о о о о о π π ω ω

Domande:
-
In un moto circolare uniforme perché la forza centripeta è sempre diretta verso il centro?
r r r
∆t e il relativo intervallo di velocità ∆v = v 2 − v1
r
r
r
Ottengo che il vettore ∆ v è la base del triangolo isoscele di lati v =| v1 |=| v 2 | . Al tendere di ∆t a zero
r
α tende a zero e ∆ v che va verso il centro tende ad essere perpendicolare alla velocità.
Perché si considera un intervallo di tempo
-
Quanto vale l’accelerazione centripeta e come si può ricavare la formula?
Dato che i triangoli AHK e ABC sono simili allora
AB AC
sostituendo i dati, e considerando che per ∆t a zero
=
HK AH
α
tende a zero, AB tende
Da cui
-
∆v ∆s
dividendo ambo i mebri per ∆t
=
v
R
Quanto vale la velocità tangenziale di moto circolare uniforme, come si ricava?
Dato che
-
AB R ∆s R
=
=
∆v v ∆v v
v2
∆v
∆s
a v
ho che
=
= da cui a =
v ∆t R ∆t
v R
R
∆s , ossia coincide con l’arco , ho che
v=
s 2π r 2π
=
=
r = ωr
t
T
T
Parlare del moto armonico.
Il moto armonico è il moto di un punto materiale P che oscilla tra due posizioni A e B con un accelerazione
a = −ω 2 x , dove x è la distanza del punto dall’punto medio di AB (origine O), ω 2 è una costante di
proporzionalità e il “meno” sta a significare che la forza è centrale, ossia sempre diretta verso il centro.
Il moto armonico si può considerare come proiezione di un punto Q , che si muove di moto circolare
uniforme, su un suo diametro AB.
Se il moto circolare ha velocità angolare ω , raggio R =
AB
, e α = ωt è l’angolo che il punto forma con
2
l’asse x:
Allora possiamo ricavare la legge oraria del punto: OP = x = R cos α = R cos ωt
E anche l’accelerazione di P è proiezione dell’accelerazione centripeta: a = ac cos α = ω 2 R cos ωt = ω 2 x
Ora dato che si può considerare come proiezione di un moto armonico, anche il moto armonico ha un
periodo, ovvero un tempo in cui il punto ritorna alla stessa posizione dopo un giro completo e vale T =
e una frequenza , ovvero il numero di oscillazione che compie in un secondo: f =
2π
1
.
T
L’altra caratteristica è l’ampiezza del moto ossia la massima distanza che il punto percorre rispetto
all’origine ovvero il raggio R.
- Esempi di moto armonico.
Esempi di moto armonico sono molla.
Se attacco una massa m ad una molla di costante elastica k, ho per il secondo principio:
F = ma ⇒
k
k
si vede che il moto della massa è
x ponendo ω 2 =
m
m
2π
m
T=
= 2π
k
ω
−kx = ma ⇒
armonico e il periodo è
a=−
Altro esempio è un pendolo di massa m attaccato ad filo lungo l:
scomponendo la forza peso ina una forza perpendicolare Px = mg sin θ e una perpendicolare
Py = mg cos θ , abbiamo che l’unica forza attiva è (osserviamo che la forza è centrale e quindi il meno):
Px = − mg sin θ = ma
ponendo ω 2 =
⇒
a=−
mg sin θ
g
= − g sin θ = − x
m
l
g
si vede che il moto della massa è armonico e il periodo è
l
T=
2π
ω
= 2π
l
g
ω
,
Problema 1
Un’automobile sta percorrendo una curva con raggio di curvatura di 80m. Sapendo che il coefficiente di
attrito tra le ruote e l’asfalto è 0,9, determinare la velocità massima con cui l’auto può percorrere la curva
senza uscire di strada.
Fa = Pc
v2
r
v = r ⋅ k ⋅ g = 80 ⋅ 0,9 ⋅ g = 26,56m / s = 95, 62km / h
k ⋅ mg = m
Problema 2
La figura mostra un blocco di 500N appeso corda verticale che nel punto P. Rappresesentare le
forze agenti nel punto P, determinare le tensioni di ciascuna delle due corde oblique.
I modo
ur uur uur
Dato che il sistema è in equilibrio allora P = F1 + F2 e dato che F1 e F2 con P formano un triangolo
1
3
rettangolo di 30° e 60° Allora F1 = P sin 30° = 500 ⋅ = 250 N e F2 = P sin 60° = 500 ⋅
= 433 N
2
2
Oppure con il metodo delle componenti
F1x = F1 cos 30° = −0,5 ⋅ F1
F1 y = F1 sin 30° = 0,86 ⋅ F1
F2 x = F2 cos 30° = 0,86 ⋅ F2
F2 y = F2 sin 30° = 0,5 ⋅ F2
Px = 0
Py = 500 N
0,86

F2 = 1, 72 F2
 F1x + F2 x = 0
−0,5 F1 + 0,86 F2 = 0  F1 =
0,5
da cui 


 F1 y + F2 y = 500
0,86 F1 + 0,5F2 = 500 0,86 F + 0,5 F = 500

1
2
0,86

F2 = 1, 72 F2
 F1 =
0,5

1, 48 F + 0,5 F = 500

2
2
0,86

 F1 = 0,5 F2 = 1, 72 F2 = 433

 F = 500 ≈ 252
 2 1, 98
Problema 3
Un’automobile affronta una curva con inclinazione di 30° con un velocità di 16,82 m/s.
Considerando la strada senza attriti e la curva perfettamente circolare, quanto vale il raggio di
curvatura? Se la massa dell’automobile è di 1000 Kg quanto vale la forza premente sulla strada?
Ry
60°
Fc
Rx
Considerando il triangolo rettangolo di cateti forza centripeta e peso ho che:
FC = P tan 30° ⇒
m
v2
= mg tan 30° ⇒
R
R=
v2
= 50m
g tan 30°
Ritornando sulla formula dei triangoli rettangoli:
dato che: P = 9800 N
FC = P tan 30° = 5658 N
R = FC 2 + P 2 = 56582 + 98002 = 11316 N
Oppure considerando semplicemente che:
Ry = P
⇒
R sin 60 = P ⇒
R=
P
= 11316 N
sin 60
Altro modo:
Oppure osservando il sistema in equilibrio, e dal punto di vista dell’automobile:
Imponendo l’equilibrio:
 Rx = Fc

 Ry = P
mg
1000(9,8)


R=
=
= 11316 N
v2

v2

 Rx = m

sin 60
sin 60
 R cos 60 = m
⇒ 
r ⇒ 
r ⇒ 
2
1000(16,82)2
r = mv
 Ry = mg
 R sin 60 = mg
=
= 50m



R cos 60 11316 cos 60
Problema 4
Un pendolo conico di massa 0,075 Kg viene legato al soffitto con una cordicella. Quando il corpo gira
attorno all’asse di rotazione muovendo si di moto circolare uniforme con una velocità di 1,21 m/s e raggio di
0,44. Determina:
a) l’angolo che la corda forma con l’asse verticale
b) la tensione della corda
FC
P
θ
Ty
Fc
α=90−θ
Tx
=P
I modo:
Considerando il triangolo rettangolo formato dalla forza centripeta e dal peso ho che:
FC = P tan θ ⇒
v2
FC
v2
1, 212
r
tan θ =
=
=
=
= 0, 34 ⇒
P
mg
rg 0, 44(9,8)
m
 v2 
θ = tan   = tan −1 0,34 = 18,8°
 rg 
−1
P = mg = 0, 075(9,8) = 0, 735 N
Fc = m
v2
1, 212
= 0, 075
= 0, 25 N
r
0, 44
⇒
⇒
⇒
T = P 2 + Fc 2 = 0, 7352 + 0, 252 = 0, 78 N
II modo:
Imponendo l’equilibrio:

v2
Tx = m = 0, 25 N
2
2
2
2
⇒ 
⇒ T = Ty + Tx = 0, 735 + 0, 25 = 0, 776 N
r
Ty = mg = 0, 735 N

Tx = Fc

Ty = P

v2
T
cos
α
=
m

E dato che 
r
T sin α = mg

⇒ dividendo la seconda per la prima :
2
T sin α sin α
mg
rg
−1  v 
=
= tan α =
= 2 = 2,95 ⇒ α = tan   = tan −1 2,95 = 71, 2°
2
v
T cos α cos α
v
 rg 
m
r
Oppure per calcolare l’angolo:
v2
0, 25
cos α = r =
= 0,32 ⇒ α = cos −1 ( 0,89 ) = 71, 2° ⇒ θ = 90 − α = 90 − 71, 2° = 18,8°
T
0, 78
mg 0, 735
sin α =
=
= 0, 947 ⇒ α = sin −1 ( 0,947 ) = 71,3° ⇒ θ = 90 − α = 90 − 71, 3° = 18, 7°
T
0, 776
m