrifuga dovuta alla rotazione
terrestre.
La prima è calcolata tramite la legge di gravitazione
universale di Newton e dipende dalla massa
gravitazionale; la seconda è ricavata da
considerazioni cinematiche riguardanti i sistemi di
riferimento non inerziali. L'esperimento era
predisposto in modo tale che se le masse inerziali e
gravitazionali dei corpi alle estremità della sbarra
fossero state diverse, le due forze non si sarebbero
cancellate esattamente e nel tempo l'asta sarebbe
ruotata.
Equivalenza tra caduta libera e assenza
di peso
ll primo e più importante ragionamento
fatto da Einstein nella direzione dello
studio dei sistemi accelerati e del loro
accostamento alla gravità è noto come l'
ascensore di Einstein
Un tipico esperimento mentale
(“gedanken experiment”)
Equivalenza tra caduta libera e assenza
di peso
Immaginiamo ora un
ascensore all'ultimo piano di
un grande grattacielo, che
risente del campo
gravitazionale terrestre, e
supponiamo che non vi sia
aria in esso.
Di colpo si spezza il cavo
portante e la cabina inizia a
cadere liberamente con
accelerazione costante pari
a g=9,81 m/s 2 .
Equivalenza tra caduta libera e assenza
di peso
Contemporaneamente una persona che si
trova nel suo interno, lascia cadere un sasso
ed una piuma.
Nel riferimento esterno all’ascensore cioè
all’esterno della cabina si osserva che la forza
di gravità, del campo gravitazionale terrestre
(ad accelerazione costante), attrae allo stesso
modo sia i due oggetti che l'ascensore, per cui
la velocità relativa tra sasso e piuma è nulla.
Nel riferimento dell’ascensore, all’interno della
cabina la forza di gravità, del campo
gravitazionale terrestre è annullata e sia il
sasso che la piuma non arrivano a toccarne il
fondo dal momento che quest'ultimo sta
cadendo con la loro stessa accelerazione.
Equivalenza tra caduta libera e assenza
di peso
L'uomo all'interno della cabina potrebbe quindi
a buon diritto affermare di trovarsi in una zona
dello spazio lontana dall'azione gravitazionale
di stelle e pianeti dal momento che i due
oggetti lasciati a se stessi rimangono sospesi
a mezz'aria.
Viene simulata in questo modo l’assenza di
gravitazione e solo l’inerzia appare agire sui
corpi dentro l’ascensore e le masse sono
“masse inerziali” cadendo con la loro stessa
accelerazione.
Equivalenza tra accelerazione forza
peso
Consideriamo ora la situazione opposta:
la cabina viene posta in una zona dello
spazio dove non agiscono forze
gravitazionali, ad esempio in una navetta
spaziale in orbita terrestre.
Supponiamo inoltre che la
cabina venga tirata verso l'alto
sempre con accelerazione
costante pari a g=9,81 m/s2
tramite una fune collegata al
soffitto.
Equivalenza tra accelerazione forza
peso
Nel riferimento dell’ascensore la persona
all'interno dell'ascensore lascia andare la
piuma ed il sasso.
Il pavimento però si sta muovendo verso l'alto
e prima o poi raggiungerà i due oggetti. La
persona all'interno dell'ascensore, ignorando
la situazione esterna, può credere di trovarsi
dentro un campo gravitazionale dal momento
che lasciando andare la piuma ed il sasso essi
"cadono" sul pavimento
contemporaneamente.
In questo modo una “massa inerziale” appare
come una “massa gravitazionale”
Equivalenza tra accelerazione forza
peso
Si può quindi affermare che: gli effetti di
un'accelerazione costante su di un
osservatore sono equivalenti a quelli di
un campo gravitazionale uniforme sullo
stesso osservatore supposto in quiete.
Ciò vale però solo se
l’accelerazione è costante e
LOCALMENTE, se “usciamo”
dall’ascensore allora questa
equivalenza non vale più !
In questo consiste il famoso
Principio di Equivalenza
Le principali innovazioni
introdotte dalla RG
1)Tutti i sistemi di riferimento sono equivalenti ai fini della
descrizione dei fenomeni naturali, cioè la formulazione delle leggi
della natura è indipendente dal sistema di riferimento e perciò le
leggi possono essere applicate qualunque sia il tipo di moto del
sistema
2) La teoria della Relatività Generale deriva da quella Ristretta se
ad essa viene incluso il campo gravitazionale dei corpi celesti. In
altre parole viene estesa nell’ambito più ampio dei moti dei
pianeti e delle stelle.
3) Lo spazio-tempo non è più uno spazio tempo-euclideo:
tempo-euclideo le linee
rette non sono più rette, la luce si propaga in linea retta lontano
dai campi gravitazionali mentre viene deviata da questi ultimi. Il
tempo è relativo e il suo scorrere, quindi la sua misura, dipende
dalla velocità di traslazione relativa tra corpi ma anche dalla loro
rotazione
Le principali innovazioni
introdotte dalla RG
4) La teoria spiega la precessione del perielio
dell’orbita di Mercurio (non prevista dalle leggi di
Keplero) dovuta al campo gravitazionale del Sole.
5) La teoria afferma senza ombra di dubbio
l’eguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale:
gravitazionale per
spiegare questo concetto facciamo un esempio. Se un
osservatore viene chiuso in una cassa (in modo che
non possa osservare cosa succede all’esterno),
munito di strumenti, e la stessa è appoggiata al suolo,
egli affermerà che è sottoposto alla forza di gravità
della Terra.