Introduzione alla Relativita` Ristretta

Relatività ristretta:
un’introduzione
Fabio Ambrosino
Masterclass in Particle Physics 2017
Perché la relatività ?
• Le particelle elementari si muovono a velocità prossime a
quelle della luce: sono descrivibili solo tenendo conto della
teoria della relatività.
• L’equivalenza massa-energia gioca un ruolo cruciale nella
comprensione dei processi «virtuali» e nella descrizione dei
mediatori delle interazioni fondamentali.
• ….e poi…perché è una teoria potente, elegante, che ha una
profonda influenza su come concepiamo lo spazio e il tempo !
2
Relatività = «Tutto è relativo» ?!
• Ciò che si osserva dipende dal punto di vista
dell’osservatore…è una considerazione del tutto ovvia.
• Questa è quella che il grande fisico R.P. Feynman chiamava «la
relatività dei filosofi da cocktail party»….
3
Spostamento e velocità
y
O
xA
x
4
Spostamento e velocità
Velocità v
Dx = xB-xA
y
Spostamento
Dt = tB-tA
O
xA
xB
x
5
Intervallo di tempo
Spostamento e velocità
x’A = xA – OO’
y
y'
x’B = xB – OO’
Spostamento
Velocità v’
Dx’ = x’B-x’A
Dt = tB-tA
O
O’
x’A
x’B
x
x’
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Intervallo di tempo
v = v’ ?
• Se il sistema O’x’y’ è fermo rispetto al sistema Oxy, la velocità
misurata in entrambi i sistemi è la stessa…ma….
• Cosa succede se O’x’y’ si muove rispetto ad Oxy ?
• Sappiamo già la risposta, se pensiamo alla velocità del
passeggero di un treno vista nel sistema del treno (= 0) e vista
in un sistema solidale al binario (= Vtreno) : la velocità misurata
in sistemi in moto relativo uno rispetto all’altro non resta la
stessa !
• (Questo era noto secoli prima di Einstein naturalmente !!!!)
• Se il moto del sistema O’x’y’ è rettilineo uniforme è molto
facile calcolare quanto fa x’ e quindi v’….
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Trasformazioni di Galileo
• Supponiamo che il sistema O’x’y’ si muova con velocità U
rispetto al sistema Oxy a partire da t = 0.
• All’istante tA l’origine O’ si sarà spostata di OO’ = UtA e quindi
x’A = xA-OO’ = xA – UtA
x’B = xB-OO’ = xB – UtB
• In ogni istante la posizione di un oggetto puntiforme in Ox’y’
sarà data da :
x’= x – Ut
8
Addizione (classica) delle velocità
• Se un corpo si muove con velocità v nel sistema «fisso» Oxy
allora il suo spostamento nel sistema O’x’y’ sarà dato da:
x’B-x’A = xB - UtB – (xA- UtA) = xB-xA - U(tB-tA)
• Dividendo tutto per Dt = tB-tA otteniamo la legge di addizione
delle velocità secondo Galileo ( e Newton ):
v’= v - U
9
N.B. U può essere negativa ! v’ può essere maggiore o minore di v
Un esempio: U = v
y
y'
O
O’
x’A
x
x’
10
Un esempio: U = v
y
Velocità v’=0
Dx’ = x’B-x’A
y'
Dt = tB-tA
O
O’
x’B =x’A
x
x’
11
Intervallo di tempo
Principio di relatività
Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto
coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili
animaletti volanti: siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de'
pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a
goccia vada versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca che
sia posto a basso; e stando ferma la nave, osservate diligentemente
come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti
della stanza. [..] Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose,
benché niun dubbio ci sia mentre il vascello sta fermo non debbano
succedere così: fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; ché
(pur di moto uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non
riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti; né da
alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina, o pure sta
ferma. »
G. Galilei Dialogo sopra i due massimi sistemi, Giornata seconda, 1632
12
Profonde conseguenze…
• Combinando il principio di relatività e la legge di addizione delle
velocità si capisce subito che la quiete e il moto rettilineo uniforme
sono del tutto equivalenti: se un corpo è in moto rettilineo
uniforme in un sistema, esso sarà in quiete in un altro sistema in
moto relativo a questo con la stessa velocità del corpo, e viceversa,
un corpo in quiete viene visto muoversi di moto rettilineo uniforme
in un altro sistema in moto rettilineo uniforme rispetto al primo.
• Queste considerazioni portarono Newton a formulare il principio di
inerzia e in definitiva a scrivere la famosissima
F =ma , superando
la concezione scolastico-Aristotelica che voleva che per il moto fosse
necessaria una causa.
• Conseguenze ancora più drammatiche erano in agguato….
13
Come funziona un paracadute ?
• Forza di attrito con l’aria
proporzionale alla velocità
• La resistenza quindi impedisce al
corpo di accelerare durante tutta
la caduta-> velocità limite.
• Ma…in un sistema di riferimento
solidale al paracadutista la sua
velocità è zero, e la forza frenante
allora è zero anche lei !!!
• Nel dubbio meglio non buttarsi..
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Come funziona un paracadute ?
• Forza di attrito con l’aria
proporzionale alla velocità
• La resistenza quindi impedisce al
corpo di accelerare durante tutta
la caduta-> velocità limite.
• Ma…in un sistema di riferimento
solidale al paracadutista la sua
velocità è zero, e la forza frenante
allora è zero anche lei !!!
• Nel dubbio meglio non buttarsi..
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Come funziona un paracadute ?
• Forza di attrito con l’aria
proporzionale alla velocità
• La resistenza quindi impedisce al
corpo di accelerare durante tutta
la caduta-> velocità limite.
• In un sistema di riferimento
solidale al paracadutista la sua
velocità è zero, ma si osserva un
«vento» di velocità –v e la forza di
attrito è la stessa vista da un
sistema solidale al suolo
• La forza può dipendere dalla
velocità, perché quella velocità è
relativa a un mezzo in quiete
(l’aria)
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Velocità della luce
• Le equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo permettono
di descrivere la luce come un’onda elettromagnetica.
• Esse prevedono che nel vuoto tale onda si propaghi con una
velocità ben definita, data dal prodotto di due costanti
fondamentali:
1
𝑐=
= 299 792 458 m / s
𝜖0 𝜇0
Ottimo, ma…..in quale sistema di riferimento ?
o, meglio, relativamente a quale mezzo se
siamo nel vuoto?
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L’etere luminifero
• Ipotesi: esiste un mezzo, l’etere, in cui si propaga la luce ( e
tutte le altre onde e.m.). Allora c non è altro che la velocità
dell’onda e.m. rispetto all’etere !
• Ma allora, se mi muovo con velocità U rispetto all’etere
osserverò l’onda muoversi con velocità data dalle
trasformazioni di Galileo, in particolare:
• Se U è nel verso opposto alla velocità dell’onda avrò:
c’ = c – (- U) = c + U
• Viceversa, se U «insegue» nello stesso verso l’onda:
c’ = c – U
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Superman e lo specchio
La luce dalla faccia di Superman parte con velocità c rispetto all’etere….
…ma Superman si muove nell’etere a velocità U = c…..
…allora la velocità della luce rispetto a Superman è v’ = c – U = 0…..
…..Superman non si riflette nello specchio !!!!!!!!!!!!!!
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Superman e lo specchio
La luce dalla faccia di Superman parte con velocità c rispetto all’etere….
…ma Superman si muove nell’etere a velocità U = c…..
…allora la velocità della luce rispetto a Superman è v’ = c – U = 0…..
…..Superman non si riflette nello specchio !!!!!!!!!!!!!!
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Superman e lo specchio
La luce dalla faccia di Superman parte con velocità c rispetto all’etere….
…ma Superman si muove nell’etere a velocità U = c…..
…allora la velocità della luce rispetto a Superman è v’ = c – U = 0…..
…..Superman non si riflette nello specchio !!!!!!!!!!!!!!
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Ma soprattutto, Superman sa se si sta muovendo oppure no senza
guardare fuori…gli basta osservare lo specchio !!!!!!
Tre possibilità
• Il principio di relatività di Galileo è falso: esiste il «moto
assoluto» (e quindi la quiete assoluta) e si può sapere con un
esperimento se si è fermi o in moto rettilineo uniforme
rispetto all’etere
• Le leggi dell’elettromagnetismo sono sbagliate. Non esiste
alcuna costante c
• Le trasformazioni di Galileo, e le leggi della dinamica di
Newton che da queste discendono, sono sbagliate.
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Tre possibilità
• Il principio di relatività di Galileo è falso: esiste il «moto
assoluto» (e quindi la quiete assoluta) e si può sapere con un
esperimento se si è fermi o in moto rettilineo uniforme
rispetto all’etere
• Le leggi dell’elettromagnetismo sono sbagliate. Non esiste
alcuna costante c
• Le trasformazioni di Galileo, e le leggi della dinamica di
Newton che da queste discendono, sono sbagliate.
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L’esperimento di MichelsonMorley
Risultato stranissimo !!!! La velocità della luce non dipende
dalla velocità della Terra rispetto all’etere !!!!....( e fa proprio il
valore atteso c; esperimento di Fizeau…)
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Tre possibilità
• Il principio di relatività di Galileo è falso: esiste il «moto
assoluto» (e quindi la quiete assoluta) e si può sapere con un
esperimento se si è fermi o in moto rettilineo uniforme
rispetto all’etere
• Le leggi dell’elettromagnetismo sono sbagliate. Non esiste
alcuna costante c
• Le trasformazioni di Galileo, e le leggi della dinamica di
Newton che da queste discendono, sono sbagliate.
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Einstein, 1905
• Il principio di relatività è vero e si applica a tutti i fenomeni
(meccanici ed elettromagnetici). Non esiste alcun etere né alcun
sistema privilegiato.
• La velocità della luce nel vuoto c è una costante universale,
indipendente dal sistema di riferimento.
• Quindi, la legge di composizione delle velocità di Galileo è falsa.
Quella vera, proposta da Einstein, è :
𝒗 −𝑼
𝒗 =
𝒗⋅𝑼
𝟏− 𝟐
𝒄
′
26
Velocità limite
• Cosa succede se due particelle di velocità ¾ c collidono una
verso l’altra ? Quanto fa le velocità relativa ?
• Applichiamo la formula di addizione di Einstein:
𝟑
𝟑
𝒄 − (− 𝒄) 𝟔 𝟏𝟔
𝒗
−
𝑼
𝟒
𝟒
′
𝒗 =
=
= 𝒄⋅
𝟐
𝒗⋅𝑼
𝟗𝒄
𝟒
𝟐𝟓
𝟏− 𝟐
𝟏
+
𝒄
𝟏𝟔𝒄𝟐
𝟐𝟒
=
𝒄
𝟐𝟓
È facile vedere che con questa formula non si può mai superare c !
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Ma….
• ….noi la formula di addizione delle velocità di Galileo
l’avevamo DIMOSTRATA, a partire da semplici considerazioni
geometriche….
• …non può essere falsa….…a meno che…..
x’B-x’A = xB - UtB – (xA- UtA) = xB-xA - U(tB-tA)
Per ottenere le velocità abbiamo diviso per (tB-tA).
E se il tempo scorresse in modo diverso nei due
sistemi ????
28
Relatività della simultaneità
29
Relatività della simultaneità
30
Causalità
31
Trasformazioni di Lorentz
• Einstein propose che le trasformazioni di Galileo dovessero essere
modificate, e che il tempo dipendesse dallo stato di moto (!!!!)
• Nel passare da un sistema all’altro non dobbiamo modificare solo le
posizioni ma anche i tempi, così:
𝑥 ′ = 𝛾 𝑥 − 𝑈𝑡
𝑡 ′ = 𝛾 𝑡 − 𝑈𝑥/𝑐 2
𝛾=
1
𝑈2
1− 2
𝑐
Il fattore g è sempre maggiore o uguale
a 1 e tende a infinito quando U si
avvicina a c
U/c
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Conseguenze
• Impossibilità dell’azione a distanza: Discende
immediatamente dal concetto di velocità limite, un’azione a
distanza propagherebbe i suoi effetti con velocità infinita.
Questo porta direttamente al concetto di campo, e, in
Meccanica Quantistica, al concetto di mediatore
• Dilatazione dei tempi : un orologio in movimento «batte il
tempo» a un ritmo più lento di un fattore g : Δ𝑡 ′ = 𝛾Δt
• Contrazione delle lunghezze : un righello in movimento «si
accorcia» di un fattore g : L′ = L0 /𝛾. Questo perché per
misurarne la lunghezza devo misurare la distanza fra gli
estremi allo stesso istante. Ma la simultaneità è relativa !
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Definizione operativa
• In Fisica non ci si pone la questione filosofica di cosa «sia» una
certa grandezza.
• Le grandezze sono definite dal metodo usato per misurarle !
• Quindi, la fondamentale domanda «cos’è il tempo ?» ha una
sola, inequivocabile risposta….
Il tempo è quella grandezza fisica che si misura con un orologio
E un orologio è un qualunque dispositivo che presenti un
fenomeno periodico
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Dilatazione dei tempi
Δ𝑡 ′ 2
=
𝐷2
𝐿2
Δ𝑡
2
′
𝑈Δ𝑡
D2 = 𝐿2 +
2
Δ𝑡 ′ 2
U2
1 − 2 Δ𝑡
4L
Δ𝑡 ′
U2 2 2
1 − 2 4𝐿 /𝑐 = Δ𝑡
4L
2
= Δ𝑡
2
2
2
35
2
Contrazione delle lunghezze
y
y'
B
A
t’1
t’2
Chiamiamo:
L la lunghezza della
barra nel sistema in cui
è ferma (Oxy)
t1;t2
O
O’
U
x
x’
L’ la lunghezza nel
sistema in cui essa si
muove (O’x’y’)
In O’x’y’ : la barra si muove con velocità U, l’orologio è fermo, all’istante t1
l’estremo A passa per un traguardo, all’istante t2 l’estremo B passa per lo
stesso traguardo, la lunghezza della barra è L’ = U(t2-t1)
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Contrazione delle lunghezze
y
y'
B
A
t’1
t’2
t1;t2
O
O’
U
x
x’
Chiamiamo:
L la lunghezza della
barra nel sistema in cui
è ferma (Oxy)
L’ la lunghezza nel
sistema in cui essa si
muove (O’x’y’)
In Oxy : la barra è ferma, l’orologio si muove con velocità U, all’istante t’1
l’estremo A passa per un traguardo, all’istante t’2 l’estremo B passa per lo
stesso traguardo, la lunghezza della barra è L = U(t’2-t’1). Ma (t’2-t’1) = g (t2-t1).
Quindi L’ = L/g
37
Massa e forza
• Applicando una forza costante parallela alla velocità da F = m a
risulta una accelerazione costante a e una velocità sempre
crescente. Questo è in disaccordo col principio della velocità
limite.
• Ma se lunghezze e intervalli di tempo dipendono dallo stato di
moto, perché non la massa ?
• I calcoli sono un po’ meno banali di quelli visti finora, ma si
può mostrare che la massa deve variare col moto, rispetto alla
massa «a riposo» m0 secondo la legge:
𝑚 = 𝛾𝑚0
38
Energia
• In meccanica classica l’energia cinetica posseduta da un corpo
è data dalla ben nota relazione:
1
𝐾 = 𝑚𝑣 2
2
• Valgono separatamente sia una conservazione dell’energia
(meccanica + termica) che una conservazione della massa
(Lavoisier).
• Come cambiano questi concetti nel caso relativistico ?
39
Equivalenza massa energia
• La quantità realmente conservata è:
𝐸=
4
1
3𝑚
𝑣
0
𝑚02 𝑐 4 + 𝛾 2 𝑐 2 𝑚02 𝑣 2 ≃ 𝑚0 𝑐 2 + 𝑚0 𝑣 2 +
…
2
2
8𝑐
• Processi che violano la legge di Lavoisier sono possibili, purché
si conservi l’energia totale. Ma questo significa che la massa
non è altro che energia….e viceversa, naturalmente !
• Gli effetti combinati di questa legge fisica e del principio di
indeterminazione sono alla base del concetto di mediatore
virtuale in fisica delle particelle.
40
Domande, domande, domande…
• Le migliori:
D1) Ma se noi ci muoviamo, grazie al moto della Terra, velocemente
rispetto a persone su un altro pianeta e loro si muovono velocemente
rispetto a noi, quale orologio scorre più lentamente ?
R1) Questa è una variazione sul tema del classico paradosso dei
gemelli. La risposta è che finche si rimane in moto relativo entrambi
vedono «l’orologio» dell’altro battere più lentamente il tempo. Una
analogia che può aiutare è pensare a come la lontananza fra due
osservatori fa apparire più piccolo ciascuno dei due per effetto della
prospettiva. Se vengono riportati in quiete relativa è quello dei due che
ha subito una accelerazione (per fermarsi e tornare indietro…) che
risulterà più giovane dell’altro.
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Domande, domande, domande…
• Le migliori:
D1) Un fotone ha massa zero ed energia hf dove f è la frequenza.
Ma non dovrebbe avere energia nulla se E=mc2 ?
R1) In effetti E NON è uguale a mc2 . Questa è l’espressione della
massa a riposo di una particella: un fotone viaggia a velocità c e
non può essere mai a riposo. La sue energia è tutta cinetica. La
relazione 𝐸 =
𝑚02 𝑐 4 + 𝛾 2 𝑐 2 𝑚02 𝑣 2 può essere vista per un
fotone :
𝐸=
𝛾 2 𝑐 4 𝑚02 = 𝑐 2 𝛾 𝑚0 . Il prodotto 𝛾 𝑚0 può essere finito e
diverso da zero anche se m0 fa zero perché se v=c allora 𝛾 è
infinito.
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