Mathesis Roma Febbraio 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Misura della velocità della luce con una bilancia
(Olimpiadi della Fisica 1998)
Obiettivi
Schematizzare un circuito con generatore, condensatori e induttanze
Utilizzare la relazione tra carica e corrente
Determinare la forza elettrica tra le armature di un condensatore
Determinare l’interazione magnetica tra due correnti
Riconoscere la validità di alcune approssimazioni
Il dispositivo in figura può essere adoperato per
determinare la velocità delle onde elettroma-gnetiche nel
vuoto, dedotta dalle equazioni di Maxwell. Esso è
composto da una leva ai cui bracci sono posti la piastra
superiore del condensatore C1 e dall’altra una spira
circolare in cuoi può scorrere corrente. I condensatori,
caricandosi e scaricandosi, consentono il passaggio di
corrente nel circuito.
In assenza di tensione elettrica la leva è in equilibrio. Al
circuito (resistenze trascurabili) viene applicata una
tensione sinusoidale a bassa frequenza … V(t)=V0 sen ωt. Si regolano la C2 e le distanze relative fra i piatti di
C1 e tra le spire in modo che la forza elettrostatica fra le armature e quella magnetica fra le spire siano
equilibrate. In queste condizioni, si può determinare la velocità della luce in funzione dei parametri
geometrici del sistema a,b, h, delle capacità C1 e C2 e della pulsazione ω della tensione applicata.
Si può assumere ε=ε0 e μ=μ0 .
a) Dopo aver disegnato il circuito equivalente, assumendo che anche i termini induttivi siano
trascurabili, calcola la corrente che scorre nelle spire .
b)Calcola la forza con cui si attirano le armature del condensatore C1 carico con la carica Q, nell’ipotesi
che sia s<<a.
c) Calcola la forza con cui si attirano le spire, nell’ipotesi che il raggio sia assai maggiore della distanza
tra le spire.
d) Determina la velocità c delle onde elettromagnetiche in funzione dei parametri geometrici a, b,
h, delle capacità C1 e C2 e della pulsazione angolare ω, assumendo che, a causa dell’inerzia del
sistema, si possono considerare le medie temporali delle forze elettriche e magnetiche.
Mathesis Roma Febbraio 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Soluzione
a) Nell’immagine del testo si riconosce un circuito a due maglie, come schematizzato nella
figura seguente
Infatti:
la prima maglia è costituita dal filo che parte dal generatore e incontra l’armatura superiore del
condensatore C1, mentre l’armatura inferiore è collegata con l’armatura inferiore di C2.
La seconda maglia è costituita da un filo che parte dal generatore, collega in serie le due induttanze
e l’armatura superiore di C2, mentre l’armatura inferiore è collegata all’altro polo del generatore
Se si trascurano le induttanze, restano due condensatori collegati tra loro in parallelo
Se il generatore fornisce una tensione alternata
stessa che carica e scarica alternativamente il condensatore C2.
Se
la corrente che attraversa le spire è la
, l’intensità di corrente è
b) Quando il condensatore C1 è carico con la carica Q, tra le due piastre esiste un campo elettrico
uniforme ( essendo s<<a si possono trascurare gli effetti di bordo).
Il campo elettrico ha intensità
(
dove
è la densità di carica su ciascuna piastra
.
E corrisponde al doppio dell’ intensità del campo generato da ciascuna piastra
Ciascuna armatura è immersa nel campo generato dall’altra, quindi le due armature si attraggono con una
forza di intensità F uguale a
Mathesis Roma Febbraio 2016
Se Q =
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
si ottiene
c)
Le due spire attraversate da corrente sono equivalenti a due lamine magnetiche e le polarità
tra loro affacciate sono discordi, pertanto anche le spire, come le due piastre del condensatore,
tendono ad attrarsi.
Per determinare la forza di attrazione osserviamo che, essendo b<<h, possiamo fare
riferimento alla formula
che determina la forza di attrazione tra due fili rettilinei , percorsi da correnti concordi
dove
Pertanto
d) Nelle condizioni di equilibrio risulta
Il testo suggerisce di utilizzare i valori medi delle due forze ovvero di sostituire i termini
con
Essendo con
e
=
rispettivamente, essendo T
= troviamo
Il termine
che ha le dimensioni di una lunghezza per il reciproco di un tempo, è proprio la velocità della
luce
(velocità delle onde elettromagnetiche)
