MOTO ROTOTRASLATORIO DI UN CORPO RIGIDO
Equazioni cardinali
Prima equazione cardinale:
dv c
M
= Fext
dt
Esprime il teorema del moto del centro di massa: il moto del
centro di massa del corpo rigido è quello di un punto materiale a
cui si può immaginare di applicare la risultante delle forze esterne
agenti sul corpo rigido.
Seconda equazione cardinale:
dL
= τ
dt
Rappresenta l'equazione fondamentale per lo studio delle rotazioni
dei corpi rigidi. E’ valida solo se si considera, come polo rispetto
a cui calcolare il momento risultante delle forze esterne e il
momento angolare, il centro di massa C oppure un punto fisso
oppure ancora un punto che si muove con velocità parallela a C .
Infatti:
LA =
×
(
r
m
v
∑ i, A i i ) =
i
dL A
= τ A + M vC × v A
dt
−
×
(
)
(
r
r
m
v
∑ i A
i i )
i
APPLICAZIONI DELLA SECONDA EQUAZIONE CARDINALE:
CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE
In assenza di momenti esterni, la seconda equazione cardinale
diventa:
dL
= 0
dt
ossia:
L = cost.
Più in generale, se il momento meccanico risultante delle forze
esterne agenti sul corpo è nullo, il vettore momento angolare del
corpo stesso rimane costante nel tempo.
(conservazione del momento angolare).
Si noti l’analogia formale con la conservazione della quantità di
moto e l’equivalenza tra grandezze lineari e rotazionali.
Grandezze lineari
Velocità
Accelerazione
Massa
Quantità di moto
Forza
Grandezze rotazionali
v = dr/dt
a = dv/dt
M
P=Mv
F = dP/dt
Velocità angolare
Accelerazione angolare
Momento d’inerzia
Momento angolare
Momento torcente
ω = dθ /dt
α = dω /dt
I = Σ mi ri2
L=Iω
τ = dL/dt
La prima legge di Newton (legge d’inerzia per il moto traslatorio)
è equivalente alla legge di conservazione del momento angolare
(legge d’inerzia per il moto rotatorio).
Se il corpo ruota attorno ad un asse principale:
L = I ω = cost.
Il corpo continua a ruotare attorno all’asse con velocità angolare
costante (in modulo, direzione e verso).
Esempi importanti: la trottola ed il giroscopio
(a)
(b)
(a) Schema di giroscopio. (b) L’asse di rotazione di un giroscopio non
soggetto a momenti rimane fisso nello spazio e pertanto ruota rispetto alla
Terra.
Bussola giroscopica Ha il vantaggio di orientarsi verso il Nord
vero, non essendo soggetta ad alcuna anomalia magnetica locale.
APPLICAZIONI DELLA SECONDA EQUAZIONE CARDINALE:
VARIAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE
dL = τ dt
(a) Se il momento torcente è parallelo al momento angolare, esso
modifica il modulo ma non la direzione di quest’ultimo.
(b) Se il momento torcente è perpendicolare al momento angolare,
esso modifica la direzione ma non il modulo di quest’ultimo.
Infatti:
duˆ P dL
dL d
dL
dφ
uˆ P + L
uˆ P + L
uˆ N = τ
= ( L uˆ P ) =
=
dt dt
dt
dt
dt
dt
Caso (a):
τ = τ uˆP ⇒
dφ
=0
dt
Caso (b):
τ = τ uˆ N ⇒
dL
=0
dt
Stabilità dei corpi in rotazione
∆L
L
θ = arctan
A parità di momento torcente agente sul corpo, la variazione di
direzione del momento angolare è tanto minore quanto maggiore è
il modulo di L.
Conferendo ad un corpo un’elevata velocità angolare attorno ad
un suo asse di simmetria si rende stabile la sua orientazione nello
spazio: momenti torcenti esterni avranno difficoltà a modificare la
direzione dell’asse di rotazione (effetto giroscopico).
Esempi notevoli di stabilizzazione per rotazione:
1) il proiettile;
2) il satellite artificiale.
APPLICAZIONI DELLA SECONDA EQUAZIONE CARDINALE:
IL MOTO DI PRECESSIONE
In una trottola omogenea messa in rotazione come in figura, L è
parallelo ad ω e perpendicolare a τ (momento torcente associato
alla forza peso). Di conseguenza dL risulta istante per istante
ortogonale ad L, che pertanto descrive una superficie conica con
vertice in O (moto di precessione).
Precessione del Polo Nord celeste: geometria del problema
Precessione del polo Nord celeste: variazione nel tempo della
posizione del polo
MOTO ROTATORIO DI UN CORPO RIGIDO INTORNO AD UN
ASSE FISSO
Si consideri il riferimento inerziale S(O; x,y,z), con l’asse z
coincidente l’asse fisso di rotazione del corpo, e la terna di assi
(x’,y’,z’) solidali con il corpo, aventi origine in O e tali che z’ ≡ z.
Un unico parametro (l’angolo ϑ ) definisce univocamente la
posizione del corpo rigido al variare del tempo.
Caso a): l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia
L’equazione del moto (seconda equazione cardinale):
dL
= τ
dt
(1)
diventa in tal caso:
d ( Iω )
= τ
dt
dω
I
= τ
dt
(2)
ω = ω0 + ∫
ω = ω zˆ =
τ
I
dt
dϑ
zˆ
dt
⇔
dϑ
= ω
dt
ϑ = ϑ0 + ∫ ω dt
Soluzione formale dell’equazione del moto di un corpo rigido.
Considerazioni ed implicazioni relative alla Eq. (2)
Esiste un’analogia formale tra la (2) e l’equazione del moto di una
particella:
m (dv dt ) = F .
Per la (2), se τ = 0, allora I ω = costante.
A questo punto:
1) Il corpo è rigido, per cui I = costante, allora ω = costante:
un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse principale ruota
con velocità angolare costante quando non sono applicati
momenti esterni (vedi sopra).
2) Il corpo non è rigido, per cui:
I aumenta (o diminuisce) ⇒ ω diminuisce (o aumenta) in modulo.
Esempio: atleta con manubri seduto su uno sgabello girevole
Caso b): l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia
Si considera la componente scalare della (1) lungo l’asse z:
dLz
= τz
dt
d ( Iω )
= τz
dt
dω
= τz
I
dt
ω = ω0 + ∫
τz
I
dt
dϑ
= ω
dt
ϑ = ϑ0 + ∫ ω dt
Soluzione formale dell’equazione del moto di un corpo rigido.
MOTO ROTATORIO DI UN CORPO RIGIDO INTORNO AD UN
PUNTO FISSO
Si consideri il riferimento inerziale S(O; x,y,z), con O coincidente
con il punto fisso del corpo, e la terna di assi (x′,y′,z′) solidali con
il corpo e aventi origine in O.
Non esiste un unico parametro angolare in grado di definire
univocamente la posizione del corpo rigido al variare del tempo.
Equazione del moto (seconda equazione cardinale)
dL
= τ
dt
(1)
In questo caso generale:
L = ℑ ⋅ω
ℑ
è la cosiddetta matrice (o tensore) d’inerzia, definita come:
I x′ x′
ℑ = I y ′ x′
I
z ′ x′
I x′ y ′
I y′ y′
I z′ y′
I x′ z ′
I y′ z′
I z ′ z ′
dove:
I x′ x′ = I x′
I y′ y′ = I y′
I z′ z′ = I z′
sono i momenti d’inerzia del corpo rispetto agli assi solidali x′, y′
e z′. Gli altri elementi della matrice sono detti prodotti d’inerzia e
sono del tipo:
I x′ y ′ = I y ′ x′ = − ∫ x′ y ′ ρ dV
e simili.
Con un’opportuna scelta la terna solidale risulta costituita da assi
principali d’inerzia. In tal caso:
I x′
ℑ = 0
0
0
I y′
0
0
0
I z ′
L = I x′ ω x′ xˆ′ + I y ′ ω y ′ yˆ ′ + I z ′ ω z ′ zˆ′
τ = τ x′ xˆ′ + τ y ′ yˆ ′ + τ z ′ zˆ′
dω y ′
dω x′
dω z ′
τ = I x′
zˆ′ + ω × L
xˆ′ + I y ′
yˆ ′ + I z ′
dt
dt
dt
Equazioni di Eulero:
dω x ′
τ x′ = I x′ dt + ( I z′ − I y′ ) ω y′ ω z′
dω y ′
+ ( I x′ − I z ′ ) ω x′ ω z ′
τ y′ = I y′
dt
dω z ′
τ
I
=
+ ( I y ′ − I x′ ) ω x′ ω y ′
z′
z′
dt
Le equazioni di Eulero (note le forze esterne applicate al corpo, e
quindi il momento meccanico risultante, noti i momenti d’inerzia
rispetto ai tre assi x′, y′ e z′, e nota la velocità angolare iniziale)
permettono di calcolare la velocità angolare in funzione del tempo.
