ANALISI MATEMATICA I A.A. 2016/17 POLO SAN GIOVANNI Il

ANALISI MATEMATICA I
A.A. 2016/17
POLO SAN GIOVANNI
MARCO BARCHIESI
Il programma per l’anno accademico 2016/2017 sarà quasi uguale a quello dell’anno precedente.
I libri di testo adottati sono i seguenti, ma siete liberi sia per la teoria che per gli esercizi di
usare le fondi che preferite (fermo restando il programma!). Nella cartella del materiale didattico
trovate inoltre delle note e degli esercizi aggiuntivi.
• Per la teoria: L. Lamberti & C. Mascia. Note di base di Analisi Matematica.
• Per gli esercizi: A. Alvino, L. Carbone & G. Trombetti. Esercitazioni di Matematica,
vol.1, parte I e II.
Man mano che svolgerò le lezioni, riporterò qui i vari contenuti. In genere le lezioni sono di 2
ore, se non diversamente specificato. In blu le parti che potete trovare nelle note aggiuntive nella
cartella del materiale didattico posta nella mia home page. Gli esercizi che trovate nella cartella
del materiale didattico servono a darvi un’idea. Per padroneggiare le tecniche di risoluzione
dovete però esercitarvi finché non vi sentite sicuri. Per questo siete caldamente invitati a svolgere
gli esercizi sul libro proposto, o cercarvene per conto vostro.
Lez. 1 Identificazione dei numeri√razionali con alcuni punti di una retta orientata. Il problema
dei buchi. L’esempio di 2. I numeri irrazionali come “punti sulla retta” non coperti
dai razionali, ed identificazione dei numeri reali con tutta la retta. Dato un numero reale
x, si può trovare un numero razionale y che dista da x meno di 1/10k , k ∈ N arbitrario.
Un numero irrazionali è determinato da una stringa infinita di numeri interi. L’esempio
di π. Definizioni di somma e prodotto in R, la seconda tramite l’approssimazione con Q.
Lez. 2 Le proprietà algebriche dei numeri reali. Le proprietà dell’ordinamento, in particolare dicotomia e mutua esclusione. Due prime proposizioni: xn < y n ⇔ x < y e
(1 + h)n ≥ 1 + nh (disuguaglianza di Bernoulli). Il principio di induzione. Le proprietà
del modulo. Le proprietà della distanza, più precisamente positività, simmetria e disuguaglianza triangolare.
Lez. 3, 3h Gli intervalli (aperti e chiusi). L’intorno di un punto. Cenni all’assiomatica di base dei
numeri reali: il principio degli intervalli incapsulati come zoom sulla retta mostra che R
non ha “buchi”. L’assioma di Archimede e come lo abbiamo usato nel provare le densità
di Q in R. Un semplice trucco: come provare che un numero x ∈ R è non negativo:
basta che x ≤ ε per ogni ε > 0.
Insiemi limitati, maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo inferiore e superiore. Esistenza dell’estremo superiore ed inferiore come caratteristica di R. Condizione
necessaria e sufficiente affinché un maggiorante sia estremo superiore.
Richiami base sulle funzioni. Dominio e immagine. Restrizione ed estensione. Il
grafico di una funzione. Funzioni elementari (i): i polinomi e le funzioni razionali. Prime operazioni sulle funzioni: traslazioni orizzontali e verticali, dilatazione/compressione.
Date: 17 dicembre 2016.
Lez. 4 Funzioni iniettive. Significato geometrico dell’iniettività. Composizione di funzioni. La
funzione inversa f −1 di una funzione iniettiva f , e sue proprietà. Grafico di f −1 e legame col grafico della f . Funzioni elementari (ii): le funzioni trigonometriche (seno,
coseno, tangente, cotangente). Loro proprietà. Altre operazioni sulle funzioni: somma/sottrazione, modulo di una funzione, parte positiva e parte negativa. f = f + − f −
e |f | = f + + f − .
Lez. 5, 4h Proprietà che semplificano lo studio di funzioni: simmetrie (funzione pari e funzione
dispari) e periodicità. Esempi vari. Funzioni monotone, crescenza e decrescenza. La
monotonia stretta come condizione sufficiente per l’iniettività. La condizione non è
necessaria, esempio. Somma e prodotto di funzioni monotone. Monotonia dell’inversa.
Funzioni elementari (iii): la radice n-esima come inversa dell’elevamento a potenza
n-esima, proprietà. Le funzioni inverse di quelle trigonometriche: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente. Loro proprietà. L’esponenziale e la sua inversa, il
logaritmo. Loro proprietà.
Esercizi sull’estremo superiore ed inferiore. Qualche altra informazione sull’estremo
superiore: sup(−E), sup(E + c) e sup(cE). Funzioni limitate. Estremo superiore ed
inferiore di una funzione, massimo e minimo.
Lez. 6 Esercizi e richiami sulle disequazioni: di secondo grado e razionali; col valore assoluto; con
la radice n-esima ed elevamento a potenza n-esimo. Primi esercizi sui campi di esistenza.
Lez. 7 Altri esercizi e richiami sulle disequazioni: elevamento a potenza reale; esponenziale e
logaritmo. Altri esercizi sui campi di esistenza.
Lez. 8 Introduzione alle successioni di numeri reali. Il concetto di limite. Verifica della convergenza in un semplice esempio. Unicità del limite di una successione (dimostrazione
e visualizzazione “geometrica”). La convergenza implica la limitatezza, ma non vale il
viceversa: semplice controesempio tramite una successione oscillante. Successioni divergenti a ±∞. Le sottosuccessioni e la loro convergenza in relazione alla convergenza della
successione “madre”. Costruzione di successioni non convergenti.
Lez. 9 Altri esercizi e richiami sulle disequazioni: funzioni trigonometriche inverse. Altri esercizi
sui campi di esistenza.
Il limite e la struttura algebrica: somma e prodotto di successioni quando entrambe
convergono. Somma tra una successione convergente e una divergente. Generalizzazione: somma tra una successione limitata e una divergente. Il caso indeterminato +∞−∞.
Lez. 10 Il limite del reciproco di una successione, nei tre casi in cui ci sia convergenza con limite
diverso da zero, uguale a zero, oppure divergenza a ±∞.
Il limite e la struttura d’ordine. Un primo risultato: la monotonia del limite. Corollario: la permanenza del segno nel passaggio al limite. Proprietà inversa: se il limite è
positivo, la successione è a termini positivi per n grande. Altri risultati sul limite e la
struttura d’ordine. Il teorema del raffronto (o dei carabinieri) e sua variante nel caso di
successioni divergenti. Due√applicazioni: il limite della successione xn , x ∈ R fissato, e
il limite della successione n x, x > 0 fissato. Il limite di una successione monotona (nei
casi in cui sia limitata o non limitata).
Lez. 11 Approfondimenti sul prodotto di successioni: prodotto tra una successione limitata e una
convergente a zero, prodotto tra una definitivemente lontana da zero e una divergente.
Il caso indeterminato 0 · ∞.
Approfondimenti sul rapporto di successioni: rapporto tra una successione limitata e
una divergente, rapporto tra una convergente a zero e una definitivemente lontana da
zero. I casi indeterminati: ∞/∞ e 0/0.
Il criterio del rapporto per successioni e suo uso per determinare le successioni che
“corrono” di più. I primi concorrenti: confronto tra np con p ∈ N e xn con x > 1. Altri
concorrenti: confronto tra xn , n! e nn . Come si comporta il limite quando componiamo
la successione con le funzioni ax e loga x.
Lez. 12 Come si comporta il limite quando componiamo la successione con la funzione xα . Confronto tra nα con α > 0 e xn (prima avevamo visto solo np con p ∈ N). Confronto tra
loga n con base a qualsiasi e nα . Richiamo sul cambio di base nei logaritmi. Limiti di
successioni della forma abnn tramite trasformazione in ebn ln an ed uso del comportamento
del logaritmo e dell’esponenziale. Quando le cose non vanno come vorremmo: forme indefinite 00 , 1∞ , ∞0 e loro riduzione al caso 0 · ∞. Il limite notevole limn (1 + x/an )an = ex
(senza dimostrazione).
Come si comporta il limite quando componiamo la successione con le funzioni trigonometriche (analisi a partire dalla funzione seno, e a seguire coseno, tangente e cotangente).
Il limite notevole limn (sin an )/an .
Lez. 13 Esercizi sui limiti di successione: forma indeterminata ∞ − ∞ tramite razionalizzazione
o raccoglimento, limiti dove compaiono l’esponenziale o il logaritmo, limiti dove compaiono funzioni trigonometriche, limiti dove vanno usati i limiti notevoli proposti, criterio
del confronto, esercizi generali. Gli errori comuni da non commettere nei limiti di successione.
Lez. 14 Il concetto di serie come successione delle somme parziali. Serie telescopiche e due esempi. Serie a termini di segno costante: la successione delle somme parziali è monotona,
quindi la serie converge o diverge. Due esempi fondamentali: serie geometrica e serie
armonica generalizzata I, analisi della loro convergenza. Serie armonica generalizzata II
(senza dimostrazione). Il criterio del confronto. Applicazione: serie esponenziale.
Lez. 15 P
La struttura algebrica nelle serie. Condizione necessaria alla convergenza della serie
k ak è che limk ak = 0. Ancora sulle serie a termini di segno costante. Corollario
al criterio del confronto: il criterio del limite. Il criterio del rapporto. Il criterio della
radice. Serie a termini con segno non costante. Convergenza assoluta. La convergenza
assoluta implica la convergenza delle serie delle parti positive e della parte negative, e
quindi la convergenza semplice.
Lez. 16 Il criterio di Leibniz. Esercizi vari, in particolare su come usare la serie geometrica e la
serie armonica generalizzata come metro di paragone.
Lez. 17 Ulteriori esercizi sulle serie.
Funzioni divergenti all’infinito. Il concetto di limite in un punto per una funzione.
Lez. 18 Punti di accumulazione per un insieme. Limite in un punto di accumulazione. Unicità
del limite. Il limite da destra e da sinistra, e relazione con il limite. Esempio di esistenza
del limite da destra e da sinistra ma non del limite (presenza di salto). Esempio di non
esistenza del limite (oscillazione nell’origine della funzione sin 1/x). Funzioni divergenti
all’infinito e in un punto. Il teorema ponte: i risultati visti per i limiti di successione
valgono anche per quelli di funzione (e viceversa). Implicazioni: (i) Il limite di funzione
commuta con la struttura algebrica. (ii) Il limite di funzione commuta con la struttura
d’ordine: teorema di monotonia, teorema della permanenza del segno, teorema del raffronto (o dei carabinieri). Limite e divergenza delle funzioni monotone (dimostrazione
diretta).
Lez. 19 Funzioni continue. I vari tipo di discontinuità: di salto, del secondo tipo ed eliminabile.
Lemma sugli intervalli inscatolati quando la loro taglia va a zero. Il teorema dei valori
intermedi (con esempi sull’ottimalità delle ipotesi). Corollari: il teorema di esistenza
degli zeri. Il teorema di Weierstrass (con esempi sull’ottimalità delle ipotesi). Corollario: l’immagine attraverso una funzione continua di un intervallo chiuso e limitato è
l’intervallo chiuso e limitato di estremi il minimo e il massimo della funzione.
Lez. 20 Altre proprietà delle funzioni continue: (i) su un intervallo una funzione continua è strettamente monotona se e solo se è invertibile (con esempi sull’ottimalità delle ipotesi); (ii)
l’inversa di una funzione continua è continua. Continuità delle funzioni elementari. Il
limite e la composizione di applicazioni, o equivalentemente, il cambio di variabile nei limiti (senza dimostrazione). La composizione di applicazioni continue è continua. I limiti
notevoli e alcune loro varianti. Visione d’insieme: le funzioni continue e i limiti notevoli
sono i pezzi base di cui conosciamo i limiti, le operazioni algebriche e la composizione ci
dicono come questi pezzi base interagiscono tra loro.
Lez. 21 Esercizi sui limiti di funzione.
Lez. 22 Il concetto di derivata e suo significato geometrico. Derivabilità implica continuità. Regole di derivazione: (i) la derivata della somma e del prodotto di due funzioni, la derivata
del reciproco di una funzione. (ii) La derivata della composizione di due applicazioni
(senza dimostrazione). (iii) La derivabilità delle funzione inversa di una funzione derivabile (spiegazione geometrica) e sua forma. Derivabilità delle funzioni elementari e forma
delle loro derivate (polinomi, sin x, cos x, tan x, ex , ln x, xα , ax , loga x, arcsin x, arccos x,
arctan x).
Lez. 23, 4h Il concetto di massimo e minimo locale. Il teorema di Fermat sui punti stazionari: in
un punto interno di massimo o minimo locale una funzione derivabile ha derivata nulla.
Implicazione: i punti di massimo e minimo locale vanno cercati (i) dove la funzione non
è derivabile, (ii) sui bordi del dominio, (iii) sui punti interni dove c’è derivabilità e la
derivata è nulla. Osservazione sul teorema di Fermat: punti dove la derivata è nulla
potrebbero non essere di minimo o massimo locale, ma flessi orizzontali (esempio con
x3 ). Il teorema di Rolle. Esempi che evidenziano l’ottimalità delle ipotesi (la continuità
al bordo e la derivabilità su tutti i punti interni). Il teorema di Lagrange.
Corollario al teorema di Lagrange: monotonia di una funzione con derivata strettamente positiva/negativa. In particolare una funzione con derivata nulla è costante sugli
intervalli. Osservazione: la positività della derivata in un singolo punto non implica che
la funzione cresca in un intorno del punto (esempio esotico di una funzione derivabile,
con derivata positiva nell’origine, che però oscilla). La cosa è però vera se la derivata è
continua.
Riconoscere se abbiamo massimo o minimo locale dal comportamento della funzione nell’intorno del punto (crescita e decrescita). Osservazione: è una condizione solo
sufficiente ma non necessaria (esempio esotico di una funzione derivabile e con minimo
assoluto nell’origine, ma che oscilla). Riconoscere se abbiamo massimo o minimo locale
dal segno della derivata nell’intorno del punto. Riconoscere se abbiamo massimo o minimo locale dal segno della derivata seconda nell’intorno del punto o solo nel punto sotto
ipotesi di continuità di f ′′ . Osservazione: è una condizione solo sufficiente (esempio con
x4 ). Derivabilità in un punto tramite limite destro e sinistro delle derivate nell’intorno,
suo uso per l’analisi della derivabilità sulle interfacce.
Lez. 24 Punti significativi nello studio di funzioni: (i) asintoti verticali (sul bordo dell’insieme o
nei punti in cui non vi è continuità), (ii) punti angolosi, punti di flesso verticali, cuspidi
(là dove c’è continuità ma non derivabilità). Analisi all’infinito: asintoti orizzontali e
obliqui. Come individuare la retta che costituisce l’asintoto obliquo.
Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi.
Lez. 25 Funzioni convesse e concave. Convessità in un punto nel caso di funzioni derivabili. Punti
di flesso. Esempi esotici di funzioni convesse in un punto o aventi flesso. La crescita della
derivata prima come condizione sufficiente alla convessità. Corollario: la positività della
derivata seconda come condizione sufficiente.
Esercizi sullo studio del segno di una funzione. Esercizi sullo studio di funzione.
Lez. 26 Ulteriori esercizi sullo studio di funzioni.
Funzioni infinitesime in un punto. Confronto tra infinitesimi. Il concetto di infinitesimo di ordine superiore e sue principali proprietà. Alcuni esempi fondamentali.
Lez. 27 Infinitesimo campione e classificazione degli ordini di infinitesimo. Calcolo dell’ordine
di infinitesimo, esempio. Il principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti.
Esempi di applicazione. Sostituzione con i polinomi di primo e secondo grado suggeriti
dai limiti notevoli. Regole per gli o-piccoli. Esempi di applicazione.
Lez. 28, 3h Il teorema di de L’Hôpital (dimostrazione nel caso semplice, cioè nel caso di derivabilità
nel punto, e solo enunciato nel caso generale, cioè nel caso di derivabilità in un intorno
del punto escluso il punto stesso). Applicazioni ai limiti con forma indeterminata. Ancora sul principio di sostituzione: la necessità di una approssimazione più accurata con
polinomi di grado superiore: formula di Taylor. Esistenza ed unicità del polinomio di
Taylor. Esempi ed esercizi.
Lez. 27 Introduzione all’integrazione: quando ha senso parlare di area e come calcolarla? Le partizioni di un intervallo. Somma integrale superiore (o per eccesso) S(f, P ) ed inferiore (o
per difetto) S(f, P ) di una funzione f relative ad una partizione P data. Interpretazione geometrica. Raffinamento di partizioni. Raffinado la partizione la somma integrale
per difetto cresce, mentre quella per eccesso decresce. La disuguaglianza inf P S(f, P ) ≥
supP S(f, P ). Una funzione è integrabile quando inf P S(f, P ) = supP S(f, P ). La definizione di integrale. Un esempio di funzione non integrabile.
Condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità. Proprietà dell’integrale: (i) linearità, (ii) additività (senza dimostrazione) e (iii) monotonia. Il prodotto di due funzioni
integrabili è integrabile (senza dimostrazione). Il modulo di una funzione integrabile è
integrabile (dimostrazione facoltativa) e il suo integrale è più grande del modulo dell’integrale della funzione stessa.
Lez. 30 Classi di funzioni integrabili. (i) Integrabilità delle funzioni monotone. (ii) Integrabilità
delle funzioni continue (dimostrazione facoltativa) con accenni alla continuità uniforme.
Teorema della media integrale. Esempio che mostra come il teorema non valga sotto le
semplici ipotesi di integrabilità. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive
e calcolo degli integrali. Integrali elementari. Integrazione attraverso la semplice manipolazione dell’integrando. Esempi.
Lez. 31 Altri esempi di integrazione attraverso manipolazione dell’integrando. Integrazione per
sostituzione (prima e seconda formula) con esempi. Integrazione per parti con esempi.
Lez. 32 Integrazione delle funzioni razionali. La riduzione al caso in cui il denominatore ha grado
maggiore del numeratore. Il caso base: il denominatore ha grado 2. I tre sottocasi a
seconda del ∆ del denominatore (radici distinte, coincidenti, immaginarie). Esempi. Il
caso generale con esempio.
Lez. 33, 3h Integrali impropri. Integrabilità e non delle funzioni 1/xα e 1/[x(ln x)β ] a seconda del
valore degli esponenti α e β nei domini (0, b) e (a, +∞). Criteri di integrabilità: criterio
del confronto e criterio del confronto asintotico. Le funzioni da usare per il confronto
asintotico: 1/xα e 1/[xα (ln x)β ]. Esempio. Criterio di convergenza assoluta.
Ulteriori esercizi sull’uso del polinomio di Taylor.