2.1 Numeri naturali, interi relativi, razionali
Definizione
L’insieme N = {0, 1, 2, 3, . . . } costituito dallo 0 e dai numeri interi positivi è
l’insieme dei numeri naturali.
Se a, b 2 N, allora
mentre non è detto che a
a+b 2N
b sia un numero naturale.
Problema
Equazioni del tipo a + x = b possono non avere soluzioni in N.
Esempio
Non esistono numeri naturali x 2 N tali che
3+x =2
Definizione
L’insieme Z = {. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . } è l’insieme dei numeri interi
relativi.
Osservazione
Ogni numero naturale è anche un numero intero relativo, pertanto
N⇢Z
Se a, b 2 Z allora
Non è detto invece che
a + b, a
a
b
b, ab 2 Z
(b 6= 0) sia un intero relativo.
Problema
Una equazione del tipo bx = a con b 6= 0 può non avere soluzioni in Z.
Esempio
Non esistono interi relativi x 2 Z tali che 3x = 5.
Definizione
Un numero razionale, ovvero una frazione, è il rapporto mn tra due numeri
interi relativi m e n 6= 0. L’insieme dei numeri razionali viene denotato con
Q={
m
|m 2 Z, n 2 N, n 6= 0}
n
Osservazione
Ogni numero intero può essere riguardato come numero razionale, infatti per
ogni m 2 Z si ha
m
m=
1
Dunque N ⇢ Z ⇢ Q.
3 / 27
Vi è una corrispondenza biunivoca tra i numeri razionali ed i numeri decimali
periodici
m
! a, c1 c2 . . . ct ct+1 . . . ck
n
(dove se k
t = 1 e ct+1 = 9 allora a, c1 c2 . . . ct 9 = a, c1 c2 . . . (ct + 1)).
Pertanto i numeri razionali possono essere identificati con i numeri decimali
periodici.
Il numero decimale periodico a, c1 c2 . . . ct ct+1 . . . ck viene identificato con la
frazione:
di numeratore ac1 c2 . . . ck
ac1 c2 . . . ct ,
denominatore il numero intero le cui cifre sono tanti 9 quante sono le
cifre del periodo e tanti 0 quante sono quelle dell’antiperiodo.
Tale frazione è detta frazione generatrice del numero decimale periodico
considerato.
Esempi
La frazione generatricie del numero decimale periodico
3, 7
è
quella di
è
370 37
333
37
=
=
90
90
10
5, 241
5241 + 52
=
990
5189
990
2.2 Numeri reali e proprietà
Teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa coincide
con la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Pertanto, se si considera un quadrato di lato 1, la lunghezza x della
diagonale deve soddisfare l’uguaglianza
x 2 = 12 + 12 = 2
quindi
x=
p
2
Tale numero non è razionale.
La misura della diagonale di un quadrato di lato unitario non è esprimibile
mediante un numero razionale
Per dimostrarlo supponiamo, "per assurdo", che
p
2=
p
2 sia razionale ovvero che
m
con 0 6= n, m 2 N
n
Possiamo assumere che la frazione mn sia "ridotta ai minimi termini", cioè che
m e n non abbiano divisori comuni, in particolare m ed n non possono essere
entrambi pari. Da
p
m
2=
n
segue che
⇣ m ⌘2
m2
2=
= 2
n
n
da cui
m2 = 2n2
Allora m2 è un multiplo di 2, cioè m2 è pari e questo comporta che m è pari.
Quindi
e
m = 2t con t 2 N
2n2 = m2 = 4t 2
da cui, dividendo per 2, si ottiene
n2 = 2t 2
cioè,
n2 è pari
e quindi n è pari. Dunque m ed n sono entrambi pari, una contraddizione.
Il fatto che la diagonale del quadrato unitario non sia un numero razionale
comporta che i numeri razionali non sono sufficienti per misurare, ad
esempio, tutti gli enti geometrici.
È dunque necessario ampliare ulteriormente l’insieme dei numeri razionali
introducendo i numeri reali.
Definizione
Un numero decimale qualunque, che abbia quindi una espressione decimale
anche infinita e non periodica, è un numero reale.
Un numero reale che non sia razionale, ovvero che abbia una espressione
decimale illimitata e aperiodica, è detto irrazionale.
L’insieme dei numeri reali si indica con R.
Osservazione
Dalla definizione discende subito che N ⇢ Z ⇢ Q ⇢ R
Esempi
Il numero reale
p
2 è irrazionale,
un’altro importante esempio di numero irrazionale si ottiene considerando il
rapporto tra la lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro.
Tale rapporto, che non dipende dalla particolare circonferenza considerata, si
denota con ⇡.
Nell’insieme R dei numeri reali sono definite addizione e moltiplicazione;
ricordiamone le proprietà.
Addizione
Proprietà associativa: per ogni a, b, c 2 R si ha a + (b + c) = (a + b) + c
Proprietà commutativa: per ogni a, b 2 R si ha a + b = b + a
Esistenza dell’elemento neutro: per ogni a 2 R si ha a + 0 = a
Esistenza dell’opposto: per ogni a 2 R si può considerare
a+a=0
a2Re
Moltiplicazione
Proprietà associativa: per ogni a, b, c 2 R si ha a(bc) = (ab)c
Proprietà commutativa: per ogni a, b 2 R si ha ab = ba
Esistenza dell’elemento neutro: per ogni a 2 R si ha a1 = a
Esistenza del reciproco (inverso): per ogni a 2 R, a 6= 0 si può
considerare a1 2 R e a · a1 = 1
Proprietà distributiva
Considerati comunque i numeri reali a, b, c 2 R, si ha che
a(b + c) = ab + ac
Osservazione
L’insieme dei numeri reali è "totalmente ordinato", e cioè dati a, b 2 R tali
numeri possono sempre essere confrontati rispetto ad una relazione d’ordine.
Possiamo sempre dire, cioè, che
a b oppure b a
Diremo poi che a è strettamente minore di b se a b e a 6= b.
Le operazioni tra numeri reali e la relazione d’ordine sono legate come
segue:
Se a b, allora a + c b + c per ogni c 2 R
se a b, allora ac bc per ogni c
particolare b a.
0 e bc ac per ogni c 0; in
Siano ora a, b 2 R, a 6= 0 e b 6= 0, tali che a b; che relazione c’è tra i
reciproci a1 e b1 ?
1
1
b
Sia 0 < a b; allora
precedente, che
> 0 e questo comporta, per l’osservazione
a
1
b
da cui, moltiplicando per
1
a
> 0, segue che
1
1
b
a
2
Sia a b < 0; allora moltiplicando per
a
b
e, moltiplicando per
1
a
1
b
< 0, si ha che
1
< 0, si ha
1
1
b
a
3
Se a < 0 < b, allora
1
a
< 0,
1
b
> 0, pertanto
1
a
< b1 .
2.3 Potenze di un numero reale
Vogliamo adesso definire le potenze di un numero reale positivo ad
esponente razionale dare cioè significato alla notazione
ar per ogni a 2 R, a > 0 e per ogni r 2 Q
Procediamo per gradi
Definizione
Se a 2 R e 0 6= n 2 N, denotiamo con an il prodotto di a per sè stesso n volte.
Poniamo cioè an = a · · ·n volte · · · a
Per la proprietà associativa della moltiplicazione, per ogni a 2 R e per ogni
n, m 2 N \ {0} si ha
an · am = (a · · ·n volte · · · a) · (a · · ·m volte · · · a) = a · · ·n+m volte · · · a = an+m
Siano ora a 6= 0 e n, m 2 N \ {0} con n 6= m; allora
an
= an
am
an
1
= m
m
a
a
m
n
se n > m,
se n < m
Introduciamo dunque le potenze ad esponente intero negativo.
Definizione
Se a 2 R e 0 6= n 2 N, poniamo
a
Dunque
e così
an
am
1
am
= an
m
n
=a
n
=
1
an
(m n)
= an
m
per ogni a 2 R \ {0} e per ogni n, m 2 N \ {0} con n 6= m.
Osservazione
n
Se n = m, allora aan = 1, pertanto ponendo, per convenzione, a0 = 1, avremo
che
an
= an m è valida per ogni a 2 R \ {0}, n, m 2 N
am
Notiamo in oltre che, in questo modo, ha un significato la notazione az per
ogni a 2 R \ {0} e per ogni z 2 Z.
Definizione
Siano a 2 R \ {0} e z 2 Z, allora
8
<
az =
: 1
a z =
Notiamo che
a · · ·zvolte · · · a se z > 0
1 se z = 0
1
1
·
·
·
·
·
·
zvolte
a
a se z < 0
(an )2 = an · an = an+n = a2n
(an )3 = a3n in generale (an )m = anm per ogni m 2 N
Considerati a 2 R, a > 0 e
p
q
p
q
2 Q, vogliamo attribuire un significato alla
notazione a in modo che le proprietà
1
2
an · am = an+m per ogni n, m 2 Z
(an )m = anm per ogni n, m 2 Z
continuino a sussistere anche se gli esponenti sono numeri razionali.
Supponiamo dunque, in primo luogo, che p = 1 e q > 0; poichè deve valere
la seconda proprietà, deve aversi
1
q
(a q )q = a q = a1 = a
Si da dunque la seguente
Definizione
1
Se a 2 R, a > 0 e 0 6= q 2 N, allora a q è, per definizione, l’unica radice reale
q-esima positiva del numero reale a, ossia l’unico numero reale positivo b
tale che
bq = a
.
Si pone poi
p
1
a q = (a q )p per ogni p 2 Z
Osserviamo che
a
p
q
=
1
p
aq
2.4 La notazione scientifica
Definizione
Per ogni x 2 R, x > 0; esistono un numero reale 1 a < 10 ed un numero
intero b 2 Z tali che
x = a · 10b
Una tale scrittura è detta notazione scientifica di x. Il numero reale a è detto
mantissa ed in numero intero b esponente di x.
Proviamo che ogni numero reale positivo può essere espresso in notazione
scientifica.
Sia x 2 R, x 0, allora x è un numero decimale cioè
x = c1 c2 . . . ct , ↵1 ↵2 . . . ↵n . . .
c1 c2 . . . ct è la parte intera, t
↵1 . . . ↵n . . . sono infinite.
Ricordiamo che
1, c1 , . . . , ct 2 {0, 1, . . . , 9}; le cifre decimali
x · 10 = c1 c2 . . . ct ↵1 , ↵2 . . . ↵n . . .
x
= x · 10
10
Se 1 x < 10, allora
1
= c1 c2 . . . ct
1 , ct ↵1 ↵2
x = a · 10k
. . . ↵n . . .
con a = x e k = 0, cioè x stesso è la mantissa e 0 è l’esponente di x.
Ad esempio 3, 7 ha mantissa 3, 7 ed esponente 0
Occorre dunque esaminare due casi e precisamente 0 < x < 1 e x
Se x 10, allora
x = c1 c2 . . . ct , ↵1 ↵2 . . . ↵n . . .
con t
10.
2 e c1 6= 0 ovvero c1 2 {1, 2, . . . , 9}. Dunque
1
e, posto a =
esponente t
x
10t
1
1.
x
10t
1
= c1 , c2 . . . ct ↵1 ↵2 . . . ↵n · · · < 10
, si ha che x = a · 10t
1
per cui x ha mantissa a ed
Ad esempio se consideriamo 3724, 12, si ha che le cifre della parte intera
sono t = 4 quindi
3724, 12 = 3, 72412 · 103
Dunque 3724, 12 ha mantissa
3724, 12
= 3, 72412
10t 1
ed esponente t
1=3
Sia 0 < x < 1; allora
x = 0, ↵1 ↵2 . . . ↵n . . .
e, poichè x 6= 0, le cifre decimali non sono tutte nulle.
Sia ↵n la "prima" cifra decimale non nulla (supponiamo cioè che x abbia n
cifre uguali a 0 dopo la virgola), allora
x · 10n = ↵n , ↵n+1 . . .
con ↵n 2 {1, . . . , 9}. Dunque x = x · 10n · 10
a = x · 10n ed esponente n.
n
= a · 10
n
e x avrà mantissa
Ad esempio consideriamo 0, 000982, la prima cifra decimale non nulla è la
quarta, allora
0, 000982 = 9, 82 · 10 4
Dunque la mantissa è 0, 000982 · 104 = 9, 82 e l’esponente è
4.
1
Un numero reale positivo x ha quindi esponente negativo se 0 < x < 1 ed ha
esponente maggiore uguale a zero se x 1.
Esempi
3724 = 3, 724 · 103
0, 00782 = 7, 82 · 10
3
7824, 372 = 7, 824372 · 103
Scrivere un numero reale in notazione scientifica consente di semplificare i
calcoli evitando errori.
Inoltre la notazione scientifica permette di confrontare facilmente due
grandezze.
Definizione
Due numeri reali (positivi) hanno lo stesso "ordine di grandezza" se, in
notazione scientifica, hanno lo stesso esponente.
2.5 La retta reale. Riferimenti cartesiani del piano
Un modo molto efficace per visualizzare i numeri reali, consiste nel
rappresentarli come punti di una retta ovvero nel far corrispondere ad ogni
punto di una retta un numero reale e viceversa.
Definire una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti di una retta
equivale alla costruzione di una scala di misura.
I passi sono i seguenti:
1
Scelta dell’origine cioè di un punto della retta a cui si fa corrispondere il
numero reale 0.
2
Scelta di un’unità di misura ossia di un punto P cui si fa corrispondere il
numero reale 1. Il segmento OP verrà utilizzato come unità di misura. In
questa scelta è implicita la scelta dell’orientazione.
3
Considerato un numero reale x 2 R \ {0}, se x è positivo, ad esso si fa
corrispondere il punto della retta a destra di O avente distanza x da O;
se invece x è negativo gli si fa corrispondere il punto della retta a sinistra
di O avente da O distanza x.
Osservazione
Si definisce valore assoluto di un numero reale x 2 R, il numero reale non
negativo |x| := x se x 0, se invece x < 0 si pone |x| := x.
L’identificazione tra numeri reali e punti di una retta ci consente di dare un
significato geometrico al concetto di valore assoluto.
Infatti |x| non è altro che la distanza di x dall’origine ossia la misura del
segmento che congiunge x ad O.
Così come i numeri reali vengono identificati con i punti di una retta, le coppie
di numeri reali, e quindi gli elementi del prodotto cartesiano R ⇥ R = R2 ,
possono essere identificati con i punti di un piano.
Si ottiene una corrispondenza biunivoca come segue.
1
Il primo passo consiste nella scelta dell’origine ossia di un punto O del
piano che verrà identificato con la coppia (0, 0).
2
Si sceglie una retta r1 passante per il punto O e si definisce una
corrispondenza biunivoca tra i punti di tale retta ed i numeri reali che a O
associ 0. Tale retta sarà quella delle ascisse.
3
Si considera l’asse delle ordinate ovvero la retta r2 per O perpendicolare
ad r1 e anche i punti di tale retta vengono posti in corrispondenza
biunivoca con i numeri reali facendo corrispondere 0 al punto O.
4
Ad ogni coppia (x, y ) 2 R2 si associa il punto P del piano intersezione
della retta passante per il punto di r1 associato ad x parallela a r2 con la
retta passante per il punto di r2 associato a y parallela ad r1 . I numeri x
e y sono le cordinate del punto P; x è l’ascissa e y è l’ordinata.
In questo modo viene definito un riferimento cartesiano ortogonale del piano
che vien detto monometrico se sull’asse delle ascisse e su quello delle
ordinate viene scelta la stessa unità di misura.
