Esercizi selezionati per l’esame scritto del corso di Fotonica
Laser
Si consideri un laser Nd-YAG con cavità ad anello (vedi figura). Il cristallo Nd-YAG ha lunghezza
L = 2.5 cm e RA = RC = 100%. Supponendo che il pompaggio crei una inversione di popolazione N2
- N1 = 1.5×1018 cm-3, e supponendo che la sezione d'urto di emissione stimolata valga σ21 = 4×1019 cm2, a) si calcoli quale valore deve avere la riflettività RB dello specchio B perché il guadagno
d’anello della cavità per l’ampiezza del campo elettrico sia uguale a 2 , b) supponendo che ABC
sia un triangolo equilatero di lato 5 cm e attribuendo il valore n = 1.8 all’indice di rifrazione del
cristallo, si calcoli la distanza in frequenza Δν fra due autofrequenze adiacenti del laser.
A
L= 2.5 cm
B
C
Un laser a cavità Fabry-Perot è caratterizzato da specchi con riflettività R1 = 1, R2 = 0.8, un mezzo
attivo di lunghezza l = 3 cm, e una sezione d’urto di assorbimento σ = 4 × 10-20 cm2. Calcolare
l’inversione di popolazione N2 – N1 necessaria per avere un guadagno di anello per il campo
elettrico uguale a 2.
Si consideri un laser costituito da un cristallo (amplificatore) di lunghezza L = 1 mm e indice di
rifrazione n = 3.5, con cavità Fabry-Perot che sfrutti le riflessioni alle interfacce cristallo-aria. a) si
calcoli la distanza Δν fra due autofrequenze adiacenti della cavità; b) si calcoli il coefficiente R di
riflessione alle interfacce.
Si consideri un laser Nd-YAG con cavità ad anello (vedi figura). Il cristallo Nd-YAG ha lunghezza
L = 1 cm e RA = RC = 100%. Supponendo che il pompaggio crei una inversione di popolazione N2 N1 = 1.5×1018 cm-3, e supponendo che la sezione d'urto di emissione stimolata valga σ21 = 3.5×1019 cm2, a) si calcoli quale valore deve avere la riflettività RB dello specchio B perché il laser sia a
soglia, b) supponendo che ABC sia un triangolo equilatero di lato 4 cm e attribuendo il valore n =
1.8 all’indice di rifrazione del cristallo, e assumendo che la larghezza di banda del guadagno nel
cristallo sia 234 GHz, si calcoli su quante autofrequenze il laser possa emettere.
A
L= 1 cm
C
B
Fasci gaussiani
Un fascio gaussiano ( λ = 1.5 μm ) si propaga lungo l’asse z e ha un waist wo = 0.1 mm in z = 0. In
z1 = 25 cm incontra una lente piano-convessa costituita da una calotta sferica di raggio di curvatura
4 cm, fabbricata con un vetro di indice di rifrazione n = 1.8. a) calcolare in quale posizione z2 viene
focalizzato il fascio, e quale è la dimensione della macchia focale in z2. b) calcolare quale deve
essere il diametro della lente perché possa intercettare il 99% della potenza luminosa.
Consideriamo un fascio gaussiano con λ = 1 μm e potenza P che si propaga lungo l'asse z e presenta
sul piano z = 0 un raggio di curvatura infinito del fronte d'onda ed una dimensione trasversale
(waist) wo = 1 mm. Vogliamo focalizzare il fascio su di un bersaglio ad 1 km di distanza ponendo
una lente di focale f = 500 m alla coordinata z = 500 m. Calcolare: a) la dimensione wf del fascio
laser sul bersaglio. b) il diametro della lente che serve per raccogliere il 99% della potenza P.
Un fascio gaussiano ( λ = 1 μm ) si propaga lungo l’asse z e ha un waist wo = 0.1 mm in z = 0. In z1
= 10 cm incontra una lente di focale f = 5 cm. a) Calcolare in quale posizione z2 viene focalizzato il
fascio, e quale è la dimensione della macchia focale in z2. b) calcolare quale è il valore di w alla
coordinata z3 = 20 cm.
Il fascio di uscita di un laser (luce verde, λ = 0.532 μm ) viene indirizzato verso la luna. Prendiamo
l’asse z coincidente con la direzione di propagazione. a) Supponendo che il fascio sia un’onda
sferica gaussiana con waist minimo wo = 0.25 mm sullo specchio di uscita del laser, e assegnando
alla distanza terra-luna il valore zL = 300000 km, si calcoli il valore del parametro wL sulla luna. b)
Per ridurre l’area illuminata sulla luna, si interpone sul cammino del fascio una lente convergente
con distanza focale f. Chiamando zR la lunghezza di Rayleigh del fascio laser, supponendo che la
lente venga posta a distanza f dallo specchio di uscita del laser, ponendo f = 15 zR, calcolare di che
fattore si riduce wL.
Riflessione, rifrazione e strati
Un’onda elettromagnetica oscillante alla lunghezza d’onda λ = 650 nm è polarizzata linearmente
come mostrato in figura, ha una potenza pari a 100 mW e si propaga nel vuoto. Essa incide con un
angolo di 30° su una lastra di vetro di indice di rifrazione n = 1.5 e in sequenza attraversa una
lamina λ/2 e un polarizzatore.
- Che potenza ha il fascio trasmesso nel vetro?
La lamina ha l’asse ottico inclinato di 30° rispetto alla direzione x del sistema di riferimento
solidale con l’onda mostrato in figura e l’asse di trasmissione del polarizzatore è diretto lungo y del
medesimo sistema di riferimento.
- Quanta potenza ottica viene trasmessa attraverso il polarizzatore?
x
E
k
30°
y
z
polarizzatore
lamina
Un fascio di luce incide dall’aria su una lastra di vetro di spessore h = 6 mm e indice di rifrazione n
= 1.8. La luce incide all’angolo di Brewster. Il raggio viene parzialmente riflesso e parzialmente
trasmesso alla prima intefaccia aria-vetro. Il fascio trasmesso subisce una ulteriore riflessione sul
fondo della lastra e viene nuovamente trasmesso come mostrato in figura.
a) Quanto vale la distanza b tra i due fasci trasmessi?
b) Il raggio incidente è polarizzato linearmente e ha componenti di ampiezza Eπ = 104 V/m e Eσ =
4⋅104 V/m. Quanto vale l’intensità del fascio dopo la prima riflessione?
b
h
Si consideri un’onda piana alla lunghezza d’onda di 550 nm che incide perpendicolarmente su di
una superficie aria-vetro. a) assumendo che l’indice di rifrazione del vetro sia nv = 1.6, si calcoli il
coefficiente di riflessione R. b) supponendo di interporre uno strato sottile di solfuro di zinco tra
aria e vetro, si calcoli quale spessore deve avere tale strato per massimizzare il coefficiente di
riflessione.
Si consideri una lamina di vetro di indice di rifrazione n3 = 1.69, sulla quale viene depositato uno
strato antiriflettente di spessore d e indice di rifrazione n2. Si supponga che d e n2 siano scelti in
modo tale che lo strato sia perfettamente antiriflettente per λ = 500 nm ad incidenza normale.
Calcolare per quale lunghezza d’onda λ‘ lo strato si comporta come perfettamente antiriflettente se
il fascio di luce incide sullo strato formando un angolo di 5º rispetto alla normale.
Si consideri un’onda piana alla lunghezza d’onda di 550 nm che incide perpendicolarmente su di
una superficie aria-vetro. a) assumendo che l’indice di rifrazione del vetro sia nv = 1.6, si calcoli il
coefficiente di riflessione R. b) supponendo di interporre uno strato sottile di solfuro di zinco tra
aria e vetro, si calcoli quale spessore deve avere tale strato per massimizzare il coefficiente di
riflessione.
Polarizzazione
Si consideri una lamina di vetro di indice di rifrazione n3 = 1.55, sulla quale viene depositato uno
strato di solfuro di zinco (ZnS) di spessore d. a) Calcolare il valore di d che massimizza il
coefficiente di riflessione per un fascio di luce che arriva dall’aria con λ = 590 nm ad incidenza
normale. b) Calcolare il valore massimo del coefficente di riflessione R del sistema. c) Calcolare
per quale lunghezza d’onda λ‘ lo strato ha il massimo di riflettività se il fascio di luce incide sullo
strato formando un angolo di 5º rispetto alla normale.
Consideriamo un fascio di luce che si propaghi nella direzione z e sia polarizzato linearmente nella
direzione dell’asse x. Il fascio di luce attraversa una lamina quarto d’onda con asse ottico che forma
un angolo α = π/4 con l’asse x, e un polarizzatore con asse nella direzione y. a) Calcolare lo
spessore minimo della lamina a quarto d’onda, supponendo che sia in calcite, per la lunghezza
d’onda λ = 589 nm. b) Scrivere la matrice di Jones della lamina riferita agli assi xy. c) Calcolare la
frazione di potenza trasmessa dal polarizzatore.
Si consideri un’onda piana polarizzata linearmente lungo l’asse y, che si propaga lungo l’asse z, e
incontra successivamente una lamina λ/2 con asse ottico che forma un angolo di 30° in senso orario
con l’asse y, una lamina λ/4 con asse ottico che forma un angolo di 60° in senso orario con l’asse y,
e un polarizzatore con asse ottico coincidente con l’asse x. a) calcolare il rapporto tra la potenza
luminosa trasmessa dal polarizzatore e la potenza luminosa entrante, b) calcolare lo stesso rapporto
nel caso in cui la lamina λ/2 venga rimossa.
Si consideri un’onda piana polarizzata linearmente lungo l’asse y, che si propaga lungo l’asse z, e
incontra successivamente una lamina λ/2 con asse ottico che forma un angolo di 15° in senso orario
con l’asse y, una seconda lamina λ/2 con asse ottico che forma un angolo di 45° in senso orario con
l’asse y, e un polarizzatore con asse ottico coincidente con l’asse x. a) scrivere il vettore di Jones del
campo uscente dalla seconda lamina; b) calcolare il rapporto tra la potenza luminosa trasmessa dal
polarizzatore e la potenza luminosa entrante; c) calcolare lo stesso rapporto nel caso in cui la
posizione delle due lamine sia scambiata.
Un isolatore è costituito dalla seguente cascata di componenti: un polarizzatore, un rotatore di
Faraday che ruota la polarizzazione di 45° in senso anti-orario, una lamina λ/2 e un secondo
polarizzatore. (Lo schema è mostrato in figura). Si supponga che il campo in ingresso sia
polarizzato lungo l’asse y, e che i due polarizzatori abbiano l’asse ottico coincidente con l’asse y.
calcolare a che angolo deve essere posto l’asse ottico della lamina per avere trasmissione T = 1
supponendo che l’isolatore non sia stato progettato correttamente e in uscita si abbia una
trasmissione pari a T = P2/P1= 0.95, valutare a che angolo rispetto all’asse y si trova l’asse ottico
della lamina λ/2.
y
P1
P
2
z
Consideriamo un fascio di luce che si propaghi nella direzione z e sia polarizzato linearmente nella
direzione dell’asse x. Il fascio di luce attraversa una lamina mezz’onda con asse ottico che forma un
angolo α con l’asse x, e un polarizzatore con asse nella direzione y. a) Calcolare lo spessore
minimo della lamina a mezz’onda, supponendo che sia in calcite, per la lunghezza d’onda λ = 589
nm. b) Dire che valore deve avere l’angolo α perché la trasmissione del sistema sia unitaria, c)
Scrivere la matrice di Jones della lamina riferita agli assi xy.
Misure spettrali
Consideriamo un reticolo di ampiezza con un passo d = 2.5 μm, che viene utilizzato sul secondo
ordine di diffrazione. Il fascio di ingresso abbia un angolo di incidenza θi = 0°. a) che dimensione
deve avere il reticolo per presentare un potere risolvente λ/Δλ = 104? b) verificare se esiste almeno
una lunghezza d'onda nel campo del visibile che abbia un angolo di diffrazione coincidente con
quello presentato da λ = 0.9 μm al secondo ordine.
Si consideri un laser costituito da un mezzo attivo (amplificatore) di lunghezza L = 1 mm e indice di
rifrazione n = 2, con cavità Fabry-Perot e specchi posti sulle facce del mezzo attivo, funzionante
alla lunghezza d’onda λ = 1.3 μm. a) si calcoli la distanza Δν fra due modi longitudinali adiacenti,
b) supponendo di inviare il fascio laser su di un reticolo di passo d = 3 μm, si calcoli quale deve
essere la dimensione minima del reticolo D perché siano risolti al primo ordine di diffrazione due
modi adiacenti.
Si consideri un’onda piana, composta da due lunghezze d’onda λ1 = 1340 nm e λ2 = 1341 nm, che
incide perpendicolarmente su di un reticolo avente passo d = 3 μm. a) calcolare l’angolo Δθ formato
dalle due lunghezze d’onda al secondo ordine di diffrazione del reticolo. b) calcolare quale deve
essere la dimensione trasversale minima del reticolo perché il potere risolvente sia sufficiente a
separare le due lunghezze d’onda.
Consideriamo un fascio gaussiano con λ = 1 μm e potenza P che si propaga lungo l'asse z e presenta
sul piano z = 0 un raggio di curvatura infinito del fronte d'onda ed una dimensione trasversale
(waist) wo = 0.8 mm. Alla coordinata z1 = 8 cm incontra una lente convergente con focale f = 5 cm.
a) calcolare a quale coordinata z2 la lente fa’ convergere il fascio di luce. b) calcolare la frazione
della potenza P che attraversa un’apertura circolare di diametro d = 30 μm posta alla coordinata z2.
Si consideri un laser Nd-YAG con cavità di tipo Fabry-Perot con distanza fra gli specchi L = 8 cm.
Il cristallo Nd-YAG ha lunghezza l = 4 cm. Tenuto conto che l'indice di rifrazione del cristallo è n
= 1.8 e che la banda di guadagno del Nd-YAG ha una larghezza Δν12 = 220 GHz, si risponda alle
seguenti domande:
su quante autofrequenze può funzionare il laser?
che caratteristiche deve avere l'interferometro di Fabry-Perot (distanza fra gli specchi, riflettività
degli specchi) da utilizzarsi per misurare sperimentalmente il numero di autofrequenze su cui il
laser funziona?
Consideriamo un reticolo di ampiezza con un passo d = 2 μm, che viene utilizzato sul secondo
ordine di diffrazione. Il fascio di ingresso presenti un angolo di incidenza θi = 0°. Domande:
che dimensione deve avere il reticolo per presentare un potere risolvente λ/Δλ = 105?
verificare se esiste almeno una lunghezza d'onda nel campo del visibile che abbia un angolo di
diffrazione coincidente con quello presentato da λ = 0.8 μm al secondo ordine.
