programma analisi I 2015

ANALISI MATEMATICA I
A.A. 2015/16
MARCO BARCHIESI
Il programma per l’anno accademico 2015/2016 sarà quasi uguale a quello dell’anno precedente.
I libri di testo adottati sono i seguenti, ma siete liberi sia per la teoria che per gli esercizi di
usare le fondi che preferite (fermo restando il programma!). Nella cartella del materiale didattico
trovate inoltre delle note e degli esercizi aggiuntivi.
• Per la teoria: L. Lamberti & C. Mascia. Note di base di Analisi Matematica.
• Per gli esercizi: A. Alvino, L. Carbone & G. Trombetti. Esercitazioni di Matematica,
vol.1, parte I e II.
In blu le parti che potete trovare nelle note aggiuntive nella cartella del materiale didattico posta
nella mia home page. Gli esercizi che trovate nella cartella del materiale didattico servono a
darvi un’idea. Per padroneggiare le tecniche di risoluzione dovete però esercitarvi finché non vi
sentite sicuri. Per questo siete caldamente invitati a svolgere gli esercizi sul libro proposto, o
cercarvene per conto vostro.
Lez. 1 Introduzione ai numeri reali e loro identificazione con la retta orientata. Ordinamento
naturale. Definizione base del modulo e della distanza. Densità di Q in R: dato un numero reale x, si può trovare un numero razionale y che dista da x meno di 1/10k , k ∈ N
arbitrario. Definizioni di somma e prodotto in R, la seconda tramite l’approssimazione
con Q. Le proprietà algebriche dei numeri reali.
Lez. 2 Le proprietà dell’ordinamento tra cui dicotomia e mutua esclusione. Le proprietà del
modulo. Le proprietà della distanza, più precisamente positività, simmetria e disuguaglianza triangolare. Gli intervalli (aperti e chiusi). L’intorno di un punto.
Lez. 3 Cenni all’assiomatica di base dei numeri reali: il principio degli intervalli incapsulati
come zoom sulla retta mostra che R non ha “buchi”. L’assioma di Archimede e come lo
abbiamo usato nel provare le densità di Q in R. Tra due numeri reali cade sempre almeno
un razionale. Un semplice trucco: come provare che un numero x ∈ R è non negativo:
basta che x ≤ ε per ogni ε > 0. Insiemi limitati, maggioranti e minoranti, massimo
e minimo, estremo inferiore e superiore. Esistenza dell’estremo superiore ed inferiore
come caratteristica di R. Condizione necessaria e sufficiente affinché un maggiorante sia
estremo superiore.
Lez. 4 Richiami base sulle funzioni e un piccolo glossario. Restrizione ed estensione. Il grafico
di una funzione. Funzioni elementari (i): i polinomi e le funzioni razionali. Prime operazioni sulle funzioni: traslazioni.
Lez. 5 Esercizi sull’estremo superiore ed inferiore. Altre operazioni sulle funzioni: dilatazione/compressione, somma/sottrazione, passaggio al reciproco, modulo di una funzione,
parte positiva e parte negativa. Funzioni elementari (ii): le funzioni trigonometriche
(seno, coseno, tangente, cotangente). Loro proprietà.
Date: 30 dicembre 2015.
Lez. 6 Alcune proprietà che semplificano lo studio di funzioni: simmetrie (funzione pari e funzione dispari) e periodicità. Esempi vari. Composizioni di funzioni. Le funzioni iniettive
e il significato geometrico dell’iniettività. Esempi.
Lez. 7 La funzione inversa f −1 di una funzione iniettiva f , e sue proprietà. Grafico di f −1 e
legame col grafico della f . Funzioni monotone, crescenza e decrescenza. La monotonia
stretta come condizione sufficiente per l’iniettività. Funzioni elementari (iii): la radice
n-esima come inversa dell’elevamento a potenza n-esima, proprietà. Le funzioni inverse
di quelle trigonometriche: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente. Loro
proprietà. L’esponenziale e la sua inversa, il logaritmo. Loro proprietà.
Lez. 8 Esercizi sui campi di esistenza. Funzioni limitate. Estremo superiore ed inferiore di una
funzione, massimo e minimo. Introduzione alle successioni di numeri reali. Il concetto
di limite. Verifica della convergenza in un semplice esempio.
Lez. 9 Unicità del limite di una successione (dimostrazione “geometrica”). La convergenza implica la limitatezza (dimostrazione “geometrica”), ma non vale il viceversa: semplice
controesempio tramite una successione oscillante. Le sottosuccessioni e la loro convergenza in relazione alla convergenza della successione “madre”. Successioni divergenti ed
alcune osservazioni. Verifica della divergenza a +∞ in un semplice esempio. Il limite
e la struttura algebrica: somma e prodotto di limiti. I casi indeterminati +∞−∞ e 0·∞.
Lez. 10 Il limite del reciproco di una successione. Approfondimento sul limite del prodotto e del
rapporto di due successioni. I casi indeterminati ∞/∞ e 0/0. Il limite e la struttura
d’ordine. Un primo risultato: la monotonia del limite. Corollario: la permanenza del
segno nel passaggio al limite.
Lez. 11 Ancora sul limite e la struttura d’ordine. Il teorema del raffronto (o dei carabinieri) e sua
variante nel caso di successioni divergenti. Due applicazioni:
il limite della successione
√
n
n
x , x ∈ R fissato, e il limite della successione x, x > 0 fissato. Disuguaglianza di
Bernoulli: (1 + h)n ≥ 1 + hn. Il limite di una successione monotona (nei casi in cui sia
limitata o non limitata). Un primo esempio di limite con forma indeterminata +∞ − ∞
e sua soluzione tramite razionalizzazione. Il criterio del rapporto per successioni e suo
uso per determinare le successioni che “corrono” di più. I primi concorrenti: confronto
tra np con p ∈ N e xn con x > 1.
Lez. 12 Altri concorrenti: confronto tra xn , n! e nn . Un primo esercizio di prova. Come si comporta il limite quando componiamo la successione con le funzioni ax , loga x e xα (analisi
completa di tutti i casi). Confronto tra nα con α > 0 e xn (prima avevamo visto solo np
con p ∈ N). Confronto tra loga n con base a qualsiasi e nα .
Lez. 13 Limiti di successioni della forma abnn tramite trasformazione in ebn ln an ed uso del comportamento del logaritmo e dell’esponenziale. Quando le cose non vanno come vorremmo: forme indefinite 00 , 1∞ , ∞0 e loro riduzione al caso 0 · ∞. Il limite notevole
limn (1 + x/an )an = ex (senza dimostrazione). Esercizi specifici. Come si comporta il
limite quando componiamo la successione con le funzioni trigonometriche (analisi a partire dalla funzione seno, e a seguire coseno, tangente e cotangente). Il limite notevole
limn (sin an )/an .
Lez. 14 Esercizi sui limiti di successione: forma indeterminata ∞ − ∞ tramite razionalizzazione
o raccoglimento, limiti dove compaiono l’esponenziale o il logaritmo, limiti dove compaiono funzioni trigonometriche, limiti dove vanno usati i limiti notevoli proposti, criterio
del confronto, esercizi generali.
Lez. 15 Gli errori comuni da non commettere nei limiti di successione. Un nuovo argomento: le
serie. Il concetto di serie come successione delle somme parziali. Serie e struttura algebrica. Serie a termini di segno costante: la successione delle somme parziali è monotona.
Il criterio del confronto. Due esempi fondamentali: serie geometrica e serie armonica
generalizzata, analisi della loro convergenza.
Lez. 16 Altri esempi: serie telescopiche e serie esponenziale. Ancora sulle serie a termini di segno
costante. Corollario al criterio del confronto: il criterio del limite. Esercizi specifici. Il
criterio del rapporto. Il criterio della radice. Esercizi specifici.
Lez. 17 Serie a termini con segno non costante. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta
implica la convergenza delle serie delle parti positive e della parte negative, e quindi la
convergenza semplice. Il criterio di Leibniz. La serie armonica generalizzata II (dimostrazione posposta dopo gli integrali). Due esempi su come usare nel criterio del limite la
serie armonica generalizzata. Un nuovo argomento: convergenza all’infinito di funzioni,
somiglianza con il limite di successioni.
Lez. 18 Funzioni divergenti all’infinito. Il concetto di limite in un punto per una funzione. Quando le cose vanno bene: continuità. Il limite da destra e da sinistra, e relazione con il
limite. Esempio di esistenza del limite da destra e da sinistra ma non del limite (presenza di salto). Esempio di non esistenza del limite (oscillazione nell’origine della funzione
sin 1/x). Funzioni divergenti in un punto. Proprietà delle funzioni convergenti: la convergenza in un punto implica la limitatezza locale della funzione, mentre la convergenza
in un punto ad un limite positivo implica la positività locale (eccetto per il valore di
f nel punto, su cui non abbiamo controllo. Nessun problema invece se f è continua).
Il teorema ponte: i risultati visti per i limiti di successione valgono anche per quelli di
funzione (e viceversa). Prime implicazioni: (i) Unicità del limite. (ii) Il limite di funzione
commuta con la struttura algebrica.
Lez. 19 Altri risultati tramite il teorema ponte. (iv) Le funzioni elementari finora viste sono continue. (iii) Il limite di funzione commuta con la struttura d’ordine: teorema di monotonia
e teorema della permanenza del segno. Limite e divergenza delle funzioni monotone. Il
limite e la composizione di applicazioni (senza dimostrazione). La composizione di applicazioni continue è continua. I limiti notevoli e alcune loro varianti. Visione d’insieme: le
funzioni continue e i limiti notevoli sono i pezzi base di cui conosciamo i limiti, le operazioni algebriche e la composizione ci dicono come questi pezzi base interagiscono tra loro.
Lez. 20 I vari tipo di discontinuità: di salto, del secondo tipo ed eliminabile. Esempi vari.
L’inversa di una funzione continua è continua (senza dimostrazione, solo motivazione
geometrica). Il teorema dei valori intermedi. Suoi limiti di applicabilità. Corollari I: il
teorema di esistenza degli zeri. Corollario II: su un intervallo una funzione continua è
strettamente monotona se e solo se è invertibile (senza dimostrazione, solo motivazione
geometrica). Il teorema di Weierstrass. Suoi limiti di applicabilità.
Lez. 21 Lemma sugli intervalli inscatolati quando la loro tagli va a zero. Dimostrazioni del teorema dei valori intermedi e del teorema di Weierstrass. Corollario ad entrambi: l’immagine
attraverso una funzione continua di un intervallo chiuso e limitato è l’intervallo chiuso
e limitato di estremi il minimo e il massimo della funzione. Esercizi sui limiti di funzione.
Lez. 22 Il concetto di derivata e suo significato geometrico. Derivabilità implica continuità. Regole di derivazione: (i) la derivata della somma e del prodotto di due funzioni. (ii) La
derivata della composizione di due applicazioni (senza dimostrazione). (iii) La derivabilità delle funzione inversa di una funzione derivabile (spiegazione geometrica) e sua
forma. Derivabilità delle funzioni elementari e forma delle loro derivate (polinomi, sin x,
cos x, ex , ln x).
Lez. 23 Esercizi sulle serie.
Lez. 24 Derivabilità delle funzioni elementari e forma delle loro derivate (xα , ax , loga x, arcsin x,
arccos x, arctan x). Il concetto di massimo e minimo locale. Il teorema di Fermat sui
punti stazionari: in un punto interno di massimo o minimo locale una funzione derivabile ha derivata nulla. Implicazione: i punti di massimo e minimo locale vanno cercati
(i) dove la funzione non è derivabile, (ii) sui bordi del dominio, (iii) sui punti interni
dove c’è derivabilità e la derivata è nulla. Il teorema di Rolle. Esempi che evidenziano
l’ottimalità delle ipotesi (la continuità al bordo e la derivabilità su tutti i punti interni).
Il teorema di Lagrange.
Lez. 25 Osservazione sul teorema di Fermat: punti dove la derivata è nulla potrebbero non essere
di minimo o massimo locale, ma flessi orizzontali. Corollario al teorema di Lagrange:
monotonia di una funzione con derivata strettamente positiva/negativa. Osservazione:
la positività della derivata in un singolo punto non implica che la funzione cresca in
un intorno del punto, esempio esotico di una funzione derivabile, con derivata positiva
nell’origine, che però oscilla. Una funzione con derivata nulla è costante sugli intervalli.
Riconoscere se abbiamo massimo o minimo locale dal segno della derivata nell’intorno del
punto. Osservazione: è una condizione solo sufficiente, esempio esotico di una funzione
derivabile e con minimo assoluto nell’origine, ma che oscilla. Riconoscere se abbiamo
massimo o minimo locale dal segno della derivata seconda nel punto. Osservazione: è
una condizione solo sufficiente, esempio con x4 . Derivabilità in un punto tramite limite
destro e sinistro delle derivate nell’intorno.
Lez. 26 Un primo esempio di come cercare massimi e minimi tramite analisi della derivata prima
e seconda. Punti significativi nello studio di funzioni: (i) asintoti verticali (sul bordo
dell’insieme o nei punti in cui non vi è continuità), (ii) punti angolosi, punti di flesso
verticali, cuspidi (là dove c’è continuità ma non derivabilità). Analisi all’infinito: asintoti
orizzontali e obliqui. Come individuare la retta che costituisce l’asintoto obliquo.
Lez. 27 Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi. Esercizi sullo studio del segno di una funzione.
Lez. 28 Funzioni convesse e concave. Convessità locale nel caso di funzioni derivabili. Un esempio esotico. La crescita della derivata prima come condizione sufficiente alla convessità.
Corollario: la positività della derivata seconda come condizione sufficiente. Un nuovo
argomento: funzioni infinitesime in un punto. Ordine di infinitesimo. Esempi.
Lez. 29 Esercizi sullo studio di funzione.
Lez. 30 Esempi rilevanti per l’ordine di infinitesimo. Il teorema di Cauchy. Il teorema di de
L’Hôpital e sua dimostrazione tramite teorema di Cauchy (vedi libro di testo). Applicazioni ai limiti nelle varie forme indeterminate.
Lez. 31 Il principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti. Esempi. Sostituzione con i
polinomi suggeriti dai limiti notevoli. Regole per gli o-piccoli. Esempi.
Lez. 32 Approssimazione polinomiale e formula di Taylor. Esistenza ed unicità del polinomio di
Taylor. Esempi e primi esercizi.
Lez. 33 Introduzione all’integrazione: problema del calcolo delle aree. Definizione di integrale
definito. Interpretazione geometrica. Proprietà dell’integrale: linearità, additività e monotonia.
Lez. 34 Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue (per quest’ultima solo un
accenno alla dimostrazione). Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del
calcolo integrale.
Lez. 35 Ulteriori esercizi sullo studio di funzione e sulla formula di Taylor.
Lez. 36 Primitive e calcolo degli integrali indefiniti. Integrali elementari. Integrazione attraverso la semplice manipolazione dell’integrando. Integrazione per parti. Integrazione per
sostituzione.
Lez. 37 Integrazione delle funzioni razionali. La riduzione al caso in cui il denominatore ha
grado maggiore del numeratore. Il caso base: il denominatore ha grado 2. I tre sottocasi
a seconda del ∆ del denominatore (radici distinte, coincidenti, immaginarie). Il caso
generale. Integrali impropri e criteri di integrabilità: criterio del confronto e criterio del
confronto asintotico. Le funzioni da usare per il confronto: 1/xα e 1/xα (ln x)β . Esempio.
Criterio di convergenza assoluta. Esempio.