Problemi trigonometrici con più soluzioni
E’ utile fare un parallelo con il primo ed il secondo criterio di congruenza dei
triangoli: il secondo criterio stabilisce che è possibile risolvere un triangolo di cui
sono noti un lato e due angoli qualsiasi (non è infatti necessario conoscere i due
angoli adiacenti al lato), mentre la stessa situazione non si ritrova nel caso di un
triangolo di cui sono noti due lati ed un angolo non compreso tra di essi. Nel caso
in cui si conoscano un lato e due angoli qualsiasi, è possibile ricavare il terzo visto
che la somma deve essere pari ad un angolo piatto, siamo in grado di determinare i
due lati mancanti; supponiamo infatti che siano noti a, β e γ, l’angolo α sarà pari a
(180◦ − β − γ) e dunque ci possiamo ricavare la costante 2R dalla relazione
a
= 2R;
sin α
i lati incogniti b e c possono essere allora trovati mediante le relazioni
a
b
=
;
sin α
sin β
a
c
=
.
sin α
sin γ
Se invece sono noti i due lati a e b e l’angolo α si possono trovare due soluzioni
distinte (si veda a tal proposito la figura 1).
In realtà dobbiamo considerare più casi:
• se α ≥ 90◦ si ha un triangolo, purché a > b (altrimenti non ci sono soluzioni)
• se α < 90◦ si ha un solo triangolo se a ≥ b
• se α < 90◦ si hanno due soluzioni distinte se b sin α < a < b (è questo il caso
della figura 1)
• se α < 90◦ si ha un’unica soluzione se a = b sin α
• se α < 90◦ non si hanno soluzioni se a < b sin α
Esempio 1. Determinare la lunghezza del lato c sapendo che α = 25◦ , b = 20 e
a = 16. Visto che b sin α = 20 · sin 25◦ = 20 · 0, 423 = 8, 46 si hanno due soluzioni
perché
b sin α = 8, 46 < a = 16 < b = 20 .
Calcoliamo allora queste due soluzioni:
b
a
=
sin α
sin β
⇒
16
20
◦ =
sin 25
sin β
⇒
sin β = sin 25◦ ·
20
= 0, 528
16
Con la funzione arcsin è possibile ricavare le due ampiezze possibili per l’angolo β:
β1 = arcsin 0, 528 = 31◦ , 87 ;
β2 = 180◦ − 31◦ , 87 = 148◦ , 13 .
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Figura 1: Dati due lati a e b e l’angolo α, si trovano come soluzione due triangoli
distinti
Le ampiezze dei due angoli gamma sono, rispettivamente:
γ1 = 180◦ − β1 − α = 180◦ − 31◦ , 87 − 25◦ = 123◦ , 13
γ2 = 180◦ − β2 − α = 180◦ − 148◦ , 13 − 25◦ = 6◦ , 87
La lunghezza del terzo lato c può essere determinata in più modi; facciamo ricorso
al teorema del coseno:
c21 = a2 + b2 − 2ab cos γ1 = 162 + 202 − 2 · 16 · 20 · cos 123◦ , 13 = 1005, 79 ⇒ c1 = 31, 71
c22 = a2 + b2 − 2ab cos γ2 = 162 + 202 − 2 · 16 · 20 · cos 6◦ , 87 = 20, 60 ⇒ c2 = 4, 54 .
Osservazione 2. Se nei dati del problema il lato opposto all’angolo noto
è più lungo dell’altro lato assegnato, c’è una sola soluzione (ovvero esiste
un solo triangolo che risponde esattamente alle condizioni richieste). Nel seguente
esempio esiste un solo triangolo che ha le caratteristiche desiderate:
Esempio 3. Calcolare la lunghezza di c e le ampiezze degli angoli α e γ sapendo
che a = 5, b = 8 e β = 32◦ . Esiste un’unica soluzione; infatti, il lato b (opposto
all’angolo assegnato β) ha una lunghezza maggiore di a.
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Se lo risolviamo troviamo:
a
b
5
8
=
⇒
=
⇒
sin α
sin β
sin α
sin 32◦
sin 32◦
= 0, 331 ⇒ α = 19◦ , 34 .
8
L’angolo γ può essere ottenuto semplicemente dalla relazione:
⇒ sin α = 5 ·
α + β + γ = 180◦ ⇒ γ = 180◦ − 32◦ − 19◦ , 34 = 128◦ , 66 .
Esempio 4. Calcolare la lunghezza di c e le ampiezze degli angoli α e γ sapendo
che a = 3, b = 8 e α = 46◦ . In questo caso non abbiamo alcuna soluzione:
a < b · sin α ⇒ 3 < 8 · sin 46◦ = 5, 75
possiamo dunque affermare che non esistono triangoli con i requisiti voluti (si
veda la figura 2).
Figura 2: Il lato a è “troppo corto” e non riesce a “toccare” la linea tratteggiata.
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