CONTENUTO
Capitolo 1 { Fondamenti di Relativita Generale
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
Il Principio di Mach
Principio di Equivalenza
Il paradosso degli orologi
Il paradosso di Schi{Oppenheimer
Covarianza delle leggi naturali
Sistemi accelerati
Coordinate ruotanti
Coordinate curvilinee
Tensore metrico
Trasformazioni particolari
Componenti Covarianti e Controvarianti
Proprieta generali del Tensore Metrico
Vettori
Base Coordinata
Geodetiche
Limite newtoniano
Invarianti scalari e misure siche
Tetradi
Sistema localmente inerziale
I proiettori hij e ij
Trasformazioni di Lorentz in relativita generale
Moto accelerato non rigido
Moto iperbolico
La geometria nei sistemi ruotanti
Trasporto parallelo
Derivata assoluta e derivata covariante
Proprieta delle Connessioni AÆni
Operatori dierenziali
Forze non gravitazionali
Le Equazioni di Maxwell
1
4
7
8
10
12
14
17
18
21
24
26
29
32
34
39
41
44
47
49
53
55
57
63
66
69
71
72
74
75
iv
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
Indice
{
{
{
{
{
Le leggi di conservazione
Il tensore di Riemann
Equazioni della deviazione geodetica
Trasporto di Fermi{Walker
Esercizi sul Capitolo 1
Capitolo 2 { Le Equazioni di Einstein
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
Le Equazioni di Campo di Einstein
Condizioni coordinate
Sistemi equivalenti
Metrica esterna di Schwarzschild
Teorema di Birkho
Proprieta della metrica di Schwarzschild
Moto radiale nella metrica di Schwarzschild
Moto non radiale in Schwarzchild
Soluzione interna di Schwarzschild
Coordinate di Kruskal
Embedding
Metrica di Kerr
Moto geodetico nella metrica di Kerr
Il problema Cosmologico
Esercizi sul Capitolo 2
Capitolo 3 { Fluidodinamica Relativistica
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
{
{
{
{
{
{
{
{
{
Introduzione
Limiti della Termodinamica relativistica
Local Rest Frame di un uido
Espansione, scorrimento, vorticita
Equazioni di continuita
Tensore energia{momento
Gas di fotoni
Le leggi della termodinamica
Fluidi ideali in equilibrio
78
81
84
85
89
95
100
102
104
107
109
113
117
125
129
131
133
137
140
147
149
151
153
154
158
160
163
164
168
v
Indice
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
{
{
{
{
{
{
Fluidi in quasi equilibrio
Equilibrio idrostatico
Moto radiale adiabatico
Accrescimento sferico
Luminosita di Eddington
Esercizi sul Capitolo 3
Capitolo 4 { Oggetti Compatti
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
Introduzione
Teorema del viriale
Oscillazioni di una stella newtoniana
Perturbazioni radiali
Equazione di stato dei gas ideali
Equilibrio Chimico
Equazione di stato di un gas degenere
Decadimento inverso
Nane bianche, stelle di neutroni, buchi neri
Esercizi sul Capitolo 4
170
178
179
182
185
189
191
193
197
199
202
205
206
214
221
228
Appendice A { Soluzioni degli esercizi
229
Indice Analitico
255
CAPITOLO I
FONDAMENTI DI RELATIVITA
GENERALE
1.1 { Il Principio di Mach
Tra le tante coincidenze apparentemente inspiegabili che accadono nel
mondo naturale, una aveva particolarmente colpito l'immaginazione di Newton. Essa riguardava la stretta correlazione esistente tra i riferimenti inerziali ed il sistema individuato dalle stelle sse. Supponiamo che n dalla
sua formazione la terra fosse stata avvolta da una coltre impenetrabile di
nubi. Tramite una serie di esperimenti di meccanica condotti all'interno del
suo laboratorio, un osservatore terrestre avrebbe potuto constatare come
alcuni sistemi di riferimento, cioe i sistemi inerziali, godono di particolari
proprieta che li dierenziano dagli altri. Ad esempio, solamente rispetto ad
un osservatore inerziale il moto di un pendolo e piano, la traiettoria di una
particella isolata e rettilinea e l'asse di un giroscopio mantiene una orientazione costante. Ora, se le nubi si fossero improvvisamente dissolte, quale
sarebbe stato lo stupore dell'osservatore nel constatare che gli assi coordinati dei sistemi inerziali non ruotano rispetto alle stelle sse? Newton
aveva introdotto il concetto di spazio assoluto come luogo in cui le leggi della
natura assumono il loro aspetto piu semplice e nello stesso tempo aveva accettato come una coincidenza fortuita il fatto che, mediamente, la materia
dell'universo sia in quiete rispetto allo spazio assoluto. Egli ammise inoltre
la relativita del moto, ma solo nei confronti delle misure di velocita (Principio di Galilei), mentre l'accelerazione assoluta poteva essere denita
oggettivamente, in quanto misurabile tramite la seconda legge.
Verso la ne del secolo scorso il sico ed epistemologo austriaco Ernst
Mach, tentando una sistemazione logico{matematica della dinamica newtoniana, part dal postulato che, in realta, fosse privo di signicato parlare
di spazio assoluto e, inoltre, che non si potessero denire in alcun modo
non solo la velocita, ma anche l'accelerazione assolute: ogni forma di movimento acquista signicato solo mettendo in relazione tra loro piu corpi
2
Principio di Mach
materiali. Ma come e possibile conciliare il principio d'inerzia e, nello stesso
tempo, il postulato di relativita di tutte le forme del moto? Mach aronto il
problema prendendo spunto dal famoso esperimento di Newton del secchio
pieno d'acqua: se il secchio e l'acqua in esso contenuta ruotano rispetto alle
stelle sse, la supercie libera del liquido si incurva, mettendo in evidenza la
peculiarita del sistema ruotante rispetto ai sistemi inerziali. Immaginiamo
ora che il secchio rimanga in quiete, ma che, a nostra insaputa, un Essere
diabolico metta in movimento tutte le stelle, imprimendo loro una rotazione
rigida attorno alla terra. Secondo Mach gli osservatori terrestri si troverebbero di fatto nell'impossibilita di vericare se e la terra che sta ruotando
oppure se, viceversa, la rotazione deve essere attribuita alla materia lontana.
In denitiva, essi dovrebbero sperimentare in entrambi i casi la presenza di
una forza centrifuga, responsabile diretta dell'incurvamento della supercie
dell'acqua.
Partendo da questa premessa, si arriva necessariamente ad ammettere che
sono proprio le stelle lontane a ssare le proprieta inerziali dei corpi. Tutto
succede cioe come se le stelle dell'universo generassero nel loro insieme una
sorta di campo guida che obbliga le particelle isolate a muoversi uniformemente rispetto ad esso e a mantenere sso l'asse del giroscopio. Ogni deviazione da questo stato puo avvenire solo intervenendo con opportune forze
la cui intensita e proporzionale alla quantita di materia (massa) contenuta
nella particella stessa. La conseguenza principale di questo ragionamento e
espressa nel seguente Principio di Mach:
Tramite l'interazione gravitazionale universale, la materia complessivamente distribuita nell'universo determina le proprieta inerziali dei corpi,
inclusa l'entita dell'inerzia espressa quantitativamente dalla massa .
Fu proprio sotto l'inuenza del principio di Mach che Einstein si accinse
a sviluppare una nuova teoria generale della relativita che comprendesse
anche la teoria della gravitazione. L'idea iniziale era che le forze apparenti,
come le forze di Coriolis o quelle centrifughe, avessero origine proprio dalla
reazione del campo guida generato dalle stelle lontane, quando le particelle
sono deviate dal moto uniforme; di conseguenza queste forze dovrebbero
essere considerate reali, al pari di quelle gravitazionali o elettromagnetiche.
Puo sembrare molto strana l'idea che l'accelerazione delle masse distanti
possa provocare l'insorgere di forze non rivelabili nei riferimenti inerziali.
Tuttavia, questo punto di vista non e meno articiale del noto fenomeno
Principio di Mach
3
per cui una carica risente delle sole forze elettrostatiche quando e in quiete
rispetto al campo elettrico generato dalle altre cariche, mentre nei riferimenti in cui essa possiede una velocita non nulla relativamente al campo,
si osserva l'insorgere di una ulteriore forza (magnetica). La forza inerziale
sarebbe quindi l'analogo gravitazionale della forza magnetica, la cui intensita e pero proporzionale non alla velocita, bens all'accelerazione rispetto
al campo medio originato dalla materia dell'universo.
Nonostante questa analogia sia molto suggestiva, non esiste attualmente
alcuna teoria in grado di includere in maniera soddisfacente e autoconsistente il principio di Mach. Anche la teoria della relativita generale non e
machiana nel senso appena descritto, e lo stesso Einstein, come gia Newton, dovette ammettere, non senza una certa riluttanza, che occorreva partire dall'ipotesi che lo spazio ed il tempo fossero assoluti e quindi dovevano
possedere una loro propria struttura anche in assenza di materia.
Come ha sottolineato Hermann Weyl, lo spazio ed il tempo rappresentano
la forma dell'esistenza del reale, la materia ne e invece la sostanza . Ma
spazio, tempo e materia godono di caratteristiche proprie, ed entrano in
relazione tra loro solo attraverso l'idea composita di movimento. Einstein
ha mostrato pero che queste proprieta non sono sse ed indipendenti: la
struttura metrica dello spazio{tempo viene modicata dalla presenza della
materia, cos come il moto della materia e a sua volta guidato dalla metrica
dello spazio{tempo.
Il Principio di Mach ha avuto comunque il pregio di porre in evidenza
molto chiaramente la stretta correlazione esistente tra le proprieta inerziali
dei corpi e quelle gravitazionali ed inoltre di aver messo sullo stesso piano
le forze apparenti e quelle reali. Quest'ultimo fatto costituisce proprio la
base di partenza del principio generale della relativita: tutti i sistemi
di riferimento sono equivalenti nei confronti della formulazione delle leggi
fondamentali della natura .
4
Principio di Equivalenza
1.2 { Principio di Equivalenza
Le misure eettuate da Eotvos nel 1912 e ripetute con maggior precisione
da Dicke nel 1964 e da Braginskii nel 1971, hanno evidenziato l'esistenza di
una perfetta proporzionalita tra la massa inerziale e la massa gravitazionale, con un errore relativo inferiore a 10 12 . Questo importante risultato,
la cui validita viene estesa a tutte le regioni dell'universo e ad ogni istante,
e contenuto nel seguente Principio di unicita della caduta liberay :
Due corpi situati nello stesso punto di un campo gravitazionale cadono esattamente con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro struttura
interna e composizione .
La principale conseguenza di questa aermazione e che per ogni punto
dello spazio{tempo passa una ed una sola linea universo di corpi di prova z
(particelle libere). Einstein intu che l'eguaglianza tra la massa inerziale e
quella gravitazionale non poteva essere frutto di una semplice coincidenza,
bens essa doveva scaturire da una proprieta universale del mondo sico,
e, come tale, doveva essere contenuta in maniera implicita in una teoria
unitaria della meccanica.
Supponiamo che un osservatore si trovi all'interno di un laboratorio in caduta libera in un campo gravitazionale. Eseguendo misure cinematiche su
diverse particelle di prova, egli osserva che queste descrivono traiettorie rettilinee con velocita uniforme, come se il laboratorio fosse inerziale . Cioe tutti
gli eetti dinamici del campo gravitazionale vengono annullati dal campo di
accelerazione cui e sottoposto il laboratorio, esattamente come scompaiono
le forze centrifughe o di Coriolis quando si passa da un riferimento ruotante
ad uno inerziale. Da questo punto di vista le forze gravitazionali hanno un
comportamento identico a quello delle forze apparenti nei sistemi accelerati.
In realta il paragone e valido solo localmente . Infatti, mentre con
un'opportuna trasformazione del sistema di riferimento e sempre possibile
annullare ovunque e contemporaneamente le forze apparenti \proprie", cio
non e piu vero nel caso delle forze gravitazionali. Infatti lo sperimentatore
in caduta libera e eettivamente in grado di distinguere la vera natura delle
y Viene chiamato alle volte anche Principio di Equivalenza debole , per distinguerlo dal
Principio di Equivalenza forte (v. piu avanti).
z
Per corpo di prova si intende una particella priva di struttura interna e non soggetta
forze che non siano, al piu, di natura gravitazionale.
Principio di Equivalenza
5
forze se esegue una serie di misure contemporanee su piu corpi di prova
distanti tra loro, oppure se prolunga l'osservazione per un tempo suÆcientemente lungo. In entrambi i casi egli osserva una graduale deviazione delle
traiettorie dal moto uniforme, e questa deviazione e tanto piu accentuata
quanto maggiore e la distanza delle particelle.
Figura 1.1
a) Un osservatore in caduta libera sperimenta localmente gli stessi eetti di
un osservatore inerziale posto lontano da corpi gravitanti. Analogamente, un osservatore
non riesce a distinguere localmente un campo gravitazionale da un campo di accelerazione
(gura b).
L'analogia tra campi gravitazionali e campi di accelerazione viene evidenziata esaminando anche la situazione opposta in cui il laboratorio e immobile in un campo gravitazionale: gli eetti cinematici sulle particelle di
prova sono localmente indistinguibili da quelli osservati in un riferimento
accelerato in assenza di gravita (Figura 1.1ab).
Sorge ora naturale la domanda se l'impossibilita da parte dell'osservatore
di discriminare i due campi gravitazionale ed articiale sia circoscritta ai
soli esperimenti di meccanica, oppure se egli sia in grado di distinguerli
ricorrendo, per esempio, ad esperimenti di elettromagnetismo. In realta,
tutte le osservazioni sperimentali condotte nora concordano verso una assoluta equivalenza tra i sistemi in caduta libera e quelli inerziali. Fu proprio
partendo da questa constatazione che Einstein formulo la teoria della relativita generale trattando la gravita non come un campo di forza reale,
ma come eetto della deviazione del sistema di riferimento dalla condizione
di inerzia . Questo fondamentale Principio di Equivalenza forte viene
oggi formulato nel seguente modo:
6
Principio di Equivalenza
In un sistema localmente inerziale, ovunque ed in ogni istante, tutte le leggi
(non gravitazionali) della sica assumono la stessa forma familiare della
relativita speciale .
Cioe i risultati di tutti gli esperimenti locali eseguiti in un sistema in caduta
libera sono indipendenti dal moto. Ad esempio, misure eseguite all'interno
di una navicella in orbita attorno a Giove sono identiche a quelle fatte in
laboratorio orbitante attorno alla Terra, pur essendo molto diverse le velocita e le accelerazioni dei due sistemi. Inoltre, le grandezze siche misurate
localmente in due riferimenti in caduta libera, ma che transitano nello stesso
punto con dierente velocita, trasformano secondo le relazioni di Lorentz,
esattamente come accade in relativita speciale. Di conseguenza, non solo
le particelle si muovono lungo percorsi (localmente) rettilinei, ma anche le
equazioni di Maxwell possono essere scritte nella formay
@F ij
= 4 J i ; @Fij + @Fjk + @Fki = 0 ;
(1:2: 1)
@xj
c
@xk
@xi
@xj
e le equazioni di conservazione dell'energia e della massa
@T ij
@xj
=0
;
@0
@t
+ div (0 v) = 0 ;
(1:2: 2)
e cos via.
In denitiva, la relativita speciale parte dall'idea che in ogni punto
dell'universo sia denibile una classe di sistemi inerziali e che esperimenti
eettuati in riferimenti inerziali dierenti diano risultati che dieriscono
per una trasformazione di Lorentz. Per di piu viene esclusa dalla teoria
la presenza di osservatori accelerati (una diretta estensione della relativita
speciale a sistemi non inerziali provoca infatti una serie di risposte paradossali). Viceversa, il principio di equivalenza della relativita generale parte
dall'idea che i riferimenti privilegiati (rispetto ai quali, cioe, si ottengono
risultati sperimentali eguali tra loro) siano legati ad osservatori in caduta
libera. Nella nuova visuale sono proprio questi riferimenti ad assumere il
ruolo di sistemi inerziali . Come vedremo in seguito, il prezzo da pagare
sara l'impossibilita di estendere la proprieta di \inerzialita" a regioni estese
attorno all'osservatore e, tanto meno all'intero universo.
y Le relazioni tra F e le componenti cartesiane dei campi elettrico e magnetico sono
ij
F
12
=
Bz ; F
23
=
Bx ; F 31
=
By ; F 01
=
Ex ; F 02
=
Ey ; F 03
=
Ez .
Paradosso degli orologi
7
1.3 { Il paradosso degli orologi
Supponiamo che due orologi standard O e O ' siano ssati sulle rispettive
origini di due sistemi di riferimento cartesiani I e I ' aventi gli assi paralleli
ed in moto relativo con velocita v nella direzione dell'asse x . I due orologi
siano sincronizzati in modo che quando O e O ' coincidono, si abbia t =
t0 = 0 . A causa della dilatazione temporale di Lorentz, O ' avanza piu
lentamente rispetto a O :
t0 = t = ;
(1:3: 1)
dove = (1 v2=c2 ) 1=2 . Immaginiamo che dopo un certo tempo t = tP
misurato da O , O ' raggiunga un punto P sull'asse x ; in accordo con la
(1.3. 1), esso segna in quel momento un tempo tP = . Se ora la velocita del
riferimento I ' viene invertita da v a v , l'orologio O ' raggiungera nuovamente O quando quest'ultimo segna un tempo 2tP . Poiche la (1.3. 1)
e indipendente dal segno di v , il tempo indicato da O ' e, in quell'istante,
pari a t0P = 2 tP = . Percio i due orologi, che inizialmente erano sincronizzati, segnano alla ne due tempi diversi! La dierenza tra t e t0 puo
essere direttamente misurata confrontando le letture fatte all'inizio ed alla
ne dell'intero processo quando i due strumenti si trovano esattamente sullo
stesso punto. Questo risultato, apparentemente paradossale, ha provocato
in passato numerose discussioni sull'autoconsistenza della teoria della relativita, non tanto per la dierenza di ritmo temporale che si instaura tra i
due orologi in movimento, quanto per il fatto che viene a cadere l'ipotesi di
relativita del moto tra i due sistemi I e I '. Infatti poiche I e I ' sono
equivalenti, si puo pensare che anche O subisca un'analogo ritardo rispetto
all'orologio fermo in I '. A questo scopo basta ripetere l'intera considerazione ssando l'attenzione sul sistema I ' e supponendo che I si muova
prima con velocita v e poi con velocita v . Si arriva cos alla conclusione
che ora deve essere O in ritardo rispetto a O ', in contraddizione con quanto
si era trovato prima.
In realta l'origine del paradosso sta proprio nell'aver considerato i sistemi
I e I ' perfettamente equivalenti, ed entrambi inerziali, per l'intera durata
dell'esperimento. Ma sappiamo che, per poter ritornare nello stesso punto,
almeno uno dei due sistemi deve necessariamente invertire la direzione del
moto, cessando per un certo tempo di essere inerziale: evidentemente il
ruolo svolto dai due riferimenti non puo essere scambiato!
8
Paradosso di Schi{Oppenheimer
Se da un lato la mancanza di simmetria tra I e I ' puo rendere ragione
dell'oggettivo ritardo di uno dei due orologi rispetto all'altro, e altres evidente l'insuÆcienza della teoria della relativita speciale nell'interpretare
quei fenomeni sici in cui intervengono sistemi accelerati. In particolare rimane indeterminato l'eettivo ritardo dell'orologio accelerato nei confronti
dell'orologio inerziale quando esso descrive, ad esempio, una orbita circolare,
o traiettorie ancora piu complesse.
1.4 { Il paradosso di Schi{Oppenheimer y
In assenza di materiali conduttori, dielettrici o magnetici, le equazioni di
Maxwell sono:
divH = 0
rotE + 1c @@tH = 0
(1:4: 1a)
1 j;
divE = e
rotH 1c @@tE = 4c
(1:4: 1b)
dove e e la densita di carica, j = e v e la densita di corrente e v la velocita
delle cariche nel riferimento inerziale I . Come e noto le (1.4. 1a) e (1.4. 1b)
sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz: in particolare in un
sistema di riferimento I ' in moto con velocita v relativamente ad I , i
campi elettrici e magnetici trasformano nel seguente modo:
(v E) v 1 1
1 + vH
(1:4: 2)
E0 = E +
H0
=
v2
(v H) v 1
H+
v2
c1
1 cv E
;
(1:4: 3)
dove e il fattore di Lorentz. Le trasformazioni inverse sono analoghe alle
(1.4. 2) e (1.4. 3) con gli apici scambiati e con {v in luogo di v.
Consideriamo ora due sfere concentriche, rispettivamente di raggi R1
e R2 > R1 , elettrizzate con carica j q j eguale ed opposta, uniformemente
distribuita sulle rispettive superci (Figura 1.2). Quando le sfere sono ferme,
il campo elettrico e magnetico esterni al sistema sono evidentemente nulli.
Se le due sfere sono poste in rotazione uniforme attorno all'asse z passante
per
R il loro centro, il campo elettrico e ancora nullo poiche la carica totale
e dV = 0 e invariante. Al contrario il campo magnetico non e nullo
y Proc. Nat.Ac.Sci.
25, 301, 1934
9
Paradosso di Schi{Oppenheimer
essendo il momento magnetico di ciascuna sfera proporzionale al quadrato
del raggio. Il momento totale e quindi
M = !3jqj (R22 R12 ) :
In particolare, il campo magnetico in un punto del piano equatoriale distante
r R2 dal centro delle sfere e
M
Hz =
4r3 ; Hx = Hy = 0 :
Supponiamo ora che un osservatore O ' sia situato su un punto dell'asse x0
di un riferimento cartesiano ruotante, centrato sulle sfere, e che percorra
un'orbita circolare di raggio r , con velocita angolare ! . Le trasformazioni (1.4. 2) e (1.4. 3) forniscono le nuove componenti del campo elettrico e
magnetico:
8
!rHz =c
>
>
< Ex0 = p1 !2 r2 =c2
>
> Hz0 = p Hz
:
2 2 2
0
0
1
! r =c
;
Ey0
;
Hx0
0
0
= Ez0 = 0
0
= Hy0 = 0
0
Cioe O ' rivela la presenza di campi elettromagnetici non nulli, nonostante
che, in questo riferimento, le sfere siano in quiete!
Figura 1.2
Paradosso di Schi{Oppenheimer.
Allo stesso risultato paradossale si arriva supponendo che le sfere siano ferme
rispetto a O : le trasformazioni (1.4. 2) e (1.4. 3) mostrano che i campi
elettrici e magnetici sono nulli rispetto all'osservatore ruotante, pur essendo
diverso da zero il corrispondente momento magnetico.
10
Covarianza ...
Ancora una volta, il paradosso trae origine dal fatto di aver implicitamente
esteso la validita delle equazioni di Maxwell a tutti i riferimenti, inclusi quelli
non inerziali: ma esattamente come le equazioni classiche che descrivono il
moto di una particella materiale in un sistema accelerato contengono degli
extratermini dovuti alle forze apparenti, nel caso dell'elettromagnetismo,
e necessario aggiungere alle equazioni (1.4. 1) alcuni termini di carica e di
corrente apparenti , opportunamente legati all'accelerazione del sistema di
riferimento.
1.5 { Covarianza delle leggi naturali
Dagli esempi fatti nei due precedenti paragra risulta evidente l'opportunita
di scrivere le equazioni della sica in una forma tale che possano essere applicate indierentemente sia in riferimenti inerziali sia in quelli accelerati.
In uno spazio{tempo a quattro dimensioni, il passaggio da un sistema cartesiano inerziale ad uno accelerato puo essere fatto operando una trasformazione dalle coordinate cartesiane X 0 = cT; X 1 = X; X 2 = Y ; X 3 = Z ,
alle coordinate generiche xi = f i (X k ) , dove f i sono delle funzioni di
classe C 1 per il momento arbitrarie (si veda pero il x1.9). L'arbitrarieta
della forma delle nuove coordinate viene fatta per avere una maggiore generalita poiche, spesso, un problema che presenta particolari simmetrie diventa matematicamente piu semplice qualora vengano introdotte opportune
coordinate (polari, cilindriche, ecc). Anche alcune proprieta topologiche
dello spazio{tempo vengono studiate piu facilmente usando adeguate trasformazioni. La richiesta di coordinate generali puo complicare fortemente
l'aspetto matematico del problema, ma questa iniziale complessita viene
fortemente ridotta se le equazioni fondamentali vengono scritte in modo da
mantenere inalterata la loro forma quando si passa da un riferimento ad
un'altro. Cio porta direttamente al concetto di covarianza delle leggi della
natura.
Siano A; B; ... variabili di campo di un certo problema, cioe grandezze
sicamente misurabili con opportuni apparati sperimentali e i cui valori
dipendono dalle coordinate xi di un certo sistema di riferimento S . Una
legge sica sara esprimibile da una o piu equazioni del tipo:
2
@A @B
@ A
(A; B; : : : ; @x
i ; @xi ; : : : ; @xi @xj ; : : :) = 0 ;
(1:5: 1)
11
Covarianza ...
dove e una funzione di A; B; : : : ed eventualmente delle loro derivate
prime, seconde, ecc. Mediante le stesse tecniche di misura, ma usando
un dierente sistema di riferimento e dierenti coordinate, un altro osservatore trovera valori A0 ; B 0 ; : : : ; @A0 =@x0 ; : : : diversi da A; B; : : : . Ad esempio
0
A0 (xi ) sara una funzione diversa da A(xi ) in quanto le variabili di campo
generalmente non sono invarianti di forma. Se pero la legge sica contenuta
in (1.5. 1) e espressa in S ' da una equazione:
0
0
2
0
@ A
@A @B
0 (A0 ; B 0 ; : : : ; @x
0 i ; @x0 i ; : : : ; @x0 i @x0 j ; : : :) = 0 ;
(1:5: 2)
in cui 0 e la stessa funzione delle variabili A0 ; B 0 ; : : : della funzione
(A; B; : : :) nelle variabili A; B; : : : , si dice allora che la (1.5. 1) e la (1.5. 2)
sono espresse in forma covariante.
La scelta di scrivere una categoria di leggi della sica in forma covariante
richiede naturalmente l'introduzione di un opportuno algoritmo matematico, che puo anche cambiare quando, eventualmente, si passa da un contesto teorico ad un'altro. Ad esempio, la meccanica quantistica e piu eÆcacemente descritta mediante il calcolo spinoriale, mentre la relativita generale
trova nei tensori e nelle proprieta di trasformazione delle loro componenti,
lo strumento piu naturale per includere la covarianza delle leggi.
Storicamente, il calcolo tensoriale e stato introdotto dapprima in meccanica classica come formalismo matematico utile per studiare le proprieta
elastiche dei mezzi continui, ed e stato successivamente applicato alla teoria
dell'elettromagnetismo. Ha avuto poi notevoli sviluppi formali soprattutto
in relazione allo studio geometrico delle superci gaussiane. Il calcolo usato
in relativita generale non dierisce sostanzialmente da quello classico se
non per due aspetti, per altro molto importanti: 1) la descrizione geometrica viene fatta in un contesto spazio{temporale a quattro dimensioni; 2) la
distanza tra due punti innitamente vicini, che nella geometria ordinaria e
data da una forma quadratica ds2 denita positiva, diventa ora una forma
quadratica non denita , nelle quattro coordinate xi .
Si tenga presente che la richiesta di covarianza non contiene in se alcun
elemento sicamente rilevante poiche, a priori, e sempre possibile scrivere
una legge in una forma tale da soddisfare questo requisitoy. Essa esprime
y S. Weinberg,Gravitation and Cosmology , John Wiley & Sons, cap. 4, 1972
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Sistemi accelerati
piuttosto un principio di economia, in quanto una legge covariante puo essere
studiata senza la necessita di dover precisare non solo lo stato di moto del
riferimento ma anche il sistema di coordinate usate per localizzare gli eventi.
Nel contesto della relativita generale, il fatto sicamente piu rilevante riguardante la covarianza e proprio l'introduzione del Principio di Equivalenza,
discusso nel x1.2. Cio comporta che la richiesta di covarianza debba essere
estesa a tutti i riferimenti, inclusi quelli accelerati rispetto agli osservatori
inerziali. Essa inoltre deve coinvolgere tutte le leggi siche fondamentali, ad
eccezione delle leggi gravitazionali . Si aerma, inne, che rispetto agli osservatori in caduta libera queste leggi debbano assumere la medesima forma
che hanno in relativita ristretta. Occorre sottolineare che il nodo centrale di
queste aermazioni consiste proprio nell'aver escluso la gravita dalle interazioni primarie tra i corpi materiali. Il Principio di Covarianza Generale
va interpretato dunque come una forma alternativa del Principio di Equivalenza, nel senso che nelle equazioni (1.5. 1) e (1.5. 2) il campo gravitazionale
deve s comparire, ma non esplicitamente come variabile di campo, bens
come ingrediente matematico , alla stessa stregua in cui appaiono i termini
legati alle trasformazioni delle coordinate.
1.6 { Sistemi accelerati
E noto dalla relativita speciale che, mediante l'invio di opportuni segnali
luminosi, un osservatore inerziale O e in grado di sincronizzare il proprio
orologio con gli orologi situati in tutti i punti dell'universo in quiete rispetto
ad esso. Inoltre il ritmo di un orologio fermo in un evento generico P
di un sistema di riferimento I puo essere confrontato con quello di un
orologio solidale in un riferimento I ', in moto uniforme rispetto ad I , e
la cui posizione coincide in quel momento con P . Analogamente e sempre
possibile confrontare tra loro le lunghezze di regoli standard trasportati
rigidamente da due riferimenti I ed I '.
In relativita generale la creazione di una rete di segnali in grado di sincronizzare orologi situati in punti diversi di sistemi accelerati non e piu ovvia, e
talvolta e addirittura impossibile stabilire in maniera univoca la separazione
temporale o spaziale tra un osservatore ed un evento che non si trovi in un
intorno spazio{temporale innitesimo dell'osservatore.
E opportuno precisare brevemente le modalita con cui possono essere fatte
le misure locali. Infatti, gli strumenti di misura solidali con un osservatore
Sistemi accelerati
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accelerato sono sottoposti a forze apparenti la cui intensita dipende dalla
violenza con cui viene accelerato il sistema di riferimento. Ci si puo chiedere allora se, e in quale misura, il ritmo degli orologi o la lunghezza dei
regoli standard dipendano dalla accelerazione rispetto agli strumenti ssi in
un riferimento inerziale. In linea di principio si puo ritenere che le misure
possano essere inuenzate in due dierenti modi, uno legato alle proprieta
meccaniche o elettromagnetiche dei materiali, e l'altro, piu sostanziale, legato ad un'eventuale sensibilita dello spazio e del tempo a variazioni di
velicita. Nel primo caso e plausibile pensare che le deformazioni provocate
dalle sollecitazioni cui sono sottoposti gli orologi ed i regoli possano essere
piu o meno facilmente corretti qualora siano note le proprieta elastiche ed
elettriche dei materiali. Viceversa una dipendenza reale dall'accelerazione
delle lunghezze e dei tempi segnati dagli strumenti puo essere evidenziata
solamente per mezzo di una analisi sperimentale. In realta, tutte le osservazioni nora fatte sui corpi accelerati non hanno rivelato alcuna dipendenza
dal movimento, se non quella dovuta alla velocita. Ad esempio, le misure
dei tempi di decadimento di particelle deviate dai campi magnetici negli
acceleratori indicano chiaramente che la vita media dipende solo dalla velocita e non dalla curvatura della traiettoria, ed inoltre queste misure sono in
accordo con quelle calcolate in base alla dilatazione temporale di Lorentz.
In relativita generale si fa allora la seguente ipotesi: un regolo ed un orologio standard a riposo in un sistema accelerato S ha esattamente la stessa
lunghezza e segna esattamente lo stesso tempo di un regolo e un orologio
a riposo in un sistema di riferimento inerziale I che nel momento considerato ha la stessa velocita di S . In altre parole le misure di spazio e di
tempo sono soggette alle sole trasformazioni di Lorentz.
E importante sottolineare il fatto che due osservatori aventi in un certo
punto P dello spazio{tempo la stessa velocita, ma diversa accelerazione,
trasportano orologi e regoli che sono concordi solamente nel punto P , ma
descrivono dierentemente gli eventi sici che avvengono in un intorno nito
dello spazio{tempo. Per di piu essi descrivono in modo dierente tutte
le leggi siche nelle quali sono coinvolte derivate di ordine superiore nelle
coordinate. Ad esempio, i due osservatori misurano il medesimo valore della
velocita di una particella che transita in P , ma valori discordi della sua
accelerazione. I loro risultati sono discordanti anche per quanto riguarda la
velocita delle particelle che passano lontano da P .
