P. 39 - Caratteristiche di Marte e origine dei satelliti Phobos e Deimos

Psiche – T p = 4, 30 h
m = 2, 388 ⋅ 10 19 K g ; m x = 4, 72 ⋅ 10 17 K g ; d = 213 K m
Giunone - T p = 7, 21 h
m = 1, 029 ⋅ 10 19 K g ; m x = 6, 43 ⋅ 10 17 K g ; d = 227 K m
Davida – T p = 5, 17 h
m = 2, 998 ⋅ 10 19 K g ; m x = 5, 93 ⋅ 10 17 K g ; d = 260 K m
Eros –
T p = 5, 27 h
m = 9, 728 ⋅ 10 18 K g ; m x = !, 37 ⋅ 10 18 K g ; d = 181 K m
7 – Marte : sono note le posizioni ed i periodi di rivoluzione dei due satelliti.
Phobos –
R P = 9374 K m ; T P = 0, 31891 g
dim =
Deimos –
26, 3 ⋅ 22, 4 ⋅ 18, 4 K 3m
R D = 23458 K m ; T D = 1, 26244 g
dim = 10, 4
Si ricavano i valori :
⋅ 12, 2 ⋅ 15 K 3m
K 2M = V 2P R P = V 2D R D
3
= 42832
Km
sec
2
;
2
KM
mM =
= 0, 64191 ⋅ 10 24 K g
β
Il punto neutro risulta :
RM
R NMS =
= 129562 K m
1
1+
mS
2
mM
360
1
Se i due satelliti si trovano su " possibili " orbite stabili, dovrà essere :
R1
n
2
P
= 9374 K m
R 1 = R NMS = 129562 K m
con
R1
n
Si ricava dunque :
2
D
= 23458 K m
nP
nD
=
1
23458
9374
2
= 1, 5819
8
oppure
La coppia di valori che meglio approssima tale rapporto risulta
5
6
che però forniscono, entrambi, valori inaccettabili per
R1.
4
Questo risultato ed altre considerazioni ci portano a pensare che i due
satelliti non siano su orbite stabili.
Ipotizziamo dunque che essi rappresentino un unico vecchio satellite
spezzato in due parti da un impatto schematizzabile come in figura.
361
2
Le dimensioni dei satelliti fornite dall’osservazione, lungo i tre assi, risultano
praticamente complementari, precisamente :
Phobos – V P = 26, 8 ⋅ 21, 6 ⋅ 18, 8 K 3m
3
Deimos – V D = 10, 4 ⋅ 12, 2 ⋅ 15, 0 K m
Essendo la spaccatura asimmetrica, il frammento più piccolo, Deimos, avrà
una maggiore percentuale di elementi superficiali leggeri. Sarà ragionevole
quindi pensare che abbia una minore densità media.
Supponiamo che sia δ D ≃ 0, 85 ⋅ δ P e che si possa trascurare il momento
angolare del proiettile incidente rispetto al centro del pianeta Marte.
Con queste ipotesi semplificative, indicando con V il volume dei satelliti e
con x il satellite primordiale, il principio di conservazione del momento della
quantità di moto impone che sia :
mx Vx Rx = mP VP RP + mD VD RD
che si può anche scrivere :
mx KM Rx
1
1
2
2
= mP KM RP
1
+ mD KM RD
2
semplificando si ottiene :
1
mx Rx
sostituendo
m =δ⋅V
2
1
= mP RP
2
1
+ mD RD
, si può scrivere :
1
1
Rx
2
2
=
VP RP
2
1
+ 0, 85 V D R D
2
V P + 0, 85 V D
Sostituendo i valori numerici, si ricava :
362
3
R x = 10819 K m
utilizzando questo valore approssimato, ricaviamo il numero quantico
associato all’orbita .
Dalla
Rx =
R NMS
n
si ottiene :
2
X
n 2x =
129562
10819
= 11, 9754
Il numero quantico più prossimo accettabile risulta
Se si assume dunque n x =
3⋅
4
12 =
3⋅
4
3
2
.
, la distanza corretta del satellite
3
primordiale dovrà essere :
Rx =
129562 K m
12
= 10797 K m
Secondo questa dinamica, il satellite Deimos, durante l’urto, ha acquisito
energia e si è allontanato da Marte.
L’energia acquistata non è risultata tuttavia sufficiente per portarlo
R n = 24293 K m e quindi dovrà " cadere " su
quella che la precede con R n = 18220 K m .
sull’orbita stabile avente
Il satellite Phobos invece " cade ", lentamente, sul pianeta percorrendo
una spirale.
Utilizzando l’osservazione secondo la quale oggi Phobos si avvicina a Marte
con una velocità di circa 2 m / 100 anni, se, in prima approssimazione,
riteniamo che tale velocità non abbia subito variazioni nel tempo, possiamo
datare l’impatto con la relazione :
t=
R X – R Ph
2m
⋅ 100 a =
10797 − 9374 K m
2m
⋅ 100 a ≃
70 ⋅ 10 6 anni
Questo risultato potrebbe costituire una valida prova a favore della
ipotesi che nella stessa epoca si sia verificata sulla Terra la caduta di
363
4
grandi asteroidi che hanno provocato l’estinzione di un gran numero
di specie animali.
Possiamo, a questo punto, calcolare le caratteristiche orbitali dell’ intero
sistema Marziano.
1
K
V1 =
2
2
M
= 0, 575
R1
Km
sec
1
4 ⋅ π2 ⋅ R
T1 =
K
2
3
1
= 16, 387 g
2
M
Si avranno quindi le relazioni :
Rn =
129562 K m
n2 m2 q2
V n = 0, 575
Km
sec
⋅
16, 387g
; Tn =
n3 m3 q3
nmq
lo schema orbitale completo risulta il seguente.
129562
32390
↓
14396
↓
↑
8097,6
↓
↑
97171 64781 24293 16195 10797
↓
↑
↓
↑
↓
5182,5
↓
↑
3598,9⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
↓
↑
6073,2 3886,9
↑
72879 48586 18220
Calcoliamo, infine, il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di
rivoluzione del pianeta.
r M0 =
mM
mS
⋅ RM =
0,64191⋅10 24
1,9891⋅10 30
⋅ 227, 94 ⋅ 10 6 K m = 73, 56 K m < 3396, 2 K m
364
5
Marte presenta dunque un nucleo interno rotante su se stesso alla velocità :
1
v = Vn =
K
2
S
RM
1
2
132,725⋅10 9
=
K
3
m
sec 2
227,94⋅10 6 K m
2
= 24, 13
Km
sec
Pur essendo il nucleo di dimensioni modeste, la sua velocita’ di rotazione è
molto elevata e quindi l’energia termica che si sviluppa può essere
sufficiente per generare in superficie fenomeni termici apprezzabili, anche
se non vistosi.
Bisogna infatti tenere presente che, a differenza di quanto accade sulla Terra,
in questo caso, il nucleo che genera l’energia si trova al centro del pianeta e
quindi i fenomeni superficiali che esso produce avranno tendenza ad essere
più distribuiti con conseguente riduzione della loro intensità.
A questo punto apriamo una piccola parentesi per fare una considerazione di
carattere generale.
Abbiamo visto che lo spazio rotante solare, per avere il pianeta in equilibrio
sull’orbita, impone alla massa planetaria m p la rotazione alla velocità V n ad
una sfera di raggio r P0 .
365
6
La massa m p , a seconda della densità, si realizzerà con una sfera di
raggio r p che può assumere un valore qualsiasi, che difficilmente sarà
coincidente, per caso, con
r P0 .
Se risulta r p > r P0 , all’interno della sfera planetaria si genera un andamento
della velocità di rotazione decrescente verso l’esterno in modo da produrre
un momento angolare uguale e contrario a quello dei satelliti in orbita.
In questo caso, l’equilibrio viene raggiunto, con una sfera planetaria, solidale
con il pianeta, avente un raggio minore del valore che si avrebbe in assenza
di satelliti.
La situazione è quella schematizzata in figura 32.
T p quello di rotazione della
sfera su se stessa, misurato sulla sua superficie, con c s la velocità periferica
Indicando con
Tn
il periodo di rivoluzione, con
di rotazione della superficie del pianeta, si potrà scrivere :
Vn =
2 ⋅ π ⋅ Rn
; Vn =
2⋅π
Tn
⋅ R PS
;
TP =
2⋅π
TP
⋅ rP
cS
da cui si ricava :
Rn
Tn
=
R PS
R PS
;
TP
Vn
=
rP
cS
e dunque il raggio della sfera planetaria in presenza di satelliti :
TP
R PS =
⋅
Rn
Tn
La sfera planetaria di Marte risulta :
R PSM =
TP
Tn
⋅
RM =
1,02595676 g
1,881 a
⋅ 227, 94 ⋅ 10 6 K m = 340379 K m
366
7
Verifichiamo, infine, la stabilità dei satelliti sulle orbite.
1
δM
RD ≥
⋅
δD
2
r 3M
rD
numericamente si ottiene :
1
RD
3,94
1,7
=
⋅
3396,2 K m
3
2
6,1 K m
= 121997 K m > 23458 K m
Deimos, nella posizione attuale, perde continuamente massa dalla superficie
rivolta verso Marte.
Per Phobos si ricava R F = 83000 K m > 9374 K m e quindi anch’esso perde
massa dalla superficie.
Entrambi i satelliti sono dunque destinati a frantumarsi, formando una
spirale di polvere e detriti vari diretti verso la superficie di Marte.
8 – Sistema
Terra – Luna : in questo caso sono noti con precisione :
m T = 5, 976 ⋅ 10 24 K g ; m L
= 0, 0123 m T
; TL
= 27, 321661 g
si ricavano gli spazi rotanti :
K 2T = β ⋅ m T
3
= 398754
Km
sec
;
2
K 2L = 4904, 7
3
Km
sec
2
Il raggio dell’ orbita lunare, considerata circolare, vale :
1
RL =
K
2
T
⋅T
4 ⋅ π2
2
L
1
3
K
398754
=
3
m
⋅ 27,321661 g
sec 2
4⋅ π 2
2
3
= 383233 K m
Durante il moto di rivoluzione del sistema, l’azione dello spazio rotante solare
367
8