Università degli studi di Palermo
Facoltà di Scienze della formazione
C.d.l.s. in scienze umane e pedagogiche a.a. 2005/2006
Corso di Comunicazione delle matematiche
Prof. F. Spagnolo
Allieve: Lo Iacono Tiziana
Maltese Giustina
Tardino Ileana
Tema della ricerca: le logiche
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Percorso cronologico
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Logica
Logica aristotelica
Geometria Euclidea
Pensiero scientifico
Leibniz:Logica simbolica e combinatoria
Logica matematica
Boole
Frege
Peirce
Russell
Hilbert
Godel
Tarski
I.A. intelligenza artificiale
Logica fuzzy
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Indice per autori
Autori principali:
- Aristotele
- Black
- Euclide
- Boole
- Frege
- Godel
- Heisenberg
- Hilbert
- Leibniz
- Peirce
- Russell logica bivalente
- Russell logica polivalente
- Tarski logica bivalente
- Tarski logica polivalente
- Zadeh
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Autori citati:
- Bacone
- Cartesio
- Einstein
- Hobbes
- Turing
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Indice per argomenti principali
Critica alla tesi logicista di Frege - Pierce
Geometria euclidea
I.A. – Intelligenza Artificiale
Logica
Logica aristotelica
Logica delle proposizioni,classi e relazioni - Russel
Logica fuzzy
Logica matematica - Boole,Frege
Logica simbolica e combinatoria - Leibiniz
Logicismo - Frege
Pensiero scientifico – Bacone,Cartesio,Hobbes
Semantica - Tarski
Sistema formale - Hilbert
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Logica
Dal greco “λogos” (pensiero - ragione) è la scienza che
analizza la validità di un discorso in termini di nessi
inferenziali, ovvero i meccanismi che permettono di
ragionare in modo corretto attorno ai concetti.
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Inferenza :
Procedimento mentale grazie al quale da determinate
premesse o proposizioni date, si passa ad una
proposizione successiva detta conclusione
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Logica aristotelica
La nascita della logica è unanimamente collegata al nome di Aristotele
(384-322 a.C.).
Logica = scienza che studia gli strumenti che il pensiero utilizza quando
pensa.Quindi Aristotele studia la struttura di tutti i ragionamenti e il
perché un ragionamento oltre che formalmente corretto sia anche vero.
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Ragionamento:
Quello per eccellenza è il sillogismo;
(Sylloghismόs,«conto»,«calcolo»,«connessione di concetti»):
Argomentazione deduttiva che consta di due premesse(maggiore e
minore) e una conclusione;un sillogismo è valido se la
conclusione segue logicamente dalle premesse, cioè se non è
possibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa;
es.
tutti gli uomini sono mortali,
Socrate è un uomo,
dunque Socrate è mortale.
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Premessa maggiore
Premessa minore
Conclusione
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Per Aristotele il fondamento della logica è costituito dai principi logici:
1)Principio di identità
2)Principio di non contraddizione
3)Principio del terzo escluso
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1)Principio di identità:
o principio psicologico:«nessuno può credere che lo stesso possa nello
stesso tempo essere e non essere» A=A
2)Principio di non contraddizione:
o principio ontologico:«è impossibile che lo stesso insieme appartenga e
non appartenga allo stesso nello stesso tempo e secondo lo stesso
rispetto»
3)Principio del terzo escluso:
o principio logico:«il più certo di tutti (principi) è che gli enunciati
contraddittori non sono nello stesso tempo veri» (tertium non datur).
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Geometria euclidea
Un altro dei momenti fondamentali nello sviluppo del pensiero logico
fù dovuto ad Euclide(IV sec. A.C.).
Egli raccolse negli Elementi tutto il sapere geometrico dell’epoca.
Tanto il sillogismo di Aristotele che il sistema assiomatico di Euclide
furono comunque i modelli principali per il pensiero logico dei secoli
successivi.Al tempo stesso le nuove interpretazioni che si vennero man
mano assumendo contribuirono a generare il bisogno di una logica che
meglio si prestasse a definire il pensiero scientifico.
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Elementi:
Opera fondamentale nella quale egli dà la definizione
di:teoremi(regole),assiomi e postulati.
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Assiomi e postulati sono indicati da Euclide come
affermazioni di partenza da cui far discendere tutte le altre
con un procedimento dimostrativo.
Mentre gli assiomi indicano verità “evidenti” di carattere
logico,i postulati hanno invece carattere geometrico.
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Teorema:
affermazione che in una teoria viene dimostrata
logicamente a partire dagli assiomi.
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Pensiero scientifico
Ab origine il pensiero scientifico arrivò alla sua evoluzione
grazie alla trattazione del “Novum Organum”(organo =
strumento della scienza) di Francesco Bacone il quale cercò
di costruire una nuova metodologia basata sull’induzione
impostando la logica come strumento di indagine scientifica.
Riprendendo questi temi Renè Descartes (Cartesio),cercò di
stabilire se il rigore tipico di un discorso matematico potesse
essere alla base di qualsiasi sapere,compreso quello
filosofico.
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Induzione:
Particolare Î universale
Procedimento analitico che, assumendo aspetti particolari di una
osservazione, perviene alla formulazione di principi generali.Si
differenzia dal suo procedimento opposto la deduzione.
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Deduzione:
Universale Î particolare
inferenza che procede ,in modo logicamente
necessario,da un assunto universale ai suoi elementi
semplici.
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Sempre nel calcolo matematico Thomas Hobbes pensò la logica come
una combinazione di segni e regole.Questa idea verrà sviluppata da G.
Leibniz nel XVII sec.
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G. Leibniz
Leibiniz diede un notevole impulso allo studio ed alla ricerca
logica, cogliendo chiaramente le potenzialità del formale e
vedendo la logica non soltanto come elemento di
sistemazione,l’ars demostrandi cartesiana, sed etiam come
strumento di scoperta ovvero come ars inveniendi, «arte di
usare l’intelletto».
G. Leibiniz ed i suoi seguaci cercarono poi di unificare il
complesso delle strutture logico/linguistiche in un linguaggio
scientifico universale,ossia la “logica simbolica e
logica combinatoria”.
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Logica simbolica:
Leibniz vuole assegnare a ciascun concetto un carattere,un “simbolo”
che lo rappresenti.Ogni simbolo non può essere né
convenzionale(comune a cui ci si conforma in modo acritico),come
quello dei chimici e degli astronomi,né ideografico come quello dei
cinesi e degli egiziani, ma matematico in quanto assicura lo
svolgimento corretto del ragionamento assunto a “lingua
characteristica universalis”.
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Logica combinatoria:
l’intento del filosofo è quello di ridurre l’intero
contenuto del pensiero ad un numero di concetti
semplici da cui possono derivare,mediante il
procedimento combinatorio(“ars combinatoria” o
“calcolo infallibile”),tutti i concetti composti.
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La logica è dunque scienza dei segni e come tale è generale ed
indispensabile ad ogni altra scienza.
Nella logica di Leibiniz, la varietà sta nel fatto che la
combinazione dei concetti avvenga sena comportare
contraddizione alcuna. Una proposizione è vera se in essa il
predicato è già contenuto nel soggetto.
Logica = Strumento che permette di valutare se tale inerenza
sussiste.Questo è il fulcro del Formalismo Leibniziano.
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Logica matematica
Nella seconda metà dell’800 vengono a delinearsi due correnti distinte
di approccio alla logica:logica come dottrina del sapere e dello
sviluppo del pensiero(logica aristotelica);logica formale ed algebra
della logica.Con Boole si comincia a delineare un ulteriore
frattura:mentre la prima ha un momento di pausa,la seconda comincia
un suo percorso autonomo.
Infatti è nella seconda metà del XIX sec. che la logica è tornata a
studiare gli aspetti formali del linguaggio,ovvero la logica
formale,portando conseguentemente alla logica matematica.
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La logica matematica è caratterizzata dall’uso di strumenti e
metodi di indagine matematici,sviluppa l’idea di assimilare la
logica ad un calcolo matematico così da stabilire un linguaggio
simbolico rigoroso,nel quale scompaiono le ambiguità e gli
equivoci del linguaggio comune.
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Boole
Nel 1847 l’irlandese George Boole (“The international analysis of
logic”) immerge la logica nella matematica,stabilendo un sistema
algebrico.L’intendimento e l’interesse di fondo di Boole era rivolto ad
una dimostrazione della capacità della matematica di trattare con
“strutture qualsiasi”,non necessariamente numeriche o comunque
quantitative.
L’algebra deve essere la scienza delle forme e,in quanto formale,la logica
è algebra.
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Frege
Nel 1879 il tedesco Gottlob Frege compie,in un certo senso,il passo
inverso rispetto a Boole tentando al contrario di riportare la matematica,e
più precisamente l’aritmetica,nella logica,cercando di mostrare come i
contenuti dell’aritmetica siano costrutti logici.
Infatti, secondo Frege, per lo sviluppo della matematica non sarebbero
necessari altri concetti che quelli della logica,essendo la matematica
fondamentalmente una applicazione specifica delle leggi universali della
logica.
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L’edificio matematico deve fondarsi su proposizione vere, per leggi
logiche infatti, Frege intende non le leggi “del ritener vero” ma le leggi
“dell’esser vero” che sono pietre basilari poggiate su una roccia
eterna,pietre che possono venir sommerse ma non scosse dal nostro
pensiero se esso vuole raggiungere la verità.
Si verifica dunque la caduta di ogni confine netto tra logica e
matematica;queste due scienze quindi,tradizionalmente
distinte,diventano una sola scienza: per Frege matematica e logica
possono essere considerate tautologie.
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Il progetto che Frege vuole attuare è ciò che viene definito
“Logicismo”.
Il programma logicista di Frege non ebbe seguito in quanto
fallirono sia il tentativo di ridurre la matematica alla
logica, poiché la logica da sola non è sufficiente,sia il
tentativo di derivare la matematica dalla logica perché,
come ha dimostrato Godel con i suoi teoremi di
incompletezza, ogni sistema sufficientemente complesso da
fondare l’aritmetica, è ipso facto o incompleto o incoerente.
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Peirce
Egli condivise una polemica contro la tesi logicista di Frege sulla
riducibilità della matematica alla logica.
Logica e matematica vengono poste da Peirce sullo stesso piano,
poiché lo intende come “Ricerca strutturale sul simbolismo”;egli non
può dunque , ritenere corretta e accettabile l’interpretazione secondo
cui la logica costituisce la fondazione della matematica che è ad essa
riconducibile,ma piuttosto, la matematica mutua dalla logica gli
elementi tecnici di rigore e simbolizzazione che le permettono di
indagare i propri specifici problemi.
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Inoltre egli rifiuta la concezione secondo cui la logica riguarda
in primo luogo il pensiero inespresso e solo secondariamente il
linguaggio, dal momento che la sua concezione della logica
come scienza delle leggi generali e specialmente dei simboli è
intimamente legata alla sua visione dell’uomo come signmaker e sign-reader, “elaboratore dei segni” e “lettore di
segni”, per cui la parola o segno che l’uomo usa è l’uomo
stesso.
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Lo sviluppo della logica è anche legato alle diverse e complesse vicende
dell’indagine sui fondamenti della matematica e in particolare a certe
ricerche connesse all’impostazione logistica di:Russel, Hilbert, Tarski,
Godel.
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Russell
Il filosofo britannico(1872-1970) sostiene l’identità di logica e
matematica, nel senso che la logica è la premessa della matematica.La
differenza che intercorre tra esse è simile alla differenza che intercorre
tra un uomo e un ragazzo:la logica è la gioventù della matematica,come
la matematica è la maturità della logica.Divide la logica in tre
sezioni:calcolo delle proposizioni,calcolo delle classi e calcolo delle
relazioni.
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Logica delle proposizioni:
Studia le relazioni di implicazione materiale tra le proposizioni.
Logica delle classi:
Studia il rapporto di appartenenza di un individuo o di una classe.
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Logica delle relazioni:
Studiando i caratteri delle relazioni è possibile effettuare dei
“calcoli” con proposizioni,appunto,indicanti relazioni.Le relazioni
“simmetriche” o “asimmetriche.Simmetrica sarà una relazione
come quella espressa dal termine “fratello”; sicchè io posso dire,
indicando con x e y due persone e con R il rapporto di fratellanza
xRy e yRx.Asimmetrica sarà invece quella del tipo espresso dal
termine “padre”;sicchè indicando ora con R il rapporto di paternità,
posso dire xRy ma non yRx.
A proposito di tale logica, egli sostiene che essa riguarda più da
vicino la matematica.Anzi «solo per mezzo della logica delle
relazioni è possibile una qualsiasi relazione teoreticamente corretta e
adeguata delle verità matematiche».
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Hilbert
Sostituì le teorie matematiche(in particolare l’aritmetica,l’analisi e la
teoria degli insiemi)con i corrispondenti sistemi formali e dimostrò,
nella metamatematica, la non contraddittorietà di tali sistemi.
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Hilbert
Sostituì le teorie matematiche(in particolare l’aritmetica,l’analisi e la
teoria degli insiemi)con i corrispondenti sistemi formali e dimostrò,
nella metamatematica, la non contraddittorietà di tali sistemi.
Un sistema formale è costituito da un linguaggio con cui si
possono costruire delle formule, da alcuni “assiomi” e da alcune
regole di inferenza(ovvero le regole tramite le quali si può
dimostrare la verità o falsità di una formula).
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Metamatematica:
Indagine matematica sulla matematica.
Hilbert se ne servì perché la matematica non può fondarsi da sola
giacchè obbiettivo primo era quello di fornire una prova di
coerenza e completezza della matematica.
Un sistema è coerente, o non-contraddittorio, se non possono
derivarsi al suo interno enunciati non-contraddittori, vale a dire
una proposizione e la sua negazione.
E’ completo se tutti gli enunciati veri della matematica sono
derivabili al suo interno.
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Assioma:
enunciato immediatamente evidente che non ha bisogno
di dimostrazione. Nell’assiomatica moderna, che ha avuto
in Hilbert il suo massimo teorico, l’assioma è un’ipotesi e
la scelta degli assiomi è libera;l’importante è che il
sistema sia coerente ovvero non contraddittorio e
completo.
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Godel
Nel 1931 dimostrò il “teorema dell’inclopetezza”: questo afferma che
in qualsiasi sistema assiomatico (costruito cioè su un gruppo di
assiomi) è sempre possibile trovare una proposizione che fa parte di
questo sistema, la cui falsità o verità tuttavia,non è dimostrabile con
mezzi logici(assiomi,definizioni) offerti dal sistema stesso; Questa
proposizione viene definita “ indecidibile” e per essere dimostrata è
necessario ricorrere ad un sistema più ricco di mezzi logici del primo,
ma in questo sistema si presenterà nuovamente lo stesso problema,
così si ricorrerà ancora ad un sistema più potente e così via
all’infinito.Per questo motivo si ritiene che ogni sistema formale sia
inconsistente, incoerente, cioè permette di dimostrare frasi false;
oppure sia incompleto, cioè non è capace di decidere, dimostrare, la
verità o la falsità di alcuni teoremi.In base a questo teorema si può
dimostrare la non contradditorietà della matematica.
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Tarski
Nel 1935 completa il programma dei logici.
Egli diede una semantica, un senso ai sistemi formali, ovvero spiegò
come un sistema formale potesse significare “qualcosa”, senza
pertanto rinunciare alla libertà di Hilbert secondo la quale egli isolò
la logica - in cui i termini e le formule non devono per forza
significare qualcosa - e la matematica da qualsiasi vincolo con la
realtà.
Secondo Tarski un sistema formale non deve essere vincolato agli
assiomi e alle regole della matematica, ma a ciascuno deve essere
possibile assegnare un significato che lo metta in relazione con il
mondo reale.Alla corrispondenza con tale realtà è strettamente
legata la verità.
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Per Tarski, la semantica è la disciplina che tratta di “certe relazioni
fra le spressioni di un linguaggio e gli oggetti” ai quali quelle
espressioni si riferiscono.
“Il padre della patria” designa G. Washington
Tarski afferma che non è possibile stabilire una rigorosa
semantica(teoria del significato), cioè un metodo infallibile per
discriminare gli enunciati veri dell’ aritmetica da quelli falsi.
Si può al massimo considerare un linguaggio formalizzato che si
discosti il meno possibile dal linguaggio naturale.
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Intelligenza artificiale
Oltre agli ormai tradizionali contatti con la matematica in senso stretto,
particolarmente significativo è quello con l’ intelligenza artificiale.
Questa è una branca dell’ informatica che studia la possibilità di
realizzare sistemi in grado di simulare le funzioni rivolte
all’intelligenza umana attraverso l’analisi e la soluzione dei problemi
tecnici(la realizzazione delle macchine)e di quelli più teorici(la
scrittura di programmi che permettono all’elaboratore di svolgere
funzioni dell’intelligenza umana).
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L’espressione “I.A.” nasce negli anni ‘50 dalla definizione di “sistema
intelligente” data da Alan Turing.Lo scenario culturale in cui si
muoveva l’I.A. è ideologicamente agli antipodi di quello in cui si
muoveva la logica matematica dei secoli scorsi, in quanto la medesima
è del tutto inadeguata a trattare gran parte dei ragionamenti “pratici”
che interessano l’intelligenza artificiale.
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Bruce McLennan ha elencato (1988) un numero di prestazioni che
mancano alla matematica e che la rendono inadeguata per gli scopi
dell’intelligenza artificiale:
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I )Le quantità matematiche sono “definite”, mentre gran parte delle
quantità logiche sono “indefinite” e sono quasi sempre affette da
errore e “rumore”.
II)Ogni idea e ogni azione dipendono dal contesto in cui ci si trova(chi
segue sempre le regole alla lettera viene comunemente considerato
“stupido”, non intelligente).
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III)Un fenomeno non può essere scomposto in fenomeni elementari ma
deve invece essere trattato come un tutto.
IV)Non dimentichiamoci che ogni nostra azione viene compiuta per uno
scopo ben preciso, ovvero con una “intenzione” , e che la conseguenza
dell’ “intenzionalità“ è quella di restringere la quantità di contesto da
prendere in considerazione per compiere quella azione.
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Trascendendo da queste critiche non bisogna biasimare i
matematici se il loro programma è inadeguato a simulare la
mente umana,infatti il loro scopo non era questo,ma quello
di fornire strumenti esatti agli ingegneri.
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Bart Kosko
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La fuzzy logic o logica sfumata o logica sfocata mette in discussione e
modifica il concetto di logica binaria o più comunemente
logica,secondo il quale i predicati possono assumere solamente due
stati < vero e falso >.
Questa logica è alle basi del funzionamento dei calcolatori ma
chiunque può valutare quanto possa essere imprecisa e non aderente
alla realtà che vanta molteplici sfaccettature.
Nel mondo reale tutto è questione di misura,non esiste solo il bianco o
il nero, ci sono anche le sfumature .
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Infatti, il “principio fuzzy” afferma che tutto è questione di misura.
La proprietà fuzzy comincia dove iniziano le contraddizioni, dove A E
non-A vale in una certa misura.
La scienza invece tratta questi chiaroscuri come se fossero bianchi o
neri. L’emblema della sfumatura rappresentante un mondo di opposti,
un mondo che spesso associamo al misticismo orientale,è l’antico
simbolo taoista dello yin-yang.
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Per mettere in crisi la logica classica…
Prendiamo una mela;l’oggetto che teniamo nelle nostre mani è una
mela?Ora stacchiamone un boccone, mastichiamolo ed inghiottiamolo.
L’oggetto che abbiamo in mano è ancora una mela o no?Diamo ancora
un altro morso e così via fino a finirla.
La mela esiste ancora o è mutata in qualcos’altro e non esiste più?Dove
ha oltrepassato la linea di demarcazione fra mela e non-mela?Quando in
mano teniamo metà mela stringiamo una mela o una non-mela?La mezza
mela mette in crisi le descrizioni in
termini di tutto o niente.
Questa è una mela fuzzy, è il grigio o chiaroscuro fra il bianco e il nero:il
fuzzy è il chiaroscuro.
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Le scienze…
La precisione sfoggiata dalla scienza non è altro che un’approssimazione
di quei contorni sfumati delle cose che altrimenti non sarebbero spiegabili
con i predicati della logica classica.Il paradosso è che la scienza ha
contribuito a creare un mondo meno preciso approssimando o
trascurando per semplicità alcuni concetti.Questa convinzione che le cose
possono essere “0” o “1” muove fin dall’antichità;si pensi ad Aristotele, a
Heisenberg, a Russell e ad Einstein.
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Russell:
Scoprì il
paradosso del
mentitore di
Creta:<un
cretese afferma
che tutti i cretesi
mentono, egli
mente?>.
Aristotele:
La logica binaria di
Aristotele si riduce
ad una sola legge:
A O non-A. O
questo o non
questo.
Einstein:
“Nella misura in cui le leggi
della matematica si
riferiscono alla realtà non
sono certe.E nella misura in
cui sono certe non si
riferiscono alla realtà”.Così
Einstein aveva riflettuto sul
“chiaroscuro”della logica
fuzzy.
Heisenberg:
Dimostrò ai fisici come non tutti
gli enunciati della fisica siano
necessariamente veri o falsi.
Da ciò si evince che mentre Aristotele rimane fedele alla logica bivalente,
gli altri più o meno direttamente si aprono alla polivalenza.
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Problema della non-corrispondenza
“Il mondo è in chiaroscuro, ma la scienza (classica)non contempla che
il bianco o il nero assoluti”.Parliamo in termini di 0 e 1, ma la verità
sta in una via di mezzo.A un mondo fuzzy fa riscontro una descrizione
non fuzzy.Gli enunciati concernenti dati di fatto non sono
interamente veri o interamente falsi, la loro verità stà fra la verità
totale e la falsità totale, fra 1 e 0.Essi sono non già bivalenti ma
polivalenti,”grigi” o chiaroscurali, fuzzy.Tutte le convinzioni
scientifiche possono essere fatte crollare da una nuova esperienza.
L’affermazione “un filo d’erba è verde” è messa in crisi dal filo d’erba
che diventa marrone.
Le leggi della scienza non sono leggi o meglio, non lo sono
nell’accezione di leggi logiche come 2+2 =4.
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Probabilità
Per anni si è continuato ad ignorare l’aspetto fuzzy del mondo e, invece
che approfondirlo, si è fatto di tutto per affondarlo ed ignorarlo.Neppure
Einstein offriva alternative alla bivalenza, anzi, fermo nella sua veste di
scienziato aggiunse una nuova teoria della bivalenza:il concetto di
probabilità.Secondo la teoria matematica del caso ad ogni evento può
essere associato un numero per rappresentare la probabilità del suo
verificarsi.
L’evento potrebbe, ad esempio, essere il lancio di una moneta.C’è una
certa probabilità che venga “testa” e una certa probabilità che venga
“croce”.Il lancio dà o testa o croce e le due rispettive probabilità
assommano a 1.In generale la somma della probabilità che un evento si
verifichi e quella che ciò non accada è 1.La probabilità svanisce con l’
aumento dell’informazione.
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C’è chi sostiene che la logica fuzzy non sia altro che “probabilità sotto
mentite spoglie”.Di contro, si può asserire:più conoscenza e
informazione, meno probabilità.In modo opposto opera l’impostazione
fuzzy: più informazione, più emerge la natura fuzzy delle cose.
Più dati ci aiutano a fissare il confine grigio che segna dove una cosa cessa
di essere quella cosa.La probabilità per contro si dissolve quando i dati
noti diventano numerosi.Ma, è vero che la teoria fuzzy è solo
“probabilità mascherata”?Che cos’è la probabilità?Come asseriva il
filosofo David Hume, la probabilità è costruita nella nostra mente, è la
mente che fa sembrare così e che inserisce il legame causale nella catena
degli eventi.Siamo noi gli artefici della probabilità del nostro operare e la
usiamo per colmare le lacune nei nostri schemi mentali o nelle nostre
rappresentazioni del mondo, siamo noi a creare l’istinto di probabilità.
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La creatura probabilità è un concetto fuzzy puro che si sviluppa da
quello puro di contenere o di appartenenza:in che misura una cosa
ne contiene un’altra, in che misura un insieme ne contiene un
altro:ogni intero contieni le proprie parti.
La parte contiene l’intero.L’intero contiene sempre e completamente
le proprie parti; la parte contiene l’intero in una certa misura,
ovvero in proporzione diretta alla sua dimensione, massa o
estensione sovrapposta all’intero.
Che cos’è l’intero nella parte?E’ la probabilità.E’ la probabilità della
parte.
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Aristotele contro Budda
La logica fuzzy è il luogo del confronto fra Aristotele e Budda.
Il professore dell’A O non-A incontra quello dell’A E non-A a livello della
matematica, della scienza e dell’ingegneria.
La logica o fede binaria di Aristotele ha sempre sollevato dubbi,ha
sempre prodotto una reazione critica, una sorta di opposizione logica e
filosofica sotterranea.Budda, che visse in India cinque secoli prima di
Gesù e due prima di Aristotele, compì il primo passo del suo sistema
dottrinario nell’intento di sfondare il mondo verbale delle alternative <o
bianco o nero>, di squarciare “contraddizioni”, di cose e di non-cose.
E’ il misticismo orientale ad offrire gli unici grandi sistemi dottrinari che
accettano le contraddizioni, sistemi che funzionano sulla base dell’A E
non-A, dello yin e dello yang.
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All’incirca duecento anni prima di Aristotele, Budda non si sarebbe
lasciato intrappolare dai suoi uditori in domande del tipo <autaut>.Egli mantenne un nobile silenzio di fronte a domande binarie,
quali se l’universo sia finito o infinito.
Budda non fù teorico fuzzy in un senso matematico, non scrisse
pagine sugli insiemi o sui sistemi fuzzy, ma ebbe l’idea delle
sfumature di grigio:ammise l’A E non-A.
Accuratamente evitò la bivalenza artificiale che sorge nelle lingue
naturali del termine di negazione <non>.Donde la sua famosa frase:
“la non-mente non-pensa nessun-pensiero su nessuna-cosa”.
Budda sembra essere stato il primo grande pensatore a rigettare
completamente il mondo dicotomico della bivalenza;ciò diede un
grande contributo a vedere chiaramente il mondo di correlazioni e
gettar luce sul destino dell’uomo.
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Che cos’è la verità?
Il conflitto tra la logica classica e la logica fuzzy verte sulla
natura <grigia> della verità.
La veduta fuzzy afferma che quasi tutte le verità sono grigie,
parziali, frazionali, fuzzy appunto e non assolutamente bianche
o nere;come asseriva lo stesso Quine:le cose non sono
precisamente bianche o nere, ma ci sono gradazioni.
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Quine:
docente americano.La sua posizione si configura come un “oliamo
metodologico” (“olismo” dal greco Holon, che vuol dire “tutto
intero”).Non una singola proposizione, ma solo un insieme degli
enunciati di una teoria è dotato di un significato empirico e, come tale,
può essere soggetto a verifica empirica.
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Secondo i filosofi moderni la verità si riferisce agli enunciati;
concependo la verità come punteggio, si limitano a marcare
l’enunciato con uno 0 o un 1.Quale che sia l’enunciato, 0 significa
che è falso e 1 significa che è vero.
I teorici fuzzy hanno fatto lo stesso, anche loro vedevano la verità
come un punteggio,ma come un punteggio <grigio> :la logica
fuzzy ammette più punti, ammette l’infinità continua di punti grigi
fra 0 e 1,fits invece dei soliti bits.
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Fits:
significa fuzzy units, un valore fit è una misura o un numero tra 0 e 1
che risponde alle domande del genere <hai una macchina?>,<sei
sposato?>, ma soltanto in una certa misura (ad esempio, il valore fit
70% significa 70% sì e 30% no).
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Fits:
significa fuzzy units, un valore fit è una misura o un numero tra 0 e 1
che risponde alle domande del genere <hai una macchina?>,<sei
sposato?>, ma soltanto in una certa misura (ad esempio, il valore fit
70% significa 70% sì e 30% no).
Bits:
significa binary units, un valore bit è uno 0 o un 1 che risponde alle
domande dicotomiche di tipo <bianco o nero>.
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I filosofi distinguono la “verità logica” da quella fattuale. Essi, seguendo
Aristotele, dicono che le verità fattuali sono vere in certi casi e false in
certi altri, come la verità di <sta piovendo > dipende dal contesto.
Aristotele chiama “contingenza” la verità fattuale e “necessità” la verità
logica.Le verità logiche sono vere in tutti i casi, le falsità logiche sono
false in tutti i casi.
La differenza fra verità logica e fattuale fonda due vaste teorie della
verità.
La “verità logica” rientra nella teoria della coerenza (come gli enunciati
morali ): l’enunciato <1+1 =2> è vero poichè abbiamo applicato
coerentemente le regole della matematica.
La “verità fattuale” rientra nella teoria corrispondentista, la quale
afferma che un enunciato è vero se corrisponde ad un fatto: <la terra
gira > è vero quando la terra gira ed è falsa quando la terra non gira.
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Alfred Tarski
Il logico polacco Alfred Tarski (mostrò, come i filosofi moderni, scarso
interesse per la logica polivalente ) caratterizzò questa corrispondenza
con la sua famosa formula di verità dell’enunciato :< la neve è
bianca> e < l’erba è verde > sono enunciati fattuali veri al 100% a
condizione che la neve sia bianca e l’erba verde.
Quindi egli intendeva che la verità è tutta o niente, 100% o 0%.
La difficoltà consiste nel fissare fattori di certezza del 100%.Con la sua
vista acuta Tarski aveva visto tutte le gradazioni che vediamo noi.Egli
può dunque aver inteso la sua formula di verità nel senso
approssimativo, insomma Tarski arrotondava.Allo stesso modo noi
possiamo dare una versione fuzzy della formula di Tarski :< l’erba è
verde > è vera all’ 85% se e solo se l’85% dell’erba è verde.Con ciò
viene ammessa l’esistenza di valori di veità fuzzy, in questo caso un
punteggio di 85% di verità.
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La sfida di Hemingway : le verità come accuratezza.
Hemingway non intendeva vero né nel senso della verità fattuale
bivalente né nel senso della verità logica bivalente.Egli intendeva il regno
della verità fattuale fuzzy nel quale noi pensiamo, scriviamo e facciamo
sviluppare la scienza.
La logica fuzzy considera la verità come accuratezza, corrispondenza
accurata, curata adeguazione della parola all’oggetto e l’accuratezza è
chiaramente una “questione di misura”.Ciò che vuole dimostrare
Hemingway è che tutte le asserzioni dicotomiche valgono solo con
“qualche probabilità”.
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Logica fuzzy : Russel - Heisenberg
Furono due gli eventi ai quali, agli inizi del XX sec., si deve la nascita
della logica fuzzy, o < logica vaga > come la chiamarono allora i
filosofi.
Il primo fù la riscoperta dei classici paradossi greci da parte del logico
Bertrand Russell; il secondo fù la scoperta del < principio di
indeterminazione > della fisica quantistica da parte del fisico Werner
Heisenberg.
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I paradossi di Russell posero termine a migliaia di anni di fede cieca
nella certezza della matematica bivalente, tanto che alcuni
matematici, per descriverne l’effetto, parlarono di < paradiso
perduto >.I paradossi tradizionali hanno tutti la stessa forma: Si
autoaffermano e contemporaneamente si autonegano, hanno la
forma logica di una contraddizione A e non-A. Russell per superare le
antinomie dei paradossi tradizionali ritiene necessario che le
definizioni evitino di usare termini che si riferiscono a se stessi.
Paradosso di Epimenide: “tutti i cretesi sono mentitori”, così facendo
cade in una antinomia in quanto, essendo anch’egli cretese, afferma il
vero e il falso nello stesso tempo.
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La posizione fuzzy dice che i paradossi di autoriferimento sono
mezze-verità: A e non-A vale, ma A è vero solo al 50% e non-A è
vero solo al 50 %.Così in qualche misura è soddisfatto A e non-A.
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La posizione fuzzy dice che i paradossi di autoriferimento sono
mezze-verità: A e non-A vale, ma A è vero solo al 50% e non-A è
vero solo al 50 %.Così in qualche misura è soddisfatto A e non-A.
Matematica e filosofia hanno cercato, da questo momento in poi, di
rappezzare e di imbellettare i fondamenti vincolati alla dicotomia
“bianco – nero” per sbarazzarsi dei paradossi del “chiaroscuro”.Ma i
paradossi restano, e anche le riflessioni su di essi.
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Nel 1925 il fisico Werner Heisenberg enuncia il “principio di
indeterminazione” che spiega i fenomeni della microfisica:infatti nella
fisica atomica l’energia luminosa impiegata per osservare i fenomeni
tende a modificare i fenomeni stessi in modo imprevedibile.Ne deriva
che è impossibile determinare nello stesso tempo la posizione di una
particella e la sua velocità in quanto ogni osservazione volta a
determinare la velocità di una particella modifica la posizione di questa
e, viceversa, ogni determinazione della posizione modifica la
velocità.Tutto ciò che si può fare è determinare il campo delle
probabilità che la particella si trovi in un luogo piuttosto che in un
altro, oppure che abbia una velocità invece che un’altra.
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Quindi, sul comportamento futuro di una particella si possono
fare delle previsioni probabili (proprio perché l’osservatore
induce modificazioni nell’oggetto osservato).Viene meno cioè il
sostegno di un sistema di riferimento assoluto.Come si vede è il
problema stesso della verità (o della validità di un determinato
modello di spiegazione rispetto ad un altro) ad essere sollevato
dalla scienza, ponendo questioni di pochissimo rilievo
filosofico.
Ecco che il “principio di indeterminazione” ebbe l’effetto di
convertire in concetti probabilistici la verità bivalente del <
tutto o niente >.
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Gli insiemi fuzzy
Logica fuzzy significa ragionare con numeri e insiemi fuzzy.
Numeri fuzzy :dove poteva nascondersi l’aspetto fuzzy nel mondo
dicotomicamente strutturato della matematica?
Consideriamo il numero 0.Le società antiche impiegarono millenni per
scoprire lo 0.Tale numero appartiene al 100% all’insieme 0 al quale non
appartiene nessun altro numero.
E i numeri vicini allo 0 o pressocchè 0?
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Questi numeri, come quelli grandi, medi o assai piccoli, sono
fuzzy.Quanto più vicino allo 0 è un numero piccolo tanto più
appartiene all’insieme fuzzy dei numeri piccoli.Il numero 1 è più
vicino allo 0 del numero 2 che è più vicino allo 0 del numero 3
e così via.Allo stesso modo il numero negativo –1 è più vicino
allo 0 di –2 e così via. La logica fuzzy non traccia nette linee di
demarcazione fra gli opposti.
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Insiemi fuzzy :le parole rappresentano insiemi.La parola casa
rappresenta molte case, rappresenta una casa diversa per ognuno di
noi perché diverse sono le case che abbiamo visto,di cui abbiamo
letto e che abbiamo sognato.Pronunciamo e scriviamo le medesime
parole ma non pensiamo le stesse cose.Le parole sono pubbliche
mentre gli insiemi che conosciamo sono privati e noi pensiamo in
termini di insiemi.Alcune cose sono indicabili come case più
facilmente di altre: che dire di castelli, roulottes, caverne, tende
pellerossa.In una certa misura sono e non sono case cosicché vale A
E non-A,siamo nel dominio della sfumatura: il nome casa sta in un
insieme fuzzy di case.
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Max Black:gli insiemi vaghi.
Filosofo quantistico che per primo concepì l’idea di “insieme”;
adoperò il termine < vago > poiché Charles Peirce, Bertrand Russel e
altri logici l’avevano usato per descrivere quel che oggi chiamiamo <
fuzzy >.
Black estese la logica polivalente agli insiemi e mostrò che questi
insiemi fuzzy corrispondevano alle nostre idee delle idee.
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Lotfi Zadeh: Gli insiemi fuzzy.Professore iraniano che sostituì il
termine “vago” con il termine “fuzzy”.Egli aveva una conoscenza
della logica polivalente e trasse la teoria degli insiemi: l’insieme fuzzy
che fece da esempio fù quello degli uomini alti.Zadeh enunciò il
principio di incompatibilità secondo cui all’aumentere della
complessità di un sistema diminuisce la nostra capacità di fare
enunciati precisi e significativi finchè si raggiunge una soglia oltre la
quale precisione e significato diventano caratteristiche quasi
reciprocamente escludenti; “più da vicino uno considera un problema
concernente il mondo reale più fuzzy diventa la soluzione”. Zadeh
cercò di dimostrare l’esatta adeguatezza degli insiemi fuzzy alle nostre
parole.
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I sistemi fuzzy
Ogni sistema fuzzy è un grosso mucchio di toppe definite da ogni pezzo di
conoscenza umana, ogni regola della forma se questo allora quello (se X è A
allora Y è B).Più conoscenza significa più regole, più regole significa più toppe.
Come ragioniamo?
Mettiamo di voler giocare a golf sabato o domenica e di non volerci bagnare
mentre giochiamo.Le previsioni dicono che la probabilità di pioggia è alta per il
sabato ma solo modesta per la domenica.Il ragionamento ci porta a desumere di
dover giocare la domenica.Come giungiamo a questa conclusione?Ci arriviamo
in forza di regole, le regole associano le idee e mettono in relazione una cosa
con un’altra cosa.
Se piove ci si bagna, se ci si bagna non si può giocare a golf.Sabato pioverà
pertanto non si potrà giocare a golf.Domenica non pioverà.Se non si può
giocare a golf sabato e se domenica non pioverà si può giocare a golf domenica.
Così si gioca domenica.
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I ricercatori fuzzy hanno costruito centinaia di macchine
“intelligenti” rompendo il monopolio dell’intelligenza artificiale
sull’intelligenza delle macchine, la quale si basa su regole bivalenti.
C’è bisogno di regole ma di regole fuzzy.S piove ci si bagna.Con
questa regola intendiamo dire un sacco di cose: se piove poco ci si
bagna poco; se piove molto ci si bagna molto.Una regola umana
è in grado di capire tutti questi casi, mentre una regola di
computer o dell’intelligenza artificiale copre soltanto un caso
preciso.Una regola fuzzy mette in relazione insiemi fuzzy, infatti in
un sistema fuzzy parallelamente e parzialmente tutte le regole
sono operanti in una certa misura.
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Sistema fuzzy adattivo
E’ una rete neurale o sistema informatico che simula il cervello
umano.Esso cerca da solo le regole fuzzy senza dipendere dai nostri
cervelli.L’apprendimento delle regole avviene in seguito all’assimilazione
dei dati che vengono fuori dal modo di agire dell’esperto, cioè da quello
che egli dice su una macchina.Tali dati vengono convertiti in regole fuzzy
attraverso il loro passaggio alla rete neurale, questo è ciò che viene
definito “processo DIRO” (data in, rules out).
Dati Î rete neurale Î regole fuzzy
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Il sistema fuzzy adattivo apprende dall’esperienza e utilizza i dati
nuovi per perfezionare il proprio patrimonio di conoscenza.
L’apprendimento implica il cambiamento e viceversa, tale
processo si verifica nel cervello.E’ importante precisare che la
conoscenza non risiede nei neuroni ma nelle sinapsi, ossia nei
legami tra i vari neuroni (il legame tra neuroni e sinapsi
costituisce la rete neurale).
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Bivalenza
Polivalenza
Aristotele
Budda
A O non-A
A E non-A
Esatto
Parziale
Tutto o niente
In una certa misura
0o1
Continuità fra 0 e 1
Elaboratore digitale
Rete neurale(cervello)
Bits
Fits
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In conclusione la logica fuzzy dà soltanto un’approssimazione della
verità un po’ migliore di quanto abbia finora fatto la logica bivalente.Ma
quando la breccia aperta sarà ancora più grande potremo trovarci nelle
condizioni di abbandonare la logica fuzzy a favore di qualche idea, teoria
o processo più generali.
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Bibliografia
Logica : Wikipedia, l’enciclopedia libera
Aristotele :La decisione di significare, Il libro gamma della metafisica,(a cura di)
Stefano Maso, Zanichelli, 2002;
Dizionario di filosofia, (a cura di) Paolo Rossi, La nuova Italia, 1997.
Euclide :La mente artificiale, Piero Scaruffi.
Pensiero scientifico :Wikipedia, l’enciclopedia libera;
Dizionario di filosofia, (a cura di) Paolo Rossi, La nuova Italia, 1997
Filosofi e filosofia nella storia, Nicola Abbagnano – Giovanni Fornero, 1992
Leibniz :Un percorso interpretativo della logica del 900, E.Toscano – F.Spagnolo
Logica matematica :Dizionario di filosofia, (a cura di) Paolo Rossi, La nuova Italia, 1997
Un percorso interpretativo della logica del 900, E.Toscano – F.Spagnolo
Russell : http://digilander.libero.it
Hilbert – Tarski : http://www.netmeta.com
Intelligenza artificiale : La mente artificiale, Piero Scaruffi.
Logica fuzzy : Il fuzzy pensiero. Teoria e applicazioni della logica fuzzy, B. Kosko, Baldini e Castoldi, 2002
Filosofia, M Da Bartolomeo –V.Magni, Atlas
