Ottica geometrica
Studio dei fenomeni dell’ottica che possono
essere spiegati con semplici regole geometriche
La riflessione
1.
iˆ
r̂
2.
Leggi della riflessione
Raggio incidente, raggio
riflesso e normale
(perpendicolare) allo
specchio nel punto di
incidenza giacciono sullo
stesso piano
Angolo di incidenza iˆ
e angolo di riflessione r̂
sono uguali tra loro.
iˆ = rˆ
Immagine formata da uno
specchio
S
p
iˆ r̂
1.
2.
q
I
Immagine speculare
Lo specchio riflette i raggi
luminosi uscenti dalla sorgente S
I raggi escono dallo specchio
lungo delle direzioni che si
intersecano nel punto I
Quindi i raggi escono come se
fossero partiti dal punto I
I è la immagine speculare di S
I si trova lungo la perpendicolare
inviata da S verso lo specchio
I si trova a una distanza q dallo
specchio identica alla distanza p
di S dallo specchio
Immagine virtuale
S
p
iˆ r̂
q
I
L’immagine virtuale è
individuata dalla intersezione
dei prolungamenti dei raggi
uscenti dallo specchio
Quindi i raggi escono dallo
specchio come se fossero partiti
dalla immagine virtuale I
Molti sistemi ottici formano
immagini virtuali (oltre agli
specchi, le lenti degli occhiali, la
lente di ingrandimento, il
microscopio)
Per acquisire una immagine
virtuale occorre un sistema
ottico convergente come gli
occhi o la macchina fotografica
La rifrazione
()
sin iˆ
=n
sin (rˆ )
iˆ
aria
1.
acqua
2.
r̂
Il fenomeno della rifrazione avviene
quando la luce attraversa una superficie
di separazione tra due mezzi trasparenti
nei quali la velocità di propagazione è
diversa (ad esempio aria – acqua)
Leggi della rifrazione
Raggio incidente, raggio rifratto e
normale alla superficie di separazione nel
punto di incidenza giacciono sullo stesso
piano
Il rapporto tra il seno dell’angolo di
incidenza e il seno dell’angolo di rifrazione
è costante. Questo rapporto prende il
nome di indice di rifrazione. Questa legge
è detta legge di Snell
L’indice di rifrazione relativo
α1
sin (α1 ) v1
= = n12
sin (α 2 ) v2
mezzo 1
velocità v1
mezzo 2
α2
velocità v2
v2 < v1
L’indice di rifrazione è legato alla
velocità della luce nei due mezzi
L’indice di rifrazione n12 (detto indice
di rifrazione del secondo mezzo
rispetto al primo) è uguale al
rapporto tra le velocità della luce nei
due mezzi
L’indice di rifrazione n12 è tanto
maggiore quanto minore è la velocità
della luce nel secondo mezzo
I mezzi con minore velocità sono
indicati come mezzi più rifrangenti
L’acqua è più rifrangente dell’aria
Il raggio luminoso che passa dall’aria
all’acqua si avvicina dalla normale
L’indice di rifrazione assoluto
α1
sin (α1 ) c
= =n
sin (α 2 ) v
vuoto
velocità c
mezzo
velocità v
α2
v<c
L’indice di rifrazione assoluto è
l’indice di rifrazione relativo al vuoto
L’indice di rifrazione assoluto è
uguale al rapporto tra la velocità
della luce nel vuoto e la velocità della
luce nel mezzo considerato
La velocità della luce nel vuoto è
circa c = 3*108 m/s
La velocità della luce nel vetro è circa
v = 2*108 m/s
L’indice di rifrazione assoluto del
vetro è
c 3 ⋅108 m / s
n= =
= 1,5
8
v 2 ⋅10 m / s
La rifrazione acqua-aria
sin (α1 ) v1
= = n12
sin (α 2 ) v2
α1
aria
velocità v1
acqua
velocità v2
α2
v2 <v1
Se la luce proviene dal mezzo più
rifrangente (l’acqua) e va verso il
mezzo meno rifrangente (l’aria) il
raggio luminoso si allontana dalla
normale
La formula della legge di rifrazione
(legge di Snell) assume sempre la
stessa forma
La immagine virtuale di un
oggetto sotto l’acqua
I
S
Gli oggetti posti sotto l’acqua
appaiono in posizione diversa
rispetto alla realtà
La intersezione dei
prolungamenti dei raggi
luminosi individua la posizione
della immagine virtuale I
Chi osserva vede i raggi
luminosi uscire dall’acqua
come se fossero partiti dalla
immagine I e non dalla
sorgente S
L’immagine I è spostata e
ravvicinata alla superficie di
separazione acqua-aria.
Non solo rifrazione
La rifrazione è sempre
accompagnata dalla
riflessione
La intensità luminosa del
raggio incidente
(rappresentata nel disegno
dallo spessore) si ripartisce
tra la intensità del raggio
rifratto e del raggio riflesso
All’aumentare dell’angolo di
incidenza diminuisce la
intensità del raggio rifratto e
aumenta la intensità del
raggio riflesso, finché …
S
La riflessione totale
vuoto o aria
α1=90°
α2=lim
Al crescere dell’angolo di
incidenza si arriva ad un
condizione per la quale l’angolo di
rifrazione raggiunge i 90°
La intensità del raggio rifratto si
azzera e la intensità del raggio
riflesso è massima: è la
condizione di riflessione totale
L’angolo di incidenza prende il
nome di angolo limite
Il valore dell’angolo limite si
ricava dalla legge della rifrazione
sin (90°)
1
=
=n
sin (lim ) sin (lim )
vetro o acqua
sin (lim ) =
1
1
⇒ lim = arcsin
n
n
Strumenti che sfruttano il fenomeno:
il prisma a riflessione totale
L’indice di rifrazione del vetro è circa 1,5
Calcolando il valore dell’angolo limite si
ottiene:
α=45°
sin (lim ) =
a)
b)
1
1
⇒ lim = arcsin = arcsin(0,666) = 41,81°
n
1,5
Il raggio che incide sulla superficie inclinata
forma un angolo di 45° che è maggiore
dell’angolo limite
Di conseguenza si ha riflessione totale
Ci sono vantaggi rispetto agli specchi
metallizzati:
Non c’è deterioramento
Non c’è sdoppiamento della immagine come
negli specchi tradizionali
Strumenti che sfruttano il fenomeno
della riflessione totale: il binocolo
1.
2.
Un sistema multiplo di
prismi a riflessione totale è
presente all’interno dei
binocoli
I prismi sono inseriti
all’interno della impugnatura
del binocolo
Si ha un doppio effetto:
Si allunga il percorso ottico e
così si ha un ingrandimento
maggiore
L’immagine viene
raddrizzata, senza i prismi
apparirebbe rovesciata come
nel cannocchiale
Strumenti che sfruttano il fenomeno della
riflessione totale: la fibra ottica, endoscopio
La fibra ottica è un sottile in vetro,
poiché è molto sottile è anche
flessibile
Gli endoscopi sono costituiti da un
fascio di migliaia di fibre ottiche
sottilissime
Quando la luce entra nella fibra ottica
colpisce le pareti interne formando
angoli sempre superiori all’angolo
limite, avviene il fenomeno della
riflessione totale
Quindi la fibra ottica funziona come
guida di luce
(Le fibre ottiche sono usate anche
nelle lampade multicolori natalizie …)
Lastra a facce piane e parallele
α1
α '2
α2
α '1
Un raggio che attraversa
una lastra a facce piane
e parallele non viene
deviato nella sua
traiettoria
Il raggio viene spostato
in una direzione parallela
a quella originaria
Gli angoli α2 e α’2 sono
uguali tra loro (angoli
alterni interni …)
Di conseguenza sono
uguali tra loro anche gli
angoli α1 e α’1
Il principio di Fermat
Help!
1
2
3
4
5
Quale percorso farà il
bagnino per andare a salvare
la ragazza che sta
annegando?
Cercherà di ridurre il percorso
in acqua perché la velocità
nel nuoto è inferiore alla
corsa sulla sabbia, quindi
esclude i percorsi 1 2 3
Il percorso ottimale è 4 e non
5 perché il tragitto in acqua è
simile ma il tratto 5 nella
sabbia è molto maggiore
Il bagnino fa un calcolo del
percorso cui corrisponde il
tempo minimo di percorrenza
La rifrazione spiegata con il
principio di Fermat
sin (α1 ) v1
=
sin (α 2 ) v2
x1
A
y1
α1
aria
acqua
y2
α2
x2
B
Il principio di Fermat afferma che: la luce
per andare dal punto A al punto B segue
il percorso a cui corrisponde il tempo
minimo di percorrenza
Occorre calcolare i tempi di percorrenza
nei due mezzi, il tempo dipende dalla
distanza percorsa e dalla velocità
d d
t = t1 + t 2 = 1 + 2 =
v1 v2
x1 + y1
x + y2
+ 2
v1
v2
2
2
2
2
Risolvendo matematicamente il problema
si trova la legge di Snell
Il raggio è più vicino alla normale nel
mezzo dove la velocità della luce è
minore
La lente convergente
S
I
La lente convergente è un
sistema ottico in grado di far
convergere in un punto I raggi
luminosi uscenti da una
sorgente luminosa S
I raggi luminosi che
attraversano la lente seguono
le leggi della rifrazione
Il punto I è detto punto
immagine
L’immagine fornita da una lente
convergente è una immagine
reale, perché i raggi luminosi
uscenti dalla lente convergono
effettivamente nella immagine
La lente vìola il principio di
Fermat?
I raggi luminosi per andare GDO
r1
I
S
r0
punto S al punto I compiono
percorsi differenti.
Il principio di Fermat afferma
che la luce dovrebbe seguire un
unico percorso: quello a cui
corrisponde il tempo minimo di
percorrenza
In realtà tutti i raggi uscenti dal punto S e che convergono nel punto I
impiegano lo stesso tempo. Il principio di Fermat è rispettato
Il raggio r0 fa il percorso geometrico più breve ma attraversa lo spessore
maggiore della lente che è fatta di vetro e nel vetro la luce ha velocità minore
Il raggio r1 fa il percorso geometrico più lungo ma attraversa lo spessore
sottile della lente, in conclusione i tempi di percorrenza di r0 e r1 sono uguali
Elementi geometrici della lente:
l’asse ottico
C1
C2
La lente è individuata geometricamente dalla intersezione di due
sfere
La retta passante per i centri di curvatura delle due sfere è l’asse
ottico principale della lente
Elementi geometrici della lente:
Il centro ottico della lente
O
Il centro ottico è un punto che
ha una caratteristica
particolare: i raggi passanti per
esso non vengono deviati (ma
solo spostati lateralmente)
Se la lente è sottile si può
considerare che il raggio non
venga né deviato né spostato
I raggi passanti per il centro
ottico attraversano la lente
come se fosse una lastra a
facce piane e parallele.
Punti caratteristici della lente: il
fuoco
S
F
f
F
1.
2.
I raggi luminosi che arrivano sulla lente
da direzioni parallele all’asse ottico
convergono in un punto detto fuoco
La distanza tra centro ottico e fuoco è
detta distanza focale ed è indicata con
la lettera f
Se la sorgente luminosa è molto
lontana (si dice è posta all’infinito) i
raggi arrivano sulla lente paralleli tra
loro e convergono tutti nel fuoco
Possiamo formulare due regole
semplici:
I raggi passanti per il centro ottico non
vengono deviati
I raggi paralleli all’asse ottico
convergono nel fuoco
Il potere diottrico
S
S
I
I
Il potere diottrico, ovvero la
capacità di far convergere i
raggi, dipende dalle
caratteristiche geometriche della
lente e dal tipo di vetro utilizzato
La unità di misura del potere
diottrico è la diottria
Il potere diottrico della lente è
pari all’inverso della distanza
focale espressa in metri
f = 1m ⇒ PD = 1 diottria
f = 2m ⇒ PD = 0,5 diottrie
f = 0,5m ⇒ PD = 2 diottrie
La lente divergente
S
I
La lente divergente è un
sistema ottico che fa
allontanare tra loro (fa
divergere) i raggi luminosi
uscenti da una sorgente
luminosa S e che hanno
attraversato la lente
I raggi luminosi escono dalla
lente escono dalla lente come
se provenissero da un punto I
posto sulla intersezione dei
prolungamenti
L’immagine fornita da una lente
divergente è una immagine
virtuale
Il fuoco della lente divergente
S
F
f
1.
F
2.
I raggi luminosi che arrivano sulla
lente da direzioni parallele all’asse
ottico escono dalla lente come se
provenissero da un punto detto
fuoco virtuale
La distanza tra centro ottico e
fuoco è detta distanza focale ed è
indicata con la lettera f
Anche per la lente divergente
possiamo formulare due regole
semplici:
I raggi passanti per il centro ottico
non vengono deviati
I raggi paralleli all’asse ottico
escono dalla lente come se
fossero partito dal fuoco virtuale
Costruzione geometrica della immagine
formata dalla lente convergente
S
F
f
1.
2.
La posizione della immagine I formata da una lente convergente viene
individuata dal punto di intersezione di due raggi:
Il primo raggio arriva sulla lente in direzione parallela all’asse ottico e
prosegue passando per il fuoco
Il secondo raggio passa per il centro ottico e prosegue senza essere
deviato
Tutti gli altri raggi uscenti da S convergono nel punto I
I
Costruzione della immagine di un oggetto
esteso con la lente sottile
q
p
f
F
Una lente sottile è schematizzata da un segmento con frecce agli estremi
rivolte verso l’esterno
La distanza dell’oggetto dalla lente è indicata con la lettera
p
La distanza della immagine dalla lente è indicata con la lettera q
La costruzione della immagine dell’intero oggetto è ottenuta costruendo la
immagine di ogni punto dell’oggetto, nel disegno è riportata solo la
costruzione dell’estremità dell’oggetto
L’immagine ottenuta è reale e capovolta
L’immagine è ingrandita o rimpicciolita a seconda della posizione dell’oggetto
Immagine rimpicciolita, ingrandimento G < 1
q
y
p
f
F
y’
Le lenti convergenti sono utilizzate in molti strumenti ottici come lente
obiettivo per produrre immagini reali
Il proiettore cinematografico o il proiettore di diapositive forniscono una
immagine reale ingrandita rispetto all’oggetto
La macchina fotografica fornisce una immagine reale più piccola rispetto
all’oggetto fotografato
L’ingrandimento, indicato con al lettera G, è dato dal rapporto tra la
dimensione dell’immagine e la dimensione dell’oggetto G = y’/y
L’ingrandimento G dipende dalla distanza p dell’oggetto dalla lente
Relazione tra p q f y y’ G
formula dei punti coniugati
q
q-f
y
p
y' q
=
y p
y' q
G= =
y p
f
F
I due triangoli rettangoli sono simili
e i cateti sono proporzionali tra loro
Il rapporto tra i cateti y’ e y
corrisponde all’ingrandimento G
Dalla proporzione risulta che
l’ingrandimento è dato anche dal
rapporto tra le distanze
dell’immagine q e dell’oggetto p
y’
Relazione tra p q f y y’ G
formula dei punti coniugati
q
q-f
y
p
f
F
y' q
= dalla relazione precedente
y p
y' q − f
q
=
=
y
f
p
q f
q
− =
⇒
f
f
p
dividendo tutto
1 1 1
− =
⇒
f q p
q
q
−1 =
f
p
per q si ottiene :
1 1 1
= +
f
p q
Dalle relazioni ricavate da due
coppie di triangoli simili si
ottiene la formula dei punti
coniugati:
1 1 1
= +
f
p q
y’
Ingrandimento in funzione della
distanza p dell’oggetto
1 1 1
= +
f
p q
1
1
1
=
+
f
2f q
1
1
1
1
1
−
= ⇒
= ⇒
f 2f
q
2f
q
q = 2 f ⇒ q = p ⇒ G =1
p=2f ⇒
1
1
1
=
+
f
4f q
1
1
1
3
1
−
= ⇒
= ⇒
f 4f
q
4f
q
4
p
1
q= f ⇒q=
⇒ G=
3
3
3
p=4f ⇒
L’ingrandimento G = 1 se
L’ingrandimento G < 1 se
L’ingrandimento G > 1 se
L’ingrandimento G tende
Cosa succede se p < f ?
1
1 1
= +
f
f q
1 1 1
1
− = ⇒0= ⇒
f
f
q
q
1
q= ⇒q=∞ ⇒ G =∞
0
p= f ⇒
la distanza dell’oggetto
la distanza dell’oggetto
la distanza dell’oggetto
a infinito se la distanza
p = 2f
p > 2f
p < 2f
dell’oggetto p = f
Costruzione della immagine di un oggetto
posto più vicino della distanza focale
q
p
f
f
F
f
1
1
1
1
2
1
⇒
=
+ ⇒
−
=
⇒
f
2
f
q
f
f
q
2
q
− f
1
1
=
−
=
⇒ q =−f ⇒ G =
⇒ G = −2
f
f
q
p
2
p < f ad es. p =
1.
2.
3.
4.
Se l’oggetto è posto ad
una distanza p inferiore
alla distanza focale f , i
raggi uscenti dalla lente
sono divergenti, si
incontrano i
prolungamenti dei raggi
L’immagine che si ottiene
ha le caratteristiche:
Virtuale
Diritta
Ingrandita
Più lontana
Dalla formula dei punti
coniugati si ottiene che:
q<0 - G<0
Costruzione della immagine formata da
una lente divergente
p
q
f
1.
2.
3.
4.
Una lente sottile divergente è
schematizzata da un segmento
con frecce agli estremi rivolte
verso l’interno
I raggi uscenti dalla lente sono
divergenti, si incontrano i
prolungamenti dei raggi
L’immagine che si ottiene ha le
caratteristiche:
Virtuale
Diritta
Più piccola
Più vicina
La formula dei punti coniugati per la lente
divergente, fuoco virtuale: f < 0
p
q
La formula dei punti
coniugati vale anche per le
lenti divergenti, posto che la
distanza focale è negativa:
f<0
f
1
1 1
1 1
=
+ ⇒
+ <0 ⇒
f
p q
p q
fp
1
1
1
1
p− f
=
− ⇒
=
⇒ q =
q
f
p
q
fp
p− f
fp < 0 ; p − f > 0 ⇒ q < 0 ; p − f > p ⇒ q < f
q
f
G =
=
⇒ G < 0; p− f > f ⇒ G <1
p
p− f
f < 0; p > 0⇒
Dalla formula dei punti
coniugati si ricava che la
posizione della immagine ha
valore negativo: q < 0
Anche l’ingrandimento ha
valore negativo: G < 0
Risulta anche che il valore
assoluto di G è minore di 1,
cioè risulta che l’ immagine
è più piccola dell’oggetto
Focalizzazione nell’occhio
La focalizzazione della
immagine sulla retina
avviene per la
combinazione di due
sistemi ottici:
1. La cornea che agisce
come una lente sferica
(un diottro)
2. Il cristallino che accresce
il potere di focalizzazione
dell’occhio
La regolazione del potere
diottrico del cristallino
consente di produrre una
immagine reale sulla
retina
Potere di accomodamento del
cristallino
a
b
L’occhio è in grado di
vedere distintamente
oggetti posti a distanze
diverse
L’accomodamento del
potere di convergenza
avviene modificando il
cristallino
Per mettere a fuoco oggetti
vicini il cristallino viene
compresso dai muscoli
ciliari aumentando il potere
diottrico (a)
Per mettere a fuoco oggetti
lontani il cristallino viene
allungato e i muscoli ciliari
sono rilassati (b)
Punto prossimo e punto remoto
a
b
La distanza minima a cui può
essere posto un oggetto per
poter essere visto
nitidamente è detta distanza
del punto prossimo (a)
La distanza massima a cui
può essere posto un oggetto
per poter essere visto
nitidamente è detta distanza
del punto remoto (b)
Per l’occhio sano (persona
emmetrope) la distanza del
punto prossimo è di circa 20
cm
Per l’occhio sano il punto
remoto è posto all’infinito
Punto remoto per la persona
miope
Distanza del punto remoto
La persona miope ha il globo
oculare allungato
L’immagine si forma prima
della retina con i muscoli
ciliari rilassati e con il
cristallino nella
configurazione di minimo
potere diottrico adattato per
la visione di oggetti lontani
(all’infinito)
La distanza del punto remoto
per la persona miope è
ravvicinata
Il miope non riesce a
focalizzare sulla retina
oggetti posti a distanza
superiore alla distanza del
punto remoto
Lente correttiva per la persona miope: la
lente divergente
F
Distanza del
punto remoto
La lente divergente forma
immagini virtuali ad una
distanza inferiore alla
distanza focale
La persona miope deve
usare lenti divergenti con
distanza focale uguale alla
distanza del punto remoto
L’immagine è più piccola ma
più vicina, questi due effetti
si compensano e la
dimensione che si forma
sulla retina è uguale a
quella che si avrebbe per un
occhio sano senza l’uso
della lente divergente
Punto prossimo per la persona
ipermetrope
Distanza del punto prossimo
per la persona emmetrope
Distanza del punto prossimo
per la persona ipermetrope
La persona ipermetrope ha il
globo oculare compresso
L’immagine si forma oltre la
retina con i muscoli ciliari
compressi e con il cristallino
nella configurazione di
massimo potere diottrico
adattato per la visione di
oggetti vicini, posti alla
distanza del punto prossimo
per l’emmetrope
La distanza del punto
prossimo per la persona
ipermetrope è più lontana del
normale
L’ipermetrope non riesce a
focalizzare sulla retina oggetti
posti a distanza inferiore alla
distanza del punto prossimo
Lente correttiva per la persona ipermetrope:
la lente convergente
q
p
f
f
F
La lente convergente
forma immagini virtuali
ad una distanza
superiore alla distanza
dell’oggetto
La distanza della
immagine è tanto
maggiore quanto
maggiore è il potere
diottrico della lente (cioè
minore distanza focale)
L’immagine è più grande
e più lontana: i due
effetti si compensano
Punto prossimo per la persona
presbite
Distanza del punto prossimo
per la persona presbite
La persona presbite ha il globo
oculare normale ma ha i
muscoli ciliari deteriorati
Il presbite non è in grado di
comprimere i muscoli ciliari per
adattare la vista alla
osservazione di oggetti vicini
La distanza del punto prossimo
per la persona presbite è più
lontana del normale
Il presbite non riesce a
focalizzare sulla retina oggetti
posti a distanza inferiore alla
distanza del punto prossimo
La presbiopia è un difetto della
vista che compare oltre i 40-50
anni e peggiora con l’avanzare
della età
Lente correttiva per la persona presbite:
la lente convergente
q
Presbite di 50
anni: f = 1 m
p
F
f
f
q
p
q = distanza del
punto prossimo
f
Presbite di 60
anni: f = 0,5 m
f
F
La lente per la correzione
della presbiopia è la lente
convergente che allontana
l’immagine
Con l’avanzare dell’età il
difetto peggiora e la
distanza del punto
prossimo aumenta
Utilizzando lenti con
distanza focale inferiore si
ottiene una immagine a
distanza maggiore
Se p è la distanza a cui si
pone il giornale da
leggere, la distanza q alla
quale si forma l’immagine
deve corrispondere alla
distanza del punto
prossimo
Calcolare il potere diottrico
delle lenti per il presbite
1 1 1
= +
f
p q
p = 0,3m : distanza dell' oggetto (il giornale)
q = −1,2m : distanza della immagine virtuale
1
1
1
4 −1
3
=
+
=
=
⇒
f 0,3m − 1,2m 1,2m 1,2m
1,2m
f =
= 0,4m
3
1
1
potere diottrico : PD = =
= 2,5 D
f 0,4m
Il presbite vuole leggere il
giornale tenendolo in mano alla
distanza di circa 30 cm
A causa della presbiopia la
distanza del punto prossimo è di
1,2 m
Occorre calcolare la distanza
focale delle lenti da utilizzare per
consentire al presbite di leggere
il giornale
Usando la formula dei punti
coniugati si calcola la distanza
focale e il potere diottrico
Nel fare i calcoli occorre
ricordare che la immagine è
virtuale e quindi la distanza q è
negativa
Operazione chirurgica per la
correzione della miopia
Per curare in modo
definitivo la miopia si può
modificare il potere
diottrico della cornea
La cornea viene abrasa per
renderla meno convergente
e portare il raggio di
curvatura al valore
normale dell’occhio
emmetrope
In modo analogo ma con
procedimento opposto si
può curare la ipermetropia
Non c’è un metodo
chirurgico per curare la
presbiopia
