Lo Iacono T., Maltese G., Tardino I.
annuncio pubblicitario
Università degli studi di Palermo Facoltà di Scienze della formazione C.d.l.s. in scienze umane e pedagogiche a.a. 2005/2006 Corso di Comunicazione delle matematiche Prof. F. Spagnolo Allieve: Lo Iacono Tiziana Maltese Giustina Tardino Ileana Tema della ricerca: le logiche Entra Indice percorso cronologico Indice per autori Indice per argomenti Percorso cronologico indice per argomenti Logica Logica aristotelica Geometria Euclidea Pensiero scientifico Leibniz:Logica simbolica e combinatoria Logica matematica Boole Frege Peirce Russell Hilbert Godel Tarski I.A. intelligenza artificiale Logica fuzzy indice per autori Indietro Indice per autori Autori principali: - Aristotele - Black - Euclide - Boole - Frege - Godel - Heisenberg - Hilbert - Leibniz - Peirce - Russell logica bivalente - Russell logica polivalente - Tarski logica bivalente - Tarski logica polivalente - Zadeh indice per argomenti Autori citati: - Bacone - Cartesio - Einstein - Hobbes - Turing Pagina iniziale Indietro Indice per argomenti principali Critica alla tesi logicista di Frege - Pierce Geometria euclidea I.A. – Intelligenza Artificiale Logica Logica aristotelica Logica delle proposizioni,classi e relazioni - Russel Logica fuzzy Logica matematica - Boole,Frege Logica simbolica e combinatoria - Leibiniz Logicismo - Frege Pensiero scientifico – Bacone,Cartesio,Hobbes Semantica - Tarski Sistema formale - Hilbert indice per autori Pagina iniziale Indietro Logica Dal greco “λogos” (pensiero - ragione) è la scienza che analizza la validità di un discorso in termini di nessi inferenziali, ovvero i meccanismi che permettono di ragionare in modo corretto attorno ai concetti. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Inferenza : Procedimento mentale grazie al quale da determinate premesse o proposizioni date, si passa ad una proposizione successiva detta conclusione indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Logica aristotelica La nascita della logica è unanimamente collegata al nome di Aristotele (384-322 a.C.). Logica = scienza che studia gli strumenti che il pensiero utilizza quando pensa.Quindi Aristotele studia la struttura di tutti i ragionamenti e il perché un ragionamento oltre che formalmente corretto sia anche vero. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Ragionamento: Quello per eccellenza è il sillogismo; (Sylloghismόs,«conto»,«calcolo»,«connessione di concetti»): Argomentazione deduttiva che consta di due premesse(maggiore e minore) e una conclusione;un sillogismo è valido se la conclusione segue logicamente dalle premesse, cioè se non è possibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa; es. tutti gli uomini sono mortali, Socrate è un uomo, dunque Socrate è mortale. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Premessa maggiore Premessa minore Conclusione Indietro Per Aristotele il fondamento della logica è costituito dai principi logici: 1)Principio di identità 2)Principio di non contraddizione 3)Principio del terzo escluso indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti 1)Principio di identità: o principio psicologico:«nessuno può credere che lo stesso possa nello stesso tempo essere e non essere» A=A 2)Principio di non contraddizione: o principio ontologico:«è impossibile che lo stesso insieme appartenga e non appartenga allo stesso nello stesso tempo e secondo lo stesso rispetto» 3)Principio del terzo escluso: o principio logico:«il più certo di tutti (principi) è che gli enunciati contraddittori non sono nello stesso tempo veri» (tertium non datur). indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Geometria euclidea Un altro dei momenti fondamentali nello sviluppo del pensiero logico fù dovuto ad Euclide(IV sec. A.C.). Egli raccolse negli Elementi tutto il sapere geometrico dell’epoca. Tanto il sillogismo di Aristotele che il sistema assiomatico di Euclide furono comunque i modelli principali per il pensiero logico dei secoli successivi.Al tempo stesso le nuove interpretazioni che si vennero man mano assumendo contribuirono a generare il bisogno di una logica che meglio si prestasse a definire il pensiero scientifico. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Elementi: Opera fondamentale nella quale egli dà la definizione di:teoremi(regole),assiomi e postulati. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Assiomi e postulati sono indicati da Euclide come affermazioni di partenza da cui far discendere tutte le altre con un procedimento dimostrativo. Mentre gli assiomi indicano verità “evidenti” di carattere logico,i postulati hanno invece carattere geometrico. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Teorema: affermazione che in una teoria viene dimostrata logicamente a partire dagli assiomi. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Pensiero scientifico Ab origine il pensiero scientifico arrivò alla sua evoluzione grazie alla trattazione del “Novum Organum”(organo = strumento della scienza) di Francesco Bacone il quale cercò di costruire una nuova metodologia basata sull’induzione impostando la logica come strumento di indagine scientifica. Riprendendo questi temi Renè Descartes (Cartesio),cercò di stabilire se il rigore tipico di un discorso matematico potesse essere alla base di qualsiasi sapere,compreso quello filosofico. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Induzione: Particolare Î universale Procedimento analitico che, assumendo aspetti particolari di una osservazione, perviene alla formulazione di principi generali.Si differenzia dal suo procedimento opposto la deduzione. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Deduzione: Universale Î particolare inferenza che procede ,in modo logicamente necessario,da un assunto universale ai suoi elementi semplici. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Sempre nel calcolo matematico Thomas Hobbes pensò la logica come una combinazione di segni e regole.Questa idea verrà sviluppata da G. Leibniz nel XVII sec. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti G. Leibniz Leibiniz diede un notevole impulso allo studio ed alla ricerca logica, cogliendo chiaramente le potenzialità del formale e vedendo la logica non soltanto come elemento di sistemazione,l’ars demostrandi cartesiana, sed etiam come strumento di scoperta ovvero come ars inveniendi, «arte di usare l’intelletto». G. Leibiniz ed i suoi seguaci cercarono poi di unificare il complesso delle strutture logico/linguistiche in un linguaggio scientifico universale,ossia la “logica simbolica e logica combinatoria”. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Logica simbolica: Leibniz vuole assegnare a ciascun concetto un carattere,un “simbolo” che lo rappresenti.Ogni simbolo non può essere né convenzionale(comune a cui ci si conforma in modo acritico),come quello dei chimici e degli astronomi,né ideografico come quello dei cinesi e degli egiziani, ma matematico in quanto assicura lo svolgimento corretto del ragionamento assunto a “lingua characteristica universalis”. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Logica combinatoria: l’intento del filosofo è quello di ridurre l’intero contenuto del pensiero ad un numero di concetti semplici da cui possono derivare,mediante il procedimento combinatorio(“ars combinatoria” o “calcolo infallibile”),tutti i concetti composti. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro La logica è dunque scienza dei segni e come tale è generale ed indispensabile ad ogni altra scienza. Nella logica di Leibiniz, la varietà sta nel fatto che la combinazione dei concetti avvenga sena comportare contraddizione alcuna. Una proposizione è vera se in essa il predicato è già contenuto nel soggetto. Logica = Strumento che permette di valutare se tale inerenza sussiste.Questo è il fulcro del Formalismo Leibniziano. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Logica matematica Nella seconda metà dell’800 vengono a delinearsi due correnti distinte di approccio alla logica:logica come dottrina del sapere e dello sviluppo del pensiero(logica aristotelica);logica formale ed algebra della logica.Con Boole si comincia a delineare un ulteriore frattura:mentre la prima ha un momento di pausa,la seconda comincia un suo percorso autonomo. Infatti è nella seconda metà del XIX sec. che la logica è tornata a studiare gli aspetti formali del linguaggio,ovvero la logica formale,portando conseguentemente alla logica matematica. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti La logica matematica è caratterizzata dall’uso di strumenti e metodi di indagine matematici,sviluppa l’idea di assimilare la logica ad un calcolo matematico così da stabilire un linguaggio simbolico rigoroso,nel quale scompaiono le ambiguità e gli equivoci del linguaggio comune. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Boole Nel 1847 l’irlandese George Boole (“The international analysis of logic”) immerge la logica nella matematica,stabilendo un sistema algebrico.L’intendimento e l’interesse di fondo di Boole era rivolto ad una dimostrazione della capacità della matematica di trattare con “strutture qualsiasi”,non necessariamente numeriche o comunque quantitative. L’algebra deve essere la scienza delle forme e,in quanto formale,la logica è algebra. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Frege Nel 1879 il tedesco Gottlob Frege compie,in un certo senso,il passo inverso rispetto a Boole tentando al contrario di riportare la matematica,e più precisamente l’aritmetica,nella logica,cercando di mostrare come i contenuti dell’aritmetica siano costrutti logici. Infatti, secondo Frege, per lo sviluppo della matematica non sarebbero necessari altri concetti che quelli della logica,essendo la matematica fondamentalmente una applicazione specifica delle leggi universali della logica. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti L’edificio matematico deve fondarsi su proposizione vere, per leggi logiche infatti, Frege intende non le leggi “del ritener vero” ma le leggi “dell’esser vero” che sono pietre basilari poggiate su una roccia eterna,pietre che possono venir sommerse ma non scosse dal nostro pensiero se esso vuole raggiungere la verità. Si verifica dunque la caduta di ogni confine netto tra logica e matematica;queste due scienze quindi,tradizionalmente distinte,diventano una sola scienza: per Frege matematica e logica possono essere considerate tautologie. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Il progetto che Frege vuole attuare è ciò che viene definito “Logicismo”. Il programma logicista di Frege non ebbe seguito in quanto fallirono sia il tentativo di ridurre la matematica alla logica, poiché la logica da sola non è sufficiente,sia il tentativo di derivare la matematica dalla logica perché, come ha dimostrato Godel con i suoi teoremi di incompletezza, ogni sistema sufficientemente complesso da fondare l’aritmetica, è ipso facto o incompleto o incoerente. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Peirce Egli condivise una polemica contro la tesi logicista di Frege sulla riducibilità della matematica alla logica. Logica e matematica vengono poste da Peirce sullo stesso piano, poiché lo intende come “Ricerca strutturale sul simbolismo”;egli non può dunque , ritenere corretta e accettabile l’interpretazione secondo cui la logica costituisce la fondazione della matematica che è ad essa riconducibile,ma piuttosto, la matematica mutua dalla logica gli elementi tecnici di rigore e simbolizzazione che le permettono di indagare i propri specifici problemi. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Inoltre egli rifiuta la concezione secondo cui la logica riguarda in primo luogo il pensiero inespresso e solo secondariamente il linguaggio, dal momento che la sua concezione della logica come scienza delle leggi generali e specialmente dei simboli è intimamente legata alla sua visione dell’uomo come signmaker e sign-reader, “elaboratore dei segni” e “lettore di segni”, per cui la parola o segno che l’uomo usa è l’uomo stesso. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Lo sviluppo della logica è anche legato alle diverse e complesse vicende dell’indagine sui fondamenti della matematica e in particolare a certe ricerche connesse all’impostazione logistica di:Russel, Hilbert, Tarski, Godel. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Russell Il filosofo britannico(1872-1970) sostiene l’identità di logica e matematica, nel senso che la logica è la premessa della matematica.La differenza che intercorre tra esse è simile alla differenza che intercorre tra un uomo e un ragazzo:la logica è la gioventù della matematica,come la matematica è la maturità della logica.Divide la logica in tre sezioni:calcolo delle proposizioni,calcolo delle classi e calcolo delle relazioni. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Logica delle proposizioni: Studia le relazioni di implicazione materiale tra le proposizioni. Logica delle classi: Studia il rapporto di appartenenza di un individuo o di una classe. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Logica delle relazioni: Studiando i caratteri delle relazioni è possibile effettuare dei “calcoli” con proposizioni,appunto,indicanti relazioni.Le relazioni “simmetriche” o “asimmetriche.Simmetrica sarà una relazione come quella espressa dal termine “fratello”; sicchè io posso dire, indicando con x e y due persone e con R il rapporto di fratellanza xRy e yRx.Asimmetrica sarà invece quella del tipo espresso dal termine “padre”;sicchè indicando ora con R il rapporto di paternità, posso dire xRy ma non yRx. A proposito di tale logica, egli sostiene che essa riguarda più da vicino la matematica.Anzi «solo per mezzo della logica delle relazioni è possibile una qualsiasi relazione teoreticamente corretta e adeguata delle verità matematiche». indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Hilbert Sostituì le teorie matematiche(in particolare l’aritmetica,l’analisi e la teoria degli insiemi)con i corrispondenti sistemi formali e dimostrò, nella metamatematica, la non contraddittorietà di tali sistemi. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Hilbert Sostituì le teorie matematiche(in particolare l’aritmetica,l’analisi e la teoria degli insiemi)con i corrispondenti sistemi formali e dimostrò, nella metamatematica, la non contraddittorietà di tali sistemi. Un sistema formale è costituito da un linguaggio con cui si possono costruire delle formule, da alcuni “assiomi” e da alcune regole di inferenza(ovvero le regole tramite le quali si può dimostrare la verità o falsità di una formula). indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Metamatematica: Indagine matematica sulla matematica. Hilbert se ne servì perché la matematica non può fondarsi da sola giacchè obbiettivo primo era quello di fornire una prova di coerenza e completezza della matematica. Un sistema è coerente, o non-contraddittorio, se non possono derivarsi al suo interno enunciati non-contraddittori, vale a dire una proposizione e la sua negazione. E’ completo se tutti gli enunciati veri della matematica sono derivabili al suo interno. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Assioma: enunciato immediatamente evidente che non ha bisogno di dimostrazione. Nell’assiomatica moderna, che ha avuto in Hilbert il suo massimo teorico, l’assioma è un’ipotesi e la scelta degli assiomi è libera;l’importante è che il sistema sia coerente ovvero non contraddittorio e completo. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Godel Nel 1931 dimostrò il “teorema dell’inclopetezza”: questo afferma che in qualsiasi sistema assiomatico (costruito cioè su un gruppo di assiomi) è sempre possibile trovare una proposizione che fa parte di questo sistema, la cui falsità o verità tuttavia,non è dimostrabile con mezzi logici(assiomi,definizioni) offerti dal sistema stesso; Questa proposizione viene definita “ indecidibile” e per essere dimostrata è necessario ricorrere ad un sistema più ricco di mezzi logici del primo, ma in questo sistema si presenterà nuovamente lo stesso problema, così si ricorrerà ancora ad un sistema più potente e così via all’infinito.Per questo motivo si ritiene che ogni sistema formale sia inconsistente, incoerente, cioè permette di dimostrare frasi false; oppure sia incompleto, cioè non è capace di decidere, dimostrare, la verità o la falsità di alcuni teoremi.In base a questo teorema si può dimostrare la non contradditorietà della matematica. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Tarski Nel 1935 completa il programma dei logici. Egli diede una semantica, un senso ai sistemi formali, ovvero spiegò come un sistema formale potesse significare “qualcosa”, senza pertanto rinunciare alla libertà di Hilbert secondo la quale egli isolò la logica - in cui i termini e le formule non devono per forza significare qualcosa - e la matematica da qualsiasi vincolo con la realtà. Secondo Tarski un sistema formale non deve essere vincolato agli assiomi e alle regole della matematica, ma a ciascuno deve essere possibile assegnare un significato che lo metta in relazione con il mondo reale.Alla corrispondenza con tale realtà è strettamente legata la verità. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Per Tarski, la semantica è la disciplina che tratta di “certe relazioni fra le spressioni di un linguaggio e gli oggetti” ai quali quelle espressioni si riferiscono. “Il padre della patria” designa G. Washington Tarski afferma che non è possibile stabilire una rigorosa semantica(teoria del significato), cioè un metodo infallibile per discriminare gli enunciati veri dell’ aritmetica da quelli falsi. Si può al massimo considerare un linguaggio formalizzato che si discosti il meno possibile dal linguaggio naturale. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Intelligenza artificiale Oltre agli ormai tradizionali contatti con la matematica in senso stretto, particolarmente significativo è quello con l’ intelligenza artificiale. Questa è una branca dell’ informatica che studia la possibilità di realizzare sistemi in grado di simulare le funzioni rivolte all’intelligenza umana attraverso l’analisi e la soluzione dei problemi tecnici(la realizzazione delle macchine)e di quelli più teorici(la scrittura di programmi che permettono all’elaboratore di svolgere funzioni dell’intelligenza umana). indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti L’espressione “I.A.” nasce negli anni ‘50 dalla definizione di “sistema intelligente” data da Alan Turing.Lo scenario culturale in cui si muoveva l’I.A. è ideologicamente agli antipodi di quello in cui si muoveva la logica matematica dei secoli scorsi, in quanto la medesima è del tutto inadeguata a trattare gran parte dei ragionamenti “pratici” che interessano l’intelligenza artificiale. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Bruce McLennan ha elencato (1988) un numero di prestazioni che mancano alla matematica e che la rendono inadeguata per gli scopi dell’intelligenza artificiale: indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti I )Le quantità matematiche sono “definite”, mentre gran parte delle quantità logiche sono “indefinite” e sono quasi sempre affette da errore e “rumore”. II)Ogni idea e ogni azione dipendono dal contesto in cui ci si trova(chi segue sempre le regole alla lettera viene comunemente considerato “stupido”, non intelligente). indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti III)Un fenomeno non può essere scomposto in fenomeni elementari ma deve invece essere trattato come un tutto. IV)Non dimentichiamoci che ogni nostra azione viene compiuta per uno scopo ben preciso, ovvero con una “intenzione” , e che la conseguenza dell’ “intenzionalità“ è quella di restringere la quantità di contesto da prendere in considerazione per compiere quella azione. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Trascendendo da queste critiche non bisogna biasimare i matematici se il loro programma è inadeguato a simulare la mente umana,infatti il loro scopo non era questo,ma quello di fornire strumenti esatti agli ingegneri. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Bart Kosko indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti La fuzzy logic o logica sfumata o logica sfocata mette in discussione e modifica il concetto di logica binaria o più comunemente logica,secondo il quale i predicati possono assumere solamente due stati < vero e falso >. Questa logica è alle basi del funzionamento dei calcolatori ma chiunque può valutare quanto possa essere imprecisa e non aderente alla realtà che vanta molteplici sfaccettature. Nel mondo reale tutto è questione di misura,non esiste solo il bianco o il nero, ci sono anche le sfumature . indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Infatti, il “principio fuzzy” afferma che tutto è questione di misura. La proprietà fuzzy comincia dove iniziano le contraddizioni, dove A E non-A vale in una certa misura. La scienza invece tratta questi chiaroscuri come se fossero bianchi o neri. L’emblema della sfumatura rappresentante un mondo di opposti, un mondo che spesso associamo al misticismo orientale,è l’antico simbolo taoista dello yin-yang. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Per mettere in crisi la logica classica… Prendiamo una mela;l’oggetto che teniamo nelle nostre mani è una mela?Ora stacchiamone un boccone, mastichiamolo ed inghiottiamolo. L’oggetto che abbiamo in mano è ancora una mela o no?Diamo ancora un altro morso e così via fino a finirla. La mela esiste ancora o è mutata in qualcos’altro e non esiste più?Dove ha oltrepassato la linea di demarcazione fra mela e non-mela?Quando in mano teniamo metà mela stringiamo una mela o una non-mela?La mezza mela mette in crisi le descrizioni in termini di tutto o niente. Questa è una mela fuzzy, è il grigio o chiaroscuro fra il bianco e il nero:il fuzzy è il chiaroscuro. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Le scienze… La precisione sfoggiata dalla scienza non è altro che un’approssimazione di quei contorni sfumati delle cose che altrimenti non sarebbero spiegabili con i predicati della logica classica.Il paradosso è che la scienza ha contribuito a creare un mondo meno preciso approssimando o trascurando per semplicità alcuni concetti.Questa convinzione che le cose possono essere “0” o “1” muove fin dall’antichità;si pensi ad Aristotele, a Heisenberg, a Russell e ad Einstein. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Russell: Scoprì il paradosso del mentitore di Creta:<un cretese afferma che tutti i cretesi mentono, egli mente?>. Aristotele: La logica binaria di Aristotele si riduce ad una sola legge: A O non-A. O questo o non questo. Einstein: “Nella misura in cui le leggi della matematica si riferiscono alla realtà non sono certe.E nella misura in cui sono certe non si riferiscono alla realtà”.Così Einstein aveva riflettuto sul “chiaroscuro”della logica fuzzy. Heisenberg: Dimostrò ai fisici come non tutti gli enunciati della fisica siano necessariamente veri o falsi. Da ciò si evince che mentre Aristotele rimane fedele alla logica bivalente, gli altri più o meno direttamente si aprono alla polivalenza. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Problema della non-corrispondenza “Il mondo è in chiaroscuro, ma la scienza (classica)non contempla che il bianco o il nero assoluti”.Parliamo in termini di 0 e 1, ma la verità sta in una via di mezzo.A un mondo fuzzy fa riscontro una descrizione non fuzzy.Gli enunciati concernenti dati di fatto non sono interamente veri o interamente falsi, la loro verità stà fra la verità totale e la falsità totale, fra 1 e 0.Essi sono non già bivalenti ma polivalenti,”grigi” o chiaroscurali, fuzzy.Tutte le convinzioni scientifiche possono essere fatte crollare da una nuova esperienza. L’affermazione “un filo d’erba è verde” è messa in crisi dal filo d’erba che diventa marrone. Le leggi della scienza non sono leggi o meglio, non lo sono nell’accezione di leggi logiche come 2+2 =4. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Probabilità Per anni si è continuato ad ignorare l’aspetto fuzzy del mondo e, invece che approfondirlo, si è fatto di tutto per affondarlo ed ignorarlo.Neppure Einstein offriva alternative alla bivalenza, anzi, fermo nella sua veste di scienziato aggiunse una nuova teoria della bivalenza:il concetto di probabilità.Secondo la teoria matematica del caso ad ogni evento può essere associato un numero per rappresentare la probabilità del suo verificarsi. L’evento potrebbe, ad esempio, essere il lancio di una moneta.C’è una certa probabilità che venga “testa” e una certa probabilità che venga “croce”.Il lancio dà o testa o croce e le due rispettive probabilità assommano a 1.In generale la somma della probabilità che un evento si verifichi e quella che ciò non accada è 1.La probabilità svanisce con l’ aumento dell’informazione. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti C’è chi sostiene che la logica fuzzy non sia altro che “probabilità sotto mentite spoglie”.Di contro, si può asserire:più conoscenza e informazione, meno probabilità.In modo opposto opera l’impostazione fuzzy: più informazione, più emerge la natura fuzzy delle cose. Più dati ci aiutano a fissare il confine grigio che segna dove una cosa cessa di essere quella cosa.La probabilità per contro si dissolve quando i dati noti diventano numerosi.Ma, è vero che la teoria fuzzy è solo “probabilità mascherata”?Che cos’è la probabilità?Come asseriva il filosofo David Hume, la probabilità è costruita nella nostra mente, è la mente che fa sembrare così e che inserisce il legame causale nella catena degli eventi.Siamo noi gli artefici della probabilità del nostro operare e la usiamo per colmare le lacune nei nostri schemi mentali o nelle nostre rappresentazioni del mondo, siamo noi a creare l’istinto di probabilità. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti La creatura probabilità è un concetto fuzzy puro che si sviluppa da quello puro di contenere o di appartenenza:in che misura una cosa ne contiene un’altra, in che misura un insieme ne contiene un altro:ogni intero contieni le proprie parti. La parte contiene l’intero.L’intero contiene sempre e completamente le proprie parti; la parte contiene l’intero in una certa misura, ovvero in proporzione diretta alla sua dimensione, massa o estensione sovrapposta all’intero. Che cos’è l’intero nella parte?E’ la probabilità.E’ la probabilità della parte. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Aristotele contro Budda La logica fuzzy è il luogo del confronto fra Aristotele e Budda. Il professore dell’A O non-A incontra quello dell’A E non-A a livello della matematica, della scienza e dell’ingegneria. La logica o fede binaria di Aristotele ha sempre sollevato dubbi,ha sempre prodotto una reazione critica, una sorta di opposizione logica e filosofica sotterranea.Budda, che visse in India cinque secoli prima di Gesù e due prima di Aristotele, compì il primo passo del suo sistema dottrinario nell’intento di sfondare il mondo verbale delle alternative <o bianco o nero>, di squarciare “contraddizioni”, di cose e di non-cose. E’ il misticismo orientale ad offrire gli unici grandi sistemi dottrinari che accettano le contraddizioni, sistemi che funzionano sulla base dell’A E non-A, dello yin e dello yang. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti All’incirca duecento anni prima di Aristotele, Budda non si sarebbe lasciato intrappolare dai suoi uditori in domande del tipo <autaut>.Egli mantenne un nobile silenzio di fronte a domande binarie, quali se l’universo sia finito o infinito. Budda non fù teorico fuzzy in un senso matematico, non scrisse pagine sugli insiemi o sui sistemi fuzzy, ma ebbe l’idea delle sfumature di grigio:ammise l’A E non-A. Accuratamente evitò la bivalenza artificiale che sorge nelle lingue naturali del termine di negazione <non>.Donde la sua famosa frase: “la non-mente non-pensa nessun-pensiero su nessuna-cosa”. Budda sembra essere stato il primo grande pensatore a rigettare completamente il mondo dicotomico della bivalenza;ciò diede un grande contributo a vedere chiaramente il mondo di correlazioni e gettar luce sul destino dell’uomo. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Che cos’è la verità? Il conflitto tra la logica classica e la logica fuzzy verte sulla natura <grigia> della verità. La veduta fuzzy afferma che quasi tutte le verità sono grigie, parziali, frazionali, fuzzy appunto e non assolutamente bianche o nere;come asseriva lo stesso Quine:le cose non sono precisamente bianche o nere, ma ci sono gradazioni. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Quine: docente americano.La sua posizione si configura come un “oliamo metodologico” (“olismo” dal greco Holon, che vuol dire “tutto intero”).Non una singola proposizione, ma solo un insieme degli enunciati di una teoria è dotato di un significato empirico e, come tale, può essere soggetto a verifica empirica. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Secondo i filosofi moderni la verità si riferisce agli enunciati; concependo la verità come punteggio, si limitano a marcare l’enunciato con uno 0 o un 1.Quale che sia l’enunciato, 0 significa che è falso e 1 significa che è vero. I teorici fuzzy hanno fatto lo stesso, anche loro vedevano la verità come un punteggio,ma come un punteggio <grigio> :la logica fuzzy ammette più punti, ammette l’infinità continua di punti grigi fra 0 e 1,fits invece dei soliti bits. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Fits: significa fuzzy units, un valore fit è una misura o un numero tra 0 e 1 che risponde alle domande del genere <hai una macchina?>,<sei sposato?>, ma soltanto in una certa misura (ad esempio, il valore fit 70% significa 70% sì e 30% no). indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Fits: significa fuzzy units, un valore fit è una misura o un numero tra 0 e 1 che risponde alle domande del genere <hai una macchina?>,<sei sposato?>, ma soltanto in una certa misura (ad esempio, il valore fit 70% significa 70% sì e 30% no). Bits: significa binary units, un valore bit è uno 0 o un 1 che risponde alle domande dicotomiche di tipo <bianco o nero>. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti I filosofi distinguono la “verità logica” da quella fattuale. Essi, seguendo Aristotele, dicono che le verità fattuali sono vere in certi casi e false in certi altri, come la verità di <sta piovendo > dipende dal contesto. Aristotele chiama “contingenza” la verità fattuale e “necessità” la verità logica.Le verità logiche sono vere in tutti i casi, le falsità logiche sono false in tutti i casi. La differenza fra verità logica e fattuale fonda due vaste teorie della verità. La “verità logica” rientra nella teoria della coerenza (come gli enunciati morali ): l’enunciato <1+1 =2> è vero poichè abbiamo applicato coerentemente le regole della matematica. La “verità fattuale” rientra nella teoria corrispondentista, la quale afferma che un enunciato è vero se corrisponde ad un fatto: <la terra gira > è vero quando la terra gira ed è falsa quando la terra non gira. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Alfred Tarski Il logico polacco Alfred Tarski (mostrò, come i filosofi moderni, scarso interesse per la logica polivalente ) caratterizzò questa corrispondenza con la sua famosa formula di verità dell’enunciato :< la neve è bianca> e < l’erba è verde > sono enunciati fattuali veri al 100% a condizione che la neve sia bianca e l’erba verde. Quindi egli intendeva che la verità è tutta o niente, 100% o 0%. La difficoltà consiste nel fissare fattori di certezza del 100%.Con la sua vista acuta Tarski aveva visto tutte le gradazioni che vediamo noi.Egli può dunque aver inteso la sua formula di verità nel senso approssimativo, insomma Tarski arrotondava.Allo stesso modo noi possiamo dare una versione fuzzy della formula di Tarski :< l’erba è verde > è vera all’ 85% se e solo se l’85% dell’erba è verde.Con ciò viene ammessa l’esistenza di valori di veità fuzzy, in questo caso un punteggio di 85% di verità. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti La sfida di Hemingway : le verità come accuratezza. Hemingway non intendeva vero né nel senso della verità fattuale bivalente né nel senso della verità logica bivalente.Egli intendeva il regno della verità fattuale fuzzy nel quale noi pensiamo, scriviamo e facciamo sviluppare la scienza. La logica fuzzy considera la verità come accuratezza, corrispondenza accurata, curata adeguazione della parola all’oggetto e l’accuratezza è chiaramente una “questione di misura”.Ciò che vuole dimostrare Hemingway è che tutte le asserzioni dicotomiche valgono solo con “qualche probabilità”. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Logica fuzzy : Russel - Heisenberg Furono due gli eventi ai quali, agli inizi del XX sec., si deve la nascita della logica fuzzy, o < logica vaga > come la chiamarono allora i filosofi. Il primo fù la riscoperta dei classici paradossi greci da parte del logico Bertrand Russell; il secondo fù la scoperta del < principio di indeterminazione > della fisica quantistica da parte del fisico Werner Heisenberg. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti I paradossi di Russell posero termine a migliaia di anni di fede cieca nella certezza della matematica bivalente, tanto che alcuni matematici, per descriverne l’effetto, parlarono di < paradiso perduto >.I paradossi tradizionali hanno tutti la stessa forma: Si autoaffermano e contemporaneamente si autonegano, hanno la forma logica di una contraddizione A e non-A. Russell per superare le antinomie dei paradossi tradizionali ritiene necessario che le definizioni evitino di usare termini che si riferiscono a se stessi. Paradosso di Epimenide: “tutti i cretesi sono mentitori”, così facendo cade in una antinomia in quanto, essendo anch’egli cretese, afferma il vero e il falso nello stesso tempo. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti La posizione fuzzy dice che i paradossi di autoriferimento sono mezze-verità: A e non-A vale, ma A è vero solo al 50% e non-A è vero solo al 50 %.Così in qualche misura è soddisfatto A e non-A. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti La posizione fuzzy dice che i paradossi di autoriferimento sono mezze-verità: A e non-A vale, ma A è vero solo al 50% e non-A è vero solo al 50 %.Così in qualche misura è soddisfatto A e non-A. Matematica e filosofia hanno cercato, da questo momento in poi, di rappezzare e di imbellettare i fondamenti vincolati alla dicotomia “bianco – nero” per sbarazzarsi dei paradossi del “chiaroscuro”.Ma i paradossi restano, e anche le riflessioni su di essi. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Nel 1925 il fisico Werner Heisenberg enuncia il “principio di indeterminazione” che spiega i fenomeni della microfisica:infatti nella fisica atomica l’energia luminosa impiegata per osservare i fenomeni tende a modificare i fenomeni stessi in modo imprevedibile.Ne deriva che è impossibile determinare nello stesso tempo la posizione di una particella e la sua velocità in quanto ogni osservazione volta a determinare la velocità di una particella modifica la posizione di questa e, viceversa, ogni determinazione della posizione modifica la velocità.Tutto ciò che si può fare è determinare il campo delle probabilità che la particella si trovi in un luogo piuttosto che in un altro, oppure che abbia una velocità invece che un’altra. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Quindi, sul comportamento futuro di una particella si possono fare delle previsioni probabili (proprio perché l’osservatore induce modificazioni nell’oggetto osservato).Viene meno cioè il sostegno di un sistema di riferimento assoluto.Come si vede è il problema stesso della verità (o della validità di un determinato modello di spiegazione rispetto ad un altro) ad essere sollevato dalla scienza, ponendo questioni di pochissimo rilievo filosofico. Ecco che il “principio di indeterminazione” ebbe l’effetto di convertire in concetti probabilistici la verità bivalente del < tutto o niente >. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Gli insiemi fuzzy Logica fuzzy significa ragionare con numeri e insiemi fuzzy. Numeri fuzzy :dove poteva nascondersi l’aspetto fuzzy nel mondo dicotomicamente strutturato della matematica? Consideriamo il numero 0.Le società antiche impiegarono millenni per scoprire lo 0.Tale numero appartiene al 100% all’insieme 0 al quale non appartiene nessun altro numero. E i numeri vicini allo 0 o pressocchè 0? indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Questi numeri, come quelli grandi, medi o assai piccoli, sono fuzzy.Quanto più vicino allo 0 è un numero piccolo tanto più appartiene all’insieme fuzzy dei numeri piccoli.Il numero 1 è più vicino allo 0 del numero 2 che è più vicino allo 0 del numero 3 e così via.Allo stesso modo il numero negativo –1 è più vicino allo 0 di –2 e così via. La logica fuzzy non traccia nette linee di demarcazione fra gli opposti. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Insiemi fuzzy :le parole rappresentano insiemi.La parola casa rappresenta molte case, rappresenta una casa diversa per ognuno di noi perché diverse sono le case che abbiamo visto,di cui abbiamo letto e che abbiamo sognato.Pronunciamo e scriviamo le medesime parole ma non pensiamo le stesse cose.Le parole sono pubbliche mentre gli insiemi che conosciamo sono privati e noi pensiamo in termini di insiemi.Alcune cose sono indicabili come case più facilmente di altre: che dire di castelli, roulottes, caverne, tende pellerossa.In una certa misura sono e non sono case cosicché vale A E non-A,siamo nel dominio della sfumatura: il nome casa sta in un insieme fuzzy di case. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Max Black:gli insiemi vaghi. Filosofo quantistico che per primo concepì l’idea di “insieme”; adoperò il termine < vago > poiché Charles Peirce, Bertrand Russel e altri logici l’avevano usato per descrivere quel che oggi chiamiamo < fuzzy >. Black estese la logica polivalente agli insiemi e mostrò che questi insiemi fuzzy corrispondevano alle nostre idee delle idee. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Lotfi Zadeh: Gli insiemi fuzzy.Professore iraniano che sostituì il termine “vago” con il termine “fuzzy”.Egli aveva una conoscenza della logica polivalente e trasse la teoria degli insiemi: l’insieme fuzzy che fece da esempio fù quello degli uomini alti.Zadeh enunciò il principio di incompatibilità secondo cui all’aumentere della complessità di un sistema diminuisce la nostra capacità di fare enunciati precisi e significativi finchè si raggiunge una soglia oltre la quale precisione e significato diventano caratteristiche quasi reciprocamente escludenti; “più da vicino uno considera un problema concernente il mondo reale più fuzzy diventa la soluzione”. Zadeh cercò di dimostrare l’esatta adeguatezza degli insiemi fuzzy alle nostre parole. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti I sistemi fuzzy Ogni sistema fuzzy è un grosso mucchio di toppe definite da ogni pezzo di conoscenza umana, ogni regola della forma se questo allora quello (se X è A allora Y è B).Più conoscenza significa più regole, più regole significa più toppe. Come ragioniamo? Mettiamo di voler giocare a golf sabato o domenica e di non volerci bagnare mentre giochiamo.Le previsioni dicono che la probabilità di pioggia è alta per il sabato ma solo modesta per la domenica.Il ragionamento ci porta a desumere di dover giocare la domenica.Come giungiamo a questa conclusione?Ci arriviamo in forza di regole, le regole associano le idee e mettono in relazione una cosa con un’altra cosa. Se piove ci si bagna, se ci si bagna non si può giocare a golf.Sabato pioverà pertanto non si potrà giocare a golf.Domenica non pioverà.Se non si può giocare a golf sabato e se domenica non pioverà si può giocare a golf domenica. Così si gioca domenica. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti I ricercatori fuzzy hanno costruito centinaia di macchine “intelligenti” rompendo il monopolio dell’intelligenza artificiale sull’intelligenza delle macchine, la quale si basa su regole bivalenti. C’è bisogno di regole ma di regole fuzzy.S piove ci si bagna.Con questa regola intendiamo dire un sacco di cose: se piove poco ci si bagna poco; se piove molto ci si bagna molto.Una regola umana è in grado di capire tutti questi casi, mentre una regola di computer o dell’intelligenza artificiale copre soltanto un caso preciso.Una regola fuzzy mette in relazione insiemi fuzzy, infatti in un sistema fuzzy parallelamente e parzialmente tutte le regole sono operanti in una certa misura. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Sistema fuzzy adattivo E’ una rete neurale o sistema informatico che simula il cervello umano.Esso cerca da solo le regole fuzzy senza dipendere dai nostri cervelli.L’apprendimento delle regole avviene in seguito all’assimilazione dei dati che vengono fuori dal modo di agire dell’esperto, cioè da quello che egli dice su una macchina.Tali dati vengono convertiti in regole fuzzy attraverso il loro passaggio alla rete neurale, questo è ciò che viene definito “processo DIRO” (data in, rules out). Dati Î rete neurale Î regole fuzzy indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Il sistema fuzzy adattivo apprende dall’esperienza e utilizza i dati nuovi per perfezionare il proprio patrimonio di conoscenza. L’apprendimento implica il cambiamento e viceversa, tale processo si verifica nel cervello.E’ importante precisare che la conoscenza non risiede nei neuroni ma nelle sinapsi, ossia nei legami tra i vari neuroni (il legame tra neuroni e sinapsi costituisce la rete neurale). indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Bivalenza Polivalenza Aristotele Budda A O non-A A E non-A Esatto Parziale Tutto o niente In una certa misura 0o1 Continuità fra 0 e 1 Elaboratore digitale Rete neurale(cervello) Bits Fits indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti In conclusione la logica fuzzy dà soltanto un’approssimazione della verità un po’ migliore di quanto abbia finora fatto la logica bivalente.Ma quando la breccia aperta sarà ancora più grande potremo trovarci nelle condizioni di abbandonare la logica fuzzy a favore di qualche idea, teoria o processo più generali. indice per argomenti indice per autori Pagina iniziale Indietro Avanti Bibliografia Logica : Wikipedia, l’enciclopedia libera Aristotele :La decisione di significare, Il libro gamma della metafisica,(a cura di) Stefano Maso, Zanichelli, 2002; Dizionario di filosofia, (a cura di) Paolo Rossi, La nuova Italia, 1997. Euclide :La mente artificiale, Piero Scaruffi. Pensiero scientifico :Wikipedia, l’enciclopedia libera; Dizionario di filosofia, (a cura di) Paolo Rossi, La nuova Italia, 1997 Filosofi e filosofia nella storia, Nicola Abbagnano – Giovanni Fornero, 1992 Leibniz :Un percorso interpretativo della logica del 900, E.Toscano – F.Spagnolo Logica matematica :Dizionario di filosofia, (a cura di) Paolo Rossi, La nuova Italia, 1997 Un percorso interpretativo della logica del 900, E.Toscano – F.Spagnolo Russell : http://digilander.libero.it Hilbert – Tarski : http://www.netmeta.com Intelligenza artificiale : La mente artificiale, Piero Scaruffi. Logica fuzzy : Il fuzzy pensiero. Teoria e applicazioni della logica fuzzy, B. Kosko, Baldini e Castoldi, 2002 Filosofia, M Da Bartolomeo –V.Magni, Atlas
