Circuito RC in regime transitorio

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI BERGAMO
Scuola Interuniversitaria Lombarda di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario
Sezione di Bergamo e Brescia
Esercitazione di Laboratorio
Laboratorio di Strumentazione Digitale
Prof. Emiliano Sisinni
Classe di Abilitazione: A034
Prof. Claudio Cancelli
Anno Accademico 2006/2007
1
OGGETTO
Tale d ocum ento è il risultato d ell’attività d i laboratori o svolta
nell’am bito d elle lezioni t enut e d al prof . Sisi nni, e c oinvol ge gli
stud enti d el 5° anno d ell’IPSIA – Ind iriz zo “El ettronic o”, c he
nell’am bito d elle atti vità d i laboratori o d evo no v erificar e il
regi m e transit orio d i un circuito RC med iant e il pro gra mma d i
simulazi one LabV IE W, s volg end o attività d i sviluppo con l’aiuto
d el d ocent e ed attività d i verifica in mod o aut ono mo .
Lo scop o d i tale d ocum ento è d uplice: d a un lato v en gono
ric hiamat e le nozio ni teoric he r elativ e al circuito RC in r egi me
transitori o, per con s entir e in tal mod o l’analisi e la verifica d elle
conclusioni sp eri mentali, e d all’altro d ocum entar e i ris ultati d elle
simulazi oni s ulla ba se d elle sp ecific he d ate.
IND IC E
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Obietti vi
Des tinatari
Riferi menti
La teoria
Strumentazion e utiliz zata
Laboratorio
Verifica
Conclusioni
2
CIRCUITO RC IN REGIME TRANSITORIO
1.
Obiettivi
Tale esercitazione si prefigge lo scopo di introdurre il programma LABVIEW per
consentire agli studenti di iniziare a valutare le potenzialità di uno strumento
alternativo ai mezzi di programmazione tradizionali per
l’acquisizione di dati,
elaborazione dei segnali e la gestione di strumentazione elettronica.
Gli obiettivi che si intendono raggiungere con tale esercitazione risultano i
seguenti:
Svolgere le prove di simulazione sulla base della definizione di specifiche iniziali
(vedasi “obiettivi” del paragrafo “Laboratorio”);
Apprendere gli elementi di LabVIEW che consentono di realizzare le funzioni
proposte;
Simulare le condizioni che consentono di verificare se le specifiche di ingresso
sono rispettate compatibilmente alle nozioni teoriche acquisite.
2.
Destinatari
Classe: Quinta
Indirizzo: Elettronica e Telecomunicazioni - ITIS
Materia : Elettronica
3.
Riferimenti
Libro di testo: Elettronica Analogica - Volume 1 – G. Licata – Thecna
LabVIEW Vers.7 Express – Student Edition
Programmazione Modulare - Modulo 2 “Regime Transitorio” – Unità Didattica 2.2
“Transitorio nel circuito RC: analisi e simulazione”
4.
4.1
La teoria
Fase di carica
Posizione Interruttore “1”
Il circuito riportato in figura consente di studiare la fase transitoria in un circuito
composto da una resistenza in serie ad una capacità.
3
1
Ic
+
R
E
2
+ C
+
Vcs
-
Vcc
-
−
Is
R
Considerata la legge che lega la corrente alla variazione di tensione in un condensatore:
Ic = C
(4.1.1)
dVcc
dt
Per la legge di Ohm risulta:
(4.1.2)
VCC + RC
dVCC
=E
dt
L’equazione differenziale del 1° ordine porta alla soluzione generale del tipo:
(4.1.3)
Vcc = Av1 + Bv2 = Aeλ t + Beλ t
1
2
L’equazione caratteristica che deriva dalla 4.1.2 risulta:
(4.1.4)
Da cui:
(4.1.5)
sostituendo:
(4.1.6)
1 + RC * λ = 0
λ1 = −1 / CR
λ2 = 0
−
Vcc = Ae
t
RC
+B
4
Le costanti A e B si trovano imponendo le condizioni iniziali:
per t=0 supponiamo che Vcc sia uguale a zero, ossia il condensatore ha carica iniziale nulla;
risulta, A + B = 0
mentre per t > ∝ B = E. Sostituendo, si ricava che A = -E
La soluzione risulta:
−
VCC = E ∗ (1− e
(4.1.7)
t
RC )
ed il grafico che evidenzia il transitorio risulta:
Vcc
E
0,63E
RC
t
Se poniamo t=RC, risulta che Vcc= 0,63E. Il prodotto RC prende il nome di Costante di
Tempo e rappresenta il tempo in corrispondenza del quale la tensione Vcc è pari al 63%
del valore finale E.
(4.1.8)
T = RC
Dopo un tempo pari a 5 volte la costante di tempo, il valore della tensione ai capi del
condensatore è di circa il 99% del valore E, e quindi si può considerare concluso il
transitorio coincidente con il periodo di carica.
4.2
Fase di scarica
Posizione Interruttore “2”
Se l’interruttore commuta in posizione 2 dopo un tempo pari a 5 volte la costante di
tempo, il condensatore si comporta come un generatore di tensione variabile dal valore
5
massimo accumulato, E, fino a scaricarsi completamente, anche in questo caso dopo un
tempo pari a 5T.
Partendo ancora dalla soluzione generale:
−
Vcc = Ae
(4.2.1)
t
RC
+B
per t=0, ai capi del condensatore la tensione iniziale è Vs, quindi A + B = Vs.
mentre per t > ∝ B = 0. Sostituendo, si ricava che A =Vs
La soluzione è quindi:
−
(4.2.2)
VCS = VS ∗e
t
RC
ed il relativo grafico:
Vcs
Vs
0,37 Vs
RC
t
Esempio) Uno scambiatore di calore ha una resistenza termica R T pari a 0,02 K/W, e
deve provvedere a rendere costante il flusso termico di calore tra 25 oC e 75 oC, avendo
la capacità di ricevere una quantità di calore pari a 10.000 J. Calcolare la costante di
tempo τ ed il flusso termico di calore.
FQ = ? T/ R T = 50/0,02 = 2500 W
C T = ? Q/? T = 10.000/50 = 500 J/oC
T = C T * R T = 10 sec.
6
5 Strumentazione utilizzata
L’esercitazione è condotta nel laboratorio di informatica, con installato il pacchetto
LabVIEW Vers.7 Express – Student Edition.
6 Laboratorio
6.1
Obiettivi
Simulare il comportamento di carica e di
scarica del condensatore, al variare:
Ø del valore di capacità C (max 10 nF);
Ø del valore della resistenza R (max 100
Mohm);
Ø del gradino di tensione
durante la fase di carica;
d’ingresso
E
Ø della tensione di carica iniziale, Vs, del condensatore durante la fase di scarica,
rilevando la condizione di non accettabilità Vs>E.
Simulare la condizione di carica e di scarica:
Ø facendo uso di un unico indicatore grafico;
Ø facendo uso delle formule matematiche 4.1.7 e 4.2.2
6.2
Modalità operativa con LabVIEW
Dopo aver creato il file “circuito_rc” si dispone del front panel per attivare con le
librerie disponibili:
Ø
la funzione di controllo numerico (numeric controls) sulle variabili di ingresso (la
resistenza, la capacità, l’ampiezza del gradino di tensione di ingresso);
Ø
la funzione di indicatore numerico (numeric controls) per la visualizzazione della
costante di tempo e per l’indicazione E>Vs;
Ø la funzione di visualizzazione del grafico “Vcc/Vcs=f(t,T,E/Vin)” tramite
Graph” (graph indicator);
“X-Y
Ø la funzione booleana on-off, tramite un interruttore (toggle switch) , necessaria per
la funzione di switch CARICA/SCARICA.
Tramite la finestra “block diagram”, si provvederà ad inserire nuove funzioni per le
quali è necessaria una breve introduzione.
Si pensa ad una struttura iterativa (structure) , realizzata tramite la funzione di loop
(for loop).
7
Poiché R può variare fino ad un valore max di 100 Mohm, e C fino a 10 nFarad, la
costante di tempo può assumere un valore max pari ad 1 secondo. Seguono le seguenti
considerazioni:
1. dopo un tempo pari a circa 5 sec, il transitorio si può considerare esaurito; si pensa
di visualizzare sull’asse dei temp i un valore tmax prossimo quindi a tale valore. Se si
pensa di discretizzare il ciclo for, per un numero max di 10 (per i da 0 a 9) volte il
periodo T, si vedrà una spezzata visibile. Se N si pone uguale a 100, con l’indice i
che moltiplica T, da 0 fino a 99, si vedrà una curva con un transitorio che prenderà
il 5% della durata totale.
2. se si vuole evitare di notare una spezzata si pensi almeno a 50 iterazioni, ma il
prodotto i*T=50 sec. vedrebbe il transitorio occupare il 10 % della curva visibile
sullo schermo;
3. un compromesso è utilizzare un passo pari a 1/10 di T ed iterare 50 volte, in modo
che il prodotto porti ad un tempo max di circa 5 volte la costante di tempo.
T/10
0
1
49
5 *T = 50 * T/10
Tali condizioni si verificheranno nel paragrafo 7, dopo aver completato il “block diagram”.
La soluzione scelta è la seguente: il periodo si
dividerà per 1000 in modo da ottenere il valore in sec.,
si dividerà per 10 per avere un passo di
discretizzazione uguale a T/10 e si moltiplicherà per i,
al fine di ottenere la variabile “tempo”, che varierà tra
0 e 49.
Ora facendo uso della funzione “Formula Node” in
Structure , si attiveranno gli ingressi (Vs, E, T, t) e le
uscite (Vcc, Vcs, t, All). Si scriveranno quindi le
formule di carica e di scarica della tensione ai capi del
condensatore in funzione dei parametri di ingresso, e
con la condizione “if” si verificherà se la tensione Vs è maggiore di E, ponendo a zero la
variabile booleana “All” per poter disattivare la
visualizzazione dei grafici.
Per concludere si provvedere ad attivare la selezione tra
Vcc e Vcs, sulla base dello stato dell’interrrutore. Agli
ingressi X , Y ed enable dell’ XY Graph si perviene tramite
dei convertitori dei dati in forma to scalare.
8
7
Verifica
Esercizio n. 1 -
Iterare 10 volte il loop, con t=i*T, ed osservarne il risultato.
9
Esercizio n. 2 2-
Iterare 50 volte il loop, con t=i*T, ed osservarne il risultato.
Esercizio n. 3 2-
Simulare la condizione di carica R = 50 Mohm, C = 6 nF e osservarne
i risultati, con il gradino d’ingresso pari a 3 V. Verificare che:
Ø la scarica è possibile solo se la Vs è >= 3V;
Ø dopo un tempo pari a T, il valore della tensioneai capi di C è
circa pari al 67% di 3 V.
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8 Conclusioni
Si riportano i motivi che rendono valido l’uso di tale strumento nelle scuole secondarie
superiori:
8.1 L’introduzione ad uno dei programmi universalmente riconosciuti come valido per la
simulazione da sistemi semplici a sistemi molto complessi;
8.2 Aver creato la sensibilità alla programmazione senza l’uso di alcuna linea di codice;
8.3 L’interattività immediata con risultati grafici molto accattivanti;
8.4 Uso gratuito di una versione idonea agli studenti degli istituti tecnici e
professionali.
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