Riassunto del percorso effettuato finora Cosa è ancora necessario

Riassunto del percorso effettuato finora
•
Possono propagare in un plasma onde
elettromagnetiche utili per riscaldarlo?
•
Vi sono onde nel plasma utili anche per
generare corrente? Se sì, che
caratteristiche hanno?
•
•
Sì, onde e.m. che propagano sia nel
vuoto che nel plasma possono produrre
riscaldamento risonante alle frequenze di
ciclotrone ionica ed elettronica (rispett.
con f0 ∼ 100MHz, 100 GHz)
Sì, esistono modi longitudinali (quasielettrostatici) che propagano in plasmi ad
elevata densità, e sono assorbiti sulla
popolazione elettronica. Tali onde non
esistono nel vuoto
Cosa è ancora necessario conoscere?
•
Come progettare un’antenna che lanci nel
plasma onde e.m. (longitudinali) che non
sono accettate dal vuoto?
L’elettromagnetismo
nella ricerca per l’energia
da fusione nucleare di plasma d’idrogeno
Roberto Cesario
[email protected]
Associazione EURATOM-ENEA sulla Fusione
Centro Ricerche ENEA Frascati
Nella lezione di oggi entreremo nel vivo del presente corso integrativo:
Come progettare l’antenna per un sistema RF necessario per riscaldare e produrre
corrente in un plasma
Questi obiettivi sono fondamentali per la ricerca sull’energia da fusione nucleare
Dalla scorsa lezione sappiamo che l’onda elettronica di plasma propaga nel plasma e può cedere
energia agli elettroni per effetto del Landau damping. Quindi essa può generare corrente
L’onda elettronica (detta anche modo elettronico di plasma) è un’onda elettromagnetica
longitudinale (quasi-elettrostatica) che non è accettata dal vuoto (e dai comuni dielettrici).
L’antenna avrà pertanto un modo di funzionamento del tutto non convenzionale.
Dovremo oggi determinare come si modifica la relazione di dispersione dell’onda elettronica di
plasma nel caso di presenza del campo magnetico statico che viene utilizzato per intrappolare il
plasma degli esperimenti per la ricerca sulla fusione
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
L’assorbimento di un’onda e.m. con frequenza ω0 sulle particelle cariche di un plasma accade
alla condizione di risonanza ω0 = ωc e, i. Le particelle in tali condizioni “vedono” un campo
elettrico statico che le accelera
B rf
k
E rf
!
Centro guida
!
!
!c =
rL =
qB
m
v"
!c
frequenza di ciclotrone
=
mv"
q B
Raggio di Larmor
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Chiediamoci invece come cedere energia dell’onda agli elettroni che sono liberi di muoversi
nella direzione parallela al campo magnetico statico
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Siamo interessati a trasferire quantità di moto dall’onda agli elettroni che possono
muoversi liberamente lungo la direzione del campo magnetico statico
Ciò sarebbe utilissimo sia per riscaldare, sia per produrre corrente nel plasma !
E rf
k
v" #
vx
!
$
% vx
k
!
x
!
!
Analogamente al caso dell’assorbimento risonante alla frequenza di ciclotrone, dovremmo
fare in modo da far “sentire” agli elettroni con una certa velocità
vx un campo elettrico
!
statico allineato lungo x, in modo da accelerarli.
Questo sarebbe possibile solo se:
i)
velocità di fase dell’onda è prossima a quella delle particelle,
ii)
campo elettrico e vettore d’onda devono essere quasi allineati.
Dobbiamo utilizzare un’onda elettromagnetica longitudinale, cioè quasi-elettrostatica: " # E $ 0
!
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Onde elettromagnetiche longitudinali del tipo: E1 = E1e
i( kx x"#t)
x
associate ad oscillazioni della
popolazione elettronica possono effettivamente esistere in un plasma. La relazione di dispersione del
!
modo elettronico ottenuta con il modello fluido in un plasma freddo (Te=0) ed illimitato è:
Le oscillazioni elettroniche non propagano energia essendo:
Tali oscillazioni possono immaginarsi come come
prodotte da una serie di oscillatori meccanici identici non
accoppiati: in essi la frequenza è fissata ed il numero
d’onda è arbitrario appunto per l’assenza di
accoppiamento tra gli oscillatori.
ug "
#$
=0
#k
4 #n 0e 2
" pe =
m
!
!
Sintesi di un’onda con k arbitrario
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Onde elettromagnetiche longitudinali del tipo: E1 = E1e
i( kx x"#t)
x
associate ad oscillazioni della
popolazione elettronica possono effettivamente esistere in un plasma. La relazione di dispersione del
!
modo elettronico ottenuta con il modello fluido in un plasma freddo (Te=0) ed illimitato è:
Le oscillazioni elettroniche non propagano energia essendo:
Tali oscillazioni possono immaginarsi come come
prodotte da una serie di oscillatori meccanici identici non
accoppiati: in essi la frequenza è fissata ed il numero
d’onda è arbitrario appunto per l’assenza di
accoppiamento tra gli oscillatori.
ug "
#$
=0
#k
4 #n 0e 2
" pe =
m
!
!
Sintesi di un’onda con k arbitrario
La comparsa di accoppiamento avverrebbe se rimuovessimo la condizione di cercare onde
elettromagnetiche longitudinali per cui avremmo:
"# E = $
%B
&0
%t
Le comuni onde piane trasversali note dalla soluzione delle equazioni di Maxwell per il vuoto esistono
anche nei plasmi. Noi però siamo interessati a cercare i modi longitudinali perché questi sono utili per
generare corrente in un plasma con potenza a radiofrequenza.
!
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Onde elettromagnetiche longitudinali del tipo: E1 = E1e
i( kx x"#t)
x
associate ad oscillazioni della
popolazione elettronica possono effettivamente esistere in un plasma. La relazione di dispersione del
!
modo elettronico ottenuta con il modello fluido in un plasma freddo (Te=0) ed illimitato è:
Le oscillazioni elettroniche non propagano energia essendo:
Tali oscillazioni possono immaginarsi come come
prodotte da una serie di oscillatori meccanici identici non
accoppiati: in essi la frequenza è fissata ed il numero
d’onda è arbitrario appunto per l’assenza di
accoppiamento tra gli oscillatori.
ug "
#$
=0
#k
4 #n 0e 2
" pe =
m
!
!
Sintesi di un’onda con k arbitrario
La comparsa di accoppiamento avverrebbe se rimuovessimo la condizione di cercare onde
elettromagnetiche longitudinali per cui avremmo:
"# E = $
%B
&0
%t
Le comuni onde piane trasversali note dalla soluzione delle equazioni di Maxwell per il vuoto esistono
anche nei plasmi. Noi però siamo interessati a cercare i modi longitudinali perché questi sono utili per
generare corrente in un plasma con potenza a radiofrequenza.
!
Un plasma illimitato e freddo evidentemente non è in grado di manifestare importanti effetti collettivi.
Avevamo ottenuto il risultato sopra riportato per un plasma con ioni immobili, facendo sistema tra le equazioni del moto, di continuità e di
Gauss (linearizzate per piccole perturbazioni della densità, velocità e campo elettrico) applicate ad un plasma uniforme e totalmente freddo.
Il modello fluido impedisce che le fluttuazioni trovate possono ripercuotersi in un qualsiasi cambiamento della fdd delle velocità, appunto
perché questa possibilità non è descrivibile nei limiti del modello fluido che impone la fdd essere sempre di tipo maxwelliano.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Vediamo allora cosa succede al modo elettronico longitudinale, quasi-elettrostatico, trovato se abbandoniamo
l’approssimazione del modello fluido di plasma ed assumiamo che la funzione di distribuzione delle velocità
degli elettroni possa evolvere in una forma non necessariamente maxwelliana per effetto di una perturbazione
i(kx#$t) da cui ci aspettiamo che si origini un campo
della popolazione elettronica del tipo: f1 " e
elettromagnetico prevalentemente longitudinale del tipo
E = E e i( kx"#t) x
1
1
avendo omesso il suffisso “x” in pedice a k
Quasi-elettrostatico vuol dire!
che in tale modo sebbene è associato un campo magnetico, come ovviamente
deve essere in presenza di cariche in movimento,!esso non gioca un ruolo importante nella determinazione
delle principali caratteristiche dell’onda e in particolare della sua relazione di dispersione. Se uno volesse
determinare in modo esatto il flusso di energia associato all’onda dovrebbe includere anche il piccolo
contributo elettromagnetico.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Vediamo allora cosa succede al modo elettronico longitudinale, quasi-elettrostatico, trovato se abbandoniamo
l’approssimazione del modello fluido di plasma ed assumiamo che la funzione di distribuzione delle velocità
degli elettroni possa evolvere in una forma non necessariamente maxwelliana per effetto di una perturbazione
i(kx#$t) da cui ci aspettiamo che si origini un campo
della popolazione elettronica del tipo: f1 " e
elettromagnetico prevalentemente longitudinale del tipo
E = E e i( kx"#t) x
1
!
!
1
avendo omesso il suffisso “x” in pedice a k
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Vediamo allora cosa succede al modo elettronico longitudinale, quasi-elettrostatico, trovato se abbandoniamo
l’approssimazione del modello fluido di plasma ed assumiamo che la funzione di distribuzione delle velocità
degli elettroni possa evolvere in una forma non necessariamente maxwelliana per effetto di una perturbazione
i(kx#$t) da cui ci aspettiamo che si origini un campo
della popolazione elettronica del tipo: f1 " e
elettromagnetico prevalentemente longitudinale del tipo
E = E e i( kx"#t) x
1
1
Utilizzando il modello cinetico, facciamo sistema tra:
!
• L’equazione di Boltzmann-Vlasov
linearizzata (che gioca un ruolo analogo per la funzione di
!
dtstribuzione di quello che giocano le equazione
del moto e di continuità per il modello fluido):
"
"
e
"
f1( x,v x ,t ) + v x
f1 ( x,v x ,t ) # E1x $
f 0 (v) = 0
"t
"x
m
"v x
"f 0 (v)
ieE1x ( x,t ) "v x
f1 (x,v,t) =
m
# $ kv x
- avendo considerato i soli termini infinitesimi del 1^ ordine nello sviluppo fdd:
!
!
• e l’equazione di Gauss:
" # E = 4 $e(n i % n e )
!
ikE1x = %4 $en1
" # E = 4 $e(n i % n e0 % n1)
(
$f 0 v x , v y , v x
!
4 #e 2iE1x
Otteniamo: ikE1x = "
m
f (x,v,t) " f 0 (v) + f1( x,v x ,t ) + ...
&&&
$v x
% " kv x
ikE1x = %4 $e
)
d 3v
Da la relazione di dispersione (rdd) per il modo elettronico: 1 =
!
&&&
f1d 3v
" 2pe
k2
%
&
$%
)
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x
v x $ (" / k )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
(si intende: k // x )
!
Per progettare l’antenna (utile ad accoppiare potenza all’onda di plasma che è in grado a sua
volta di trasferire energia agli elettroni nella direzione parallela al campo magnetico statico)
dobbiamo risolvere la rdd, cioè trovare una relazione utilizzabile tra ω e k che caratterizza il
modo elettronico di plasma.
Tale relazione è indispensabile per comprendere il meccanismo di interazione onda-particelle.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
La singolarità nell’integrando per
è una quantità complessa e k reale
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
!
!
!
k
2
&
$%
v x $ (" / k )
dv x
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
La singolarità nell’integrando per
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
è una quantità complessa e k reale
!
Per lungo tempo si pensò che fosse lecito approssimare l’integrale con la parte principale di Cauchy
!
+%
&
+%
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x ' P
v x # ($ / k x )
&
#%
Im( v x )
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x (
v x # ($ / k x )
!
#%
v x =($ / k ) #
&
#%
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x +
v x # ($ / k x )
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x
v x # ($ / k x )
v x =( $ / k ) +
+%
&
Re( v x )
C1
" /k
!
!
!
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
La singolarità nell’integrando per
è una quantità complessa e k reale
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
!
!
Im( v x )
Ma il valore immaginario della frequenza non è affatto detto che sia un
parametro estraneo al problema del calcolo dell’integrale
!
Re( v x )
C1
" /k
!
!
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
La singolarità nell’integrando per
è una quantità complessa e k reale
k
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
!
!
Im( v x )
Landau intuì che trascurando il contributo della
parte immaginaria della frequenza si ometteva
un’importante proprietà fisica del modo
!
elettronico
Re( v x )
C1
" /k
!
!
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
La singolarità nell’integrando per
è una quantità complessa e k reale
k
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
!
!
Im( v x )
Landau intuì che trascurando il contributo della
parte immaginaria della frequenza si ometteva
un’importante proprietà fisica del modo
!
elettronico
Re( v x )
C1
" /k
!
Il teorema dei residui, che utilizza si un percorso di integrazione chiuso nel piano complesso, che
!
contenga l’asse reale e circondi il punto la cui parte reale coincide con la singolarità (parte reale)
dell’integrando, è uno strumento formidabile per calcolare in modo esatto l’integrale della rdd
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
k
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
La singolarità nell’integrando per
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
è una quantità complessa e k reale
!
Si potrebbe pensare di approssimare l’integrale con la parte principale di Cauchy
!
Ipotizzando: Im(" / k ) << 1
data la forma di
Re(" / k ) >> 1
)
f 0 (v x ):
Im( v x )
)
f 0 (v x ) " exp(#mv x 2 / 2KT )
! molto contributo per: v > Re(" / k ) >> 1
! derivata non dà
la sua
x
x
!
! f)
0
(v x )
!
Re( v x )
C1
!
" /k
v x > Re(" / k x ) >> 1
!
!
per cui l’integrale potrà approssimarsi con:
!
0
vx
+%
P
&
#%
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x '
v x # ($ / k x )
v x =($ / k ) #
&
#%
!
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x
v x # ($ / k x )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
teorema dei residui
C2
!
"
+C1
f ( z ) dz +
"
f ( z )dz = 2 #i [( z $ z 0 ) f ( z )]
z=z 0
Re( v x )
C1
+C 2
" /k
dove f(z) è funzione olomorfa con singolarità in z= z0 della variabile complessa z e
D è un dominio regolare contenuto nel campo in cui f(z) è olomorfa
!
!
Utilità fondamentale del teorema dei residui è proprio quella di permettere di calcolare in modo esatto
! un
integrale lungo l’asse reale che contiene una singolarità dell’integrando su un punto dell’asse reale. Se tale
punto ha anche una parte immaginaria, l’integrale può essere calcolato in modo più completo della semplice
approssimazione con la parte principale di Cauchy.
Per effettuare il calcolo si costruisce un percorso chiuso di integrazione nel piano complesso, che comprende
l’asse reale e circonda il punto la cui parte reale coincide con la singolarità (parte reale) dell’integrando.
L’integrale sui valori dell’asse reale, tranne la singolarità, corrisponde al valore principale di Cauchy.
L’integrale sulla restante parte del percorso del piano complesso *nel ns. Caso per valori complessi della
velocità) consente di tenere conto dell’ulteriore informazione non contenuta nella parte principale di Cauchy.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
teorema dei residui
C2
!
"
+C1
g( z ) dz +
"
g( z )dz = 2 #i [( z $ z 0 ) g( z )]
z=z 0
Re( v x )
C1
+C 2
" /k
dove f(z) è funzione olomorfa con singolarità in z= z0 della variabile complessa z e
!
D è un dominio regolare contenuto nel campo in cui f(z) è olomorfa
!
Siamo interessati al solo calcolo dell’integrale per velocità sull’intero asse reale a meno della !
singolarità
includendo anche l’effetto della parte immaginaria della frequenza.
Dal teorema dei residui abbiamo:
)
2"i #f 0 ( v x ) /#v x
[
]v
x =$ / k
=
&
+C1
!
)
#f 0 ( v x ) /#v x
+
v x % ($ / k )
&
+C 2
)
#f 0 ( v x ) /#v x
v x % ($ / k )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
teorema dei residui
C2
!
"
g( z ) dz +
+C1
"
g( z )dz = 2 #i [( z $ z 0 ) g( z )]
z=z 0
Re( v x )
C1
+C 2
" /k
dove f(z) è funzione olomorfa con singolarità in z= z0 della variabile complessa z e
!
D è un dominio regolare contenuto nel campo in cui f(z) è olomorfa
!
Siamo interessati al solo calcolo dell’integrale per velocità sull’intero asse reale a meno della!singolarità
includendo anche l’effetto della parte immaginaria della frequenza.
Dal teorema dei residui abbiamo:
)
2"i #f 0 ( v x ) /#v x
[
)
)
f
(v
)
Ma data la forma di 0 x : f 0 (v x ) " exp(#mv x 2 / 2KT )
]v
x =$ / k
=
&
)
#f 0 ( v x ) /#v x
+
v x % ($ / k )
+C1
l’integrale su C2 diverge, per cui il teorema in questi termini non può venire utilizzato
!
!
!
&
+C 2
)
#f 0 ( v x ) /#v x
v x % ($ / k )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Landau propose comunque di procedere al calcolo analitico dell’integrale
della rdd ipotizzando…:
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Ipotizziamo che il polo sia tale che:
!
Im(" / k ) << 1
!
Im( v x )
Re(" / k ) >> 1!
!
" /k
!
!
Re( v x )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Approccio del calcolo seguito da Landau
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
Considerando il percorso di integrazione lungo la circonferenza di un cerchio di
area infinitesima contenente il polo varrà, per il teorema dei residui:
"
g( z ) dz = 2#i [( z $ z 0 ) g( z )]
!
z=z 0
C0
!
%
)
)
"f 0 ( v x ) /"v x
= 2&i "f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
[
" /k
C0
]v
x =$ / k
+C 0
! Poiché l’area del cerchio è infinitesima è lecito assumere che l’integrale
corrispondente a metà della circonferenza sia al limite pari a metà residuo
!
!
Cerchio di area infinitesima
contenente il polo
Re( v x )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Approccio del calcolo seguito da Landau
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
Considerando solo metà percorso, il teorema dei residui dà:
"
g( z ) dz = #i [( z $ z 0 ) g( z )]
!
z=z 0
C'
!
%
+C '
)
)
"f 0 ( v x ) /"v x
= &i "f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
v x =$ / k
[
]
" /k
Re( v x )
C’
Nota bene il verso di percorrenza
! ! della
semicirconferenza che poi
agganceremo all’asse reale da "# a + #
!Poiché l’area del cerchio è infinitesima è lecito assumere che l’integrale
corrispondente a metà della circonferenza sia al limite pari a metà residuo
!
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Approccio del calcolo seguito da Landau
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Ipotizziamo che il polo sia tale che:
Si ottiene dunque:
%
&
Im(" / k ) << 1
!
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x =
v x # ($ / k )
#%
&
Im( v x )
Re(" / k ) >> 1!
!
!
)
"f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
Re( v x )
C
+C
!
!
È chiaro che integrando sul percorso C otterremo un’informazione ulteriore
rispetto alla considerazione della sola parte principale di Cauchy:
%
&
#%
Data la forma della
distribuzione di Maxwell
#
v x =($ / k )
+% )
)
)
"f 0 ( v x ) /"v x
"f 0 ( v x ) /"v x
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x ' P
dv x '
dv x
v x # ($ / k )
v x # ($ / k x )
v x # ($ / k x )
&
#%
&
#%
Landau aveva intuito che con la sola parte principale di Cauchy si ometteva un aspetto decisivo di interazione onda-plasma
!
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Approccio del calcolo seguito da Landau
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
La via giusta trovata da Landau è dunque:
!
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x =
v x # ($ / k )
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
=P
v x # ($ / k )
%
#%
+C
!
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
Re( v x )
C
+C
+% )
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
+ 'i "f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
[
]v
!
x =$ / k
#%
Da cui:
1=
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v x $ (" / k x )
*
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(kx#
x x#$$t)t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: ff11"
"eei(k
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
!
!
Im( v x )
Calcoliamo per parti l’integrale nella relazione della rdd:
" 2pe
k x2
!
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
abbiamo esplicitato
l’assunzione: kx≡ k // x
!
Re( v x )
!
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
Calcoliamo per parti l’integrale nella relazione della rdd:
+%
P
&
#%
+%
+%
)
)
)
!)
+%
'
*
"f 0 ( v x )
f 0 (v x )
# f 0 (v x )
f 0 (v x )
1
, #P
dv x = )
dv x = P
dv x
2
2
"v x v x # ($ /k x )
)( v x # ($ / k x ) ,+
[v x # ($ / kx )]
[v x # ($ / kx )]
#%
&
&
#%
)
f 0 (v x ) =
!
m
e
2"KT
#
#%
1 mv x 2
2 kT
+$
!
P
%[
"$
!
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
"2
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+%
P
&
#%
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
]
+%
)
)
!f 0 ( v x )
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x = P
dv x
2
v x # ($ / k x )
[v x # ($ / kx )]
&
#%
Questo integrale coincide con la media della funzione:
!
[
,
*
v x =" / k x *
.
[v x " (# / kx )]
"2
essendo infatti per definizione:
+%
P
[v x " (# / kx )]
"2
$
&[
"%
+%
&
)
f 0 ( v x ) dv x
v x " (# / k x )]
!
2
Per cui si ha:
)
f 0 ( v x ) dv x
+$
P
"%
%[
"$
!
!
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
"2
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
Dunque:
+$
P
%[
"$
!
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
!
"2
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
)
f 0 (v x )
+$
P
%[
"$
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
"2
!
dove vale:
!
=
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
&
g( x) =
!
#
n=0
n
[v x " (# / kx )]
d g( x) 1 n
x
dx n n!
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
"2
2
=
1
*,
$ v
'.,
x
" 1)/
+(# / k x )&
,% (# / k x ) (,0
per l’ipotesi:
2
(" / kx ) >> v x
Possiamo allora sviluppare attorno al punto x=0 la funzione
"
=
1
$
vx '
2
#
/
k
1"
&
)
( x)
#
/
k
% (
x )(
= (# / k x )
"2
$
vx '
"2
g( x ) = &1"
) = (1" x )
% (# / k x ) (
!
dg( x )
3
3
"3
= "2[1" x ] ("1) = 2[1" x ]
!
d g( x)
dx
2
"2
"2
$
vx '
&1"
)
#
/
k
(
)
%
x (
avendo posto:
dx
!
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
!
1
vx
<< 1
" / kx
" 2pe
k x2
"5
d 2 g( x)
"3
= "24[1" x ] ("1) = 24 [1" x ]
dx 2
"5
= "6[1" x ]
"4
x=
("1) = 6[1" x ]
!
vx
" / kx
"4
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
)
f 0 (v x )
+$
P
%[
"$
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
"2
!
dove vale:
!
&
g( x) =
!
#
n=0
n
[v x " (# / kx )]
d g( x) 1 n
x
dx n n!
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
"2
!
1
vx
<< 1
" / kx
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
2
=
1
*,
$ v
'.,
x
" 1)/
+(# / k x )&
,% (# / k x ) (,0
per l’ipotesi:
=
2
(" / kx ) >> v x
1
$
vx '
2
#
/
k
1"
&
)
( x)
#
/
k
% (
x )(
2
= (# / k x )
"2
"2
$
vx '
"2
g( x ) = &1"
) = (1" x )
% (# / k x ) (
Possiamo allora sviluppare attorno al punto x=0 la funzione
"
!
=
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
" 2pe
k x2
"2
$
vx '
&1"
)
#
/
k
(
)
%
x (
avendo posto:
!
dg( x )
dx
"3
= 2(1" x )
!
d 2 g( x)
dx 2
1
2
= 6(1" x )
"4
d 3g( x )
dx 3
x=
= 24(1" x )
"5
!
1
6
(1" x)"2 = 1+ [ 2(1" x)!"3 x=0 ]( x " 0) + [ 6(1" x )"4 x=0 ] ( x " 0) 2 + [ 24 " 2(1" x)"5 x=0 ] ( x " 0) 3 + ...
vx
" / kx
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
)
f 0 (v x )
+$
P
%[
"$
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
"2
!
dove vale:
!
&
g( x) =
!
#
n=0
n
[v x " (# / kx )]
d g( x) 1 n
x
dx n n!
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
"2
!
1
vx
<< 1
" / kx
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
2
=
1
*,
$ v
'.,
x
" 1)/
+(# / k x )&
,% (# / k x ) (,0
per l’ipotesi:
2
(" / kx ) >> v x
Possiamo allora sviluppare attorno al punto x=0 la funzione
"
!
=
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
" 2pe
k x2
=
1
$
vx '
2
#
/
k
1"
&
)
( x)
#
/
k
% (
x )(
2
= (# / k x )
"2
"2
$
vx '
"2
g( x ) = &1"
) = (1" x )
% (# / k x ) (
"2
$
vx '
&1"
)
#
/
k
(
)
%
x (
avendo posto:
!
dg( x )
(1 " x)"2 = 1 + 2x + 3x 2!+ 4 x 3 + ...
dx
"3
= 2(1" x )
!
d 2 g( x)
dx 2
= 6(1" x )
"4
d 3g( x )
dx 3
x=
= 24(1" x )
!
"5
vx
" / kx
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+$
P
%[
"$
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
!
!
"2
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
$ (# / k x )
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
"2
!
"2
(
"2 %
vx (
2v x
3v x2
4v x3
'
+
+
+ ...*
'1"
* = (# / k x ) 1+
2
4
'& (# / k x ) (# / k x )
*)
& (# / k x ) )
(# / kx )
"2 %
]
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+$
P
%[
"$
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
"2
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
"2
!
$ (# / k x )
"2
(
2
3
"2 %
vx (
2v
3v
4v
x
x
x
+
+
+ ...*
'1"
* = (# / k x ) '1+
2
4
'& (# / k x ) (# / k x )
*)
& (# / k x ) )
(# / kx )
"2 %
!
!
" 2pe
k x2
I termini di ordine dispari si annullano eseguendo la media.
Pertanto considerando il solo primo termine dello sviluppo si può approssimare con:
[v x " (# / kx )]
!
"2
$ (# / k x )
"2 %
(
'1+
*
'& (# / k x ) 2 *)
3v x2
]
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+$
P
%[
"$
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
"2
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
"2
!
$ (# / k x )
"2
(
2
3
"2 %
vx (
2v
3v
4v
x
x
x
+
+
+ ...*
'1"
* = (# / k x ) '1+
2
4
'& (# / k x ) (# / k x )
*)
& (# / k x ) )
(# / kx )
"2 %
!
!
" 2pe
k x2
I termini di ordine dispari si annullano eseguendo la media.
Pertanto considerando il solo primo termine dello sviluppo si può approssimare con:
[v x " (# / kx )]
"2
$ (# / k x )
"2 %
(
'1+
*
'& (# / k x ) 2 *)
3v x2
Ma la media è effettuata mediante la funzione di distribuzione
maxwelliana per gli elettroni. Ricordando l’importante relazione
!
sul concetto di temperatura (trovata nella prima lezione) si ha:
1
1
KT e
mv x2 = KT e v x2 =
2
2
m
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+$
P
%[
"$
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
"2
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
"2
!
$ (# / k x )
"2
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2
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"2 %
vx (
2v
3v
4v
x
x
x
+
+
+ ...*
'1"
* = (# / k x ) '1+
2
4
'& (# / k x ) (# / k x )
*)
& (# / k x ) )
(# / kx )
"2 %
!
!
" 2pe
k x2
I termini di ordine dispari si annullano eseguendo la media.
Pertanto considerando il solo primo termine dello sviluppo si può approssimare con:
[v x " (# / kx )]
"2
$ (# / k x )
"2 %
(
'1+
*
'& (# / k x ) 2 *)
3v x2
Ma la media è effettuata mediante la funzione di distribuzione
maxwelliana per gli elettroni. Ricordando l’importante relazione
!
sul concetto di temperatura (trovata nella prima lezione) si ha:
1
1
KT e
mv x2 = KT e v x2 =
2
2
m
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+$
P
%[
"$
!
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
!
"2
" 2pe
k x2
" (# / k x )
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
$2 %
[
]
( + .2 % + .2
(
'1+
* = - k x 0 '1+ - k x 0 3 KT e *
m *)
'& (# / k x ) 2 *) , # / '& , # /
3v x2
!
1
1
KT e
mv x2 = KT e v x2 =
2
2
m
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
!
" 2pe # k x &2) # k x &2 3KT e ,
+1+ % (
.
Per la parte reale della relazione di dispersione (1) si ottiene: 1 =
2 %$ " ('
$
'
"
m
+*
.kx
!
La parte reale della frequenza del modo elettronico è:
!
"
2
= " 2pe
" 2pe 3KT e 2
+ 2
kx
m
"
]
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
!
" 2pe # k x &2) # k x &2 3KT e ,
+1+ % (
.
Per la parte reale della relazione di dispersione (1) si ottiene: 1 =
2 %$ " ('
$
'
"
m
+*
.kx
!
La parte reale della frequenza del modo elettronico è:
"
2
= " 2pe
" 2pe 3KT e 2
+ 2
kx
m
"
Nella relazione di dispersione trovata compare esplicitamente il numero d’onda, per cui i modi trovati
!
possono trasportare energia se Te > 0, valendo in generale:
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
!
La parte reale della frequenza del modo elettronico è:
Ricordiamo che con il modello fluido freddo la stessa ricerca
di oscillazioni elettrostatiche elettroniche aveva dato:
!
!
"
2
= " 2pe
" 2pe 3KT e 2
+ 2
kx
m
"
" 2 = " 2pe
]
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
!
La parte reale della frequenza del modo elettronico è:
"
2
= " 2pe
" 2pe 3KT e 2
+ 2
kx
m
"
Abbiamo ottenuto il termine di correzione di temperatura finita
! per la frequenza delle oscillazioni elettroniche,
nota già prima di Landau. Vediamo ora di determinare anche l’effetto introdotto dalla parte immaginaria della
frequenza che si è ripercosso nella presenza anche in una parte immaginaria nella rdd.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
" 2pe # k x &2) # k x &2 3KT e ,
.
1 = 2 % ( +1+ % (
k x $ " ' +* $ " ' m .-
La parte reale della rdd dato:
!
Per stabilire se il modo è assorbito bisogna considerare anche la parte immaginaria della rdd.
A tale scopo, ipotizziamo che il contributo della temperatura sia trascurabile, cosa che corrisponde a
velocità di fase dell’onda relativamente!elevate :
# k x &2 3KT e
<< 1
% (
$ " ' me
!
# " &2
3KT e
<< % (
me
$ kx '
v 2) >>
3KT e
me
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
" 2pe # k x &2) # k x &2 3KT e ,
.
1 = 2 % ( +1+ % (
k x $ " ' +* $ " ' m .-
La parte reale della rdd dato:
!
Per stabilire se il modo è assorbito bisogna considerare anche la parte immaginaria della rdd.
A tale scopo, ipotizziamo che il contributo della temperatura sia trascurabile, cosa che corrisponde a
velocità di fase dell’onda relativamente!elevate :
# k x &2 3KT e
<< 1
% (
$ " ' me
# " &2
3KT e
<< % (
me
$ kx '
v 2) >>
3KT e
me
!
Con tali ipotesi la parte principale dell’integrale nella rdd si
approssima con:
+%
P
&
#%
)
( k x +2
"f 0 ( v x ) /"v x
dv ' * )$ ,
v x # ($ / k x )
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
Dove abbiamo utilizzato nella parte
2
2
immaginaria l’approssimazione: " # " pe
! con:
La rdd si può approssimare
%'
" 4pe
2
" = &" pe + i# 2
'(
kx
!
!
)
$f 0 ( v x ) /$v x
[
]
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
)
" 2pe +-# k x &2
1 = 2 ,% ( + i) *f 0 ( v x ) /*v x
k x -.$ " '
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
!
!
" 2pe
k x2
[
]
/0
v x =" / k x 1
%'
" 2pe )
" = " pe &1+ i# 2 $f 0 ( v x ) /$v x
'(
kx
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
]
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
! con:
La rdd si può approssimare
%'
" 4pe )
2
" = &" pe + i# 2 $f 0 ( v x ) /$v x
'(
kx
[
]
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
)
" 2pe +-# k x &2
1 = 2 ,% ( + i) *f 0 ( v x ) /*v x
k x -.$ " '
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
!
[
]
/0
v x =" / k x 1
%'
" 2pe )
" = " pe &1+ i# 2 $f 0 ( v x ) /$v x
'(
kx
[
]
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
" = " pe (1+ iy)
espandiamo in serie di Taylor e prendiamo solo il primo termine attorno a: z 0 = 1+ 0
y << 1
!
Avendo fatto all’inizio l’ipotesi: Im (ω) <<1, possiamo approssimare l’espressione:
!
]
! y="
dove:
# 2pe
!
1/ 2
= g(z)
)
$f v /$v x ]
2 [ 0( x )
v
k!
x
!
,
*
v x =" / k x *
.
x =# / k x
<< 1
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
! con:
La rdd si può approssimare
%'
" 4pe )
2
" = &" pe + i# 2 $f 0 ( v x ) /$v x
'(
kx
[
]
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
)
" 2pe +-# k x &2
1 = 2 ,% ( + i) *f 0 ( v x ) /*v x
k x -.$ " '
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
!
[
]
/0
v x =" / k x 1
%'
" 2pe )
" = " pe &1+ i# 2 $f 0 ( v x ) /$v x
'(
kx
[
]
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
" = " pe (1+ iy)
espandiamo in serie di Taylor e prendiamo solo il primo termine attorno a: z 0 = 1+ 0
y << 1
!
Avendo fatto all’inizio l’ipotesi: Im (ω) <<1, possiamo approssimare l’espressione:
!
]
" d 2g %
" dg %
1
g( z ) = g ( z 0 ) + $ '
(z ( z0 ) + $ 2 '
# dz &z=z 1!
$# dz '&
0
" dg %
1
=
$# dz '&
2
z=z 0
!
z=z 0
1
( z ( z 0 ) 2 + ...
2!
z " z 0 = 1+ iy " 1 = #
$ 2pe
k x2
da cui si ottiene il risultato finale:
!
!
!
[
]v
1/ 2
= g(z)
!
!
)
%f 0 ( v x ) /%v x
,
*
v x =" / k x *
.
x =$ / k x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
!
)
Data la fdd maxwelliana: f (v ) =
0 x
!
m
2"KT
1 mv x 2
#
2 KT
e !
=
1 1
" v th
vx 2
#
2
e v th
v th =
!
2KT
m
)
+
v x =" / k x +*
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
!
)
Data la fdd maxwelliana: f (v ) =
0 x
m
2"KT
1 mv x 2
#
2 KT
e !
2
1 1
" v th
=
vx 2
#
2
e v th
2
v
v
)
$ x
$ x
%
(
"f 0 (v x )
1 1
vx
2v x
v th 2
v th 2
'
*
=
$2
e
=
$
e
!
"v x
# v th '& v th 2 *)
# v th 3
!
)
# "f (v ) &
% 0 x (
$ "v x '
#
vx 2 &
*
%
2(
2v x
v
th
(
= %*
e
3
% + v th
(
v x =) / k x
%$
('
v th =
!
(
2
,*
)2
) pe / k x * 2 2
kx v th
e
+ v th 3
)
v x =) / k x
avendo posto nel coefficiente, ma non nell’esponente: " # " pe
!
!
2KT
m
)
+
v x =" / k x +*
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
Data la fdd maxwelliana: f (v ) =
0 x
m
2"KT
2
1 mv x 2
#
2 KT
e !
1 1
" v th
=
vx 2
#
2
e v th
si ottiene:
Im(" ) # $
!
!
#
)2
vx 2 &
*
%
2 ) pe / k x * 2 2
2(
2v x
v
kx v th Utilizzando l’espressione
th (
= %*
e
,
*
e
trovata per la parte reale di ω:
+ v th 3
% + v th 3
(
v x =) / k x
%$
('
v x =) / k x
"2
"2
" 2pe 3KT e 2
$
$
3 2 " /k
3
2
2
pe x
" pe
% " pe
" = " pe + 2
kx
kx2 v th 2
kx2 v th 2
Im(" ) # $
e
=
$
%
"
e
m
pe 3
"
2 k x2
% v th 3
k x v th 3
)
# "f (v ) &
% 0 x (
$ "v x '
(
(
!
2KT
m
2
v
v
)
$ x
$ x
%
(
"f 0 (v x )
1 1
vx
2v x
v th 2
v th 2
'
*
=
$2
e
=
$
e
!
"v x
# v th '& v th 2 *)
# v th 3
!
v th =
)
)
"2
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
=$
" 2pe
3
$
$
2
" 3pe
2
% " pe 3 3 e kx v th e 2
!
k x v th
= $0.22
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
Data la fdd maxwelliana: f (v ) =
0 x
m
2"KT
1 mv x 2
#
2 KT
e !
=
1 1
" v th
vx 2
#
2
e v th
v th =
2KT
m
!
!
Si è ottenuto dunque per la parte immaginaria della frequenza una quantità
negativa che corrisponde ad uno smorzamento dell’onda:
Im(" ) # $0.22
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
]
)
+
v x =" / k x +*
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
!
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
!
Questo effetto di assorbimento dell’onda sugli
elettroni, noto come Landau damping, è stato
ottenuto trascurando le collisioni, cioè è
adiabatico e reversibile.
La caratteristica nuova ed inaspettata consiste
appunto che le collisioni tra le particelle non
sono necessarie per determinare l’assorbimento
dell’onda che avviene in tempi brevissimi,
confrontabili col periodo dell’onda
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
!
Accelerazione della particella
]
)
+
v x =" / k x +*
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
!
Questo effetto di assorbimento dell’onda sugli
elettroni, noto come Landau damping, è stato
ottenuto trascurando le collisioni, cioè è
adiabatico e reversibile.
v"
Propagazione dell’onda
!
La caratteristica nuova ed inaspettata consiste
appunto che le collisioni tra le particelle non
sono necessarie per determinare l’assorbimento
dell’onda che avviene in tempi brevissimi,
confrontabili col periodo dell’onda
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
!
1=
" 2pe
k2
%
&
)
#f 0 ( v x ) /#v x
v x $ (" / k )
]
)
+
v x =" / k x +*
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
!
dv x
$%
!
Il Landau dampingi è associato alla distorsione della funzione di
distribuzione causato dall’onda, ed è dovuto al polo
dell’integrando della forma di partenza della fdd
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
!
Equazione di Vlasov
"
"
e
"
f1( x,v x ,t ) + v x
f1 ( x,v x ,t ) # E1x $
f 0 (v) = 0
"t
"x
m
"v x
f (x,v,t) " f 0 (v) + f1( x,v x ,t ) + ...
+ Equazione di Gauss avevano dato:
#f 0 (v)
ieE1x ( x,t ) #v x
f1 (x,v,t) "
m
$ % kv x
!
!
!
Il Landau dampingi è associato alla distorsione della funzione di
distribuzione causato dall’onda, ed è dovuto al polo
dell’integrando della forma di partenza della fdd
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
f 0 (v x )
!
!
f (x,v,t) " f 0 (v) + f1( x,v x ,t )
0
!
!
Il Landau dampingi è associato alla distorsione della funzione di
distribuzione causato dall’onda, ed è dovuto al polo
dell’integrando della forma di partenza della fdd
v x =" / k x
vx
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
)
f 0 ( v x ) + f1( v x )
!
!
f (x,v,t) " f 0 (v) + f1( x,v x ,t )
0
!
!
Il Landau dampingi è associato alla distorsione della funzione di
distribuzione causato dall’onda, ed è dovuto al polo
dell’integrando della forma di partenza della fdd
v x =" / k x
vx
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
)
f 0 ( v x ) + f1( v x )
!
!
0
v x =" / k x
vx
L’assorbimento dell’onda sugli elettroni consiste nel trasferimento di energia tra onda ed elettroni con velocità
di scorrimento risonanti, cioè prossime alla velocità di fase. In tale modo elettroni più lenti assorbono energia
!
dall’onda tendendo a smorzarla, quelli più veloci cedono energia e tendono ad amplificarla.
Considerando il caso di equilibrio termico, poiché nella coda della fdd maxwelliana vi sono elettroni lenti più
che veloci,il processo di scambio energetico si traduce nell’assorbimento netto dell’onda.
Questo è un esempio notevole di comportamento collettivo del plasma
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
Landau predisse che trascurando la presenza del polo nel
piano complesso nel calcolare l’integrale della relazione di
!
dispersione del modo elettronico (come solitamente
veniva
fatto), si veniva ad omettere un importante effetto di
% )
2
interazione tra l’onda e le particelle.
" pe! #f 0 ( v x ) /#v x
1=
k2
&
v x $ (" / k )
[
]
)
+
v x =" / k x +*
)
)
f 0 ( v x ) + f1( v x )
dv x
$%
!
!
0
!
v x =" / k x
vx
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
Landau predisse che trascurando la presenza del polo nel
piano complesso nel calcolare l’integrale della relazione di
!
dispersione del modo elettronico (come solitamente
veniva
fatto), si veniva ad omettere un importante effetto di
% )
2
interazione tra l’onda e le particelle.
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
!
1=
k2
&
v x $ (" / k )
[
]
)
+
v x =" / k x +*
)
)
f 0 ( v x ) + f1( v x )
dv x
$%
!
Gli effetti di assorbimento
e di
!
generazione di corrente nel plasma
previsti da Landau furono confermati
anni dopo dagli esperimenti
0
v x =" / k x
vx
!
Il Landau damping è il più importante risultato di previsione matematica applicata alla fisica del plasma
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
!
]
)
+
v x =" / k x +*
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
A questo punto abbiamo un’informazione
fondamentale
per rispondere alla motivazione
!
principale del corso: giungere a progetto di
un’antenna ed un sistema RF in grado di generare
corrente in un plasma. Sappiamo ora che il modo
elettronico può essere assorbito dagli elettroni: la
parte immaginaria della frequenza del modo è
negativa per un plasma all’equilibrio termico.
Cosa possiamo dire sulla parte reale della frequenza?
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
Per avere informazioni sulla parte reale della
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
frequenza dobbiamo considerare il caso più realistico
!
di plasma in presenza di un campo magnetico
statico, poiché questa è la condizione degli
esperimenti.
!
In tali condizioni gli elettroni possono muoversi liberamente lungo la direzione del
campo ed essere accelerati dall’onda in tale direzione. Le conclusioni sul Landau
damping e sulla parte immaginaria della rdd, trovate per il caso di plasma non
magnetizzato, si manterranno valide anche per il caso di plasma magnetizzato.
La parte reale della rdd sarà invece fortemente influenzata dalla
presenza del campo magnetico, e vedremo che diverrà
importante anche il contributo degli ioni
]
)
+
v x =" / k x +*
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
Equazioni di Maxwell
(per il vuoto):
in unità cgs elettrostatiche
nel sistema mks razionalizzato
" • E = 4 #$
"# E = $
%B
%t
!
"• B = 0
!
c 2 " # B = 4 $j +
!
!
!
"• D = 4 #$
%B
"# E = $
%t
" = µ =1
%E
%t
!
"• B = 0
!
"# H = j+
!
!
!
D = "0E
B = µ 0H
$D
$t
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
#i $ %r#&t)
Risolviamo l’equazione d’onda per campi rf del tipo: E " e (
" # " # E = $" #
in unità cgs elettrostatiche
%B
%t
!
%B
"# E = $
%t
!
!
"• B = 0
!
!
%E
c " # B = 4 $j +
%t
!
2
Ponendo:
!
%
"# B
%t
4 % & ' &E *
" # " # E = $ 2 )j+ ,
c &t ( &t +
!
" • E = 4 #$
"# "# E = $
4 $ % & %E )
" # " # E+ 2 (j+ + = 0
c %t ' %t *
j=" •E
( 4 %& +
" # *I $
' ,
)
" = µ =1
tensore dielettrico
!
!
Si giunge all’equazione d’onda:
!
!
"# "# E$
%
c
!
2
2
& 'E= 0
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
P = 1#
& S $iD 0 )
2
% (
+
" # " # E $ 2 (iD S
0+ • E = 0
c
(' 0
0 P+*
D=
" 2pe
2
" ce
" 02
" 2pe
" 0" ce
"
tensore dielettrico
2
n( n• E) " n E!+ # • E = 0
n"
!
ck
#
!
n = n "2 + n //2
indice di rifrazione
(o vettore numero d’onda)
!
!
!
" 02
" 2pe
!
!
#
" 2pi
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
Consideriamo la proiezione nel piano (x,y) perpendicolare alla
direzione (z) del campo magnetico. Lungo quest’ultima direzione
tutti I parametri di plasma possono considerarsi
! costanti.
!
L’equazione rilevante diviene:
An"4 + Bn"2 + C = 0
dove: n"2 = n x2 + n y2
P = 1#
D=
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
!
A=S
!
(
)
B = n //2 " S ( S + P) + D 2
!
#
C = P% n //2 " S
$
(
!
!
)
2
&
" D2(
'
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
Consideriamo la proiezione nel piano (x,y) perpendicolare alla
direzione (z) del campo magnetico. Lungo quest’ultima direzione
tutti I parametri di plasma possono considerarsi
! costanti.
!
L’equazione rilevante diviene:
An"4 + Bn"2 + C = 0
dove: n"2 = n x2 + n y2
!
L’equazione ha due soluzioni: n 2
"
!
!
#B ±
=
(B
!
!
rdd dell’onda veloce
(è sempre elettromagnetica)
2
n"f
2
rdd dell’onda lenta: n"s
(è elettrostatica
!
per
)
!
D $
#
(
# 4 AC
(
n //2
$S
)
)
P 2
D2
# $ n // $ S $
S
S
)
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
!
A=S
!
)
(
)
B = n //2 " S ( S + P) + D 2
!
#
C = P% n //2 " S
$
(
2
n //2 $ S + D 2 / P
(
D=
2A
Per B 2 >> 4 AC si ottiene:
2
2
P = 1#
" 2pe
!
)
2
&
" D2(
'
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
P = 1#
D=
!
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
!
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Se il nostro scopo finale è accelerare gli elettroni del plasma dobbiamo interessarci solo all’onda lenta:
per cui si ha:
$
v " # << c
k
!
!
2
rdd dell’onda lenta: n"s
(è elettrostatica
per
)
!
!
k >> 1
P 2
D2
# $ n // $ S $
S
S
(
)
!
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
D=
!
!
P = 1#
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
!
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Se il nostro scopo finale è accelerare gli elettroni del plasma dobbiamo interessarci solo all’onda lenta:
per cui si ha:
$
v " # << c
k
k >> 1
L’onda lenta può propagare solo se
!
!
n"2 > 0 , che implica: P < 0
!
!
2
rdd dell’onda lenta: n"s
!
" pe > " 0
cioè la densità di plasma deve essere superiore ad un
certo valore critico dipendente dalla frequenza d’operazione
!
(è elettrostatica
per
)
!
P 2
D2
# $ n // $ S $
S
S
(
)
!
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
D=
!
!
P = 1#
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
!
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Se il nostro scopo finale è accelerare gli elettroni del plasma dobbiamo interessarci solo all’onda lenta:
per cui si ha:
$
v " # << c
k
k >> 1
L’onda lenta può propagare solo se
!
!
!
n"2 > 0 , che implica: P < 0
" pe > " 0
!
L’onda è elettrostatica perché la stessa
forma della rdd si può ricavare con
! l’ipotesi:
nell’eq. d’onda
"# E = 0
!
2
P
D
2
2
rdd dell’onda lenta: n"s # $
n // $ S $
S
S
l’onda è elettrostatica!
per
n //2 > 1
(
!
)
!
2
mi $ LH
n #n
2
me $ 02 % $ LH
2
"
2
//
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
D=
!
!
P = 1#
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
!
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Se il nostro scopo finale è accelerare gli elettroni del plasma dobbiamo interessarci solo all’onda lenta:
Per tale scopo deve valere infatti:
$
v " # << c
k
L’onda lenta può propagare solo se
Il numero d’onda è elevato, !
cioè l’onda
diviene sempre più lenta, quando: S " 0
k >> 1
!
2
P
D
2
2
rdd dell’onda lenta: n"s # $
n // $ S $
S!
S
l’onda è elettrostatica
per
n //2 > 1
!
" pe > " 0
!
n" # $ cioè l’onda ha una risonanza per S = 0
!
!
n"2 > 0 , che implica: P < 0
!
!
!
(
)
!
2
mi $ LH
n #n
2
me $ 02 % $ LH
2
"
2
//
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
La rdd dell’onda cercata, detta onda
di lower hybrid (LH) è dunque:
2
mi $ LH
n #n
2
me $ 02 % $ LH
2
"
2
//
dove:
2
" LH
$
# " 2pi &1+
&
%
" 2pe '
)
2 )
" ce (
2
valida per: n // > 1
" pe =
L’onda propaga solo se: " pe > " 0
!
!
!
Frequenza di
operazione
!
!
4 #n ee 2
me
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
La rdd dell’onda cercata, detta onda
di lower hybrid (LH) è dunque:
2
mi $ LH
n #n
2
me $ 02 % $ LH
2
"
2
//
dove:
S = 1+
2
" LH
$
# " 2pi &1+
&
%
!
2
" ce
#
" 2pi
" 02
" pe =
!
L’onda propaga solo se: " pe > " 0
La condizione di risonanza
" 2pe '
)
2 )
" ce (
" 2pe
che si ha per: " LH = " 0
! n" # $
coincide con la condizione S = 0
!
! La risonanza scompare se si supera il modello di plasma freddo
!
!
4 #n ee 2
me
!
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
La rdd dell’onda cercata, detta onda
di lower hybrid (LH) è dunque:
2
mi $ LH
n #n
2
me $ 02 % $ LH
2
"
2
//
dove:
S = 1+
2
" LH
$
# " 2pi &1+
&
%
" 2pe '
)
2 )
" ce (
L’onda propaga solo se: " pe > " 0
La condizione di risonanza
!
" 2pe
2
" ce
#
" 2pi
" 02
" pe =
!
che si ha per: " LH = " 0
! n" # $
!
A cosa corrisponde la risonanza di lower hybrid (LH) e
!
come possiamo
figurarci l’onda LH?
!
La condizione n" # $ corrisponde ad un’oscillazione longitudinale
perpendicolare al campo magnetico statico di equilibrio.
•In questa condizione il moto sia degli ioni che degli elettroni è vincolato
ad avere orbite e frequenze imposte dalle rispettive frequenze ed orbite
di ciclotrone.
Essendo presente sia la forza di richiamo del campo
!
elettrico che la forza di Lorentz le orbite degenerano ad ellissi.
•Nella direzione perpendicolare a B0 il plasma si comporta similmente ad
un gas di dielettrico. Questo può essere sede di onde simili alle onde
sonore che, per un plasma, si verificano anche nell’ipotesi assunta di
plasma freddo: KT=0
4 #n ee 2
me
coincide con la condizione S = 0
!
B0 !
!
n"
ck
#
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
e numero d’onda parallelo
!
!
!
n //2 > 1
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
Frequenza di
operazione
" pe =
!
f 0 < 9GHz
4 #n ee 2
me
f pe " 9000 # n e [cm-3 ]
!
Densità del plasma di bordo delle macchine sperimentali:
!
!
n e " 1012 cm#3
f pe " 9GHz
Frequenza di cut-off:
per eccitare l’onda elettronica con potenza RF lanciata!
dall’esterno per valori di densità del plasma di bordo
che hanno le macchine sperimentali bisogna che il
generatore abbia frequenza ≤ 9 GHz
!
L’esperimento con onde LH sulla macchina FTU di Frascati opera a 8 GHz: la più alta al mondo
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
e numero d’onda parallelo
!
!
n //2 > 1
Plasma con alta densità:
" pe >> " 0
" LH # " 0
!
Interfaccia
plasma-vuoto
Dall’equazione d’onda si può ricavare che il campo
elettrico dell’onda è praticamente allineato con l’asse x
nelle regioni di plasma con elevata densità
!
y
E
z, B0
!
!
x,"n
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
e numero d’onda parallelo
n //2 > 1
!
!
densità intermedie
!
Interfaccia
plasma-vuoto
y
E
z, B0
!
!
x,"n
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
Dall’equazione d’onda:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n //2 > 1
e numero d’onda parallelo
!
Dall’equazione d’onda si ricava
anche che per valori molto bassi
della densità di plasma di bordo tali
comunque di essere sopra il cut-off: " pe > " 0
!
!
Interfaccia
plasma-vuoto
˜
vale:
ed anche:
E≈ zEz
Ey/Ez≈ 0,
y
"x
!
E
Cioè al bordo del plasma l’onda elettronica ha il campo
elettrico quasi allineato lungo l’asse z
!
!
x,"n
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n //2 > 1
e numero d’onda parallelo
!
!
La condizione di polarizzazione
del campo elettrico al bordo
plasma: E≈ zEz
!
può essere realizzata dal modo
fondamentale di una guida
d’onda rettangolare
opportunamente orientata
y
E
x,"n
!
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n //2 > 1
e numero d’onda parallelo
!
!
La condizione di polarizzazione
del campo elettrico al bordo
plasma: E≈ zEz
!
può essere realizzata dal modo
fondamentale di una guida
d’onda rettangolare
opportunamente orientata
y
a
E
x,"n
!
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
Dall’equazione d’onda:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n //2 > 1
e numero d’onda parallelo
!
!
La condizione di polarizzazione
del campo elettrico al bordo
plasma: E≈ zEz
!
può essere realizzata dal modo
fondamentale di una guida
d’onda rettangolare
opportunamente orientata
E
La condizione sul numero d’onda
(condizione di onda lenta):
n // "
y
a
x,"n
c $%
c
ck
"
>1
=
# $z
v# $
può essere realizzata con una
griglia di guide d’onda sfasate con "# > 0
!
!
!
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
Dall’equazione d’onda:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n //2 > 1
!
!
La condizione di polarizzazione
del campo elettrico al bordo
plasma: E≈ zEz
può essere realizzata dal modo
fondamentale di una guida
d’onda rettangolare
opportunamente orientata
!
"z
In questo modo
sintetizziamo il numero
d’onda desiderato
!
y
La condizione sul numero d’onda
(condizione di onda lenta):
n // "
x,"n
c $%
c
ck
"
>1
=
# $z
v# $
può essere realizzata con una
griglia di guide d’onda sfasate con "# > 0
!
!
!" # $
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Analisi per valutare il coefficiente di riflessione del lanciatore
L’equazione d’onda deve essere risolta per Ez, By all’interfaccia antenna-plasma, x = 0:
Condizioni al
contorno (x=0)
Ez = Ezi(0) + Ezr(0)
By = Byi(0) - Byr(0)
lato
plasma
dove: il pedice “i” ed “r” indica rispettivamente il
campo incidente e riflesso dell’antenna
lato vuoto
(antenna)
y
x,"n
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Analisi per valutare il coefficiente di riflessione del lanciatore
L’equazione d’onda deve essere risolta per Ez, By all’interfaccia antenna-plasma, x = 0:
Condizioni al
contorno (x=0)
Ez = Ezi(0) + Ezr(0)
By = Byi(0) - Byr(0)
y
x,"n
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Analisi per valutare il coefficiente di riflessione del lanciatore
L’equazione d’onda deve essere risolta per Ez, By all’interfaccia antenna-plasma, x = 0:
Condizioni al
contorno (x=0)
Ez = Ezi(0) + Ezr(0)
By = Byi(0) - Byr(0)
Il coefficiente di riflessione del campo
elettrico definito: Γ=Ezr(0) /Ezi(0) si
scrive anche:
dove:
Z
(
"=
(Z
p
/Z 0 ) #1
p
/Z 0 ) + 1
Impedenza di antenna Z 0 =
!
Impedenza del plasma
Zp =
y
E zi (x = 0)
Byi (x = 0)
Ez
By
L’analisi dei campi
! in guida nel lato vuoto, e la
soluzione dell’equazione d’onda nel lato plasma
consentono di ricavare
! i rispettivi valori di impedenza
x,"n
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda si ha:
Impedenza di plasma:
Ez
n //2 #1
Zp =
"#
n e Antenna
By
#1
ne $ = $
" pe =
pe
Z
(
"=
(Z
Coefficiente di riflessione del campo elettrico:
!
Il plasma realizza un carico adattato:
p
/Z 0 ) #1
p
/Z 0 ) + 1
Per valori bassi di densità di plasma:
Z p è puramente reattiva
!
" #0
Z p /Z 0 " 1
per un valore ottimale della densità di plasma
sul lanciatore:
!
!
4 #n ee 2
me
n e Antenna = n e opt > n e " = "
!
n e Antenna < n e " ="
2
//
Z p " #i n #1
!
pe
le onde non propagano
" #1
!
La densità di plasma è pertanto il parametro fondamentale che determina l’accoppiamento delle onde LH
!
!
pe
Spettri in n// di potenza RF con il lanciatore LH di FTU
Lanciatore a griglia di guide d’onda del
tokamak FTU (8 GHz, 2 MW)
Sistema di potenza RF in una macchina per la ricerca sulla fusione nucleare
(dettaglio)
Lanciatore a griglia di guide d’onda del
tokamak FTU (8 GHz, 2 MW)
Sistema di potenza RF in una macchina per la ricerca sulla fusione nucleare
(dettaglio)
Schema completo di un tipico sistema di potenza RF
in una macchina per la ricerca sulla fusione nucleare (tokamak)
Agli altri
klystrons
Diodo switch
Sorg.
RF
TWT
attenuatore
ΔΦ
Settore di
antenna a
griglia di
guide d’onda
circolatore
modulatore
Pot. riflessa
Arc
detector
Pot. diretta
Klystron
ΔΦ
Controllo
fault
Segnale di
consenso
Alimentatore
ad alta
tensione
plasma
Misure RF