2 - - = xx xP - ISISS Valle Seriana

RADICI DI UN POLINOMIO
DEFINIZIONE:
Si dice che “c” è una radice (o zero) di un polinomio P(x) se per x=c il polinomio
assume il valore zero.
In simboli:
c è radice (zero) di P(x)  P(c)=0
Esempio:
Dato il polinomio P ( x )  5 x 2  3x  2 si può verificare che 1 è una radice (o uno zero)
del polinomio. Infatti
2
P (1)  51  31  2  5  3  2  0
Anche 
2
è uno zero del polinomio. Infatti
5
2
2
4 6
 2
 2
 4  6
P( )  5    3    2  5    2    2  0
5
5 5
 5
 5
 25  5
Nello stesso modo si può verificare che –1 non è uno zero del polinomio. Infatti
2
P (1)  5 1  3 1  2  5 1  3  2  5  3  2  6  0
Regola per la ricerca degli zeri di un polinomio
Dato un polinomio in una variabile, a coefficienti interi,
le sue eventuali radici intere sono da ricercare tra i divisori del termine noto;
le sue eventuali radici razionali sono da ricercare tra i numeri del tipo 
m
, con
n
m un divisore del termine noto ed n un divisore del coefficiente del termine di
grado massimo.
Esempio:
Dato il polinomio a coefficienti interi
P ( x )  5 x 2  3x  2
Le eventuali radici intere sono da ricercare tra i divisori del termine noto.
Il termine noto del polinomio considerato è 2, i suoi divisori sono: +1; –1; +2; –2.
Le eventuali radici razionali sono da ricercare tra i numeri del tipo 
m
, (con m un
n
divisore del termine noto, cioè 2 ed n un divisore del coefficiente del termine di grado
1
5
1
5
2
5
massimo, cioè 5). I numeri razionali che si devono considerare sono:  ; ; ;
2
.
5
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TEOREMA DEL RESTO
ENUNCIATO:
Il resto R della divisione di un polinomio P(x) per il binomio (x–c) è uguale al valore
che il polinomio assume per x=c.
In simboli
R=P(c)
Attenzione!
Il divisore (x–c) deve avere il coefficiente del termine in x di primo grado uguale ad 1.
Il resto R della divisione è necessariamente un numero. Infatti il grado del polinomio
resto è minore del grado del polinomio divisore. In questo caso il polinomio divisore
(x–c) è di primo grado quindi il resto è di grado zero.
DIMOSTRAZIONE:
Per la definizione di divisione con resto si ha:
Q(x).(x–c) + R= P(x)
Questa uguaglianza deve valere per qualsiasi valore attribuito alla variabile x , quindi
deve essere valida se si sostituisce ad x il valore c:
Q(c).(c–c) + R= P(c)
poiché
(c–c) =0  Q(c).(c–c) =0  0+R= P(c)  R= P(x)
c.v.d.
Il teorema del resto permette di calcolare il resto della divisione di un
polinomio P(x) per il binomio (x–c) senza eseguire l’operazione ma
calcolando il valore che assume il polinomio P(x) quando alla variabile x si
sostituisce il termine noto del divisore (x–c) cambiato di segno.
Esempio:
Determinare il resto della divisione del polinomio P ( x )  5 x 2  3x  2 per il binomio
x  2 .
Per il teorema del resto si ha:
2
R  P (2)  5 2  3 2   2  5 4   6  2  20  6  2  12
Determinare il resto della divisione del polinomio P ( x )  5 x 2  3x  2 per il binomio
x  3 .
Per il teorema del resto si ha:
2
R  P (3)  5 3  3 3  2  5 9   9  2  45  9  2  52
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Particolare applicazione del teorema del resto
n
n
Il teorema del resto applicato ad un polinomio nella forma P ( x )  x  a , consente di
formulare il seguente criterio di divisibilità della somma o della differenza di due
potenze di uguale esponente per la somma o la differenza delle loro basi:
La somma di due potenze di uguale esponente
 è divisibile per la somma delle basi se l’esponente è dispari
 non è mai divisibile per la differenza delle basi
La differenza di due potenze di uguale esponente
 è divisibile per la somma delle basi se l’esponente è pari
 è sempre divisibile per la differenza delle basi
n
n
Dato il polinomio P ( x )  x  a , applico il teorema del resto
n
 an  an  0
se n dispari
 a n  a n  2a n  0
se n pari
P ( a )   a   a 
n
n
n
quindi il binomio x  a è divisibile per (x + a) solo se n è dispari
n
 a n  a n  2a n  0
se n dispari
 a n  a n  2a n  0
se n pari
P ( a)   a   a 
n
n
n
quindi il binomio x  a non è mai divisibile per (x – a)
Esempio:
n pari
4
x 4  16 non è divisibile per il binomio (x+2) infatti P (2)   2  16  16  16  32  0
4
x 4  16 non è divisibile per il binomio (x–2) infatti P (2)   2  16  16  16  32  0
n dispari
5
x  32 non è divisibile per il binomio (x–2) infatti P (2)   2   32  32  32  64  0
5
5
x 5  32 è divisibile per il binomio (x+2) infatti P (2)   2  32  32  32  0
n
n
Dato il polinomio P ( x )  x  a , applico il teorema del resto
 a n  a n  2a n  0
n
se n dispari
P ( a )   a   a 
n
an  an  0
n
se n pari
n
quindi il binomio x  a è divisibile per (x + a) solo se n è pari
n
 an  an  0
se n dispari
 an  an  0
se n pari
P ( a)   a   a 
n
n
n
quindi il binomio x  a è divisibile per (x – a) sia per n pari che per n dispari
Esempio:
n pari
4
x 4  16 è divisibile per il binomio (x+2) infatti P (2)   2   16  16  16  0
4
x 4  16 è divisibile per il binomio (x–2) infatti P (2)   2  16  16  16  0
n dispari
5
x  32 è divisibile per il binomio (x–2) infatti P (2)   2   32  32  32  0
5
5
x 5  32 non è divisibile per il binomio (x+2) infatti P (2)   2   32  32  32  64  0
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TEOREMA DI RUFFINI
ENUNCIATO:
Il polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x–c) se e solo se P(c) = 0, cioè se c è
radice (o zero) del polinomio P(x).
In simboli
P x  divisibile per  x  c   Pc   0
DIMOSTRAZIONE:
Se un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x–c) allora il resto di tale divisione è
zero, R=0. Essendo per il teorema del resto R= P(c), si ha P(c)=0.
In simboli:
P x  divisibile per  x  c   Pc   0
Viceversa se P(c)=0, cioè c è una radice del polinomio P(x), allora per il teorema del
resto, risulta R=P(c)=0 e quindi il polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x–c).
In simboli:
Pc   0  P x  divisibile per  x  c 
Le due implicazioni sono rispettivamente conseguenza del concetto di divisibilità tra
polinomi e del teorema del resto e costituiscono il teorema di Ruffini
P x  divisibile per  x  c   Pc   0
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