Calcolo del momento d`inerzia

MOTO ROTOTRASLATORIO DI UN CORPO RIGIDO
Equazioni cardinali
Prima equazione cardinale:


dv c
M
= Fext
dt
Esprime il teorema del moto del centro di massa: il moto del
centro di massa del corpo rigido è quello di un punto materiale a
cui si può immaginare di applicare la risultante delle forze esterne
agenti sul corpo rigido.
Seconda equazione cardinale:


dL
= τ
dt
Rappresenta l'equazione fondamentale per lo studio delle rotazioni
dei corpi rigidi. E’ valida solo se si considera, come polo rispetto
a cui calcolare il momento risultante delle forze esterne e il
momento angolare, il centro di massa C oppure un punto fisso
oppure ancora un punto che si muove con velocità parallela a C .
Infatti:

LA =


×
(
r
m
v
∑ i, A i i ) =
i

dL A

 
= τ A + M vC × v A
dt
 

−
×
(
)
(
r
r
m
v
∑ i A
i i )
i
APPLICAZIONI DELLA SECONDA EQUAZIONE CARDINALE:
CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE
In assenza di momenti esterni, la seconda equazione cardinale
diventa:


dL
= 0
dt
ossia:

L = cost.
Più in generale, se il momento meccanico risultante delle forze
esterne agenti sul corpo è nullo, il vettore momento angolare del
corpo stesso rimane costante nel tempo.
(conservazione del momento angolare).
Si noti l’analogia formale con la conservazione della quantità di
moto e l’equivalenza tra grandezze lineari e rotazionali.
Grandezze lineari
Velocità
Accelerazione
Massa
Quantità di moto
Forza
Grandezze rotazionali
v = dr/dt
a = dv/dt
M
P=Mv
F = dP/dt
Velocità angolare
Accelerazione angolare
Momento d’inerzia
Momento angolare
Momento torcente
ω = dθ /dt
α = dω /dt
I = Σ mi ri2
L=Iω
τ = dL/dt
La prima legge di Newton (legge d’inerzia per il moto traslatorio)
è equivalente alla legge di conservazione del momento angolare
(legge d’inerzia per il moto rotatorio).
Se il corpo ruota attorno ad un asse principale:


L = I ω = cost.
Il corpo continua a ruotare attorno all’asse con velocità angolare
costante (in modulo, direzione e verso).
Esempi importanti: la trottola ed il giroscopio
(a)
(b)
(a) Schema di giroscopio. (b) L’asse di rotazione di un giroscopio non
soggetto a momenti rimane fisso nello spazio e pertanto ruota rispetto alla
Terra.
Bussola giroscopica  Ha il vantaggio di orientarsi verso il Nord
vero, non essendo soggetta ad alcuna anomalia magnetica locale.
APPLICAZIONI DELLA SECONDA EQUAZIONE CARDINALE:
VARIAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE


dL = τ dt
(a) Se il momento torcente è parallelo al momento angolare, esso
modifica il modulo ma non la direzione di quest’ultimo.
(b) Se il momento torcente è perpendicolare al momento angolare,
esso modifica la direzione ma non il modulo di quest’ultimo.
Infatti:

duˆ P dL

dL d
dL
dφ
uˆ P + L
uˆ P + L
uˆ N = τ
= ( L uˆ P ) =
=
dt dt
dt
dt
dt
dt
Caso (a):

τ = τ uˆP ⇒
dφ
=0
dt
Caso (b):

τ = τ uˆ N ⇒
dL
=0
dt
Stabilità dei corpi in rotazione
 ∆L 

 L 
θ = arctan 
A parità di momento torcente agente sul corpo, la variazione di
direzione del momento angolare è tanto minore quanto maggiore è
il modulo di L.
Conferendo ad un corpo un’elevata velocità angolare attorno ad
un suo asse di simmetria si rende stabile la sua orientazione nello
spazio: momenti torcenti esterni avranno difficoltà a modificare la
direzione dell’asse di rotazione (effetto giroscopico).
Esempi notevoli di stabilizzazione per rotazione:
1) il proiettile;
2) il satellite artificiale.
APPLICAZIONI DELLA SECONDA EQUAZIONE CARDINALE:
IL MOTO DI PRECESSIONE
In una trottola omogenea messa in rotazione come in figura, L è
parallelo ad ω e perpendicolare a τ (momento torcente associato
alla forza peso). Di conseguenza dL risulta istante per istante
ortogonale ad L, che pertanto descrive una superficie conica con
vertice in O (moto di precessione).
Precessione del Polo Nord celeste: geometria del problema
Precessione del polo Nord celeste: variazione nel tempo della
posizione del polo
MOTO ROTATORIO DI UN CORPO RIGIDO INTORNO AD UN
ASSE FISSO
Si consideri il riferimento inerziale S(O; x,y,z), con l’asse z
coincidente l’asse fisso di rotazione del corpo, e la terna di assi
(x’,y’,z’) solidali con il corpo, aventi origine in O e tali che z’ ≡ z.
Un unico parametro (l’angolo ϑ ) definisce univocamente la
posizione del corpo rigido al variare del tempo.
Caso a): l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia
L’equazione del moto (seconda equazione cardinale):


dL
= τ
dt
(1)
diventa in tal caso:


d ( Iω )
= τ
dt


dω
I
= τ
dt


(2)
ω = ω0 + ∫

ω = ω zˆ =

τ
I
dt
dϑ
zˆ
dt
⇔
dϑ
= ω
dt
ϑ = ϑ0 + ∫ ω dt
Soluzione formale dell’equazione del moto di un corpo rigido.
Considerazioni ed implicazioni relative alla Eq. (2)
Esiste un’analogia formale tra la (2) e l’equazione del moto di una
particella:


m (dv dt ) = F .
Per la (2), se τ = 0, allora I ω = costante.
A questo punto:
1) Il corpo è rigido, per cui I = costante, allora ω = costante:
un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse principale ruota
con velocità angolare costante quando non sono applicati
momenti esterni (vedi sopra).
2) Il corpo non è rigido, per cui:
I aumenta (o diminuisce) ⇒ ω diminuisce (o aumenta) in modulo.
Esempio: atleta con manubri seduto su uno sgabello girevole
Caso b): l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia
Si considera la componente scalare della (1) lungo l’asse z:
dLz
= τz
dt
d ( Iω )
= τz
dt
dω
= τz
I
dt
ω = ω0 + ∫
τz
I
dt
dϑ
= ω
dt
ϑ = ϑ0 + ∫ ω dt
Soluzione formale dell’equazione del moto di un corpo rigido.
MOTO ROTATORIO DI UN CORPO RIGIDO INTORNO AD UN
PUNTO FISSO
Si consideri il riferimento inerziale S(O; x,y,z), con O coincidente
con il punto fisso del corpo, e la terna di assi (x′,y′,z′) solidali con
il corpo e aventi origine in O.
Non esiste un unico parametro angolare in grado di definire
univocamente la posizione del corpo rigido al variare del tempo.
Equazione del moto (seconda equazione cardinale)


dL
= τ
dt
(1)
In questo caso generale:


L = ℑ ⋅ω
ℑ
è la cosiddetta matrice (o tensore) d’inerzia, definita come:
 I x′ x′

ℑ =  I y ′ x′
I
 z ′ x′
I x′ y ′
I y′ y′
I z′ y′
I x′ z ′ 

I y′ z′ 
I z ′ z ′ 
dove:
I x′ x′ = I x′
I y′ y′ = I y′
I z′ z′ = I z′
sono i momenti d’inerzia del corpo rispetto agli assi solidali x′, y′
e z′. Gli altri elementi della matrice sono detti prodotti d’inerzia e
sono del tipo:
I x′ y ′ = I y ′ x′ = − ∫ x′ y ′ ρ dV
e simili.
Con un’opportuna scelta la terna solidale risulta costituita da assi
principali d’inerzia. In tal caso:
 I x′

ℑ =  0
 0

0
I y′
0
0

0
I z ′ 

L = I x′ ω x′ xˆ′ + I y ′ ω y ′ yˆ ′ + I z ′ ω z ′ zˆ′

τ = τ x′ xˆ′ + τ y ′ yˆ ′ + τ z ′ zˆ′
dω y ′
 
dω x′
dω z ′
τ = I x′
zˆ′ + ω × L
xˆ′ + I y ′
yˆ ′ + I z ′
dt
dt
dt

Equazioni di Eulero:
dω x ′

τ x′ = I x′ dt + ( I z′ − I y′ ) ω y′ ω z′

dω y ′

+ ( I x′ − I z ′ ) ω x′ ω z ′
τ y′ = I y′
dt

dω z ′

τ
I
=
+ ( I y ′ − I x′ ) ω x′ ω y ′
z′
 z′
dt

Le equazioni di Eulero (note le forze esterne applicate al corpo, e
quindi il momento meccanico risultante, noti i momenti d’inerzia
rispetto ai tre assi x′, y′ e z′, e nota la velocità angolare iniziale)
permettono di calcolare la velocità angolare in funzione del tempo.