2005-06: fm_ottica_geometrica

),6,&$0(',&$
(OHPHQWLGL2WWLFDJHRPHWULFD
3URI5HQDWR0DJOL
&RUVRGL/DXUHDLQ0HGLFLQDH&KLUXUJLD
DD
1
277,&$*(20(75,&$
/H UDGLD]LRQL OXPLQRVH VRQR RQGH HOHWWURPDJQHWLFKH
FDPSL HOHWWULFL H PDJQHWLFL YLEUDQWL H SURSDJDQWHVL
QHOOR VSD]LR H QHO WHPSR FRQ YHORFLWj GL
SURSDJD]LRQH GLSHQGHQWH GDO PH]]R HG XQD
OXQJKH]]DG¶RQGDFRPSUHVDWUDHQP
&RPHWXWWHOHUDGLD]LRQLHPDQFKHOHUDGLD]LRQLOXPLQRVH
VRQR VRJJHWWH D IHQRPHQWL TXDOL O¶LQWHUIHUHQ]D H OD
GLIIUD]LRQH FKHVRQRWLSLFLGHOODSURSDJD]LRQHGHOOHRQGH
7XWWDYLDSRLFKpLQJHQHUHODOXQJKH]]DG¶RQGDGHOODOXFHqDOFXQLRUGLQLGLJUDQGH]]D
SL SLFFROD GHOOH GLPHQVLRQL GHJOL RJJHWWL FKH FRVWLWXLVFRQR JOL XVXDOL GLVSRVLWLYL
RWWLFL q SRVVLELOH WUDWWDUH OH SURSULHWj GL WDOL GLVSRVLWLYL QHOO¶DPELWR GHOOH
DSSURVVLPD]LRQL GHOO¶ 277,&$ *(20(75,&$ DVVXPHQGR FLRq FKH OD OXFH VL
SURSDJKLQHLPH]]LRPRJHQHLLQPRGRUHWWLOLQHR
1RQELVRJQDFRPXQTXHGLPHQWLFDUHFKHODQDWXUDRQGXODWRULDGHOOD OXFHHPHUJH
VHQ]D SRVVLELOLWj GL HTXLYRFL SHU HVHPSLR TXDQGR VL YRJOLDQR VWXGLDUH OH
2
FDUDWWHULVWLFKHGHOOHLPPDJLQLSURGRWWHGDJOLVWUXPHQWLRWWLFL
5LIOHVVLRQHH5LIUD]LRQHGHOODOXFH
&RQVLGHULDPRODSURSDJD]LRQHGHOODOXFHLQGXHPH]]LVHSDUDWLGD XQD
VXSHUILFLH$EELDPR
IDVFLRLQFLGHQWH
IDVFLRULIOHVVR
IDVFLRWUDVPHVVRULIUDWWR
5LIOHVVLRQH
i
1
r
2
D 5DJJLR LQFLGHQWH UDJJLR ULIOHVVR H QRUPDOH DOOD VXSHUILFLH QHO SXQWR GL
LQFLGHQ]DVRQRFRPSODQDUL
D 5DJJLR LQFLGHQWH H UDJJLR ULIOHVVR IRUPDQR DQJROL XJXDOL FRQ OD QRUPDOH DOOD
3
VXSHUILFLHQHOSXQWRGLLQFLGHQ]D
5LIUD]LRQH
ni = c / vi
1
indice di rifrazione
del mezzo L
rispetto al vuoto
1
n1 < n2
2
F e Yi sono la velocità dell’onda
e.m. nel vuoto e nel mezzo L,
rispettivamente
2
D 5DJJLR LQFLGHQWH UDJJLR ULIUDWWR H QRUPDOH DOOD VXSHUILFLH GL
VHSDUD]LRQHQHOSXQWRGLLQFLGHQ]DVRQRFRPSODQDUL
D $QJROR GL LQFLGHQ]D
UHOD]LRQH
HG DQJROR GL ULIUD]LRQH
VRQR OHJDWL GDOOD
F
sin θ1 Y1
Q1 Q2
= =
=
= Q12
F
Q1
sin θ 2 Y2
Q2
/HJJHGL6QHOO
/HJJHGL6QHOO
4
Abbiamo perciò:
D Nel passaggio da un mezzo meno rifrangente ad uno più rifrangente (Q Q)
il fascio luminoso VLDYYLFLQD alla normale; il fascio invece VLDOORQWDQD dalla
normale quando passa da un mezzo ad alto indice di rifrazione ad un mezzo
con indice di rifrazione inferiore (Q !Q).
1
1
2
n1 > n2
2
5
E L’effetto di una lastra di materiale omogeneo a facce piane e parallele
posta sul cammino del fascio luminoso è di far emergere il fascio con
direzione parallela a quella incidente, ma “spostato” lateralmente in misura
tanto maggiore quanto maggiore è lo spessore della lastra.
Ad esempio, con lastra di vetro in aria:
n1 < n2
1
n1
1
aria
Q1 sin θ1 = Q2 sin θ 2
n2
2
Q2 sin θ 2 = Q1 sin θ 3
vetro
2
n1
3
aria
3
θ1 = θ 3
6
5LIOHVVLRQHWRWDOH
Consideriamo il passaggio di radiazione luminosa (luce) da un mezzo 1 più
rifrangente ad un mezzo meno rifrangente (Q !Q):
1
1
2
/HJJHGL6QHOO
/HJJHGL6QHOO
Al crescere di 1 cresce anche 2 seguendo la legge di
Snell. Deve naturalmente valere la condizione seguente:
2
sin θ1
= sin θ 2 ≤ 1
Q12
Per
sin θ1 Y1 Q2
= =
= Q12
sin θ 2 Y2 Q1
!
e ciò implica:
ovvero:
OLP
sin θ1 ≤ Q12
θ lim = DUF sin (Q12 )
il raggio viene WRWDOPHQWHULIOHVVR
7
Tale fenomeno viene utilizzato per trasmettere un raggio di luce da un punto
ad un altro lungo un cammino qualsiasi, usando una fibra ottica.
Gli angoli di incidenza sono sempre maggiori dell’angolo limite.
Per illuminare oggetti estesi si utilizzano fasci di fibre ottiche.
8
,O'LRWWUR
,O GLRWWUR q XQ VLVWHPD RWWLFR FRVWLWXLWR GD GXH PH]]L GL GLYHUVR LQGLFH GL
ULIUD]LRQHODVXSHUILFLHGLVHSDUD]LRQHQHOFDVRSDUWLFRODUHGLGLRWWURVIHULFR
qXQDFDORWWDVIHULFD
$SSURVVLPD]LRQLGL*DXVV
a) dimensioni della calotta sferica piccole rispetto al raggio di curvatura;
b) i raggi provenienti dall’oggetto sono parassiali (formano cioè angoli piccoli con
l’asse ottico del sistema)
In tali condizioni, i raggi emessi da una sorgente puntiforme P posta nel mezzo 1,
dopo aver subito la rifrazione, possono incontrarsi in un punto Q dando così
luogo ad un’immagine puntiforme.
Sistemi di riferimento: [x1Vy1] per gli oggetti e [x2Vy2] per le immagini (vedi Fig. 1).
Raggio di curvatura:
positivo se il centro di curvatura è nello spazio delle
immagini, altrimenti è negativo.
9
)LJ PV = p
QV = q
Fig. 2
10
Costruzione dell’immagine:
consideriamo due raggi provenienti da P (vedi Fig. 2): il raggio passante per V non
viene deviato, mentre il raggio (peraltro qualsiasi) PH viene rifratto secondo la legge:
Q1 sin L = Q2 sin U
La distanza da V del punto Q in cui si incontrano i due raggi è indicata con q.
Per le ipotesi (Gauss) fatte:
- distanza VH’ trascurabile
- angoli , , piccoli tali che:
++ ’
++ ’
++ ’
++ ’

=
≅
≅
=
sin
α

3+
3+ ’
39
S

++ ’
++ ’

=
=
sin
β

+&
5

++ ’
++ ’
++ ’
++ ’

=
≅
≅
=
sin
γ

+4
+ ’4
94
T

cos α ≅ 1 ; cos β ≅ 1 ; cos γ ≅ 1
11
Inoltre, dalla figura abbiamo:
L =α + β ; β = U +γ
e quindi, applicando note relazioni trigonometriche:
sin L = sin (α + β ) = sin α cos β + sin β cos α ≅ sin α + sin β

sin U = sin (β − γ ) = sin β cos γ − sin γ cos β ≅ sin β − sin γ
La relazione di Snell diventa così:
1 +1
S
5 Q2
=
1 − 1
Q1
5
T
da cui otteniamo:
Q1 Q2 1
+ = (Q2 − Q1 )
S T 5
5HOD]LRQHGHLSXQWL
5HOD]LRQHGHLSXQWL
FRQLXJDWLGHOGLRWWUR
FRQLXJDWLGHOGLRWWUR
12
La relazione dei punti coniugati non dipende dall’angolo tutti i raggi
uscenti da 3 convergono in 4.
Si definiscono 2 fuochi: F1 ed F2
F1 : punto in cui deve trovarsi l'
oggetto affinché la sua
immagine si formi a distanza infinitamente grande
(T → ∞) :
1 1 Q2 − Q1
=
f1 5 Q1
F2 : l’immagine si forma in tale punto se l’oggetto si
tr ova a distanza infinitame nte grande
( S → ∞) :
1 1 Q2 − Q1
=
f 2 5 Q2
13
/HQWLVRWWLOL
/HQWH:
mezzo trasparente, omogeneo, otticamente distinto dal mezzo circostante
e da questo separato da due superfici generalmente sferiche. (Una delle
due superfici può anche essere un piano, cioè una superficie sferica con
raggio infinito).
Se lo spessore della lente è piccolo rispetto ai raggi di curvatura delle superfici
sferiche che la delimitano, si parla di OHQWHVRWWLOH.
Una lente può essere considerata come una successione di due diottri
Per trovare l’equazione dei punti coniugati di una lente sottile, si applica due volte
l’equazione dei punti coniugati del diottro.
Lo spazio oggetti è alla sinistra della lente, mentre lo spazio immagini è a destra,
come per il diottro. Analogamente per gli assi.
14
Vari tipi di lente
Fig. 3
15
&RQVLGHULDPRXQDOHQWHELFRQYHVVD
n2
n1
3
n1
•
p
O
q
•
4
Q1 = indice di rifrazione del mezzo in cui è immersa la lente

Q2 = indice di rifrazione della lente
Applicando due volte (per i due diottri di cui è costituita la lente) l’equazione dei
punti coniugati si ottiene
1 1 1
+ =
S T I
(∗)
con
1  Q2  1
1 
=  − 1 + 
I  Q1  51 52 
(∗ ∗)
avendo scelto la FRQYHQ]LRQH (diversa da quella usata per il diottro) che il UDJJLRGL
FXUYDWXUDqSRVLWLYRRQHJDWLYRDVHFRQGDFKHODFRUULVSRQGHQWHVXSHUILFLH
16
ULYROWDYHUVRLOPH]]RFLUFRVWDQWHVLDFRQYHVVDRFRQFDYD.
I
è il valore delle due distanze focali I ed I, ovvero delle distanze in
cui si forma l’immagine di un oggetto posto all’infinito (S →∞) ed in cui
deve trovarsi l’oggetto affinché la sua ine si trovi all’infinito (T →∞).
I risultati (∗) e (∗∗) hanno valore generale, per qualsiasi tipo di lente sottile.
17
(6(03,',&26758=,21,',,00$*,1,
p>2f
f < p < 2f
0<p<f
Fig. 4
18
/HQWHFRQYHUJHQWH (f > 0):
- Immagine reale di un oggetto posto tra
l’infinito ed il fuoco
- Immagine virtuale di un oggetto posto
tra il fuoco e la lente
Fig. 5
/HQWHGLYHUJHQWH (f < 0):
- Immagine virtuale, posta nel fuoco, di
un oggetto posto all’infinito
Fig. 6
19
,QJUDQGLPHQWR/LQHDUHHG,QJUDQGLPHQWR$QJRODUH9LVXDOH
Ingrandimento lineare
rapporto tra la lunghezza O di una dimensione
=
-O di una lente
lineare dell’immagine e la lunghezza O della
corrispondente dimensione lineare dell’oggetto
B
A
F
p
q
O2 $’% ’ $’2 S2
-O = =
=
=
O1
$%
$2 S1
S2
I
-O =
=
S1 S1 − I
A’
F
O
B’
Poiché per la (∗)  1 + 1 = 1 I
T
 p
possiamo anche scrivere :
O = AB
O = A’B’
I triangoli ABO e A’B’O
sono VLPLOL
 vale : S = I S1
2
(S1 − I )

Ingrandimento lineare al variare della distanza
20
dell’oggetto dalla lente, per una data distanza focale.
Se l’immagine è virtuale si considera O¶LQJUDQGLPHQWRDQJRODUHRYLVXDOH-D
Ingrandimento angolare
-D di una lente
rapporto tra l’angolo sotto cui l’occhio
dell’osservatore vede l’oggetto attraverso
la lente e l’angolo sotto cui l’oggetto
sarebbe visto ad occhio nudo
=
8VXDOLFRQGL]LRQLGLRVVHUYD]LRQH RFFKLRDGGRVVDWRDOODOHQWH
RJJHWWRTXDVLQHOSLDQRIRFDOHDQWHULRUHGHOODOHQWH
L’osservatore vede l’immagine dell’oggetto sotto l’angolo
WJ α
2
Poiché in generale l’angolo
YHGL)LJ
:
$%
O1
=
≅
$2
I
è piccolo:
O1
WJα 2 ≅ α 2 ≅
I
21
Fig. 7
Fig. 8
22
Supponiamo che l’oggetto venga osservato direttamente (ad occhio nudo,
vedi Fig. 8).
L’angolo
sotto cui si vedrebbe l’oggetto sarebbe tanto maggiore tanto
minore la distanza oggetto – occhio.
'LVWDQ]DPLQLPDSHUPHWWHUHDIXRFRaFP
'LVWDQ]D GHOOD YLVLRQH GLVWLQWD aFP
Se è G il valore della distanza della
visione distinta si può scrivere:
e l’ingrandimento angolare -D diventa:
α1 ≅
O1
G0
-D =
α 2 G0
≅
α1
I
La distanza focale di una OHQWHGLLQJUDQGLPHQWR è tipicamente dell’ordine dei
centimetri. Ne segue che è -D !
L’interposizione della lente di ingrandimento consente di avvicinare molto l’oggetto
all’occhio che può quindi osservarlo sotto un angolo notevolmente maggiore
dell’angolo sotto cui l’osserverebbe ad occhio nudo.
23
'LIHWWLGHOO¶RFFKLR
0LRSLD
SURIRQGLWjGHOO¶RFFKLRFLRqGLVWDQ]DUHWLQD± FULVWDOOLQR
HFFHVVLYDo QHFHVVLWj GLOHQWHGLYHUJHQWH
,SHUPHWURSLD
SURIRQGLWjGHOO¶RFFKLRPLQRUHGHOQHFHVVDULRo QHFHVVLWj
GLOHQWHFRQYHUJHQWH
3UHVELRSLD
GLIILFROWjGHOFULVWDOOLQRDGDJJLXVWDUVLHTXLQGLDIRFDOL]]DUH
o QHFHVVLWj GLOHQWHFRQYHUJHQWH
/¶HQWLWjGLWDOLGLIHWWLqPLVXUDWDGDOQXPHURGLGLRWWULHGHOOD OHQWHLQ
JUDGRGLFRUUHJJHUHLOGLIHWWR
$VWLJPDWLVPR:
GLIIHUHQ]DQHLUDJJLGLFXUYDWXUDGHOOHYDULHVH]LRQLGHO
JORERRFXODUHRWWHQXWHFRQSLDQLSDVVDQWLSHUO¶DVVHRWWLFR
GHOFULVWDOOLQR
/¶LPPDJLQHGLXQDVRUJHQWHHVWHVDQRQSXzHVVHUHPHVVD
24
WXWWDDIXRFRVXOODUHWLQD