problema 1

MODULO
C
PROBLEMA 1
Calcolare l’inclinazione β, rispetto al piano stradale, che deve avere un motociclista per percorrere, alla
velocità v = 50 km/h, una curva piana di raggio r = 42 m (Fig. C1 ).
Fig. C1
Schema delle condizioni di equilibrio in curva di un veicolo a due ruote.
Soluzione
Nel caso di veicoli a due ruote, per potere affrontare una curva piana, occorre che essi assumano una
posizione inclinata rispetto al piano della strada (Fig. C1).
La condizione di equilibrio si esprime, come per i veicoli a quattro ruote, uguagliando in ogni istante il momento della forza peso con quello della forza centrifuga rispetto al punto di contatto A fra ruota e suolo.
Ne consegue che l’espressione della velocità v è:
v=
gr
tg β
da cui si ricava:
tg β =
gr
v2
In questo modo, sostituendo con i dati numerici ed esprimendo la velocità in m/s, si ottiene:
v=
e:
tg β =
50
m
≅ 13, 9
3, 6
s
9, 81 × 42
13, 9 2
= 2,132
pertanto l’angolo d’inclinazione vale:
β = 64°52'
Dinamica
MODULO C
MODULO
C
PROBLEMA 2
Un convoglio ferroviario, di peso complessivo p = 5000 kN, percorre un tratto di linea ferroviaria pianeggiante alla velocità v = 54 km/h.
Determinare la forza necessaria ad arrestare il convoglio nel tempo t = 3 min.
Soluzione
uniformemente ritardato sono:
R Le leggi delle velocità e degli spazi del moto vrettilineo
=v −at
f
i
1
s = vt t − a t2
2
Si osservi che le leggi del moto uniformemente ritardato si ricavano da quelle del moto uniformemente accelerato, sostituendo al valore dell’accelerazione a il valore della decelerazione −a, pertanto nell’applicare le
equazioni del moto uniformemente ritardato basta sostituire in esse il valore assoluto della decelerazione, in
quanto del segno negativo si è già tenuto conto.
L’energia cinetica posseduta dal convoglio ferroviario in moto vale:
1
1 5 000 000 2
Ec = m v2 =
15 = 57, 34 × 106 J
2
2 9, 81
e deve essere spesa, sotto forma di lavoro, per arrestarne il moto, ossia:
Ec = L = F s
Considerando le relazioni del moto rettilineo uniformemente ritardato:
vf = v0 − a t
e:
1
s = v0 t − a t 2
2
dalla prima formula si ricava il valore della decelerazione −a:
−a =
vf − v0
t
=
0 − 15
m
= −0, 08
180
s
mentre dalla seconda formula si ricava il valore dello spazio s percorso:
1
s = 15 × 180 − 0, 08 ×180 2 = 1296 m
2
Pertanto la forza necessaria per arrestare il convoglio nel tempo t = 180 s, assume il seguente valore:
F=
Dinamica
L Ec 57, 34 × 106
=
=
= 44 244 N ≅ 4424 daN
s
s
1296
MODULO C
Applicazione del teorema della quantità di moto per la soluzione dei problemi di Dinamica
Per la soluzione dei problemi di Dinamica, facendo riferimento alla durata della forza che agisce su un
corpo e individuando una relazione fra la sua massa e la velocità, ossia introducendo le grandezze cinematiche di tempo e velocità, è possibile applicare la seconda legge della Dinamica:
F=ma
in una forma diversa, ovvero nella forma che costituisce l’espressione analitica del teorema della
quantità di moto:
(
F t = m vfinale − viniziale
)
in cui la grandezza vettoriale F t, data dal prodotto della forza per il tempo di applicazione della stessa, è detta “impulso della forza”; mentre il prodotto della massa per la velocità istantanea del corpo m v
costituisce la grandezza vettoriale detta “quantità di moto”.
Poichè il prodotto m (vfinale − viniziale) rappresenta la variazione della quantità di moto, il teorema
della quantità di moto afferma che:
l’impulso F t di una forza agente su un punto materiale per un intervallo di tempo t è uguale alla variazione della quantità di moto del punto materiale nello stesso intervallo di tempo.
Dinamica
MODULO C
MODULO
C
PROBLEMA 4
Calcolare il momento d’inerzia di massa, rispetto all’asse geometrico, della puleggia in acciaio (Fig. C4 ),
le cui caratteristiche sono:
— diametro interno della corona (1) di1 = 440 mm;
— diametro esterno della corona (1) de1 = 500 mm;
— diametro interno del mozzo (3) di3 = 50 mm;
— diametro esterno del mozzo (3) de3 = 100 mm;
— spessore dell’anello (2) s = 10 mm;
— larghezza della puleggia l = 75 mm;
— massa volumica dell’acciaio ρ = 7850 kg/m3.
Fig. C4
Sezione longitudinale di una puleggia in acciaio.
Soluzione
Si consideri la puleggia in tre parti, formata cioè da tre cilindri cavi di grande spessore, di cui sono
note le relazioni per calcolare i rispettivi momenti d’inerzia (Tab. C2 .1 ), pertanto si ottiene quanto
segue.
— Corona:
1
J1 = m1 re21 + ri21
2
in cui:
(
)
(
(
)
)
m1 = ρ V = ρ π re21 − ri21 l = 7850 π 0, 252 − 0, 222 0, 075 = 26 kg
quindi si ha:
J1 =
(
— Disco:
J2 =
Dinamica
)
1
26 0, 252 + 0, 222 = 1, 44 kg m 2
2
(
1
m r2 + r2
2 2 e2 i2
)
MODULO C
dove:
(
)
(
)
m2 = ρ V = ρ π re22 − ri22 s = 7850 π 0, 222 − 0, 052 0, 01 = 11,3
3 kg
dunque si ha:
(
)
1
J 2 = 11, 3 0, 222 + 0, 052 = 0, 29 kg m 2
2
— Mozzo:
J3 =
essendo:
(
)
(
1
m r 2 + r2
2 3 e3 i3
(
)
)
m3 = ρ V = ρ π re23 − ri23 l = 7850 π 0, 052 − 0, 0252 0, 075 = 3, 47 kg
si ottiene:
J3 =
(
)
1
3, 47 0, 052 + 0, 0252 = 0, 0054 kg m 2
2
Il momento d’inerzia totale della puleggia è dato dalla somma dei momenti d’inerzia delle tre parti che
la costituiscono, calcolati tutti rispetto al medesimo asse:
J = J1 + J 2 + J 3 = 1, 44 + 0, 29 + 0, 0054 = 1, 735 kg m 2
Confrontando i momenti d’inerzia delle tre parti costituenti la puleggia con il momento d’inerzia totale, si nota che l’apporto al momento d’inerzia delle parti vicine all’asse di rotazione è modesto, mentre
è preponderante quello della parte più distante dall’asse, ossia della corona esterna, il cui momento
d’inerzia rappresenta l’83% del totale.
Dinamica
MODULO C
MODULO
C
PROBLEMA 5
Un motore sviluppa una potenza di 220 kW alla frequenza di rotazione ni = 3500 giri/min.
Sapendo che il momento d’inerzia di massa del volano, collegato all’albero motore, è J = 11,8 kg m2
e che il momento della coppia frenante vale M = 37,3 N m, determinare il tempo che impiega il motore
a raggiungere la frequenza di rotazione n = 400 giri/min.
Il volano è un organo meccanico, a forma di disco o di puleggia a razze con corona di grande spessore,
R calettato
sull’albero motore di una macchina; esso serve a mantenere entro determinati limiti le variazioni
continue di velocità angolare causate dalle variazioni della coppia motrice applicata all’albero, riducendo così
lo scarto fra il valore massimo e quello minimo della velocità angolare e uniformando il moto dell’albero.
Soluzione
La variazione dell’energia cinetica del volano è dovuta alla variazione del regime di rotazione del motore; questa energia viene spesa dal volano per trascinare in rotazione gli organi del motore a cui esso
è collegato.
Il lavoro compiuto a spese dell’energia cinetica del volano si ricava dall’espressione del teorema
delle forze vive:
1
1
J ω 2f − J ωi2
2
2
ma il lavoro si esprime anche mediante la seguente relazione:
L=
L=Mϑ
in cui M indica il momento della coppia frenante e ϑ è l’angolo di rotazione, espresso in rad, dell’albero motore per passare da 3500 giri/min a 400 giri/min. Pertanto si ha:
Mϑ =
1
1
J ω 2f − J ωi2
2
2
da cui si ricava, sostituendo i valori numerici noti, l’angolo ϑ:
ϑ=
(
J ω 2f − ωi2
2M
) = 11,8 (41,9
2
− 366, 52
2 × 37, 3
) = −20 969 raad
che, se si considera il valore assoluto, equivale a:
n=
20 969
= 3337 giri
2π
seguito sono elencate le leggi del moto circolare uniformemente ritardato.
R Di– Decelerazione
angolare (accelerazione angolare negativa):
ε=
ωi − ω f
t
– Spazio angolare percorso:
1
ϑ = ωi t − ε t 2
2
dove lo spazio iniziale ϑi è considerato nullo e la velocità angolare iniziale ωi è maggiore di quella finale ωf.
Dinamica
MODULO C
Dalle leggi del moto circolare uniformemente ritardato, si ricava il valore del tempo impiegato dal motore per arrivare a 400 giri/min.
Mettendo a sistema le seguenti relazioni:
1
ϑ = ωi t − ε t 2
2
ε=
si ottiene:
t=
ωi − ω f
t
2ϑ
ωi + ω f
infine, sostituendo con i valori noti, si ricava:
t=
Dinamica
2 × 20 969
≅ 103 s
366, 5 + 41, 8
MODULO C